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RESUMEN

El presente trabajo de graduación es una propuesta didáctica para el abordaje teórico y práctico de la Física en el primer año del Bachillerato común, con una metodología constructivista basada en el aprendizaje por destrezas y criterios de desempeño. Los contenidos están estructurados de acuerdo a la propuesta de malla curricular para el nuevo bachillerato unificado, que se centra en el conocimiento fenomenológico de la naturaleza y sus leyes, elevando a nivel de categorías científicas los fenómenos más relevantes. La guía comprende tres capítulos: en el primer capítulo se hace una breve descripción de la teoría de métodos, relacionando aquellos usados por los maestros y los nuevos. Luego se dan una serie de propuestas y recomendaciones metodológicas para el estudio guiado de cada unidad y subunidad estructural. En el segundo y tercer capítulo se desarrollan las dos principales unidades de estudio: EQUILIBRIO DE LOS CUERPOS (ESTÁTICA) y MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS (CINEMÁTICA). Cada una de ellas contiene subunidades con los temas más relevantes para un estudio ordenado y sistematizado por parte del usuario. En cada tema de estudio se expone una breve reseña teórica acompañado de una serie de demostraciones, ejercicios guía, preguntas y ejercicios de comprensión y de razonamiento, además de una plantilla donde el estudiante deberá registrar un informe investigativo de una situación problémica real de aplicación práctica, la cual puede ser planteada luego del abordaje de cada tema, como parte de su formación científica. PALABRAS CLAVE Metodología Estática Magnitud Unidades Vectores Fuerza Torque Equilibrio

AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

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Í N D I C E Certificado……………..…………………………………………………………... Dedicatoria……………..………………………………………………………….. Agradecimiento……………………………………………………………………. 1. Introducción…….……………………………….…………………………...... 2. Objetivos generales…………………………………………….…………...... 3. Esquema resumen de contenidos: Estructura de la Guía...…...………….. 4. CAPÍTULO I Metodologías a seguirse para la correcta utilización de la Guía....................... 4.1 Teoría de métodos……………………………………………………............. 4.2 Lista de métodos recomendados…..…..…………………………............... 4.3 Recomendaciones y sugerencias metodológicas….............……............... 5 CAPÍTULO II

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Equilibrio de los cuerpos. Estática………………………………........................ 5.1 Primera subunidad Magnitudes físicas....……………………………………………......................... 5.1.1 Medidas instrumentos y errores…….….………..................................... 5.1.2 Sistema internacional de Unidades..........……………………................. 5.1.2.1 Reseña histórica...............................................….................................. 5.1.2.2 Magnitudes fundamentales…………………………………………….... 5.1.2.3 Magnitudes derivadas……………………….……………………………. 5.1.2.4 Prefijos SI…………………………………………………………………... 5.1.2.5 Normas para el manejo del SI……………………………………………. 5.1.2.6 Reducciones y conversiones SI………………………………………….. 5.2 Segunda subunidad Elementos de Algebra Vectorial ….…..…………………………........................ 5.2.1 Expresión trigonométrica de vectores….............………………………... 5.2.2 Suma trigonométrica de vectores en el plano…………………………… 5.2.3 Resta trigonométrica de dos vectores en el plano...……………………. 5.2.4 Vectores unitarios…….….………............................................................

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5.2.5 Expresión analítica de vectores..........……………………....................... 5.2.6 Suma y resta analítica de vectores...............................................…....... 5.2.7 Producto de un escalar por un vector…………………………………..... 5.2.8 Producto escalar de vectores……………………….……........................ 5.2.9 Producto vectorial de vectores……………………………………........... 5.3 Tercera Subunidad: Estática Traslacional………………………………………………….……........... 5.3.1 Fuerzas……………………………………………………………………... 5.3.2 Composición de fuerzas aplicadas sobre una partícula…..…..………….. 5.3.3 Equilibrio traslacional de una partícula….............………………..…..........

AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

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UNIVERSIDAD DE CUENCA 5.4 Cuarta Subunidad: Estática Rotacional……………………………….....................………….............. 5.4.1 Torque de una fuerza.……………………………………………................ 5.4.2 Torque de un sistema de fuerzas…….….………...................................... 5.4.3 El sólido rígido.……………………………………………............................ 5.4.4 Centros de masa...............................................…..................................... 5.4.5 Equilibrio del sólido rígido…………………………………………….……... 5.5 Quinta Subunidad Los fluidos en reposo. Hidrostática….............………………………..…............... 5.5.1 Introducción……………………….………………………………………...... 5.5.2 Ecuación fundamental de la hidrostática…………………………………… 5.5.3 Principio de Pascal ………………………………………………….……...... 5.5.4 Principio de Arquímedes……………………………………………………… 5.5.5 Flotación…..…..…………………………...................................................... 5.5.6 Tensión superficial….............………………………..................................... 5.5.7 Capilaridad……………………………….....................………….................. 5.6 Sexta Subunidad Las máquinas simples...…………………………………………….......................... 5.6.1 Palancas…….….………............................................................................... 5.6.2 Poleas..........…………………….................................................................... 5.6.3 Plano inclinado............................................................................................. 6 CAPÍTULO III El movimiento de los cuerpos: Cinemática............................................................. 6.1 Primera Subunidad. Los sistemas de referencia………………………………. 6.1.1 Sistema cartesiano tridimensional……………………….…………………… 6.1.2 Sistema cartesiano bidimensional……………………………………………. 6.1.3 Sistema cartesiano unidimensional....……………………………………...... 6.2 Segunda subunidad El movimiento rectilíneo….…..………………………….......................................... 6.2.1 Conceptos fundamentales de Cinemática Lineal......………………………. 6.2.2 Movimiento rectilíneo uniforme. ….............………………………................ 6.2.3 Movimiento rectilíneo uniformemente variado. ….............………………… 6.2.4 Caída libre. ….............………………………..….............…………………… 6.3 Tercera subunidad: Los movimientos en el plano. ….............………………………..….............…........ 6.3.1 Movimiento de un proyectil. ….............………………………..…................. 6.3.2 Conceptos fundamentales de Cinemática Angular....................................... 6.3.3 Movimiento circular uniforme. .............………………………..…................. 6.3.4 Movimiento circular uniformemente variado. .............………………........... 6.3.5 Relaciones entre movimientos rectilíneo y circular. .............………............ 6.3.6 Movimiento relativo. .............………………………..…................................. 6.4 Cuarta subunidad:

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UNIVERSIDAD DE CUENCA HIDRODINÁMICA….............………………………..….............………………….... 6.4.1 Movimiento de un fluido. Continuidad. ….............………………………..…. 6.4.2 Teorema de Bernoulli. ….............………………………..….............….......... 6.4.3 Aplicaciones del teorema de Bernoulli. ….............………………………..… 6.4.4 Viscosidad y rozamiento viscoso.….............………………………..…......... CONCLUSIONES….............………………………..….............…………………… RECOMENDACIONES. ….............………………………..….............………….... BIBLIOGRAFÍA. ….............………………………..….............……………………..

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UNIVERSIDAD DE CUENCA FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN

ESPECIALIDAD DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA

“GUÍA DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZAAPRENDIZAJE DE LA FÍSICA EN EL PRIMER AÑO DE BACHILLERATO COMÚN”

Tesina previa a la obtención del título de Licenciado en Ciencias de la Educación en la especialidad de Matemáticas y Física

DIRECTOR:

Dr. ALBERTO SANTIAGO AVECILLAS JARA

AUTOR:

JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

CUENCA-ECUADOR 2011

AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

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CERTIFICADO

Yo, Jorge Patricio Mogrovejo Hernández, certifico que todo el contenido del presente trabajo es de exclusiva responsabilidad del autor.

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AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

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DEDICATORIA

A Dios, fuente inagotable de toda sabiduría y proveedor de vida. A mi familia, sostén y apoyo moral durante mi carrera, brazo leal y cálido que lleva el peso de los problemas y la satisfacción por los logros alcanzados. A mis maestros de la carrera, por su incansable afán de enseñanza, por su paciencia y sus consejos. Gracias a la preocupación y amor de todos ellos, hoy este proyecto es una realidad.

AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

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AGRADECIMIENTO

Al Todopoderoso encomiendo mi más grande gratitud por permitirme estar en este mundo y hacer realidad este anhelo A mis familiares que me apoyaron económica y psicológicamente con un espíritu de prosperidad y deseo de triunfos. Como olvidar a mis queridos maestros que moldearon mi personalidad con la enseñanza de conocimientos y valores, que servirán de base fundamental para orientar a la juventud por el sendero del aprendizaje acorde a las exigencias de la Educación del tercer milenio. Finalmente quiero expresar un sentimiento de cordialidad y estima a mis queridos compañeros y nuevos colegas, ya que de ustedes aprendí muchas cosas útiles para mi vida profesional futura.

AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

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INTRODUCCIÓN Esta guía didáctica ha sido, mentalizada, proyectada y elaborada para ser utilizada como material de apoyo en el aprendizaje o auto aprendizaje de la Física en el primer año del nuevo bachillerato ecuatoriano, en los centros de enseñanza media del país. El presente trabajo pretende ajustarse a las innovaciones de carácter pedagógico que se están impulsando últimamente en al país, de ahí que los métodos utilizados están enfocados al desarrollo de destrezas, más que a los contenidos cognitivos, dando importancia al aprendizaje por criterios de desempeño. Por ello, los contenidos están estructurados de acuerdo a la nueva malla curricular para el bachillerato unificado, la que se centra en el conocimiento fenomenológico de la naturaleza y sus leyes, de tal manera que los fenómenos más relevantes sean elevados al nivel de categorías científicas, las cuales deberán ser aprendidas conservando su unidad científica. La guía comprende tres capítulos: en el primer capítulo se hace una breve descripción de la teoría general de métodos, haciendo una especie de comparación con los usados por los maestros y los nuevos. Luego se dan una serie de metodologías alternativas que serán empleadas en cada unidad didáctica, culminando con recomendaciones y sugerencias metodológicas que los destinatarios de la obra podrán seguir para su correcta utilización. En el segundo y tercer capítulo se desarrollan las dos principales unidades de estudio: EQUILIBRIO DE LOS CUERPOS (ESTÁTICA) Y MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS (DINÁMICA). Cada una de ellas comprende las subunidades correspondientes más relevantes para un estudio progresivo, ordenado y sistematizado por parte del alumno. Las subunidades se encuentran divididas a su vez en secciones o temas de estudio. Cada tema empezará con el desarrollo de una base teórica mínima la cual servirá de sustento para el planteo y resolución de situaciones problémicas o retos que el maestro pueda proponer y de esta manera alcanzar los objetivos indicados al principio del tema. En todos los temas se incluyen ejemplos ilustrativos, y un grupo de ejercicios propuestos que revisten una cierta dificultad, justamente para ayudar al estudiante en el razonamiento. El repaso constituye un estudio dirigido, donde los estudiantes deben procurar responder a las preguntas luego de estudiar el capítulo. AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

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UNIVERSIDAD DE CUENCA La guía requerirá de la orientación del maestro, el cual pondrá en juego su creatividad y experiencia docente para plantear según el caso, la situación problémica y relacionarla con el tema, con unidades anteriores y otras ramas de la Física, así como con otras ciencias. Dado que la carga horaria de la asignatura es limitada (4 horas semanales), es conveniente que el alumno profundice por su cuenta los contenidos conceptuales expuestos en cada subunidad, para lo cual se ha diseñado una serie de actividades de refuerzo y de retroalimentación, las cuales van como actividades de fin de tema. Esta Guía Didáctica pretende ser un instrumento de ayuda pedagógica que centre el interés de los estudiantes en los temas básicos del curso, orientándoles en el estudio sobre los aspectos fundamentales que garantizarán el éxito. Se recomienda, pues, que la primera labor del estudiante sea leer con detenimiento esta Guía. Esperemos que esta obra contribuya a mejorar en algo los deficientes métodos de enseñanza de la Física e incentivar en los alumnos la capacidad de investigación, tan venida a menos en nuestros días.

OBJETIVOS GENERALES 1. Aplicar los conocimientos adquiridos a la resolución de problemas de la vida cotidiana, relacionando los contenidos de la Física con los de otras disciplinas científicas, como forma de entender y poder abordar los temas planteados. 2. Comprender los principales conceptos de la Física, su organización en leyes, teorías y modelos matemáticos, usados para abordar la solución de determinadas interrogantes y problemas. 3. Desarrollar en los estudiantes la capacidad de investigación crítica. 4. Proporcionar al estudiante nuevas alternativas metodológicas que lo induzca adaptar nuevos hábitos de aprendizaje. 5. Potenciar en el alumno sus habilidades innatas y específicas, para que él mismo se convierta en el objeto de su propio aprendizaje. AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

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UNIVERSIDAD DE CUENCA 6. Generar interés en los alumnos el manejo correcto de los principios físicos y sus expresiones matemáticas. 7. Adquirir autonomía suficiente para utilizar en distintos contextos, con sentido crítico y creativo, los aprendizajes adquiridos. 8. Apreciar la importancia de la participación activa y la interacción en los equipos de trabajo.

AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

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ESQUEMA RESUMEN DE CONTENIDOS

FÍSICA I EQUILIBRIO DE LOS CUERPOS

MAGNITUDES FÍSICAS

ELEMENTOS DE  ALGEBRA VECTORIAL

ESTÁTICA EQUILIBRIO   TRASLACIONAL

EQUILIBRIO   ROTACIONAL 

     

HIDROSTÁTICA 

   

MÁQUINAS   SIMPLES 

     

MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS

 

SISTEMAS DE  REFERENCIA 

   

         

MOVIMIENTO   RECTILÍNEO 

CINEMÁTICA

MOVIMIENTOS   EN EL PLANO 

HIDRODINÁMICA AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

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METODOLOGÍAS A UTILIZARSE PARA LA CORRECTA UTILIZACIÓN DE LA GUÍA

1.1. Teoría de métodos. 1.2. Lista de métodos recomendados. 1.3. Sugerencias gicas.

1.1.

y recomendaciones metodoló-

Teoría de métodos

En los tratados didácticos, se distingue con frecuencia, distintos tipos de métodos o enfoques de enseñanza, según los diferentes patrones de comunicación que se manifiesten dentro del trabajo en el aula. Para Belt (1971), los modelos educacionales son lo que nosotros conocemos como estilos o métodos de enseñanza, es decir esquemas mediadores entre la teoría escrita en libros, folletos o guías y la práctica de aprehender y comprender tal teoría. Dado que el método es un camino recorrido para llegar a un fin, su aplicación persigue una finalidad determinada. En el contexto educativo, la finalidad es la formación a más de intelectual, integral del educando. Por lo tanto es de vital importancia la fijación de propósitos antes de formular un determinado método, de forma que exista una conexión lógica entre las finalidades que se persigue con la aplicación del método formulado y la práctica educativa. En otras palabras, “la acción didáctica o metodología debe ser coherente con los propósitos planteados, es decir debe responder a intenciones AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

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UNIVERSIDAD DE CUENCA educativas explícitas”. (Piaget, 1998). La acción didáctica debe ajustarse al contexto real o entorno del alumno, a sus capacidades, intereses, necesidades y aptitudes, partiendo de un enfoque individualista que promueva el desarrollo cognitivo en base al aprendizaje significativo del alumno. El método se manifiesta en la dinámica del proceso de educacióncomunicación, ya que la razón de ser de la educación es la comunicación. Por esto, es de vital importancia la comunicación biunívoca entre profesores y alumnos, para “discernir las estrategias que adoptan profesores y alumnos en el proceso de interacción educativa” (Sara Delamont, 1985). Las estrategias que regulan el proceso educativo son múltiples y complementarias, debido a la diversidad de aspectos o variables que se presentan dentro del trabajo en el aula tales como: la edad de los educandos, la homogeneidad o heterogeneidad del grupo- clase, el grado de formación básica, el bagaje de conocimientos anteriores, el grado de motivación y sobre todo, la experiencia y la capacitación del maestro y los recursos didácticos disponibles. La existencia de variadas formas de enfocar el proceso de enseñanzaaprendizaje obliga al maestro a no centrarse en un único método, el escogitamiento de estrategias metodológicas debe ir de la mano con la finalidad a seguir, con quien y en qué circunstancias. En todo caso es aconsejable un enfoque metodológico integrador, que propicie la utilización de unos métodos u otros en función de las necesidades de los diferentes momentos de la etapa o nivel, de las distintas tareas o situaciones, de la diversidad del alumnado, etc. Al respecto se va a desarrollar algunos métodos y técnicas que se van a utilizar en el desarrollo de la guía de manera que el maestro pueda llevarlos a la práctica para el desarrollo del proceso didáctico dentro o fuera del aula. 1.2.

Lista de métodos recomendados.

1.2.1. MÉTODO DEL APRENDIZAJE POR DESCUBRIMIENTO. Dichas propuestas se centran en un trabajo experimental y autónomo de los alumnos, dando preferencia a los "procesos de la ciencia" sobre los contenidos. Este método propone la combinación de la explicación teórica con la labor experimental, con el fin de que los alumnos a partir de la abstracción vayan encontrando por sí mismos nuevas formas de relacionar la teoría con la práctica en el laboratorio. 1.2.2. MÉTODO DE SOLUCIÓN DE PROBLEMAS. Gran parte de los ejercicios y problemas de la guía pueden llevarse a discusión y resolución por este método, el cual debe partir de la traducción del problema a la vida real, de tal manera que se use la imaginación para trasladar la situación concreta al campo matemático y luego volver a la idea inicial expreAUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

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UNIVERSIDAD DE CUENCA sada por los resultados. 1.2.3. MÉTODO DE PROYECTOS. Método activo en el que se utiliza material del medio para la búsqueda de información y auto elaboración de los conocimientos, bajo la guía del maestro. Va acompañado de un problema a resolver o una aplicación técnica o tecnológica de un determinado tema. Se debe organizar un trabajo por equipos con un cronograma establecido y rígido, de tal manera que los objetivos se cumplan en un tiempo determinado por el maestro. 1.2.4. MÉTODO EXPERIMENTAL. Tiene como finalidad reproducir un fenómeno natural en forma artificial para que los alumnos en base a sus propias experiencias puedan formular hipótesis que permitan a través del proceso didáctico, hacer comparaciones con otros fenómenos, las cuales dan lugar a generalizaciones científicas, las cuales permiten una relación entre conceptos, entre ramas de la Física y una relación de la Física con otras ramas. Como la metodología del nuevo bachillerato es el estudio de los contenidos en bloques temáticos, desde el punto de vista fenomenológico, este método tiene una gran riqueza didáctica l, sobre todo si se quiere aplicar criterios de desempeño, tal como señala la Reforma Curricular. Este método tiene varios pasos, los cuales se detallan a continuación. 9 Observación libre: donde el estudiante a través de montajes experimentales obtiene impresiones visuales del fenómeno objeto de estudio, se puede complementar con descripciones y análisis de las observaciones o aspectos comunes. 9 Generación de hipótesis o preguntas problema: que van acompañadas de su posible solución. El maestro tiene la función de guiar al alumno a la reflexión del problema a fin de formular la situación problémica. 9 Comparación: la cual establece una relación entre la situación problémica y el resultado experimental, se puede extender el análisis a situaciones similares. 9 Generalización: que son las conclusiones a las que se llega luego de la labor experimental. Aquí se puede relacionar teorías, campos y ciencia. 1.3. Sugerencias y recomendaciones metodológicas para el manejo de la guía. Las sugerencias dadas a continuación no pretenden cambiar la enseñanza de la Física, pero sí ofrecer unas metodologías alternativas a lo que llamaríamos el sistema tradicional. Para la enseñanza-aprendizaje de la Física teórica no hay demasiadas alternativas, puesto las leyes físicas son irreemplazables, es decir, si comparamos disAUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

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UNIVERSIDAD DE CUENCA tintos libros de texto veremos que en todos se exponen dichas leyes, en algunos habrá más ilustraciones, mejor o peor presentación, etc. En cuanto a la realización de ejercicios habitualmente al final de cada capítulo hay una lista relacionada con el tema. Se puede elegir esta metodología alternativa basada en una especie de algoritmo con algunas etapas, las cuales enumero a continuación: 1) Análisis del enunciado para ver que información ha sido proporcionada y que es lo que el problema pide que calcule. 2) Estudio de las interacciones que van a tener lugar entre partículas, sistemas de partículas o cuerpos, utilizando para ello gráficas y/o diagramas de cuerpo libre. 3) Elección de un sistema de coordenadas de acuerdo a las necesidades del ejercicio. 4) Representación gráfica de todas las relaciones que están explicitadas en el enunciado del problema, las cuales deberán contener los datos y las incógnitas. 5) Expresión matemática de la ecuación o del sistema de ecuaciones matemáticas y/o trigonométricas de cada componente. 6) Resolución de las expresiones, interpretación física y comprobación. A la vista de todo lo expuesto me gustaría resaltar que existe una concepción de la física por parte del estudiante que asocia cada ejercicio con una ecuación o expresión matemática resultante de la ley o teoría física demostrada en la teoría, y que habría que intentar eliminar. Por ese motivo se intenta con esta metodología sustituir el tópico de que la física son un conjunto de expresiones físico-matemáticas, por el hecho de que la física es un conjunto de conceptos y que los ejercicios hay que realizarlos con una metodología. Otra propuesta sugerida en esta guía se basa en la comprensión y profundización que el estudiante realice al estudiar cada tema, para ello he introducido al final de cada tema preguntas de comprensión y profundización además de talleres que van desde simples experimentos hasta demostraciones y profundizaciones acerca de una determinada temática relacionada con el tema de estudio. Estas preguntas se pueden utilizar como instrumentos de evaluación continua y están sujetas a cambios a criterio del maestro. Se debe usar números significativos para abordar los contenidos teóricos, los cuales pueden ser obtenidos de mediciones de valores significativos, de la vida real. Partir siempre de una relación entre un contenido con el anterior, para luego relacionar una rama con otra y finalizar con una relación de la Física con otras ciencias. En la formulación de ejemplos y problemas físicos, utilizar la realidad del entorno (situaciones, vivencias, necesidades, actividades, problemas). Complementar el estudio con un asiduo manejo de animaciones informáticas y AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

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UNIVERSIDAD DE CUENCA software, para reforzar el manejo de las magnitudes cinemáticas descriptoras de los movimientos. Las prácticas de laboratorio deben desarrollarse conjuntamente con el avance teórico y deben servir de base para el planteamiento de situaciones problémicas, estas prácticas pueden ser realizadas fuera del aula, con materiales del medio, todo dependerá del ingenio y la creatividad del maestro. El maestro debe poseer un sustento teórico amplio, de manera que pueda responder y profundizar en las preguntas y aplicaciones problémicas que los estudiantes planteen, las cuales deben tener un asidero real y ser concebidas luego de exponer los contenidos conceptuales. Una última sugerencia al maestro es que adiestre al alumno a afrontar los conceptos que este erróneamente se forja, invitarlo a que los corrija mediante la experimentación, pues la Física es una ciencia cuyos conceptos deben ser correctamente formulados y enunciados, pues en el aula “suele ser útil crear una situación donde los estudiantes deban pensar como el matemático que ideó el algoritmo e intenten desarrollar por su cuenta una fórmula adecuada” (Gardner; 2 000). Finalmente, es el maestro el que debe escoger el método de enseñanza que más se adapte a la realidad del aula y al avance académico de sus educandos, ya que este documento está abierto a cualquier modificación, siempre que se crea conveniente.

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PRIMERA UNIDAD EL EQUILIBRIO DE LOS CUERPOS

ESTÁTICA

Primera Unidad

ESTÁTICA Subunidades: 1. MAGNITUDES FÍSICAS 2. ELEMENTOS DE ÁLGEBRA VECTORIAL 3. EQUILIBRIO DE TRASLACIÓN 4. EQUILIBRIO DE ROTACIÓN 5. LOS FLUIDOS EN REPOSO : HIDROSTÁTICA 6. MÁQUINAS SIMPLES Objetivos específicos: 1. Entregar al estudiante los conceptos físicos referidos a fenómenos de estática para que sus integre a su acervo cognitivo anterior. 2. Desarrollar en el alumno la capacidad para interpretar fenómenos físicos y llevarlos a la práctica cotidiana. AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

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3. Introducir al estudiante en la investigación entendiéndola como un proceso fundamentado en la exploración y en el desarrollo de la capacidad para el pensamiento científico, crítico y reflexivo. 4. Habilitar al estudiante en la comunicación oral y escrita para que pueda desenvolverse en sus tareas académicas. En esta primera unidad se desarrollan seis subunidades básicas o bloques temáticos. En la primera se aborda la introducción a la física, las magnitudes físicas, así como las unidades de medida y los patrones de medición de los fenómenos físicos. En la segunda se abordan los contenidos de álgebra vectorial como una especie de nivelación matemática para estudiar el equilibrio traslacional y rotacional de partículas y cuerpos rígidos, los cuales serán analizados en la tercera y cuarta subunidad. La quinta es una aplicación de los principios de equilibrio a los fluidos y la sexta es un estudio de algunas aplicaciones de le estática, como es el caso de las palancas, poleas y más máquinas simples.

AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

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UNIVERSIDAD DE CUENCA Primera Subunidad   

MAGNITUDES FÍSICAS    

MAGNITUDES FÍSICAS 

MEDIDAS, INSTRUMENTOS Y  ERRORES

SISTEMA INTERNACIONAL  DE UNIDADES 

INTRODUCCIÓN

MAGNITUDES   DERIVADAS

MAGNITUDES  SUPLEMENTARIAS

MAGNITUDES FUNDA‐ MENTALES  REDUCCIONES Y CON‐ VERSIONES  SI

PREFIJOS SI

NORMAS PARA EL MANEJO  DEL SI

AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

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Primera Subunidad

MAGNITUDES FÍSICAS La Física es una ciencia experimental que tiene por objeto el estudio y descripción del comportamiento de los fenómenos naturales que ocurren en nuestro universo. Es una ciencia basada en observaciones experimentales y en mediciones. Su objetivo es desarrollar teorías físicas basadas en leyes fundamentales, que permitan describir el mayor número posible de fenómenos naturales con el menor número posible de leyes físicas. Estas leyes físicas se expresan en lenguaje matemático, por lo que la Física se relaciona íntimamente con las matemáticas; por otra parte, las leyes físicas tienen su aplicación en otras ciencias, lo que establece relaciones entre la Física y la Biología, la Química, la Anatomía, etc.

9.1.1. MEDIDAS, INSTRUMENTOS Y ERRORES OBJETIVOS DEL TEMA. Identificar correctamente los conceptos básicos y aplicarlos al planteamiento, resolución e interpretación de la situación problémica propuesta. Despertar el interés por esta metodología.

La física es una ciencia experimental. Estudia los procesos del mundo físico y establece un cierto número limitado de leyes con las cuales se puede explicar la mayor variedad posible de los fenómenos observados y predecir el resultado de experiencias nuevas. Que sea ciencia experimental significa que los fenómenos en análisis deben observarse y medirse. Decimos que una magnitud es una realidad física capaz de ser medida. La medición constituye una buena parte de la rutina diaria del físico experimental. Las magnitudes o cantidades físicas se subdividen en magnitudes escalares y vectoriales. Una medición escalar se expresa con un número seguida de un símbolo de la unidad usada. El número expresa cuantas veces el patrón está contenido en la medición. Algunas de las cantidades escalares son: masa, tiempo, longitud, temperatura, etc. Las cantidades vectoriales requieren para su completa determinación tres daAUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

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UNIVERSIDAD DE CUENCA tos, la magnitud, la dirección y el sentido: la magnitud es el tamaño de la cantidad medida (número +unidad), la dirección es una línea imaginaria sobre la cual actúa la fuerza y el sentido hacia dónde actúa la cantidad estudiada. Ejemplos de estas magnitudes son: desplazamiento lineal, velocidad lineal, aceleración lineal, fuerza, torque, campo eléctrico, etc. Existen medidas directas e indirectas, por ejemplo el largo y el ancho de una sala son medidas directas, pero la superficie de la sala es una medida indirecta. Gran parte de la Física tiene que ver con la medida de cantidades físicas tales como distancia, tiempo, volumen, masa, temperatura, etc. Medir una magnitud consiste en compararla con una cantidad arbitraria fija de la magnitud llamada patrón o unidad de medida. El proceso de medición es un proceso físico, una operación física experimental, en la que intervienen necesariamente tres sistemas: 9 El sistema objeto al cual queremos medir. 9 El sistema de medición o aparato de medición. 9 El sistema de comparación, que definimos como unidad, y que suele venir unido o estar incluido en el aparato o instrumento de medición. Por ejemplo: en el llamado “medición de longitud” interviene: 9 El objeto cuya medición queremos medir: ejemplo, una viga. 9 El instrumento, por ejemplo, una regla. 9 La unidad (cierta escala marcada en la misma regla, o en cierta barra patrón). Medir temperaturas significa: tomar un instrumento llamado termómetro, ponerlo en contacto térmico con el sistema que queremos medir, esperar que se establezca el equilibrio térmico, medir la longitud de la columna de mercurio, etc. Medir la masa de un cuerpo significa: tomar el cuerpo, ponerlo sobre el platillo de un instrumento llamado balanza, colocar masas unidad en el otro platillo hasta equilibrar la balanza, leer el número de masas unidad. La medición exige instrumentos los cuales han ido surgiendo como resultado de invento de algunos genios físicos importantes. La fig. 1 nos muestra instrumentos conocidos: la balanza mida masas y el calibrador, longi- Fig.-1 Algunos instrumentos de medición. tudes. Al realizar medidas se comenten multitud de errores, tanto por falta de sensibilidad del aparato como por deficiencias del observador. Por ello el número que resulta de una medición nunca es el valor exacto o verdadero, sino un valor aproximado.

AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

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UNIVERSIDAD DE CUENCA Lee, razona y resuelve: Organízate en grupos de estudio: Con la base teórica propuesta, intenta realizar mediciones de objetos que se encuentran en el aula. Cada vez que midas un objeto, indica en voz alta el concepto y luego el valor de la medición. ¡Profundiza en tus conocimientos: Consulta bibliografía y páginas de Internet! ¡No te olvides de preguntar en clase!

9.1.2. SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES. 9.1.2.1.

RESEÑA HISTÓRICA.

OBJETIVOS DEL TEMA. Dotar al alumno de una base teórica mínima para ser utilizada por éste en la resolución e interpretación de aplicaciones propuestas. Despertar el interés por la investigación dentro y fuera del aula.

Con objeto de tener constancia de la cuantía de todas y cada una de las unidades, estas se materializaron mediante objetos, que recibieron el nombre de unidades patrón, siendo fijadas mediante convenios internacionales. El metro patrón fue definido en 1790 por la revolución Francesa, de la manera siguiente:” El metro es la cuarenta millonésima parte del meridiano terrestre”. Mas tarde, con la utilización de mejores instrumentos se redefinió al metro varias veces hasta la actualidad. En 1875, se conforma, la convención del metro, conformada por veinte países, decidiendo acoger el metro y el kilogramo como unidades de medida. Se conformó la Conferencia Internacional de Pesas y Medidas con sede en París, Francia. Posteriormente se incluyó al segundo como unidad de tiempo, al amperio como unidad de intensidad de corriente eléctrica, al kelvinio como unidad de temperatura, al mol, como unidad de cantidad de sustancia y a la candela como unidad de intensidad luminosa. Con estas seis unidades básicas el nuevo sistema de unidades así formado tomó el nombre de SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES, SI. Recién en 1971 se incluye al mol dentro del SI como nueva unidad básica. En Ecuador, se crea el Instituto Nacional de Normalización, en 1973-74, como un organismo encargado de implantar e incentivar el uso del SI en el país. Actualmente el SI se usa en casi todos los países del mundo. AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

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9.1.2.2. MAGNITUDES FUNDAMENTALES Las leyes físicas se expresan en términos de cantidades básicas que requieren una definición clara, llamadas magnitudes físicas fundamentales. En mecánica las magnitudes físicas fundamentales son tres: longitud, tiempo y masa. Se llaman magnitudes físicas fundamentales porque están definidas en forma independiente de cualquier otra magnitud física. Para que sean útiles deben ser invariables y reproducibles y se debe definir una unidad de medida única para la magnitud física, llamada patrón de medida. El Sistema Internacional (SI) de unidades determina el conjunto de patrones de medida. En este sistema, las unidades de medida de las magnitudes físicas fundamentales en Mecánica, son las que se dan en la tabla 1.1.2.1. Este se conoce también como el sistema MKS (abreviaturas de metro, kilogramo y segundo). También existe el sistema CGS cuyas unidades de medida son el centímetro, gramo y segundo. El SI es el que se usa mayoritariamente en todas las áreas de las ciencias. Magnitud Física Longitud

Unidad de medida Metro

Símbolo m

Tiempo

Segundo

s

Masa

Kilogramo

kg

Tabla 1.1.2.1. Unidades de medida de las magnitudes físicas fundamentales en mecánica.

La definición operacional actual de las magnitudes físicas fundamentales se da a continuación. Longitud: Se han desarrollado muchos sistemas de medición de longitud, pero se han abandonado por razones de precisión. Desde 1983, la unidad de longitud, el metro, se define como la distancia recorrida por la luz en el vacío durante un tiempo de 1/299792458 segundos. De paso esta definición establece que la rapidez de la luz en el vacío es de 299 792 458 m/s. Tiempo: En 1967 se definió el segundo como unidad de tiempo igual a 9 192631 770 periodos de la radiación de átomos de cesio 133. Con un reloj atómico de cesio, se puede medir la frecuencia de su radiación con una precisión de una parte en 10E12, lo que equivale a una incertidumbre menor que un segundo cada 30000 años. Masa: Desde 1987 se considera como unidad de masa, el kilogramo, que se define como la masa de una aleación de platino e iridio que se conserva en el Laboratorio Internacional de Pesas y Medidas en Sevres, cerca de París, Francia. Las otras magnitudes fundamentales de la Física, que con las anteriores suman siete en total, están indicadas en la tabla 1.1.2.2. AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

24

UNIVERSIDAD DE CUENCA MAGNITUDES

NOMBRE

SÍMBOLO

metro

m

Masa

kilogramo

kg

Tiempo

segundo

s

Intensidad de corriente eléctrica

amperio

A

Temperatura termodinámica

kelvinio

K

mol

mol

candela

cd

Longitud

Cantidad de sustancia Intensidad luminosa Ángulo plano

radián

Ángulo sólido

estereorradián

Tabla 1.1.2.2. Unidades de medida de las magnitudes físicas fundamentales.

9.1.2.3.

MAGNITUDES DERIVADAS

En ciencias se usan muchas otras magnitudes físicas, que se obtienen como una combinación de las magnitudes físicas fundamentales. Se llaman magnitudes físicas derivadas, porque se derivan de las magnitudes físicas fundamentales. Algunas de las magnitudes derivadas tienen unidades que han sido “bautizadas” con nombres especiales, de acuerdo a convenios internacionales. Algunas de estas unidades se muestran a continuación: UNIDADES SI DERIVADAS CON NOMBRES ESPECIALES Magnitud

Nombre

Símbolo

Equivalencia

Frecuencia

hertzio

Hz

s-1

Fuerza

newton

N

kg·m/s2

Presión

pascal

Pa

N/ m2

Energía, trabajo, cantidad de calor

julio

J

N/ m

Potencia

vatio

W

J/s

Flujo eléctrico culombio carga eléctrica

C

A·s

Potencial

V

W/A

eléctrico

voltio

AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

25

UNIVERSIDAD DE CUENCA Diferencia de potencial Resistencia eléctrica

ohm

W

V/A

Capacitancia eléctrica

faradio

F

C/V

Flujo magnético

weber

Wb

V·s

tesla

T

Wb/ m2

henrio

H

Wb/A

Densidad de magnético

flujo

Inductancia

Otras unidades derivadas se toman el nombre de la magnitud asociada con el fenómeno físico al cual describen, algunas de las cuales van a continuación:

UNIDADES SI DERIVADAS SIN NOMBRES ESPECIALES Magnitud

Unidad SI

Símbolo

Velocidad lineal

metro por segundo

m /s

aceleración

metro por segundo cuadrado

m/ s2

velocidad angular

radián por segundo

rad/s

aceleración angular

radián por segundo cuadrado

rad·s-2

área

metro cuadrado

m2

volumen

metro cúbico

m3

torque

newton-metro

N.m

momento lineal

kilogramo. metro por segundo

Viscosidad dinámica

pascal-segundo

Pa·s

julio-segundo

J. s

momentum angular

angular,

impulso

kg m s-1

kg /m3

densidad volumétrica de masa

kilogramo por metro cúbico

campo eléctrico

voltio por metro

V/ m

entropía

julio por kelvinio

J /K

AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

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UNIVERSIDAD DE CUENCA Algunas magnitudes han adoptado unidades de otros sistemas, tales como del CGS o del sistema inglés, los cuales por costumbre circulan actualmente. Algunas de éstas están en la siguiente tabla: Magnitud

Unidad SI

Símbolo

masa

tonelada libra

t lb

tiempo

minuto hora día

min h d

60 s 3600 s 86 400 s

temperatura

grado Celsius

°C

1K

ángulo plano

grado sexagesimal

°

volumen

litro

l

9.1.2.4. DEL SI

Equivalencia 1000 kg 0,454 kg

rad 0,001

PREFIJOS QUE FORMAN LOS MÚLTIPLOS, SUBMÚLTIPLOS

Teniendo en cuenta que la física estudia el comportamiento del universo, los valores numéricos de las magnitudes físicas varían en un rango muy amplio, desde cantidades muy pequeñas a muy grandes, los valores numéricos de la física pueden ser muy complicados de leer en su forma tradicional, por lo que generalmente se expresan en potencias de E, que es la notación científica. Si el exponente de la potencia de E es positivo (o negativo) el valor de la magnitud física es un múltiplo (o submúltiplo). Para medir magnitudes muy grandes o muy pequeñas se expresan los valores en potencias de E y se usan los prefijos del SI que es el nombre que se le da a la potencia de E. Los prefijos se muestran a continuación en la siguiente tabla:

AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

27

UNIVERSIDAD DE CUENCA PREFIJOS SI NOMBRE

SÍMBOLO

FACTOR

Yotta

Y

1E24

Zetta

Z

1E21

Exa

E

1E18

Peta

P

1E15

Tera

T

1E12

Giga

G

1E9

Mega

M

1E6

kilo

K

1E3

hecto

h

1E2

deca

da

1E1

UNIDAD

-

1E0

deci

d

1E-1

centi

c

1E-2

mili

m

1E-3 1E-6

micro nano

n

1E-9

pico

p

1E-12

femto

f

1E-15

atto

a

1E-18

zepto

z

1E-21

yocto

y

1E-24

Existen algunas unidades de medición que tienen nombres especiales, como por ejemplo el año luz que es la distancia que recorre la luz en un año, igual a 9.45 1E15 m, o el Angstrom que es igual a 1E-10 m. Orden de magnitud. El orden de magnitud es la potencia de E más cercana al valor verdadero de una magnitud física conocida cuyo valor numérico se conoce. Cuando se comAUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

28

UNIVERSIDAD DE CUENCA para entre magnitudes físicas similares, se dice que una magnitud física difiere de la otra en un orden de magnitud, cuando es mayor o menor en un factor de E. La forma de determinar el orden de magnitud de una medición o cantidad es la siguiente: Se expresa la medición en forma de notación decimal, recordando que el coeficiente te de E debe ser mayor o igual a 1 y menor que 10. Si el exponente es mayor a 5,5, se incrementa en una unidad el exponente de E, caso contrario, se mantiene. Esta potencia de E es el orden de magnitud de la cantidad o medición analizada. Ejemplo 1. El orden de magnitud de 1 es 1E0, el orden de magnitud de 10 es 1E1, el orden de magnitud de 100 es 1E2. Ejemplo 2. a) Determinar el orden de magnitud de la masa de la Tierra, cuyo valor es aproximadamente 6E 24 kg. b) Si la masa del Sol es cuántos órdenes de magnitud difiere de la masa de la Tierra? Solución: a) Considerando que

, ¿en

su orden de magnitud es 1E1, por lo tanto el or-

den de magnitud de la masa de la Tierra es b) Si la masa del Sol es 1E30 kg, ¿en cuántos órdenes de magnitud difiere de la masa de la Tierra? Masa de la Tierra= Masa del Sol = Por lo tanto la masa del Sol es 6 órdenes de magnitud mayor (un millón de veces más grande) que la masa de la Tierra. 9.1.2.5. REGLAS PARA EL USO DEL SI 1.-Los símbolos de las Unidades SI, con raras excepciones como el caso del ohm (Ω), se escriben usando las letras del abecedario, en general, con minúsculas; sin embargo, si dichos símbolos corresponden a unidades derivadas de nombres propios, su letra inicial es mayúscula. Ejemplo, A de amperio, J de julio, etc. 2.-Los símbolos no van seguidos de punto, ni toman la s para el plural. Por ejemplo, se escribe 5 kg, no 5 kgs. 3.-Cuando el símbolo de un múltiplo o de un submúltiplo de una unidad lleva exponente, ésta afecta no solamente a la parte del símbolo que designa la unidad, sino al conjunto del símbolo. Por ejemplo, km2 significa (km)2, área de un

AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

29

UNIVERSIDAD DE CUENCA cuadrado que tiene un km de lado, o sea 10E6 metros cuadrados y nunca k (m2), lo que correspondería a 1000 metros cuadrados. 4.-El símbolo de la unidad sigue al símbolo del prefijo, sin espacio. Por ejemplo, cm, mm, etc. 5.-El producto de los símbolos de de dos o más unidades se indica con preferencia por medio de un punto, como símbolo de multiplicación. Por ejemplo, newton-metro se puede escribir N.m. 6.-Cuando una unidad derivada sea el cociente de otras dos, se puede utilizar la barra oblicua (/), la barra horizontal o bien potencias negativas, para evitar el denominador:

7.-No se debe introducir en una misma línea más de una barra oblicua, a menos que se añadan paréntesis, a fin de evitar toda ambigüedad. En los casos complejos pueden utilizarse paréntesis o potencias negativas: m/s2 o bien m·s-2 pero no m/s/s. (Pa·s)/ (kg/m3) pero no Pa·s/kg/m3. 8.-Los nombres de las unidades debidos a nombres propios de científicos eminentes deben de escribirse con idéntica ortografía que el nombre de éstos, pero con minúscula inicial. No obstante, serán igualmente aceptables sus denominaciones castellanizadas de uso habitual, siempre que estén reconocidas por la Real Academia de la Lengua. Por ejemplo, amperio, voltio, faradio, culombio, julio, ohmio, voltio, vatio, hertzio. 9.-En los números, la coma se utiliza solamente para separar la parte entera del decimal. Para facilitar la lectura, los números pueden estar divididos en grupos de tres cifras (a partir de la coma, si hay alguna) estos grupos no se separan por puntos ni comas. La separación en grupos no se utiliza para los números de cuatro cifras que designan un año. 9.1.2.6.

REDUCCIONES Y CONVERSIONES SI.

Para convertir una cantidad dada en un prefijo SI en otra expresada en otro prefijo SI, se dividirá la cantidad con el prefijo dado para la cantidad cuyo prefijo se desea obtener; este resultado se multiplica por la cantidad dada. Esto lo demostramos a través de los siguientes ejemplos: Ejemplo 1. Reduzca 23

a

AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

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UNIVERSIDAD DE CUENCA El prefijo dado es Y, cuyo factor es 1E24, el prefijo pedido es M, cuyo factor es 1E 6 Entonces: =1E4 Este resultado multiplicamos por la cantidad dada, que es 23 y obtenemos 1E4.23 = 23E4 = 2.3E2 kHz = 230 kHz. Ejemplo 2. Reduzca El prefijo dado es P, cuyo factor es 1E15, el prefijo pedido es m, cuyo factor es 1E-3 Entonces: =1E18 Este resultado multiplicamos por la cantidad dada, que es 6,5E-8 y obtenemos 1E18.6, 5E-8 = 6.5E10 = 65E9 = 65 GW. Ejemplo 3. Reduzca El prefijo dado es a, cuyo factor es 1E-18, el prefijo pedido es P, cuyo factor es 1E15 Entonces:

=1E-33 Este resultado multiplicamos por la cantidad dada, que es 354E-30 y obtenemos 1E-33.354E30 = 3.54E-3 = 3,54 mN. Lee, razona y resuelve: Escribe usando prefijos, en unidades del Sistema Internacional: longitud de la línea ecuatorial, radios del núcleo y átomo, segundos de un milenio, edad de la Tierra, volumen de una pulga, masa del Sol, distancia de la estrella más cercana a la Tierra (después del Sol). La Tierra tiene una edad de 4600 millones de años y el ser humano ha estado sobre ella desde hace unos 150 mil años. Si la edad la Tierra la hacemos equivalente a un día, ¿cuántos segundos tiene el ser humano sobre la Tierra? Transforma

a

AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

31

UNIVERSIDAD DE CUENCA

a

Transforma Transforma

a

Investiga y demuestra como transformar

a

Taller 5.1.2 Crea tu propio sistema de unidades: Para ello utiliza unidades o patrones de medida creados por ti mismo, así: para la longitud utiliza el largo de alguna parte de tu cuerpo, para el tiempo, el que tardas en dar una vuelta a la cancha, etc. Luego arma tu propia tabla de magnitudes fundamentales y compáralos con el SI. Utiliza tu sistema de Unidades para realizar mediciones de algunos objetos de tu aula. Al final obtén las equivalencias correspondientes. Registra tu informe en tu cuaderno de ejercicios usando la siguiente plantilla: INVESTIGACIÓN 5.1.2.- APLICACIÓN DEL SI A MEDICIONES COMPARATIVAS REALES. Tema: Situación Problémica:

Objetivos Generales:

Objetivos Específicos:

Metodología de trabajo:

AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

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UNIVERSIDAD DE CUENCA

Resolución:

Respuesta e interpretación física: _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ Proyecto Haz un agujerito en un cartón y sostenlo a los rayos del sol. Observa la imagen del sol que se forma abajo. Para convencerte de que la mancha redonda de luz es una imagen del Sol redondo, prueba con agujeros de distintas formas. Un agujero cuadrado y uno rectangular producirá una imagen redonda si la distancia a la imagen es grande en comparación con el tamaño del agujero. Cuando los rayos del Sol forman un ángulo con la superficie de la imagen, ésa imagen es un circulo estirado, es decir una elipse. Deja que la imagen del sol caiga cobre una moneda. Coloca el cartón de modo que la imagen apenas cubra la moneda. Es una forma cómoda de medir el diámetro de la imagen; es del mismo diámetro de la moneda, que se puede medir con facilidad. A continuación mide la distancia entre el cartón y la moneda, utiliza unidad creada por ti mismo: puede ser la longitud de un dedo, una oreja, etc., La relación del tamaño de la imagen entre la distancia a la imagen debe ser de más o menos 1/110.Es la relación del diámetro del Sol entre la distancia del Sol a la Tierra. Con el dato de que el Sol está a 150 000 o 1,5E8 km de la Tierra, calcula el diámetro del Sol y exprésalo en tus unidades y en unidades

AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

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UNIVERSIDAD DE CUENCA AUTOEVALUACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN DEL APRENDIZAJE MIDE TUS CONOCIMIENTOS

Integra tus conocimientos: a) Define los siguientes conceptos. Regresa al texto de la subunidad tantas veces sea necesario. → Física → Relación entre la física y las ciencias. → Magnitud → Sistemas de Unidades → Orden de Magnitud b) Utiliza el siguiente espacio para realizar un mapa conceptual con los principales temas tratados en esta unidad. Resuelve las siguientes situaciones: Transforma

a

Transforma

a

Transforma

a

AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

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UNIVERSIDAD DE CUENCA

Segunda Subunidad

ELEMENTOS DE ÁLGEBRA VECTORIAL ELEMENTOS DE ÁLGEBRA VECTORIAL    EXPRESIÓN  TRIGONOMÉTRICA  DE VECTORES 

  SUMA    TRIGONOMÉTRICA   DE VECTORES 

EXPRESIÓN ANALÍTICA  DE VECTORES 

 

INTERCAMBIOS   EN LA EXPRESIÓN DE  UN VECTOR VECTORES UNITARIOS 

 

  RESTA  TRIGONOMÉTRICA  DE VECTORES

 

SUMA Y RESTA   ANALÍTICA DE VECTORES 

 

 

 

PRODUCTO DE UN ESCALAR  POR UN VECTOR

PRODUCTO ESCALAR  DE VECTORES

  PRODUCTO VECTORIAL   DE VECTORES  

AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

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UNIVERSIDAD DE CUENCA

Segunda Subunidad

ELEMENTOS DE ÁLGEBRA VECTORIAL El Álgebra vectorial es una rama de la matemática, en la que las cantidades no son aritméticas o algebraicas, sino otros entes matemáticos llamados “vectores”, los cuales son utilizados para simbolizar representar las magnitudes vectoriales. El álgebra vectorial es una de las más importantes ramas de las matemáticas utilizadas para el estudio de la Física, lo cual hace que sea estudiada previamente al abordaje de la Física propiamente dicha. 5.2.1 EXPRESIÓN TRIGONOMÉTRICA DE VECTORES OBJETIVOS DEL TEMA: Conocer y aplicar la expresión trigonométrica de un vector. Valorar e incrementar el interés por esta nueva metodología.

Las magnitudes vectoriales son magnitudes que para estar determinadas precisan de un valor numérico, una dirección, un sentido y un punto de aplicación. Un vector es la expresión geométrica que proporciona la medida de cualquier magnitud vectorial. Los elementos de un vector son los siguientes (figura 5.2.1.1.): • Un origen o punto de aplicación: A. • Un extremo: B. • Una dirección: Una recta imaginaria que contiene al vector. • Un sentido: indicado por la punta de flecha en el extremo B. • Un módulo, expresado por la longitud del segmento AB.

Fig.5.2.1.1. Elementos de un vector.

Para nombrar un vector se utiliza una letra o símbolo cualquiera con una flechita en su parte superior, por ejemplo

,…

Hay varias maneras de expresar la magnitud de un vector: utilizaremos dos; en la primera el nombre del vector va encerrado entre barras, por ejemplo:

AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

36

UNIVERSIDAD DE CUENCA y la segunda, en la que plo .

nombre del vector va sin la flechita, por ejem-

Dos vectores son iguales cuando tienen el mismo módulo y la misma dirección, como muestra la figura 5.2.1.2.

Fig. 5.2.1.2. Igualdad de vectores.

Un vector libre queda caracterizado por su módulo, dirección y sentido. El vector libre es independiente del lugar en el que se encuentra. Los vectores se pueden expresar de varias formas, de estas estudiaremos dos: la forma trigonométrica y la forma analítica. Un vector queda expresado trigonométricamente mediante su magnitud o valor numérico, su dirección y sentido está determinado por dos ángulos llamados ángulos directores. Los ángulos directores de un vector son los ángulos planos formados entre el vector y cada uno de los ejes positivos del plano o sistema de referencia utilizado. En el plano bidimensional, los vectores tienen dos ángulos directores de.En el plano tridimensional (espacio) los signados con las letras griegas vectores tienen tres ángulos directores . La expresión trigonométrica de dos vectores está determinado por:

Ejercicio Resuelto 1 Se tiene un vector de módulo 25 y de ángulos directores presa dicho vector en la forma trigonométrica y gráfica. El vector expresado en la forma trigonométrica es:

AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

Ex-

37

UNIVERSIDAD DE CUENCA

El vector expresado en la forma gráfica es:

Para el vector de módulo 25 y de ángulos directores Expresa dicho vector en la forma trigonométrica y gráfica. El vector expresado en la forma trigonométrica es: El vector expresado en la forma gráfica es:

Evalúa tu comprensión: Un vector es un………………………….. que representa………………… En la forma trigonométrica los vectores se expresan mediante………. y sus………………………………….. Lee, razona y resuelve: ¿Por qué a la longitud se le considera cantidad escalar y a la velocidad se le considera cantidad vectorial? Representa los siguientes vectores en el sistema de referencia mostrado:

AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

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UNIVERSIDAD DE CUENCA

Taller 5. 2.1 Usa tu aula como referencia. Construye vectores que indiquen la posición de las lámparas, de los marcos superiores de puertas y ventanas, de los extremos del pizarrón y de tu pupitre con respecto a un punto arbitrario. Registra los datos en la siguiente tabla: VECTORES

MAGNITUD

ÁNGULOS RES.

DIRECTO-

Usa esta plantilla para registrar tu informe y disértalo a tus compañeros: INVESTIGACIÓN 5.2.1.REALES Tema:

APLICACIÓN DE VECTORES A SITUACIONES

Situación Problémica:

Objetivos Generales:

AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

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UNIVERSIDAD DE CUENCA

Objetivos Específicos:

Metodología de trabajo:

Resolución:

Respuesta e interpretación física:

5.2.2 SUMA TRIGONOMÉTRICA DE VECTORES EN EL PLANO OBJETIVOS DEL TEMA: Descubrir y aplicar correctamente el algoritmo para la suma trigonométrica de vectores en el plano. Plantear situaciones problémicas referidas a esta operación con vectores.

Los vectores, al igual que los números, son entidades matemáticas sobre las cuales se efectúan algunas operaciones. En esta guía se desarrollarán algunas de estas operaciones, las más elementales y necesarias para el estudio de la Física. Empezaremos con la suma de dos vectores expresados en forma trigonométrica, la cual se puede realizar mediante dos métodos: 9 Método del triángulo. Este método combina la labor gráfica con conocimientos de trigonometría y geometría, por lo que se recomienda refrescarlos antes de abordar este tema. El método del triángulo tiene algunos pasos los cuales vamos a detallar con la ayuda de un ejemplo: Sumar los siguientes vectores:

AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

40

UNIVERSIDAD DE CUENCA

1.

Se dibujan los vectores en el plano cartesiano.

2.

Se determina el ángulo

entre ellos, para ello se suma o se resta los

ángulos directores de los vectores. Del gráfico se observa que:

3. Se traslada el vector cuyo ángulo director es mayor al extremo del otro vector; este vector debe quedar a continuación del otro.

4. Se junta el origen del primer vector con el extremo del otro mediante un tercer vector que será el vector suma o vector resultante. De esta manera se forma un triángulo de vectores.

AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

41

UNIVERSIDAD DE CUENCA 5. Se aplica la ley de cosenos al triángulo de vectores OPQ para obtener la magnitud del vector resultante. Aquí hay que percatarse bien en el valor del ángulo entre

y

, en este caso es el suplementario de

Del gráfico se tiene que:

Con los datos:

Y el vector resultante es:

6. Se aplica la ley de senos al triángulo de vectores para obtener el ángulo entre el vector resultante y el de vector no trasladado. Del gráfico se tiene que:

Es decir:

Resolviendo se tiene que:

Con lo que: 7. Con el ángulo así obtenido, se obtienen los ángulos directores. Aquí hay que proceder con sumo cuidado para elegir correctamente los ángulos, en el ejemplo, hay que sumar para obtener :

para obtener el ángulo director

y restar

El vector resultante queda expresado en la forma trigonométrica y gráfica de la AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

42

UNIVERSIDAD DE CUENCA siguiente manera:

9 Método de superposición. Otra manera de expresar la suma de manera gráfica es trasladar el segundo

vector a sumar de tal manera que el origen de éste, coincida con el extremo del primer vector, luego un segundo, un tercero, etc., siguiendo la misma lógica. La suma la obtendremos dibujando un vector que vaya desde el origen del primer vector hasta el extremo del último, de la siguiente manera:

Sumar los siguientes vectores utilizando el método de superposición. Sumar los siguientes vectores:

AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

43

UNIVERSIDAD DE CUENCA Primero dibujamos un sistema de referencia con el primer vector en el origen. Como la suma es una operación conmutativa, se puede colocar a los vectores en el orden que queramos sin que se altere el resultado.

Es necesario establecer una escala adecuada y dibujar con la mayor exactitud posible, recuérdese que es un método puramente gráfico, el resultado depende de la calidad del gráfico. Luego se va dibujando los vectores tomando como centro de referencia la punta de la flecha del vector precedente, con esto, se logra lo siguiente:

Al final se mide el tamaño del vector resultante y sus ángulos. En el ejemplo, se tiene que: Evalúa tu comprensión: El vector resultante de sumar dos vectores está dado por la ecuación…………………cuya magnitud se obtiene mediante…………………………………………….. Los ángulos directores del vector resultante se obtienen a partir del……….. Lee, razona y resuelve: Para los siguientes vectores:

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44

UNIVERSIDAD DE CUENCA

Calcular por los dos métodos: a) b) c) Dibujar los vectores y los resultados. Taller 5.2.2 Suma los vectores del taller anterior en la forma trigonométrica. Trata de obtener la suma trigonométrica de dos vectores que puedes encontrar en tu establecimiento. Socializa los resultados. INVESTIGACIÓN 5.2.2.- APLICACIÓN REAL DE SUMA DE VECTORES EN LA FORMA TRIGONOMÉTRICA 2 Tema: Situación Problémica:

Objetivos Generales:

Objetivos Específicos:

AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

45

UNIVERSIDAD DE CUENCA Metodología de trabajo:

Resolución:

Respuesta e interpretación física:

5.2.3 RESTA TRIGONOMÉTRICA DE DOS VECTORES EN EL PLANO OBJETIVOS DEL TEMA: Descubrir y aplicar correctamente el algoritmo para la resta trigonométrica de vectores en el plano. Plantear situaciones problémicas referidas a esta operación con vectores.

Se conocen dos métodos: por reducción a suma y por diferencia de vectores. 9 Por reducción a suma: al vector sustraendo. Para ello se resta a cada uno de los Se gira ángulos directores y se toma su valor absoluto. Se escribe el nuevo vector sustraendo y se le suma el minuendo con el método de la suma trigonométrica. Para ello seguiremos el siguiente ejemplo Ilustrativo

AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

46

UNIVERSIDAD DE CUENCA Para los siguientes vectores:

Halla 1.

Se halla -

2.

Se dibuja los vectores y se procede como en la suma:

Del gráfico se obtiene el ángulo

entre los vectores:

Por la ley de los cosenos: Por la ley de los cosenos se obtiene el ángulo

:

Con lo que:

Luego:

El vector resultante queda expresado de la siguiente manera:

AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

47

UNIVERSIDAD DE CUENCA

9 Por diferencia de vectores: Se sigue el siguiente algoritmo: 1. Se dibujan los dos vectores en el plano y se determina el ángulo entre ellos. 2. Se traza un nuevo vector, el cual va desde el extremo del sustraendo hasta el extremo del vector minuendo. De esta forma obtenemos un triángulo de vectores. 3. Se traslada el vector resultante al origen. 4. Se resuelve el triángulo de vectores: mediante la ley de cosenos se halla el módulo del vector resultante y con la ley de los senos el ángulo entre el vector minuendo y el resultante. 5. Los ángulos directores se determinan mediante un análisis cuidadoso del triángulo de vectores. Para ello seguiremos ejemplo Ilustrativo anterior: Halla

Del triángulo de vectores OMN obtenemos la magnitud y ángulos directores del vector resultante: Por la ley de los cosenos:

Trasladamos el vector resultante al origen del sistema coordenado. Por ley de cosenos obtenemos el ángulo N:

Calculamos los ángulos directores:

Con o que el vector resultante queda expresado de la siguiente manera:

AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

48

UNIVERSIDAD DE CUENCA

Evalúa tu comprensión: Compara los algoritmos para la suma y resta trigonométrica de los vectores en el plano. Extrae algunas conclusiones importantes. Investiga y responde: ¿cuándo la magnitud de la suma o resta de dos vectores de reduce a la suma o resta de sus magnitudes? Lee, razona y resuelve: Para los siguientes vectores:

Calcular por los dos métodos a) b) c) Dibujar los vectores y los resultados.

Taller 5.2.3 Con la ayuda de cuerdas, sal al patio y realiza una práctica de resta de vectores. Dibuja un sistema de referencia y mide el vector resultante. Luego haz los cálculos y obtén el valor de dicho vector. Compáralo con el medido y saca el error de medición. Usa la siguiente ecuación:

En donde:

valor medido y

valor calculado

¡Multiplica por cien y has obtenido el error porcentual!

AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

49

UNIVERSIDAD DE CUENCA

INVESTIGACIÓN 5.2.3.- APLICACIÓN REAL DE RESTA DE VECTORES EN LA FORMA TRIGONOMÉTRICA. Tema: Situación Problémica:

Objetivos Generales:

Objetivos Específicos:

Metodología de trabajo:

Resolución: Respuesta e interpretación física:

5.2.4 VECTORES UNITARIOS OBJETIVOS DEL TEMA: Aprehender, relacionar y aplicar correctamente los conceptos dados. Resaltar la importancia de la interrelación asertiva en el equipo de trabajo.

AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

50

UNIVERSIDAD DE CUENCA Se denomina vector unitario a un vector, cuyo punto de partida es el origen del sistema de referencia, su módulo es 1 y su dirección y sentido siempre apuntan al lado positivo del sistema. Los vectores unitarios en el plano XY suelen representarse respectivamente por

como se muestra en la figura.

Los vectores unitarios en el espacio XYZ suelen representarse respectivamente por

También es posible especificar vectores unitarios en cualquier dirección o en direcciones de cualquier otro vector. Por ejemplo, el vector unitario en la dirección de un vector

dado es:

Ejercicio Guía Calcula y grafica el vector unitario correspondiente a la dirección de los siguientes vectores.

AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

51

UNIVERSIDAD DE CUENCA

Como la dirección del vector es arbitraria, tenemos que: Para :

Para :

Para :

Evalúa tu comprensión: Se llaman vectores unitarios…………………………………………………………... Expresa todos los vectores unitarios del plano a la forma trigonométrica. Expresa todos los vectores unitarios del espacio a la forma trigonométrica. Lee, razona y resuelve: Grafica el vector unitario correspondiente a los siguientes vectores. Obtén su magnitud:

. AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

52

UNIVERSIDAD DE CUENCA

Taller 5.2.4 Investiga una situación real donde se apliquen los contenidos de este tema. Pide ayuda a tu profesor. Luego comparte con tus compañeros el informe correspondiente.

INVESTIGACIÓN 5.2.4.- APLICACIÓN REAL DE VECTORES UNITARIOS Tema: Situación Problémica:

Objetivos Generales:

Objetivos Específicos:

Metodología de trabajo:

Resolución:

Respuesta e interpretación física:

AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

53

UNIVERSIDAD DE CUENCA 5.2.5 COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR. EXPRESIÓN ANALÍTICA DE VECTORES OBJETIVOS DEL TEMA: Descubrir los conceptos y aplicarlos en los ejercicios y actividades propuestas. Plantear situaciones reales de aplicación. Despertar el espíritu de colaboración en el grupo de trabajo.

A un vector podemos proyectarlo en la dirección de uno de los ejes coordenados. Este vector puede ser considerado como resultado de la suma de las tres proyecciones, las cuales son perpendiculares entre sí. De este modo:

y se denominan componentes del vector.

Los escalares o coeficientes, Para un vector yección de

dado,

es la proyección de

sobre el eje

sobre el eje

;

es la pro-

. Esto para el plano. En el espacio se tienen,

además de las dos anteriores, la componente

es la proyección de

sobre el

eje . También puede representarse de la siguiente forma: Los vectores proyección , y se obtienen a través de relaciones trigonométricas en la figura 5.2.5.1:

fig. 5.2.5.1. Componentes rectangulares de un vector Los coeficientes son: ;

;

y son los ángulos directores del vector. , y De donde son los cosenos directores del vector, los cuales son expresados de la siguiente manera: ;

;

AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

54

UNIVERSIDAD DE CUENCA La expresión analítica de vectores es la representación de un vector como la suma de sus componentes rectangulares. En el espacio, un vector en la forma analítica se expresa de la siguiente forma:

En el plano, la expresión es la siguiente:

La magnitud está dada por: y la dirección está determinada por los ángulos directores, obtenidos de los cosenos directores:

; Reemplazando datos se llega a la conclusión de que el ángulo director es obtuso si el coseno director es negativo. Con las herramientas anteriores podemos cambiar la expresión de un vector de la forma trigonométrica a la analítica. Para ello calculamos las componentes rectangulares del vector dado y lo expresamos como la suma analítica de sus componentes. Para cambiar de la forma analítica a la trigonométrica se calcula la magnitud y los ángulos directores del vector dado y se expresa el vector en forma trigonométrica: magnitud y ángulos directores. Ejercicio Guía Hallar los ángulos directores de un vector cuyas componentes en los ejes X, Y y Z sean 4, 6, 8, respectivamente, y cuyo módulo sea Del enunciado tenemos que:

Con lo que el vector queda expresado de la siguiente manera:

AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

55

UNIVERSIDAD DE CUENCA Por otro lado: , entonces:

, por lo que:

, entonces:

por lo que:

, entonces:

, por lo que:

68,2°  56,15°

42,03°

Evalúa tu comprensión: Las componentes rectangulares de un plano son:………………………………… ……………………………………………………………………………………………. Se llaman cosenos directores a:……………………………………………………… …………………………………. y cuyas ecuaciones son:………………………….. Un vector se expresa analíticamente en el espacio por medio de la ecuación: ………………………….. Lee, razona y resuelve: Para los siguientes vectores:

Determinar: → Las componentes rectangulares y sus magnitudes. → Los cosenos directores. → Los ángulos directores. Taller 5.2.5 Con la ayuda de cuerdas construye algunos vectores en el patio. No olvides establecer primero un sistema de referencia. Luego, con la ayuda de un flexómetro y un graduador de costurera, mide la magnitud y ángulos directores de cada vector construido. En base a estos datos, obtén las componentes rectangulares de los vectores construidos. AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

56

UNIVERSIDAD DE CUENCA

INVESTIGACIÓN 5.2.5.- APLICACIÓN REAL DE COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR Y EXPRESIÓN ANALÍTICA DE VECTORES Tema: Situación Problémica:

Objetivos Generales:

Objetivos Específicos:

Metodología de trabajo:

Resolución:

Respuesta e interpretación física:

¡No te olvides de participar en clase! 5.2.6 SUMA Y RESTA ANALÍTICA DE VECTORES OBJETIVOS DEL TEMA Descubrir la manera de relacionar vectores en la forma analítica. Aplicarlo correctamente al desarrollo de las aplicaciones prácticas propuestas.

AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

57

UNIVERSIDAD DE CUENCA Despertar el interés por el trabajo en equipo.

Si tenemos varios vectores y queremos compararlos (sumarlos o restarlos):

Primero vemos si todos se encuentran en la forma analítica. Vemos que el último vector no lo está. Lo expresamos, pues, dicha forma: Luego los encolumnamos de tal manera que las componentes queden en una misma columna.

Luego se comparan (suman o restan) entre sí las componentes para obtener la expresión analítica del vector resultante.

Ejercicio Guía Calcula la suma de los siguientes vectores:

Primero expresamos el último vector en la forma analítica:

Luego los encolumnamos y sumamos:

AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

58

UNIVERSIDAD DE CUENCA

El vector resultante viene dado por:

Evalúa tu comprensión: Compara la suma vectorial con la suma aritmética ¿Qué conclusiones obtienes? Investiga otros métodos para sumar vectores. Compártelos con tus compañeros. Lee, razona y resuelve: ¿La magnitud de la suma de dos vectores dados siempre será menor que el módulo de la diferencia de esos vectores? Un vector de 5 unidades apunta en la dirección positiva del eje X y otro de 3 unidades se orienta formando un ángulo de 44º con ese mismo eje. Determine la suma y la resta de estos vectores, gráfica y analíticamente. Un vector nadas

se extiende desde el origen hasta un punto que tiene por coordeotro

se extiende desde el origen hasta el punto,

se extiende desde el origen hasta el punto otro res y determine su suma y resta, analíticamente.

y

.Grafique los vecto-

Taller 5.2.6 Arma un equipo de investigación y pide asesoría a tu profesor para encontrar una situación relacionada con el tema. Socializa los resultados. INVESTIGACIÓN 5.2.6.- APLICACIÓN REAL DE SUMA Y RESTA ANALÍTICA DE VECTORES Tema: Situación Problémica:

AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

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UNIVERSIDAD DE CUENCA

Objetivos Generales:

Objetivos Específicos:

Metodología de trabajo:

Resolución: Respuesta e interpretación física:

5.2.7 PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR OBJETIVOS DEL TEMA: Aprender e interpretar correctamente este concepto. Relacionarlo con los conceptos previos. Motivar al trabajo individual.

El resultado de multiplicar un escalar sado por

por un vector

es otro vector expre-

con las siguientes características:

1.

Tiene la misma dirección que .

2.

Si

es positivo, tiene el mismo sentido que

; si

es negativo, tiene

sentido contrario a . 3.

El módulo de

es

veces mayor que

Para un vector expresado en forma trigonométrica, el vector mediante: AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

queda definido

60

UNIVERSIDAD DE CUENCA

si si Analíticamente, tenemos que multiplicar el escalar por cada una de las componentes del vector. El producto de un escalar por un vector cumple con las siguientes propiedades: 1.-Conmutativa: 2.-Distributiva: Ejercicio Guía multiplíquelo por

Dado el vector:

La representación gráfica del producto es igual a sumar el vector tantas veces como indica el escalar. Evalúa tu comprensión: es otro vector expreEl resultado de multiplicar un escalar por un vector sado por ……………..con las siguientes características:…………………... ……………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………. Lee, razona y resuelve:

y

Dado el escalar: Dado el escalar: Dado el escalar:

y

, hallar , hallar

y

, hallar

AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

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UNIVERSIDAD DE CUENCA

Taller 5.2.7 Demuestra que si a un vector orientado en la diagonal de un cubo de lado l se le multiplica por un escalar cualquiera k, el lado del cubo que contiene al vector aumenta en k. Puedes construir el modelo en cartulina y exponerlo a tus compañeros. INVESTIGACIÓN 5.2.7.- APLICACIÓN REAL DE PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR Tema: Situación Problémica:

Objetivos Generales:

Objetivos Específicos:

Metodología de trabajo:

Resolución:

AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

62

UNIVERSIDAD DE CUENCA Respuesta e interpretación física:

5.2.8 PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES OBJETIVOS DEL TEMA Descubrir y conocer correctamente los conceptos. Deducir aplicaciones. Colaborar con el trabajo en equipo.

El producto escalar de dos vectores, conocido como producto interno o producto punto, es una operación cuyo resultado es un escalar. Esta operación está . expresado como En forma gráfica, el producto escalar de dos vectores está dada por:

En donde

es el ángulo formado por los dos vectores (ver figura)

En forma analítica el producto escalar de vectores se obtiene de la suma de los productos de los coeficientes de las componentes de uno y otro vector. Es decir, dados dos vectores das:

y , expresados en un mismo sistema de coordena-

Teniendo en cuenta el producto escalar de los vectores unitarios:

El resultado de multiplicar escalarmente

por

es:

AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

63

UNIVERSIDAD DE CUENCA El producto punto de vectores cumple con las siguientes propiedades: Conmutativa: Distributiva con respecto a la suma: siendo

Asociativa:

escalar.

Si, y sólo sí Si

= 0,

es perpendicular a .

Ejercicio Guía Calcular

el

producto

escalar

de

los

vectores

y

. Hallar el ángulo que forman. Primero hallamos el producto escalar de los vectores: Ahora calculamos el ángulo que forman: Sabemos que:

, nos queda que hallar el producto de sus módulos Como ya calculamos para poder realizar el cociente: 22,17 Entonces:

y obtenemos que el ángulo entre los vectores es = 108.06º. Evalúa tu comprensión: el producto escalar de dos vectores en el plano es……………………. y está expresado por ……………..con las siguientes propiedades :…………………... ……………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………. Lee, razona y resuelve: Para: man

los

y dos

calcula el producto escalar y el ángulo que forvectores. Dibuja todos los vectores

AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

64

UNIVERSIDAD DE CUENCA Para: y que forman los dos vectores. Dibuja los vectores. Demuestra que: res. Argumenta tu respuesta.

y

calcula el ángulo son perpendicula-

Taller 5.2.8 Realiza la demostración del producto escalar de los vectores unitarios. ¿Qué ángulo formarán dos vectores; el uno orientado desde el marco inferior izquierdo de la puerta hacia el marco inferior derecho del pizarrón y el otro orientado desde el marco inferior izquierdo de la puerta hacia el marco superior izquierdo del pizarrón? Puedes tomar el marco inferior izquierdo de la puerta como referente. Socializa los resultados. INVESTIGACIÓN 5.2.8.- APLICACIÓN REAL DE PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES Tema: Situación Problémica:

Objetivos Generales:

Objetivos Específicos:

Metodología de trabajo:

AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

65

UNIVERSIDAD DE CUENCA

Resolución:

Respuesta e interpretación física:

5.2.9 PRODUCTO VECTORIAL DE VECTORES OBJETIVOS DEL TEMA Comprender de manera cabal los conceptos y ecuaciones involucradas. Utilizarlos para la resolución de ejercicios y problemas de aplicación. Captar la metodología de trabajo.

Sean

y

dos vectores. Entonces definimos el vector

vectorial de

y

que es el producto

por:

De la ecuación podemos afirmar que el producto vectorial, externo o cruz de dos vectores una operación cuyo resultado es otro vector. Decimos que es producto cruz, porque el operador es la cruz de San Andrés Ahora bien, si vectorial,

Donde

y

están expresados en la forma trigonométrica, el producto está expresado por:

es el ángulo más pequeño entre los vectores

perpendicular al plano engendrado por los vectores

y

es un vector

.

es el que da la dirección al vector . El sentido del vector es el que El vector se obtiene usando la regla de la mano derecha. Se extienden los dedos en sentido del primer vector, se los empuña en el sentido del segundo vector, se extiende el pulgar, el cual señala el sentido del vector resultante. Una característica del producto cruz es que no es conmutativo, más bien, al cambiar el orden del producto se invierte el sentido del vector resultante.

El producto cruz es distributivo respecto a la suma vectorial: AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

66

UNIVERSIDAD DE CUENCA

Si analizamos el producto vectorial entre los vectores unitarios cartesianos, tendríamos que:

De esto se desprende la siguiente propiedad: El producto vectorial de un vector por sí mismo es igual a cero:

Evaluemos el producto cruz entre los dos vectores analítica: Sean

expresados en forma

dos vectores:

Entonces se tiene que:

+ Resolviendo se obtiene:

Considere un paralelogramo cuyos lados son los vectores

AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

tal como

67

UNIVERSIDAD DE CUENCA muestra la figura:

El área de tal paralelogramo viene dado por la magnitud del producto vectorial de

; es decir:

Ejercicio Guía Sean y dos vectores unitarios en el plano XY, que forman ángulos con el eje X, respectivamente (ver figura). Evalué el producto cruz de estos vectores de dos maneras: usando la definición y usando la expresión en términos de las coordenadas cartesianas, y de esta manera encuentre una expresión para

El ángulo entre los vectores

es

luego:

Por otra parte:

= Igualando las dos expresiones anteriores concluimos que:

Evalúa tu comprensión: El resultado de multiplicar vectorialmente dos vectores es otro vector expresado por ……………..con las siguientes características:…………………... AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

68

UNIVERSIDAD DE CUENCA ……………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………….

Lee, razona y resuelve: Para: forman

los

y dos

calcula el producto escalar y el ángulo que vectores. Dibuja todos los vectores.

Para: y calcula el ángulo que forman los dos vectores. Dibuja los vectores. Demuestra que la magnitud del área del paralelogramo cuyos lados son los y vectores mismos. Argumenta tu respuesta.

corresponde al producto vectorial de los

Taller 5.2.9 Demuestra en clase que el producto vectorial de dos vectores es un vector perpendicular a los anteriores. Utiliza materiales del medio. Pide asesoría a tu profesor. INVESTIGACIÓN 5.2.9.- APLICACIÓN REAL DE PRODUCTO VECTORIAL DE VECTORES Tema: Situación Problémica:

Objetivos Generales:

Objetivos Específicos:

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UNIVERSIDAD DE CUENCA

Metodología de trabajo:

Resolución:

Respuesta e interpretación física:

AUTOEVALUACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN DEL APRENDIZAJE MIDE TUS CONOCIMIENTOS

Integra tus conocimientos: c) Define los siguientes conceptos. Regresa al texto de la subunidad tantas veces sea necesario. → Vector → Vector Unitario. → Componentes rectangulares de un vector. → Producto escalar de vectores. → Producto vectorial de vectores. d) Utiliza el siguiente espacio para realizar un mapa conceptual con los principales conceptos tratados en esta unidad.

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UNIVERSIDAD DE CUENCA Resuelve las siguientes situaciones: Un vector

de coordenadas (1; 2; 3). Otro vector

componente de X el valor 1. Encuentre

de módulo

tiene por

de tal manera que sea perpendicular

a Dado los vectores:

a)

Encuentre el ángulo entre

encuentre los ángulos directores que forma el vector b) para el vector con los ejes X, Y Z, respectivamente.

Un triángulo tiene por coordenadas (1; -1), (5; 4), (-1; 8). Usando vectores, calcula la magnitud de sus lados, sus ángulos y su área.  Un arquitecto desea conocer el área de un terreno en forma de un paralelogramo. Con un GPS determina las coordenadas del terreno: A (-6; -4), B (-2; 2), C (6; --6), D (2; 4).Ayúdalo a calcular dicha área.

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UNIVERSIDAD DE CUENCA

Tercera Subunidad

ESTÁTICA TRASLACIONAL

   

ESTÁTICA TRASLACIONAL

    FUERZAS 

        COMPOSICIÓN DE FUERZAS APLICADAS SOBRE  UNA PARTÍCULA 

    EQUILIBRIO TRASLACIONAL  DE UNA PARTÍCULA

 

AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

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UNIVERSIDAD DE CUENCA Tercera Subunidad

ESTÁTICA TRASLACIONAL La Estática es la parte de la Física que establece las condiciones que deben cumplir las fuerzas que se aplican a una partícula o sistema de partículas (cuerpo) para que éstas se hallen en equilibrio. La Estática traslacional hace referencia a la primera Ley de Newton para la traslación, la cual establece el equilibrio de partículas debidas a agentes externos o internos que originan traslación. Estos agentes son llamadas “fuerzas”, y son las causantes del movimiento de la mayoría de los cuerpos y sistemas físicos que existen en el universo. 5.3.1. FUERZAS. OBJETIVOS DEL TEMA: Lograr una correcta aprehensión y comprensión de los conceptos expuestos. Relacionarlos y aplicarlos a situaciones del quehacer cotidiano. Despertar el interés por la comunicación e interacción entre equipos de trabajo.

Fuerza es toda causa capaz de modificar el estado de reposo o movimiento de un cuerpo, o de producir una deformación en el mismo. Las fuerzas se clasifican en: Fuerzas de contacto.-son ciertos tipos de fuerzas que se presentan en los objetos que interactúan y que están físicamente en contacto (Por ejemplo: la fuerza con que se empuja un objeto, la fuerza de fricción, etc.) Fuerzas de acción a distancia.-Este tipo de fuerzas se caracterizan por presentarse en los objetos no se encuentran físicamente en contacto (Ejemplos típicos de este tipo de fuerzas son la fuerza de atracción gravitatoria y la fuerza magnética, etc.) Por su disposición geométrica, las fuerzas se clasifican en: concurrentes, paralelas, perpendiculares, coplanares, etc. Los elementos de una fuerza son: magnitud, dirección, sentido y punto de aplicación. El punto de aplicación de una fuerza es primordial, ya que va a determinar el movimiento que causa dicha fuerza. La unidad de la fuerza en el SI es el Newton.

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UNIVERSIDAD DE CUENCA Para representar gráficamente una fuerza se emplean vectores. El módulo del vector (medida del segmento OB) es la magnitud de la fuerza; la dirección, es la recta imaginaria (recta directriz) por la que pasa el vector el sentido la cabeza de la flecha y el punto de aplicación O corresponden a los de la fuerza.

Muchas veces tenemos distintas fuerzas aplicadas a un cuerpo y en distintas direcciones. Para conocer su comportamiento lo que hacemos es calcular la fuerza resultante, equivalente a la suma vectorial de todas las fuerzas aplicadas. Pero no siempre tenemos las coordenadas cartesianas de los vectores de las fuerzas aplicadas, sino que en la mayoría de los casos las encontramos como un módulo y un ángulo, lo que suele llamarse coordenadas polares. Para resolver este tipo de problemas, lo que hay que hacer es descomponer a las fuerzas proyectándolas sobre los ejes por medio de relaciones trigonométricas simples, tales como seno, coseno y tangente. Una vez que tenemos cada componente proyectada, hacemos las sumas y restas sobre cada eje para luego volver a componer todo en una resultante. Las principales ecuaciones son: Componentes rectangulares de una fuerza:

Ángulos directores de una fuerza:

; Ecuación vectorial de las fuerzas:

La fuerza de rozamiento es un tipo particular de fuerza que se opone al movimiento de los cuerpos, es decir, su valor no puede incrementar NUNCA la fuerza que es aplicada, por lo que no cambia el sentido del movimiento del cuerpo, solo lo frena. Ejercicio Guía

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UNIVERSIDAD DE CUENCA Un automóvil está tomando una curva, la cual tiene un ángulo de inclinación con respecto a la horizontal. Hallar la resultante de las fuerzas que actúan sobre el automóvil al momento de tomar dicha curva.

Vemos que las fuerzas que actúan sobre el automóvil son: el peso y la fuerza normal . La resultante de estas dos fuerzas es    

. De tal manera que: . Ordenando tenemos que: .

Evalúa tu comprensión: Cuando empujas los dedos contra un muro, se doblan, porque están sometidos a una fuerza. Identifica esa fuerza. Un boxeador puede golpear con gran fuerza un saco de arena. ¿Por qué no puede golpear un trozo de papel en el aire, con la misma fuerza? Compara la fuerza que experimenta un camión para subir una cuesta y la que experimentas cuando levantas este libro. Pon por escrito las semejanzas y diferencias. Lee, razona y resuelve: Dos alumnos ubicados en los bordes opuestos de un camino recto tiran a un carro por el camino, con fuerzas de 160 N y 200 N, que forman un ángulo de 30º y 60º respectivamente, con la dirección del camino. a) Calcular la magnitud de la fuerza resultante y la dirección en la que se moverá el carro. b) Calcular la fuerza necesaria para que el carro se mueva en la dirección del camino. El asta de la bandera de tu colegio se mantiene fija mediante una cuerda fija al asta, a 8 m de altura y clavado en el suelo a una distancia de 6 m de la base del poste. Si la fuerza (tensión) que soporta la cuerda es 2 560 N, halle magni-

AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

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UNIVERSIDAD DE CUENCA tud de las componentes de la tensión que la cuerda ejerce sobre el asta.

Taller 5.3.1 Investiga acerca de los diferentes tipos de fuerzas que existen en el Universo. Luego haz una exposición sobre el tema. INVESTIGACIÓN 5.3.1.- APLICACIÓN REAL DE FUERZAS Tema: Situación Problémica:

Objetivos Generales:

Objetivos Específicos:

Metodología de trabajo:

Resolución:

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UNIVERSIDAD DE CUENCA

Respuesta e interpretación física:

5.3.2. COMPOSICIÓN DE FUERZAS APLICADAS SOBRE UNA LA.

PARTÍCU-

OBJETIVOS DEL TEMA: Conocer y manejar correctamente los conceptos. Generalizarlos y relacionarlos con situaciones parecidas.. Despertar el interés por la organización y la participación.

Si al pesar de un cuerpo colocamos en el platillo las siguientes pesas: 500 g, 250 g, 200 g, 50 g, en ese platillo concurren varias fuerzas (sistema de fuerzas), pero sí por el contrario, colocamos una sola pesa de 1 000 g se aplicarás una fuerza con el mismo resultado. Es decir, varias fuerzas aplicadas a un mismo cuerpo pueden ser reemplazadas por una sola, que es la resultante de la composición de las anteriores. Composición de fuerzas significa suma vectorial de las mismas. Composición de fuerzas concurrentes.-Se denominan fuerzas concurrentes a aquellas fuerzas cuyas rectas directrices se cortan en un punto del plano o del espacio llamado punto de concurrencia C Siempre el origen del sistema de referencia es el punto C. La composición de fuerzas concurrentes (figura 5.3.2.1) es otra fuerza llamada fuerza resultante y está determinada por la siguiente ecuación:

Fig.5.2.1.1. Fuerzas concurrentes

Composición de fuerzas paralelas.-Se denominan fuerzas paralelas a aquellas fuerzas que, dentro de un plano de referencia, tienen la misma dirección. La fuerza resultante o composición de fuerzas paralelas (figura 5.3.2.2) está dada por la suma vectorial de las fuerzas parciales:

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UNIVERSIDAD DE CUENCA Composición de fuerzas perpendiculares.-Son fuerzas cuyas directrices se cruzan formando un ángulo recto. La fuerza resultante o composición de fuerzas perpendiculares se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo de fuerzas, es decir:

Composición de fuerzas coplanares.- Se denominan fuerzas coplanares a aquellas fuerzas cuyas directrices están en un mismo plano de referencia (figura 5.3.2.3). Para nosotros, el plano de referencia es el plano cartesiano bidimensional o plano XY. La fuerza resultante o composición de fuerzas coplanares está dada por la suma vectorial de las fuerzas parciales:

Fig. 5.3.2.3. Fuerzas coplanares

Ejercicio Guía Un grupo de obreros intenta desplazar una caja aplicando varias fuerzas:            

Indica la resultante de las fuerzas.

Fig.5.3.2.2. Fuerzas paralelas

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78

UNIVERSIDAD DE CUENCA

  La resultante viene dada por la suma vectorial de todas las fuerzas, es decir:   

Evalúa tu comprensión: Fuerzas concurrentes son:…………………………………………………………….………………………… La composición de fuerzas coplanares, paralelas y concurrentes está dado por la ecuación:…………………………………………………………………………… Lee, razona y resuelve: Sobre un plano inclinado liso de 5 m de largo y 6 m de altura se encuentra un bloque de 5 680 N en reposo atrancado por un tope. Calcule las fuerzas que el bloque ejerce sobre el plano inclinado y sobre el tope. Dos obreros conducen una carga de 60 kg con una barra de 2,50 m de largo de masa despreciable.. La carga pende a 1,50 m de uno extremo. Calcula la fuerza que debe hacer cada obrero si conducen la barra sostenida por uno de sus extremos. Cuatro fuerzas coplanares actúan sobre una lámina de latón. La primera, de 240 N actúa hacia la derecha, la segunda, de 549 N forma un ángulo de 24º con respecto a la primera, la tercera, de 876 N forma un ángulo de 30º con respecto a la segunda y la cuarta, de 1200 N forma un ángulo de 45º con la tercera. Halle la fuerza resultante y el ángulo que forma con la segunda fuerza. Analiza el rectángulo de la figura. Calcula la resultante.

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UNIVERSIDAD DE CUENCA

Taller 5.3.2 Responde experimentalmente la siguiente pregunta: ¿Porque puedes ejercer mayor fuerza en los pedales de una bicicleta si te aferras al manubrio? INVESTIGACIÓN 5.3.1.- APLICACIÓN REAL DE COMPOSICIÓN DE FUERZAS APLICADAS SOBRE UNA PARTÍCULA Tema: Situación Problémica:

Objetivos Generales:

Objetivos Específicos:

Metodología de trabajo:

Resolución:

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UNIVERSIDAD DE CUENCA

Respuesta e interpretación física:

5.3.3. EQUILIBRIO TRASLACIONAL DE UNA PARTÍCULA. OBJETIVOS DEL TEMA: Aplicar los conceptos propuestos a situaciones del quehacer cotidiano. Incitar la motivación al trabajo grupal. Supongamos una partícula P sujeta a la acción de varias fuerzas, como se muestra en la figura:

Como P es tan pequeña, distinguimos solamente el movimiento de traslación, pues el de rotación en torno a su propio eje, es imperceptible. La condición necesaria y suficiente para que una partícula permanezca en equilibrio (en reposo) es que la resultante de las fuerzas que actúan sobre ella sea cero. Matemáticamente, esta ecuación se expresa así:

Generalizando tenemos:

Descomponiendo tenemos:

Naturalmente con esta condición la partícula está en reposo o se mueve sobre

AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

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UNIVERSIDAD DE CUENCA una trayectoria rectilínea con velocidad constante. Si ahora observamos un sistema de partículas sujeta a la acción de varias fuerzas, como se muestra en la figura: Para que un sistema de partículas permanezca en equilibrio, cada una de sus partículas debe permanecer en equilibrio. Ahora las fuerzas que actúan sobre cada partícula son, en parte de interacción con las otras partículas del sistema y en parte proveniente del exterior

.

Un sistema de partículas está en equilibrio si la suma de las fuerzas que actúan sobre cada partícula es cero, es decir:

Generalizando:

Diagrama de cuerpo libre: Un diagrama de cuerpo libre muestra a un cuerpo aislado con todas las fuerzas en forma de vectores que actúan sobre él (incluidas, si las hay, el peso, la normal, el rozamiento, la tensión, etc.).

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UNIVERSIDAD DE CUENCA Ejercicio Guía El sistema de la figura se encuentra en equilibrio. Los cables forman ángulos de 30º y 60º con la horizontal y la partícula pesa 250 N. Calcular la tensión en los cables.

Se aplica la condición de equilibrio:

Del DCL del bloque y en el nudo se obtienen las ecuaciones: Bloque:  

  Nudo:

 

De la ecuación (3) se obtiene:   De la ecuación  1 :  Reemplazando en las ecuación (2):

 

 

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UNIVERSIDAD DE CUENCA

Simplificando y despejando:

  Finalmente:

  Evalúa tu comprensión: ¿Qué significa decir que algo está en equilibrio mecánico? Una bola de boliche en reposo está en equilibrio ¿Está también en equilibrio cuando se mueve con rapidez constante sobre una trayectoria rectilínea? Lee, razona y resuelve: Un disco de amoladora de 750 N se mantiene en equilibrio por medio de la cuerda AB de 2,8 m de largo, y una fuerza horizontal F como muestra en la figura. Si la distancia entre la pared y la piedra es 1,4 m. Calcule la magnitud de F y la tensión de la cuerda

Una piedra de 1 000 N es sostenida por dos cuerdas, como indica la figura. Halla las tensiones de dichas cuerdas sabiendo que

= 45º.

Taller 5.3.3 Investiga y responde: ¿Qué mantiene a la Tierra moviéndose alrededor del Sol? INVESTIGACIÓN 5.3.3.- APLICACIÓN REAL DE EQUILIBRIO TRASLACIONAL DE UNA PARTÍCULA Tema: Situación Problémica:

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UNIVERSIDAD DE CUENCA

Objetivos Generales:

Objetivos Específicos:

Metodología de trabajo:

Resolución:

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UNIVERSIDAD DE CUENCA

Respuesta e interpretación física:

AUTOEVALUACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN DEL APRENDIZAJE MIDE TUS CONOCIMIENTOS

Integra tus conocimientos: e) Define los siguientes conceptos. Regresa al texto de la subunidad tantas veces sea necesario. → Fuerza. → Relación entre fuerza y entorno. → Componentes rectangulares de una fuerza. → Composición de fuerzas. → Equilibrio de traslación de una partícula. f) Utiliza el siguiente espacio para realizar un mapa conceptual con los principales conceptos tratados en esta unidad.

AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

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UNIVERSIDAD DE CUENCA Ejercicio 4.2 Una barra de masa M y de largo L se equilibra como se indica en la figura. No hay roce. Determine: 9 Las fuerzas que intervienen. 9 El ángulo que hace la barra con la horizontal cuando hay equilibrio.

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UNIVERSIDAD DE CUENCA

Cuarta Subunidad

ESTÁTICA ROTACIONAL

ESTÁTICA ROTACIONAL

TORQUE DE UNA  FUERZA

TORQUE DE UN SISTEMA  DE FUERZAS 

EQUILIBRIO DE ROTACIÓN SÓLIDO  RÍGIDO

CENTROS DE MASA

EQUILIBRIO DE UN SÓLIDO RÍGIDO 

   

AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

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UNIVERSIDAD DE CUENCA Cuarta Subunidad

ESTÁTICA ROTACIONAL La Estática rotacional estudia las condiciones de equilibrio de rotación de los cuerpos. En esta subunidad veremos la causa de la rotación de una partícula o sistema de partículas, así como las condiciones de equilibrio de rotación de una partícula y de un cuerpo rígido. 5.4.1. TORQUE O MOMENTO DE UNA FUERZA. OBJETIVOS DEL TEMA: Lograr un conocimiento y comprensión correcta de los conceptos. Generalizarlos y caracterizarlos a situaciones cotidianas. Despertar la motivación por la investigación.

El torque o momento de una fuerza con respecto a un eje O es una medida de la efectividad de la fuerza para producir una rotación alrededor de dicho eje. Matemáticamente, es un vector resultante del producto vectorial del vector posición por el vector fuerza, es decir:

Donde r es el “vector posición”, es decir, es un vector que parte del origen del sistema de referencia o de un punto o eje Fig. 5.4.1.1 Torque de una fuerza cualquiera y llega al punto P de aplicación Z de la fuerza F, ver figura 5.4.1.1. El torque es la magnitud responsable de hacer girar a los objetos, por lo tanto el torque es en el movimiento de rotación lo que la fuerza es en el de traslación. Si el torque es un producto vectorial, entonces su dirección es perpendicular a Y X y a en el sentido dado por la regla de la mano derecha (si los dedos empuñados indican el sentido de la rotación entonces el pulgar extendido apunta a lo largo del eje de giro).Su magnitud está

dada por

, en donde

es el ángulo formado por los vectores

y .

AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

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UNIVERSIDAD DE CUENCA Note que el torque que ejerce una fuerza depende de la posición del punto Q donde ésta se aplica y del punto P respecto al cual estamos evaluando el torque. Por convención se considera el torque positivo si la rotación que produciría la fuerza es en sentido antihorario y negativo si es horario, esto se ilustra en la figura. La unidad de medida del torque en el SI es el N.m

Ejercicio Guía Calcular el torque

respecto

al

origen,

producido

, que se aplica a un objeto en la posición

por

una

fuerza m.

Por definición de torque:

Particularizando:  

Operando:   Y: Finalmente:

N.m

Evalúa tu comprensión: El torque es una cantidad……………….. definida por……………………… Explica porque la puerta se abre con más facilidad si la tiramos del extremo opuesto de las bisagras que si la tiramos del centro. AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

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UNIVERSIDAD DE CUENCA

Lee, razona y resuelve: Un mecánico aplica una fuerza de 32 N a una llave de 14 cm de largo, para apretar un perno. Si el ángulo entre la llave y la mano del mecánico es 32º. Halla el torque. aplicada en el punto

Halla el torque producido por la fuerza con respecto a) al punto

b) al punto

Taller 5.4.1 Cuando pedaleas una bicicleta, el torque máximo se produce cuando los pedales están en posición horizontal y es nulo cuando los pedales están en posición vertical. Explica por qué. INVESTIGACIÓN 5.3.3.- APLICACIÓN REAL DE TORQUE DE UNA FUERZA Tema: Situación Problémica:

Objetivos Generales:

Objetivos Específicos:

Metodología de trabajo:

AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

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UNIVERSIDAD DE CUENCA Resolución:

Respuesta e interpretación física:

AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

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UNIVERSIDAD DE CUENCA 5.4.2. TORQUE DE UN SISTEMA DE FUERZAS OBJETIVOS DEL TEMA: Ampliar el conocimiento anterior con el actual .Compararlo y establecer analogías y diferencias. Desarrollar el espíritu de investigación y análisis.

Supongamos ahora que tenemos un sistema de varias fuerzas. Cada una de ellas tendrá un punto de aplicación. Ahora bien, si las rectas directrices de dichas fuerzas se cortan en un punto común C (son concurrentes), la fuerza resultante es la suma vectorial de todas ellas, es decir:

Cada fuerza generará un torque con respecto a un eje o punto O. El torque resultante es la suma vectorial de los torques parciales correspondientes a las fuerzas parciales:

Como las fuerzas son concurrentes, se las puede desplazar para que todas actúen en un punto de concurrencia C. Luego se puede hallar el vector resultante y el vector posición que va del punto de concurrencia C al punto o eje O con respecto al cual se evalúa el torque. Hallado estos dos elementos se puede hallar el torque total: Si tenemos dos fuerzas cuyas directrices o líneas de acción son paralelas, del mismo módulo y sentido contrario, estas reciben el nombre de par. Un par aplicado a un cuerpo solo puede hacerle rotar. El módulo del torque de un par de fuerzas es igual al producto de una de ellas por la distancia entre sus líneas de acción (brazo del par) Ejercicio Guía Una barra AC de un metro de longitud está sometida a la acción de tres fuerzas verticales como indica la figura. Suponiendo que el peso de dicha barra es despreciable, calcula: La suma algebraica de las fuerzas aplicadas. El torque resultante del sistema.

Primero obtenemos la fuerza resultante:

AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

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UNIVERSIDAD DE CUENCA

Calculamos los torques parciales, para ello elegimos como eje al punto A:

De este modo calculamos el torque resultante:

Evalúa tu comprensión: El torque resultante de varias fuerzas con respecto a un punto O es la………………………………………………………………………………………… ………………….cuya ecuación es ……………………………………………. Lee, razona y resuelve: Demuestra que el torque total ejercido por las dos fuerzas que actúan sobre la barra de la figura, en torno al punto O, es nulo.

Para las siguientes fuerzas: Que actúa en el punto Que actúa en el punto Que actúa en el punto Calcula el torque resultante con respecto: →

Al punto

→

Al punto

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UNIVERSIDAD DE CUENCA Taller 5.4.2 Demuestra por que cuando un automóvil cae por un acantilado, gira hacia adelante al caer. Ten en cuenta el torque ejercido por el auto al dejar el acantilado. INVESTIGACIÓN 5.4.2.- APLICACIÓN REAL DE TORQUE DE UN SISTEMA DE FUERZAS Tema: Situación Problémica:

Objetivos Generales:

Objetivos Específicos:

Metodología de trabajo:

Resolución:

Respuesta e interpretación física:

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UNIVERSIDAD DE CUENCA 5.4.3. EL CUERPO RÍGIDO OBJETIVOS DEL TEMA: Lograr una comprensión y aplicación correcta del concepto. Generalizarlo a situaciones del quehacer cotidiano. Despertar el interés por el trabajo en diadas o parejas.

Un sólido rígido es un cuerpo extenso constituido por partículas cuyas posiciones relativas son fijas y que no experimenta deformación. En realidad no existen sólidos completamente rígidos, pero hay muchos en la práctica y para fuerzas no muy grandes, se comportan como tales. Tomemos como ejemplo el sólido rígido de la figura 5.4.3.1. Si sobre el cuerpo actúan varias fuerzas en diferentes puntos de aplicación, podemos obtener la fuerza resultante expresada como la suma de las fuerzas parciales, esto es:

Fig. 5.4.3.1. Cuerpo rígido.

Si se toma un punto arbitrario O y aplicamos cada una de las fuerzas parciales de manera que se produzca un torque con respecto a O, el torque resultante es expresado como la suma de los torques parciales, esto es:

Ejercicio Guía Halla la fuerza y el momento resultante con respecto a los extremos de la barra sometida al sistema de fuerzas indicado en la figura:

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UNIVERSIDAD DE CUENCA

Calculamos la fuerza resultante:   Calculamos el torque resultante con respecto a los puntos O y A:       

     

 

 

Los torques resultantes son:  

Evalúa tu comprensión: El vector resultante de sumar dos vectores está dado por la ecuación…………………cuya magnitud se obtiene mediante…………………………………………….. Los ángulos directores del vector resultante se obtienen a partir del………..

Lee, razona y resuelve: , , aplicaLa figura muestra las fuerzas das a un cuerpo rígido que puede girar en torno de un eje que pasa por O. Calcular el torque resultante.

Dos fuerzas

actúan a lo largo de los lados de un triángulo equilátero de

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UNIVERSIDAD DE CUENCA lado a, como se muestra en la figura. Encuentre una tercera fuerza que aplicada en el vértice a lo largo del lado produzca un torque neto en torno a O igual a cero.

Taller 5.4.3 Con la ayuda de cuerdas trata de arrastrar un bloque de concreto o alguna piedra localizada cerca al colegio. Con un dinamómetro mide las fuerzas aplicadas. Con estos datos, calcula la fuerza resultante. INVESTIGACIÓN 5.4.3.- APLICACIÓN REAL DE SÓLIDO RÍGIDO Tema: Situación Problémica:

Objetivos Generales:

Objetivos Específicos:

Metodología de trabajo:

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UNIVERSIDAD DE CUENCA

Resolución:

Respuesta e interpretación física:

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UNIVERSIDAD DE CUENCA 5.4.4. CENTROS DE MASA OBJETIVOS DEL TEMA: Comprender correctamente los conceptos. Caracterizarlos y aplicarlos para plantear y resolver situaciones problémicas Animar al alumno al estudio guiado.

Si tenemos dos masas, unidas por una barra de masa despreciable, tal como se muestra en la figura 5.4.4.1 Este sistema tendrá un punto P, externo o interno, tal que si sostenemos al sistema en ese punto, no existan fuerzas ni torques que lo obliguen a desplazarse o a girar. Este punto P de equilibrio es denominado Fig. 5.4.4.1 centro de masa de un cuerpo rígido o deformable; en este punto se supone que se concentra toda la masa del sistema. El centro de masa es de vital importancia para analizar el movimiento de cuerpos cuya geometría no facilita definir una trayectoria, esta es definida desde el centro de masa, reduciendo el análisis al movimiento del centro de masa. Si ahora obtenemos el vector posición masas:

que va desde P a cada una de las

Si multiplicamos el segundo miembro de la ecuación por: una masa:

tendríamos, para

Para varias masas:

Si los sistemas son láminas planas, las consideraremos asentadas en el plano XY; el vector centro de masa queda definido de la siguiente manera:

S analizamos experimentalmente algunas figuras geométricas planas y algunos sólidos macizos, podemos compararlos con los centros de masa indicados AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

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UNIVERSIDAD DE CUENCA en la siguiente tabla: Centros de masa de algunos cuerpos FIGURA PLANA O SÓLIDO POSICIÓN DEL CENTRO DE MASA Cuadrado, rombo, rectángulo, paraleCentro de diagonales planas logramo Círculo, polígonos regulares. Centro geométrico de la figura Centro de las medianas, sobre una Triángulos mediana a un tercio de la base Cubo, prisma, paralelepípedo Centro geométrico del sólido Conos, pirámides Sobre la altura a un cuarto de la base Ejercicio Guía Demostrar que el CM de un sistema de dos partículas materiales está más cerca de la partícula de mayor masa. Nos guiamos de la siguiente figura:

Consideramos el origen de distancia en m. La posición del CM vendrá dada por:

La distancia del CM a la partícula pequeña será:

Como

entonces

Como el centro de masa del sistema se encuentra cerca de la partícula con mayor masa, que es lo que queríamos demostrar.

Evalúa tu comprensión: En el centro de masa de un sistema de partículas parece:……………………… …………………………………………………………………………………………… Lee, razona y resuelve: AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

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UNIVERSIDAD DE CUENCA En cinco de los seis vértices de un hexágono regular hay una masa cuentre la posición del centro de masas del hexágono.

. En-

Calcula las coordenadas del centro de masa de esta guía. Luego encuentra el vector centro de masa con respecto a un punto de tu pupitre.

Taller 5.4.4 Pide a un amigo que se para de cara a una pared. Con los dedos de los pies contra la pared, pídele que se pare de puntas sin carece. No lo podrá hacer. Explícale exactamente porque no lo puede hacer INVESTIGACIÓN 5.4.4.- APLICACIÓN REAL DE CENTROS DE MASA Tema: Situación Problémica:

Objetivos Generales:

Objetivos Específicos:

Metodología de trabajo:

Resolución:

AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

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UNIVERSIDAD DE CUENCA

Respuesta e interpretación física:

5.4.5. EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO. OBJETIVOS DEL TEMA: Lograr un dominio de la base teórica y del método empleado para la resolución de ejercicios .Generalizarlo y relacionarlo con situaciones de la vida diaria. Despertar el interés por el descubrimiento en base a la investigación

Consideremos un cuerpo rígido formado por algunas masas situadas en una posición

respecto a un origen O y unidas por barras rígidas de masa des-

preciable (ver figura 5.4.4.1). Sea la fuerza externa que actúa sobre cada una de las masas. A continuación, usando la figura 5.4.4.1 demostraremos dos resultados importantes: Un cuerpo o sólido rígido que en cierto instante está en reposo, seguirá en tal estado si la fuerza resultante o fuerza neta que actúa sobre él es nula. Fig. 5.4.4.1

La condición bajo la cual un cuerpo rígido permanece en equilibrio de rotación es que el torque externo resultante respecto a un origen arbitrario es nulo. La ecuación:

Garantiza el equilibrio de traslación, en este caso, el sólido permanece en reposo o se mueve con movimiento rectilíneo uniforme (primera ley del equilibrio). La ecuación:

Garantiza el equilibrio de rotación; el sólido permanece en reposo o se mueve con movimiento circular uniforme. (Segunda ley del equilibrio). Cuando un cuerpo es trasladado sobre una superficie cualquiera, después de cierto tiempo se detiene, porque experimenta una resistencia a su movimiento AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

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UNIVERSIDAD DE CUENCA debido a la interacción del cuerpo con la superficie sobre la que se desliza Esa resistencia cambia el estado de movimiento del cuerpo, por lo tanto se trata de una fuerza, más exactamente, de una fuerza de roce o de fricción. Es una fuerza paralela al desplazamiento pero de sentido contrario. Es proporcional a las fuerzas normales entre las superficies de contacto. No depende del área de la superficie de contacto, pero sí de la naturaleza de las sustancias. Es mayor al iniciarse el movimiento que cuando se encuentra en movimiento. Son muy importantes en la vida cotidiana, ya que por ejemplo nos permiten caminar y son necesarias para que se realice el movimiento de vehículos. La fuerza de roce estático, es la fuerza que se presenta entre cuerpos en equilibrio, dicha fuerza es paralela a la superficie en el punto de contacto y su dirección es opuesta a la fuerza aplicada, nunca ayudan al movimiento. En la figura 5.3.3.1 se ilustra lo que acontece cuando un cuerpo se encuentra en equilibrio bajo el sistema de fuerzas indicado. Si aplicamos la condición de equilibrio:

Fig. 5.3.3.1 Es decir:

La fuerza de rozamiento estático es igual a la fuerza aplicada. Pero la fuerza de rozamiento puede aumentar hasta un límite, el cual depende de la naturaleza de las superficies en contacto a través de un valor denominado” coeficiente y del valor de la fuerza normal, es decir: de fricción estático”

Por lo tanto, se denomina coeficiente de fricción estático al cociente entre la fuerza de rozamiento apreciada en el momento de iniciar el movimiento y la fuerza normal a la superficie de contacto, es decir:

AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

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UNIVERSIDAD DE CUENCA

Si la relación: moverse.

se cumple, el cuerpo está en equilibrio o a punto de

La siguiente tabla muestra algunos coeficientes de rozamiento estático:

MATERIALES

μs

Acero sobre acero Teflón sobre acero Teflón sobre teflón Caucho sobre asfalto Esquí sobre nieve Madera sobre madera

0,74 0,04 0,04 0,95 0,10 0,45

Algunos valores de los Coeficientes de rozamiento estático

A continuación se sugiere un método general para resolver ejercicios de Estática del cuerpo rígido: EL MÉTODO GENERAL DE LA ESTÁTICA 1) Representar gráficamente el diagrama de sólido libre. 2) Plantear las ecuaciones de la estática. 3) Resolver las ecuaciones de la estática.

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE Consiste en dibujar sobre el contorno del sólido el conjunto de las fuerzas y pares que actúan sobre él. Es conveniente proceder con orden, representando gráficamente: a) el peso b) las fuerzas y pares directamente aplicados c) las fuerzas y pares de reacción En el diagrama de cuerpo libre no deben dibujarse los otros sistemas que constituyen las ligaduras indicadas. Su efecto sobre el sólido queda representado por las reacciones que experimentan y se conocen como reacciones en los apoyos. REACCIONES EN LOS APOYOS

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UNIVERSIDAD DE CUENCA Es conveniente analizar en forma más o menos sistemática las fuerzas que causadas por ciertos tipos de soportes, cuerdas, resortes, empotraduras, articulaciones y otros, donde en las figuras que siguen se ilustran las componentes de fuerzas y pares que ellos causan. No hay que olvidarse los signos de los torques, positivos los antihorarios y negativos los horarios. Cuerda o cable:

Contacto con rodillo:

Soporte de pasador:

Contacto con superficie lisa

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UNIVERSIDAD DE CUENCA

Contacto con superficie rugosa:

Soporte empotrado:

Nótese que, debido a que la empotradura ejerce un par de fuerzas sobre la pared, se ejerce un torque de par. Ejercicio Guía está articulada en O, apoyada en La barra de la figura de longitud L y peso A, sostiene un bloque de peso W desde a hasta b. Determine las reacciones en O y en A. Particulariza para L=2 m, =3 kg y W= 28 kg, a=0,60 m, b=1,8 m

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UNIVERSIDAD DE CUENCA

El correspondiente diagrama de cuerpo libre es:

Planteamos las ecuaciones de equilibrio:

(1) Los torques con respecto al punto O:

(2)

De (1) despejamos S y sustituimos en (2), hacemos esto en forma escalar:

De donde obtenemos la expresión para la reacción en O:

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UNIVERSIDAD DE CUENCA Y para la reacción en A:

Reemplazando los datos numéricos, obtenemos:

La barra de la figura de masa m y largo 2a está en equilibrio apoyada sobre una pared vertical lisa y sostenida por un extremo mediante una piola de largo b. Determine los posibles ángulos θ de equilibrio.

Dibujamos el diagrama de cuerpo libre: A la normal la podemos desplazar de modo que esté en el eje X

Planteamos las ecuaciones de equilibrio: (1)

(2)

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UNIVERSIDAD DE CUENCA Los torques con respecto al punto O:

(3) Además de una relación geométrica:

De la segunda y la tercera:

Concluimos que: Y ,…

Evalúa tu comprensión: La condición de equilibrio está dada por la ecuación:……………………………… Sobre un paracaidista que desciende en el aire actúan dos fuerzas: su peso y la resistencia del aire. Si desciende con rapidez uniforme ¿Cómo comparas las magnitudes del peso y de la resistencia del aire? Lee, razona y resuelve: Una escalera de masa m y largo L se encuentra ), formando un apoyada contra una pared lisa ( ángulo con ella. Una persona de masa M se encuentra sobre la escalera. ¿Cuál es el mínimo coeficiente de rozamiento estático que debe existir entre

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UNIVERSIDAD DE CUENCA el suelo y la escalera para que la escalera no resbale, independientemente de la altura a la que se encuentra la persona?

La figura muestra un letrero luminoso de masa m que cuelga de una barra (de masa despreciable) que se mantiene horizontal con la ayuda de una cuerda. Calcule la tensión de la cuerda y la fuerza ejercida por la barra contra la pared.

En

el

puente

del

Vado

están

tres

vehículos

cuyos

pesos

son

. Si el puente mide y pesa ¿Cuáles son las reacciones en las columnas laterales del puente si los vehículos se encuentran a 10, 20 y 35 m respectivamente? Taller 5.4.5 Intenta formar una torre con ladrillos sueltos, uno encima de otro (ver figura),de manera que el ladrillo de más arriba esté desplazado en más de una unidad con respecto al de más abajo, sin que la torre se desplome. Intenta dar una explicación físico- matemática a este modelo.

INVESTIGACIÓN 5.4.5.- APLICACIÓN REAL DE EQUILIBRIO DE UN SÓLIDO RÍGIDO Tema: Situación Problémica:

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Objetivos Generales:

Objetivos Específicos:

Metodología de trabajo:

Resolución:

Respuesta e interpretación física:

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UNIVERSIDAD DE CUENCA

AUTOEVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE MIDE TUS CONOCIMIENTOS

Subraya lo correcto: El torque de una fuerza es: a) Un escalar que resulta de multiplicar vectorialmente el vector posición por la fuerza. b) Un vector que resulta de multiplicar vectorialmente el vector posición y la fuerza. c) Un vector que resulta de multiplicar vectorialmente la fuerza y el vector posición. d) El causante de la traslación de un cuerpo. e) Todas las anteriores f) Ninguna de las anteriores. Las condiciones bajo las cuales un cuerpo rígido permanece en equilibrio son: a) que la fuerza externa resultante y el torque externo resultante respecto a un origen arbitrario sean nulas b) que la fuerza interna resultante sea nula y el torque externo resultante respecto a un origen arbitrario sea cualquier valor arbitrario. c) que la fuerza externa resultante y el torque externo resultante respecto a un origen no arbitrario sean nulas. d) Al menos una de las anteriores. e) Todas las anteriores menos una. f) Ninguna de las anteriores. Las expresiones para el cálculo de las coordenadas del centro de masa de una lámina plana homogénea son: ………………………;………………………………………;……...…………………… se encuentran en repoTres cuerpos de masa so como muestra la figura, de tal forma que cualquier pequeña perturbación haría que el cuerpo A subiera por el plano. Las cuerdas que unen los cuerpos son inextensibles y de masa despreciable. Se pide a) El diagrama de fuerzas que actúan sobre b) El coeficiente de roce estático entre y la superficie.

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UNIVERSIDAD DE CUENCA c) Las tensiones en las cuerdas.

Se tiene un sistema formado por una barra uniforme de 6 m de longitud, de masa 100 kg articulada en el punto A a un mástil vertical. En el extremo B de la barra cuelga un cuerpo de masa 400 kg. La barra está sostenida por un cable inextensible atado a los puntos C sobre la barra a distancia 1,5 m del extremo B y D sobre el mástil, de tal modo que el triángulo ACD es equilátero. Determine a) La magnitud de la tensión del cable CD. b) Las componentes de la fuerza que hace el pivote en A sobre la barra. c) El torque ejercido por la tensión del cable sobre el mástil, respecto al punto A.

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UNIVERSIDAD DE CUENCA

Quinta  Subunidad   

HIDROSTÁTICA     

HIDROSTÁTICA    

  INTRODUCCIÓN DENSIDAD   

  PRESIÓN

PESO ESPECÍFICO PRINCIPIO DE PASCAL  ECUACIÓN FUNDAMENTAL  DE EQUILIBRIO 

 

   

PARADOJA HIDROSTÁTICA 

 

TENSIÓN SUPERFICIAL    

PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES

  CAPILARIDAD  

   

FLOTACIÓN 

AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

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UNIVERSIDAD DE CUENCA

Quinta Subunidad

HIDROSTÁTICA La estática de fluidos estudia el equilibrio de gases y líquidos. A partir de los conceptos de densidad y de presión se obtiene la ecuación fundamental de la hidrostática, de la cual el principio de Pascal y el de Arquímedes pueden considerarse consecuencias. El hecho de que los gases, a diferencia de los líquidos, puedan comprimirse hace que el estudio de ambos tipos de fluidos tenga algunas características diferentes. En la atmósfera se dan los fenómenos de presión y de empuje que pueden ser estudiados de acuerdo con los principios de la estática de gases. El estudio de los fluidos en equilibrio constituye el objeto de la estática de fluidos, una parte de la física que comprende la hidrostática o estudio de los líquidos en equilibrio, y la aerostática o estudio de los gases en equilibrio y en particular del aire. 5.5.1 INTRODUCCIÓN. OBJETIVOS DEL TEMA Dotar al alumno de un cimiento teórico desde el punto de vista fenomenológico. Motivar al alumno para su adaptación a esta nueva metodología.

Se entiende por fluido un estado de la materia en el que la forma de los cuerpos no es constante, sino que se adapta a la del recipiente que los contiene. La materia fluida puede ser trasvasada de un recipiente a otro. Los líquidos y los gases corresponden a dos tipos diferentes de fluidos. Los primeros tienen un volumen constante. Se dice por ello que son fluidos incompresibles (no pueden ser comprimidos). Los segundos no tienen un volumen propio, sino que ocupan el del recipiente que los contiene; son fluidos compresibles (pueden ser comprimidos). Densidad. Los cuerpos difieren por lo general en su masa y en su volumen. No obstante, existe algo característico del tipo de materia que compone al cuerpo en cuestión y que explica el porqué dos cuerpos de sustancias diferentes que ocupan el mismo volumen no tienen la misma masa o viceversa. La masa de una sustancia es directamente proporcional al volumen que ocupa, es decir:

AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

116

UNIVERSIDAD DE CUENCA Es precisamente la constante de proporcionalidad de esa relación la que se conoce por densidad y se representa por la letra griega ro ( )

Es decir: Despejando ρ de la anterior ecuación resulta:

La densidad de una sustancia es la masa que corresponde a un volumen unidad de dicha sustancia. Su unidad en el SI, es el kg/m ³. La densidad depende solamente del tipo de material de que está constituida una sustancia y no de su forma ni tamaño. En los sólidos la densidad es aproximadamente constante, pero en los líquidos, y particularmente en los gases, varía con las condiciones de medida. La densidad relativa de una sustancia es el cociente entre su densidad y la de otra sustancia diferente que se toma como referencia o patrón:

Para sustancias líquidas se suele tomar como sustancia patrón el agua cuya densidad a 4 °C es igual a 1000 físicas.

; la densidad relativa carece de unidades

Densidad (g/cm3)

Sustancia

Densidad (g/cm3)

7.7-7.9

Oro

19.31

Aluminio

2.7

Plata

10.5

Cinc

7.15

Platino

21.46

Cobre

8.93

Plomo

11.35

Cromo

7.15

Silicio

2.3

Estaño

7.29

Sodio

0.975

Hierro

7.88

Titanio

4.5

Magnesio

1,76

Vanadio

6.02

Níquel

8.9

Volframio

19.34

Aceite

0.8-0.9

Bromo

3.12

Sustancia Acero

AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

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UNIVERSIDAD DE CUENCA Acido sulfúrico

1.83

Gasolina

0.68-0.72

Agua

1.0

Glicerina

1.26

Agua de mar

1.01-1.03

Mercurio

13.55

Alcohol etílico

0.79

Tolueno

0.866

Tabla 5.5.1. densidades de algunos líquidos y gases a 20°C

Peso específico. El peso por unidad de volumen o peso específico representa la fuerza con que la Tierra atrae a la unidad de volumen de una sustancia y se define como el cociente entre el peso de un cuerpo y su volumen: La relación entre peso específico y densidad es la misma que la existente entre peso y masa. En efecto:

La unidad del peso específico en el SI es el N/m ³. Presión. Se define presión como el cociente entre la componente normal de la fuerza sobre un área y el valor de dicha área, es decir:

Cuando un fluido está contenido en un recipiente, ejerce una fuerza sobre sus paredes y, por tanto, puede hablarse también de presión. Si el fluido está en equilibrio las fuerzas sobre las paredes son perpendiculares a cada porción de superficie del recipiente, ya que de no serlo existirían componentes paralelas que provocarían el desplazamiento de la masa de fluido en contra de la hipótesis de equilibrio. La orientación de la superficie determina la dirección de la fuerza de presión, Fig. 5.5.1.1. Presión. por lo que el cociente de ambas, que es precisamente la presión, resulta independiente de la dirección; se trata entonces de una magnitud escalar. En el SI la unidad de presión es el pascal, se representa por Pa y se define como la presión correspondiente a una fuerza de un newton de intensidad actuando perpendicularmente sobre una superficie plana de un metro cuadrado. 1 Pa equivale, por tanto, a 1 N/m ². Existen, no obstante, otras unidades de presión que sin corresponder a ningún sistema de unidades en particular han sido aceptadas por el uso y se siguen AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

118

UNIVERSIDAD DE CUENCA usando en la actualidad junto con el Pascal. Entre ellas se encuentran la atmósfera(at) y los milímetros de mercurio (mmHg) La atmósfera se define como la presión que a 0 °C ejercería el peso de una columna de mercurio de 76 cm de altura y 1 cm ² de sección sobre su base. Se llama presión barométrica o presión absoluta p en un punto cualquiera de un fluido a toda presión que aparece como consecuencia de presiones superficiales o hidrostáticas. Se mide con el barómetro, el cual consta de un tubo cerrado en uno de sus extremos, con vacío entre este y una columna de mercurio que sirve de referencia (Fig. 5.5.1.2.). La presión absoluta que se desea medir se pone en contacto con la boca abierta del barómetro. Se llama presión manométrica a la diferencia entre la presión absoluta o barométrica p en un punto cualquiera del fluido y la presión superficial o atmosférica en el lugar, es decir:

. Fig. 5.5.1.2. Barómetro

Esta presión se mide con el manómetro (Fig. 5.5.1.2), el cual consta de un tubo con los dos extremos abiertos, uno de ellos en contacto con la superficie y el otro con el punto cuya presión manométrica se desea medir. Fig. 5.5.1.3. manómetro

Ejercicio Guía Una estrella de neutrones tiene un radio de 10 Km y una masa de 2E30 Kg. de esa estrella, bajo la influencia de la ¿Cuánto pesaría un volumen de atracción gravitacional en la superficie de la Tierra?  El peso debe calcularse multiplicando la masa por la aceleración de gravedad. En consecuencia debemos calcular la masa primero. Eso puede hacerse a través del

AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

119

UNIVERSIDAD DE CUENCA concepto de densidad, con una regla de tres simple, puesto que:

2E30 1E-6

x

Es decir, cada cm3 de la estrella tendrá una masa de 4,7E11 kg, por lo tanto en la superficie de la tierra pesará:

=4,67E12 kg

Evalúa tu comprensión: ¿Qué sucede con el volumen de un pan cuando se comprime? ¿Con la masa? ¿Con la densidad? ¿Que tiene mayor densidad, una barra de oro puro o un anillo de oro puro? Defiende tu respuesta. Cuenta cuantas llantas tiene un tráiler que está descargando mercancías en el supermercado más cercano. ¿Por qué tantas ruedas? Justifica científicamente tu respuesta Analiza la utilidad práctica de usar un barómetro de agua.

Lee, razona y resuelve: María se encapricho por tener un par de aros de oro esféricos, grandes y sólidos de 1.25 cm de radio y le pidió a su novio que se los comprara. ¿Cuántos gramos de oro tendrán que soportar sus orejas por caprichosa? Cuál es la presión que experimentan los pies de una persona de 1,80 m si las tres cuartas partes de su cuerpo están sumergidas en una piscina de 5 m de profundidad El tubo vertical abierto de la figura contiene dos fluidos de densi, que no se mezclan. Demuestre que la presión en dades el fondo del tubo está dada por la expresión

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Taller 5.5.1 Investiga cual es la causa de la presión atmosférica. Pide asesoría a tu profesor. Socializa tu informe. INVESTIGACIÓN 5.5.1.- APLICACIÓN REAL DE PRESIÓN, DENSIDAD Y PESO ESPECÍFICO Tema: Situación Problémica:

Objetivos Generales:

Objetivos Específicos:

Metodología de trabajo:

Resolución:

Respuesta e interpretación física:

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UNIVERSIDAD DE CUENCA 5.5.2 LA ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE LA HIDROSTÁTICA. OBJETIVOS DEL TEMA: Dotar al alumno de un cimiento teórico básico para que pueda interpretarlo y aplicarlo correctamente. Motivar al alumno en su labor de aprendizaje.

Cuando un líquido está contenido en un recipiente, las capas superiores oprimen a las inferiores, generándose una presión debida al peso. La presión en un punto determinado del líquido deberá depender entonces de la altura de la columna de líquido que tenga por encima de él. Considérese un punto P cualquiera del líquido que diste una altura h de la superficie libre de dicho líquido. El peso de la columna cilíndrica de líquido de base S situada sobre P puede expresarse en la forma:

La presión debida al peso vendrá dada por:

Que es una presión manométrica. Si sobre la superficie libre se ejerciera una presión exterior adicional , como la atmosférica por ejemplo, la presión total p en el punto de altura h sería:

Que es una presión barométrica. Esta ecuación puede generalizarse al caso de que se trate de calcular la difeentre dos puntos cualesquiera del interior del líquido sirencia de presiones tuado a diferentes alturas, resultando:

Es decir:

Que constituye la llamada ecuación fundamental de la hidrostática. Esta ecuación indica que para un líquido dado y para una presión exterior constante la presión en el interior depende únicamente de la altura. Por tanto, todos los puntos del líquido que se encuentren al mismo nivel soportan igual presión. Ello

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UNIVERSIDAD DE CUENCA implica que ni la forma de un recipiente ni la cantidad de líquido que contiene influyen en la presión que se ejerce sobre su fondo, tan sólo la altura de líquido. Esto es lo que se conoce como paradoja hidrostática, cuya explicación se deduce a modo de consecuencia de la ecuación fundamental. Si se tienen dos recipientes comunicados (Fig. 5.5.3.)y se vierte un líquido en uno de ellos, éste se distribuirá entre ambos de tal modo que, independientemente de sus capacidades, el nivel de líquido en uno y otro recipiente sea el mismo. Este es el llamado principio de los vasos comunicantes, que es una consecuencia de la ecuación fundamental de la hidrostática. Si se toman dos puntos A y B situados en el mismo nivel, sus preFig. 5.5.3. Sistema de vasos comunicantes siones hidrostáticas han de ser las mismas, es decir:

Luego, si

necesariamente las alturas

y

de las respectivas superfi-

. cies libres han de ser idénticas, es decir Si se emplean dos líquidos de diferentes densidades y no miscibles, entonces las alturas serán inversamente proporcionales a las respectivas densidades. En efecto, si

, se tendrá:

De donde:

Esta ecuación permite, a partir de la medida de las alturas, la determinación experimental de la densidad relativa de un líquido respecto de otro y constituye, por tanto, un modo de medir densidades de líquidos no miscibles si la de uno de ellos es conocida.

Ejercicio Guía Un submarinista se sumerge en el mar hasta alcanzar una profundidad de 100 m. Determinar la presión a la que está sometido y calcular en cuántas veces supera a la que experimentaría en el exterior, sabiendo que la densidad del agua del mar es de 1,025 kg/m ³.

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UNIVERSIDAD DE CUENCA De acuerdo con la ecuación fundamental de la hidrostática:

Considerando que la presión en el exterior es de una atmósfera (1 atmósfera = 101325 Pa), al sustituir los datos en la anterior ecuación resulta: p = 101325 + 1,025.9,8.100= 110580 Pa El número de veces que p es superior a la presión exterior pose obtiene hallando el cociente entre ambas:

=

= 10,5 veces

Evalúa tu comprensión: La ecuación fundamental de la hidrostática está dada por: ……………………………………………... Explica con tus propias palabras el concepto de paradoja hidrostática. Lee, razona y resuelve: Suponiendo la atmósfera y el océano homogéneos, esto es de densidad constante, calcula la presión en diferentes niveles de altura en la atmósfera hasta un km de altura y en el océano hasta 100 m de profundidad. Elabora un gráfico que relacione la altura con la presión.

Taller 5.5.2 Demuestra: ¿Porqué las ventanillas de un avión son más pequeñas que las de un autobús y no se pueden abrir mientras el avión esté volando? INVESTIGACIÓN 5.5.2.- APLICACIÓN REAL DE ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE LA HIDROSTÁTICA Tema: Situación Problémica:

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Objetivos Generales:

Objetivos Específicos:

Metodología de trabajo:

Resolución:

Respuesta e interpretación física:

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UNIVERSIDAD DE CUENCA 5.5.3. EL PRINCIPIO DE PASCAL Y SUS APLICACIONES. OBJETIVOS DEL TEMA Entregar el estudiante una base teórica mínima para que lo pueda utilizar en la demostración las expresiones físico-matemáticas .Aplicar la técnica del descubrimiento en la resolución de problemas.

La presión aplicada en un punto de un líquido contenido en un recipiente se transmite con el mismo valor a todos y a cada uno de los puntos del líquido y sobre toda el área del recipiente que lo contiene. Este enunciado, obtenido a partir de observaciones y experimentos por el físico y matemático francés Blaise Pascal (1623-1662), se conoce como principio de Pascal. El principio de Pascal puede ser interpretado como una consecuencia de la ecuación fundamental de la hidrostática y del carácter incompresible de los líquidos. La prensa hidráulica constituye la aplicación fundamental del principio de Pascal y también un dispositivo que permite entender mejor su significado. Consiste, en esencia, en columnas, generalmente cilíndricas de diferente área transversal comunicados entre sí, y cuyo interior está completamente lleno de un líquido que puede ser agua o aceite. Dos émbolos de secciones diferentes se ajustan, respectivamente, en cada una de las dos columnas, de modo que estén en contacto con el líquido. Cuando sobre el émbolo de menor sección se ejerce una fuerza ,la presión que se origina en el líquido en contacto con él se transmite íntegramente y de forma instantánea a todo el resto del líquido; por tanto, será igual a la presión que ejerce el líquido sobre el émbolo de mayor sección , es decir:

En consecuencia: De este modo:

Y:

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Fig. 5.5.3. Principio de Pascal

Si la sección es veinte veces mayor que la la fuerza aplicada sobre el émbolo pequeño es veinte veces mayor en el émbolo grande, es decir . La prensa hidráulica es una máquina simple semejante a la palanca de Arquímedes, que permite amplificar la intensidad de las fuerzas y constituye el fundamento de elevadores, prensas, frenos y muchos otros dispositivos hidráulicos de maquinaria industrial. Ejercicio Guía El elevador hidráulico de un garaje funciona mediante una prensa hidráulica conectada a una toma de agua de la red urbana que llega a la máquina con una presión de 5E5 N/m ². Si el radio del émbolo es de 20 cm, determinar cuál es el valor de la carga que como máximo puede levantar el elevador. De acuerdo con el principio de Pascal:

Que para una prensa hidráulica se transforma en:

Y Dado que:

=

De este modo:

El valor efectivo de la carga máxima expresado en newton será:

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UNIVERSIDAD DE CUENCA Evalúa tu comprensión: El principio de Pascal expresa que:………………………………………………… …………………………………………………………………………………………. La prensa hidráulica es……………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………….. Lee, razona y resuelve: En un elevador de carga el aire comprimido ejerce una fuerza sobre un pequeño émbolo de área circular de 5 cm de radio, que se transmite por agua a otro émbolo de 20 cm de radio. Calcular la fuerza que se debe ejercer al aire comprimido para levantar un auto de 10000 N y la presión que ejercería esa fuerza. Dos émbolos cuyas áreas transversales son circulares de diámetros 6 cm y 8 cm se usan en una prensa hidráulica para aplicar una fuerza f y F respectivamente. ¿Qué fuerza deberá hacer el operador para suspender un auto de 25000 N Taller 5.5.3 Haz una maqueta de una prensa hidráulica. Luego explica el fundamento científico de ella a tus compañeros. INVESTIGACIÓN 5.5.3.- APLICACIÓN REAL DE PRINCIPIO DE PASCAL Tema: Situación Problémica:

Objetivos Generales:

Objetivos Específicos:

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Resolución:

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5.5.4. EMPUJE HIDROSTÁTICO: PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES. OBJETIVOS DEL TEMA Caracterizar y relacionar los conceptos a situaciones medioambientales. Valorar la importancia del razonamiento en la resolución de conflictos.

El segundo principio importante de la estática de fluidos fue descubierto por el griego Arquímedes (287-212 a. de C.) y afirma que, cuando un cuerpo está total o parcialmente sumergido en un fluido en reposo, el fluido ejerce una presión sobre todas las partes de la superficie del cuerpo que están en contacto con el fluido. La presión es mayor sobre las partes sumergidas a mayor profundidad. La resultante es una fuerza dirigida hacia arriba y llamada empuje sobre el cuerpo sumergido. Un cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido es empujado hacia arriba con una fuerza que es igual al peso del fluido desplazado por dicho cuerpo (Fig. 5.5.3.1.). Para su demostración partimos de la ecuación fundamental de la hidrostática: Tenemos la ecuación para el peso del objeto sumergido, el cual ejercerá una presión hacia abajo:

Siendo la superficie de la cara superior y su altura respecto de la superficie libre del líquido. La presión del líquido estará dirigida hacia arriba y, como en el caso anterior, su magnitud será dada por:

La resultante de ambas representará la fuerza de empuje hidrostático E.

Pero, dado que

, resulta:

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Que es precisamente el valor del empuje predicho por Arquímedes en su principio, ya que m.g es el peso de un volumen de líquido igual al del cuerpo sumergido. Esto explica por qué flota un barco muy cargado; su peso total es exactamente igual al peso del agua que desplaza, y el agua desplazada ejerce la fuerza hacia arriba que mantiene el barco a flote. El punto sobre el que puede considerarse que actúan todas las fuerzas que producen el efecto de flotación se llama centro de flotación, y corresponde al centro de gravedad del fluido desplazado. El centro de flotación de un cuerpo que flota está situado exactamente encima de su centro de gravedad. Cuanto mayor sea la distancia entre ambos, mayor es la estabilidad del cuerpo. De acuerdo con el principio de Arquímedes, para que un cuerpo sumergido en un líquido esté en equilibrio, la fuerza de empuje E y el peso P han de ser iguales en magnitudes, es decir E=P y, además, han de aplicarse en el mismo punto. En tal caso la fuerza y el torque son nulos, con lo cual se dan las dos condiciones de equilibrio. La condición E = P equivale de hecho a que las densidades del cuerpo y del líquido sean iguales. En tal caso el equilibrio del cuerpo sumergido es indiferente. Si el cuerpo no es homogéneo, el centro de gravedad no coincide con el centro geométrico, que es el punto en donde puede considerarse aplicada la fuerza de generarán un torque que hará girar el empuje. Ello significa que las fuerzas cuerpo hasta que ambas estén alineadas. Si un cuerpo sumergido flota es porque el empuje es mayor que el peso (E>P). En equilibrio ambas fuerzas aplicadas sobre puntos diferentes estarán alineadas; tal es el caso de las embarcaciones en aguas tranquilas, por ejemplo. Si el empuje es menor que el peso (E