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UNIVERSIDAD
AUTONOMA
FACULTAD
DE NUEVO
DE CIENCIAS
ESCUELA
QUIMICAS
DE GRADUADOS
ADMINISTRACION
LEON
E INGENIERIA
EN INDUSTRIAL
V A L I D A C I O N M A T E M A T I C A DE U N N U E V O M E T O D O P A R A S O L U C I O N DE A L G U N O S TIPOS DE PROBLEMAS R E L A C I O N A D O S C O N ALGEBRA L I N E A L
T
E
S
I
S
QUE EN O P C I O N A L G R A D O DE M A E S T R I A EN INGENIERIA
INDUSTRIAL
C O N ESPECIALIDAD EN S I S T E M A S A A N T O N I O M E N D E Z C A V A Z O S M. EN C.
WWIVEMSSMAB
A WTOWGBBA
FACUJLTAM
ME
ESCWEHA ABHSeEWE$TRACKt»lB?
METODO TIPOS
PARA
MAESTREA COM
SOLUCION
DE PROBLEMAS
MARCO
DE DE
SMBWSTMEAL
UN
NUEVO
ALGUNOS
RELACIONADOS
CON
LINEAL
Em
$ S $
oipcsom
MM
a l
g r a b o
HJXGI8 3FEMIR HA JfM*
mSpBCmiLI&ASt P
SMC.
Effl
E3J&EBIEERMA
MATEMATICA
Tf E
qbe
QESHMCAS
GRABWADOS
E
ALGEBRA
WWEWO
CEEWCIAS
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VALIDACION
BE
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WS TTM. BAL
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MAS
A CATAZOS
U .
MIS
u
tf>
fOMOO
En e l
transcurso
ción matemática, lución
asi
de a l g u n o s
de e s t e
trabajo
como e j e m p l o s
problemas
Método que fue d e s c u b i e r t o
presentarse
relacionados
con A l g e b r a
de manera e m p í r i c a
Nuevo
Mecánica y E l é c t r i c a
de e c u a c i o n e s
lor
lineales,
obtención
de l a
lineal.
ventaja
el
proceso intermedio
te y el
obtención
asf
por e l
Ingenie-
F a c u l t a d de
casos
Ingede
los
necesario
para
obtención
la
del
fraccionarios
por
respuesta,
corrección
tiene
durante
l o que f a c i l i t a
de
la
-
so-
importanfracciones
evitándose
de d i c h o
va_
progra-
que e s t e nrétodo
truncamientos
de un e r r o r en l a
sistemas
de una ma
e x p u e s t o s y además y más
aún es el que se e v i t a r á la acumulación
de
método s i m p l e x de
observar
de s o l u c i ó n ,
antes
adjunta
de una m a t r i z ,
de nunca g e n e r a r e l e m e n t o s
de l o s
trabajo
a la s o l u c i ó n
de l a
como a l
Donde podremos
la
lución
Lineal,
U n i v e r s i d a d Autónoma
aplicado
inversa
de un d e t e r m i n a n t e ,
mación
s£
León.
D i c h o método l o veremos
triz,
de l a
valida-
de un nuevo método p a r a
r o Rene M a r i o M o n t a n t e P a r d o , M a e s t r o de l a niería
la
error.
así
Veamos p r i m e r o (sin
el
método como una s e r i e
fundamentad* ón materna t i c a )
de una m a t r i z
regular
aplicándolo
en una m a t r i z En l a
Generamos Io
una s e g u n d a
Seleccionaremos diagonal a
matriz 3
4
-3
-4
1
2
1
- 3
1
-5
2°
Hagamos
3® Dejemos
cero
igual
Calcular
1
'j # p.
todos
los
ejemplo
en el a^
elementos
orden a ^ »
uno de l a
-
a
= 3
de l a columna
del
pivote
ex-
mismo
Para l o cuál l
en cada p a s o como e l e m e n t o p i v o t e
para n u e s t r o
c e p t o él
4o
matriz.
mayor ¿ 0 ( s e l e c c i o n a d o s
nn' '
realizar
a l a t r a n s f o r m a c i ón
5
i
a
identidad.
- 2 A
de p a s o s
el
toda l a
resto
fila
de l o s
del
pivote.
elementos
de l a nueva
matriz.
11 ama remos: Al
elemento en l a
posición
i,j
Al
e l e m e n t o en l a
posición
i,
de l a m a t r i z
actual.
j de l a m a t r i z
p o r ge
nerar. «
# p.a.
Número p i v o t e =
E.C.R.P.
Numero pi v o t e a c t u a l . =
Al
el emento c o r r e s p o n d í ente
r e n g l ó n del E.C.C.P.
anterior.
=
al
a.
pivote.
Al elemento c o r r e s p o n d i e n t e columna del p i v o t e .
b u s c a n d o en el J
al
a.
b u s c a n d o en l a J
-
Entonces
para
=• J(a. J
las
filas
) (# P . A . )
-
de l a
(E.C.C.P.)
del
pivote
(E.C.R.P.)]
calcularemos
/ #p.
J
Cálculos
para
la segunda
(Suponiendo
#p.
22
=
( 4
)
( 3
*23
•
C-3
)
C 3
•
(-4
C 3
a
diferentes
= 1) 22 -34
( 5
) (5 ) = ) (3 ) =
( 7
)(
( 7
) (5 ) )( 3 ) ) (- 2 ) ) (5 ) )( 3 )
( 3 ( 3
) -
( 7
( 3
) -
( 4
)
( 3
) -
( 4
)
(
) -
( 4
a
32
-
(
a
33
=
( 2
a
34
=
( 1
a
42
=
(-3
a
43
=
( 1
a
44
=
(-5
( 3
3
-
-
) ) ) ) )
) ) ) ) )
1
matriz.
í -2 J
( 5 ) ( 5
-2
-27 17
) =
-29
= -
-13 -
1
=
-17
=
-27
Quedándonos " 3
-2
5
0
22
•34
-27
0
17
•29
-13
0
-1
-17
-27 _
Segu nda Matri z.
Generación
de una t e r c e r a ,
a) Tomamos el
nuevo p i v o t e
cuarta, (el
3 "
....,
enésima
elemento s i g u i e n t e
matriz. en l a
diagonal
mayor). b)
Pasemos
unos e j e s
imaginarios
sobre la
pi v o t e . c)
Dejemos
igual
la
fila
del
pivote.
f i l a y l a columna
del
d) Hagamos
cero
los elementos
de l a
e) Hagamos
cero
los
del
elementos
tenecen a la diagonal necen a f)
mayor.
columna
II y III
E Igual
del
pivote ecepto
cuadrante,
al
s 1 no
nuevo p i v o t e
s1
solo
los
elementos
del
I y
IV cuadrante
(a-
)
P.A.)
-
(E.C'.C.P.)
#
a
*13
'
( 5 )
(22)
-
ejemplo.
14
(-2)
(-34)
(-2)
(-27)
(17)
(-34)
20
(17)
(-27)
21
- (-1)
(-34)
-136
(-27)
-207
3
(-29)
(22)
-
(22)
3
(-18)
34
(22)
3
(-17)
43
a}4
P.
3
*33
k
(E.C.R.P.)
p a r a g e n e r a r una t e r c e r m a t r i z en n u e s t r o
( 3 )
14
(22)
3 *
pert¿
p o r l a mis.
n"a12
¡
11
=
a
U
a
22 -
a
2j
a
12
Por 7o que s i e l e l e m e n t o fue del t i p o I . que a l f i n a l de c u e n t a s es g e n e r a d o por el t e r o s menos e l p r o d u c t o de o t r o s d o s .
S e r á un e n t e r o y a p r o d u c t o de dos er^
6i el a** buscado perteneció en l a n a t r i z a n t e r i o r h (priaera) a una f i l a d i f e r e n t e de l a d e l p i v o t e s e r á a h o r a generado por l a fórmula: _
a
22
i2
a
J
2j
H
E x p r e s a d o l o s elementos de l a segunda matrixde l o s de l a p r i m e r a . a* Ij
=
a.
a_, 11
-
a,_ xl
a. lj
a* 22
=
a
a,, 11
-
a2o 1n
a-> 0 12
a* 2j
-
a->2j
an
"
a
22
s u b s t i t u y e n d o en l a e c u a c i ó n
a
del
2l
0 buscando:
enfunción
Con l o a n t e r i o r hemos d e m o s t r a d o q u e t o d o s l o s e l e m e n t o s d e l a t e r c e r m a t r i z s o n e n t e r o s y como l a b a s e d e e s t a demos t r a c i ó n e s t a en q u e l o s e l e m e n t o s d e l a s d o s m a t r i c e s a n t e r i o r e s eran enteros. E n t o n c e s a l g e n e r a r una c u a r t a m a t r i z e l p r o c e d i m i e n t o y f ó r m u l a s s e r á e l mismo y s e r á g e n e r a d a a p a r t i r d e l o s e l e m e n t o s e n t e r o s de l a s m a t r i c e s a n t e r i o r e s generándose n e c e s a r i a mente una c u a r t a m a t r i z formada por elementos e t e r o s por l o q u e en g e n e r a l y d e e s a m a n e r a podemos l l e g a r « una e n é s i m a m a t r i z cuyos elementos sean e n t e r o s . Además d e l a c u a l i d a d y a d e m o s t r a d a podemos d e d u c i r p a r t i e n d o de l o a n t e r i o r a l g u n a s o t r a s c a r a c t e r í s t i c a s v e n t a j o s a s d e l nuevo método. S i i m a g i n a m o s un p a r d e e j e s q u e p a s e n s o b r e la fila y l a columna d e l e l e m e n t o p i v o t e n o s d a r e m o s c u e n t a que s o l o s e r á n e c e s a r i o c a l c u l a r para l a s i g u i e n t e matriz los elementos que s e e n c u e n t r a n d e n t r o d e l p r i m e r y c u a t r o c u a d r a n t e ya oue 1 l o s e l e m e n t o s d e l s e g u n d o y t e r c e r c u a d r a n t e sera ! c e r o s i no p e r t e n e c e n a l a d i a g o n a l p r i n c i p a l , e i g u a l a l nuevo elemento pivote s i pertenecen a e l l a . veamos Io
porque: L o s e l e m e n t o s que no f o r m a n p a r t e de l a principal.
diagonal
Recordemos que cuando c a l c u l a m o s l a s e g a n d a m a t r i z , e l elemento pivote fue a i l t o d o s l o s e l e m e n t o s de su columna excepto el se hicxeron cero. Y que c u a n d o c a l c u l a m o s la t e r c e r m a t r i z e l e l e m e n t o pj. r o t e f u e * * 2 2 Y loR elementos del II y III c u a d r a n t e oue no forman p a r t e d e l a d i a g o n a l p r i n c i p a l son l o s a £ * para i f 1 por l o que el elemento s e - á c e r e r a d o por a*+
a* xi
Donde t a n t o e l
¿
.,
ll
— a*
21
a*
12
como o l a *
21
y por l o t a n t o ceros c o n v i n i e n d o
p e r t e n e c e n a l a columna al a**
en
cero.
uno
£ n g e n e r a l podemos o b s e r v a r de l a a* ij
a**
®k P
fórmula a
-
? P
3
X
Que c o n t a m o s c o n d o s e l e m e n t o s de l a misma columna ) los cuales s i en l a m a t r i z a n t e r i o r C »* Y a* k-s f u e r o n c e r o s o b l i g a r a n a que en l a s i g u i e n t e m a t r i z elemento a * * q u e con e l l o s se relacione sea cero. 2° En c u a n t o a q u e l o s e x p i v o t e s tomen e l v a l o r n u e v o p i v o t e e s d e b i d o a q u e en l a f ó r m u l a .
•
en donde:
a* ij
* *
a* i. a* kj
substituyendo a?
a** l . J
a
k-
el del
a*
=
es e l expivote a n t e r i o r
=
e s un e l e m e n t o d e l a columna " j " d e l e x p i v o t e s i n s sr e l e x p i v o t e y y p o r l o t a n t o c e r 5. ì
"fe
a*
a
kp
-
( 0
=
a^
Por l o que como e l e l e m e n t o b u s c a d o a * * era y tomará e l v a l o r de a * precisa mente k p pivote.
un oxpivote e l nuevo
De a c u e r d o a t o d o l o a n t e r i o r l l e g a m o s a q u e l a ú l t i m a m a t r i z s e r á u n a m a t r i z e s c a l a r donde e l v a l o r d e l e s c a l a r e s e l del ú l t i m o p i v o t e , o s e a q u e l a m a t r i z o b t e n i d a e s 1c v e c e s la m a t r i z i d e n t i d a d p o r l o que s o l o n o s r e s t a r á dividirla entre k p a r a o b t e n e r l a i d e n t i d a d b u s c a d a , s i n q u e en l o s p a s o s i n t e r m i e c L i o s h a y a n e x i s t i d o números f r a c c i o n a r i o s . O t r a s d o s b o n d a d e s d e l método s o n e l h e c h o d e que n o s p e r m i t e e n c o n t r a r de una manera s i m p l e e l v a l o r d e l d e t e r m i n a n t e de la matriz a s i cotio s u a d j u n t a . veamos
porque:
Si originalmente nuestra matriz a¿. ( m a t r i z d e orden unoA ^ = £allf
f u e r a d e un s o l o e l e m e n t o y l a ' tranformamos por
e l n u e v o m é t o d o h a s t a que s e a u n a m a t r i z d i a g o n a l » l a c o n s t a n t e de l a d i a g o n a l mayor s e r á a ^ y s i evaluamos e l determinan t e de l a matriz e s t e s e r á también a ^ l • S i ahora n u e s t r a m a t r i z f u e s e de orden a
i.
A
U
a
a21
l2~
dos
y l a transformamos por
a22
• 1 n u e v o m é t o d o h a s t a que s e a una m a t r i z d i a g o n a l e n c o n t r a m o s q u e l a c o n s a n t e d e l a d i a g o n a l mayor e s a n a 2 2 ~ a 2 1 a i 2 y s i evaluamos e l determinante de a
ll
a
22 '
a
21
a
l a matri2 e s t e será
también
l2
S i a h o r a n u e s t r a m a t r i z f u e s e de orden ll a21 a ¿ l
a
12 22 a32
a
a
a
a
13 23 a33
Y l a transformamos por e l n u e v o m é t o d o h a s t a que s e a una m a t r i z d i a g o n a l , l a c o n s t a n t e d e l a d i a g o n a l mayor s e r á a
ll
a
22
a
33 "
a
U
»32 *2 3 " a 2 l «12
a
33+a31
a
12
a
23+a21a32^í-a31»22a13
Si a
evaluamos
el
determinante
de l a m a t r i z
este
se rS
tambien
lla22a33"alla32a23"a21a12a33+a31a12a23+a21a32a13"a31a22a13
De e s a manera podemos c o n t i n u a r y t r a n s f o r m a r por el nuevo nté t o d o una m a t r i z de orden n en una m a t r i z d i a g o n a l donde el va l o r de l a c o n s t a n t e de l a d i a g o n a l mayor e s t a r á dado por l a suma a l g e b r a i c a de l o s ni p r o d u c t o s p o s i b l e s tomando como - f a c t o r e s uno y s o l a m e n t e uno de l o s e l e m e n t o s de cada f i l a y columna d á n d o l e a cada p r o d u c t o un s i g n o mas o unos menos s e gún haya un número par o impar de i n v e r s i o n e s de l o s s u b i n d i ces de l a s f i l a s cuando l o s e l e m e n t o s de cada p r o d u c t o e s t á n o r d e n a d o s s e g ú n el s u b í n d i c e de la c o l u m n a . Lo cual es p r e c i sámente l a d e f i n i c i ó n del v a l o r de un d e t e r m i n a n t e de o r d e n "n". En e l c a s o p a r t i c u l a r de l a o b t e n c i ó n del v a l o r de un d e t e r m i n a n t e en el año de 1853 c h i o d e s a r r o l l o el método de con^ d e n s a c i ó n p i v o t a l el c u a l posee un g r a n p a r e c i d o con e s t e método pero r e s u l t a i n a p l i c a b l e a l a s m a t r i c e s ( D e s a r r o l l a d a s en 1857 por c a y l e y ) d e b i d o a l a r e d u c c i ó n de f i l a s y c o l u m nas p l a n t e a d a por e l método de c h i o además, posee una d i f e r e r ^ c i a en la forma de manejar l o que en e s t e nuevo método l l a m a mos p i v o t e a n t e r i o r . En c u a n t o a l a o b t e n c i ó n de l a a d j u n t a de l a m a t r i z . Tenemos que s i a una m a t r i z " A . " de orden " n " le agregamos a s u dere cha una m a t r i z ^ i d e n t i d a d " I n " y transformamos la - nueva irratriz de o r d e n M n x 2 n " por el nuevo método h a s t a que en l a p o s i c i ó n de " A . " s e e n c u e n t r e una m a t r i z d i a g o n a l . 'J S o l o nos r e s t a r í a d i v i d i r l a m a t r i z de o r d e n " n x 2 n " e n t r e el v a l o r de l a c o n s t a n t e de l a d i a g o n a l mayor ( v a l o r del determi_ nante de l a m a t r i z " A . " ) de d i c h a r a t r i z d i a g o n a l , para o b t £ n e r en donde s e e n c o n t r a r a " A . 11 una i d e n t i d a d y en l a p a r t e 3 donde s e e n c o n t r a b a " I n " l a i n v e r s a de " A . " /A_1\ A h o r a como d i c h a i n v e r s a fórmula . a d j (A. ) 1 _ iJ
Adj
(A. ) = •J
A 71 ij
pudo s e r e n c o n t r a d a t a n b i e n por l a por l o que d e s p e j a n d o t e n d r e m o s .
1A lo cual • iJ
de " I n " un p a s o a n t e s de d i v i d i r t e n i a m o s la a d j u n t a de A. . 'J
nos
i n d i c a que en l a
e n t r e el
-
posición
determinante
de A.
J