C u r s o : Matemática Material N° 17 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 14 UNIDAD: GEOMETRÍA PERÍMETROS Y ÁREAS Perímetro de un polígono, es la suma de las longitudes de todos sus lados. El perímetro se denotará por p y el semiperímetro por s. Área es la medida que le corresponde a toda la región poligonal. El área se denotará por Á. Nombre

Figura a

Área

a2

d

a

Cuadrado

Perímetro

a

4a

d2 2

2a + 2b

a⋅b

a a

b

Rectángulo

b a a

h

a

Rombo

d1

h·a a

4a

d1 ⋅ d2 2

2a + 2b

a · h 1 = b · h2

a+b+c

a ⋅ ha b ⋅ hb c ⋅ hc = = 2 2 2

a+b+c+d

⎛a+ c⎞ ⎜ 2 ⎟ ⋅h ⎝ ⎠

Dπ = 2πr

πr2

d2

a

Área base por la altura

a Romboide

b

h2

h1

b

a C b

Triángulo

hc

ha

A

a

hb

B

c c

Trapecio

d

b

h a

Circunferencia y Círculo

Sector circular

O

O A

r

α B

AB + 2r α ⋅ 2πr con AB = 360º 1

α ⋅ πr

2

360º

Área base por la altura dividido por dos

EJEMPLOS 1.

Si el área de un cuadrado es 144 cm2, entonces su perímetro mide A) B) C) D) E)

2.

Si el perímetro del rectángulo ABCD de a figura 1, es 8a + 8b y BC = 2a + 3b, entonces DC es A) B) C) D) E)

3.

12 cm 36 cm 48 cm 81 cm 288 cm

a 2a 4a 4a 6a

+ + + + +

D

2b b 6b 2b 5b

C

A

B

Si en el rombo ABCD de la figura 2, AB = 10 cm y DE = 7 cm, su área es A) B) C) D) E)

D

140 cm2 70 cm2 40 cm2 35 cm2 ninguno de los valores anteriores

E

B

En la figura 3, el triángulo ABC es isósceles de base AB . Si CD = 12 cm y su área es C A) B) C) D) E)

5.

C

fig. 2 A

4.

15 cm2 30 cm2 40 cm2 60 cm2 120 cm2

AD = 5 cm, entonces

fig. 3 D

A

B

En la figura 4, ABCD es un trapecio rectángulo. Si DC = 10 cm, AD = 12 cm y entonces el perímetro y el área son, respectivamente, A) B) C) D) E)

37 cm 50 cm 50 cm 90 cm 150 cm

y y y y y

120 150 180 300 600

D

cm2 cm2 cm2 cm2 cm2

fig. 4

B

En la figura 5, se tiene dos circunferencias concéntricas de centro O. Si OB = 6 cm entonces el área de la región achurada es A)

B) C) D) E)

2π cm

AB = 15 cm,

C

A 6.

fig. 1

fig. 1

y AB = 4 cm,

2

8π cm2 16π cm2 32π cm2 64π cm2

A

2

B

•

O

fig. 5

TEOREMA DE PITÁGORAS

En todo triángulo rectángulo, la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre sus catetos, es igual al área del cuadrado construido sobre su hipotenusa. Ternas pitagóricas

a

b

c

3

4

5

5

12

13

8

15

17

c2 b2

Triángulos Notables

a

a 2

2a

a2 + b2 = c2

a2

a 3

60º

a

a

EJEMPLOS

1.

La suma de todos los trazos de la figura 1, es 3k A) B) C) D) E)

2.

46 49 54 61 64

8 4k

fig. 1

17

En el triángulo rectángulo ABC de la figura 2, se sabe que AB = 10 y CB = 5. Entonces, ¿cuál es el área del triángulo? C A) B) C) D) E)

3.

25 25 3

fig. 2

25 3 2 25 5 2 50 3

A

B

En el triángulo rectángulo ABC de la figura 3, se tiene que AC + BC =

A) B) C)

AD = BD = 3. Entonces,

C fig. 3

6 9 6 2

D)

12 2

E)

6+6 2

A

3

D

B

FIGURAS EQUIVALENTES

Son aquellas que tienen igual área.

C

En todo triángulo: Å

D

A1

Cada transversal de gravedad lo divide en dos triángulos equivalentes.

D es el punto medio de BC A 1 = A2

A2 A

B C A5 A 4

F Å

Las tres transversales lo dividen en seis triángulos equivalentes.

A6

G

A2

A1

A

E

D, E, F puntos medios

A3

A1 = A2 = A3 = A4 = A5 = A6

D

B

EJEMPLOS

1.

En el triángulo ABC rectángulo en C de la figura 1, CD es transversal gravedad. Si AB = 10 cm y AC = 6 cm, ¿cuánto mide el área del triángulo DBC? A) B) C) D) E)

12 15 20 24 48

C

cm2 cm2 cm2 cm2 cm2

fig. 1

A

2.

de

D

B

En el triángulo equilátero ABC de la figura 2, DE , EF y FD son medianas. Si AC = 20 cm, ¿cuánto es el área del trapecio ABEF?

A) B) C) D) E)

150 100 75 25 150 4

C

3 cm2

fig. 2

2

3 cm

3 cm2

E

F

3 cm2 3 cm2

A

4

D

B

EJERCICIOS

1.

El perímetro de la figura 1, es 3 cm A) B) C) D) E)

2.

15 19 32 37 47

cm cm cm cm cm

12 cm

4 cm

La longitud de AB , en la figura 2, es

A)

26 cm

B)

10 cm

C) D) E)

6 cm

1 cm

C D

fig. 2

1 cm

4 cm 6 cm

E A

En la figura 3, el perímetro del rectángulo ABCD es 22 cm y EBCF es un cuadrado de área 9 cm2. ¿Cuánto mide el área del rectángulo AEFD? D A) B) C) D) E)

15 16 18 24 33

F

C

cm2 cm2 cm2 cm2 cm2

fig. 3 A

4.

B

1 cm

1 cm

3.

fig. 1

E

B

En la figura 4, el cuadrado DEFG tiene igual área que el rectángulo ABCD de lados 3 cm y 12 cm. ¿Cuál es la medida de GB ?

A) B) C) D) E)

54 36 12 20 15

G

cm cm 2 cm cm cm

F fig. 4

D 3 cm A 5

E 12 cm

C

B

5.

La figura 5, está formada por tres cuadrados congruentes. Si cada uno de los triángulos achurados tiene un área de 10 mm2, ¿cuál es el área total de la figura? A) B) C) D) E)

6.

30 40 45 60 90

mm2 mm2 mm2 mm2 mm2

fig. 5

En el rectángulo ABCD de la figura 6, AB = 4 cm y BC = 3 cm. Si en cada esquina hay un cuadrado de lado 2a cm, ¿cuánto mide el área de la región achurada? A) B) C) D) E)

(12 (12 (12 (12 (12

– – – – –

2a2) cm2 4a2) cm2 8a2) cm2 32a2) cm2 16a2) cm2

C

D

fig. 6

A

7.

B

El cuadrado ABCD de la figura 7, está dividido en cuatro rectángulos congruentes. Si cada uno de los rectángulos tiene un perímetro de 20 cm, ¿cuánto mide el área del cuadrado? A) B) C) D) E)

32 48 64 80 144

D

cm2 cm2 cm2 cm2 cm2

C

fig. 7

A

6

B

8.

En el cuadrado ABCD que muestra la figura 8 se ha dibujado un triángulo equilátero ABE de altura 4 3 cm. Entonces, el perímetro del cuadrado es

A) B) C) D) E)

64 32 24 16 12

D

cm cm cm cm cm

C E fig. 8

A

9.

ABCD es un cuadrado que tiene un perímetro de 48 cm (fig. 9). Si AE = 13 cm, ¿cuál es la medida del área del trapecio ABCE? A) B) C) D) E)

30 44 84 114 144

D

cm2 cm2 cm2 cm2 cm2

E

C

fig. 9

A

10.

B

B

La figura 10, muestra cuatro triángulos rectángulos escalenos congruentes entre sí. Si se unen como piezas de un puzzle, ¿cuál(es) de las siguientes figuras siempre es(son) posible(s) formar? I) II) III) A) B) C) D) E)

Un rectángulo. Un rombo. Un cuadrado.

Sólo I Sólo II Sólo III Sólo I y II I, II y III

fig. 10

7

11.

Si en un cuadrado de lado b, cada lado aumenta en 2 unidades, entonces el perímetro A) B) C) D) E)

12.

aumenta aumenta aumenta aumenta aumenta

4b + 8 unidades 4b + 4 unidades 2 unidades 4 unidades 8 unidades

En la figura 11, el cuadrado PQRS está formado por el rectángulo A y por los triángulos isósceles rectángulos congruentes B, C, D y E. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones corresponde(n) a un área equivalente a las tres cuartas partes del área del cuadrado? I) II) III)

A) B) C) D) E)

13.

en en en en en

R

S

A+B+C 2(B + C + D + E) A + 2D + 2E 2

B C fig. 11

AA

Sólo I Sólo I y II Sólo I y III I, II y III Ninguna de ellas

D E P

La figura 12 está formada por cuatro rectángulos congruentes. Si c =

Q

1 d , entonces el 3

perímetro de la figura achurada es igual a A) B) C) D) E)

7d 8c + 4d 10c + 10d 6c + d 22c

fig. 12

d c

8

14.

En el triángulo equilátero ABC de lado 16 cm de la figura 13, se trazan las medianas. Si en el triángulo resultante se trazan nuevamente las medianas, ¿cuánto mide el área de la región achurada? C A) B) C) D) E)

fig. 13

48 3 cm2 24 3 cm2 F

16 3 cm2 12 3 cm 4 3 cm2

A

15.

E

2

B

D

En el triángulo ABC rectángulo en C de la figura 14, AD y CE son transversales de gravedad. Si AC = 15 cm y CB = 8 cm, el área del triángulo EBD es

A) B) C) D) E)

C

7,5 cm2 15 cm2 30 cm2 10 cm2 5 cm2

D

E

A

16.

fig. 14

B

Las siguientes figuras están construidas a partir de un cuadrado de lado a (a > 9). ¿En cuál(es) de ellas se verifica que el área achurada es a2 – 9? a I)

a

a

II)

1

III) a-3

a

a

a

9

3 3

a–1

A) B) C) D) E)

Sólo en I Sólo en I y en II Sólo en I y en III Sólo en II y en III En I, en II y en III

9

a–4

17.

La diagonal del cuadrado ABCD (fig. 15), mide 12 2 , y la del rectángulo PQRS mide 4 5 . Si DP = PQ = QC , ¿cuál es el perímetro de la figura?

A) B) C) D) E)

58 64 70 72 74

S

R

P

Q

C

D

fig. 15 A

18.

B

ABCD es un cuadrado de lado 4 2 cm y M, N, P, Q son puntos medios de sus lados (fig. 16). ¿Cuánto mide el perímetro del rectángulo MNRS? S A) B) C) D) E)

16 18 20 22 24

cm cm cm cm cm

D

Q

C R

M

P fig. 16

A

19.

Si el lado del hexágono regular ABCDEF de la figura 17, mide área?

A) B) C) D) E)

9 3 2 3 3 4 3 3 2 9 3

E

cm2

B

N

3 cm, ¿cuánto mide su

D

cm2 C

F

cm2

fig. 17

2

cm 6 3 cm2

A

10

B

20.

Un atleta corre alrededor de una pista circular. Al dar tres vueltas y media a la pista ha recorrido 2.100 metros. Considerando π = 3, ¿cuánto mide el radio de la pista? A) B) C) D) E)

21.

m m m m m

En la figura 18, BA, OA y OB son semicircunferencias. Si OA = OB, entonces ¿cuál es el área de la región achurada? A) B) C) D) E)

22.

60 75 100 125 150

8π 16π 32π 38π 64π

cm2 cm2 cm2 cm2 cm2

fig. 18 A

O

B

8 cm

En la figura 19, el perímetro de la circunferencia de centro O es 10π cm y BP = 8 cm. Si PC y PA son tangentes en C y A, respectivamente, ¿cuánto mide el perímetro del cuadrilátero APCO? A) B) C) D) E)

30 34 36 47 60

C

cm cm cm cm cm

• O

fig. 19

B

P

A

23.

En la circunferencia de la figura 20, el radio mide 12 cm. ¿Cuál es la longitud del arco CD? A) B) C) D) E)

4π 8π 12π 24π 48π

cm cm cm cm cm

C 60º

D

11

fig. 20

24.

En la figura 21, las tres circunferencias son concéntricas, con centro en O. Si OA = AB = BC = 2 cm, entonces el área de la región achurada es

A) B) C) D) E)

6π 4π 3π 2π π

cm2 cm2 cm2 cm2 cm2

fig. 21

60º

O A B C

25.

En el triángulo ABC isósceles rectángulo en B de la figura 22, BC = 2 cm y O es el centro del semicírculo inscrito, cuya área es C A)

2π (2 2 − 2) 2 cm2

B)

2π 2 2 + 2

C) D) E)

fig. 22

( ) 2 cm2 2π (2 3 − 2 ) 2 cm2 2π ( 2 + 1) 2 cm2 2π ( 2 − 1) 2 cm2

•OO

A

26.

En el triángulo ABC de la figura 23, puede determinar si: (1)

AC = 10 cm y AB = 12 cm

(2)

CD =

A) B) C) D) E)

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

AC = CB

y

B

CD ⊥ AB . El perímetro del ∆ADC se

C

8 cm y AD = DB = 6 cm fig. 23

A

12

D

B

27.

Se puede calcular el área del rombo de la figura 24, si: (1) (2)

AC = 8 cm y BC = 5 cm DB = 6 cm y el perímetro del rombo ABCD mide 20 cm.

A) B) C) D) E)

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

C

D

fig. 24 B

A 28.

Se puede calcular el área del hexágono ABCDEF de la figura 25, si: (1)

Se conoce el perímetro del hexágono.

(2)

ABCDEF es hexágono regular.

A) B) C) D) E)

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

E

D fig. 25

F

C

A 29.

La figura 26, muestra una circunferencia de centro O y un trapecio isósceles OABC. Se puede calcular el área de la región achurada si: (1)

30.

B

COD = 60º y CB = 6 cm

(2)

D punto medio de OA y OC = CB .

A) B) C) D) E)

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

C

B fig. 26

O

D

A

G es un punto cualquiera del interior del rectángulo ABCD de la figura 27. Se puede saber la medida del área de la región achurada si: (1)

El perímetro del rectángulo ABCD mide 18 cm.

(2)

El área del rectángulo ABCD mide 18 cm2.

A) B) C) D) E)

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

C

D

fig. 27

G A 13

B

RESPUESTAS CLAVES PÁG. 5 Ejemplos

Págs.

2 3 4

1

2

3

4

5

6

C D A

B C C

B C

D

B

C

1. 2. 3. 4. 5. 6.

C D A E D E

7. 8. 9. 10. 11. 12.

C B D D E C

13. 14. 15. 16. 17. 18.

E D B E B C

19. 20. 21. 22. 23. 24.

A C C B B A

25. 26. 27. 28. 29. 30.

E D D C C B

DOMA17

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