UNIVERSIDAD DE GUANAJUATO
FACULTAD DE MATEMÁTICAS
CONSTRUCCIÓN DE UNA INFINIDAD DE ESPACIOS ARBITRARIAMENTE DISTORSIONABLES NO ISOMORFOS ENTRE SÍ.
TESIS QUE PARA OBTENER EL GRADO DE
LICENCIADO EN MATEMÁTICAS.
P R E S E N T A:
JAVIER ALEJANDRO CHÁVEZ DOMÍNGUEZ.
DIRECTORA DE TESIS:
DRA. BERTA GAMBOA DE BUEN.
JUNIO DE 2004
GUANAJUATO, GUANAJUATO, MÉXICO.
A mi tía Elsa.
Agradecimientos A mi familia, en particular a mis padres que siempre han apoyado mis decisiones aunque éstas no siempre han sido las que ellos preferirían. A mis amigos, que hicieron más llevaderos estos cinco años de la licenciatura, especialmente a Rubén, Minerva, Nelly y Areli. A toda la gente que a lo largo de 18 años ha hecho posible la Olimpiada Mexicana de Matemáticas, permitiendo que jóvenes como yo conozcan el lado amable de las matemáticas, sobre todo a Rosa Ponce, Pablo Macías, César Pérez, Ignacio Barradas, María Luisa Pérez y Omar Antolín. A mis profesores de la licenciatura por todo lo que me enseñaron, tanto de matemáticas como de otras cosas, en particular a mi asesora de tesis, Berta Gamboa, quien me introdujo al mundo del análisis matemático. Finalmente, a las instituciones que me apoyaron con becas para mis estudios de licenciatura: el Centro de Investigación en Matemáticas A.C., la Fundación Telmex, el Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología y la Universidad de Guanajuato.
Contenido Introducción
ix
1. Preliminares
1
1.1.
Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.
Algunas funciones importantes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.3.
Convexidad, concavidad, submultiplicatividad y supermultiplicatividad . . .
2
1.4.
1.5.
1
Espacios normados y de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.4.1.
De niciones y propiedades básicas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.4.2.
Operadores lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.4.3.
Dualidad, re exividad y completaciones
1.4.4.
Sumas directas y subespacios complementados
1.4.5.
La topología débil
1.4.6.
Ejemplos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Bases de Schauder 1.5.1.
De niciones y propiedades fundamentales
. . . . . . . . . . . . . . .
9
1.5.2.
Bases incondicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.5.3.
Otras clases especiales de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2. Conjuntos asintóticos
17
3. Los espacios de Schlumprecht
23
3.1.
Espacios distorsionables
3.2.
La clase
3.3.
Construcción de los espacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
3.4.
Propiedades de los espacios
39
F
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y sus propiedades
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23 27
Comentarios nales
65
Bibliografía
67
Introducción En la teoría de geometría de espacios de Banach, es de interés saber cómo son y cómo están relacionados los subespacios cerrados de un espacio de Banach dado. Algunos de los ejemplos más conocidos y estudiados de espacios de Banach son los espacios
c0
y
`p , por lo que resulta
pertinente preguntarse si todo espacio de Banach contiene un subespacio isomorfo a alguno de estos espacios. Este problema, propuesto desde los treintas, estuvo abierto durante largo tiempo. No fue sino hasta 1974 que Boris S. Tsirelson [27] sorprendió a los especialistas al construir un ejemplo relativamente simple de un espacio de Banach que no contiene a a
`p
para
1 ≤ p < ∞,
c0
ni
resolviendo el problema.
Otro problema, relacionado con el anterior, es el siguiente. Si un espacio de Banach contiene
`p , ¾contendrá copias casi isométricas de éste? Es decir: Sea X el espacio c0 o `p para algún 1 ≤ p < ∞, con su norma usual k·k. Sea |k·|k una norma equivalente en X . Dado ε > 0, ¾existe un subespacio Y de X tal que existe un isomor smo
T : (Y, |k·|k) → (X, k·k) con kT k T −1 < 1 + ε? Robert C. James [16] probó que la respuesta es a rmativa en los casos de c0 y `1 . un subespacio isomorfo a
c0
o
Este último problema está fuertemente relacionado con el concepto de espacio distorsionable. Dada norma
|k·|k
λ > 1, se dice que un espacio normado (Y, k·k) es λ-distorsionable Y equivalente a k·k tal que para todo subespacio Z ⊂ Y |kz1 |k sup : z1 , z2 ∈ Z, kz1 k = kz2 k = 1 ≥ λ. |kz2 |k
Un espacio es
distorsionable es que
c0
si existe una
en
`1
y
distorsionable si es
λ-distorsionable para algún λ > 1, y es arbitrariamente λ-distorsionable para toda λ > 1. En este lenguaje, lo que James probó si es
no son distorsionables.
Este concepto dio lugar al problema de la distorsión en general: ¾contiene un un subespacio distorsionable? V. D. Milman [20] probó que si pacio distorsionable entonces
1 ≤ p < ∞,
X
X
X
dado
no tiene ningún subes-
contiene una copia casi isométrica de
c0
o
`p
para algún
y preguntó si existen espacios distorsionables. Unos cuantos años después Tsi-
relson [27] produjo su ya mencionado ejemplo que no contiene ningún subespacio isomorfo a
c0
o
`p (1 ≤ p < ∞),
con lo que probó la existencia de un espacio de Banach distorsionable.
Sin embargo, el trabajo de Milman contiene implícitamente el resultado, redescubierto en [15], que si
X
no contiene a
c0
o
`p (1 ≤ p < ∞)
entonces algún subespacio de
X
es distor-
Introducción
x
sionable. Entonces, para resolver el problema de la distorsión en general basta considerar el caso
`p , 1 < p < ∞,
lo que se conoce como el problema de la distorsión.
Aunque de los trabajos de Milman y Tsirelson se sigue la existencia de un espacio distorsionable, aún faltaba por saber si existe o no un espacio arbitrariamente distorsionable. Basado en el ejemplo de Tsirelson, en 1991 T. Schlumprecht respondió a rmativamente a la pregunta [24]. En [13], W.T. Gowers y B. Maurey mostraron que el concepto de distorsión también está relacionado con otro famoso problema, el de la sucesión básica incondicional. Si espacio de Banach, una sucesión base) de
X
si toda
norma de la forma
xP∈ X ∞
{xn }∞ n=1 ⊂ X
X
es un
es una base de Schauder (o simplemente una
puede ser escrita de manera única como una serie convergente en
n=1 an xn . Esta de nición claramente depende del orden de los
xn ,
y
ciertamente es posible que una permutación de una base no sea una base. Por otro lado, muchas bases que se encuentran naturalmente, como las bases estándar de
`p
para
1 ≤ p < ∞,
son bases bajo cualquier permutación. Por lo tanto es natural dar un nombre a este tipo especial de bases, a las que se llama incondicionales. Por un largo tiempo un gran problema no resuelto era si todo espacio de Banach separable tiene una base. Esta pregunta fue respondida negativamente por P. En o en 1973 [8]. Por otro lado, no es difícil mostrar que todo espacio de Banach contiene un subespacio con base. Los espacios con bases incondicionales tienen mucha más estructura que los espacios en general, por lo que es fácil encontrar ejemplos de espacios que no las tienen. Por ejemplo, los espacios
C([0, 1]) y L1
no tienen ninguna base incondicional. Esto nos lleva a la pregunta
de si todo espacio contiene un subespacio de dimensión in nita con una base incondicional, que es precisamente el problema de la sucesión básica incondicional, resuelto por Gowers y Maurey en [13] al construir un espacio, basado en el de Schlumprecht, que no tiene ningún subespacio con base incondicional. La meta principal de este trabajo es mostrar una generalización de la construcción del espacio de Schlumprecht, debida a Gowers y Maurey, con la cual se obtiene una in nidad de espacios de Banach arbitrariamente distorsionables no isomorfos entre sí. Aunque el espacio de Schlumprecht fue construido originalmente en [24], seguimos la estrategia usada por Gowers y Maurey, que lo desarrollaron utilizando resultados enunciados con un poco más de generalidad para poder aplicarlos a su espacio en la parte principal del artículo [13]. El resto de este trabajo está organizado como sigue. En el primer capítulo enunciamos los resultados y de niciones que necesitaremos. En el segundo de nimos los conjuntos asintóticos y probamos un útil teorema que los relaciona con la existencia de sucesiones básicas incondicionales. En el tercero de nimos una clase de espacios que son una generalización del construido por Schlumprecht y probamos que algunos de ellos (incluyendo, por supuesto, al de Schlumprecht) son arbitrariamente distorsionables usando el mencionado teorema, con lo cual mostramos la interesante relación entre los conceptos de distorsionabilidad, conjuntos asintóticos y sucesiones básicas incondicionales. Además, probamos que los espacios así construidos no son isomorfos entre sí.
Capítulo 1
Preliminares En este capítulo se enlistan las de niciones y los resultados más relevantes para el trabajo que se presenta. Suponemos que el lector tiene los conocimientos básicos de álgebra lineal y análisis cubiertos en un primer curso de nivel licenciatura, por lo que aquí solamente se incluye material un poco más especializado. Especí camente, se tratan algunos aspectos de la teoría general de los espacios normados y de Banach, y de las bases de Schauder. Aunque son temas que no todo estudiante de licenciatura llega a ver, éstos son bastante conocidos, por lo que en general se enuncian solamente las de niciones y los resultados que utilizaremos, sin demostraciones.
1.1.
Conjuntos
Como es usual, denotaremos por racionales, por
R
N
al conjunto de los números naturales, por
Q
al de los
al de los reales y por
reales no negativos será denotado por
C al de los complejos. El conjunto de los números R+ , y el de los números reales positivos por R˙ + .
Todos los espacios vectoriales que manejaremos lo serán sobre el campo
K,
que siempre
será los reales o los complejos. Cuando no sea necesario referirnos directamente al campo, lo omitiremos en los enunciados. La cardinalidad de un conjunto
1.2.
A
será denotada por
|A|.
Algunas funciones importantes
Dados números reales Para un número real
a
y
b,
x, bxc
denotamos por
a∨b
al máximo de
a
y
b.
denota al máximo entero mayor o igual a
x.
1. Preliminares
2
1.3.
Convexidad, concavidad, submultiplicatividad y supermultiplicatividad
De nición 1.1 Sea V un espacio vectorial. Un conjunto D ⊂ V es convexo si para cualesquiera x, y ∈ D y 0 ≤ λ ≤ 1, λx + (1 − λ)y ∈ D. De nición 1.2 Sean V un espacio vectorial y D ⊂ V convexo. Una función f cóncava si
:D→R
es
f λx + (1 − λ)y ≥ λf (x) + (1 − λ)f (y),
para cualesquiera x, y ∈ D y 0 ≤ λ ≤ 1.
Proposición 1.3 (Desigualdad de Jensen) Sean V un espacio vectorial sobre un campo K, D ⊂ V convexo y f : D → R una función cóncava. Entonces n
f
1X ai n
!
i=1
n
1X ≥ f (ai ) n i=1
para cualesquiera a1 , . . . , an ∈ D. Demostración.
Lo probaremos por inducción sobre
mente cierto, y para
n=2
n.
Para
n=1
el resultado es evidente-
el resultado es consecuencia directa de la de nición de función
cóncava. Ahora supongamos que es válido para
n = k.
Entonces, utilizando la de nición de
función cóncava y la hipótesis inductiva,
k+1
f
1 X ai k+1
k
! =f
i=1
≥
1 k X1 ak+1 + ai k+1 k+1 k i=1 k X
k 1 1 f (ak+1 ) + k+1 k+1k
i=1
!
1 k ≥ f (ak+1 ) + f k+1 k+1
f (ai ) =
1 k+1
k+1 X
k 1X ai k
!
i=1
f (ai ),
i=1
lo cual naliza la prueba.
De nición 1.4 Sea D ⊂ R+ un conjunto cerrado bajo la multiplicación, es decir, tal que xy ∈ D para cualesquiera x, y ∈ D. Una función f : D → R+ es submultiplicativa si f (xy) ≤ f (x)f (y) para cualesquiera x, y ∈ D, y es supermultiplicativa si f (xy) ≥ f (x)f (y) para cualesquiera x, y ∈ D. Proposición 1.5 Sean D ⊂ R+ un conjunto cerrado bajo la multiplicación y G : D → R˙ + una función supermultiplicativa (submultiplicativa). Entonces la función g : D → R+ dada por g(x) = x/G(x) es submultiplicativa (supermultiplicativa). Demostración. Sean x, y ∈ D. Si G es supermultiplicativa, g(xy) = y entonces
g
xy xy ≤ = g(x)g(y), G(xy) G(x)G(y)
es submultiplicativa. El otro caso se demuestra análogamente.
1.4. Espacios normados y de Banach 1.4.
3
Espacios normados y de Banach
Los objetos matemáticos utilizados en este trabajo son, principalmente, espacios normados y de Banach. De acuerdo con Jean Dieudonné [7], Fréderic Riesz consideró desarrollar una teoría general de los espacios normados completos, pero nunca publicó ningún trabajo al respecto. Los primeros trabajos publicados en esa dirección son un artículo de Hans Hahn [14] y la tesis de Stefan Banach [1], ambos en 1922. El desarrollo de la teoría continuó a lo largo
Théorie des Opérations Linéaires [2], que fue durante muchos años la referencia obligada en el campo. de los años veinte, y un momento decisivo lo marcó la aparición del libro de Banach
El lector interesado en la teoría general de los espacios normados y de Banach puede encontrar más detalles en [9] y [19].
1.4.1. De niciones y propiedades básicas De nición 1.6 Una norma en un espacio vectorial X sobre K es una función k·k : X → R tal que para cualesquiera x, y ∈ X y λ ∈ K: (i) (ii) (iii)
kxk ≥ 0
y kxk = 0 si y sólo si x = 0.
kλxk = |λ| kxk. kx + yk ≤ kxk + kyk.
De nición 1.7 Un espacio normado es un espacio vectorial X con una norma k·k. Un espacio normado (X, k·k) es de Banach si es completo. La diferencia fundamental entre un espacio vectorial a secas y uno normado es que éste último posee una topología natural, que de nimos a continuación.
Proposición 1.8 Sea (X, k·k) un espacio normado. Para x ∈ X y ε > 0 de nimos Bε (x) = {y ∈ X : kx − yk < ε}.
Entonces, el conjunto {Bε (x) : x ∈ X, ε > 0} es una base de una topología para X , llamada la topología inducida por la norma. Algunas nociones importantes en los espacios normados son completamente topológicas, lo que motiva la siguiente de nición.
De nición 1.9 Dos normas k·k1 y k·k2 sobre un espacio vectorial X son equivalentes si inducen la misma topología en X . Proposición 1.10 Sean X un espacio vectorial y k·k1 y k·k2 dos normas sobre X . Entonces, estas normas son equivalentes si y sólo si existe un M > 0 tal que para toda x ∈ X , 1 kxk1 ≤ kxk2 ≤ M kxk1 . M
1. Preliminares
4
Ahora de nimos el concepto de subespacio generado.
De nición 1.11 Sean X un espacio normado y A ⊂ X . El subespacio generado por A es el mínimo subespacio de X que contiene a A, denotado por sp A o hAi. El subespacio cerrado generado por A es el mínimo subespacio cerrado de X que contiene a A, denotado por [A]. En un espacio normado existen dos conjuntos importantes, la esfera y la bola unitarias.
De nición 1.12 Sea X un espacio normado. La bola unitaria de X es el conjunto B(X) = {x ∈ X : kxk ≤ 1},
y la esfera unitaria de X es el conjunto S(X) = {x ∈ X : kxk = 1}. En
Kn ,
por el teorema de Heine-Borel los conjuntos compactos son los cerrados y acotados.
De hecho, esta propiedad caracteriza a los espacios normados de dimensión nita.
Teorema 1.13 Sea X un espacio normado. Entonces B(X) es compacta si y sólo si X es de dimensión nita.
1.4.2. Operadores lineales Como los espacios normados son espacios vectoriales que además tienen una topología, las funciones de interés son naturalmente las funciones lineales y continuas.
De nición 1.14 Sean X y Y dos espacios normados sobre K. (i) (ii) (iii) (iv)
Un operador lineal es una función lineal T : X → Y . A los operadores lineales de X en K los llamamos funcionales. Un operador lineal T : X → Y es una isometría si kT xk = kxk para toda x ∈ X . Si un operador lineal T : X → Y es biyectivo y además es un homeomor smo, diremos que es un isomor smo de espacios normados. Si además T es una isometría, diremos que X y Y son isométricamente isomorfos, y que T es un isomor smo isométrico.
Dado que los operadores no lineales no son de interés en este contexto, muchas veces se omite el adjetivo lineal y se dice simplemente operador o funcional.
Teorema 1.15 Sean X y Y espacios normados y T : X → Y un operador lineal. Entonces son equivalentes: (i)
T
es continuo.
1.4. Espacios normados y de Banach
5
(ii)
T
es continuo en 0.
(iii)
T
es continuo en algún punto de X .
(iv)
Existe una constante C > 0 tal que kT xk ≤ C kxk para toda x ∈ X .
De nición 1.16 Sean X y Y espacios normados y T De nimos la norma de T por kT k = ´ınf{C > 0 : kT xk ≤ C kxk
:X→Y
un operador lineal continuo.
para toda x ∈ X} = sup kT xk = sup kT xk . kxk≤1
kxk=1
Por lo anterior, a los operadores lineales continuos también se les llama
acotados
. Un
resultado básico acerca de la norma de un operador es el siguiente.
Proposición 1.17 Sean X , Y y Z espacios normados, y S : X → Y y T : Y → Z operadores lineales acotados. Entonces T ◦ S : X → Z es un operador lineal acotado y kT ◦ Sk ≤ kT k kSk. Un tipo particular de operadores lineales son las proyecciones.
De nición 1.18 Sea X un espacio normado. Un operador lineal proyección si P 2 = P . Proposición 1.19 Sean X un espacio normado y P 6≡ 0. Entonces kP k ≥ 1. Demostración. Como P 6≡ 0, existe x ∈ X kP xk = kyk.
Por lo tanto,
tal que
es una
una proyección tal que
P : X → X
y = P x 6= 0.
P : X → X
Entonces
kP yk = kP P xk =
kP k ≥ 1.
Uno de los teoremas más importantes en la teoría de espacios normados es el de HahnBanach. Existen muchas versiones distintas de éste, mas en este trabajo sólo utilizaremos la siguiente.
Teorema 1.20 (Hahn-Banach) Sean X un espacio normado y una funcional lineal continua f tal que f (x) = kxk y kf k = 1.
x ∈ X.
Entonces existe
1.4.3. Dualidad, re exividad y completaciones De nición 1.21 Sea X un espacio normado sobre K. El dual de funcionales lineales continuas de X , es decir, el conjunto X ∗ := {f : X → K : f
con la norma de la de nición
X
es el espacio de las
es lineal y continua},
.
1.16
A partir de la completez del campo
K
se deduce con facilidad que el dual de un espacio
normado siempre es un espacio de Banach.
1. Preliminares
6
De nición 1.22 Sea X un espacio normado. La inyección canónica de X en X ∗∗ es la función j : X → X ∗∗ dada por (j(x))(x∗ ) = x∗ (x),
para toda x ∈ X y x∗ ∈ X ∗ .
De nición 1.23 Un espacio normado X es re exivo si j(X) = X ∗∗ , donde j es la inyección canónica de la de nición 1.22. Es fácil probar que para un espacio normado
X
la inyección canónica
j : X → j(X) ⊂ X ∗∗
es un isomor smo isométrico de espacios normados. Esto nos permite demostrar el siguiente resultado.
Proposición 1.24 Sea X un espacio normado. Entonces existe la completación de X , es decir, un espacio de Banach X¯ tal que existe un isomor smo isométrico entre X y un subespacio denso de X¯ . Demostración. Basta con tomar X¯ = j(X), donde j : X → X ∗∗ es la inyección canónica y la barra denota la cerradura en
X ∗∗ . Claramente este espacio cumple las propiedades pedidas,
y es evidente que cualquier otro que las cumpla es isométricamente isomorfo a éste. Generalmente pensaremos en es un subconjunto de
¯ X
no es
¯ , aunque en realidad el que X como un subconjunto de X ¯ X , sino un subespacio de X isométricamente isomorfo a X .
1.4.4. Sumas directas y subespacios complementados De nición 1.25 Sea X un espacio de Banach, y sean Y y Z dos subespacios cerrados de X . Decimos que X es suma directa de Y y Z si Y ∩ Z = {0} y Y + Z = X . De nición 1.26 Sea X un espacio de Banach. Decimos que un subespacio cerrado Y de X es complementado en X si existe una proyección lineal acotada P de X sobre Y . La de nición anterior no parece tener nada que ver con el término complementado, pero la siguiente proposición ilustra el porqué del nombre.
Proposición 1.27 Sean X un espacio de Banach y F un subespacio cerrado de X . Entonces F es complementado si y sólo si existe un subespacio cerrado G de X tal que X = F ⊕ G. Ciertos tipos de subespacios siempre son complementados, como muestra el siguiente teorema.
Teorema 1.28 Sean X un espacio de Banach, Y ⊂ X un subespacio de dimensión nita y Z ⊂ X un subespacio cerrado de codimensión nita. Entonces Y y Z son complementados en X .
1.4. Espacios normados y de Banach
7
1.4.5. La topología débil Por el teorema 1.13, los únicos espacios normados cuya bola unitaria cerrada es compacta son los de dimensión nita. Históricamente, esto motivó la búsqueda de topologías más débiles, con más compactos y que siguieran estando relacionadas con la estructura lineal del espacio. Una de las más importantes y conocidas es la llamada topología débil, que de nimos a continuación.
De nición 1.29 Sean X un espacio normado y X ∗ su dual. La topología débil en X es la topología que tiene como base local en x0 ∈ X a los conjuntos de la forma V (x0 , x∗1 , . . . , x∗k , ε) = ∩ki=1 x ∈ X : |x∗i (x − x0 )| < ε ,
con x∗1 , . . . , x∗k ∈ X ∗ y ε > 0. El siguiente teorema caracteriza la convergencia de sucesiones en la topología débil.
Teorema 1.30 Sean X un espacio normado, X ∗ su dual, x ∈ X y {xn }∞ n=1 ⊂ X una ∞ sucesión. Entonces {xn }n=1 converge a x en la topología débil si y sólo si l´ımn→∞ x∗ (xn ) = x∗ (x) para toda x∗ ∈ X . La siguiente proposición muestra en qué sentido la topología débil conserva la información referente a la estructura lineal del espacio.
Proposición 1.31 Sean X y Y espacios normados y T : X → Y lineal. Entonces T es continuo con respecto a las topologías inducidas por las normas si y sólo si lo es respecto a las topologías débiles.
1.4.6. Ejemplos Ahora mostramos algunos de los ejemplos clásicos de espacios de Banach.
De nición 1.32 Para {xn }∞ n=1 tales que
p ≥ 1,
el espacio `p es el conjunto de sucesiones de escalares x = ∞ X
|xn |p < ∞
n=1
con la norma kxkp =
∞ X
!1
p
|xn |p
.
n=1
De nición 1.33 El espacio `∞ es el conjunto de sucesiones de escalares x = {xn }∞ n=1 tales que sup |xn | < ∞ n
con la norma kxk∞ = sup |xn |. n
1. Preliminares
8
De nición 1.34 El espacio c0 es el conjunto de sucesiones de escalares x = {xn }∞ n=1 convergentes a 0 con la norma kxk∞ = sup |xn |. n
Claramente,
1.5.
c0
es un subespacio cerrado de
`∞ .
Bases de Schauder
El concepto de base de Hamel juega un papel muy importante en el estudio de los espacios vectoriales. En particular, en el caso de los espacios vectoriales de dimensión nita, el estudio de los operadores lineales acotados (i.e. continuos) se simpli ca porque las cosas se pueden expresar de manera fácil en términos de bases. Esto se debe a que la convergencia es
{xi }ni=1 es una base n n {am i }i=1 , {ai }i=1 ⊂ K,
equivalente a la convergencia por coordenadas, es decir, si en un espacio vectorial
l´ım
n X
m→∞
X
am i xi
sobre
=
i=1
n X
K
ai xi
de dimensión
n,
y
l´ım am m→∞ i
si y sólo si
i=1
= ai
para
de Hamel
i = 1, . . . , n.
Sin embargo, en un espacio de Banach de dimensión in nita esto no necesariamente es cierto. Por ejemplo, si
X = `∞
y
{xi }∞ i=1
es la sucesión
x1 = (1, 1, . . . , 1, . . . ) 1 1 x2 = (1, , . . . , , . . . ) 2 2 1 1 1 x3 = (0, , , . . . , , . . . ) 2 4 4 . . .
xi = (0, . . . , 0, no es difícil ver que
1 2i−2
,
1 2i−1
,...,
1 2i−1
,...)
∞ {xi }∞ i=1 es un conjunto linealmente independiente, que la sucesión {yi }i=1
de nida por
yi = x1 −
i+1 X
xj
j=2 converge a 0 en
`∞ ,
y que sin embargo los coe cientes de cada
xi
con
i≥2
convergen a
−1.
Luego, resulta natural buscar una noción de base que rescate las ventajas que nos dan las bases de Hamel en el caso de dimensión nita, relacionadas con la convergencia y por lo tanto con la norma que tiene el espacio. Como en el caso de espacios de Hilbert, donde se tienen las bases ortonormales, la clave está en permitir sumas in nitas. Una vez más no se incluyen todos los detalles, puesto que se trata de cuestiones conocidas y fáciles de encontrar en libros sobre el tema. Para las pruebas de los resultados o simplemente profundizar en el tema, se sugieren [9], [18] y [19].
1.5. Bases de Schauder
9
1.5.1. De niciones y propiedades fundamentales Las bases anunciadas, que serán de vital importancia en este trabajo, reciben el nombre de
bases de Schauder, aunque por simplicidad en lo sucesivo las llamaremos simplemente bases.
De nición 1.35 Una sucesión {xn }∞ n=1 en un espacio de Banach X es una base de Schauder si para toda x ∈ X existe una única sucesión de escalares {an }∞ n=1 tal que
n
X
l´ım x − ai xi = 0. n→∞
i=1
Una sucesión en un espacio de Banach X es una sucesión básica si es una base de Schauder del espacio vectorial cerrado generado por {xn }∞ n=1 . Una sucesión básica {xn }∞ es seminormalizada si existe M > 0 tal que para toda n ∈ N n=1 {xn }∞ n=1
y es normalizada si kxn k = 1 para
1 ≤ kxn k ≤ M, M toda n ∈ N.
El concepto de base de Schauder solamente está de nido en espacios de Banach. Sin embargo, en este trabajo nos referiremos con frecuencia a bases de espacios normados. Este concepto se precisa en la siguiente de nición.
De nición 1.36 Sean X un espacio normado y {xn }∞ n=1 ⊂ X . Diremos que una base de X si es una base de Schauder de X¯ , la completación de X .
{xn }∞ n=1
es
Lema 1.37 Si {xn }∞ n=1 es una sucesión básica seminormalizada en un espacio de Banach P∞ X , y x = n=1 an xn , entonces l´ımn→∞ an = 0. Proposición 1.38 Sea X un espacio de Banach con base {xn }∞ n=1 . Entonces los operadores Pn dados para cada n ∈ N por Pn
∞ X
ai xi =
i=1
n X
ai xi
i=1
para toda x = ∞ i=1 ai xi ∈ X , son unas proyecciones acotadas y supn kPn k < ∞. Al número supn kPn k se le llama la constante de base de {xn }∞ n=1 , y a las proyecciones Pn se les llama las proyecciones asociadas a la base {xn }∞ ımn→∞ Pn x = x para n=1 . Además, l´ toda x ∈ X . P
Proposición 1.39 Sea X un espacio de Banach sobre n ∈ N de nimos fn : X → K por fn
∞ X
K
con base {xn }∞ n=1 . Si para cada
ai xi = an ,
i=1
entonces cada fn es una funcional lineal acotada. A las funcionales fn suele denotárseles por x∗n y se les llama funcionales coe ciente o funcionales biortogonales asociadas a la base {xn }∞ n=1 .
1. Preliminares
10
Además de su de nición, existen otras maneras de caracterizar a las bases. Una de ellas es la siguiente.
∞ Teorema 1.40 Sea {xn }∞ n=1 una sucesión en un espacio de Banach X . Entonces {xn }n=1 es una base de X si y sólo si se satisfacen las siguientes tres condiciones: (i) (ii)
xn 6= 0
para toda n ∈ N.
Existe M ≥ 1 tal que para toda sucesión de escalares {ai }m i=1 , si n < m entonces
n m
X
X
ai xi ≤ M ai xi .
i=1
(iii)
i=1
El espacio vectorial cerrado generado por {xn }∞ n=1 es X .
Observemos que para una sucesión básica, por de nición la constante de base es el mínimo número
M
que satisface (ii).
Ejemplo 1.41
El teorema 1.40 nos permite encontrar fácilmente bases en algunos espacios
de Banach. Como primer ejemplo tenemos los espacios
`p
(con
1 ≤ p < ∞) y c0
la sección 1.4.6. En estos espacios hay una base natural, llamada la por los vectores
∞ en = (em n )m=1
de nidos en
base canónica, compuesta
dados por
em n
( 1 = 0
si si
n = m, n 6= m.
Es trivial veri car que en estos espacios la sucesión
{en }∞ n=1
satisface las condiciones del
teorema 1.40. Otro ejemplo es el sistema de Haar
{hn }∞ n=1
en
Lp [0, 1],
el espacio de Banach de las clases
de equivalencia de funciones integrables respecto a la medida de Lebesgue sobre el intervalo [0,1], para
1 ≤ p < ∞, dado por h1 (t) = 1 2m−1 < n ≤ 2m ,
para todo
t ∈ [0, 1],
y para
n ≥ 2,
si
m
es el
entero positivo tal que
1 hn (t) = −1 0
2n−2 2m 2n−1 si 2m si
−1≤t< −1≤t<
2n−1 2m − 1, 2n 2m − 1,
en cualquier otro caso.
La prueba de que el sistema de Haar efectivamente es una base puede ser encontrada en [18] o en [19]. Además, el teorema 1.40 nos provee de una manera muy sencilla de construir otras sucesiones básicas a partir de una dada.
1.5. Bases de Schauder
11
Proposición 1.42 Sean X un espacio de Banach y {xn }∞ n=1 una sucesión básica en X con constante de base K . Supongamos que {mj }∞ es una sucesión creciente de enteros con j=1 m1 = 0, {aj }∞ es una sucesión de escalares y que para toda j ∈ N j=1 mj+1
uj =
X
ai xi 6= 0.
i=mj +1
Entonces la sucesión {uj }∞ j=1 es una sucesión básica en X , llamada base bloque de {xn }∞ , cuya constante de base es menor o igual a K . n=1 Es bien conocido un resultado de álgebra lineal donde, usando el lema de Zorn, se prueba que todo espacio vectorial tiene una base de Hamel. Lamentablemente, el resultado análogo
X tiene base es una base es claro que los elementos de X {xn }∞ n=1 Re(an ), Im(an ) ∈ Q forman un subconjunto denso numerable
para bases de Schauder no es cierto. Notemos que si un espacio de Banach entonces es separable, puesto que si de la forma de
X.
P∞
Como
n=1 an xn con
`∞
no es separable (ver [9]), concluimos que no tiene base.
Es natural preguntarse ahora si todo espacio de Banach separable tiene una base. La pregunta fue planteada por Banach en su famoso libro [2], y se le conoce como el problema de la base. Ésta permaneció abierta por cuarenta años, hasta que nalmente Per En o la respondió negativamente en un artículo en 1973 [8], en el cual mostró un contraejemplo re exivo: para cada
p 6= 2,
el espacio
Lp ([0, 1], λ)
(donde
λ
es la medida de Lebesgue), tiene
un subespacio separable que no tiene base. Más recientemente, Andrzej Szankowski [26] demostró que
B(H),
el espacio de operadores lineales continuos de un espacio de Hilbert en
sí mismo, también tiene subespacios separables que no tienen base. Mas no todo está perdido: al menos es cierto que todo espacio de Banach de dimensión in nita contiene un subespacio que tiene una base (o equivalentemente, contiene una sucesión básica). Este resultado tiene una historia interesante: frecuentemente se le atribuye a Banach puesto que apareció por primera vez en su libro [2], sin demostración, después de unos comentarios acerca del problema de la base. Por la manera en que Banach enuncia el resultado, parece que lo deja como un ejercicio sencillo para el lector.
1 Sin embargo, ninguna
prueba fue publicada durante los siguientes 26 años; fue hasta 1958 que se publicaron tres pruebas, debidas a Bernard Gelbaum [10], Czesªaw Bessaga y Aleksander Peªczy«ski [3] y Mahlon Day [5] (aunque la prueba de Day contenía un error que corrigió en otro artículo en 1962 [6]). Como muestra de la fe en Banach, la revisión de [3] aparecida en
Reviews
Mathematical
se re rió al logro de Bessaga y Peªczy«ski como una nueva prueba de un resultado
conocido. Esta historia, como la de Fermat, deja abierta la pregunta de si Banach realmente tenía una prueba. Una posible pista apareció en un artículo de Peªczy«ski [22] en 1962, en el que muestra un método para construir sucesiones básicas, que atribuye a Stanisªaw Mazur,
1
Remarcons toutefois que tout espace du type (B ) à une in nité de dimensions renferme un ensemble
linéaire fermé à une in nité de dimensions qui admet une base.
1. Preliminares
12
con el cual se puede probar fácilmente que todo espacio de Banach de dimensión in nita contiene una sucesión básica. Parece probable que Banach conociera el método de Mazur y lo haya tenido en mente cuando enunció el resultado. De cualquier modo, el resultado es cierto y lo enunciamos a continuación.
Proposición 1.43 Todo espacio de Banach de dimensión in nita contiene una sucesión básica. Una vez que sabemos que un espacio de Banach tiene una sucesión básica, una pregunta interesante es si ésta es única en el siguiente sentido.
∞ De nición 1.44 Dos sucesiones básicas {xn }∞ en un espacio de Banach son n=1 y {yn }n=1 P∞ ∞ equivalentes si para toda sucesión de escalares {a } , n n=1 n=1 an xn converge si y sólo si P∞ a y converge. n=1 n n ∞ Proposición 1.45 Dos sucesiones básicas {xn }∞ n=1 y {yn }n=1 en un espacio de Banach son equivalentes si y sólo si existe K > 0 tal que para toda m ∈ N y toda sucesión de escalares {ai }m i=1 ,
1 K
Si
y
{xn }∞ n=1
{yn }∞ n=1
m m m
X
X
X
a y ≤ a x ≤ K a y
i i i i i i .
i=1
i=1
i=1
cumplen esta desigualdad, diremos que son K -equivalentes.
El concepto de equivalencia resulta útil, mas es fácil ver que la respuesta a la pregunta de la unicidad no siempre es positiva, como lo muestra el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1.46PEn c0 , consideremos la base canónica {en }∞ n=1 dada por
∞ y la base sumante {sn }n=1 n i=1 ei . Primero veri quemos que esta última efectivamente es una base:
sn =
(i) Claramente (ii) Sean
sn 6= 0
para toda
n ∈ N.
n > m y a1 , . . . , an escalares. Entonces
n
n
m
m n
X X
X
X X
ai si . ai − ai ≤ 2 ai = sup ai si = sup
r≤m
r≤m
(iii) Como
e1 = s1
i=r
i=r
i=1
y
ei = si − si−1
para
i > 1,
Y por lo tanto del teorema 1.40 se sigue que
i=m+1
es claro que
{sn }∞ n=1
[sn ]∞ n=1 = c0 .
es una base. Observemos que para
m ∈ N,
m
X
ei = 1,
i=1
pero
i=1
m
X
si = m,
i=1
y entonces, por la proposición 1.45, las dos bases no son equivalentes.
1.5. Bases de Schauder
13
X
es
un espacio de Banach con base, entonces existe una in nidad no numerable de bases de
X
De hecho, la respuesta es siempre negativa, pues se tiene el siguiente resultado [23]: si normalizadas no equivalentes entre sí.
Por otro lado, si se tiene una sucesión básica seminormalizada, cualquier sucesión que esté su cientemente cerca de ésta resulta ser básica y equivalente a la original, como muestra el siguiente teorema, que es una modi cación del teorema 6.20 de [9], y su prueba es esencialmente la misma.
Teorema 1.47 Sean X un espacio de Banach y {xn }∞ n=1 una sucesión básica seminormalizada con constante de base K tal que para toda n ∈ N, M −1 ≤ kxn k ≤ M . Si {yn }∞ n=1 es una sucesión de elementos en X tal que ∞ X
kxn − yn k <
n=1
1 , 4KM
∞ ∞ entonces {yn }∞ n=1 es una sucesión básica 2-equivalente a {xn }n=1 . Más aún, si {xn }n=1 es ∞ una base de X entonces {yn }n=1 también lo es. Como ya mencionamos antes, y a diferencia de otras propiedades como la re exividad, tener base no es algo que se herede a los subespacios, mas es cierto que todo subespacio de un espacio con base tiene a su vez un subespacio con base; más aún, este último subespacio siempre puede ser encontrado de modo que tenga una base arbitrariamente cercana a una base bloque, como se detalla en el siguiente teorema.
Teorema 1.48 Sean X un espacio de Banach con base {xn }∞ n=1 y ε > 0. Entonces, si F es un subespacio de dimensión in nita de X , existen una base bloque normalizada {un }∞ n=1 en X y un subespacio de dimensión in nita G de F que tiene una base normalizada {yn }∞ n=1 , tales que ∞ X
kyn − un k < ε.
n=1 El siguiente lema está relacionado con los dos anteriores.
∞ Lema 1.49 Sea X un espacio de Banach con base {xn }∞ n=1 . Si {yn }n=1 es una sucesión seminormalizada convergente a 0 en la topología débil de X , entonces {yn }∞ n=1 tiene una ∞ subsucesión equivalente a una base bloque de {xn }n=1 .
c0 y `p , tienen la particularidad de ∞ escalares an , . . . , ak , si {xn }n=1 es la base,
Algunas bases, como las canónicas en quiera naturales
n≤m≤k
y
m
k
X
X
a x ≤ a x
i i i i .
i=n
Esto motiva la siguiente de nición.
i=n
que para cuales-
1. Preliminares
14
De nición 1.50 Sea X un espacio de Banach con base {xn }∞ n=1 . (i)
se llama una base monótona si su constante de base es 1, o equivalentemente, si para cualquier m ∈ N y cualquier sucesión de escalares {an }m+1 n=1 se tiene que
{xn }∞ n=1
m
X
m+1
X
an xn ≤ an xn .
n=1
(ii)
n=1
se llama una base bimonótona si es monótona y además para cualesquiera naturales l < m y cualquier sucesión de escalares {an }m n=l se tiene que {xn }∞ n=1
m
m
X
X
an xn ≤ an xn .
n=l+1
n=l
1.5.2. Bases incondicionales Otro tipo de bases que trataremos son las bases incondicionales, concepto basado en la noción de convergencia incondicional.
∞ De nición espacio de Banach X . Diremos que la P∞ 1.51 Sea {xn }n=1 una sucesión en unP serie n=1 xn converge incondicionalmente, si ∞ n=1 xπ(n) converge para cualquier permutación π de N.
Teorema 1.52 Sea {xn }∞ n=1 una sucesión en un espacio de Banach guientes a rmaciones son equivalentes: (i) (ii)
(iii)
La serie
P∞
n=1 xn
P
P∞
i=1 xni
Entonces las si-
converge incondicionalmente.
Para toda ε > 0 existe N ∈ N tal que con m´ın σ > N . La serie
X.
n∈σ
xn < ε
para todo conjunto nito σ ⊂ N
converge para cualquier sucesión de naturales n1 < n2 < · · ·
Ahora podemos de nir el concepto de base incondicional.
De nición 1.53 Una base {xn }∞ n=1 en un espacio P de Banach X se llama una base incondicional, si para toda x ∈ X su expansión ∞ n=1 an xn en términos de la base, converge incondicionalmente. Teorema 1.54 Sea {xn }∞ n=1 una base de un espacio de Banach X . Entonces las siguientes a rmaciones son equivalentes: (i) (ii)
{xn }∞ n=1
es una base incondicional.
{xπ(n) }∞ n=1
es una base de X para toda permutación π : N −→ N.
1.5. Bases de Schauder (iii)
15
Existe una constante C tal que, para cualquier m ∈ N, para toda sucesión de escalares m {an }m n=1 y toda sucesión de escalares {εn }n=1 con |εn | ≤ 1 para 1 ≤ n ≤ m, se tiene la desigualdad
m m
X
X
εn an xn ≤ C an xn .
n=1
n=1
Una base que satisface la condición (iii) para la constante
Ejemplo 1.55 (para
(1) En
si
.
c0
y
m ∈ N, {an }m n=1 una sucesión |εn | ≤ 1 para 1 ≤ n ≤ m. Entonces,
`p
de escalares y
{en }∞ n=1 es la base canónica,
m m
X
X
εn an en = sup |εn an | ≤ sup |an | = an en ,
1≤n≤m
1≤n≤m n=1
n=1
y entonces, por el teorema 1.54, la base canónica de (2) Para
C -incondicional
son incondicionales. Sean
una sucesión de escalares con
c0 ,
se llama
De (iii) en el teorema 1.54 es fácil ver que las bases canónicas de
1 ≤ p < ∞)
{εn }m n=1
C
1 ≤ p < ∞,
en
`p ,
si
m
X
εn an en =
n=1
{en }∞ n=1 m X
c0
es
1-incondicional.
es la base canónica,
!1/p |εn an |p
≤
n=1
m X
!1/p |an |p
n=1
y entonces, por el teorema 1.54, la base canónica de
m
X
= an en ,
n=1
`p
es
1-incondicional.
También es fácil encontrar un ejemplo de una base que no es incondicional. Consideremos
∞ {sn }∞ n=1 en c0 del ejemplo 1.46, y las sucesiones de escalares {an }n=1 n an = εn = (−1) para toda n ∈ N. Entonces
k
k
k
k
X
X
X
X
εn an sn = sn = k y an sn = (−1)n sn = 1,
la base sumante
y
{εn }∞ n=1 dadas por
n=1
n=1
y por lo tanto de la parte (iii) teorema 1.54,
n=1
n=1
{sn }∞ n=1 no es una sucesión básica incondicional.
Lema 1.56 Si {xn }∞ n=1 es una base incondicional seminormalizada en un espacio de Ba∞ nach X , entonces {xn / kxn k}∞ n=1 es una base equivalente a {xn }n=1 .
1.5.3. Otras clases especiales de bases Hay otros dos tipos de bases que también utilizaremos más adelante.
De nición 1.57 Sea X un espacio de Banach con base {xn }∞ n=1 . Decimos que la base ∞ ∞ {xn }n=1 completa
Pnes acotadamente
P∞ si para toda sucesión de escalares {an }n=1 tal que
supn i=1 ai xi < ∞, la serie i=1 ai xi converge.
1. Preliminares
16
Ejemplo 1.58
La base canónica de
c0
no es acotadamente completa, puesto que
n
X
sup ei = 1,
n∈N i=1
P∞ ei no es convergente, ya que para cualesquiera naturales m 6= n tenemos pero la serie i=1 Pn Pm que k e − i=1 i i=1 ei k = 1, y entonces la sucesión de sumas parciales no es de Cauchy. `p para 1 ≤ p < ∞ sí lo es. Si {ai }∞ es una sucePn Pn i=1 p 1/p supn k i=1 ai ei k = M < ∞, entonces supn = M, i=1 |ai |
Por otro lado, la base canónica en sión de escalares tal que
p 1/p = M . Luego, para todo ε > 0 existe N ∈ N tal que si m > n ≥ N i=1 |ai | Pm Pn p 1/p < ε, y por lo tanto la sucesión de sumas parciales S = entonces n i=n |ai | i=1 ai ei P∞ a e converge. es de Cauchy y entonces la serie i i i=1 de donde
P∞
De nición 1.59 Sea X un espacio de Banach con base {xn }∞ n=1 . Decimos que la base ∞ ∗ ∗ {xn }n=1 es reductora si para toda funcional x ∈ X se tiene que
l´ım x∗ |[xi ]∞
= 0. i=n
n→∞
Teorema 1.60 Sea X un espacio de Banach con base {xn }∞ n=1 . Entonces la sucesión de ∗ ∞ ∞ funcionales biortogonales {xn }n=1 asociada a {xn }n=1 es una base de X ∗ si y sólo si {xn }∞ n=1 es una base reductora. Ejemplo 1.61 1 < p < ∞)
A partir del teorema 1.60 es fácil mostrar que la base canónica en
y la de
(1) El dual de
c0
c0
son reductoras, mientras que la de
`1
es
1 < p < ∞, `1
es
el dual de
`∞ ,
no, puesto que es sabido que:
y
c0
`1 . `p
`∞
`q con 1/p + 1/q = 1, y las funcionales `p son la base canónica de `q .
es
asociadas a la base canónica de (3) El dual de
(para
y las funcionales biortogonales asociadas a la base canónica de
son la base canónica de (2) Para
`1
`p
biortogonales
no tiene base.
Esto puede se consultado, por ejemplo, en [9] y [19]. El siguiente resultado de R.C. James caracteriza a los espacios de Banach re exivos con base.
Teorema 1.62 Sea X un espacio de Banach con base {xn }∞ n=1 . Entonces, ∞ si y sólo si la base {xn }n=1 es reductora y acotadamente completa.
X
es re exivo
Otro teorema relacionado con el anterior
Teorema 1.63 Sea X un espacio de Banach con base incondicional {xn }∞ n=1 . Entonces, X es re exivo si y sólo si no contiene ningún subespacio cerrado isomorfo a c0 ni a `1 .
Capítulo 2
Conjuntos asintóticos Comenzamos este capítulo de niendo los conjuntos asintóticos, que son fundamentales para enunciar y probar el resultado principal de este capítulo (teorema 2.6): si un espacio normado
X
contiene su cientes conjuntos asintóticos, éstos pueden ser utilizados para construir una
norma equivalente en
X
que no tenga sucesiones básicas
C -incondicionales
para cierta
C.
De nición 2.1 Sea X un espacio normado. Decimos que un conjunto A ⊂ S(X) es asintótico si A ∩ S(Y ) 6= ∅ para todo subespacio de dimensión in nita (no necesariamente cerrado) Y ⊂ X . De nición 2.2 Sean {An }∞ n=1 una sucesión de subconjuntos de la esfera unitaria de un ∗ ∗ espacio normado X y {An }∞ n=1 una sucesión de subconjuntos de la bola unitaria de X . ∞ ∗ ∞ Decimos que ({An }n=1 , {An }n=1 ) es un sistema biortogonal asintótico con constante δ si se satisfacen las siguientes condiciones: (i) (ii) (iii)
El conjunto An es asintótico para toda n ∈ N. Para cada n ∈ N y cada x ∈ An existe x∗ ∈ A∗n tal que x∗ (x) > 1 − δ . Para cada n, m ∈ N con n 6= m, cada x ∈ An y cada x∗ ∈ A∗m , |x∗ (x)| < δ .
Bajo estas circunstancias, diremos que
1/2
X
contiene un sistema biortogonal asintótico. Si
existe un sistema asintótico biortogonal trivial, dado por
para todo
n ∈ N.
Por otro lado, si
δ ≤ 1/2
An = S(X)
∗ y An
=
δ>
1 ∗ 2 B(X )
no es nada obvio que algún espacio de Banach
contenga un sistema biortogonal asintótico con constante
δ.
An 's están separados en el siguiente sentido: si n 6= m, x ∈ An y y ∈ Am , x∗ ∈ A∗n tal que x∗ (x) > 1 − δ y |x∗ (y)| < δ . Como x∗ ∈ B(X ∗ ), tenemos kx − yk ≥ kx∗ k kx − yk ≥ |x∗ (x − y)| ≥ |x∗ (x)| − |x∗ (y)| > 1 − δ − δ = 1 − 2δ .
Notemos que los entonces existe que
Antes de pasar al resultado principal del capítulo, necesitaremos algunas de niciones y resultados previos.
2. Conjuntos asintóticos
18
∗ ∞ Proposición 2.3 Sean (X, k·k) un espacio normado separable y ({An }∞ n=1 , {An }n=1 ) un sistema biortogonal asintótico con constante δ en X . Entonces existe un sistema biortogonal ∗ ∞ asintótico con constante δ en X de la forma ({An }∞ n=1 , {Zn }n=1 ), donde para toda n ∈ N, Zn∗ ⊂ A∗n y Zn∗ es numerable.
Demostración. Como X
{yk }∞ k=1 ⊂ S(X) denso en S(X). Para cada k, n ∈ N = supx∗ ∈A∗n ) . Observemos que como A∗n ⊂ B(X ∗ ) k ∞ n y {yk }k=1 ⊂ S(X), αk ≤ 1 para cualesquiera n, k ∈ N. Además, para n, k ∈ N existe ∗ ∞ ∗ {xn,k,m }m=1 ⊂ An tal que l´ımm→∞ x∗n,k,m (yk ) = αkn , puesto que αkn es el supremo. Sea Zn∗ = {x∗n,k,m : k, m ∈ N}. Observemos que Zn∗ es numerable. Ahora consideremos x ∈ An . ∗ ∗ ∗ De la condición (ii) de la de nición 2.2, existe x ∈ An tal que x (x) > 1 − δ . Sea rx = ∗ ∞ x (x) − 1 + δ > 0. Como {yk }k=1 es denso en S(X), existe k ∈ N tal que kx − yk k < rx /4. ∗ ∗ Entonces, para cualquier z ∈ B(X ), es separable, existe un conjunto numerable
x∗ (y
n sea αk
|z ∗ (x) − z ∗ (yk )| ≤ kz ∗ k kx − yk k < rx /4,
(2.1)
y por lo tanto,
αkn ≥ x∗ (x) − rx /4 = 1 − δ + 3rx /4. Ahora, sea
m∈N
tal que
|x∗n,k,m (yk ) − αkn | < rx /4.
Entonces, por (2.1),
x∗n,k,m (x) > αkn − rx /4 − rx /4 ≥ 1 − δ + rx /4 > 1 − δ. n ∈ N, Zn∗ es un x∗ ∈ Zn∗ con x∗ (x) > 1 − δ ,
A∗n
Por lo tanto, para cada
subconjunto numerable de
x ∈ An
es decir, se satisface (iii) para
existe
tal que para toda
x ∈ An
y
x∗ ∈ Zn∗ .
∗ ∗ ∞ De nición 2.4 Sean (X, k·k) y ({An }∞ n=1 , {Zn }n=1 ) como en la proposición 2.3. Sea Z = S ∞ ∗ ∗ ∗ ∗ n también lo son (Z ) = n=1 Zn . Como cada Zn es numerable, Z lo es y por S∞lo tanto ∗ n ∗ ∗ ∗ ∗ {(z1 , . . . , zn ) : zi ∈ Z , 1 ≤ i ≤ n} para toda n ∈ N y n=1 (Z ) . Sea
σ:
∞ [
(Z ∗ )n → N \ {1}
n=1
una función inyectiva (existe porque el dominio es numerable). Una sucesión especial de funcionales de longitud r (S.E.F.L.r) es una sucesión de la forma z1∗ , z2∗ , . . . , zr∗ ∗ ∗ donde z1∗ ∈ Z1∗ y para 1 ≤ i < r se tiene que zi+1 ∈ Zσ(z ∗ ∗ . Una funcional especial de 1 ,...,zi ) longitud r es la suma de los elementos de una sucesión especial de longitud r. Denotaremos por Γr a la colección de funcionales especiales de longitud r. Evidentemente esta de nición depende del espacio, el sistema biortogonal asintótico y la inyección, pero siempre quedará claro a cuáles nos estamos re riendo.
∗ ∞ Proposición 2.5 Sean (X, k·k) y ({An }∞ n=1 , {Zn }n=1 ) como en la proposición ces, para cualquier r ∈ N la función
|kx|k = kxk ∨ r sup{|z ∗ (x)| : z ∗ ∈ Γr }
de ne una norma en X equivalente a k·k.
. Enton-
2.3
19
Demostración. Veri quemos que cumple las condiciones necesarias: (i) Para cualquier S.E.F.L.r
z1∗ , z2∗ , . . . , zr∗ , de la desigualdad
r
r
X X
∗ zi ≤ kzi∗ k ≤ r
i=1
del triángulo se obtiene que
(2.2)
i=1
x ∈ X y z ∗ ∈ Γr , |z ∗ (x)| ≤ kz ∗ k kxk ≤ r kxk. Luego, ∈ Γr } está acotado y por lo tanto |kx|k está bien de nida.
Entonces, para
{|z ∗ (x)|
:
z∗
| · | y k·k son funciones no negativas, |kx|k ≥ 0 |kx|k = 0 entonces kxk = 0 y por lo tanto x = 0.
(ii) Como
(iii) Para cualesquiera
x∈X
y
λ
para toda
x∈X
el conjunto
y además si
un escalar,
|kλx|k = kλxk ∨ r sup{|z ∗ (λx)| : z ∗ ∈ Γr } = |λ| kxk ∨ r sup{|λ||z ∗ (x)| : z ∗ ∈ Γr } = |λ| kxk ∨ |λ|r sup{|z ∗ (x)| : z ∗ ∈ Γr } = |λ| |kx|k . x, y ∈ X . De la desigualdad del triángulo para k·k y |·| obtenemos que kx + yk ≤ kxk + kyk y que para toda z ∗ ∈ X ∗ se tiene que |z ∗ (x + y)| = |z ∗ (x) + z ∗ (y)| ≤ |z ∗ (x)| + |z ∗ (y)|. Luego,
(iv) Sean
r sup{|z ∗ (x + y)| : z ∗ ∈ Γr } ≤ r sup{|z ∗ (x)| + |z ∗ (y)| : z ∗ ∈ Γr } ≤ r sup{|z ∗ (x)| : z ∗ ∈ Γr } + r sup{|z ∗ (y)| : z ∗ ∈ Γr }. Por lo tanto,
|kx + y|k ≤ (kxk + kyk) ∨ (r sup{|z ∗ (x)| : z ∗ ∈ Γr } + r sup{|z ∗ (y)| : z ∗ ∈ Γr }). |k·|k, kxk ≤ |kx|k y r sup{|z ∗ (x)| : z ∗ ∈ Γr } ≤ |kx|k. y , obtenemos que kxk + kyk ≤ |kx|k + |ky|k y
Por otro lado, de la de nición de Usando lo mismo para
r sup{|z ∗ (x)| : z ∗ ∈ Γr } + r sup{|z ∗ (y)| : z ∗ ∈ Γr } ≤ |kx|k + |ky|k . De todo esto se sigue que (v) Como ya mencionamos, (vi) Para todo
|kx + y|k ≤ |kx|k + |ky|k.
kxk ≤ |kx|k
z ∗ ∈ Γr , kz ∗ k ≤ r
para toda
x ∈ X.
por (2.2). Luego, para
x ∈ X,
|kx|k = kxk ∨ r sup{|z ∗ (x)| : z ∗ ∈ Γr } ≤ kxk ∨ r sup{kz ∗ k kxk : z ∗ ∈ Γr } ≤ kxk ∨ r · r kxk = r2 kxk . Por lo tanto,
|k·|k
es una norma en
X
equivalente a
k·k.
El resultado principal de este capítulo es el siguiente teorema.
2. Conjuntos asintóticos
20
Teorema 2.6 Sean 0 < δ < 1/36 y X un espacio normado separable que contiene un sistema biortogonal asintótico con constante δ . Entonces existe una norma equivalente en √ X tal que ninguna sucesión básica es 1/ 36δ -incondicional. ∗ ∞ Demostración. Sean k·k la norma original en X y ({An }∞ n=1 , {An }n=1 ) el sistema biortogonal asintótico con constante
δ
en
X.
Usando las proposiciones 2.3 y 2.5 con
bδ −1/2 c denota al mayor entero menor o igual a Ahora sea
{xn }∞ n=1
r = bδ −1/2 c, |k·|k.
donde
δ −1/2 , de nimos la norma
cualquier sucesión básica en
X.
(r − 1)/40 < δ < 1/36,
Probaremos que no es
|k·|k, lo cual probará el teorema puesto que como 6 < δ −1/2 y además, como r = bδ −1/2 c, entonces r ≤ δ −1/2 < r + 1 y δ −1/2 − 1 < r. Combinando ambas desigualdades, incondicional en la norma
entonces
por lo tanto
2 −1/2 2 −1/2 2 −1/2 δ + 31 δ −1/2 − 2 δ + 13 6 − 2 δ r−1 δ −1/2 − 2 δ −1/2 1 > = 3 > 3 = 3 = =√ . 4 4 4 4 4 6 36δ
{xi }∞ i=1 . Como A1 es un conjunto asintótico y X1 es de dimensión in nita, existe z1 ∈ A1 ∩ X1 . Esto implica que kz1 k = 1 y que z1 es ∗ ∗ combinación lineal de un número nito de los xi . Enseguida, podemos hallar z1 ∈ Z1 tal que ∗ z1 (z1 ) > 1 − δ . Ahora, sea X2 el subespacio algebraico generado por todos los xi excepto los usados para generar z1 . Como Aσ(z ∗ ) es asintótico y X2 es de dimensión in nita, podemos 1 encontrar z2 ∈ Aσ(z ∗ ) ∩ X2 que tiene norma 1 y es combinación lineal de un número nito 1 ∗ ∗ ∗ de los xi . Además, podemos encontrar z2 ∈ Z σ(z ∗ ) tal que z2 (z2 ) > 1 − δ .
Sea
X1
el subespacio algebraico generado por
1
Continuando este proceso, obtenemos sucesiones
z1 , . . . , z r
y
z1∗ , . . . , zr∗
con las siguientes
propiedades: (i)
kzi k = 1
(ii)
z1∗ ∈ Z1∗
(iii)
para y
∗ ∗ zi+1 ∈ Zσ(z ∗ ,...,z ∗ ) 1
zi∗ (zi ) > 1 − δ
(iv) Como
σ
1 ≤ i ≤ r.
para
i
para
1≤i r r(1 − δ) − r(r − 1)δ zi ≥ r i=1
i=1
j=1
2
i=j
i6=j
2
= r(r − rδ − r δ + rδ) = r(r − r δ) ≥ r(r − 1), (2.3) donde la última desigualdad se sigue de que
0 < r ≤ δ −1/2 .
21
{wi∗ }ri=1 es cualquier sucesión especial de longitud r, sea t el índice máximo ∗ zi para 1 ≤ i ≤ t (o bien cero si w1∗ 6= z1∗ ). Entonces, de la desigualdad del
Por otro lado, si
∗ tal que wi
=
triángulo,
r t r X X X i ∗ i ∗ ∗ |wi∗ (zi )|. (−1) wi (zi ) ≤ (−1) wi (zi ) + |wt+1 (zt+1 )| + i=1
Recordemos que
i=1
z1∗ , w1∗ ∈ A∗1
σ es una inyección y el 1 no A∗n en los siguientes casos: (1) Si
i j:
∗ ) y (w1∗ , . . . , wi−1
∗ ) (z1∗ , . . . , zj−1
son sucesiones de tamaños distintos, por lo que
∗ ∗ σ(w1∗ , . . . , wi−1 ) 6= σ(z1∗ , . . . , zj−1 ).
(2) Si
i = j > t + 1:
Por de nición de
∗ ∗ . t, wt+1 6= zt+1
Luego,
∗ ∗ ∗ ∗ (w1∗ , . . . , wt+1 , . . . , wi−1 ) 6= (z1∗ , . . . , zt+1 , . . . , zj−1 ),
y entonces
∗ ∗ σ(w1∗ , . . . , wi−1 ) 6= σ(z1∗ , . . . , zj−1 ).
|wi∗ (zj )| < δ . En ∗ ∗ δr(r − 1). Cuando i ≤ t sabemos que particular, i=t+2 |wi (zi )| < δr y i6=j |wi (zj )| < P t i ∗ i ∗ ∗ 1 − δ < wi (zi ) ≤ 1 y entonces i=1 (−1) wi (zi ) ≤ 1 + δt/2 (puesto que |(−1) wi (zi ) + i+1 ∗ (−1) wi+1 (zi+1 )| < δ ). Se sigue que
Por la propiedad (iii) en la de nición 2.2, en estos dos casos se tiene que
Pr
P
r X (−1)i wi∗ (zi ) ≤ 1 + δr/2 + 1 + δr ≤ 2(1 + δr).
(2.4)
i=1
Finalmente, de la desigualdad del triángulo obtenemos
r r
X
X
i
(−1)i zi = r.
(−1) zi ≤
i=1
i=1
(2.5)
2. Conjuntos asintóticos
22
0 < r ≤ δ −1/2 , (2.4), (2.5) y que r2 > r puesto que r ≥ 6, encontramos que r r
) ( ! r X X
X
(−1)i zi : z ∗ ∈ Γr (−1)i zi = (−1)i zi ∨ r sup z ∗
i=1 i=1 i=1 ! r r X X ≤ r ∨ r sup wj∗ (−1)i zi : w1∗ , . . . , wr∗ es una S.E.F.L.r j=1 i=1 X X ≤ r ∨ r sup (−1)i wj∗ (zi ) + |wj∗ (zi )| : w1∗ , . . . , wr∗ es una S.E.F.L.r i6=j i=j ≤ r ∨ r 2(1 + δr) + δr(r − 1) = r ∨ r(2 + 2δr + δr2 − δr)
Usando
= r ∨ r(2 + δr + δr2 ) = r(2 + δr + δr2 ) < r(2 + 2δr2 ) ≤ 4r. De lo anterior se sigue, usando (2.3)
r r X X i (r − 1) (−1) zi < 4r(r − 1) ≤ 4 zi i=1
es decir
i=1
r r X r − 1
X zi . (−1)i zi < 4 i=1
zi n 6= m,
i=1
Ahora bien, como cada
es combinación lineal de un número nito de los
Xn ∩ Xm = {0}
esto se puede escribir como
si
xn , zn ∈ Xn
y
m m X r − 1
X an xn < εn an xn 4 n=1
n=1
para una cierta sucesión
{an }m n=1 y εn ∈ {1, −1} (r − 1)/4-incondicional en
para
∞ sucesión {xn }n=1 no es
la norma
1 ≤ n ≤ m, |k·|k.
lo cual prueba que la
Capítulo 3
Los espacios de Schlumprecht En este capítulo consideraremos el espacio de Schlumprecht [24], el primer ejemplo conocido de un espacio que es
λ-distorsionable
para todo
λ.
El resultado principal de este capítulo es
probar precisamente esto. Para demostrarlo seguiremos la estrategia que usaron Gowers y Maurey en [13].
3.1.
Espacios distorsionables
Recordemos la de nición de espacio distorsionable.
De nición 3.1 Un espacio normado de dimensión in nita (Y, k·k) es λ-distorsionable si existe una norma |k·|k en Y equivalente a k·k tal que para todo subespacio de dimensión in nita Z ⊂ Y sup
|kz1 |k : z1 , z2 ∈ Z, kz1 k = kz2 k = 1 |kz2 |k
≥ λ.
Un espacio es distorsionable si es λ-distorsionable para algún mente distorsionable si es λ-distorsionable para todo λ > 1,
λ > 1,
y es arbitraria-
Primero, veremos que existen espacios no distorsionables, un resultado probado por James [16].
Proposición 3.2
`1
y c0 no son distorsionables.
Demostración.
Consideremos el espacio `1 con su norma usual k·k, y sea |k·|k una norma `1 equivalente a k·k. Luego, por la proposición 1.10, existe una constante M > 0 tal −1 |kx|k ≤ kxk ≤ M |kx|k para toda x ∈ ` . Sean {P }∞ las proyecciones asociadas que M 1 n n=1 a la base canónica de `1 (véase la proposición 1.38), y para n ∈ N de namos para
λn = sup{kxk : |kx|k = 1, Pn x = 0}. λn ↓ λ para algún M ≥ λ ≥ M −1 . Sea ε > 0, y sea n0 ∈ N tal que λn0 < λ(1+ε). ∞ Veamos que podemos construir una base bloque {yk }k=1 de la base canónica de `1 tal que para toda k ∈ N, |kyk |k = 1, Pn0 yk = 0 y kyk k ≥ λ/(1 + ε). Claramente
3. Los espacios de Schlumprecht
24
Para
m ∈ N,
que para toda
∞ Xm = [ei ]∞ i=m , donde {ei }i=1 es la base canónica n ∈ N, kxk : x ∈ Xn+1 \ {0} . λn = sup |kx|k sea
de
`1 .
Observemos
h : Xn0 +1 \ {0} → R dada por h(x) = kxk / |kx|k es una función con∞ 0 ∞ tinua y hei ii=n +1 \ {0} es denso en Xn0 +1 \ {0}, existe y1 ∈ hei ii=n +1 \ {0} tal que 0 0 0 0 0 0 ky1 k / |ky1 |k > λn0 /(1 + ε) ≥ λ/(1 + ε). Tomando y1 = y1 / |ky1 |k, obtenemos que |ky1 |k = 1,
Como la función
Pn0 y1 = 0 y ky1 k ≥ λ/(1 + ε). Como y1 es una combinación lineal de un número nito de los ei , existe n1 > n0 tal que Pn1 y1 = 0. Análogamente podemos encontrar y2 ∈ hei i∞ i=n1 +1 \{0} tal que |ky2 |k = 1, Pn2 y2 = 0 y ky2 k ≥ λ/(1 + ε). Procediendo inductivamente construimos ∞ una base bloque {yk }k=1 que satisface las condiciones pedidas. Sean
Zε = [yk ]∞ k=1
es base bloque de
z2 =
P∞
z1 , z2 ∈ Zε con kz1 k = kz2 k = 1. De la de nición de Zε , como {yk }∞ k=1 P ∞ ∞ y {b }∞ tales que z = a y {ei }∞ , existen escalares {a } 1 k k y k k i=1 k=1 k=1 k=1 y
k=1 bk yk . Observemos que de la desigualdad del triángulo,
∞ ∞ ∞ X X X |kz1 |k = ak yk ≤ |ak | |kyk |k = |ak |. k=1
k=1
k=1
Aparte,
∞ ∞ ∞
X
X λ X
|ak | kyk k ≥ 1 = kz1 k = ak yk = |ak |,
1+ε k=1
k=1
k=1
y así
|kz1 |k ≤ Por otro lado, claramente Pn0 (z2 ) = 0, λn0 ≥ kz2 k/ |kz2 |k = |kz2 |k−1 , de donde
1+ε . λ
(3.1)
y entonces de la de nición de
λn0
se sigue que
|kz2 |k−1 ≤ λn0 ≤ λ(1 + ε).
(3.2)
Luego, de (3.1) y (3.2),
1+ε |kz1 |k ≤ λ(1 + ε) = (1 + ε)2 , |kz2 |k λ y por lo tanto
sup Como
|kz1 |k : z1 , z2 ∈ Zε , kz1 k = kz2 k = 1 ≤ (1 + ε)2 . |kz2 |k
´ınf ε>0 (1 + ε)2 = 1,
concluimos que
entonces no es distorsionable.
`1
no es
µ-distorsionable
para ninguna
µ > 1,
y
3.1. Espacios distorsionables
25
c0 es similar. Por 1 − 4ε − ε2 > 0. Sea ahora
La prueba para les que
comodidad, consideraremos solamente valores de
ε
ta-
λn = ´ınf{kxk : |kx|k = 1, Pn x = 0}. `1 , λn ↑ λ con M ≥ λ ≥ M −1 , y existen un n0 ∈ N tal que λn0 > λ/(1 + ε) y una base bloque {yk }∞ k=1 de la base canónica de c0 tal que para toda k ∈ N, |kyk |k = 1, Pn0 yk = 0 y kyk k ≤ λ(1 + ε). Usando un argumento análogo al empleado con
Zε = [yk ]∞ k=1 y z, z1 , z2 ∈ Zε con kz1 k = kz2 k = 1. De la de nición de Zε , ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ como {yk }k=1 es base bloque de {ei }i=1 , existen escalares {ak }k=1 , {bk }k=1 y {ck }k=1 tales P∞ P∞ P∞ que z1 = k=1 ck yk . Claramente, Pn0 z1 = 0, y entonces k=1 bk yk y z = k=1 ak yk , z2 = −1 , de donde de la de nición de λn0 se sigue que λn0 ≤ kz1 k/ |kz1 |k = |kz1 |k Ahora sean
|kz1 |k ≤ λ−1 n0 <
1+ε . λ
(3.3)
Análogamente,
∞
1+ε 1 1+ε
X
sup |ck | kyk k |kz|k ≤ kzk ≤ ck yk =
λn0 λ λ k k=1
(3.4)
1+ε ≤ λ(1 + ε) sup |ck | = (1 + ε)2 sup |ck |. λ k k Por otro lado,
∞
X
1 = kz2 k = bk yk = sup |bk | kyk k ≤ λ(1 + ε) sup |bk |,
k k k=1
de donde
supk |bk | ≥ λ−1 (1 + ε)−1 . Sea k0 ∈ N tal que |bk0 | > (1 − ε) supk |bk |. ∞ X bk yk − 2bk0 yk0 ≤ (1 + ε)2 sup |bk |. k
De (3.4),
k=1
Luego, de la desigualdad del triángulo,
∞ ∞ X X bk yk − 2bk0 yk0 bk yk ≥ |k2bk0 yk0 |k − |kz2 |k = k=1
k=1
2
≥ 2(1 − ε) sup |bk | − (1 + ε) sup |bk | k
≥ 2(1 − ε) − (1 + ε)2
k
1 1 = (1 − 4ε − ε2 ) . λ(1 + ε) λ(1 + ε)
Así, de (3.3) y (3.5),
|kz1 |k 1 + ε λ(1 + ε) (1 + ε)2 (1 + ε)2 − 4ε − ε2 + 4ε + ε2 ≤ = = |kz2 |k λ 1 − 4ε − ε2 1 − 4ε − ε2 1 − 4ε − ε2 2 6ε + 2ε =1+ , 1 − 4ε − ε2
(3.5)
3. Los espacios de Schlumprecht
26
y por lo tanto
sup
|kz1 |k 6ε + 2ε2 : z1 , z2 ∈ Zε , kz1 k = kz2 k = 1 ≤ 1 + , |kz2 |k 1 − 4ε − ε2
de donde concluimos que
c0
no es
µ-distorsionable
para ninguna
µ>1
y por lo tanto no es
distorsionable. Ahora probaremos que la propiedad de ser arbitrariamente distorsionable se preserva bajo isomor smos.
Proposición 3.3 Sean X y Y dos espacios normados isomorfos de dimensión in nita. Si X es arbitrariamente distorsionable, entonces Y también lo es. Demostración. T :X→Y
Denotaremos por
k·kX
y
k·kY a las normas de X y Y , respecivamente. K ≥ 1 tal que para toda x ∈ X ,
1 kxkX ≤ kT xkY ≤ K kxkX . K Sea
λ > 1.
Como
equivalente a
k·kX
X
(3.6)
es arbitrariamente distorsionable, existe una norma
tal que para todo subespacio de dimensión in nita
W
de
|k·|kX X,
para
n |kw |k o 1 X : w1 , w2 ∈ W, kw1 kX = kw2 kX = 1 ≥ K 2 λ. |kw2 |kX −1 y X para toda y ∈ Y . De namos una función |k·|kY : Y → R por |ky|kY = T mente es una norma para Y , y es equivalente a k·kY . sup
Ahora sea
Sea
un isomor smo. Entonces existe
Z
un subespacio de
cio de dimensión in nita de
kx1 kX = kx2 kX = 1
X,
Y
X
(3.7)
Clara-
T −1 Z es un subespax1 , x2 ∈ T −1 Z tales que
de dimensión in nita. Entonces
y por (3.7), dado
ε > 0
existen
y
|kx1 |kX > K 2 (λ − ε). |kx2 |kX
z1 = T x1 / kT x1 kY y z2 = T x2 / kT x2 kY . kz2 kY = 1. Ahora, por (3.6) y (3.8),
Sean
Observemos que
(3.8)
z1 , z 2 ∈ Z
y
kz1 kY =
|kz1 |kY |kx1 |kX kT x2 kY |kx1 |kX K1 kx2 kX 1 = · ≥ · > K 2 (λ − ε) · 2 = λ − ε, |kz2 |kY |kx2 |kX kT x1 kY |kx2 |kX K kx1 kX K de donde
Por lo tanto,
n |kz |k o 1 Y : z1 , z2 ∈ Z, kz1 kY = kz2 kY = 1 ≥ λ. sup |kz2 |kY Y
es
λ-distorsionable,
y entonces es arbitrariamente distorsionable.
Como se mencionó en la introducción, hasta antes de la construcción del espacio de Schlumprecht solamente se sabía de la existencia de espacios distorsionables y no distorsionables,
3.2. La clase F y sus propiedades
27
mas no de arbitrariamente distorsionables. En este capítulo de nimos una clase de espacios que son una generalización del construido por Schlumprecht, a los que hemos llamado los espacios de Schlumprecht y probamos que algunos de ellos son arbitrariamente distorsionables, y no son isomorfos entre sí.
3.2.
La clase
F
y sus propiedades
La de nición de los espacios de Schlumprecht y las pruebas de varios resultados acerca de espacios de su tipo, se basan en las propiedades de ciertas funciones, que enunciaremos y probaremos en esta sección.
De nición 3.4 La clase F consiste de las funciones f (i) (ii)
f (1) = 1
f (x) → ∞
cuando x → ∞. para toda q > 0.
l´ımx→∞ x−q f (x) = 0
(iv)
La función x/f (x) es cóncava.
(vi)
f
que satisfacen:
y f (x) < x para toda x > 1.
(iii)
(v)
: [1, ∞) → [1, ∞)
es submultiplicativa, es decir, f (xy) ≤ f (x)f (y) para cualesquiera x, y ≥ 1.
La derivada por la derecha de f en 1 es positiva.
Primero veamos que las primeras cinco condiciones implican que
f
y
x/f (x)
son crecientes,
y que la derivada mencionada en (vi) existe.
Proposición 3.5 Sea f : [1, ∞) → [1, ∞) que satisface las condiciones de nición 3.4. Entonces f y x/f (x) son estrictamente crecientes.
(i)
a
(v)
de la
Demostración. Sea y > 1. Supongamos que f (y) = 1. Entonces, por (v) 1 ≤ f (y 2 ) ≤ f (y)f (y) = 1, de donde
f (y 2 ) = 1.
contradice (ii). Ahora, sean Por (iv),
f (x) ≤ Como
Entonces
x y ≥ λ + (1 − λ) , f (x) f (y)
de donde
tanto,
1 < x < y.
n
f (y 2 ) = 1 para toda n ∈ N, lo cual existe 0 < λ < 1 tal que x = λ + (1 − λ)y .
Razonando inductivamente,
x λ + (1 − λ)y . y = f (y) λ + (1 − λ) f (y) λf (y) + (1 − λ)y
f (y) > 1 y λ > 0, λ + (1 − λ)y < λf (y) + (1 − λ)y , f es estrictamente creciente.
y entonces
f (x) < f (y).
Por lo
3. Los espacios de Schlumprecht
28
Sean
1 ≤ x < y.
Entonces
1 < y/x,
de donde, por (v)
f (y) = f
y y x ≤f f (x), x x
y por lo tanto, por (i),
y y f (y) ≤f < . f (x) x x Luego,
y por tanto la función
x y < , f (x) f (y) x/f (x)
es estrictamente creciente.
Proposición 3.6 Sea f : [1, ∞) → [1, ∞) que satisface las condiciones (i) a (v) de la de nición 3.4. De namos F : [1, ∞) → [1, ∞) por F (x) = x/f (x) para x ∈ [1, ∞). Entonces: (i)
(ii) (iii)
Para toda x ≥ 1 existen f 0 (x) y F 0 (x), las derivadas por la derecha en x de f y F , respectivamente. (x) Para toda x ≥ 1, F 0 (x) = suph>0 F (x+h)−F . h
1 ≥ f 0 (1) ≥ 0.
Demostración. Observemos que para (i) basta comprobar que F 0
existe, puesto que f (x) = x/F (x). Para ello recordemos que de la de nición de F , F es cóncava, y por la proposición 3.5 F y f son estrictamente crecientes. Sean x ≥ 1 y h > 0. Entonces f (x) − f (x + h) ≤ 0, y
F (x + h) − F (x) 1 x+h x xf (x) + hf (x) − xf (x + h) = − = h h f (x + h) f (x) hf (x)f (x + h) x f (x) − f (x + h) + hf (x) hf (x) 1 1 = ≤ = ≤ . hf (x)f (x + h) hf (x)f (x + h) f (x + h) f (x) 0 < h < H . De la condición de concavidad, si α es tal que αx + (1 − α)(x + H) = x + h entonces αx + x + H − αx − αH = x + h, y α = (H − h)/H . Por la concavidad de F , Ahora sean
F (x + h) ≥ αF (x) + (1 − α)F (x + H). De donde tenemos que
F (x + h) ≥
H −h h F (x) + F (x + H), H H
y por lo tanto
H F (x + h) − F (x) ≥ h F (x + H) − F (x) , es decir,
F (x + h) − F (x) F (x + H) − F (x) ≥ . h H
3.2. La clase F y sus propiedades
29
(x) h > 0 la función F (x+h)−F es no h arriba por 1/f (x), y por lo tanto existe
Así, para por
l´ım h↓0
creciente (como función de
h)
y está acotada
F (x + h) − F (x) 1 F (x + h) − F (x) = sup = F 0 (x) ≤ . h h f (x) h>0
Por otro lado,
f 0 (1) = l´ım h↓0
f (1 + h) − f (1) 1+h−1 ≤ l´ım = 1. h↓0 h h
y además,
f 0 (1) = l´ım
h→0+
puesto que
f
f (1 + h) − f (1) ≥ 0, h
es creciente.
Ahora probaremos que la clase
F
es no vacía.
Proposición 3.7 La función f˜(x) = log2 (x + 1) pertenece a la clase F . Demostración. Veri quemos que satisface las propiedades: (i)
f˜(1) = log2 (1 + 1) = log2 2 = 1.
Por otro lado, como
e < 4,
resulta
1 = ln e < ln 4 = 2 ln 2. Y entonces, para para
x > 1, 1 < (x+1) ln 2, es decir, [(x+1) ln 2]−1 < 1. Luego, integrando,
x > 1, ln(x + 1) ln(1 + 1) f˜(x) − 1 = − = ln 2 ln 2
y por lo tanto, (ii) Claramente,
para toda
x
[(t + 1) ln 2]−1 dt <
1
Z
x
1 dt = x − 1, 1
f˜(x) < x.
l´ımx→∞ f˜(x) = ∞.
(iii) Es bien sabido que
0
Z
l´ımx→∞ x−q ln x = 0 para cualquier q > 0. Por lo tanto, l´ımx→∞ x−q f˜(x) =
q > 0.
(iv) Calculamos
d x ln(x + 1) − x/(x + 1) (x + 1) ln(x + 1) − x d x = ln 2 = ln 2 = ln 2 . 2 dx f˜(x) dx ln(x + 1) [ln(x + 1)] (x + 1)[ln(x + 1)]2 Ahora bien, para
x≥0
se tiene
x+1 d (x + 1) ln(x + 1) − x = + ln(x + 1) − 1 = ln(x + 1) ≥ 0, dx x+1 por lo tanto, puesto que
(0 + 1) ln(0 + 1) − 0 = 0,
para
(x + 1) ln(x + 1) − x ≥ 0.
x≥0
(3.9)
resulta (3.10)
3. Los espacios de Schlumprecht
30
d dx
(x + 1) ln(x + 1) − x = ln(x + 1) y entonces d2 x ln 2 (x + 1)[ln(x + 1)]2 [ln(x + 1)] = dx2 f˜(x) (x + 1)2 [ln(x + 1)]4 2 ln(x + 1) 2 − [(x + 1) ln(x + 1) − x] (x + 1) + [ln(x + 1)] x+1 ln 2 = (x + 1)[ln(x + 1)]2 2 (x + 1) [ln(x + 1)]3
Por otro lado, usando (3.9),
− [(x + 1) ln(x + 1) − x] [2 + ln(x + 1)] ln 2 − 2(x + 1) ln(x + 1) + 2x + x ln(x + 1) (x + 1)2 [ln(x + 1)]3 2x − (x + 2) ln(x + 1) = ln 2 . (x + 1)2 [ln(x + 1)]3
=
Observemos que
2 · 0 − (0 + 2) ln(0 + 1) = 0,
y además, por (3.10), si
x ≥ 0,
d x+2 x − (x + 1) ln(x + 1) 2x − (x + 2) ln(x + 1) = 2 − ln(x + 1) − = ≤ 0. dx x+1 x+1 Por lo tanto, si
x≥0
tenemos que
2x − (x + 2) ln(x + 1) ≤ 0, x ≥ 1
y entonces para
se tiene que
d2 x dx2 f˜(x)
≤ 0,
(3.11)
de donde concluimos que
x es f˜(x)
cóncava. (v) Consideremos
x≥1
jo. Sea
g(y) = f˜(xy) − f˜(x)f˜(y).
Observemos que para
x ln(x + 1) 1 d g(y) = xf˜0 (xy) − f˜(x)f˜0 (y) = − dy (xy + 1) ln 2 ln 2 (y + 1) ln 2 x ln 2 ln(x + 1) −2 = (ln 2) − xy + 1 y+1 −2 x(y + 1) ln 2 − (xy + 1) ln(x + 1) = (ln 2) . (xy + 1)(y + 1) Sea
h(y) = x(y + 1) ln 2 − (xy + 1) ln(x + 1).
Observemos que para
1) ln(1 + 1) = 0,
(3.12)
y ≥ 1,
d h(y) = x ln 2 − x ln(x + 1) = x ln 2 − ln(x + 1) ≤ 0. dy Ahora evaluamos
y ≥ 1,
(3.13)
h(1) = (2 ln 2)x − (x + 1) ln(x + 1). Observemos que (2 ln 2) · 1 − (1 + t ≥ 1,
y para
d 1 (2 ln 2)t − (t + 1) ln(t + 1) = 2 ln 2 − (t + 1) − ln(t + 1) dt t+1 = 2 ln 2 − 1 − ln(t + 1) ≤ 2 ln 2 − 1 − ln 2 = ln 2 − 1 < 0,
3.2. La clase F y sus propiedades
31
(2 ln 2)t − (t + 1) ln(t + 1) ≤ 0 para cualquier t ≥ 1. En particular, h(1) ≤ 0. Por lo tanto, por (3.13), h(y) ≤ 0 para cualquier y ≥ 1. Luego, por (3.12), d dy g(y) ≤ 0 para cualquier y ≥ 1. Como g(1) = 0 para toda x ≥ 1, concluimos que g(y) ≤ 0 para cualquier y ≥ 1. Por lo tanto, f˜(xy) ≤ f˜(x)f˜(y) para cualesquiera y por lo tanto
x, y ≥ 1. (vi)
f˜0 (1) = [(1 + 1) ln 2]−1 > 0. f˜ ∈ F .
Por lo tanto,
La siguiente proposición nos permite construir una in nidad de funciones en la clase a partir de
f˜.
Proposición 3.8
f˜p ∈ F
F
para 0 < p < 1.
Demostración. Sea 0 < p < 1. Entonces: (i)
[f˜(1)]p = 1p = 1
(ii) Como
(iii) Para
f˜(x)
x≥1
y para
x > 1, 1 < f˜(x) < x
tiende a in nito cuando
y
q>0
tanto, del lema del
(iv) Consideremos
y por lo tanto
x → ∞, [f˜(x)]p
también.
0 ≤ x−q [f˜(x)]p ≤ x−q f˜(x) sándwich, l´ ımx→∞ x−q [f˜(x)]p = 0. tenemos
x ≥ 1.
[f˜(x)]p < xp < x.
(puesto que
f˜(x) ≥ 1).
Por lo
Entonces
1
[ln(x + 1)]p − xp[ln(x + 1)]p−1 x+1 d x d x p = [ln 2]p = [ln 2] dx [f˜(x)]p dx [ln(x + 1)]p ln(x + 1)]2p = [ln 2]p
(x + 1)[ln(x + 1)]p − xp[ln(x + 1)]p−1 . (x + 1)[ln(x + 1)]2p (3.14)
Por otro lado,
d (x + 1)[ln(x + 1)]p − xp[ln(x + 1)]p−1 = [ln(x + 1)]p dx 1 1 + (x + 1)p[ln(x + 1)]p−1 x+1 − p[ln(x + 1)]p−1 − xp(p − 1)[ln(x + 1)]p−2 x+1 1 = [ln(x + 1)]p − xp(p − 1)[ln(x + 1)]p−2 x+1
=
1 x+1
(x + 1)[ln(x + 1)]p − xp(p − 1)[ln(x + 1)]p−2 . (3.15)
3. Los espacios de Schlumprecht
32
Luego, de (3.14) y (3.15), si
2 C(x) = [ln 2]p / (x + 1)[ln(x + 1)]2p ,
x d2 = dx2 [f˜(x)]p 1 = C(x) x+1 (x + 1)[ln(x + 1)]p − xp(p − 1)[ln(x + 1)]p−2 (x + 1)[ln(x + 1)]2p 1 − [ln(x + 1)]2p + (x + 1)2p[ln(x + 1)]2p−1 x+1 (x + 1)[ln(x + 1)]p − xp[ln(x + 1)]p−1 = C(x) (x + 1)[ln(x + 1)]p − xp(p − 1)[ln(x + 1)]p−2 [ln(x + 1)]2p − [ln(x + 1)]2p + 2p[ln(x + 1)]2p−1 (x + 1)[ln(x + 1)]p − xp[ln(x + 1)]p−1 = C(x) [ln(x + 1)]2p xp[ln(x + 1)]p−1 − xp(p − 1)[ln(x + 1)]p−2 − 2p[ln(x + 1)]2p−1 (x + 1)[ln(x + 1)]p − xp[ln(x + 1)]p−1 = C(x) xp[ln(x + 1)]3p−1 − xp(p − 1)[ln(x + 1)]3p−2 − 2p(x + 1)[ln(x + 1)]3p−1 + 2xp2 [ln(x + 1)]3p−2 = C(x) xp − 2p(x + 1) [ln(x + 1)]3p−1 + 2xp2 − xp(p − 1) [ln(x + 1)]3p−2 = C(x) − p(x + 2)[ln(x + 1)]3p−1 + xp(p + 1)[ln(x + 1)]3p−2 = C(x)p[ln(x + 1)]3p−2 x(p + 1) − (x + 2)[ln(x + 1)] p[ln 2]p = x(p + 1) − (x + 2)[ln(x + 1)] . 2 p+2 (x + 1) [ln(x + 1)] (3.16) Observemos que
p[ln 2]p (x+1)2 [ln(x+1)]p+2
> 0,
y por (3.11),
x(p + 1) − (x + 2)[ln(x + 1)] ≤ 2x − (x + 2) ln(x + 1) ≤ 0. Por lo tanto (v) De
x d2 dx2 [f˜(x)]p
f˜(xy) ≤ f˜(x)f˜(y)
para cualesquiera
≤ 0,
y entonces
x/[f˜(x)]p
es cóncava.
x, y ≥ 1 se sigue que p [f˜(xy)]p ≤ f˜(x)f˜(y) = [f˜(x)]p [f˜(y)]p
para cualesquiera
x, y ≥ 1.
(vi) Calculamos
d ˜ d [ln(x + 1)]p 1 1 [f (x)]p = = p[ln(x + 1)]p−1 , p p dx dx [ln 2] [ln 2] x+1 de donde la derivada por la derecha de
f˜p
en
1
es
1 p−1 1 1+1 [ln 2]p p[ln(1 + 1)]
=
p 2 ln 2
> 0.
3.2. La clase F y sus propiedades Por lo tanto,
33
f˜p ∈ F .
Ahora probaremos dos resultados técnicos.
Proposición 3.9 Sean f y F como en la proposición t < 1 y λ ≥ 1 se tiene que (1 − t)F
. Entonces para cualesquiera 0 ≤
3.6
λ + t F (1) − F 0 (1) ≤ F (λ). 1−t
Además, para el caso límite t = 1 tenemos que F (1) − F 0 (1) ≤ F (λ). Demostración. Primero consideraremos solamente el caso 0 ≤ t < 1. Como F
es una función
cóncava, tenemos que
λ−1 t t+λ−1 F (1) + t+λ−1 F (λ + t)
≤F
t t+λ−1
λ−1 + (λ + t) t+λ−1 =F
t+λ2 −λ+tλ−t t+λ−1
= F (λ),
(3.17)
que
t t+λ−1 F (λ
+ t) +
λ−1 t+λ−1 F (1)
≤F =F
t(λ+t) λ−1 tλ+t2 +λ−1 + = F t+λ−1 t+λ−1 t+λ−1 tλ+t2 −t+t+λ−1 = F (t + 1), t+λ−1
(3.18)
y que
λ + tF (1) ≤ F (λ + t). 1−t como F (1) = 1 y por (ii) de la proposición
(1 − t)F Luego, sumando (3.17) y (3.18),
F (λ + t) ≤ F (λ) − = F (λ) +
t t+λ−1 + F (t (1) t F (t+1)−F t
+ 1) −
λ−1 t+λ−1
(3.19) 3.6,
= F (λ) + F (t + 1) − 1 0
≤ F (λ) + tF (1).
(3.20)
De (3.19) y (3.20) obtenemos
(1 − t)F
λ + t F (1) − F 0 (1) ≤ F (λ), 1−t
(3.21)
la desigualdad buscada. De la de nición de
F, (1 − t)F
λ 1 λ λ = . = (1 − t) λ λ 1−t 1 − t f 1−t f 1−t
De la condición (ii) en la de nición 3.4,
l´ım
t→1 Como además
F (λ).
λ λ f ( 1−t )
= 0.
l´ımt→1 t F (1) − F 0 (1) = F (1) − F 0 (1), de (3.21) se sigue que F (1) − F 0 (1) ≤
3. Los espacios de Schlumprecht
34
Proposición 3.10 Sea G : [1, ∞) → [1, ∞) una función cóncava, no decreciente y supermultiplicativa, que además satisface G(x) ≤ x para toda x ∈ [1, ∞) y que g(x) = x/G(x) es no decreciente. Extendamos G a todo R+ por G(x) = x cuando 0 ≤ x ≤ 1 Entonces la extensión también es cóncava, no decreciente y supermultiplicativa. Demostración. cóncava en (1) Si
Como G es no decreciente en [1, ∞), claramente lo es en R+ . Además, es [0, 1] y en [1, ∞). Ahora, sean 0 ≤ x ≤ 1, y > 1 y 0 ≤ α ≤ 1. Tenemos dos casos:
αx + (1 − α)y ≤ 1
tenemos que
G αx + (1 − α)y = αx + (1 − α)y ≥ αx + (1 − α)G(y) = αG(x) + (1 − α)G(y).
(3.22)
αx+(1−α)y ≥ 1, observemos que αx+(1−α)y = β+(1−β)y para β = α(y−x)/(y−1). Claramente β ≥ 0 puesto que α ≥ 0 y y > 1 ≥ x. Además, como αx + (1 − α)y ≥ 1, α(y − x) ≤ y − 1 y entonces β = α(y − x)/(y − 1) ≤ 1.
(2) Si
Por lo tanto,
G αx + (1 − α)y = G β + (1 − β)y ≥ β + (1 − β)G(y). y ≥ G(y),
Por otro lado, como
entonces
(1 − x)(y − x) ≥ (1 − x)(G(y) − x),
(3.23) de donde
1 ≥ x + (1 − x)(G(y) − x)/(y − x) = x 1 − (1 − x)/(y − x) + G(y)(1 − x)/(y − x) = x(y − 1)/(y − x) + G(y)[1 − (y − 1)/(y − x)] = xα/β + G(y)(1 − α/β). (3.24) Luego, usando (3.24)
β + (1 − β)G(y) ≥ β xα/β + G(y)(1 − α/β) + (1 − β)G(y) = αx + G(y)(β − α) + (1 − β)G(y)
(3.25)
= αx + (1 − α)G(y) = αG(x) + (1 − α)G(y). A partir de (3.22), (3.23) y (3.25) concluimos que También es claro que caso
x≤1
y
y ≥ 1.
Si
G(xy) ≥ G(x)G(y) xy ≤ 1, entonces
si
G
es cóncava en todo
x, y ≥ 1
o
x, y ≤ 1.
R+ .
Consideremos ahora el
G(xy) = xy = G(x)y ≥ G(x)G(y). Por otro lado, si
xy ≥ 1,
dado que
g(x) = x/G(x)
es no decreciente y como
G(xy) = xy/g(xy) ≥ xy/g(y) = G(x)G(y). Por lo tanto,
G(xy) ≥ G(x)G(y)
para cualesquiera
x, y ∈ R+ .
xy ≤ y ,
3.3. Construcción de los espacios 3.3.
35
Construcción de los espacios
En esta sección de niremos una familia de espacios que incluye al espacio construido por Schlumprecht en[24], así como a los que hemos llamado los espacios de Schlumprecht. Antes de pasar a la de nición, iniciemos con un poco de notación.
De nición 3.11
(i)
Sea
c00 = {xn }∞ n=1 : xn ∈ K ∀ n ∈ N,
y ∃ N ∈ N tal que xn = 0 ∀ n ≥ N .
∞ Para cada n ∈ N, sea en = {xm n }m=1 ∈ c00 dado por
xm n (ii)
(iii)
(iv) (v)
(vi)
( 1 = 0
si n = m si n 6= m.
Si E ⊂PN, también utilizaremos la letra E para la proyección de c00 en c00 de nida P ∞ por E( i=1 ai ei ) = i∈E ai ei (esto está bien de nido porque cada suma de este tipo tiene solamente un número nito de sumandos distintos de cero, y cada vector tiene una representación única porque los ei forman una base de Hamel de c00 ). Sean E, F ⊂ N. Si E, F 6= ∅, E < F quiere decir que m´ax E < m´ın F . Si k ∈ N y E ⊂ N entonces k < E quiere decir que k < m´ın E . El soporte de un vector x =
P∞
i=1 xi ei
∈ c00
es el conjunto sop(x) = {i ∈ N : xi 6= 0}.
Un intervalo de enteros es un subconjunto de N de la forma {i ∈ N : a ≤ i ≤ b} para algunos a, b ∈ N. De nimos el rango de un vector x ∈ c00 , escrito ran(x), como el intervalo más pequeño que contiene a su soporte. Para x, y ∈ c00 , escribiremos x < y para indicar que existen naturales nP 1 ≤ m1 < m1 n2 ≤ mP 2 y escalares an1 , an1 +1 , . . . , am1 y bn2 , bn2 +1 , . . . , bm2 tales que x = i=n1 ai ei 2 yy= m b e . Si x , . . . , x ∈ c y x < · · · < x , diremos que x , . . . , xn son i i 1 n 00 1 n 1 i=n2 sucesivos.
De nición 3.12 Sea f ∈ F . Denotaremos por Sf al espacio c00 con la norma k·k de nida implícitamente por la ecuación N n X −1 kxk = kxk∞ ∨ sup f (N ) kEi xk : N ≥ 2, E1 < · · · < EN
intervalos . o
(∗)
i=1
para toda x ∈ c00 . El espacio S¯f es la completación de Sf . El espacio construido originalmente por Schlumprecht en [24] es el caso particular de f˜(x) = log2 (x + 1), al que denotaremos simplemente por S = Sf˜ y S¯ = S¯f˜. Aunque
k·k
claramente depende de
Siempre será claro a cuál
f
f,
por simplicidad la notación no hace énfasis en ello.
nos estamos re riendo en cada caso. El que (∗) de na implícita-
mente una norma quiere decir que existe una única norma sobre será probado en la proposición 3.14.
c00
que satisface (∗). Esto
3. Los espacios de Schlumprecht
36
Observación 3.13
x ∈ c00 , ya no necesitamos considerar | sop(x)| = n, intervalos E1 < · · · < EN , a lo más n
Observemos que una vez jado un
el supremo sobre todos los
N ≥ 2,
sino solamente algunos. Supongamos que
N > m´ax{n, 2}. Entonces, para cualesquiera de las proyecciones Ei x serán distintas de cero. Digamos que las Ej1 x, . . . , Ejk x (con 2 ≤ k ≤ m´ax{n, 2}) son todas cero. Luego, y sea
k X
kEji xk =
i=1 y como
f
N X
proyecciones distintas de
kEi xk ,
i=1
es estrictamente creciente,
f (k)−1
k X
kEji xk > f (N )−1
i=1
N X
kEi xk .
i=1
N ≥ 2 y E1 < · · · < EN es el mismo si nos restringimos a 2 ≤ E1 < · · · < EN ≤ m, donde m = m´ax sop(x). Así, el supremo en realidad puesto que al restringir los valores de N del modo que ya mencionamos,
Por lo tanto, el supremo sobre
N ≤ m´ax{n, 2} es un máximo,
y
solamente hay un número nito de sumas del tipo requerido. Ahora sí, pasemos a probar que (∗) determina una norma en
Proposición 3.14 La de nición Demostración. que
Ex = x
y
3.12
c00 :
efectivamente de ne una norma en c00 .
Sean k·k una norma sobre c00 y 0 6= x ∈ c00 . N ≥ 2, entonces, dado que f (N ) > f (1) = 1,
Si
E ⊂N
es un intervalo tal
f (N )−1 kExk = f (N )−1 kxk < kxk . Por lo tanto, (∗) es equivalente a
N
1 X kEi xk : N ≥ 2, E1 < · · · < EN kxk = kxk∞ ∨sup f (N ) n
intervalos,
o Ei x 6= x, 1 ≤ i ≤ N ,
i=1
(∗∗) que utilizaremos de ahora en adelante. Si para
n ∈ N ∪ {0}
denotamos
cn00 = {x ∈ c00 : | sop(x)| ≤ n}, es importante notar que si sus valores en
cn00
k·k
es una norma sobre
c00
que satisface (∗∗) para toda
determinan unívocamente sus valores en
x ∈ c00 ,
cn+1 00 .
k·k una norma sobre c00 que satisface (∗∗) para toda x ∈ c00 y x ∈ c100 . Entonces, x = aei para algún escalar a y un índice i ∈ N. Luego, Ex = x o Ex = 0 para todo intervalo E ⊂ N. Por lo tanto, el supremo en (∗∗) es cero, y la ecuación se reduce a kxk = kxk∞ . De estos dos últimos párrafos se sigue que si existe una norma sobre c00 que satisfaga (∗∗) para
Sean
3.3. Construcción de los espacios toda
x ∈ c00 ,
37
entonces ésta es única.
c00
Ahora de niremos inductivamente una norma en
x ∈
c100 , sea
kxk = kxk∞ ;
k·k
una vez de nida
sobre
que satisface (∗∗), como sigue: si
cn00 ,
extendemos sus valores a
cn+1 00
mediante (∗∗). A continuación probaremos que esto tiene sentido y de ne una norma. (i) Primero mostraremos que está bien de nida, es decir, toma solamente valores nitos.
kxk ≤ | sop(x)| kxk∞ Para | sop(x)| ≤ 1, es claro. Ahora supongamos que para un cierto n ∈ N sabemos que kyk ≤ | sop(y)| kyk∞ siempre que | sop(y)| ≤ n. Sea x ∈ c00 tal que | sop(x)| = n + 1. Para ello probaremos por inducción sobre
| sop(x)|
que
Entonces
N
1 X kxk = kxk∞ ∨ sup kEi xk : f (N ) n
i=1
N ≥ 2, E1 < · · · < EN Si
E1 < · · · < EN
intervalos,
o Ei x 6= x, 1 ≤ i ≤ N .
es cualquiera de las sucesiones de intervalos consideradas para el
supremo, claramente
| sop(Ei x)| ≤ n
para
1 ≤ i ≤ N,
y por lo tanto, por la hipótesis
inductiva,
−1
f (N )
N X
N X
−1
kEi xk ≤ f (1)
i=1
≤ kxk∞
| sop(Ei x)| kEi xk∞
i=1 N X
| sop(Ei x)| ≤ (n + 1) kxk∞ .
i=1 Luego,
kxk ≤ kxk∞ ∨ (n + 1) kxk∞ = (n + 1) kxk∞ . Así, hemos probado que
k·k (ii)
kxk ≤ | sop(x)| kxk∞
para toda
x ∈ c00 ,
lo cual muestra que
está bien de nida.
kxk ≥ 0 para toda x ∈ c00 , puesto kxk∞ = 0 y por lo tanto x = 0. x ∈ c00 | sop(x)| ≤ 1,
que
kxk∞ ≥ 0.
Además, si
kxk = 0
entonces
| sop(x)|. Si kλxk = |λ| kxk. Ahora supongamos que esta propiedad se cumple siempre que | sop(x)| ≤ n, y sea x tal que | sop(x)| = n + 1. Si E1 < · · · EN son como en (i), | sop(Ei x)| ≤ n para 1 ≤ i ≤ N y entonces
(iii) Sean
y
λ
un escalar. Utilizaremos nuevamente inducción sobre
entonces claramente
f (N )−1
N X
kEi (λx)k = f (N )−1
i=1 de donde se sigue que
N X
kλEi xk = |λ|f (N )−1
i=1
kλxk = |λ| kxk,
puesto que
N X i=1
kλxk∞ = |λ| kxk∞ .
kEi xk ,
3. Los espacios de Schlumprecht
38
x, y ∈ c00 . Para probar la desigualdad del triángulo, utilizaremos inducción sobre | sop(x + y)|. Si | sop(x + y)| = 1, entonces x + y = aei para algún i ∈ N y un escalar a. Tomando F = {i}, entonces F x = bei y F y = cei para ciertos escalares b y c. Luego,
(iv) Sean
kx + yk = kaei k = |a| = |b + c| ≤ |b| + |c| ≤ kxk∞ + kyk∞ ≤ kxk + kyk . | sop(x + y)| ≤ n,
Supongamos ahora que la desigualdad es cierta cuando consideremos el caso
| sop(x + y)| = n + 1.
kx + yk = kx + yk∞ ∨ sup
n
y ahora
Una vez más, de la de nición,
N
1 X kEi (x + y)k : f (N ) i=1
N ≥ 2, E1 < · · · < EN Si
E1 < · · · < EN
intervalos,
o Ei (x + y) 6= x + y, 1 ≤ i ≤ N .
(3.26)
es cualquiera de las sucesiones de intervalos consideradas para el
| sop(Ei (x + y))| ≤ n. Así, usando kEi (x + y)k, obtenemos, entendiendo que
supremo, claramente
la hipótesis inductiva para
cada término
los supremos son sobre las
mismas sucesiones de intervalos que en (3.26),
−1
sup f (N )
N X
−1
kEi (x + y)k ≤ sup f (N )
i=1
≤ sup f (N )−1
N X i=1 N X
(kEi xk + kEi yk) kEi xk
i=1
+ sup f (N )−1
N X
kEi yk
i=1
≤ kxk + kyk . Además, de la desigualdad del triángulo para
k·k∞ ,
kx + yk∞ ≤ kxk∞ + kyk∞ ≤ kxk + kyk . De ambas desigualdades y la de nición de
k·k
se sigue que
kx + yk ≤ kxk + kyk,
con
lo cual queda probada la desigualdad del triángulo. Y así, hemos probado que
Observación 3.15
k·k
es la única norma en
Pm
La colección
que satisface (∗).
Es importante notar que, por la manera en la que está de nida la
norma, para cualquier sucesión de escalares
· · · < nm , k
c00
Pm i=1 ai ei k = k i=1 ai eni k.
{ei }∞ i=1
{ai }m i=1
y cualquier sucesión de naturales
n1 <
resulta tener propiedades interesantes, como lo precisa la siguiente
proposición.
Proposición 3.16 Sea 1-incondicional de S¯f .
f ∈ F.
Entonces {ei }∞ i=1 es una base monótona normalizada y
3.4. Propiedades de los espacios
Demostración.
39
De la de nición inductiva de la norma dada en la demostración de 3.14,
kei k = 1. Observemos que ei 6= 0 para i ∈ N, y el subespacio cerrado generado por los ei ¯f . Además, para cualquier n ∈ N y cualquier sucesión de escalares {ai }n+1 , tenemos es S i=1
P Pn
n+1 a e , esto porque la desigualdad se cumple con la norma k·k∞ a e k ≤ que k
i=1 i i i=1 i i P P N n −1 y porque cualquier suma del tipo f (N ) j=1 kEj (·)k para i=1 ai ei lo es también para Pn+1 ∞ ¯ i=1 ai ei . Por lo tanto, {ei }i=1 es una base monótona normalizada para Sf por el teorema 1.40.
ε un escalar de módulo a lo más 1. Entonces, para cualquier escalar a, claramente kεae1 k ≤ kae1 k. Ahora supongamos que para cierto n ∈ N, para toda sucesión n n de escalares {ai }i=1 y toda sucesión de escalares {εi }i=1 de módulo a lo más 1, se tiene Pn Pn de escalares la desigualdad k i=1 εi ai ei k ≤ k i=1 ai ei k. Consideremos ahora una sucesión P n+1 n+1 n+1 {ai }i=1 y una sucesión de escalares {εi }i=1 de módulo a lo más 1. Sean x = i=1 ai ei y Pn+1 xε = i=1 εi ai ei . Entonces Ahora, sea
kxε k = kxε k∞ ∨ sup f (N )−1 N ≥2
N X
kEj xε k .
j=1
Ahora, por la misma razón que antes, para el supremo basta con considerar sumas en las cuales al menos dos de las proyecciones son distintas de cero. Entonces, las proyecciones 3.15, la Pn Pn n, y por la observación a e k ε a e k ≤ k i=1 i ni donde i=1 i i ni
distintas de cero tendrán soporte de tamaño a lo más condición los
ni
k
Pn
i=1 εi ai ei k ≤ k
Pn
i=1 ai ei k
implica que
k
son una sucesión creciente de naturales. Así pues, usando esta consecuencia de la
hipótesis inductiva,
kxε k = kxε k∞ ∨ sup f (N )−1 N ≥2
N X
kEj xε k ≤ kxk∞ ∨ sup f (N )−1
lo cual prueba, por el teorema 1.54, que la base
3.4.
N ≥2
j=1
{ei }∞ i=1
N X
kEj xk = kxk ,
j=1
es 1-incondicional.
Propiedades de los espacios
Ahora probaremos varios lemas acerca de estos espacios. Como ya mencionamos, son esencialmente debidos a Schlumprecht [24, 25] pero aquí los enunciamos siguiendo a Gowers y Maurey, que los probaron para una familia más amplia de espacios para poder aplicarlos a su espacio en la parte principal del artículo [13]. Para enunciarlos, requerimos primero algunas de niciones.
De nición 3.17 Sea X el conjunto de espacios normados de la forma X = (c00 , k·k) tales que {ei }∞ i=1 es una base monótona normalizada de X . Sea F es como en la de nición 3.4. Si f ∈ F , X ∈ X , y toda x ∈ X satisface la desigualdad ( kxk ≥ sup f (N )−1
N X i=1
kEi xk : N ∈ N, E1 < · · · < EN
intervalos
)
3. Los espacios de Schlumprecht
40
diremos que X satisface una f -estimación inferior. kExk ≤ kxk para todo intervalo E y todo vector x, por lo que la base estándar de un espacio con una f -estimación inferior es automáticamente bimonótona. Nótese que esto implica que
Obsérvese también que de la de nición 3.12 y la proposición 3.16, para toda y
Sf
satisface una
f -estimación
f ∈ F , Sf ∈ X
inferior.
Ahora que tenemos una base en
c00 ,
podemos extender algunos de los conceptos de la
de nición 3.11 a funcionales.
∞ De nición 3.18 (i) Sean {e∗n }∞ n=1 las funcionales biortogonales asociadas a la base {en }n=1 . (véase la proposición 1.39). (ii)
(iii)
(iv)
(v)
∗ ∞ Si E ⊂ N, también E para la proyección de he∗i i∞ i=1 en hei ii=1 P la letra P∞ utilizaremos ∗ ∗ de nida por E( i=1 ai ei ) = i∈E ai ei (esto está bien de nido porque cada suma de este tipo tiene solamente un número nito de sumandos distintos de cero, y cada vector tiene una representación única porque los e∗i forman una base de Hamel de he∗i i∞ i=1 ).
El soporte de una funcional x∗ = N : xi 6= 0}.
P∞
∗ i=1 xi ei
∈ he∗i i∞ i=1
es el conjunto sop(x∗ ) = {i ∈
∗ De nimos el rango de una funcional x∗ ∈ he∗i i∞ i=1 , escrito ran(x ), como el intervalo más pequeño que contiene a su soporte. ∗ ∗ Para x∗ , y ∗ ∈ he∗i i∞ i=1 , escribiremos x < y para indicar que existen naturales n1 ≤ m1 < n2 ≤ m2 y escalares an1 , an1 +1 , . . . , am1 y bn2 , bn2 +1 , . . . , bm2 tales que x∗ = P P m1 m ∗ ∗ ∞ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 2 i=n1 ai ei y y = i=n2 bi ei . Si x1 , . . . , xn ∈ hei ii=1 y x1 < · · · < xn , diremos que ∗ ∗ x1 , . . . , xn son sucesivas.
De nición 3.19 Dados un espacio X ∈ X yPun vector x ∈ X , diremos que x es una `n1+ -media con constante C si kxk = 1 y x = ni=1 xi para alguna sucesión x1 < · · · < xn de elementos de X tales que 0 < kxi k ≤ Cn−1 para 1 ≤ i ≤ n. Un `n1+ -vector es cualquier múltiplo positivo de una `n1+ -media. x es un `n1+ -vector con constante C x = x1 + · · · + xn , donde x1 < · · · < xn , los xi son distintos de para 1 ≤ i ≤ n. Observemos que por la de nición, | sop(x)| ≥ n. En otras palabras, un vector
Ejemplo 3.20
si puede ser escrito como cero, y
kxi k ≤ Cn−1 kxk
1 ≤ p < ∞, sea Xp el espacio c00 con la norma de `p restringida a c00 . Observemos que Xp ∈ X , puesto que la base canónica de `p es monótona y normalizada −1/p e < y c00 es denso en `p . Sean n ∈ N y i1 < · · · < in naturales. Observemos que n i1 Pn −1/p −1/p −1/p ··· < n ein y n eij 6= 0 para 1 ≤ j ≤ n. Sea x = j=1 n eij ∈ Xp . Como kxkp =
1/p Pn (n−1/p )p = (n/n)1/p = 1 y n−1/p ei = n−1/p = n1−1/p n−1 , concluimos que x Para
j=1
es una
j
`n1+ -media
con constante
n1−1/p
en
Xp .
p
3.4. Propiedades de los espacios
41
De nición 3.21 Una base bloque en un espacio X ∈ X es una sucesión x1 , x2 , . . . de vectores sucesivos distintos de cero en X . Nótese que tal sucesión efectivamente es una sucesión básica, puesto que este concepto de base bloque coincide con el de la proposición 1.42. Un subespacio bloque de un espacio X ∈ X es un subespacio (algebraico) generado por una base bloque. A continuación iniciamos con los lemas.
Lema 3.22 Sean f toda n ∈ N y toda constante C . Demostración.
El resultado es trivial para
n = 1,
así que consideraremos solamente el
n ≥ 2, C > 1 Y , un subespacio bloque de X , que no contiene una `n1+ -media con constante C . Sea q = ln C/ ln n > 0, puesto que C > 1. De la propiedad (iii) en la de nición de F (de nición q k 3.4), existe M tal que x > M implica que f (x)/x < 1. Sea k ∈ N tal que n > M . Entonces, f (nk ) < (nk )q = nkq lo cual implica que ln f (nk ) < kq ln n = k ln C .
caso
n ≥ 2.
∈ F y X ∈ X que satisface una f -estimación inferior. Entonces, para C > 1, todo subespacio bloque Y de X contiene una `n1+ -media con
Supongamos que el resultado es falso, es decir, que existen
y
N = nk , x1 < · · · < xN cualquier sucesión de vectores sucesivos de norma uno en Y , Pjni P k−i , sea x(i, j) = x. x= N i=1 xi . Para cualesquiera 0 ≤ i ≤ k y 1 ≤ j ≤ n t=(j−1)ni +1 t
Sean y
Entonces, 0
jn X
x(0, j) =
xt =
t=(j−1)n0 +1
x(k, 1) =
xt =
1 ≤ i ≤ k,
cada
x(i, j)
es una suma de
n
N X
(3.27)
xt = x,
t=1
t=(1−1)nk +1 y para
xt = xj ,
t=j
k
n X
j X
vectores sucesivos de la forma
x(i − 1, j),
a
saber
[(j−1)n+1]ni−1
i
jn X
x(i, j) =
t=(j−1)ni +1
xt =
X
[(j−1)n+n]ni−1
X
xt + · · · +
t=[(j−1)n]ni−1 +1
xt
t=[(j−1)n+(n−1)]ni−1 +1
= x i − 1, (j − 1)n + · · · + x i − 1, (j − 1)n + (n − 1) =
jn−1 X
x(i − 1, l).
l=(j−1)n Ahora probaremos por inducción sobre
i
que para
0≤i≤k
y
1 ≤ j ≤ nk−i ,
kx(i, j)k ≤ C −i ni . Para
i = 0,
debemos probar que para
1 ≤ j ≤ nk , kx(0, j)k ≤ C −0 n0 ,
que, por (3.27),
kx(0, j)k = kxj k = 1 = C −0 n0 .
(3.28) lo cual se sigue de
3. Los espacios de Schlumprecht
42
1 ≤ u ≤ i − 1 y 1 ≤ v ≤ nk−u , kx(u, v)k ≤ C −u nu . Sea 1 ≤ j ≤ nk−i . n Por nuestra suposición, x(i, j) no es un `1+ -vector con constante C . Por lo tanto, puesto Pjn−1 que x(i, j) = l=(j−1)n x(i − 1, l), y los x(i − 1, l) son vectores sucesivos y distintos de cero, existe (j − 1)n ≤ li−1 ≤ jn − 1 tal que Supongamos que para
kx(i − 1, li−1 )k > Cn−1 kx(i, j)k .
(3.29)
C −(i−1) ni−1 ≥ kx(i − 1, li−1 )k .
(3.30)
De la hipótesis inductiva,
De (3.29) y (3.30),
Cn−1 kx(i, j)k ≤ C −(i−1) ni−1 ,
de donde
C −i ni ≥ kx(i, j)k,
lo cual na-
liza la inducción.
i = k y j = 1 = nk−k , y (3.27), kxk = kx(k, 1)k P ≤ C −k nk = N −1 X satisface una f -estimación inferior, kxk ≥ f (N ) i=1 kxi k = −k k −1 −k ≤ C N , de donde se sigue que f (n ) ≤ C . Por lo tanto k decir ln f (n ) ≥ k ln C , lo cual contradice la elección de k .
Ahora, usando (3.28) con
C −k N . Sin embargo, como N f (N )−1 . Así, N f (N )−1 − ln f (nk ) ≤ −k ln C ,
es
Lema 3.23 Sean M, N ∈ N, C ≥ 1, X ∈ X , x ∈ E1 < · · · < EM una sucesión de intervalos. Entonces M X j=1
X
un `N 1+ -vector con constante C y
2M kxk . kEj xk ≤ C 1 + N
Demostración. P Por conveniencia, normalicemos de modo que kxk = N
y sean x1 < · · · < xN x y kx k ≤ C para 1 ≤ i ≤ N . Dado 1 ≤ j ≤ M , sean Aj = {1 ≤ x= N i i i=1 i ≤ N : sop(xi ) ⊂ Ej } y Bj = {1 ≤ i ≤ N : Ej (xi ) 6= 0}. Por el hecho de que la base es tales que
bimonótona,
N
X
X
kEj xk = Ej xi ≤ xi
,
i=1 i∈Bj P y de la desigualdad del triángulo, kEj xk ≤ i∈Bj kxi k ≤ C|Bj |. Ahora bien, como los xi 's son sucesivos, |Bj | ≤ |Aj |+2, pues los xi tales que Ej (xi ) 6= 0 son precisamente aquellos tales que sop(xi ) ⊂ Ej y a lo más otros 2, uno tal que la parte nal de su soporte esté contenida PM en Ej y otro tal que sea la parte inicial. Así, kEj xk ≤ C(|Aj | + 2). Como j=1 |Aj | ≤ N , obtenemos
M X
kEj xk ≤ C(N + 2M ),
j=1 lo cual nos da el resultado deseado, debido a la normalización que hicimos. Para poder enunciar el siguiente lema, necesitaremos algunas de niciones más. La primera es un tecnicismo.
3.4. Propiedades de los espacios
De nición 3.24 Si f Observemos que
Mf
∈ F,
43
sea Mf : [1/6, ∞) → [1, ∞) de nida por Mf (x) = f −1 (36x2 ).
está bien de nida porque
f
es estrictamente creciente y tiende a in nito.
La siguiente de nición es de gran importancia para este trabajo.
De nición 3.25 Sean ε > 0, X ∈ X y N ∈ N. Si f ∈ F , diremos que una sucesión x1 < · · · < xN en X es una sucesión de `n1+ -medias rápidamente creciente (S.R.C.) para f de longitud N con constante 1 + ε si existen naturales n1 , . . . nN tales que (i) (ii) (iii)
xk
es una `n1+k -media con constante 1 + ε para 1 ≤ k ≤ N .
n1 ≥ 2(1 + ε)Mf (N/ε0 )/ε0 f 0 (1).
Para 2 ≤ k ≤ N ,
ε0 f (nk )1/2 ≥ | sop(xk−1 )|, 2
donde f 0 (1) es la derivada por la derecha de f en 1 y ε0 es una notación útil para m´ın{ε, 1}, que utilizaremos de ahora en adelante. Observemos que la de nición tiene sentido puesto que, por la de nición 3.4,
f 0 (1)
existe y
es positivo. Algunas veces será conveniente llamar a un vector un S.R.C.-vector si es un múltiplo no nulo de la suma de una S.R.C.
Proposición 3.26 Sean f , Entonces n1 < · · · < nN .
X , N , x1 , · · · , xN , ε
y n1 , . . . nN como en la de nición
.
3.25
Demostración. Sea 1 < k ≤ N . De la de nición 3.19), | sop(xk−1 )| ≥ nk−1 . De la de nición de
F , f (y) ≥ 1 y y ≥ f (y) para toda y ≥ 1. Usando esto y la propiedad (iii) de la de nición
de S.R.C. (de nición 3.25),
1 1 ε0 f (nk ) ≥ f (nk )1/2 ≥ f (nk )1/2 ≥ | sop(xk−1 )| ≥ f (nk−1 ), 2 2 2 de donde
f (nk ) ≥ 2f (nk−1 ).
Como
f
(3.31)
es estrictamente creciente por la proposición 3.5,
nk > nk−1 .
De nición 3.27 Sean g ∈ FP, X ∈ X y M ∈ N. Una funcional x∗ ∈ X ∗ es una (M, g)∗ ∗ ∗ forma si kx∗ k ≤ 1 y x∗ = M j=1 xj para alguna sucesión x1 < · · · < xM de funcionales sucesivas tales que kx∗j k ≤ g(M )−1 para 1 ≤ j ≤ M . Antes de pasar al siguiente lema demostraremos algunos resultados.
Proposición 3.28 Sean X ∈ X y x ∈ X \ {0}. Entonces existe una funcional soporte para x, es decir, una funcional x∗ ∈ X ∗ tal que kx∗ k = 1, sop(x∗ ) ⊂ ran(x) y x∗ (x) = kxk.
3. Los espacios de Schlumprecht
44
Demostración. De la de nición de X , x tiene soporte nito. Sean A = ran(x) y XA = sp{ei : i ∈ A}. Claramente, x ∈ XA . Por el teorema de Hahn-Banach (teorema 1.20), ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ existe xA ∈ XA = [ei ]i∈A tal que kxA k = 1 y xA (x) = kxk. Como XA es un subespacio de dimensión nita de X (ya que sop(x) es nito), la proyección A : X → XA es acotada. Observemos que kAk = 1, puesto que por la proposición 1.19 kAk ≥ 1, y kAyk ≤ kyk para ∞ ∗ ∗ toda y ∈ X puesto que la base {ei }i=1 de X es bimonótona. De namos x (y) = xA (Ay) ∗ ∗ ∗ para toda y ∈ X . Entonces x es una funcional lineal acotada y por lo tanto x ∈ X . ∗ ∗ Observemos que XA es de dimensión nita y por lo tanto xA es una combinación lineal de ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ los ei ∈ XA con i ∈ A. Luego, sop(x ) ⊂ A. Además, kx k ≤ kxA k kAk = 1. Por otro lado, ∗ ∗ ∗ ∗ x (x) = xA (Ax) = xA (x) = kxk, de donde se sigue que kx k = 1. Por lo tanto, x∗ es una funcional soporte para x.
Proposición 3.29 Sean X ∈ X , x ∈ X y supongamos que x∗ Entonces, para cualquier intervalo E ⊂ N, x∗ (Ex) = (Ex∗ )(x). Demostración. P i∈sop(x) ai ei
X , x también ∗ , entonces b e j∈sop(x∗ ) j j
De la de nición de
y
x∗ =
∈ X∗
tiene soporte nito.
tiene soporte nito. Si escribimos
x =
P
X
x∗ (Ex) =
X
bj e∗j
j∈sop(x∗ )
ai ei =
=
i∈E∩sop(x)
j∈E∩sop(x∗ )
bj e∗j
ai bi
i∈E∩sop(x)∩sop(x∗ )
X
X
X
ai ei = (Ex∗ )(x).
i∈sop(x)
Proposición 3.30 Sean f ∈ F y X ∈ X que satisface una f -estimación inferior. Si tiene soporte nito, entonces, para cualquier intervalo E ⊂ N, kEx∗ k ≤ kx∗ k.
x∗ ∈ X ∗
Demostración. Sea x ∈ X . Como X satisface una f -estimación inferior, kExk ≤ kxk. Ahora, por la proposición 3.29,
x∗ (Ex) = (Ex∗ )(x).
Por lo tanto,
|(Ex∗ )(x)| = |x∗ (Ex)| ≤ kx∗ k kExk ≤ kx∗ k kxk , de donde
kEx∗ k ≤ kx∗ k.
Lema 3.31 Sean f, g ∈ F con g ≥ f 1/2 , y X ∈ X que satisface una f -estimación P inferior. Sean ε > 0, x1 , . . . , xN una S.R.C. en X para f con constante 1 + ε, y x = N i=1 xi . Sean M ≥ Mf (N/ε0 ) y x∗ una (M, g)-forma. Entonces |x∗ (x)| ≤ 1 + ε + ε0 . Demostración. Para cada 1 ≤ i ≤ N , sea ni el máximo para el cual xi es una `n1+i -media con P ∗ ∗ 1+ε. Expresemos x∗ = M j=1 xj de acuerdo a la de nición, y sea Ej = ran(xj ) para ∗ ∗ 1 ≤ j ≤ M . Primero obtendremos tres estimaciones fáciles para |x (xi )|. Como kx k ≤ 1, constante
evidentemente tenemos que
|x∗ (xi )| ≤ 1.
(3.32)
3.4. Propiedades de los espacios kx∗j k ≤ g(M )−1 ≤ f (M )−1/2 ,
Por otro lado, como
|x∗ (xi )| = |
45
M X
x∗j (xi )| = |
j=1
≤
M X
M X
X
satisface una
(Ej x∗j )(xi )| = |
j=1
M X
x∗j (Ej xi )|
j=1
(3.33)
M M X X
∗
xj kEj xi k ≤ f (M )−1/2 |x∗j (Ej xi )| ≤ kEj xi k .
j=1 Como
tenemos que
j=1
f -estimación M X
j=1
inferior,
f (| sop(xi )|)−1
PM
j=1 kEj xi k
≤ kxi k = 1,
i.e.
kEj xi k ≤ f (| sop(xi )|),
(3.34)
kEj xi k ≤ (1 + ε)(1 + 2M/ni ).
(3.35)
j=1 y por el lema 3.23,
M X j=1 De (3.31),
Sea
t
el máximo
(1) Si
t > 0: i < t,
Para
1 1 f (| sop(xk )|) ≥ f (nk ) ≥ | sop(xk−1 )| ≥ f (| sop(xk−1 )|). 2 2 tal que nt ≤ M , o cero si nk > M para 1 ≤ k ≤ N .
por lo anterior tenemos que
f (| sop(xi )|) ≤ 2i−t+1 f (| sop(xt−1 )|). De la propiedad (iii) de la de nición 3.25, que
f (| sop(xt−1 )|) ≤ | sop(xt−1 )| ≤
f
es creciente y
(3.36)
f (x) ≤ x,
ε0 ε0 f (nt )1/2 ≤ f (M )1/2 . 2 2
(3.37)
Ahora bien,
N N t−1 N X X X X ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ |x (x)| = x (xi ) ≤ |x (xi )| = |x (xi )| + |x (xt )| + |x∗ (xi )|. i=1
i=1
i=1
(3.38)
i=t+1
De (3.32),
|x∗ (xt )| ≤ 1.
(3.39)
Usando (3.33), (3.34), (3.36) y (3.37)
t−1 X i=1
∗
−1/2
|x (xi )| ≤ f (M )
t−1 X i=1 ε0
−1/2
f (| sop(xi )|) ≤ f (M )
≤ f (M )−1/2 f (M )1/2 2−t+1 (2t − 2) = 2
−t+1
f (| sop(xt−1 )|)2
t−1 X
2i
i=1
2t
−2 0 ε ≤ ε0 . 2t (3.40)
3. Los espacios de Schlumprecht
46
(2) Si
t ≥ 0: M ≥ Mf (N/ε0 ) implica, por la de nición 3.24, que f (M ) ≥ 36(N/ε0 )2 , f (M )−1/2 ≤ ε0 /6N . Luego, recordando que ni > M para i > t, y usando
Observemos que y por lo tanto (3.33) y (3.35)
N X
N X
|x∗ (xi )| ≤ f (M )−1/2 (1 + ε)
i=t+1
(1 + 2M/ni ) ≤ f (M )−1/2 (1 + ε)3(N − t)
i=t+1
ε0 ε0 (1 + ε)3N = (1 + ε). ≤ 6N 2 Consideremos ahora los dos valores posibles para
ε0 .
ε ≥ 1,
Si
entonces
0 lo tanto ε (1 + ε)/2 = (1 + ε)/2 ≤ 2ε/2 = ε. Si ε ≤ 1, entonces ε0 (1 + ε)/2 = ε(1 + ε)/2 = (ε + ε2 )/2 ≤ 2ε/2 = ε. Luego, N X
ε0
=ε
ε0 = 1
y por
y por lo tanto
|x∗ (xi )| ≤ ε.
(3.41)
i=t+1
t > 0, usando (3.38), (3.39), (3.40) y (3.41) t = 0, por (3.41), |x∗ (x)| ≤ ε ≤ 1 + ε + ε0 .
Si
obtenemos
|x∗ (x)| ≤ 1 + ε + ε0 ,
y en el caso
Corolario 3.32 Sean f , g, X , ε, M , x1 , . . . , xN , x y x∗ como en el lema 3.31, y sea E ⊂ N un intervalo. Entonces |x∗ (Ex)| ≤ 1 + ε + ε0 . Demostración.
Por la proposición 3.29,
x∗ (Ex) = (Ex∗ )(x).
Luego, usando la proposición
∗ ∗ ∗ 3.30 y que kx k ≤ 1 por ser una (M, g)-forma, kEx k ≤ kx k ≤ 1. Además, PM PM ∗ E j=1 xj = j=1 Ex∗j . Nótese que los Ex∗j son funcionales sucesivas y kEx∗j k ≤ g(M )−1 , otra vez por la proposición 3.30. Por lo tanto, puesto que x∗ es una
Ex∗ también ≤ 1 + ε + ε0 .
forma entonces
|(Ex∗ )(x)|
lo es, y podemos aplicar el lema 3.31, obteniendo
Corolario 3.33 Sean f , X , ε, M , x1 , . . . , xN y x como en el lema intervalos. Entonces
Ex∗ = kx∗j k ≤ (M, g)|x∗ (Ex)| =
, y sean E1 < · · · <
3.31
EM
−1
f (M )
M X
kEi xk ≤ 1 + ε + ε0 .
i=1
Demostración. Para 1 ≤ i ≤P M sea x∗i una funcional soporte de Ei x (dada por la proposición
∗ x∗ = f (M )−1 M i=1 xi . Entonces, usando que X satisface una f -estimación ∗ inferior, que sop(xi ) ⊂ ran(Ei x) ⊂ Ei y la proposición 3.29, para y ∈ X se tiene que M M M X X X x∗i (y) ≤ f (M )−1 |x∗i (y)| = f (M )−1 |(Ei x∗i )(y)| |x∗ (y)| = f (M )−1 3.28), y sea
i=1
−1
= f (M )
M X i=1
|x∗i (Ei y)|
i=1 M X −1
≤ f (M )
i=1
i=1
kx∗i k kEi yk
−1
≤ f (M )
M X i=1
kEi yk ≤ kyk
3.4. Propiedades de los espacios
47
kx∗ k ≤ 1. Las funcionales x∗i claramente son sucesivas y además f (M )−1 x∗i = f (M )−1 kx∗i k ≤ f (M )−1 . Por lo tanto, x∗ es una (M, f ) forma. Así, podemos aplicar el lema 1/2 ), y obtenemos que |x∗ (x)| ≤ 1 + ε + ε0 , es decir, 3.31 con g = f (puesto que f ≥ f
y por lo tanto
f (M )−1
M X
kEi xk = f (M )−1
i=1
M X
M X |x∗i (Ei x)| = f (M )−1 x∗i (Ei x)
i=1
i=1
M X = f (M )−1 x∗i (x) = |x∗ (x)| ≤ 1 + ε + ε0 . i=1
x1 < · · · < xN una S.R.C. en X ∈ X 1 + ε para alguna f ∈ F y algún ε > 0. Para cada 1 ≤ i ≤ N , sea ni el ni máximo tal que xi es una `1+ -media con constante 1 + ε, y expresemos xi = xi,1 + · · · + xi,ni , −1 donde kxi,j k ≤ (1 + ε)ni para cada j . Dado un intervalo E ⊂ N, sean Ahora introduciremos otra de nición conveniente. Sea para
f
con constante
iE = m´ın{i ∈ N : Exi 6= 0},
jE = m´ax{j ∈ N : Exj 6= 0}
(3.42)
sE = m´ax{s ∈ N : ExjE ,s 6= 0}.
(3.43)
y
rE = m´ın{r ∈ N : ExiE ,r 6= 0}, De nimos la
longitud
del intervalo
E
como
sE rE λ(E) = jE − iE + − = njE niE
sE jE − 1 + njE
rE − iE − 1 + niE
.
Obviamente esta de nición depende por completo de la S.R.C., pero siempre será claro del contexto cuál S.R.C. está siendo considerada. A continuación probamos tres propiedades de la longitud.
Proposición 3.34 Si E es un intervalo, entonces λ(E) ≤ N . Demostración. De sus respectivas de niciones, λ(E) = jE − iE + nsjE − nriE , jE ≤ N , iE ≥ 1, sE ≤ njE
y
rE /niE ≥ 0.
E
Por lo tanto,
E
λ(E) ≤ N − 1 + 1 + 0 = N .
Proposición 3.35 Si A y B son intervalos, y A ⊂ B , entonces λ(A) ≤ λ(B). Demostración. jA ≤ jB . (i) Si
De las de niciones dadas en (3.42), claramente
jA = jB ,
entonces
sA ≤ sB
y por lo tanto
jA + (ii) Si
iB ≤ iA
(i.e.
Para ambas desigualdades tenemos dos casos:
jA < jB ,
sA /njA ≤ sB /njB .
sB sA ≤ jB + . njA njB
entonces
jA +
sA sB ≤ jA + 1 ≤ jB ≤ jB + . njA njB
Luego,
−iA ≤ −iB )
y
3. Los espacios de Schlumprecht
48
(i') Si
iB = iA ,
entonces
rB ≤ r A
y por lo tanto
rB /niB ≤ rA /niA ,
de donde obtenemos
−iA − rA /niA ≤ −iB − rB /niB . (ii') Si iB
−iB
< iA , entonces −iA < −iB , de donde obtenemos que −iA + rB /niB ≤ −iA + 1 ≤ y por lo tanto
−iA − rA /niA ≤ −iA ≤ −iB − rB /niB . En cualquier combinación de los casos, sumando las desigualdades obtenemos que
λ(A) ≤
λ(B).
Proposición 3.36 Si PM k=1 λ(Ek ) ≤ λ(E).
E1 < · · · < E M
y E son intervalos, y
SM
k=1 Ek
⊂ E,
entonces
Demostración. Observemos que basta con probar el caso M = 2 y razonar inductivamente. Además, por la proposición 3.35 basta considerar el caso E = {i ∈ N : m´ ın E1 ≤ i ≤ m´ax E2 }. Observemos que en este caso iE = iE1 , jE = jE2 , sE = sE2 y rE = rE1 . Por otro lado, jE1 ≤ iE2 . Una vez más consideramos dos casos: (i) Si
jE1 = iE2 ,
entonces
sE1 ≤ rE2
y por lo tanto
sE1 rE1 − + jE2 − iE2 + njE1 niE1 rE2 sE1 − + = jE1 − iE2 + jE2 − iE1 + njE1 niE2 sE − rE2 sE rE = 0 + jE − iE + 1 + − njE1 njE niE rE sE − = λ(E). ≤ jE − iE + njE niE
λ(E1 ) + λ(E2 ) = jE1 − iE1 +
(ii) Si
jE1 < iE2 ,
entonces
jE1 + 1 ≤ iE2 ,
i.e.
sE2 rE2 − njE2 niE2 sE2 rE1 − njE2 niE1
jE1 − iE2 ≤ −1.
rE1 sE2 rE2 sE1 − + jE2 − iE2 + − njE1 niE1 njE2 niE2 sE2 rE1 sE1 rE2 = jE1 − iE2 + jE2 − iE1 + − + − njE2 niE1 njE1 niE2 sE rE sE1 rE2 − + − ≤ −1 + jE − iE + njE niE njE1 niE2 sE1 rE2 rE2 = λ(E) + −1− ≤ λ(E) − ≤ λ(E). njE1 niE2 niE2
λ(E1 ) + λ(E2 ) = jE1 − iE1 +
Con lo cual queda probada la proposición. El siguiente lema es el más importante para nuestros propósitos, pero antes probaremos una proposición técnica que utilizaremos para su demostración.
3.4. Propiedades de los espacios
49
Proposición 3.37 Sean f, g ∈ F , X ∈ X que satisface una f -estimación inferior, y Si C = {|x∗ (x)| : M ≥ 2, x∗ es una (M, g)-forma}, entonces sup C ∈ C .
x ∈ X.
Demostración. De la de nición de X , x tiene soporte nito. Sean A, XA ∗ demostración de la proposición 3.28. Para cualquier (M, g)-forma x ∗ ∗ ∗ ∗ sición 3.29, |x (x)| = |x (Ax)| = |(Ax )(x)|. Observemos que Ax ∈
y
∗ XA
como en la
∈ X ∗ , por la propo∗ . De la de nición XA P M ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ de (M, g)-forma, kx k ≤ 1, x = j=1 xj para alguna sucesión x1 < · · · < xM de fun ∗ P M ∗ −1 para 1 ≤ j ≤ M . Luego, Ax∗ = cionales sucesivas tales que xj ≤ g(M ) j=1 Axj . ∗ ∗ ∗ Observemos que las funcionales Axj son sucesivas, kAx k ≤ kx k ≤ 1 por la proposición
∗
∗ −1 . Por lo tanto, si para M ≥ 2 de nimos 3.30 y además Axj ≤ kAk xj ≤ g(M ) ∗ ∗ ∗ DM S = {x ∈ XA : x es una (M, g)-forma } y CM = {|x∗ (x)| : x∗ ∈ DM }, entonces C= ∞ M =2 CM . PM ∗ n = m´ax{|A|, 2}. Sean M > n y x∗ ∈ DM . Entonces kx∗ k ≤ 1 y x∗ = j=1 xj
∗ ∗ ∗
≤ g(M )−1 y para alguna sucesión x1 < · · · < xM de funcionales sucesivas tales que xj ∗ ∗ ran(xj ) ⊂ A para 1 ≤ j ≤ M . Como n ≥ |A|, a lo más n de las funcionales xj son distintas Pn ∗ ∗ x . Observemos que de 0. Por lo tanto, existen 1 ≤ i1 < · · · < in ≤ M tales que x =
∗ j=1 ij −1 ∗ ∗
xi1 < · · · < xin , y como n < M , g(n) < g(M ), y entonces xij ≤ g(M ) < g(n)−1 para ∗ ∗ ∗ 1 ≤ j ≤ n, y por Sn lo tanto x es una (n, g)-forma. Como además ran(x ) ⊂ A, x ∈ Dn . Por lo tanto, C = M =2 CM .
Sea
sup CM ∈ CM para 2 ≤ M ≤ n. Consideremos un valor de M jo. ∗ : kx∗ k ≤ 1}. Mostraremos que B \ D ∗ B = {x∗ ∈ XA M es abierto en B . Sea z ∈ B \ DM . Por una partición de tamaño N de A entenderemos una sucesión A1 < · · · < AN de intervaSN los sucesivos tales que i=1 Ai = A. Dada una partición A1 < · · · < AN de tamaño N ≤ M P N ∗ ∗ ∗ de A, puesto que z = i=1 Ai z y z no es una (M, g)-forma, existe 1 ≤ j ≤ N tal que
Aj z ∗ > g(M )−1 . De namos
αM = m´ın Ez ∗ − g(M )−1 : Ez ∗ > g(M )−1 , E ⊂ A es un intervalo .
Ahora probaremos que Sea
Observemos que
αM
está bien de nido porque el conjunto es no vacío y el mínimo existe
E , y además αM > 0. Ahora, y ∗ ∈ B tal que ky ∗ − z ∗ k < αM /2. Consideremos cualquier partición A1 < · · · < AN de ∗ tamaño N ≤ M de A. Como ya mencionamos antes, existe 1 ≤ j ≤ N tal que Aj z >
g(M )−1 . Como X satisface una f -estimación inferior, Aj (z ∗ − y ∗ ) ≤ ky ∗ − z ∗ k < αM /2.
porque hay solamente un número nito de tales conjuntos sea
Luego,
Aj y ∗ > Aj z ∗ − αM /2 ≥ αM + g(M )−1 − αM /2 = αM /2 + g(M )−1 > g(M )−1 . Por lo tanto, puesto que Entonces
B \ DM
Observemos que
y∗ =
PN
es abierto en
B
∗ i=1 Ai y ,
B,
y∗
no es una
y por lo tanto
DM
(M, g)-forma, es decir, y ∗ ∈ B \ DM . es cerrado en B .
es la bola unitaria cerrada en un espacio de dimensión nita, y en-
DM también lo es, ya que v(x∗ ) = |x∗ (x)| es continua, de
tonces es compacto (véase el teorema 1.13). Por lo tanto cerrado en
B.
Como la función
v : DM → R
dada por
es la
3. Los espacios de Schlumprecht
50
DM
compacidad de
sup CM ∈ CM . Ahora bien, como C = por lo tanto sup C ∈ C .
se sigue que
sup C = m´ax2≤M ≤n sup CM ,
y
Sn
M =2 CM , entonces
√
Lema 3.38 Sean f, g ∈ F con g ≥ f , X ∈ X que satisface una f -estimación P inferior, N ε > 0, x1 < · · · < xN una S.R.C. en X para f con constante 1 + ε, y x = i=1 xi . Supongamos que kExk ≤ sup |x∗ (Ex)| : M ≥ 2, x∗
es una (M, g)-forma
para todo intervalo E de longitud al menos 1. Entonces kxk ≤ (1 + ε + ε0 )N g(N )−1 . Demostración. Sea E ⊂ N un intervalo. De la desigualdad del triángulo se sigue que
N
jE N
X
X X
kExk = Exi ≤ kExi k = kExi k .
i=1
Ahora bien, si
iE < i < jE ,
como
xi
i=1
es una
(3.44)
i=iE
i -media `n1+
con constante
1 + ε,
entonces
ni ni ni
X
X X
kxi,k k ≤ ni (1 + ε)n−1 kExi,k k ≤ xi,k ) ≤ kExi k = E( i = 1 + ε.
(3.45)
k=1
k=1
k=1
Por otro lado,
n
n
kExiE k ≤
iE X
kExiE ,k k ≤
iE X
kxiE ,k k ≤ (niE −rE +1)(1+ε)n−1 iE = (1+ε)(1−
k=rE
k=rE
rE 1 + ). niE niE (3.46)
Además,
kExjE k ≤
sE X
kExjE ,k k ≤
k=1
sE X
kxjE ,k k ≤ sE (1 + ε)n−1 jE .
(3.47)
k=1
n1 ≤ niE por la proposición 3.26, 1 sE 1 + + ≤ (1 + ε) λ(E) + . (3.48) niE njE n1
Por lo tanto, de (3.44), (3.45), (3.46), (3.47), y que
rE kExk ≤ (1 + ε) jE − iE − 1 + 1 − niE Si
λ(E) ≥ (1 + ε)/ε0 n1 ,
entonces obtenemos
kExk ≤ (1 + ε)λ(E) + (1 + ε)/n1 = (1 + ε)λ(E) + ε0 (1 + ε)/ε0 n1 ≤ (1 + ε + ε0 )λ(E).
G : [1, ∞) → [1, ∞) por G(x) = x/g(x), y extendámosla proposición 3.10. Si λ(E) ≤ 1, por (3.49) obtenemos que
De namos
a todo
kExk ≤ (1 + ε + ε0 )λ(E) ≤ (1 + ε + ε0 )G(λ(E)).
R+
(3.49)
como en la
3.4. Propiedades de los espacios
51
Probaremos ahora que siempre que
λ(E) > 1
y
λ(E) ≥ (1 + ε)/ε0 n1 ,
kExk ≤ (1 + ε + ε0 )G(λ(E)). Supongamos entonces que
E
(3.50)
es un intervalo minimal de longitud al menos
para el cual la desigualdad (3.50) no se cumple. Sabemos que
λ(E) > 1.
(1 + ε)/ε0 n1
Por otro lado,
PM ∗ ∗ ∗ por la proposición 3.37 existe alguna (M, g)-forma x = i=1 xi tal que kExk ≤ |x (Ex)|. 0 ∗ 0 Por el corolario 3.32, si M ≥ Mf (N/ε ) entonces kExk ≤ |x (Ex)| ≤ (1 + ε + ε ) ≤ 0 (1 + ε + ε )G(λ(E)), es decir, la desigualdad se cumple para E . Luego, debemos tener que M ≤ Mf (N/ε0 ). Tomando
Ei = E ∩ ran(x∗i ),
(3.51)
obtenemos, por la de nición 3.27,
M M X X kExk ≤ |x∗ (Ex)| = x∗i (Ex) = x∗i (Ei x) i=1
≤
M X
|x∗i (Ei x)|
i=1
≤
i=1
M X
kx∗i k kEi xk
−1
≤ g(M )
i=1
M X
(3.52)
kEi xk
i=1
6 i0 , = y entonces la desigualdad (3.52) se reduciría a kExk ≤ E no −1 , se cumple la desigualdad (3.50), kExk > 0 y por lo tanto obtenemos que 1 ≤ g(M ) es decir, g(M ) ≤ 1, lo cual es una contradicción puesto que M ≥ 2 y g ∈ F , por lo que g(M ) > g(1) = 1. Así, podemos suponer que ninguno de los intervalos Ei es igual a E . Sea λi = λ(Ei ) para cada i. Para cada i, tenemos que λi ≤ (1 + ε)/ε0 n1 , o bien que λi ≥ (1+ε)/ε0 n1 y en este segundo caso, por la minimalidad de E , kEi xk ≤ (1+ε+ε0 )G(λi ). Sea A el conjunto de los i con la primera propiedad, y sea B el complemento de A. Sea k = |A|. Si para algún
i0
se tuviera que
De la de nición de
X
A
kEi xk ≤ (1+ε)
i∈A
Ei0 = E ,
Ei = ∅ para toda i −1 g(M ) kExk. Como para
entonces tendríamos
y (3.48) se obtiene
X i∈A
1 ≤ k(1+ε) λi + n1
1+ε 1 + 0 ε n1 n1
= (1+ε)(1+ε+ε0 )
k ε0 n
.
(3.53)
1
0
(1) G(1) − G0 (1) = 1 − G0 (1) = 1 − g(1)−1·g = g 0 (1). Como λ ≥ 1, esto junto g(1)2 proposición 3.9 nos da que para cualquier 0 ≤ t < 1 λ (1 − t)G + tg 0 (1) ≤ G(λ), (3.54) 1−t
Observemos que con la
y en el caso
t = 1, g 0 (1) ≤ G(λ).
(3.55)
g 0 (1) ≥ f (1)−1/2 f 0 (1)/2 = f 0 (1)/2 > 0,
(3.56)
√ Y por otro lado, puesto que g ≥ f y g(1) = f (1) = 1, tenemos que l´ıms↓0 g(1 + s) − p p g(1) /s ≥ l´ıms↓0 f (1 + s) − f (1) /s. Entonces, usando la regla de la cadena para calcular el segundo límite,
3. Los espacios de Schlumprecht
52
donde la última desigualdad se sigue de la proposición 3.5. Usando (3.51), la propiedad (ii) de la de nición de S.R.C. (de nición 3.25), y (3.56) obtenemos que
(1 + ε) 1 (1 + ε)Mf (N/ε0 ) 1 f 0 (1) 1 0 ≤ ≤ ≤ g (1). 0 0 ε n1 M ε n1 M 2 M
(3.57)
Ahora consideremos los dos casos posibles:
k < M: Como G es una función cóncava y no decreciente y por la proposición 3.36 P λi ≤ λ(E) = λ, la desigualdad de Jensen (proposición 1.3) nos da que
(1) Si
X
0
kEi xk ≤ (1 + ε + ε )
i∈B
X
G(λi ) ≤ (1 + ε + ε )(M − k)G
≤ (1 + ε + ε )(M − k)G
λ M −k
De (3.52), (3.53) y (3.58), observando que
G
λi M −k i∈B
i∈B 0
y que
P
0
tenemos que
(3.58)
.
G(M )/M = 1/g(M ) ≤ 1
puesto que
−1
kExk ≤ g(M )
M X i=1
M 1 kEi xk = g(M ) M
! X
kEi xk +
i∈B
X
kEi xk
i∈A
λ k G(M ) 0 0 (1 + ε + ε )(M − k)G + (1 + ε)(1 + ε + ε ) 0 ≤ M M −k ε n1 G(M ) λ k ≤ (1 + ε + ε0 ) (M − k)G + (1 + ε) 0 M M −k ε n1 λ k k 0 = (1 + ε + ε ) (1 − )G(M )G + (1 + ε) 0 M M −k ε n1 " ! # k λ k ≤ (1 + ε + ε0 ) (1 − )G + (1 + ε) 0 . k M ε n1 1− M Por lo tanto, usando (3.57) y (3.54) con
k < M ),
M ≥ 1,
es supermultiplicativa (véase la proposición 1.5) se sigue que
t = k/M
(3.59)
(que es menor que 1 puesto que
tenemos
"
k λ k )G( ) + (1 + ε) 0 (1 + ε + ε ) (1 − k M ε n1 1− M 0
#
λ 0 ≤ (1 + ε + ε ) (1 − t)G + tg (1) 1−t 0
≤ (1 + ε + ε0 )G(λ), lo cual, al combinarlo con (3.59) nos da que
kExk ≤ (1 + ε + ε0 )G(λ).
3.4. Propiedades de los espacios (2) Si
53
k = M:
De (3.53), (3.57) y (3.55),
M M
X
X X (1 + ε)
kExk = Ei x ≤ kEi xk = kEi xk ≤ (1 + ε + ε0 )M 0
ε n1 i=1
i=1
≤ (1 + ε + ε0 )M
i∈A
1 0 g (1) ≤ (1 + ε + ε0 )G(λ). M
En ambos casos, obtenemos una contradicción con nuestra suposición acerca de Recapitulando, lo que hemos probado hasta ahora es que si usando la proposición 3.34 y que
G
E.
λ(E) ≥ (1 + ε)/ε0 n1 ,
entonces,
es creciente,
kExk ≤ (1 + ε + ε0 )G(λ(E)) ≤ (1 + ε + ε0 )G(N ) = (1 + ε + ε0 )N g(N )−1 . Ahora supongamos que
λ(E) ≤ (1 + ε)/ε0 n1 .
De la propiedad (ii) de la de nición de S.R.C.
(de nición 3.25) obtenemos que
1+ε f 0 (1) ≤ ε 0 n1 2Mf (N/ε0 ) lo cual junto con (3.48) nos da que
1 1 1+ε 1+ε kExk ≤ (1 + ε) λ(E) + + ≤ (1 + ε) = (1 + ε + ε0 ) 0 0 n1 ε n1 n1 ε n1 0 f (1) ≤ (1 + ε + ε0 )f 0 (1) ≤ 1 + ε + ε0 ≤ (1 + ε + ε0 )N g(N )−1 ≤ (1 + ε + ε0 ) 2Mf (N/ε0 ) y por lo tanto el lema está probado, tomando
E = ran(x).
Construiremos ahora un sistema biortogonal asintótico en algunos de los espacios
Sf ,
pero
primero probaremos algunos resultados previos.
Proposición 3.39 Sea f ∈ F . Entonces todo subespacio de dimensión in nita de Sf contiene un subespacio bloque. Demostración.
Sea Y1 un subespacio de Sf de dimensión in nita. De la de nición de Sf , x1 ∈ Y1 vector no cero con soporte nito. Para n ∈ N sea Xn = sp{ei : 1 ≤ i ≤ n}. Sean n1 = m´ ax sop(x1 ) y Z1 = Xn1 ∩ Y1 . Como Z1 es un subespacio de dimensión nita de Y1 , existe un subespacio de dimensión in nita Y2 de Y1 tal que Y1 = Z1 ⊕ Y2 . Luego, existe x2 ∈ Y2 vector no cero con soporte nito, y claramente x1 < x2 . Continuando inductivamente este proceso construimos una sucesión creciente de vectores x1 < x2 < · · · , que generan un subespacio bloque (véase la de nición 3.21) contenido en Y1 .
existe
Proposición 3.40 Sean f ∈ F y X ∈ X que satisface una f -estimación inferior. Sean 0
kEzk∞ .
3. Los espacios de Schlumprecht
54
ni Demostración. De la P de nición de S.R.C., para 1 ≤ i ≤ k , xi es una `1+ -media con constante
1 + ε,
es decir,
xi =
ni u=1 xi,u donde
xi,1 < · · · < xi,ni
satisfacen
kxi,u k ≤ (1 + ε)n−1 i ,
(3.60)
y entonces
kxi k∞ = m´ax kxi,u k∞ ≤ m´ax kxi,u k ≤ (1 + ε)n−1 i . 1≤u≤ni
Ahora bien, observemos que
1≤u≤ni
Mf (k/ε) ≥ 1
f 0 (1) ≤ 1
y
por la proposición 3.6. Por lo tanto,
usando además la proposición 3.26 y la parte (ii) de la de nición de S.R.C. (de nición 3.25)
ni ≥ n1 ≥
2(1 + ε)Mf (k/ε) 2(1 + ε) 2 ≥ ≥ = 4, 0 εf (1) ε 1/2
de donde
kxi k∞ ≤ (1 + ε) Recordemos que
sop(xi0 ) ⊂ E ,
E
ε ε = < 1. 2(1 + ε) 2
(3.61)
λ(E) ≥ 1. Entonces, o existe un 1 ≤ i0 ≤ k 1 ≤ i < k , r > 1 y s < ni+1 tales que
es un intervalo con
o bien existen
i
tal que
tal que
Ez = xi,r + xi,r+1 + · · · + xi,ni + xi+1,1 + xi+1,2 + · · · + xi+1,s con
s
−
ni+1 puesto que
r ≥ 0, ni
1 ≤ λ(E) = (i + 1) − i + s/ni+1 − r/ni .
(3.62)
En el primer caso, de (3.61),
kEzk ≥ kxi0 k = 1 > m´ax kxj k∞ ≥ kEzk∞ . 1≤j≤k
En el segundo caso, por (3.60) se obtiene que
kExi k ≥ kxi k −
r−1 X
kxi,u k ≥ 1 − (r − 1)
u=1
1+ε ni
(3.63)
y que
ni+1
X
kExi+1 k ≥ kxi+1 k −
kxi+1,u k ≥ 1 − (ni+1 − s)
u=s+1 Por lo tanto, puesto que
X
satisface una
f -estimación
1+ε . ni+1
(3.64)
inferior, y usando (3.63), (3.64) y
(3.62)
r − 1 ni+1 − s kEzk ≥ f (2) kExi k + kExi+1 k ≥ f (2) 2 − (1 + ε) + ni ni+1 −1 ni+1 1 −1 −1 ≥ f (2) 2 − (1 + ε) + = f (2) 2 + (1 + ε) −1 ni ni+1 ni −1
−1
(3.65)
3.4. Propiedades de los espacios Supongamos ahora que
55
kEzk = kEzk∞ .
Usando (3.60) y que
ni+1 > ni
(proposición 3.26),
−1 −1 kEzk∞ = m´ax kxi,u k∞ ∨ m´ax kxi+1,u k∞ ≤ (1 + ε)n−1 i ∨ (1 + ε)ni+1 = (1 + ε)ni , r≤u≤ni
1≤u≤s
lo cual junto con (3.65) implica que
1 1+ε −1 2 + (1 + ε) ≥ f (2) −1 ni ni de donde se sigue que
2 1 1−ε ni 1 2 + (1 + ε) −1 = ni − 1 = 1 + ni 2 > f (2) ≥ + . 1+ε ni 1 + ε ni 1+ε Luego, como
1 − ε > 0, ni <
1 + 1/2 3/2 1+ε ≤ = = 3, 1−ε 1 − 1/2 1/2
lo cual es una contradicción, y por lo tanto
Proposición 3.41 Sean longitud k con constante igual a 1. Entonces
kEzk > kEzk∞ .
f ∈ F , 0 < ε < 1/2 y x1 , . . . , xk una S.R.C. en Sf para f de P 1 + ε. Sean z = ki=1 xi , y E un intervalo de longitud mayor o
kEzk ≤ sup |x∗ (Ez)| : M ≥ 2, x∗ es
Demostración. Sf
Por la proposición 3.40,
una (M, f )-forma .
kEzk > kEzk∞ .
Por la de nición de la norma en
(de nición 3.12), concluimos que
M n X kEzk = sup f (M )−1 kEj zk : M ≥ 2, E1 < · · · < EM
intervalos
o .
(3.66)
j=1
M ≥ 2 y E1 < · · · < EM intervalos. Para 1 ≤ j ≤ M , sea x∗j la funcional soporte ∗ ∗ ∗ para Ej z dada por la proposición 3.28, que cumple kxj k ≤ 1, xj (Ej z) = kEj zk y ran(xj ) ⊂ P M −1 ∗ −1 ∗ −1 ∗ ran(Ej z). Sea x∗ = j=1 f (M ) xj . Observemos que f (M ) x1 < · · · < f (M ) xM , kf (M )−1 x∗j k ≤ f (M )−1 y para toda y ∈ Sf , puesto que Sf satisface una f -estimación Sean
inferior,
|x∗ (y)| ≤ f (M )−1
M X
|x∗j (y)| = f (M )−1
j=1
≤ f (M )−1
M X
M X j=1
kx∗j k kEj yk ≤ f (M )−1
j=1 de donde
kx∗ k ≤ 1
f (M )−1
y por lo tanto
M X j=1
x∗
|x∗j (Ej y)| M X
kEj yk ≤ kyk ,
j=1 es una
kEj zk = f (M )−1
M X j=1
(M, f )-forma,
x∗j (Ej z) =
M X j=1
que satisface
f (M )−1 x∗j (Ez) = x∗ (Ez).
3. Los espacios de Schlumprecht
56
De esto último y (3.66) concluimos que
kEzk ≤ sup |x∗ (Ez)| : M ≥ 2, x∗ es
una
(M, f )-forma ,
lo que queríamos demostrar. Sea
f ∈ F,
y sean
δ ∈ (0, 1)
y
N1 = M12 < N2 = M22 < · · ·
una sucesión de cuadra-
dos que satisfaga
f (N1 )/N1 < δ/2,
f (N1 ) > 8δ −1
(3.67)
Nj > Mf (2Nj−1 ) para j > 1 (que claramente existe puesto que los cuadrados no están l´ımx→∞ f (x)/x P = 0 y l´ımx→∞ f (x) = ∞). Sea Ak el conjunto de vectores de Nk norma 1 de la forma x = i=1 xi donde x1 /C, . . . , xNk /C es una S.R.C. en Sf para f con constante 1 + δ/2 para algún C > 0. Como Sf satisface una f -estimación inferior, sabemos
y
acotados,
que
N
Nk k
X 1 kxk
X xi
xi −1 = =
= f (Nk )−1 Nk
≥ f (Nk )
C C C C i=1
i=1
de donde se sigue que
C ≤ f (Nk )Nk−1 .
(3.68)
PNk ∗ ∗ ∗ ∗ −1 ∗ Sea Ak el conjunto de funcionales de la forma x = f (Nk ) i=1 xi donde x1 < · · · < xNk y kx∗i k ≤ 1 para 1 ≤ i ≤ Nk . Observemos que para x ∈ Sf , como Sf satisface una f -estimación inferior,
N Nk Nk k X X X ∗ −1 ∗ −1 ∗ −1 |x (x)| = f (Nk ) xi (x) ≤ f (Nk ) |xi (x)| = f (Nk ) |x∗i (ran(x∗i )x)| ≤ f (Nk )−1
i=1 N k X
i=1
kx∗i k kran(x∗i )x)k ≤ f (Nk )−1
i=1 Y por lo tanto
i=1
Nk X
kran(x∗i )x)k ≤ kxk
i=1
kx∗ k ≤ 1.
De nición 3.42 Si f ∈ F es tal que para toda x ≥ 1, f (x2 ) ≤ 2f (x) y f 1/2 ∈ F , diremos que f es una función de Schlumprecht, y que el espacio S¯f es un espacio de Schlumprecht. Obsérvese que la función
f˜ es
una función de Schlumprecht, y por lo tanto el espacio
S¯
es
un espacio de Schlumprecht.
Proposición 3.43 Si f ∈ F es una función de Schlumprecht, entonces los conjuntos ∗ ∞ {Ak }∞ k=1 y {Ak }k=1 de nidos anteriormente forman un sistema biortogonal asintótico con constante δ en el espacio Sf . Demostración. Veamos que los conjuntos Ak
k. ε = δ/2
son asintóticos para cada
k ∈ N y un subespacio de dimensión in nita Y de Sf . Sean n1 ≥ 2(1 + ε)Mf (Nk /ε0 )/ε0 f 0 (1). Por la proposición 3.39, Y contiene
un
Para ello, jemos y
n1 ∈ N
tal que
un subespacio bloque
3.4. Propiedades de los espacios
57
n1 {yi }∞ i=1 . Por el lema 3.22, B1 contiene una `1+ -media x1 ε0 1/2 ≥ | sop(x )|, y sea m ∈ N tal con constante 1 + ε. Ahora, sea n2 ∈ N tal que 1 1 2 f (n2 ) m1 ∞ que x1 ∈ [yi ]i=1 , que claramente existe puesto que x1 ∈ B1 , sop(x1 ) es nito y B1 = hyi ii=1 . ∞ Observemos que B2 = hyi ii=m +1 también es un subespacio bloque contenido en Y , y por lo 1 n2 tanto contiene una `1+ -media x2 con constante 1 + ε. Observemos que x1 < x2 . Repitiendo el proceso, construimos una S.R.C. para f de longitud Nk con constante 1 + ε contenida PNk en Y . Como Y es un subespacio y los xi son sucesivos, 0 6= x = i=1 xi ∈ Y , y entonces x/ kxk ∈ S(Y ) ∩ Ak . Por lo tanto, S(Y ) ∩ Ak 6= ∅, lo cual prueba que Ak es asintótico.
B1
generado por una base bloque
P k x ∈ Ak , es decir, x = N i=1 xi donde x1 /C, . . . , xNk /C es una PNj ∗ ∗ −1 ∗ S.R.C. para f con constante 1 + δ/2 para algún C > 0, y sea y = f (Nj ) i=1 yi ∈ Aj , ∗ ∗ ∗ ∗ con y1 < · · · < yN y kyi k ≤ 1 para 1 ≤ i ≤ Nj . Observemos que y es claramente una j
(Nj , f )-forma, ya que ky ∗ k ≤ 1 y f (Nj )−1 yi∗ ≤ f (Nj )−1 para 1 ≤ i ≤ Nj . Hay dos casos Sean
j 6= k
naturales, sea
posibles:
Nj > Mf (2Nk ) = Mf (Nk / 12 ), ∗ aplicar el lema 3.31 con ε = 1/2, y obtenemos |y (x/C)| ≤ 1 + 1/2 + 1/2 = 2, se sigue usando (3.68), y que t/f (t) es no decreciente, que
(1) Si
j > k
entonces, usando el hecho de que
|y ∗ (x)| ≤ 2C ≤ 2 (2) Si
j < k,
podemos de donde
f (Nk ) f (N1 ) ≤2 < δ. Nk N1
observemos que
x=
Nk X
2
xi =
i=1 De namos
zl =
P(l+1)Mk
i=lMk +1 xi para
Mk X i=1
xi =
M k −1 (l+1)M X Xk
xi .
l=0 i=lMk +1
0 ≤ l ≤ M k − 1.
Observemos que de la de nición
x1 /C, . . . , xNk /C es una S.R.C. para f de longitud Nk con constante 1+ δ/2, entonces xlMk +1 /C, . . . , x(l+1)M /C es una k S.R.C. para f de longitud Mk con constante 1 + δ/2. Luego, por la proposición 3.41, para todo intervalo E tal que λ(E) ≥ 1 respecto a xlMk +1 /C, . . . , x(l+1)M /C , k
de S.R.C. (de nición 3.25) y la proposición 3.26, como
kEzl /Ck ≤ sup {|x∗ (Ezl /C)| : M ≥ 2, x∗ es Por lo tanto, ya que
f 1/2 ∈ F , zl /C
una
(M, f )-forma} .
satisface las hipótesis del lema 3.38 con
f = g,
entonces
kzl /Ck ≤ (1 + δ/2 + δ/2)Mk f (Mk )−1 = (1 + δ)Mk f (Mk )−1 ≤ 2Mk f (Mk )−1 . Luego,
kzl k ≤ 2CMk f (Mk )−1 ≤ 2f (Nk )Nk−1 Mk f (Mk )−1 = 2f (Mk2 )Mk−2 Mk f (Mk )−1 = 2f (Mk2 )f (Mk )−1 Mk−1
y
3. Los espacios de Schlumprecht
58
Por las hipótesis,
f (Mk2 ) ≤ 2f (Mk ).
Luego,
kzl k ≤ 2 · 2f (Mk )f (Mk )−1 Mk−1 = 4Mk−1 , x
de lo cual se sigue que
es una
k `M 1+ -media
con constante 4.
Nk > Mf (2Nj ) entonces Nk ≥ f (Nk ) > 36(2Nj )2 y por lo Nk ≥ 12Nj > 2Nj , de lo cual se sigue que 2Nj /Mk ≤ 1. Usando esto y el
Observemos que como tanto
Mk =
√
lema 3.23 obtenemos que
Nj Nj Nj X X X −1 ∗ −1 ∗ −1 |y (x)| = f (Nj ) xi (x) ≤ f (Nj ) |xi (x)| = f (Nj ) |x∗i ran(x∗i )x | ∗
i=1 Nj
≤ f (Nj )−1
X
i=1
i=1 Nj
kx∗i k kran(x∗i )xk ≤ f (Nj )−1
≤ f (Nj )
kran(x∗i )xk
i=1
i=1 −1
X
−1
4(1 + 2Nj /Mk ) ≤ 8f (Nj )
≤ 8f (N1 )−1 < δ.
x ∈ Ak es como antes, puesto que x1 /C, . . . , xNk /C es una S.R.C. para f con constante 1 + δ/2, por la proposición 3.41, para todo intervalo E tal que λ(E) ≥ 1 respecto a x1 /C, . . . , xNk /C ,
Ex ∗ ∗
C ≤ sup {|x (Ex/C)| : M ≥ 2, x es una (M, f )-forma} ,
Finalmente, si
es decir,
x
satisface las hipótesis del lema 3.38 con
f = g.
Por lo tanto
kx/Ck ≤ (1 + δ/2 + δ/2)Nk f (Nk )−1 = (1 + δ)Nk f (Nk )−1 de donde, recordando que
xi /C
es una
i -media `n1+
y por lo tanto
kxi /Ck = 1,
1 = kxk ≤ (1 + δ)Nk f (Nk )−1 C = (1 + δ)Nk f (Nk )−1 kxi k . Así, si
f (Nk
x∗i es una funcional soporte de xi (dada PNk ∗ ∗ i=1 xi es un elemento de Ak (puesto
)−1
(3.69)
por la proposición 3.28), entonces
x∗ =
∗ que las xi son consecutivas y de norma
menor o igual a 1) y entonces, usando (3.69),
∗
−1
x (x) = f (Nk )
Nk X i=1
−1
≥ f (Nk )
Nk X i=1
! x∗i
Nk X i=1
! xi
−1
= f (Nk )
Nk X
x∗i (xi )
−1
= f (Nk )
Nk X
i=1
kxi k
i=1
1 1−δ f (Nk ) = = > 1 − δ, Nk (1 + δ) 1+δ 1 − δ2
con lo que naliza la prueba. Utilizando la proposición 3.43 y el teorema 2.6 probaremos que para cualquier
C > 1/24, to-
do espacio de Schlumprecht puede ser renormado de modo que no contenga ninguna sucesión básica
C -incondicional.
3.4. Propiedades de los espacios
59
Proposición 3.44 Sean f una función de Schlumprecht y C > 1/24. Entonces existe una norma |k·|k en S¯f equivalente a k·k tal que ninguna sucesión básica en (S¯f , |k·|k) es C incondicional. Demostración. Como S¯f δ=
1/(36 · 16C 2 )
<
tiene base, es separable y por lo tanto
Sf
también. Como
C > 1/24,
242 /576
= 1, y entonces por la proposición 3.43, Sf contiene un sistema δ . Luego, por el teorema 2.6,√existe una norma |k·|k en Sf equivalente a k·k tal que ninguna sucesión básica en Sf es 1/ 36δ = 4C -incondicional. Observemos que como las normas son equivalentes, la función |k·|k : Sf → R es k·k-continua. ¯f , podemos extenderla (de manera única) a una función continua Como Sf es k·k-denso en S ¯ |k·|k : Sf → R, la cual claramente es una norma para S¯f . biortogonal asintótico con constante
¯ {yn }∞ n=1 ⊂ Sf una sucesión básica cualquiera. Del teorema n ∈ N, y entonces por la proposición 1.42 {yn / kyn k}∞ n=1 es
kyn k = 6 0
Sea
1.40,
para to-
da
una sucesión básica
k·k-
normalizada. Como
Sf
Sf
que es
es
|k·|k-denso
2-equivalente
en
S¯f ,
en la norma
incondicional en la norma
{xn }∞ n=1 ⊂ ∞ {xn }n=1 no es 4C N, una sucesión de escalares {an }m n=1
por el teorema 1.47 existe una sucesión básica
|k·|k
∞ a {yn / kyn k}n=1 . Entonces
|k·|k, y entonces existen m ∈ {εn }m n=1 con |εn | ≤ 1 para 1 ≤ n ≤ m
y una sucesión de escalares
tales que
m m X X εn an xn > 4C an xn . n=1
n=1
2-equivalentes, m m X 1 X 4C an yn ≥ εn εn an xn > kyn k 2 2
Ahora, como las sucesiones son
n=1
n=1
lo cual prueba que
{yn }∞ n=1
no es
m m X X an yn , an xn ≥ C kyn k n=1
n=1
C -incondicional.
Ahora probaremos el resultado anunciado al inicio del capítulo.
Proposición 3.45 Todo espacio de Schlumprecht es arbitrariamente distorsionable. Demostración.
f ∈F
µ > 1 dada. Ob¯ servemos que para probar que Sf es µ-distorsionable basta considerar subespacios cerrados, ¯f y |k·|k es una norma equivalente a k·k, entonces puesto que si Z es un subespacio de S sup ya que
Sea
una función de Schlumprecht. Consideremos
|kz1 |k |kz1 |k ¯ kz1 k = kz2 k = 1 : z1 , z2 ∈ Z, kz1 k = kz2 k = 1 = sup : z1 , z2 ∈ Z, |kz2 |k |kz2 |k Z
es
k·k-denso
Z¯ ¯ Sf .
en
un subespacio cerrado de
y
|k·|k
es una función
k·k-continua.
Así pues, sea
X ⊂ S¯f
Entonces, por los teoremas 1.47 y 1.48, existen una sucesión
3. Los espacios de Schlumprecht
60
básica
¯ k·k-normalizada {un }∞ n=1 ⊂ Sf m para cualquier sucesión de escalares {bn }n=1 se tiene que
m m m
X
X
X 1
bn y n ≤ bn u n ≤ 2 bn y n . (3.70)
2
k·k-normalizada {yn }∞ n=1 ⊂ X
2-equivalentes. Luego,
y una base bloque
n=1
n=1
n=1
C = 4µ > 4 > 1/24. Entonces, por la proposición 3.44 existe una norma |k·|k para S¯f ¯f , |k·|k) no contiene ninguna sucesión básica C -incondicional. En equivalente a k·k tal que (S ∞ particular, la sucesión {yi }i=1 no es C -incondicional, es decir, existen m ∈ N, una sucesión m m de escalares {an }n=1 y una sucesión de escalares {εn }n=1 de módulo a lo más 1 tales que m m X X εn an yn > C an yn . (3.71) Sea
n=1
w1 = n=1 an yn y w2 = n=1 εn an yn . Como la base {en }∞ n=1 es 1-incondicional ∞ norma k·k) por la proposición 3.16, y puesto que {un }n=1 es una base bloque,
m m
X
X
εn an un ≤ an un .
Sean la
n=1
Pm
Pm
n=1
(en
n=1
Ahora bien, de esto y (3.70) se sigue que
m m m m
X
X
X
1 1
X
kw2 k = εn an yn ≤ εn an un ≤ an un ≤ 2 an yn = 2 kw1 k .
2 2 n=1
n=1
Haciendo
z2 =
n=1
w2 kw2 k
y
z1 =
(3.72)
n=1
w1 , kw1 k
de (3.71) y (3.72) se sigue que
|kz2 |k C 4µ > = = µ, |kz1 |k 4 4 por lo que
(S¯f , k·k)
(S¯f , k·k)
es
µ-distorsionable.
Como esto es para cualquier
µ > 1,
concluimos que
es arbitrariamente distorsionable.
Ahora mostramos que existe una in nidad de espacios de Schlumprecht.
Proposición 3.46 Sea 0 < p ≤ 1. Entonces S¯p = S¯f˜p es un espacio de Schlumprecht. Demostración.
Primero observemos que por las proposiciones 3.7 y 3.8,
tanto tiene sentido hablar del espacio Por otro lado, para
S¯f˜p .
x ≥ 1, x2 + 1 ≤ (x + 1)2
f˜p ∈ F
y por lo tanto
f˜(x2 ) = log2 (x2 + 1) ≤ log2 [(x + 1)2 ] = 2 log2 (x + 1) = 2f˜(x),
y por lo
3.4. Propiedades de los espacios
61
[f˜(x2 )]p ≤ 2p [f˜(x)]p ≤ 2[f˜(x)]p . Además, para 0 < p ≤ 1 se tiene que 0 < p/2 ≤ 1/2 < 1, y entonces (f˜p )1/2 = f˜p/2 ∈ F por la proposición 3.8. Por lo tanto, f˜p es una ¯p es un espacio de Schlumprecht. función de Schlumprecht, y entonces S de donde
Observemos que en la proposición 3.46 está incluido el caso particular del espacio de Schlumprecht
S¯ = S¯f˜.
Como la propiedad de ser arbitrariamente distorsionable se preserva
S¯p
bajo isomor smos (proposición 3.3), cabe preguntarse si los espacios
para
01= ei .
f (n) f (n) i=1
i=1
(3.73)
∞
Por lo tanto, de la de nición de la norma,
kzn k = sup
n
N
1 X kEi zn k : N ≥ 2, E1 < · · · < EN f (N )
intervalos
o .
i=1
Por la observación 3.13, existen
2≤m≤n
e intervalos
E1 < · · · < Em
tales que
m
1 X kzn k = kEi zn k . f (m) i=1
(3.74)
3. Los espacios de Schlumprecht
62
Obsérvese que podemos suponer que
m´ax Em ≤ n. Además, de la demostración de la proEi zn son distintas de cero, y por lo tanto
posición 3.14, al menos dos de las proyecciones
ni = |Ei | < n
para
1 ≤ i ≤ m.
kzn k =
De la observación 3.15, la hipótesis inductiva y (3.74),
m
m
m
i=1
i=1
i=1
1 X 1 X ni m X 1 ni kEi zn k = = . f (m) f (m) f (ni ) f (m) m f (ni )
Ahora bien, de la propiedad (iv) en la de nición de
F
(de nición 3.4),
(3.75)
x/f (x) es una función
cóncava, y entonces por la desigualdad de Jensen (proposición 1.3)
Pm 1 m X 1 ni m ni ≤ . Pi=1 m 1 m f (ni ) f i=1 m ni i=1 Por la proposición 3.5
Pm
i=1 ni
x/f (x)
(3.76)
es una función creciente, y entonces, puesto que claramente
≤ n, f
Pm Pi=1 m
1 m ni 1 i=1 m ni
n/m . f (n/m)
≤
Además, de la propiedad (v) en la de nición de
F
(de nición 3.4),
(3.77)
f (n) ≤ f (m)f (n/m).
De esto, (3.74), (3.75), (3.76) y (3.77),
kzn k ≤
m n/m n n = ≤ . f (m) f (n/m) f (m)f (n/m) f (n)
(3.78)
La conclusión de la proposición se sigue de (3.73) y (3.78).
Teorema 3.49 Sean 0 < q < p ≤ 1. Entonces S¯q y S¯p no son isomorfos. ∞ Demostración. Para evitar confusiones, para cada 0 < t ≤ 1 denotaremos por {e(t) i }i=1 base estándar de
S¯t
y por
k·kt
a la
a su norma.
Supongamos que existe un isomor smo
T : S¯p → S¯q . Sea x∗ ∈ (S¯p )∗ . De la proposición 3.47
(p) ∞ y el teorema 1.62, la base {ei }i=1 es reductora y por lo tanto ∗
x =
∞ X
(p)
ai (ei )∗ ,
i=1 (p)
(p)
ai = x∗ (ei ). Como la base {ei }∞ i=1 es monótona (véase la proposición (p) ∗ 3.16), k(ei ) kp = 1 para cada i ∈ N. Por lo tanto, aplicando el lema 1.37 obtenemos (p) (p) que l´ ımi→∞ x∗ (ei ) = 0, y entonces {ei }∞ i=1 converge a cero en la topología débil por el (p) ∞ teorema 1.30. De la proposición 1.31, T es débilmente continuo y por lo tanto {T ei }i=1 (p) ∞ también converge débilmente a cero. Del lema 1.49 obtenemos una subsucesión {T ei }j=1 j y claramente
de
(p)
{T ei }∞ i=1
y una base bloque
{yi }∞ i=1
(p)
{T eij }∞ j=1
de
(q)
{ei }∞ i=1
tales que
es equivalente a
{yi }∞ i=1 .
(3.79)
3.4. Propiedades de los espacios Además, como
T
63
es un isomor smo,
(p)
{T eij }∞ j=1
es equivalente a
(p)
{eij }∞ j=1 .
(3.80)
Por otra parte, de la observación 3.15,
(p)
{ei }∞ i=1
(p)
{eij }∞ j=1 .
(3.81)
(p)
∞ {ei }∞ i=1 es una base incondicional entonces {yi }i=1 también 1.56, si zi = yi / kyi kq para cada i ∈ N,
De (3.79), (3.80) y (3.81), como lo es, y por lo tanto del lema
es equivalente a
{yi }∞ i=1
es equivalente a
{zi }∞ i=1 .
(3.82)
De (3.79), (3.80), (3.81) y (3.82),
(p)
{ei }∞ i=1 Luego, por la proposición 1.45, existe escalares
es equivalente a
K >0
{zi }∞ i=1 .
tal que para toda
n∈N
y toda sucesión de
{ai }ni=1 , 1 K
n n n
X
X
X
(p) (p) ai ei ≤ ai zi ≤ K ai ei .
En particular, para toda
i=1
p
i=1
i=1
q
p
n ∈ N, P k ni=1 zi kq ≤ K. P (p) k ni=1 ei kp
Ahora bien, de la de nición de la norma en
S¯q ,
(3.83)
puesto que
{zi }∞ i=1
es una base bloque
normalizada,
n n
X X n 1
. zi ≥ kzi kq =
q ˜ ˜
[f (n)] i=1 [f (n)]q i=1 q
Por el lema 3.48,
n
X
n
(p) ei = .
˜
[f (n)]p i=1 p
Entonces,
P k ni=1 zi kq ≥ P (p) k ni=1 ei kp l´ımn→∞ [log2 (n + 1)]p−q = ∞ ¯q y S¯p no son isomorfos. tanto, S mas
n [f˜(n)]q n [f˜(n)]p
= [f˜(n)]p−q = [log2 (n + 1)]p−q ,
puesto que
p − q > 0,
lo cual contradice (3.83). Por lo
Así, por las proposiciones 3.45 y 3.46, y el teorema 3.49, hemos construido una in nidad de espacios arbitrariamente distorsionables no isomorfos entre sí.
Comentarios nales El espacio de Tsirelson fue el primer espacio de Banach no clásico. Las normas en los espacios de Banach (de sucesiones) clásicos, como
c0 , `p
para
1 ≤ p ≤ ∞,
el espacio de
James, etc., se de nen mediante fórmulas explícitas. En el espacio de Tsirelson, en cambio, la norma se puede de nir mediante una fórmula implícita. Desde entonces se han construido diversas variantes del espacio de Tsirelson con distintas propiedades patológicas [4], cuyas normas también se de nen de manera implícita, y que han servido para responder otras preguntas que llevaban mucho tiempo sin respuesta, algunas desde la época de Banach. El espacio de Schlumprecht es una de estas variaciones con normas de nidas implícitamente, como se puede ver claramente en la de nición 3.12. Una vez que se dio a conocer el espacio de Schlumprecht, no pasó mucho tiempo antes de que se construyeran importantes variaciones de éste que resolvieron problemas abiertos, lo cual con rma su importancia matemática e histórica. En el verano de 1991, W. T. Gowers encontró un espacio sin sucesiones básicas incondicionales. Poco después, B. Maurey también encontró uno independientemente. Al comparar sus ejemplos descubrieron que eran casi idénticos, al igual que las pruebas de que efectivamente resolvían el problema de la sucesión básica incondicional, así que decidieron publicar juntos y trabajar sobre otras propiedades del espacio. El susodicho ejemplo es un re namiento del espacio de Schlumprecht, puesto que la de nición (implícita) de la norma es casi idéntica excepto por un término extra. La forma de la ecuación que de ne la norma (compárese con la de nición 3.12) es
n n X −1 ˜ kxk = kxk∞ ∨ sup f (n) kEi xk : 2 ≤ n ∈ N, E1 < · · · < En
intervalos
o
i=1
n o ∨ sup |g(x)| : g ∈ G , donde
G es una cierta clase de operadores lineales acotados. La demostración de que el espa-
cio de Gowers y Maurey no tiene sucesiones básicas incondicionales no utiliza herramientas más avanzadas que las que hemos utilizado aquí, pero los detalles técnicos son bastante más engorrosos. Gracias a una observación de W. B. Johnson, Gowers y Maurey notaron que su espacio es
hereditariamente no factorizable (H.N.F.), es decir, ninguno de sus subespacios cerrados
Comentarios nales
66
de dimensión in nita puede ser expresado como suma directa de dos subespacios cerrados de dimensión in nita. Esto respondió una pregunta de Lindenstrauss, a saber, si todo espacio de Banach de dimensión in nita podía ser expresado como suma directa de dos subespacios cerrados de dimensión in nita. Además, prueba que en general el espacio de operadores lineales acotados de un espacio de Banach en sí mismo no necesariamente contiene proyecciones no triviales. Muy poco tiempo después, Gowers logró resolver, construyendo contraejemplos, otros dos problemas abiertos utilizando variantes de este espacio [11, 12]. El primero es el problema del hiperplano de Banach, que tiene sus orígenes en el libro de Banach [2]: ¾es todo espacio de Banach isomorfo a sus hiperplanos (subespacios cerrados de codimensión uno)? El segundo es el problema de Schroeder-Bernstein para espacios de Banach: si
X
y
Y
son espacios
de Banach tales que cada uno de ellos es isomorfo a un subespacio complementado del otro, ¾deben
X
y
Y
ser isomorfos? En ambos casos, la respuesta es negativa.
Unos cuantos meses después de que se obtuvieron los resultados del artículo en el que se basa este trabajo [13], el problema de la distorsión también fue resuelto, por Edward Odell y Thomas Schlumprecht [21], quienes determinaron que
`p (1 < p < ∞)
es arbitrariamente
distorsionable, respondiendo a una de las preguntas planteadas en la introducción.
Bibliografía [1] Stefan Banach. Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales. [2] Stefan Banach.
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Théorie des Opérations Linéaires. Monografje Matematyczne, Varsovia,
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[4] Peter George Casazza and Thaddeus J. Shura.
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volumen 1363 de
Springer Verlag, New York, 1988.
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volumen 49 de
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Not every Banach space contains
`p
or
c0 .
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Índice base de Hamel, 8, 11
supermultiplicativa, 2 funcional, 4
base de Schauder, 9 acotadamente completa, 15
biortogonales, 9
bloque, 11, 41
C -incondicional,
especial, 18 funcionales
bimonótona, 14 15
en un espacio normado, 9
coe ciente, 9 funcionales sucesivas, 40
incondicional, 14 monótona, 14
Haar, sistema de, 10
reductora, 16
Hahn-Banach, teorema de, 5
bola unitaria, 4
c0 , 8, 10, c00 , 35
12, 13, 15, 16, 23, 25, 26
inyección canónica, 6 isometría, 4
completación, 6
isomor smo de espacios normados, 4
conjunto asintótico, 17 convexo, 2 constante de base, 9 convergencia incondicional, 14 dual, 5 esfera unitaria, 4 espacio de Banach, 3 de Schlumprecht, 56 normado, 3 re exivo, 6
F , 27 f˜, 29 f -estimación
intervalo de enteros, 35
isométrico, 4 Jensen, desigualdad de, 2
`1 , 16, 23, 24 `n1+ -media, 40 `n1+ -vector, 40 `∞ , 7, 8, 11 `p , 7, 10, 13, 15, Mf , 43 (M, g)-forma,
16, 40
43
norma, 3 de un operador, 5 normas equivalentes, 3
inferior, 40
función
operador lineal, 4 acotado, 5
cóncava, 2 de Schlumprecht, 56
proyección, 5
submultiplicativa, 2
proyecciones asociadas a la base, 9
ÍNDICE
70
rango de un vector, 35 de una funcional, 40 S.R.C.-vector, 43
Sf , S¯f , S¯p ,
35 35 60
sistema biortogonal asintótico, 17 soporte de un vector, 35 de una funcional, 40 subespacio cerrado generado, 4 complementado, 6 generado, 4 sucesión básica, 9 normalizada, 9 seminormalizada, 9 rápidamente creciente, 43 sucesión especial de funcionales, 18 sucesiones básicas equivalentes, 12 suma directa, 6 topología débil, 7 inducida, 3 vectores sucesivos, 35
X,
39