C u r s o : Matemática Material N° 38 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 29 UNIDAD: GEOMETRÍA RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO - ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS Determinación del plano: Un plano queda determinado por: Å

Dos rectas que se intersectan en un punto (fig. 1).

P

L1 L2

Å

Tres puntos no colineales (fig. 2).

P

A

B

Å

Por una recta y un punto no perteneciente a ella (fig. 3).

Por dos rectas paralelas (fig. 4).

P

P

fig. 2

C

L1

A

Å

fig. 1

fig. 3

L1 L2

fig. 4

EJEMPLO 1.

¿Cuál de las siguientes alternativas es falsa? A) B) C) D) E)

Un Un Un Un Un

plano plano plano plano plano

está está está está está

determinado determinado determinado determinado determinado

por una recta y un punto perteneciente a la recta. por los cuatro vértices de un cuadrilátero. por dos rectas perpendiculares. por dos lados no consecutivos de un rombo. por los vértices de un triángulo rectángulo.

DEFINICIONES POLIEDRO: Cuerpo limitado por cuatro o más polígonos donde cada polígono se denomina cara, sus lados son aristas y la intersección de las aristas se llaman vértices.

Arista Cara Vértice PRISMA: Poliedro limitado por paralelogramos (caras laterales del prisma) y dos polígonos congruentes cuyos planos son paralelos (bases del prisma). ÁNGULO DIEDRO: Es el ángulo formado por dos semiplanos, que tienen una arista común y su

medida es el ángulo rectilíneo formado por dos rectas perpendiculares a la arista en un mismo punto. Ángulo P2 Semiplano Arista diedro

P1

EJEMPLOS

1.

¿Cuánto mide el ángulo diedro formado por los planos P1 y P2 que se cortan perpendicularmente en la figura 1? A) B) C) D) E)

2.

P2

30º 45º 54º 90º 108º

fig. 1

P1

¿Cuánto mide el ángulo diedro formado por las caras laterales del prisma de la figura 2, cuya base es un pentágono regular? A) B) C) D) E)

30º 45º 54º 90º 108º

fig. 2

2

CUERPOS GENERADOS POR ROTACIÓN O TRASLACIÓN DE FIGURAS PLANAS CUERPOS DE REVOLUCIÓN

Los cuerpos de revolución se obtienen haciendo girar una superficie plana alrededor de un eje ESFERA

eje de giro

CILINDRO

CONO

TRONCO DE CONO

CILINDRO CON DOS CONOS

TRASLACIÓN: Se generan por traslación de una superficie plana:

Prisma triangular

Prisma trapezoidal

Prisma pentagonal

Prisma hexagonal

Cilindro circular recto

EJEMPLOS

1.

Dado un triángulo ABC, rectángulo en C (figura 1). rotación de dicho triángulo en torno a su hipotenusa? C

A A)

2.

B)

¿Cuál es el cuerpo generado por la

fig. 1

B C)

E)

D)

En la figura 2, se muestra un cuerpo de revolución. Este cuerpo puede ser generado por la rotación de la región fig. 2

I)

A)

Sólo I

II)

B)

Sólo II

C)

III)

Sólo III 3

D)

Sólo I y II

E)

Sólo I y III

CUADRO RESUMEN DE ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS

NOMBRE

PARALELEPÍPEDO RECTANGULAR

FORMA

h

VOLUMEN

2(ab +bh + ah)

a⋅b⋅h

6a2

a3

a

b

a

CUBO

a

a

Volumen

B PRISMA RECTO RECTANGULAR

ÁREA

h(a + b + c)+ 2B B = área basal

Bh

h

2πrh + 2πr2

πr2 ⋅ h

a

2ag + a2 g = apotema lateral

1 2 a ⋅h 3

h

a b

Área de la base por la altura

c

CILINDRO RECTO BASE CIRCULAR

• r

PIRÁMIDE RECTA BASE CUADRADA

g

h

a CONO RECTO BASE CIRCULAR

h g

πrg + πr2 g= generatriz

1 2 πr ⋅ h 3

4πr2

4 3 πr 3

•r

ESFERA

•

r

4

Volumen Área de la base por la altura dividido por tres

EJEMPLOS

1.

El área de la esfera cuyo radio mide 6 cm es A) B) C) D) E)

2.

cm2 cm2 cm2 cm2 cm2

¿Cuál es el volumen del cono generado por la rotación de un triángulo rectángulo isósceles, en torno a uno de sus catetos de longitud 3 cm? A) B) C) D) E)

3.

16π 36π 72π 144π 288π

3π cm3 6π cm3 9π cm3 27π cm3 Se requiere información adicional

¿Cuál es el área y el volumen del prisma recto de base triangular de la figura 1 cuyas aristas miden 2 cm? Área

A) B) C) D) E)

6 + 3 cm2 12 + 3 cm2 12 + 2 3 cm2 12 + 2 3 cm2 12 + 2 3 cm2

Volumen

3 cm3 3 cm3 3 cm3

fig. 1

2 3 cm3 4 3 cm3

5

PUNTOS EN EL ESPACIO

En la figura 1 observamos tres ejes X, Y, Z mutuamente perpendiculares que generan también tres planos perpendiculares XY, XZ, y el YZ. El paralelepípedo del dibujo, tiene tres de sus vértices en los ejes en tanto que el punto K está en el plano YZ, el punto L, en el plano XZ y el punto M en el plano XY, pero el punto A está “suspendido” en el espacio encerrado por los tres planos. Este punto A tiene coordenadas (a, b, c). Z c

K

fig. 1

A

L

b a

Y

M

X

EJEMPLOS

1.

¿Cuál es la distancia entre el origen de coordenadas y el punto (1, 1, 1)? A) B) C)

1 3 2

D) E)

2.

3 3

3

El cuadrado ABCD de lado 4 cm se ubica en el plano XY, y el eje Z pasa por el punto de intersección de los diagonales del cuadrado como se ilustra en la figura 2. Si el lado DA es paralelo al eje Y, ¿cuáles son las coordenadas del vértice C? Z A) B) C) D) E)

(2, -2, 4) (-2, 2, 0) (0, -2, -2) (-2, -2, 0) (2, 2, 0)

C

D X 6

fig. 2

B

A

Y

EJERCICIOS

1.

El cuadrilátero ABCD es un rectángulo (figura 1). Si AD = 2DC = 2x , entonces el área del cilindro generado al rotar el rectángulo respecto del lado AD es A) B) C) D) E)

4π x2 6π x2 8π x2 12π x2 16π x2

D

fig. 1

A

2.

B

Un cuadrado de lado 3 cm se traslada 4 cm apoyado sobre uno de sus lados en un plano perpendicular a él, como se muestra en la figura 2. ¿Cuál es el volumen del cuerpo generado? A) B) C) D) E)

3.

C

9 12 27 36 64

cm3 cm3 cm3 cm3 cm3

fig. 2

La mitad de cada una de las caras de un cubo se ha achurado (fig. 3). Si la superficie total achurada del cubo es de 48 cm2, ¿cuál es el volumen del cubo? A) B) C) D) E)

64 96 128 192 256

cm3 cm3 2 cm3 cm3 cm3

fig. 3

7

4.

En la figura 4, ¿cuánto mide el menor ángulo diedro formado por el plano ABCD y una de las caras del paralelepípedo rectangular de aristas 4, 4 3 y 10?

A) B) C) D) E)

3º 2 3º 30º 60º 90º

B

108π cm3 36π cm3 27π cm3 18π cm3 6π cm3

fig. 5

Al desplazar 3 cm un triángulo equilátero de altura 3 cm, se obtiene un prisma recto. ¿Cuál es el área del cuerpo, en centímetros cuadrados?

A) B) C) D) E)

7.

4 3

Dentro de una caja cúbica cuyo volumen es 216 cm3, es colocada una pelota que es tangente a las caras del cubo (fig. 5). ¿Cuál es el volumen de la pelota? A) B) C) D) E)

6.

fig. 4 4

D A

5.

C

10

3+

fig. 6

3

3 3 6 3

18 + 6 18 + 2 3

3 cm

Las pelotas de tenis vienen envasadas en tarros cilíndricos en los cuales caben exactamente tres de ellas, tal como se muestra en la figura 7. ¿Cuál es el volumen del tarro si el radio de cada pelota es 4 cm? (considere π = 3)

A) B) C) D) E)

1.152 952 576 288 192

cm3 cm3 cm3 cm3 cm3

fig. 7

8

8.

En la figura 8, se muestra un cuerpo de revolución. ¿Con cuál(es) de las opciones siguientes se puede generar el cuerpo al rotar la figura plana en torno al eje AB?

fig. 8

I)

A

B

A) B) C) D) E)

9.

A

B

III)

A

B

Sólo con I Sólo con I y con II Sólo con I y con III Sólo con II y con III Con I, con II y con III

En un cubo de arista a se inscribe un triángulo como muestra la figura 9. Entonces, el triángulo es A) B) C) D) E)

10.

II)

equilátero rectángulo isósceles rectángulo escaleno isósceles obtusángulo escaleno no rectángulo

fig. 9

Si las alturas y las bases de un cono y de un cilindro son iguales, entonces la razón entre el volumen del cono y el volumen del cilindro, respectivamente, es A) B) C) D) E)

1 3 1 9 1

: : : : :

3 1 9 1 27

9

11.

En la figura 10, la pirámide ABCOE está inscrita en el cubo. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I)

La diferencia entre el volumen del cubo y la pirámide es el doble del volumen de la pirámide. El volumen del cubo es 3 veces el volumen de la pirámide. El área del cubo es 3 veces el área de la pirámide.

II) III) A) B) C) D) E)

Sólo Sólo Sólo Sólo Sólo

I II I y II I y III II y III

E

fig. 10 C

O A

12.

La figura 11 representa una piscina generada al trasladar n metros el trapecio achurado. El largo de la piscina es 8 m y tiene 1,5 m de profundidad mínima y 2,5 m de profundidad máxima. Para que el volumen de la piscina sea 56 m3 el valor de n debe ser A) B) C) D) E)

13.

1,5 2,5 3,5 4,0 4,5

n

m m m m m

fig. 11

Al sumergir completamente una piedra dentro de un tubo cilíndrico de 5 cm de radio (fig. 12), el nivel del agua que contiene sube 4 cm. ¿Cuál es el volumen de la piedra? (considere π = 3,14) A) B) C) D) E)

14.

B

314,0 cm3 251,2 cm3 125,6 cm3 31,4 cm3 Falta información para determinarlo

fig. 12

En el cubo de la figura 13, la arista es 4 cm y un vértice está en el origen (0, 0, 0). Si el punto A tiene coordenadas (4, 2, 0) y cada arista se ha dividido en cuatro partes iguales, ¿cuáles son las coordenadas del punto B? z A) B) C) D) E)

(3, (4, (3, (3, (4,

3, 3, 4, 4, 3,

fig. 13

3) 4) 3) 4) 3)

B

y A

x 10

15.

Los puntos A, B, C y D de la figura 14, son los vértices de la base de un cubo. ¿Cuál de los puntos de las alternativas no es uno de los 4 vértices que faltan del cubo? A) B) C) D) E)

(2, (5, (1, (5, (1,

1, 2, 6, 6, 2,

z

4) 4) 4) 4) 4)

7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7

fig. 14

1 2 3 4 5 6 7

y

B

C A

D

x

16.

En la figura 15, el cubo tiene de arista 4 cm. ¿Cuáles son las coordenadas del centro de gravedad del cubo? z A) B) C) D) E)

(0, (4, (2, (0, (2,

0, 4, 2, 0, 2,

0) 4) 0) 2) 2)

fig. 15

4 4

y

4

x

17.

En la figura 16, se tiene un prisma recto cuya base es un hexágono regular de lado altura del prisma es 12 . ¿Cuál es el volumen del prisma?

A) B) C) D) E)

6· 5 · 15 3 2 15 2 45 3 45

5 y la

12

12

fig. 16 5

11

18.

19.

20.

Las caras A y B de la caja (fig. 17) son cuadradas y el resto son rectangulares. El volumen de la caja se puede determinar si: (1)

El área de una de las caras cuadradas es de 36 cm2.

(2)

El perímetro de una de las caras rectangulares es de 32 cm.

A) B) C) D) E)

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

B A

fig. 17

El peso del ladrillo de la figura 18, se puede determinar si: (1)

1 cm3 del material con que ha sido fabricado pesa 2 gramos.

(2)

Medio kilo equivale a 250 cm3 del material ocupado.

A) B) C) D) E)

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

fig. 18

9 cm

1 cm

9 cm

13 cm

agujeros

Se puede determinar la razón entre los volúmenes de los cuerpos generados por los triángulos ABC y DEF de la figura 19, al hacerlas girar en torno al eje indicado si: (1)

ΔABC ≅ ΔDFE

(2)

BC = EF = 2 cm

A) B) C) D) E)

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

fig. 19

C F 60°

D

60°

A

E

B

RESPUESTAS Ejemplos Págs.

1 2 3 5 6

1

2

A D A D D

E E C D

CLAVES PÁG. 7

3 1. 2. 3. 4. 5.

D

B D A C B

6. 7. 8. 9. 10.

E A C A A

11. 12. 13. 14. 15.

C C A B A

16. 17. 18. 19. 20.

E E C D D

DOMA38

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