ESCUELA DE AVIACIÓN MILITAR CUERPO DE CADETES

UNIDAD X - GEOMETRIA Programa Analítico Segmentos. Operaciones con segmentos. Ángulos. Clasificación de los ángulos: Complementarios, suplementarios, adyacentes, alternos-internos, opuestos por el vértice. Figuras planas. Triángulos rectángulos y oblicuángulos, equilátero, isósceles y escaleno. Semejanza de triángulos. Perímetro y área. Cuadriláteros. Rectángulo y rombo. Perímetro y área de cuadriláteros. Circunferencia y círculo. El número π. Aplicaciones en la resolución de problemas simples de figuras planas: “Teorema de Pitágoras” – “Teorema del coseno”. Cuerpos geométricos básicos: cubo, prisma, cono, cilindro, esfera. Volumen de cuerpos geométricos. Conocimientos previos Razones y proporciones. Cálculo de medios y extremos. Croquización de triángulos, cuadriláteros, arcos y círculos. Unidades de medida de longitudes, ángulos, áreas y volúmenes. Resolución de ecuaciones lineales y cuadráticas. Bibliografía Kacsor y Machiunas. Matemática 8 EGB. (Capítulos 10 y 11). Editorial Santillana (2002). Arroyo, Berio y D´Albano. Matemática 3 Activa. (Tramo D y Tramo E). Editorial Puerto de Palos (2003). Diana Buteler. Matemática 2 Polimodal. (Capítulo 5). Editorial Masters S.R.L. (2000). Vázquez, Tapia y Tapia. Matemática 4. (Capítulo 18). Editorial Estrada (1993). Ejercitación 1) En un paralelogramo dos de sus lados consecutivos miden, respectivamente, 10 m y 20 m, mientras que el ángulo comprendido entre ellos es de 60º. Calcular las longitudes de cada una de las diagonales del paralelogramo. R: 17,32 m y 26,46 m 2) Calcular el área de un pentágono regular si cada uno de sus lados mide 0,50 m. (Observación: se sugiere descomponer el pentágono en cinco triángulos isósceles idénticos y relacionar las medidas lineales y angulares en uno de ellos). R: Área = 0,430119 m2 3) Calcular el volumen de un prisma si su base es un triángulo equilátero de 0.8 m de lado y sus aristas (perpendiculares al plano de base) miden 2.5 m. R: Volumen = 0,692820m3

4) Calcular el volumen de un cubo, sabiendo que sus diagonales interiores, como la A’C de la figura adjunta, miden 1 metro. (Observación: se sugiere relacionar las longitudes de los segmentos contenidos en el plano de base ABC con los contenidos en el plano perpendicular al plano de base que pasa por A’C).

ESCUELA DE AVIACIÓN MILITAR CUERPO DE CADETES

R: Volumen =

3 3 3 m ≅ 0,19245 m 9

5) Calcular el radio de la base circular de un cono recto, sabiendo que encierra un volumen de 24p p cm3 y que su vértice se encuentra a 8 cm por encima del plano de base. R: radio = 3cm

6) Calcular cuánto miden los ángulos α y β. R: α = 140º; β= 65º

7) Calcular los ángulos α, β y γ de la figura.

8) Calcular el ángulo β de la figura.

9) Resolver el triángulo y calcular su perímetro y su área, según los datos consignados en cada caso: a) a = 16; c = 10; b) α = 60º; β = 50º; c) α = 35º; γ = 70º; d) a = 50; b = 30;

β = 40º b = 15 b = 20 c = 35

10) Calcular el área del sector sombreado, si el lado del cuadrado mide 2 metros. R: Area ≅ 0, 57 m2.

11) En el rectángulo de la figura el área sombreada es de 15 m2. ¿Cuánto miden las diagonales? R: Diagonal ≅ 11,7 m

ESCUELA DE AVIACIÓN MILITAR CUERPO DE CADETES

12) Calcular el valor del lado x, sabiendo que el área del cuadrado menor (sombreado), es la mitad de la del mayor. R: 4 2 ≅ 5,66

13) Calcular el área del triángulo rayado en la figura. R: 8

14) En el trapecio dado, calcular el lado L, siendo el área igual a 48 cm2. R: L ≅ 8,9 cm.

15) Calcular el área del sector de corona circular sombreado.

16) Mediante la aplicación del teorema de Pitágoras, determinar la ecuación para calcular el radio R del arco AB de la figura, en función de la longitud c de su cuerda y de la de su flecha f. Sol.: R =

f2 +c

2

4

2f

17) Determinar la altura y el área del rombo de la figura, siendo: α =

β

3

y L = 8 cm.

ESCUELA DE AVIACIÓN MILITAR CUERPO DE CADETES

18) Calcular el área del triángulo sombreado ADC, contenida en el triángulo rectángulo ABC. El lado AD es perpendicular al lado BC. (Observación: Emplear semejanza de triángulos). R: Area = 8,64 m2.

19) Un anillo circular tiene una superficie de 20π cm2, siendo el radio de la circunferencia interior de 4 cm. ¿ Cuál es el diámetro de la circunferencia exterior? R: Diámetro = 12 cm.

20) Determinar el radio externo y el radio interno de la corona circular que se indica, sabiendo que su diferencia es de 2 cm y que el área de la corona es de 50,2654 cm2. R: R = 5 cm; r = 3 cm.

21) Calcular cuánto mide el lado x del cuadrado de la figura, si el área sombreada vale 1,9314cm2. R: x = 6 cm.

22) Un cilindro de base circular de radio 6 cm, tiene un volumen de 180π cm3. Determinar la altura del cilindro. R: Altura = 5 cm 23) Calcular cuánto miden el radio de la base de un cilindro y su altura, sabiendo que el área lateral del cilindro vale 75,4 m2 y su volumen 75,4 m3. (Observación: el área lateral no incluye las bases circulares). R: Radio = 2 m; Altura = 6 m. 24) El volumen de una esfera es: V =

32 π . Determinar su diámetro. 3

ESCUELA DE AVIACIÓN MILITAR CUERPO DE CADETES

25) Un avión acrobático describe trayectorias circulares verticales, con altura máxima de 600 m y mínima de 60 m, respecto del suelo, ¿Cuántos metros recorrerá en dos giros completos? Ρ: 1080π metros. EJERCICIOS RESUELTOS

Ejercicio 18 Por semejanza de triángulos, tendremos:

AC

=

AD

; Despejando y reemplazando: AD =

BC

AB

AD =

6m 24 .8 m = m 10 m 5

AC BC

.AB

Nuevamente, por semejanza de triángulos, tendremos: AC CD = ; Despejando y reemplazando: BC AC

CD =

AC BC

.AC =

6m 18 .6 m = m 10 m 5

 24 m . 18 m     AD )( . CD )  5   5  ( 2 = = 8,64 m Finalmente, el área del triángulo vale : Area = 2

2

Ejercicio 23 Area lateral del cilindro: A = 2.π.R. h = 75,4 m2 Volumen del cilindro:

(1)

V = π.R2. h = 75,4 m3

(2)

Despejando h de (1) y reemplazando en (2), tendremos: 75,4 m 2 h= 2 πR

(3) ;

2

πR .

75,4 m

2 3

= 75,4 m ;

Simplificando y despejando R:

2 πR

3

R=

75,4 m .2 π 2

= 2m ;

Reemplazando en (3): h =

75,4 m π En definitiva: Radio de la base del cilindro R = 2m;

75,4 m 2 = 6m 2π2m

Altura del cilindro R = 6m