Escuela de Economía – UTPL Cálculo I Autora: Ing. Ana Lucía Abad Ayavaca

UNIDAD III: APLICACIONES ADICIONALES DE LA DERIVADA Estimado estudiante continuando con el estudio, determinaremos el comportamiento de una función en un intervalo, es decir, cuestiones como: ¿Tiene la función un valor máximo?, ¿Un valor Mínimo?, ¿Dónde es creciente la función?, ¿Dónde es decreciente?. En este capítulo contestaremos este tipo de preguntas gracias a la DERIVADA. Veremos además por qué tales preguntas son importantes en las aplicaciones.

Funciones Crecientes y Decrecientes En el texto base en el capítulo tres sección uno, correspondiente a este tema nos presenta la figura 3.2a la misma que muestra cuando un punto se desplaza en el intervalo (a,b), los valores de la función crecen cuando la abscisa crece, decimos entonces que la función es CRECIENTE en ese intervalo. Mientras que en la figura 3.2.b en el intervalo (a,b) los valores de la función decrecen cuando la abscisa crece, por lo que la función es DECRECIENTE en ese intervalo. Para recordar:

Si una función f es creciente o decreciente en un intervalo se dice entonces que f es monótona en el intervalo

. Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Cálculo para Administración, Economía y Ciencias Sociales”.

Extremos Relativos Se dice que una función f tiene un VALOR MÁXIMO RELATIVO en c si existe un intervalo abierto que contenga a c, en el cual f esté definida, tal que f(c) > f(x) para toda x en este intervalo. 1 1

Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Cálculo para Administración, Economía y

Ciencias Sociales”, Colombia, Edit. Mc Graw-Hill, pag.167 (#36) Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador 3.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ec/).

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Se dice que una función f tiene un VALOR MÍNIMO RELATIVO en c si existe un intervalo abierto que contenga a c, en el cual f esté definida, tal que f(c) < f(x) para toda x en este intervalo. 2

Es decir, a un "pico" (punto más alto) de la gráfica de una función f se lo llama Máximo relativo de f, y, a un "valle" (punto más bajo) se lo llama Mínimo relativo de f. Si la función f tiene un máximo relativo o un mínimo relativo en el punto c, entonces se dice que f tiene un EXTREMO RELATIVO EN c.

El punto de coordenadas (c,f(c)) se denomina PUNTO CRITICO de primer orden o simplemente punto crítico. El número c en el dominio de f se denomina NUMERO CRITICO si f'(c) = 0 ó f'( c) no está definida.

Para Reforzar:

Estimado estudiante es necesario que analice la figura 3.7 y la figura 3.8 del capítulo tres, donde muestra funciones con puntos críticos, para que comprenda la definición anterior.

Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Cálculo para Administración, Economía y Ciencias Sociales”.

Criterio de la primera derivada para extremos relativos.- Aplicaciones. Señor estudiante tenga presente que la primera derivada de una función puede utilizarse para determinar dónde crece y dónde decrece la función, y, sirve además para localizar los puntos críticos y poder determinar los valores máximos y mínimos (puntos estacionarios) si es que existen.

2

Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Cálculo para Administración, Economía y

Ciencias Sociales”, Colombia, Edit. Mc Graw-Hill, pag.167 (#36)

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En el texto base capitulo tres, tenemos el Criterio de la primera derivada para extremos relativos, léalo en forma pausada para que lo entienda y luego pueda resolver los ejercicios. A continuación analizamos el criterio.

Para Memorizar:

Es necesario analizar el criterio de la primera derivada Este criterio lo que nos dice es que el punto crítico (c, f( c)) es: Un máximo relativos: a la izquierda de c (número crítico) la función es creciente (f'(x)>0) y a la derecha la función es decreciente (f'(x)0). No es un máximo relativo ó un mínimo relativo cuando a la izquierda y a la derecha de c crecen ó decrecen, es decir tienen el mismo signo.

Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Cálculo para Administración, Economía y Ciencias Sociales”.

Estimado estudiante diríjase al texto base en donde se encuentra el PROCEDIMIENTO básico para graficar funciones utilizando la primera derivada, léalo para que lo pueda analizar y realizar las gráficas de funciones ya que es de mucha utilidad.

A continuación vamos a ilustrar las aplicaciones de criterio de la primera derivada resolviendo el ejercicio siguiente:

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Ejemplo 47 3 Para producir x unidades de cierto artículo, un monopolista incurre en un costo total de C ( x) = 2 x 2 + 3 x + 5 Y obtiene el ingreso total de R(x) = x p(x), donde p(x) = 5-2x es el precio al que se venderán las x unidades. Halle la función utilidad P(x) = R(x) - C(x) y trace la gráfica. ¿Para qué nivel de producción parece maximizarse la utilidad? Solución R(x) = x p(x) como p(x) = 5 - 2x R(x) = x (5-2x) = 5x - 2x2 P(x) = R(x)-C(x) P(x) = 5x - 2x2 - (2x2 + 3x + 5) P(x) = 5x - 2x2 - 2x2 - 3x - 5 P(x) = -4x2 + 2x - 5 (función de utilidad) Derivando tenemos: P'(x) = -8x + 2 como P'(x) = O para obtener los números críticos, tenemos: O = -8x + 2 x = 2/8 x = 0.25 Por lo tanto, se obtiene la máxima utilidad P(x) cuando x = 0.25.

Para Reforzar Como trabajo debe, graficar la función P(x) para determinar la máxima utilidad. (cuando x=0,25, P(0,25)=-4,75). Le dejo como tarea que grafique la función utilizando el procedimiento anterior.

Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Cálculo para Administración, Economía y Ciencias Sociales”, Colombia, Edit. Mc Graw-Hill, pag.198, ejercicio 56 Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador 3.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ec/).

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Ejemplo 48 f(x) = x4 - 2x2 Solución f’(x) = 4x3 - 4x Números críticos: x = -11, x = 0 y x = 1. Intervalos: ( −∞,−1)(−1,0)(0,1)(1,+∞ ) f ( −1) = −1( −1,−1) Mínimo relativo. f (0) = 0(0,0) Máximo relativo. f (1) = 1(1,−1) Mínimo relativo.

− ∞ ≤ x ≤ −1

INTERVALO Valor

de

−1 ≤ x ≤ 0

−2

−

prueba Signo de f´(x) conclusión

De-creciente

1 2

+ Creciente

0 ≤ x ≤1

1 ≤ x ≤ +∞

1 2

2

-

+

Decreciente

Creciente

Ejemplo 49

f ( x) =

x2 ( x + 1)

Solución

f ' ( x) =

x2 + 2x ( x + 1) 2

Números críticos: x = -2, x = -1 y x = 0. Intervalos: (−∞,−2)(−2,−1)( −1,0)(0,+∞ ) f ( −2) = −2( −2,−2) Máximo relativo f (0) = 0(0,0) Mínimo relativo.

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− ∞ ≤ x ≤ −2

INTERVALO

− 2 ≤ x ≤ −1

−3

Valor de prueba Signo de f´(x)

−

+

conclusión

−1 ≤ x ≤ 0

0 ≤ x ≤ +∞

−3 2

1

+

-

3 2

-

Creciente

Decreciente

Creciente

Decreciente

Ejemplo 50 f ( x) = x 3 −

3 2 x 2

Solución f ' ( x) = 3 x 2 − 3 x Números críticos: x = 0 y x = 1. Intervalos: ( −∞,0)(0,1)(1,+∞ ) f (0) = 0(0,0) Máximo relativo.

1 1 f (1) = − (1,− ) Mínimo relativo 2 2 INTERVALO

−∞ ≤ x ≤0

Valor de prueba Signo de f´(x) conclusión

0 ≤ x ≤ −1

1 ≤ x ≤ +∞

−1

1 2

2

+

-

X

Creciente

Decreciente

Creciente

¿Qué le pareció este procedimiento? Mucho más sencillo, verdad. Le sugiero que lo utilice. ¡Continuemos con los contenidos!

Concavidad y Puntos de Inflexión Concavidad. Estimado estudiante tenga presente que la noción de concavidad se utiliza para describir el incremento y decremento de la pendiente de la tangente a una curva.

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Una vez concluido el análisis de los contenidos sobre concavidad y puntos de inflexión, es indispensable revisar los siguientes ejemplos, y de esta manera se mantendrá claros los conceptos analizados.

Ejemplo 51 Determinar los intervalos donde es, cóncava, hacia arriba y cóncava hacia abajo la siguiente función. Hallar los puntos de inflexión. f ( x) =

1 3 x −x 3

Solución La primera derivada es f ' ( x ) =

3 2 x −1 3

La segunda derivada es: f ' ' ( x ) = 2 x Intervalos: ( −∞,0)(0,+∞ ) f (0) = 0(0,0) Punto de inflexión.

INTERVALO

−∞ ≤ x ≤0

0 ≤ x ≤ +∞

−1

1

+

-

Valor de prueba Signo de f’’(x) Conclusión

Cóncava hacia arriba

Cóncava hacia abajo

Fuente: Abad Ana: (2009): “Guía Didáctica”

Ejemplo 52 Determinar los intervalos donde es, cóncava, hacia arriba y cóncava hacia abajo la siguiente función. Hallar los puntos de inflexión.

(

f ( x) = 6 x 2 + 3

)

−1

Solución La segunda derivada es: f ' ' ( x) =

(

)

36 x 2 + 1

(x

2

)

+3

3

Números críticos: x=-1 y x=1 Intervalos: ( −∞,−1)( −1,1)(1,+∞ ) Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador 3.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ec/).

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f ( −1) = 1.5( −1,1.5) Punto de inflexión. f (1) = 1.5(1,1.5) Punto de inflexión.

INTERVALO

− ∞ ≤ x ≤ −1

−1 ≤ x ≤ 1

1 ≤ x ≤ +∞

−2

0

2

+

-

+

Valor de prueba Signo de f’’(x) conclusión

Cóncava hacia arriba

Cóncava hacia abajo

Cóncava hacia arriba

Fuente: Abad Ana: (2009): “Guía Didáctica”

Ejemplo 53 f ( x) =

x2 − 1 2x + 1

Solución La segunda derivada es: f ' ' ( x) = Números críticos: x = −

12 x − 6 (2 x + 1)4

1 2

1 1 Intervalos: (−∞,− )( − ,+∞ ) 2 2

INTERVALO

−∞ ≤ x ≤ − 1

Valor de prueba Signo de f’’(x) conclusión

2

− 1 ≤ x ≤ +∞ 2

−2

0

+

-

Cóncava hacia arriba

Cóncava hacia abajo

Fuente: Abad Ana: (2009): “Guía Didáctica”

Ejemplo 54 f ( x) = x 4 − 4 x 3

Solución La segunda derivada es: f ' ' ( x) = 12 x 2 − 24 x Números críticos: x=0 y x=2 Intervalos: ( −∞,0)(0,2)( 2,+∞ )

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Es probable que el interés por aprender Calculo I, resulte un tanto difícil; ánimo, tenga presente que la utilización de todos los recursos que dispone la universidad le ayudarán a familiarizarse con los contenidos.

Aplicaciones a la Economía Los métodos para calcular los máximos y mínimos de las funciones se pueden aplicar a las soluciones de algunos problemas prácticos. Para resolverlos hay que transformar sus enunciados en fórmulas, funciones o ecuaciones. Como hay muchos tipos de problemas en las aplicaciones, es difícil enunciar reglas específicas para encontrar sus soluciones. Sin embargo, puede desarrollarse una estrategia general para abordar tales problemas.

Los siguientes enunciados son una guía para resolver estos problemas que son de utilidad: 1. Leer cuidadosamente el problema varias veces y pensar en los hechos dados y en las cantidades desconocidas que se trata de encontrar. 2. De ser posible, hacer un croquis o un diagrama que incluya los datos pertinentes introduciendo variables para las cantidades desconocidas. 3. Enunciar los hechos conocidos y las relaciones entre las variables. 4. Determinar de cuál de las variables se desea encontrar el máximo o el mínimo y expresar esta variable como una función de UNA de las otras variables. 5. Encontrar los números críticos de la función obtenida en el paso 4 e investigar si corresponden a máximos o mínimos. 6. Verificar si hay máximos o mínimos en la frontera del dominio de la función que se obtuvo en el paso 4. 7. No se desanime si no puede resolver algún problema. Adquirir habilidad para resolver problemas aplicados toma una gran cantidad de esfuerzo y práctica. Hay que seguir intentando, recuerde que el que PERSEVERA, TRIUNFA.

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