UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE CIENCIA DEPARTAMENTO DE FÍSICA

DISEÑO DE UNA PROPUESTA METODOLÓGICA DEL ESTUDIO DE MATEMATICA EN LA ENSEÑANZA MEDIA UTILIZANDO UN PROCESADOR SIMBÓLICO AUTORES: ELIZABETH JEANNETTE BARRA VILLALOBOS DANIEL ENRIQUE PONCE DE LEÓN YÁÑEZ BÁRBARA ELIZABETH QUILA MIRANDA Profesor Guía: Máximo González Sasso Propósito: Tesis

para

obtener

el

grado

de

Licenciado en Educación de Física y Matemática. Santiago, Chile 2010

© 191774 ELIZABETH JEANNETTE BARRA VILLALOBOS DANIEL ENRIQUE PONCE DE LEÓN YÁÑEZ BÁRBARA ELIZABETH QUILA MIRANDA Se autoriza la reproducción parcial o total de esta obra, con fines académicos, por cualquier forma, medio o procedimiento, siempre y cuando se incluya la cita bibliográfica del documento

DISEÑO DE UNA PROPUESTA METODOLÓGICA DEL ESTUDIO DE MATEMATICA EN LA ENSEÑANZA MEDIA UTILIZANDO UN PROCESADOR SIMBÓLICO. ! ELIZABETH JEANNETTE BARRA VILLALOBOS DANIEL ENRIQUE PONCE DE LEÓN YÁÑEZ BÁRBARA ELIZABETH QUILA MIRANDA

Este trabajo de Graduación fue elaborado bajo la supervisión del profesor guía Sr. Máximo González Sasso del Departamento de Matemática y Ciencia de la Computación y ha sido aprobado por los miembros de la comisión Calificadora, Sr. Juan Manuel Guajardo Rubilar y Sra. Gloria Verónica Peters Valencia.

_____________________________ Sra. Gloria Verónica Peters Valencia Profesora Correctora

_____________________________ Sr. Juan Manuel Guajardo Rubilar Profesor Corrector

__________________________ Sr. Bernardo Carrasco Puentes Director (s)

_______________________ Sr. Máximo González Sasso Profesor Guía

AGRADECIMIENTOS Dedicado a mis padres y hermanos, quienes han aportado con su inmensa paciencia y amor para que esta etapa llegue a su fin, apoyándome siempre en los momentos difíciles y celebrando cada triunfo conseguido. Gracias por el enorme sacrificio que han realizado durante muchos años en pos de mi educación, enseñándome desde el momento mismo de nacer hasta el día de hoy, aportando directamente a mi crecimiento como persona. . A la familia y amigos, preocupados siempre de mi progreso, entregando a cada instante aliento necesario para llevar a cabo este enorme desafío. A los profesores que contribuyeron a mi formación, entregando las herramientas que me permitirán enfrentar los nuevos desafíos que trae esta nueva etapa. Y a las personas maravillosas que conocí en este camino con quienes compartí muchas experiencias que fortalecen el desarrollo profesional Muchas Gracias Elizabeth Barra Villalobos

AGRADECIMIENTOS Veinte años de estudios que finalizan, los cuales sin la ayuda y apoyo de muchos y muchas esto no hubiera sido posible, en estas pequeñas palabras expreso mi gratitud a tan enorme tarea. A toda mi familia, a mis padres y mi mama por esforzarse en muchos sentidos para que tuviera la mejor educación, pero además por su apoyo constante, cariño y por sobre todo la confianza que depositaron en mí, este triunfo es de ellos también. A mis hermanos por la ayuda recibida durante todos estos años, desde enseñarme a leer, hasta simplemente comprenderme. A todos los profesores que dedicaron su tiempo para entregarme los conocimientos y consejos para poder desenvolverme. Seguramente serán el ejemplo que tendré en muchos momentos. A mis amigos y compañeros que han pasado por mi vida, por sus palabras de apoyo en momentos buenos y sobretodo en los malos. Simplemente a cualquier persona que al enterarse de esto, que no haya nombrado pero que sonría por mí. Muchas gracias.

Daniel Ponce de León Yáñez

AGRADECIMIENTOS “Yo sé que mi Redentor vive, y al fin se levantará sobre el polvo”. Job 19:25 Con todo cariño dedico este trabajo de titulación a mi familia: mi mamá, mi papá, mis hermanos, mis abuelas, quienes siempre me apoyaron, no tan sólo en esta etapa, sino también en todos los años de estudio de la carrera y de enseñanza escolar; mis papas me enseñaron a leer, siempre me decían que tenía que hacer las tareas, me iban a dejar al bus en la mañana, gracias a ellos pude surgir y seguir mis estudios. A mi familia le debo estar hoy en estas instancias, en especial a Dios, que me

da entendimiento, fuerzas y vida, para ser un aporte en la sociedad educacional. A profesores y amigos, gracias por sus consejos en toda la carrera y también quienes hicieron posible esta tesis. Bárbara Quila Miranda

Tabla de Contenido

Resumen………………………………………………………………………1 Abstracts……………………………………………………………………….2 Introducción………………………………………………………………….. 3 1. Cambio concepción del aprendizaje escolar 1.1.- Escuela tradicional hacia la enseñanza Constructivista……………………………………… 6 1.2.- Aprendizaje de la Matemática………………………………….. 9 1.3.- Facilitar el aprendizaje de la Matemática………………………11 1.4.- Utilización de T.I.C.s…………………………………………….. 12 1.5.- Procesador Simbólico…………………………………………… 14 2. Aprendizaje en el curriculum nacional 2.1.- Decreto 220………………………………………………………. 15 2.2.- Mapa de progreso……………………………………………….. 18 3. Metodología 3.1.- Presentación de la Encuesta………………………………….. 22 3.2.- Datos de los Colegios encuestados………………………….. 23 3.3.- Escalas de apreciación…………………………………………. 24 3.3.1.- Las Nuevas Tecnologías y su Globalización……….. 25 3.3.2.- Mi Relación con la Tecnología………………………… 29 3.3.3.- El uso de las NTIC´s en la escuela…………………… 37 3.4.- Preguntas……………………………………………………….. 44

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4. Diseño Curricular de propuesta didáctica de la enseñanza en el ámbito de la selección temática. 4.1.- Consideraciones Generales de la propuesta didáctica………48 4.2.- Diseño Curricular de La Primera Unidad a tratar Función Cuadrática…………………………………………………… 50 4.3.- Diseño Curricular de La Segunda Unidad a tratar Función Exponencial…………………………………………………. 73 4.4.- Diseño Curricular de La Tercera Unidad a tratar Función Logarítmica………………………………………………….. 91 5. Propuesta de Actividades en Maple 9. 5.1.- Consideraciones Generales…………………………………… 110 5.2.- Función Cuadrática correspondiente a Tercer Año de Enseñanza Media…………………………………… 111 5.3.- Función Exponencial correspondiente a Cuarto Año de Enseñanza Media…………………………………… 137 5.4.- Función Logarítmica correspondiente a Cuarto Año de Enseñanza Media…………………………………… 174 Conclusión……………………………………………………………………. 197 Bibliografía…………………………………………………………………….203 Bibliografía en línea…………………………………………………………..205 Anexo 1.- Encuesta…………………………………………………………. 206 Anexo 2.- Glosario……………………………………………………………211

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ÌNDICE DE TABLAS Cuadro 1. Propuesta de actividades para el estudio de las

características de la función cuadrática…………………….. 57

Cuadro 2. Propuesta de actividades para el estudio del vértice y extremos de la función cuadrática……………….. 62 Cuadro 3. Propuesta de actividades para el análisis de la traslación en la función cuadrática…………………………………. 66 Cuadro 4. Propuesta de actividades para el análisis del discriminante de la ecuación cuadrática y su relación con la función cuadrática…………………………………………71 Cuadro 5. Propuesta de actividades para el estudio de las características de la función exponencial…………………………………………………………………….80 Cuadro 6. Propuesta de actividades para el estudio de las propiedades de la función exponencial y el Número e………………..83 Cuadro 7. Propuesta de actividades para el estudio del sistema de ecuaciones exponenciales……………………………….. .87 Cuadro 8. Propuesta de aplicaciones para la función exponencial……………………………………………………… .90 Cuadro 9. Propuesta de actividades para el estudio de las características de la Función Logaritmo……………………………………………………………………… 99 Cuadro 10. Propuesta de actividades para el estudio de las propiedades de la Función Logaritmo…………………………….. 102 Cuadro11. Propuesta de actividades para la resolución de las ecuaciones e inecuaciones que involucren logaritmos…………….. 105 Cuadro 12. Propuesta de actividades de aplicación de la función logaritmo……………………………………………………… 108 iii

Cuadro 13. Tabla comparativa de la función exponencial……………… 148 Cuadro 14. Cantidad de masa de una sustancia radiactiva……………. 165 Cuadro 15. Cantidad de masa de una sustancia radiactiva……………. 166 Cuadro 16. Depósito en el interés compuesto…………………………… 168 Cuadro17. Depósito en el interés compuesto……………………………. 171 Cuadro 18. Tabla comparativa de la función logarítmica……………….. 190

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Índice de Ilustraciones Figura 1. Tecnología como herramienta de desarrollo…………………. 25 Figura 2. El uso de tecnologías genera cambios……………………….. 25 Figura 3. La implementación de TIC´s mejora calidad de vida………… 26 Figura 4. Las clases siguen el enfoque tradicional…………………….. 26 Figura 5. Nuevas exigencias impuestas por el uso de TIC´s………….. 27 Figura 6. Mayor conectividad gracia a la tecnología……………………. 27 Figura 7. Adquisición de nuevas competencias………………………… 28 Figura 8. Acceso a la información………………………………………… 28 Figura 9. La tecnología genera independencia…………………………. 29 Figura 10. Visión personal sobre el uso de tecnologías………………… 30 Figura 11. Utilización de TIC´s para la adquisición de conocimientos……………………………………………… 31 Figura 12. Percepción sobre el uso de tecnología en el quehacer cotidiano………………………………………………………….. 31 Figura 13. Dificultad en el aprendizaje de las TIC´s…………………….. 32 Figura 14. Confianza en el uso de las TIC´s………………………………32 Figura 15. Seguridad al usar aparatos tecnológicos…………………… 33 Figura 16. Necesidad de usar la tecnología……………………………… 34 Figura 17. Brecha social y la tecnología…………………………………. 35 Figura 18. Necesidad de usar la tecnología……………………………… 36 Figura 19. Adquisición de tecnologías en las escuelas…………………. 37 Figura 20. Contribución del uso de las TIC´s en el proceso de enseñanza y aprendizaje…………………………………….. 37 Figura 21. Capacitación docente en el área de TIC´s…………………… 38 Figura 22. La escuela disminuye la brecha digital………………………. 39 v

Figura 23. Cambios métodos de enseñanza a partir de la incorporación de TIC´s al aula……………………………… 40 Figura 24. Existencia de recursos TIC´s en el aula…………………….. 41 Figura 25. Incorporación de TIC´s en el proceso de aprendizaje……… 41 Figura 26. Motivación docente se refleja en la innovación de las clases…………………………………………………… 42 Figura 27. Disposición de incluir recursos TIC´s en el aula por parte de los y las docentes……………………………………………..43 Figura 28. Mapa Conceptual Función Cuadrática………………………. 54 Figura 29. Mapa conceptual Función Exponencial……………………… 77 Figura 30. Mapa conceptual Función Logaritmo…………………………. 95 Figura 31. Trayectoria haz de luz de una bengala………………………. 112 Figura 32. Función f(x)=x2………………………………………………….. 114 Figura 33. Función f(x)=x2+2x+3……………………………………………118 Figura 34. Función f(x)=-4x2+7x+6………………………………………… 119 Figura 35. Monotonía de la función f(x)=x2+2x…………………………… 121 Figura 36. Traslación de la función f(x)=x2……………………………….. 125 Figura 37. Animación de la traslación horizontal de la función f(x)=x2………………………………………………127 Figura 38. Animación de la traslación vertical de la función f(x)=x2…………………………………………………128 Figura 39. Animación de la traslación vertical de la función f(x)=x2…………………………………………………129 Figura 40. El ave se sumerge en el mar y sale nuevamente………….. 131 Figura 41. El ave toca en un punto el mar…………………………………132 Figura 42. El ave no se sumerge en el mar………………………………..133 Figura 43. Discriminante menor que cero………………………………….135 Figura 44. “El ajedrez y los granos de trigo”……………………………….139 Figura 45.Función Exponencial en puntos……………………………….. 140 vi

Figura 46. Base mayor que 1………………………………………………..141 Figura 47. Base mayor que 1………………………………………………. 141 Figura 48. Base entre 0 y 1………………………………………………….143 Figura 49. Base entre 0 y 1………………………………………………….143 Figura 50. Función Exponencial con base mayor que 1………………… 145 Figura 51. Función Exponencial con base entre 0 y 1……………………147 Figura 52. Reciprocidad de la Función Exponencial…………………….. 149 Figura 53. Corte de la Función Exponencial en el eje de las Ordenadas……………………………………………………………. 150 Figura 54. Asíntota……………………………………………………………152 Figura 55. Conclusión de la reciprocidad de la función Exponencial…………………………………………………………………. 153 Figura 56. Conclusión del corte de la función exponencial en el eje de las ordenadas…………………………………………………..154 Figura 57. Conclusión de la asíntota de la función exponencial……….. 155 Figura 58.Función Exponencial ex………………………………………… 158 Figura 59. Masa en función del tiempo………………………………….. 167 Figura 60. Interés en función del tiempo………………………………….. 171 Figura 61. Bacterias en función del tiempo………………………………. 173 Figura 62. Cuadrados de los primeros números naturales…………….. 176 Figura 63.Pares que se pueden escribir como expresión exponencial………………………………………………. 177 Figura 64Curvas para base 2, 3 ,4 y 5……………………………………..179 Figura 65.Función acotada a [2,3]…………………………………………. 181 Figura 66. Acotación de función al punto y=17………………………….. 181 Figura 67.Curva de función logaritmo……………………………………...183 Figura 68.Curva de función logaritmo cuya base está comprendida entre 0 y 1…………………………………………184

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Figura 69.Curva de función logaritmo en que base es mayor que 1…………………………………………………………185 Figura 70.Función logaritmo (Ejercicio)…………………………………… 186 Figura 71.Función logaritmo (Ejercicio)…………………………………… 187 Figura 72. Función logaritmo (Ejercicio)………………………………….. 188 Figura 73. Función logaritmo v/s Función Exponencial…………………. 190 Figura 74. Función logaritmo ponderada…………………………………. 192 Figura 75. Función logaritmo más una constante..……………………….193

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RESUMEN Este seminario presenta una propuesta metodológica del estudio específico de unidades correspondiente al estudio de funciones, utilizando el procesador simbólico Maple en su versión 9. El proceso de enseñanza-aprendizaje tiene que responder a los constantes cambios en nuestra sociedad, y en el mundo actual, es necesaria su adaptación a las TIC’s, como herramienta facilitadora del aprendizaje, en este caso, matemático. En base al Marco Curricular vigente este seminario entrega una propuesta en específico de los niveles Tercero y Cuarto año de Enseñanza Media para el subsector de Matemática, con una metodología cualitativa considerando como referencia inicial las características presentes dentro del sistema escolar chileno. En base a lo anterior, este seminario, como validación adjunta una encuesta realizada a una variedad de profesores para detectar falencias u otras características, relacionada con el uso de TIC’s en su labor docente. El diseño de esta Propuesta Metodológica consiste en tres unidades especificas (función cuadrática, exponencial, y logarítmica) con un diseño curricular y un marco referencial de los procesos de enseñanza aprendizaje clase a clase, además de una variedad de actividades utilizando el software.

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ABSTRACT The teaching-learning process has to respond to the constant changes in our society and in today's world, it is necessary to adapt ICTs as a of facilitator learning tool. This seminar presents a methodological proposal based on the Third and Fourth secondary of the current Curriculum for the Mathematics subject, using the symbolic processor Maple 9. The design of this proposed method has to do with three specific units (quadratic, exponential, and logarithmic) with a curriculum desing and a framework of teaching-learning processes class to class, besides a variety of activities using the software. Keywords: Maple 9, proposal, math, symbolic processor.

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INTRODUCCIÓN El proceso de enseñanza-aprendizaje ha sido objeto de investigación por parte de los educadores, generando así diversas teorías, pasando de la escuela tradicional hasta las corrientes pedagógicas contemporáneas, las que buscan responder a las nuevas necesidades presentes en la sociedad y el nuevo mundo. Los conceptos de mundialización y globalización se han hecho presentes en la actual sociedad chilena debido a las relaciones bilaterales que se han iniciado con diversas naciones, como son los Tratados de Libre Comercio, y con ello, llegan a Chile nuevas visiones y paradigmas que afectan culturalmente nuestra sociedad, además de las nuevas tecnologías, y por ende, oportunidades de crecimiento y desarrollo, lo que se traduce en un cambio en todo tipo de organizaciones. La escuela no puede excluirse de este cambio, puesto que es el principal lugar donde se transmite información, y la influencia de la globalización radica en la cultura, las nuevas tecnologías y el rápido acceso a la información, por lo que la escuela debe considerar estas variables dentro de la práctica docente. Es por este motivo que se define como objetivo diseñar una propuesta metodológica del estudio matemático para la Enseñanza Media utilizando un procesador simbólico.

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Para cumplir con el objetivo, consideraremos a estudiantes y docentes que ya conocen las propiedades del procesador a nivel usuario, es decir, que han trabajado anteriormente con dicha herramienta, además el establecimiento cuenta con la licencia para trabajar y por ello, su laboratorio de computación tiene los equipos con el procesador incluido. Se ha dividido el trabajo en cinco capítulos, en el primero se analizan los cambios que han surgido en la concepción del aprendizaje escolar y cómo se incorporan herramientas que facilitan el proceso formativo de los estudiantes; y se añade un historial del procesador simbólico. Seguido de ello, en el capítulo dos, se describirá el Marco Curricular que rige la educación en Chile, entiéndase Decreto 220 y los nuevos Mapas de Progreso, donde se relacionan los Contenidos Mínimos Obligatorios y los Objetivos Fundamentales con las actividades propuestas, además de identificar los aprendizajes esperados presentes en la matriz curricular, y por último reconocer los criterios presentes en los Mapas de Progreso, los cuales facilitan la evaluación de los aprendizajes que obtienen los estudiantes al desarrollar las actividades propuestas. En el tercer capítulo, se trabaja con una metodología cualitativa que permite conocer las opiniones y la relación de los(as) docentes del subsector de matemática con respecto a la utilización de las TIC´s en el aula, como la influencia que ésta tiene en la sociedad actual, para esto se diseñó una encuesta, la que recoge la información antes señalada, a través de tres escalas de apreciación y algunas preguntas de desarrollo, dejando como variable a considerar en este instrumento la edad de los(as) participantes.

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En el cuarto capítulo, se diseñará una propuesta de actividades para que los y las docentes utilicen en sus respectivas clases, las cuales contarán con las planificaciones para tres unidades, que son: Función Cuadrática, Función Exponencial y Función Logarítmica, además de un Marco Referencial del Proceso de Enseñanza Aprendizaje para cada clase. Por otra parte, en el capítulo quinto se muestra la propuesta de actividad para que sea aplicada en una clase utilizando el procesador simbólico. Finalmente, se describen las conclusiones obtenidas al realizar las actividades y analizar la coherencia y pertinencias de éstas con el Marco Curricular.

Se identifican las ventajas y desventajas de la utilización de

herramientas que faciliten el aprendizaje matemático, específicamente el uso de procesadores simbólicos. Se invita a los lectores, especialmente a los docentes a incorporar TIC´s a la práctica pedagógica para la formación

de los

estudiantes y así desarrollar competencias que son necesarias para su participación activa en la sociedad actual y considerar la incorporación de procesadores simbólicos y/o software educativos dentro de la formación del futuro docente. Por otro lado, debemos reconocer primero que los jóvenes están estimulados desde temprana edad por el uso de las tecnologías, ya que en todos los hogares existen televisores, computadores, videos juegos, etc., luego ellos requieren de nuevas estrategias en cuanto a la enseñanza que deben emplear los docentes para generar aprendizajes significativos y para la vida, es decir que puedan utilizar en su vida cotidiana.

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Capítulo 1: Cambio de la concepción del aprendizaje escolar 1.1.- Escuela Tradicional hasta la Enseñanza Constructivista. A partir de la enseñanza tradicional en los colegios, se han construido diversas metodologías de enseñanza-aprendizaje en el aula, gracias a investigaciones y estudios con varios autores, ya que se busca avanzar en la construcción de un nuevo Modelo o Método Pedagógico, centrado en la edificación de conocimientos destinados al alumno(a). a) Teorías Conductuales del Aprendizaje Enfoque Tradicional: Teoría Conductual y Humanista. Tradicional se entiende como el método para disciplinar la mente. Entre los años 1960 y 1980 aparece la psicología educacional, en la cual existen dos corrientes: Conductivismo y Humanista. En la Teoría Conductista se enfatiza el aprendizaje como un cambio en la conducta. A nivel educativo implica el énfasis en los resultados y no en el proceso.

Es lineal, simplista, no sirve para esta época, ni para resolver

problemas de aprendizaje actual. En la Teoría Humanista se valora el papel de la experiencia como fuente de aprendizaje, es decir, es un proceso de integración de la experiencia personal en el aprendizaje, a partir de la reflexión. La teoría conductual aparece con estudios que se realizaron con animales, con el psicólogo Pavlov, años más tarde, 1960, otros psicólogos

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empezaron a aplicar técnicas conductuales en clínicas y centros educacionales, y también se realizaron experimentos sobre la conducta observable. Principios del Conductismo: 1.- La conducta está manejada por leyes. 2.- La conducta es un fenómeno observable. 3.- Las conductas adaptativas son adquiridas a través del aprendizaje. 4.- Las metas conductuales han de ser concretas e individualizadas. En suma, la teoría conductual se define como un cambio permanente en el comportamiento del ser humano. En el año 1960, se presenta la Teoría de aprendizaje, que trae consigo dos corrientes pedagógicas: Corriente Tecnológica y Corriente Personalizada, que tenían como base la teoría Humanista. A partir de los años 1990, se avanza hacia otra perspectiva: el aprendizaje por reestructuración. b) Teorías Constructivistas del Aprendizaje Desde 1970, se comenzó a cambiar la disposición de la psicología hacia una orientación cognitivista.

Más enfocado al funcionamiento de

procesos mentales y en los aspectos cognitivos, sociales y afectivos del comportamiento humano. Así nació la teoría constructivista que, está orientada a estudiar los procesos de pensamiento, percepción, memoria, atención, razonamiento que tiene el ser humano. Esto ayudó a estudiar no tan solo la conducta humana, sino que también cómo procesa la información el ser humano; porque hubo un cambio en la estructura cognitiva.

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Se pueden diferenciar diversos modelos dentro de la teoría constructivista: a.- Teoría Cognitivista b.- Aprendizaje Significativo c.- Teoría Cognitivo – Social del Aprendizaje Teoría Cognitivista: Jean Piaget afirma que el conocimiento no se adquiere solamente socializando, sino que también el conocimiento se genera en una construcción mental que realiza el individuo, a partir del funcionamiento de procesos de asimilación, acomodación y equilibración.

Es decir, el

aprendizaje se produce en el individuo, cuando se promueve un desequilibrio entre asimilación y acomodación; cuando ingresa la información se produce un desequilibrio en el ser humano (asimilación), porque la asimilación de nueva información está modificando y transformando las estructuras mentales (acomodación); luego se ingresa a la etapa de equilibrio, en donde el sujeto ya aprendió la nueva información y existe un equilibrio entre asimilación y acomodación. Aprendizaje Significativo: Gracias al autor D. Ausubel. La teoría constructivista está centrada en la persona, según Ausubel los aprendizajes o experiencias previas deben ir ligadas a los contenidos nuevos, para que se genere la construcción de aprendizaje, mediante el Aprendizaje Significativo, es decir, que para el individuo el aprendizaje es significativo cuando puede enlazar sus ideas previas con las nuevas, que es totalmente distinto al aprendizaje memorístico, en el cual no se integra la comprensión, sino que utiliza la memorización.

Tipos

de

Aprendizaje

Significativo:

Aprendizaje

Representacional, Aprendizaje de Conceptos y Aprendizaje Proposicional.

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Teoría Cognitivo – Social del Aprendizaje: Con la ayuda del psicólogo L. S. Vygotsky que, planteó la relación entre aprendizaje y desarrollo, considerando que éstos intervienen mutuamente, se acuña el concepto de: Zona de Desarrollo Próximo. La Zona de Desarrollo Próximo es la distancia que existe entre el nivel real de desarrollo, determinado por la capacidad que tiene el individuo de actuar sólo, y el nivel de desarrollo potencial, determinado por la capacidad de actuar bajo supervisión.

1.2.- Aprendizaje de la Matemática. En las aulas lo que se requiere es entregar educación de calidad, para esto recurrimos al constructivismo, y así trabajar con los alumnos(as) para desarrollar habilidades de aprendizaje significativas y construir conocimientos necesarios en la sociedad actual. Este trabajo está enfocado a crear actividades matemáticas, las que vamos a enfocar en el ámbito de la enseñanza constructivista en el área misma de la matemática. La matemática juega un rol importante, en el desarrollo del alumno(a), no sólo en el aula, sino también en la vida del ser humano ya que siempre ha estado ligada a la matemática; se ha utilizado desde tiempos antiguos en los gobiernos como sistema de contabilización, en censos, para resolver problemas de la vida diaria, en el manejo de información. Tal como dice Travels (1991): “Las competencias matemáticas son un requisito esencial en la preparación de la vida del ser humano”, para desenvolverse de manera integrada en la sociedad, desarrollar el pensamiento lógico, la adquisición de estrategias cognitivas y destrezas intelectuales.

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Revisemos algunas implicancias constructivistas en el área de las matemáticas, es decir, las bases del constructivismo:

•

El conocimiento matemático es construido, a través de un proceso

de abstracción reflexiva. •

Existen estructuras cognitivas que se activan en los procesos de

construcción. •

Las estructuras cognitivas están en desarrollo continuo.

La

actividad con propósito induce la transformación de las estructuras existentes1. El aprendizaje de la Matemática en las aulas, lleva a que el o la estudiante aplique conocimientos previos y nuevos en diferentes retos o problemas, y que también logre asociarlos con situaciones cotidianas, cercanas a su entorno, para hacer más fácil la incorporación del aprendizaje, ya que “El curriculum de Matemática tiene como propósito que los alumnos y alumnas adquieran los conocimientos básicos de la disciplina, a la vez que desarrollen el pensamiento lógico, la capacidad de deducción, la precisión, las capacidades para formular y resolver problemas y las habilidades necesarias para modelar situaciones o fenómenos”2 para mejorar el uso de conceptos matemáticos y comprender fenómenos.

1 2

Kilpatrick, Gómez y Rico (1995) Mapas de Progreso de Aprendizaje de Matemáticas, Gobierno de Educación.

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1.3.- Facilitar el Aprendizaje de la Matemática Para facilitar el aprendizaje, el o la docente debe ser un ente activo, en búsqueda de nuevos ejercicios y problemas, debe realizar una clase interesante para sus alumnos(as), ya que la manera de enseñar está cambiando, ahora el profesor que desarrolla competencias en los estudiantes, trabaja con ellos, no le entrega el material listo sino que promueve que el o la estudiante construya su conocimiento, indague, investigue, etc. Para crear una clase hoy, con el fin de que el alumno desarrolle competencias y habilidades de aprendizaje, se requiere más que una clase en la cual el docente expone los contenidos y da instrucciones, sino también que genere actividades que incorporen nuevas técnicas de aprendizaje, y añadir las llamadas T.I.C.: Tecnologías de Información y Comunicación a la enseñanza de la matemática. En la actualidad, los(as) docentes de matemáticas tienen a disposición herramientas, con las cuales pueden realizar sus clases de forma dinámica, interesante para los y las estudiantes, con tal de facilitar un aprendizaje significativo, trabajando con guías construidas por el profesor, ayudándose con los textos de estudio y con los planes y programas, utilizando recursos tecnológicos como: video, computador, internet, plataformas de moodle en Internet, entre otros.

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1.4.- Utilización de las T.I.C.s. Cada vez los y las alumnos (as) llevan a sus colegios aparatos tecnológicos más avanzados, con las últimas versiones, incorporándolos a su vida.

También los colegios insertan estas tecnologías con uso educativo.

Entonces la práctica pedagógica debe cambiar en torno a los avances tecnológicos que surgen en el mundo, creando ambientes de aprendizaje más atractivos, más relacionados a los que viven los(as) estudiantes, para generar construcción del conocimiento en el alumno, con aprendizajes activos, autónomos y colaborativos. Pero al hacer uso de estas tecnologías, el docente debe poseer las siguientes competencias esenciales para el uso efectivo de las TIC como herramientas de aprendizaje:

•

Competencias Pedagógicas: que le permitan asumir el proceso de

enseñanza – aprendizaje, de forma continua, sistemática y organizada.

•

Colaboración y trabajo en red: el profesor facilita la colaboración y

el trabajo en red, entre comunidades locales y mundiales.

•

Aspectos sociales: planifica y promueve un uso adecuado y

seguro de las TIC.

•

Aspectos Técnicos: selecciona los recursos tecnológicos más

adecuados para trabajar en clases.

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Así las TIC son utilizadas “como herramientas de apoyo al aprender; como medios de construcción que facilitan la integración entre lo conocido y lo nuevo; como extensoras y amplificadoras de la mente, para expandir las potencialidades del procesamiento cognitivo y facilita la construcción de aprendizajes significativos; como herramientas que participan en un conjunto metodológico orquestado, con mapas conceptuales, proyectos, trabajo colaborativo”.3 El uso de las TIC tiene como objetivos que los estudiantes desarrollen competencias, mejoren las habilidades de investigación, sea una verdadera ayuda en la sala de clases, y que logren aprovechar las ventajas que trae consigo el uso de estas.

Pero se deben establecer criterios sobre su uso

adecuado, saber cuáles ocupar.

Existen distintos tipos de procesadores,

software para distintos ámbitos de la enseñanza.

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Propuesta Pedagógica Basada en el Constructivismo para el uso óptimo de las TIC en la Enseñanza y el Aprendizaje de la Matemática”, Sandra Castillo.

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1.5.- Procesador Simbólico. Para realizar este trabajo utilizamos un Procesador Simbólico. Maple 9 es una herramienta matemática, que realiza en forma electrónica: cálculos, texto, gráficos, imágenes, etc. Maple 9 se originó en 1981, por el Grupo de Cálculo Simbólico en la Universidad de Waterloo, en Waterloo, Ontario, Canadá. La nominación de su nombre se debe a que, Maple nació en Canadá, y en la bandera de Canadá hay una hoja de arce, que en inglés se escribe Maple. Hasta el momento existen 28 versiones de Maple, llegando a la versión Maple 13. Se continúa trabajando en nuevas versiones. El procesador Maple realiza cálculos que, van desde operaciones básicas a cálculos de límites, derivadas e integrales en una y varias variables, también realiza gráficos, animaciones, soluciona sistemas de ecuaciones, agrupa términos polinomiales, simplifica, desarrolla términos en serie, etc. Hay que tener en cuenta que Maple es un procesador, como todos, sensible, es decir, cuando se quiere ejecutar alguna operación, las indicaciones deben ser precisas y sin errores de escritura. Este procesador es útil también en el ámbito educacional, permitiendo que los usuarios exploren y resuelvan problemas matemáticos, con mayor comprensión.

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Capítulo 2: Aprendizaje en el Currículo Nacional 2.1.- Decreto 220 En el año 1998, se firma un decreto en el que se establecen claramente los Objetivos Fundamentales (OF) y Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO) tanto para la Educación General Básica como para la Educación Media, lo que corresponde a lo mínimo que deben estudiar los alumnos y alumnas chilenos, y así trabajar el problema de la equidad de la educación. Se

entiende por Objetivos Fundamentales4, a las habilidades y

capacidades que los estudiantes deben lograr al finalizar cada año escolar y constituyen el fin “que orienta al conjunto del proceso de enseñanza – aprendizaje” (decreto 220,capitulo 1). Se distinguen dos tipos de objetivos: los Objetivos Fundamentales Verticales (OFV) y los Objetivos Fundamentales Transversales (OFT). Los primeros están relacionados directamente a los niveles, demanda del aprendizaje y experiencias de cada sector y sub-sector curricular de la Enseñanza Media. Además, dentro de los Objetivos Fundamentales Verticales es necesario distinguir a los Objetivos Terminales, que corresponden a los aprendizajes que los(as) alumnos(as) logran al finalizar los cuatro años de escolaridad en Enseñanza Media, (pero que en el marco curricular sólo se establecen para la Educación Técnico-Profesional). Los OFT, se relacionan con el área formativa de los estudiantes y son de

4

carácter

general

y

comprensivo.

Estos

objetivos

incluyen

MINEDUC. Programa de Estudio, Cuarto Año Medio, Sector Matemáticas. Curriculum y Evaluación. Chile: Santiago.

cuatro

Unidad de

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dimensiones, que son: Crecimiento y Autoafirmación Personal, Desarrollo del Pensamiento, Formación Ética, Persona y Entorno. Los Contenidos Mínimos Obligatorios corresponden “al conjunto de saberes conceptuales y capacidades de desempeño práctico”, que incluyen tanto el conocimiento como las aplicaciones prácticas, para cada sector y subsector, además están presentes el conocimiento, las habilidades y las actitudes que son necesarias que los(as) alumnos(as) logren durante el tiempo que pertenecen al sistema escolar. Otra característica importante de este Marco Curricular es la flexibilidad que posee, ya que permite que los establecimientos diseñen sus propios planes y programas de estudio, los cuales son presentados al Ministerio de Educación para su posible autorización, donde se detallan los objetivos, contenidos, actividades y evaluación que tienen como propósito articular las experiencias de aprendizajes y ayudar al profesor a desarrollar una práctica docente que genere significado a los contenidos. En otro punto, el Marco Curricular se convierte en una herramienta útil para los docentes y su práctica en aula, por el desglose de los contenidos que se deben trabajar con los estudiantes. Es por esto que en el proceso de planificación de unidades y/o clases, los profesores deben contextualizar los objetivos, contenidos, evaluaciones y actividades a la realidad presente en cada sala de clase, y tiene la posibilidad de agregar nuevas herramientas que permitan realizar el proceso de enseñanza aprendizaje significativamente tanto para los estudiantes como para el docente. A partir de este punto, podemos relacionar el Marco Curricular a las actividades propuestas en este trabajo, que se basa en el estudio de funciones como: Cuadráticas, Exponenciales y Logarítmicas. 16

Se aprecia que existen distintos niveles, en este caso se trabaja para 3º y 4º año de Enseñanza Media, para ambos niveles establecemos que los Objetivos Fundamentales Transversales están relacionados con el ámbito del Desarrollo el Pensamiento, los contenidos están dirigidos a las habilidades referidas del pensamiento lógico y generalización, lo primero viene dado con las actividades

que

buscan

lograr

aprendizajes

a

través

de

algoritmos,

procedimientos rutinarios, aplicar leyes y principios. En el caso de la generalización, se propone que los estudiantes utilizando un procesador simbólico

puedan

comportamientos

observar

ciertos

característicos

de

patrones cada

que

función,

permitan

modelar

relacionarlas

con

conocimientos que ya poseen o bien con otras disciplinas y poder así, obtener sus propias conclusiones, además de

aplicaciones que buscan explicar

fenómenos presentes en la vida cotidiana.

17

2.2.- Mapas de Progreso del Aprendizaje El currículo que rige la educación chilena establece que los alumnos y alumnas logren el aprendizaje de los conocimientos matemáticos específicos y la adquisición de habilidades que permitan enfrentar los nuevos requerimientos de la sociedad moderna, desarrollar el pensamiento lógico, la capacidad de deducción, resolver problemas, modelar situaciones y fenómenos. Actualmente

se ha diseñado un documento llamado “Mapas de

Progreso del Aprendizaje”5, el donde se detallan las secuencias en las cuales se debe desarrollar cada dominio o área que son fundamentales en la formación de los estudiantes para cada sector curricular. Los mapas de progreso constituyen un complemento al Marco Curricular ya presente en el sistema educativo nacional, y pretende relacionar el currículo con las evaluaciones, en otras palabras, entrega a los docentes, orientaciones sobre los temas que son pertinentes evaluar además de los criterios que permiten observar y cualificar el proceso de aprendizaje de los estudiantes para determinar su progreso. Los Mapas de Progreso de Aprendizaje consisten en 7 niveles desde 1º Básico hasta 4º Medio (con excepción de inglés que cuenta con 5 niveles)6, en los cuales se detallan los aprendizajes que deben obtener los estudiantes al término de cada año escolar, por ejemplo en el nivel 1, están descritos los aprendizajes que se esperan desarrollar en niñas y niños al final del 2º Básico, y por otra parte, el nivel 7 comprende los aprendizajes para los estudiantes que egresen.

5

MINEDUC. Unidad Curriculum. Mapas de Progreso del Aprendizaje. Sector Matemáticas. Chile: Santiago. 6 Idem.

18

Además, los aprendizajes en matemática se organizan en cuatro Mapas de Progreso, que son:

•

Geometría7:

describe

el

progreso

de

las

competencias

relacionadas con la comprensión, medición y modelamiento de las formas, transformaciones, la posición y el espacio.

•

Números y Operaciones8: describe el desarrollo del concepto de

cantidad y de número y la competencia en el uso de técnicas mentales y escritas para calcular y resolver problemas que involucran distintos tipos de números. •

Datos y Azar9: describe el progreso de las habilidades para

organizar y representar información disponible, para describir y analizar situaciones, hacer interpretaciones de sucesos en los que interviene el azar y la incertidumbre

•

Algebra10, describe el progreso de la capacidad para utilizar

símbolos en la representación de generalidades y el modelamiento de situaciones y fenómenos así como también el desarrollo de la argumentación matemática.

7

MINEDUC. Unidad Curriculum. Mapas de Progreso del Aprendizaje: Geometría, Sector Matemáticas. Chile: Santiago. 8 MINEDUC. Unidad Curriculum. Mapas de Progreso del Aprendizaje: Números y Operaciones, Sector Matemáticas. Chile: Santiago. 9 MINEDUC. Unidad Curriculum. Mapas de Progreso del Aprendizaje: Datos y Azar. Matemáticas. Chile: Santiago.Santiago 10 MINEDUC. Unidad Curriculum. Mapas de Progreso del Aprendizaje: Algebra, Sector Matemáticas. Chile: Santiago.

19

Los cuatros mapas de progreso, constituyen el complemento al currículo de matemática para los escolares chilenos, para efectos de este trabajo detendremos el análisis en el Mapa de Progreso de Álgebra, puesto que las actividades propuestas se basan en el lenguaje simbólico y en la explicación de algunos fenómenos simples a partir del estudio de funciones. Existen tres dimensiones en las cuales se puede evaluar el aprendizaje que se relacionan entre sí, además de estar presentes en los mapas de progreso anteriormente descritos. Estas son:

•

Comprensión y uso del lenguaje algebraico11: Esta dimensión

hace referencia al desarrollo de las habilidades que permitan interpretar el significado de las expresiones algebraicas, utilizando las convenciones del algebra, representarlas de diversas maneras y usarlas en la designación de números, variables, constantes u otros objetos matemáticos.

•

Comprensión y uso de relaciones algebraicas12: Se refiere a la

habilidad para establecer relaciones entre expresiones simbólicas mediante igualdades, ecuaciones, inecuaciones o funciones y a la capacidad para aplicar las reglas y procedimientos que permitan transformarlas en expresiones equivalentes.

11

Mineduc. Unidad de Curriculum. Mapas de Progreso del Aprendizaje: Algebra, Sector Matemáticas. Chile: Santiago 12 Idem

20

•

Razonamiento Matemático13: Involucra habilidades relacionadas

con el reconocimiento y descripción de regularidades, el modelamiento de situaciones o fenómenos y la argumentación matemática. Las habilidades antes descritas se encuentran distribuidas en cada mapa, y a su vez en cada nivel de aprendizaje; entregando a los y las docentes ejemplos de tareas que desarrollan los y las estudiantes, considerando también tipos de evaluaciones que permitan apreciar el proceso de aprendizaje.

13

Mineduc. Unidad de Curriculum. Mapas de Progreso del Aprendizaje: Algebra, Sector Matemáticas. Chile: Santiago

21

Capítulo 3: Metodología 3.1.- Presentación de la Encuesta Nuestra tesis consiste en diseñar actividades utilizando un software educativo, para ello utilizaremos una metodología cualitativa, es decir, que se analizará las características presentes en el sistema escolar chileno y su relación con las TIC´s, para fundamentar y respaldar el trabajo, realizamos una encuesta, destinada a docentes del sector de Matemática, con el objetivo de identificar sus habilidades, sus conocimientos y el manejo que poseen sobre las TIC´s., y la incorporación de éstas en los establecimientos educacionales. La encuesta está destinada a docentes que ejercen su labor en la región Metropolitana, la que cuenta con tres etapas. La primera tiene como objetivo obtener información de los establecimientos. En la segunda etapa, se encuentra una escala de apreciación que consta de una serie de indicadores que pretende establecer las distintas ideas sobre la relación con la tecnología, para finalizar en el tercer ítem, con preguntas que buscan indagar sobre la metodología utilizada en el quehacer docente en relación al uso de la tecnología. La encuesta se realizó a 15 profesores y profesoras del área de Matemáticas, de distintos establecimientos educacionales de la Región Metropolitana, cuyos resultados de esta encuesta se analizarán a continuación:

22

3.2.- Datos de los Colegios encuestados En esta etapa, la encuesta pretende recoger datos sobre el establecimiento en el cual desarrollan la labor docente los profesores(as) encuestados, donde se obtuvieron las siguientes coincidencias: • Dependencia del Establecimiento:

Particular subvencionado

• Modalidad de estudio:

Científico - Humanista

• Tipo de Jornada:

Completa

• Composición del alumnado por sexo:

Mixto

Por otra parte, la variable a considerar en este sondeo es la Edad, puesto que se contó con la presencia de diversas personas cuyas edades fluctúan entre los 24 y 55 años, originándose distintas visiones sobre las TIC´s y su relación con ellas. El detalle de la edad de la población es el siguiente: • 20 a 29 años: 6 personas • 30 a 39 años: 4 personas • 40 a 50 años: 3 personas • 50 a 60 años: 2 personas Se establece como variable la edad ya que permite recoger distintas apreciaciones en cuanto a la utilización de TIC´s para el proceso de aprendizaje, específicamente si los y las docentes encuestadas las incorporan dentro de su labor pedagógica.

23

3.3.- Escala de Apreciación Al o la docente se le pide contestar tres escalas de apreciación marcando su calificación personal. Cada escala construida tiene como finalidad identificar la opinión de los y las docentes con respecto a tres ámbitos relacionados con el uso de TIC´s, que son: • Las Nuevas Tecnologías y la Globalización • Mi relación con la Tecnología • El Uso de las NTIC´s en la escuela. Para cada indicador, los encuestados y encuestadas contarán con tres opciones representadas por un número, cuales son: • Totalmente de acuerdo (3) • De Acuerdo (2) • Medianamente de Acuerdo (1) • En Desacuerdo (0)

24

3.3.1.- Las Nuevas Tecnologías y su Globalización a) La tecnología es una herramienta que permite desarrollo en el país.

! Figura 1. Tecnología como herramienta de desarrollo

En un 60%, los y las docentes están totalmente de acuerdo con que la tecnología es una herramienta que permite el desarrollo del país. El 33% está de acuerdo, y existe aproximadamente un 7% que esta medianamente de acuerdo con el indicador. b) El uso de las nuevas tecnologías generan cambios en la sociedad.

Figura 2. El uso de tecnologías genera cambios

Aproximadamente, el 47% de los encuestados dice estar totalmente de acuerdo con que el uso de las nuevas tecnologías genera cambios en la sociedad. Mientras que el 33 % está de acuerdo y el 13% medianamente de acuerdo.

25

c) Mejora la calidad de vida de las personas con la implementación de TIC`s.

Figura 3. La implementación de TIC´s mejora calidad de vida

El 40% de los encuestados, señala que está de acuerdo con que la tecnología mejora la calidad de las personas con la implementación de las Nuevas Tecnologías de Información y Comunicación. Mientras que el 47% está totalmente de acuerdo, y otro 13% está medianamente de acuerdo, lo que demuestra que la totalidad de los y las encuestadas están de acuerdo con implementar TIC´s a la labor docente y que muchos ya utilizan en sus clases pero de manera esporádica.

d) A pesar de los cambios tecnológicos en Chile, las clases siguen el enfoque tradicional

! Figura 4. Las clases siguen el enfoque tradicional

!

El 30% de los encuestados, señala que está de acuerdo con que las cosas siguen igual a pesar de los cambios tecnológicos; el 50% dice que está totalmente de acuerdo; y el 20% dice que está medianamente de acuerdo. 26

e) Las TIC`s impondrán nuevas exigencias para la sociedad chilena.

! Figura 5. Nuevas exigencias impuestas por el uso de TIC´s

En el gráfico se muestra que el 60% de los encuestados, está de acuerdo con que las TIC´s impondrán nuevas exigencias para la sociedad chilena.

Mientras que el resto está totalmente de acuerdo, por lo que se

requieren de competencias específicas para el desarrollo de las personas dentro de la sociedad del conocimiento.

f) El uso de las nuevas tecnologías permite la conexión con otras naciones.

! Figura 6. Mayor conectividad gracia a la tecnología.

Se puede apreciar del gráfico que un importante 70% de los encuestados, señala que está totalmente de acuerdo con que la utilización de las Nuevas Tecnologías permite la conexión con otras naciones. El resto está de acuerdo y por lo mismo es necesario implementar las TIC´s dentro de la escuela.

27

g) Las personas deben adquirir competencias para desarrollarse de manera óptima en la Sociedad. !

! Figura 7.Adquisición de nuevas competencias

Según lo observado, un 60% de los encuestados estima que el desarrollo de manera óptima en la sociedad se logra mediante la adquisición de competencias, y el 40% está de acuerdo.

h) Se tiene acceso rápido a la información.

! Figura 8. Acceso a la información

Según el gráfico, el 80% de los encuestados rotula que está totalmente de acuerdo que la tecnología permite rápido acceso a la información, el 13% está de acuerdo y 7% restante está medianamente de acuerdo.

28

3.3.2.- Mi Relación con la Tecnología

a) La tecnología me permite ser independiente.

Figura 9. La tecnología genera independencia

En el gráfico anterior observamos que el 47% de los docentes encuestados están completamente de acuerdo y el 33% de acuerdo al hecho de la independencia que genera la tecnología para la labor en el aula, ya que permite generar sus materiales, guías, clases, trabajo de los estudiantes ritmo propio., además del 7% que están medianamente de acuerdo. El 13% restante estima que la tecnología quita independencia en el campo profesional, puesto que se requiere de otros actores de la escuela y ciertos recursos que no todos los profesores y profesoras del país cuentan en sus respectivos lugares de trabajo.

29

b) Me entretengo al utilizar tecnologías.

Figura 10. Visión personal sobre el uso de tecnologías

En el gráfico se observa que el 40% dice estar totalmente de acuerdo con el indicador que busca captar la percepción del encuestado o encuestada sobre el bienestar que le provoca la utilización de la tecnología, el 30% está de acuerdo y el 30% restante está medianamente de acuerdo, por lo que se observa una visión positiva sobre el uso de tecnologías por parte de los y las encuestadas y en consecuencia, existe predisposición positiva de utilizarlas en las salas de clases.

30

c) Utilizo las T.I.C.`s para adquirir conocimientos.

Figura 11. Utilización de TIC´s para la adquisición de conocimientos

En este caso, los docentes encuestados en su totalidad utilizan las herramientas TIC´s para adquirir conocimientos, que permitan mejorar su práctica en aula, además de buscar material, nuevas metodologías, etc. El gráfico arroja que el 47% está totalmente de acuerdo al igual que aquellos docentes que están de acuerdo, el 33% está medianamente de acuerdo y el 20% restante está medianamente de acuerdo.

d) Me complica utilizar tecnologías en mi quehacer cotidiano.

Figura 12. Percepción sobre el uso de tecnología en el quehacer cotidiano.

En el gráfico que observamos, ocurre que el 27% de los docentes encuestados está de acuerdo,

53% medianamente de acuerdo con las

complicaciones que genera la utilización de tecnologías en el quehacer pedagógico, y existe un 20% que no está de acuerdo con este indicador.

31

e) Es complicado aprender a utilizar las nuevas tecnologías.

Figura 13. Dificultad en el aprendizaje de las TIC´s

El 7% de los encuestados está totalmente de acuerdo con la existencia de complicaciones en el aprendizaje de nuevas tecnologías, se agregan 33% que está de acuerdo, 47% medianamente de acuerdo y 13% en desacuerdo.

f) No confío en las TIC`s porque fallan cuando se necesitan.

Figura 14. Confianza en el uso de las TIC´s

Existe 13% de los(as) docentes que están de acuerdo y 33% medianamente de acuerdo, lo que significa que sienten desconfianza al utilizar tecnologías en sus clases puesto que ocurren fallas técnicas provenientes por la falta de mantención de los equipos y/o falta de inversión en recursos de calidad. El 53%

no se siente identificado con la expresión

porque

constantemente utilizan recursos Tic’s en la preparación y ejecución de las clases.

32

g) Siento miedo de echar a perder los aparatos tecnológicos.

Figura 15.Seguridad al usar aparatos tecnológicos

Este gráfico arroja que el 20% de los y las docentes encuestados están de acuerdo y 60% medianamente de acuerdo con el temor que existe de utilizar aparatos tecnológicos porque se pueden averiar, además tenemos el 20% de los encuestados que no se sienten identificados con este indicador. Estos datos pueden deberse a la edad de los encuestados puesto que existen muchos profesores que son mayores y su relación con las tecnologías son de nivel usuario en muchas ocasiones.

33

h) No necesito de la tecnología.

Figura 16. Necesidad de usar la tecnología

El 7% de los(as) encuestado(a)s siente que no es necesaria la tecnología para su vida y su labor profesional, además 33% esta de acuerdo y el 20% medianamente de acuerdo, pero el 40% no se siente representado. A partir de dichos datos podemos observar que dentro de la muestra existe un porcentaje elevado de docentes que piensan que la tecnología no es útil para la práctica en el aula, y se debe principalmente a la diferencia de edad, mientras más joven es el docente utiliza más recursos Tic’s en sus clases.

34

i) La tecnología aumenta las desigualdades sociales.

Figura 17. Brecha social y la tecnología

Un importante porcentaje de encuestados y encuestadas están de acuerdo con el hecho de que la tecnología aumenta las desigualdades (60%) dejando un 20% para quienes estén totalmente de acuerdo y otro 20% para los que creen estar medianamente de acuerdo. Estos resultados se presentan debido a la diferencia que existe en cuanto a recursos e infraestructura y su repartición en la sociedad actual, por un lado, se pueden observar colegios en donde hay escasa inversión en lo que respecta a las tecnologías. Esta situación queda en evidencia ya que; en muchos de estos casos los establecimientos no cuentan con laboratorios de computación y no existen equipos para cada alumno(a), en cambio, se pueden observar colegios en donde se presenta la situación contraria, es decir, que invierten en equipos de última generación con aplicaciones y programas orientados al aprendizaje.

35

j) Utilizo internet para descargar música, conversar con otras personas, jugar, etc.

Figura 18. Utilización de las TIC´s

En el siguiente gráfico observamos el porcentaje mayor de docentes de matemática (47%) que está de acuerdo con la utilización que se da a internet, es decir que genera gran impacto en la comunicación, interacción entre personas, etc., a la vez un 33% está medianamente de acuerdo con esta afirmación mientras que los docentes en desacuerdo son 7% y 13% están totalmente de acuerdo. Esto es consecuencia de la masificación de internet en la sociedad chilena, además que históricamente el uso que se le da a esta herramienta es de entretención, por

lo mismo se debe aprender a utilizar

internet como un instrumento que permite un trabajo más agradable tanto para los(as) estudiantes como para quienes ejercen como profesor, además que permite tener contacto directo con los y las estudiantes a través de plataformas, etc.

36

3.3.3.- El uso de las NTIC´s en la escuela a) La escuela debe adquirir aparatos tecnológicos.

! Figura 19. Adquisición de tecnologías en las escuelas.

Según lo observado en el gráfico, el 73% de los encuestados (as) dice estar totalmente de acuerdo con que los establecimientos educacionales deben adquirir aparatos tecnológicos para su implementación en las aulas y en laboratorios de computación. El 27% está de acuerdo.

b) El uso de las TIC`s contribuye al proceso de enseñanza y aprendizaje"!

! Figura 20. Contribución del uso de las TIC´s en el proceso de enseñanza y aprendizaje.

Como se puede apreciar, todos los encuestados piensan que el uso de las NTIC´s contribuye al proceso de enseñanza y aprendizaje en las aulas, solamente que el 60% de ellos está totalmente de acuerdo, y el restante 40% está de acuerdo. 37

c) El sistema educativo se preocupa de capacitar a los docentes en cuanto al uso de las TIC`s.

! Figura 21. Capacitación docente en el área de TIC´s

Consta que el 41% de los encuestados (as), señala que está medianamente de acuerdo con que el sistema educativo se ocupa de capacitar a los docentes en cuanto a la utilización de las TIC´s. Un 33% dice estar totalmente de acuerdo, otro 13% está de acuerdo, y otro 13% está en desacuerdo. Se concluye que, en las escuelas no siempre capacitan a sus profesores (as).

38

d) La escuela disminuye la brecha digital presente en la sociedad actual.

! Figura 22. La escuela disminuye la brecha digital !

Se puede apreciar del gráfico que, el 46% está totalmente de acuerdo, el 27% de los encuestados(as) dice estar de acuerdo con la afirmación, la escuela estrecha la brecha digital actual instaurada en la sociedad, pero también otro 27% está medianamente de acuerdo, de ello se desprende que aun falta más aporte de los centros educacionales para fortalecer la implementación de los instrumentos tecnológicos, con software educativos.

39

e) La integración curricular de las TIC`s requiere de un cambio integral de los métodos de enseñanza"! !

! Figura 23. Cambios métodos de enseñanza a partir de la incorporación de TIC´s al aula.!

Un importante 60% de los encuestados (as) señala que está de acuerdo que la integración curricular de las NTIC´s necesita de un cambio integral de los métodos de enseñanza, mientras que el 40% restante está totalmente de acuerdo. Se concluye que los(as) docentes están de acuerdo que debe existir un cambio en los métodos de enseñanza-aprendizaje en el aula incluyendo las TIC’s dentro del curriculum escolar, para una mejor incorporación en las planificaciones de las clases.

40

f) Las escuelas cuentan con recursos tecnológicos necesarios para el aprendizaje"!

! Figura 24.Existencia de recursos TIC´s en el aula.

El 54% de los encuestados (as) señala que está medianamente de acuerdo con que las escuelas cuentan con recursos tecnológicos necesarios para el aprendizaje, el 33% señala que está de acuerdo, y el 13% está en desacuerdo.

g) Se incorpora tecnologías en los procesos de aprendizajes.

Figura 25. Incorporación de TIC´s en el proceso de aprendizajes.

En el siguiente gráfico, se desprende que el 40% está de acuerdo con que la tecnología se incorpora en los procesos de aprendizajes y el 60% esta medianamente de acuerdo lo que significa que es necesario incluir cambio en la práctica docente.

41

h) Profesores motivados con su trabajo innovan más en sus métodos de enseñanza.

! Figura 26. Motivación docente se refleja en la innovación de las clases.

!

El 73% de los y las docentes encuestadas están

totalmente de

acuerdo con la idea sobre la motivación que se requiere para enfrentar la labor docente y cómo afecta en la innovación, además el 27% restante están de acuerdo con este indicador. Lo más importante a rescatar, es el hecho de que todos coinciden que la motivación genera cambios en los métodos de enseñanza, por lo que se necesitan docentes que disfruten su labor además que sean creativos e innovadores en la sala de clases y con ello se logren aprendizajes significativos para los y las estudiantes.

42

i) Los docentes están dispuestos a utilizar recursos TIC`s en el aula.9 !

! Figura 27. Disposición de incluir recursos TIC´s en el aula por parte de los y las docentes.

En cuanto a la disposición de los y las docentes encuestadas de utilizar recursos TIC´s en el aula, se observa que el 40% está de acuerdo, el 27% de los(as) encuestados(as) concuerdan medianamente con este indicador. El 33% restante está totalmente de acuerdo, con lo cual podemos concluir que aún existe reticencia a incluir elementos tecnológicos para el desarrollo de la labor docente tanto para la enseñanza como para el proceso de aprendizaje, lo que se atribuye a la falta de recursos en la escuela ya sean, tiempo, formación docente y constante capacitación, etc. !

43

3.4.- Preguntas En esta etapa de la encuesta se construyen preguntas para los y las docentes, con el fin de conocer más detalladamente su opinión sobre las TIC´s y la labor docente.

3.4.1.- ¿Qué recursos utiliza en su labor docente? Hay que considerar que todos los encuestados marcaron más de una opción. Todos los encuestados (as) ocupan Power Point y Computador, para desarrollar sus clases. El 90% de los encuestados (as) utilizan proyector en el aula. El 50% usa Internet para la búsqueda de información. El 40% ha utilizado Reproductor (mp3, CD, mp4,etc.), en sus clases. El 40% ha ocupado algún software educativo en sus clases.

La herramienta menos utilizada por los

docentes corresponde al laboratorio de

computación, representado por un

30%.

3.4.2.- ¿Cuáles son los software que más conoces? Los software más conocidos por los encuestados (as) son: Cabri, Geogebra y Maple. El software más utilizado por ellos es el Geogebra, para Geometría. Otros software educativos conocidos por los encuestados (as) son: Exp Maple, Excel, Wires, Conejo Lector, y Graphmatica.

44

Existen profesores que no conocen algún procesador simbólico (software educativo), por lo que sólo utilizan el computador y proyector para algunas de sus clases.

3.3.3.- Si tuvieras que enseñar funciones en matemáticas, ¿utilizarías recursos TIC´s? ¿Por qué? Con respecto a esta interrogante existe unanimidad en las personas encuestadas de utilizar recursos TIC´s para el estudio de funciones, puesto que permiten visualizar claramente los conceptos matemáticos asociados a este eje temático; por ejemplo se pueden verificar distintas situaciones con menor tiempo como es el caso de la relación funcional de las variables para llegar así la generalización de modo mas eficiente y eficaz. Además permiten comprender y analizar las características de las funciones, así como las aplicaciones para los modelos matemáticos que explican los fenómenos que ocurren en la cotidianeidad de la vida. Finalmente, los profesores y profesoras que fueron encuestados creen que la utilización de recursos TIC´s en el aula genera aprendizajes de manera más eficiente y eficaz puesto que se logran los objetivos planteados para las clases con menor inversión de tiempo.

45

3.3.4.- ¿Qué se entiende por laboratorio? Al igual que en la pregunta anterior, también existe unanimidad en las personas encuestadas sobre la inclusión de laboratorios en las clases de matemáticas, en cualquiera de sus ejes temáticos, en muchos casos ya utilizan este sistema, especialmente para las unidades: ecuaciones de la recta, geometría y más sobre triángulos rectángulos. La inclusión

de diversos laboratorios permite visualizar en forma

concreta el trabajo que se realiza en la clase usando la pizarra, conectando con otros conocimientos, facilitando así el aprendizaje de los alumnos y alumnas ya que se practican y ejerciten los contenidos; y con ello se desarrollan habilidades de análisis necesarias para la comprensión de fenómenos y modelos matemáticos. En conclusión, la totalidad de los encuestados piensan y/o utilizan algún tipo de laboratorio –incluyendo unidades,

computadores- para enfrentar ciertas

además de la ganancia de tiempo, se logran aprendizajes de

importancia puesto que se trabaja con el “ensayo y error” ya que se permite cambiar datos, estudiar los conceptos matemáticos para ciertas condiciones y así llegar a la generalización a través de la inducción de los conocimientos además de relacionarlos con los aprendizajes previos ya sean estos en matemática como con los aprendizajes de otros sectores.

46

3.3.5.- ¿Es necesario fortalecer la enseñanza de las TIC´s en las carreras de pedagogía? En cuanto a esta pregunta, la totalidad de las personas encuestadas estiman que es necesario fortalecer la enseñanza de las TIC´s en las carreras de pedagogía, en especial el trabajo con software educativo necesario para desarrollar un

proceso de enseñanza

y aprendizaje más innovador, de

acuerdo a los nuevos tiempos y necesidades de la sociedad actual. También se deja en claro que el uso de las TIC´s no debe reemplazar el trabajo directo del profesor en el aula, sólo son herramientas en pos del aprendizaje significativo. Finalmente, se debe considerar el perfeccionamiento en esta área de los docentes de todos los sectores y sub-sectores, debido a que se encuentran en un estado de constante cambio, además de insistir en la inversión en recursos tales como computadores, software educativo, entre otros.

47

Capitulo 4 Diseño Curricular de propuesta didáctica de la enseñanza en el ámbito de la selección temática: 4.1.- Consideraciones Generales de la propuesta didáctica. Objetivo General: Diseñar actividades metodológicas, para desarrollar en el aula, en el sub - sector de Matemática, para el o la docente y para el alumno(a), utilizando un procesador simbólico, correspondiente a contenidos de Tercer y Cuarto Año de Enseñanza Media. Nos referimos a contenidos sobre las siguientes Unidades: 1. Función Cuadrática correspondiente a Tercer Año de Enseñanza Media; 2. Función Exponencial correspondiente a Cuarto Año de Enseñanza Media; 3. Función Logarítmica correspondiente a Cuarto Año de Enseñanza Media. Cada unidad posee un diseño curricular, es decir, una planificación general y clase a clase, para describir la propuesta. A continuación se presenta el formato del diseño curricular que comprende cada propuesta:

48

Detalle de la Planificación 1.-.Curso. 2.- Sub-Sector. 3.- Nombre de la Unidad. 4.- Tiempo estimado para la Unidad. 5.- Registro de contenidos ejes temáticos y Presentación de la Unidad. 6.- Aprendizajes Esperados u Objetivos Específicos. 7.- Objetivos Fundamentales Verticales (O.F.V.) 8.- Objetivos Fundamentales Transversales (O.F.T.) 9.- Nivel de Mapa de Progreso. 10.- Mapa Conceptual de La Unidad. 11.- CLASE: planificación de cada clase, según el siguiente criterio: 11.1.- Breve Descripción de la actividad. 11.2.- Conocimientos Previos de los estudiantes. 11.3.- Detalles de Contenidos. 11.4.- Horas estimadas para la clase. 11.5.- Aprendizajes esperados u Objetivos Específicos. 11.6.- Marco Referencial de la clase del Proceso de Enseñanza Aprendizaje: a) Materiales o Recursos Metodológicos. b) Indicaciones al docente. c) Programación de la clase.

49

4.2.- Diseño Curricular de La Primera Unidad a Tratar: FUNCIÓN CUADRÁTICA 1.-.Curso: Tercer Año de Enseñanza Media 2.- Sub-Sector: Matemática 3.- Nombre de la Unidad: Función Cuadrática 4.- Tiempo estimado para la unidad: 10 horas pedagógicas. 5.- Registro de contenidos ejes temáticos: •

Función Cuadrática y sus gráficos correspondientes.

•

Análisis de traslaciones

•

Análisis del discriminante y su relación con las ecuaciones cuadráticas.

•

Modelación de fenómenos naturales y/o sociales a través de esta función.

•

Aplicaciones: movimiento parabólico, movimiento armónico.

•

Uso de programas computacionales de manipulación algebraica y gráfica. Presentación de la Unidad

Esta unidad está centrada en el estudio de la función cuadrática, de modo que los estudiantes desarrollen tanto un trabajo cuantitativo como cualitativo de dicha función y sus propiedades, además de contextualizar cada tema con la cotidianeidad y así explicar fenómenos que comúnmente ocurren en nuestro alrededor. Luego, se continuará con el trabajo de la Función Cuadrática, analizando sus propiedades y cómo estas explican fenómenos físicos como el movimiento parabólico de un proyectil, entre otras.

50

En esta unidad, se enfatizará el trabajo de los alumnos y alumnas utilizando un procesador simbólico, Maple 9, con el fin de incentivar el autodescubrimiento y deducción de las propiedades asociadas al estudio de la función cuadrática, siempre guiados por el profesor. Además cada estudiante creará un portafolio en el que guardará cada trabajo realizado y constituirá evidencia del proceso de aprendizaje.

6.- Aprendizajes Esperados: Los alumnos y alumnas:

•

Conocen y utilizan procedimientos de cálculo algebraico con

expresiones en las que intervienen raíces cuadradas.14

•

Plantean y resuelven problemas que involucran ecuaciones de

segundo grado; explicitan sus procedimientos de solución y analizan la existencia y pertinencia de las soluciones obtenidas. 15 •

Conocen la parábola como un lugar geométrico, reconocen su

gráfica e identifican aquéllas que corresponden a una función cuadrática; identifican algunas de sus propiedades y aplicaciones en diversos ámbitos de las nuevas tecnologías. 16 •

Identifican el potencial de las funciones estudiadas para reflejar

distintos tipos de crecimiento y modelar diversos fenómenos. 17

14

MINEDUC. Programa de Estudio, Tercer Año Medio, Sector Matemáticas. Curriculum y Evaluación. Chile: Santiago. 15 Ídem. 16 Ídem. 17 Ídem.

Unidad de

51

7.- Objetivos Fundamentales Verticales: Los y las estudiantes, serán capaces de: • Conocer y utilizar el concepto de Función Cuadrática, mejorando el rigor y precisión de análisis, de formulación, verificación y/o refutación de hipótesis.18 • Aplicar y ajustar modelos matemáticos para la resolución de problemas y análisis de situaciones concretas. 19 • Resolver desafíos con grado de dificultad creciente, valorando sus propias capacidades. 20 • Percibir la matemática como una disciplina que recoge y busca respuestas a desafíos propios o que provienen de otros ámbitos. 21 • Usar programas computaciones de manipulación algebraica y gráfica.

18

MINEDUC. Programa de Estudio, Tercer Año Medio, Sector Matemáticas. Curriculum y Evaluación. Chile: Santiago. 19 Ídem. 20 Ídem. 21 Ídem.

Unidad de

52

8.- Objetivos Fundamentales Transversales

•

Desarrollo del pensamiento: enfocado a actividades que suponen una selección y organización de información; y las de resolución de problemas y de pensamiento lógico, a través del conjunto de contenidos y actividades orientados al aprendizaje de algoritmos o procedimientos rutinarios, así como a la aplicación de leyes y principios, por un lado, y de generalización, por otro lado, el desarrollo del pensamiento también contribuye a tomar decisiones en la sociedad.22

•

Persona y su entorno: enfocados al trabajo en equipo, planteando actitudes de rigor y perseverancia, originalidad y capacidad de recibir y aceptar consejos y críticas, en el aula. 23

•

Crecimiento y autoafirmación personal: enfocados al interés que estudiante posee, por relacionar lo aprendido con la realidad diaria. 24

22

MINEDUC. Programa de Estudio, Tercer Año Medio, Sector Matemáticas. Curriculum y Evaluación. Chile: Santiago. 23 Ídem. 24 Ídem.

Unidad de

53

9.- Nivel de Mapa de Progreso: Los contenidos tratados en esta planificación están incluidos dentro del Mapa de Aprendizaje en el ámbito del Álgebra, puesto que se trabaja utilizando símbolos que permiten modelar situaciones.25 Específicamente, se trabaja en el nivel 6, cuyos indicadores permiten diseñar actividades que ayuden al estudiante a analizar distintas situaciones en las que esté presente la función cuadrática variando algunos parámetros utilizando un software educativo. 26 10.- Mapa Conceptual de La Unidad: Función Cuadrática

Figura 28. Mapa Conceptual Función Cuadrática.

25

MINEDUC. Unidad de Currículum. Mapas de Progreso del Aprendizaje: Algebra, Sector Matemáticas. Chile: Santiago. 26 Ídem.

54

11.- CLASE 1 11.1.- Breve Descripción de la actividad. Las actividades diseñadas tienen como finalidad que los y las estudiantes incorporen el concepto de Función Cuadrática, utilizando una actividad introductoria, que consiste en una situación conocida, como es el lanzamiento de bengalas. Este ejemplo, pretende mostrar el gráfico asociado a una función cuadrática y encontrar la función que describe la trayectoria del haz de luz, para luego formalizar el concepto y su representación gráfica. Además, se incluyen ejercicios para los y las estudiantes; y se finaliza con las conclusiones obtenidas al término de la actividad. 11.2.- Conocimientos Previos de los estudiantes. El o la docente requiere identificar los conocimientos adquiridos por los y las estudiantes, y compararlos con los que previamente se establecieron para esta actividad, que son:

•

Concepto de Función.

•

Operaciones algebraicas

•

Uso de Maple 9

Si se considera que algunos de estos aprendizajes no están presentes, se recomienda realizar un breve repaso algebraico.

55

11.3.- Detalles de Contenidos.

•

Objetivos

•

Actividad Introductoria

•

Definición de Función Cuadrática

•

Representación Gráfica

•

Ejercicios

•

Conclusiones.

11.4.- Horas estimadas para la clase: 2 horas pedagógicas. 11.5.- Aprendizajes esperados u Objetivos Específicos: Al finalizar la clase los y las estudiantes serán capaces de: •

Definir el concepto de función cuadrática.

•

Identificar distintas expresiones que representan la función cuadrática.

•

Comparar gráficos y describir las características de cada parábola.

•

Resolver ejercicios.

11.6.- Marco Referencial de la clase del Proceso de Enseñanza Aprendizaje: a) Materiales o Recursos Metodológicos: Computador, Proyector. b) Indicaciones al docente: Esta actividad está orientada principalmente para que el o la docente inicie el contenido de Función Cuadrática, en especial se recomienda que utilice herramientas TIC´s, como por ejemplo, un procesador simbólico.

56

c)

Programación de la clase: Actividades a Desarrollar en el Aula

Clase Actividades del Docente

Tiempo

Actividades del Estudiante

Inicio: Motivación En esta etapa, el o la docente En presentará

la

entregando

esta

etapa,

el

medita

y

unidad, estudiante

claramente

los responde

objetivos propuestos, además interrogantes

a que

las se

de los aprendizajes que se plantea sobre el camino espera

que

logren

los que recorre el haz de

estudiantes y los conocimientos luz. previos que requieren para esta Compara actividad. Se

iniciará

respuestas la

actividad observado

sus con

lo

en

la

programada con el ejemplo de animación, y por último 1

la

bengala,

específicamente busca otros ejemplos

2 horas

con la pregunta ¿qué camino en donde esté presente recorre el haz de luz? y ¿cuál la parábola. es el dibujo que forma en el aire su trayectoria?

57

Las

respuestas

aparecen

después que se muestre la animación

preparada,

para

luego presentar la parábola y afirmar que corresponde a la curva asociada a una función cuadrática. Desarrollo: Formalización de Contenidos Esta segunda etapa consiste en Durante esta etapa, las la formalización del ejemplo y

los

estudiantes

anterior, es decir se define el identificarán concepto de función cuadrática formas

distintas

en

que

es

y se establece que el gráfico posible encontrar una asociado a esta función es la función parábola

cuadrática,

–representación además

analizan

gráfica- Además, cómo varía la distintos gráficos y con excentricidad de la parábola ello

responden

con la variación del coeficiente interrogantes cuadrático

y

concavidad.

se Se

que

las el

estudia

la profesor plantee tanto

continúa

la de manera oral como

clase, identificando la forma en la guía de trabajo. estándar

de

cuadrática, recorrido

la

función Por

haciendo detallado

operaciones

de

otra

parte,

los

un alumnos contaran con las una

breve

algebraicas ejercicios

guía con

de los

involucradas, reconociendo el cuales establecerá sus gráfico,

además

de

otras propias

conclusiones

58

formas de función cuadrática.

sobre el tema analizado

Durante el desarrollo de esta en clases. etapa, el o la docente evaluará Los

ejercicios

formativamente el proceso, a desarrollados durante la través

de

preguntas jornada

motivadoras.

guardados

serán en

el

portafolio con el nombre Tarea 1 Cierre: Conclusiones

Compararán

las

Para finalizar esta jornada, se conclusiones obtenidas concluirá

a

partir

de

los propiamente

con

las

resultados obtenidos en los que establecerá el o la ejercicios y de los contenidos docente al finalizar la analizados en clases

jornada.

Cuadro 1: Propuesta de actividades para el estudio de las características de la función cuadrática.

59

12.- CLASE 2 12.1.- Breve Descripción de la actividad. Las actividades diseñadas tienen como objetivo analizar algunas propiedades que presenta la Función Cuadrática, es decir verificar la existencia de un vértice, valores extremos y la monotonía. Se iniciará con un problema que graficarán utilizando el software y a partir de ello, se responderán las interrogantes planteadas; seguido de ello se comenzará con la formalización de los contenidos. Además, se incluyen ejercicios para los y las estudiantes; y se finaliza con las conclusiones obtenidas al término de la actividad. 12.2.- Conocimientos Previos de los estudiantes.

•

Definición de Función Cuadrática.

•

Operaciones algebraicas.

•

Parábola.

•

Uso de Maple 9.

12.3.- Detalles de Contenidos.

•

Objetivos

•

Actividad Introductoria

•

Vértice

•

Máximos y Mínimos

•

Intervalos de Crecimiento

•

Ejercicios

•

Conclusiones

60

12.4.- Horas estimadas para la clase: 2 horas pedagógicas. 12.5.- Aprendizajes esperados u Objetivos Específicos. Al finalizar la clase los y las estudiantes serán capaces de:

•

Deducir la expresión que permite calcular el vértice la parábola

•

Calcular el vértice de la parábola

•

Identificar máximos y mínimos

•

Identificar los Intervalos de Crecimiento

•

Resolver ejercicios y problemas que involucren vértices, máximos y mínimos.

12.6.- Marco Referencial de la clase del Proceso de Enseñanza Aprendizaje: a) Materiales o Recursos Metodológicos: Computador, Proyector. b) Indicaciones al docente: Estas actividades están dirigidas hacia el o la docente en las que introduce el tema de la parábola, además los alumnos y alumnas contarán con computadores –idealmente individualpara que sigan el desarrollo de las actividades y creen su portafolio. En el caso de que no sea posible disponer de computadores para los y las estudiantes, se trabajará de manera expositiva por parte del profesor dejando instancias para que las alumnas y alumnos trabajen individualmente en sus cuadernos.

61

c)

Programación de la clase: Actividades a Desarrollar en el Aula

Clase Actividades del Docente

Tiempo

Actividades del Estudiante

Inicio: Motivación La primera etapa de la clase, Los y las estudiantes se estará a cargo del profesor, concentrarán quien iniciará con un breve nuevas recuento 2

de

analizados

los en

anterior,

las

actividades

que

contenidos mostrará el o la docente, la

anexando

ejemplos

en

y

jornada además tendrán un rol nuevos activo

al

situaciones posibles

motivadoras

para

estudiantes,

dejando

deducir

los

métodos

de

2 horas

los resolución de la situación tiempo planteada

y

sus

para la evaluación formativa a respuestas. través de preguntas. Desarrollo: Formalización de Contenidos En esta etapa, se desarrollarán Esta es la etapa en el que los contenidos que son: vértices, el rol del estudiante es máximos

y

intervalos

mínimos; de

y

los completamente

Crecimiento, puesto,

recalcando la importancia tanto junto

que al

del cálculo como el análisis, ya ejemplos,

activa desarrollen

profesor

los

aclarando

las

que permite explicar fenómenos dudas tanto de concepto de

la

vida

cotidiana

como como

de

operaciones

pueden ser el movimiento de un algebraicas. cuerpo, la producción en la economía.

62

Se

considera

la

evaluación Además

trabajarán

formativa a través de preguntas individualmente como

la

utilización

procesador

en

el

del desarrollo de una guía que

simbólico incluye

ejercicios

y

privilegiando los ejemplos que problemas de aplicación. involucren

cálculo

o

gráficos

como aquellos problemas que consideren análisis de situación puesto que permite la conexión con

aprendizajes

otros

previos

subsectores

de del

aprendizaje.Se destinará tiempo para el trabajo de los alumnos y alumnas con una pequeña guía de ejercicios. Cierre: Conclusiones

Compararán las

Para finalizar esta jornada, se conclusiones obtenidas concluirá resultados

a

partir

obtenidos

de

los propiamente con las que

en

los establecerá el o la docente

ejercicios y de los contenidos al finalizar la jornada. analizados en clases

Cuadro 2: Propuesta de actividades para el estudio del vértice y extremos de la función cuadrática.

63

13.- CLASE 3 13.1.- Breve Descripción de la actividad: El objetivo de esta clase es el análisis de las traslaciones de la parábola en el eje X, en el eje Y y en ambos sentidos, utilizando el procesador simbólico que permite animar este movimiento de la parábola respecto del sistema de referencia. Como todas las clases anteriores, incluyen los contenidos, ejemplos y ejercicios que permitan construir el aprendizaje a través de la observación y el análisis. 13.2.- Conocimientos Previos de los estudiantes.

•

Sistema de Referencia

•

Gráfico de funciones

•

Completar Cuadrado de Binomio

•

Uso de Maple 9

13.3.- Detalles de Contenidos.

•

Objetivos

•

Actividad Introductoria

•

Traslación Horizontal

•

Traslación Vertical

•

Traslación General

•

Ejercicios

•

Conclusiones.

64

13.4.- Horas estimadas para la clase: 2 horas pedagógicas 13.5.- Aprendizajes esperados u Objetivos Específicos. Los y las estudiantes serán capaces de: . •

Determinar la función que rige una parábola dada, a partir de su gráfica.

•

Resolver

ejercicios

en

que

estén

involucradas

traslaciones de parábolas

13.6.- Marco Referencial de la clase del Proceso de Enseñanza Aprendizaje: a) Materiales o Recursos Metodológicos: Computador, Proyector. b) Indicaciones al docente: Esta orientado hacia la clase con TIC´s debido a la existencia de animaciones que generalizan las traslaciones, además permiten observar las características de la función cuando su vértice no está en el origen.

65

c)

Programación de la clase: Actividades a Desarrollar en el Aula

Clase Actividades del Docente

Tiempo

Actividades del Estudiante

Inicio: Articulación de contenidos El

docente

minutos

destinará

para

el

Graficarán

en

algunos procesador

trabajo

del dos

simbólico

funciones,

estudiante con el fin de que observarán observen y concluyan lo que ocurren ocurre

con

algunas

cuadráticas, y

, .

el y

lo

que

con

las

funciones parábolas. Anotarán conclusiones observaciones

las y que

realizaron.

3

2 horas

66

Desarrollo: Formalización de

En

una

Contenidos

instancia

En esta etapa, el profesor o las profesora

recogerá

conclusiones realizada

traslación

con

verticales y

la del

a docente.

traslaciones Resolverán

general,

ejemplificará

conclusiones

las obtenidas

comenzará las

horizontales,

compararán

de la actividad generalización y

formalizar,

primera

los

y ejercicios y guardarán

además en su portafolio resolverá

problemas. Entregará una breve guía

de

ejercicios

para

que

resuelvan y la conserven en sus portafolios.

67

Cierre: Conclusiones Este capítulo se cerrará revisando En

esta

etapa

el

algunos de los ejercicios además, estudiante escuchará y el o la docente entregará las comparará conclusiones finales.

finalmente

las conclusiones de los ejercicios

Cuadro 3: Propuesta de actividades para el análisis de la traslación en la función cuadrática

68

14.- CLASE 4 14.1.- Breve Descripción de la actividad: Esta clase está dirigida hacia el análisis del discriminante, las soluciones de la ecuación cuadrática y las relaciones que tienen con el gráfico de la función asociada a la ecuación dada. Se seguirá el mismo procedimiento, es decir se indicarán los objetivos, actividad motivadora, contenido, ejercicios y conclusiones. 14.2.- Conocimientos Previos de los estudiantes.

•

Resolución de ecuaciones de 2º grado

•

Operaciones algebraicas

•

Parábola

•

Uso de Maple 9

14.3.- Detalles de Contenidos.

•

Objetivos

•

Actividad Introductoria

•

Discriminante

•

Ejercicios

•

Conclusiones.

14.4.- Horas estimadas para la clase: 2 horas pedagógicas.

69

14.5.- Aprendizajes esperados u Objetivos Específicos. Al finalizar la clase los y las estudiantes serán capaces de:

•

Analizar el gráfico de la función cuadrática y relacionarlo con las soluciones de la ecuación de 2º grado

14.6.- Marco Referencial de la clase del Proceso de Enseñanza Aprendizaje: a) Materiales o Recursos Metodológicos: Computador, Proyector, b) Indicaciones al docente: El docente expondrá utilizando TIC´s y recordará nuevamente la importancia de trabajar y guardar los trabajos, los cuales al final tendrán una calificación.

70

c) Programación de la clase: Actividades a Desarrollar en el Aula Clase Actividades del Docente

Tiempo

Actividades del Estudiante

Inicio: Motivación Se realizará un breve resumen Los y las estudiantes de las conclusiones de la clase utilizarán la fórmula que anterior. 4

Se

permite resolverán

encontrar

algunas soluciones

ecuaciones de segundo grado.

de

las las

2 horas

ecuaciones planteadas.

Desarrollo: Formalización de Contenidos Primero,

se

define

el Participarán

discriminante de la ecuación respondiendo cuadrática. El

desarrollo

las

preguntas que el o la del

contenido docente realizará.

comenzará con las soluciones Resolverán los ejercicios de las ecuaciones planteadas en planteados y analizarán la etapa anterior, las cuales gráficos, encontrarán las tendrán raíces iguales y reales, soluciones

de

la

raíces distintas y reales, y las ecuación de 2º grado. raíces que no pertenecen a los Guardarán el trabajo en números reales.

su portafolio.

71

Se basará inicialmente, en el ejemplo del ave, y relacionará las soluciones de la ecuación cuadrática con el discriminante y a su vez con los cortes con el eje X. Se plantea una breve guía en la cual

los

aplicarán

y

las los

estudiantes contenidos

estudiados en esta jornada.

Cierre: Conclusiones Para finalizar esta jornada, se

Compararán las

concluirá a partir de los

conclusiones

resultados obtenidos en los

establecidas por el o la

ejercicios y de los contenidos

docente con las

analizados en clases.

obtenidas propiamente.

Cuadro 4: Propuesta de actividades para el análisis del discriminante de la ecuación cuadrática y su relación con la función cuadrática.

72

4.3.- Diseño Curricular de La Segunda Unidad a Tratar: FUNCIÓN EXPONENCIAL 1.-.Curso: Cuarto Año de Enseñanza Media 2.- Sub-Sector: Matemática 3.- Nombre de la Unidad: Función Exponencial. 4.- Tiempo estimado para la unidad: 8 horas pedagógicas. 5.- Registro de contenidos temáticos ejes27:

•

Funciones exponenciales y sus gráficos correspondientes.

•

Análisis de las expresiones algebraicas y gráficas de la función exponencial.

•

Análisis y comparación de tasas de crecimiento.

Plantear y

problemas sencillos que involucren el cálculo de interés compuesto. •

Modelación de fenómenos naturales y/o sociales a través de esta función.

•

Uso de programas computacionales de manipulación algebraica y gráfica.

27

MINEDUC. Programa de Estudio, Cuarto Año Medio, Sector Matemáticas. Unidad de Curriculum y Evaluación. Chile: Santiago

73

Presentación de la Unidad Esta unidad tratará el estudio de La Función Exponencial, analizando sus restricciones, observando y comparando el comportamiento de la función Exponencial en gráficos, de modo que el o la estudiante pueda comprobar los contenidos temáticos ejes de esta unidad. Luego, se enfatizará en algunas aplicaciones físicas que utilizan la función Exponencial, analizando sus propiedades y la importancia que tiene la Matemática en la vida diaria y en los fenómenos físicos. En esta segunda unidad, el trabajo de exposición de la clase y la construcción de instrucciones matemáticas, de parte del o la docente y de los alumnos(as), se basará en la utilización del procesador simbólico: Maple 9, con el objetivo de entregar material, para que el(la) docente y el(la) estudiante, puedan interactuar en un mundo tecnológico, y así motivar la enseñanza en los alumnos, ya que cada día adquieren más conocimiento en este aspecto, entonces, el o la docente se acerca al mundo tecnológico para que las clases sean más llamativas, visuales, en las que permitan al o la alumno(a) puedan interactuar en el aula, a través de la clase expositiva y de procesos de construcción de aprendizaje, con la entrega de ejercicios y la evaluación de estos.

74

6.- Aprendizajes Esperados: Los alumnos y alumnas serán capaces de: •

Analizar el comportamiento gráfico y analítico de la función exponencial.28

•

Clasificar las relaciones entre los gráficos, los exponentes y los parámetros de la función Exponencial. 29

•

Modelar situaciones o fenómenos naturales o sociales. 30

7.- Objetivos Fundamentales Verticales: Los y las estudiantes, serán capaces de: •

Aplicar el proceso de formulación de modelos matemáticos al análisis de situaciones y a la resolución de problemas.31

•

Analizar las propias aproximaciones a la resolución de problemas matemáticos. 32

•

Percibir la matemática como una disciplina que ha evolucionado y que continúa desarrollándose, respondiendo a veces a la necesidad de resolver problemas prácticos, pero también planteándose problemas propios. 33

•

Construir

aprendizajes

realizando

gráficos,

resolviendo

ecuaciones, a través de un software educativo, para que el o la estudiante se relacione en el mundo de las Nuevas Tecnologías de Información y Comunicación.

28

MINEDUC. Programa de Estudio, Cuarto Año Medio, Sector Matemáticas. Curriculum y Evaluación. Chile: Santiago. 29 Ídem. 30 Ídem. 31 Ídem. 32 Ídem. 33 Ídem.

Unidad de

75

8.- Objetivos Fundamentales Transversales:

•

Desarrollo del pensamiento: enfocado a actividades que suponen una selección y organización de información; y las de resolución de problemas y de pensamiento lógico, a través del conjunto de contenidos y actividades orientadas al aprendizaje de algoritmos o procedimientos rutinarios, también a la aplicación de leyes y principios.

El desarrollo del pensamiento también contribuye a

tomar decisiones en la sociedad.34

•

Persona y su entorno: enfocados al trabajo en equipo, planteando actitudes de rigor y perseverancia, originalidad y capacidad de recibir y aceptar consejos y críticas, en el aula. 35

•

Crecimiento y autoafirmación personal: enfocados al interés que el o la estudiante posee, por relacionar lo aprendido con la realidad diaria. 36

34

MINEDUC. Programa de Estudio, Cuarto Año Medio, Sector Matemáticas. Curriculum y Evaluación. Chile: Santiago. 35 Ídem. 36 Ídem.

Unidad de

76

9.- Nivel de Mapa de Progreso: La planificación de la Función Exponencial se realizó en conjunto con los Mapas de Progreso. Ésta pertenece al Mapa de Progreso de Algebra, ya que describe el progreso de la capacidad de utilización de símbolos y el desarrollo matemático.37 Cada nivel de aprendizaje se relaciona con los contenidos ejecutados, en tanto esta unidad corresponde al nivel 5, ya que, se reconoce la función, con representación gráfica; resuelve sistemas de ecuaciones en forma algebraica. 38

10.- Mapa Conceptual de La Unidad: Función Exponencial

Figura 29. Mapa conceptual Función Exponencial

37

MINEDUC. Unidad de Currículum. Mapas de Progreso del Aprendizaje: Algebra, Sector Matemáticas. Chile: Santiago, 2009. 38 Ídem.

77

11.- CLASE 1 11.1.- Breve Descripción de la actividad. Se pretende incorporar la definición de Función Exponencial a través de una historia y después se incorpora el concepto, sus condiciones, su comportamiento, y sus respectivos ejercicios.

Se finaliza la clase con una

retroalimentación de lo ya aprendido. 11.2.- Conocimientos Previos de los estudiantes.

•

Clasificación de los números

•

Potencias y sus propiedades.

•

Concepto de Función.

•

Uso de Maple 9.

11.3.- Detalles de Contenidos.

•

Actividad Introductoria a la Función Exponencial

•

Definición de La Función Exponencial

•

Función Exponencial con base mayor que 1.

•

Función Exponencial con base entre 0 y 1.

•

Establecer dominio y recorrido de la Función Exponencial.

11.4.- Horas estimadas para la clase: 2 horas pedagógicas

78

11.5.- Aprendizajes esperados u Objetivos Específicos. Los y las estudiantes serán capaces de: •

Identificar el concepto de Función Exponencial.

•

Analizar expresiones algebraicas.

•

Determinar dominio y recorrido de la Función Exponencial.

•

Comparar gráficos.

•

Resolver ejercicios.

11.6.- Marco Referencial de la clase del Proceso de Enseñanza Aprendizaje: a) Materiales o Recursos Metodológicos: Computador, Proyector, Internet al finalizar la clase. b) Indicaciones al docente: Los contenidos de esta clase, se muestran con el procesador Maple 9, y los ejercicios de la clase, se les pide a los y las estudiantes que los realicen con el mismo procesador. El docente debe solicitar a los alumnos (as), al finalizar la clase, que envíen sus tareas de la clase por Internet de forma individual, ordenadas en una carpeta llamada portafolio, con fecha del día respectivo y con nombre de la actividad.

79

c) Programación de la clase: Actividades a Desarrollar en el Aula Clase Actividades del Docente

Tiempo

Actividades del Estudiante

Inicio: Se plantean los objetivos la Atienden a la motivación clase.

para interiorizarse en el

Motivación.

tema

de

La

función

Se muestra una historia que se Exponencial 1

llama: El ajedrez y los granos de responden

y algunas

2 horas

trigo, para introducir el concepto preguntas del docente. de Función Exponencial y para llamar la atención de los y las estudiantes.

Se

plantean

preguntas. Desarrollo: Formalización de Contenidos. Se

define

el

concepto

de Toman atención a la

Función Exponencial, mostrando explicación,

realizan

un ejemplo, y se analiza el preguntas y contestan comportamiento de esta función, interrogantes que el o la es decir, cuando se le asigna un docente realiza cuando valor a la base de la función presenta los contenidos, Exponencial.

de forma individual y grupal.

80

También identifican los tipos

de

Función,

cuando su base cambia

Cierre: Conclusiones Se

plantean

ejercicios Realizan el desarrollo de

para resolver en clases. La

evaluación

ejercicios: de

los 1)

Ejercicios:

con

ejercicios se realiza con análisis función exponencial de de gráficos. 1)

base > 1. Para

la

base 2) Ejercicios con función

perteneciente al intervalo [0,1], exponencial

de

base

se muestra el comportamiento entre 0 y 1 de las funciones en un gráfico.

Deben

trabajar

2) Para la base mayor individualmente, que

1,

se

muestra

el después

comportamiento de las funciones opiniones en un gráfico.

para

compartir entre

ellos

mismos.

Cuadro 5: Propuesta de actividades para el estudio de las características de la función Exponencial.

81

2.12.- CLASE 2 12.2.- Breve Descripción de la actividad. Se comienza con un resumen de la clase anterior, después se introduce una propiedad de la función exponencial, definiciones y se estima el número e. Para finalizar con la realización de ejercicios. 12.2.- Conocimientos Previos de los estudiantes.

•

Potencias y sus propiedades.

•

Definición de La Función Exponencial.

•

Uso de Maple 9.

12.3.- Detalles de Contenidos.

•

Reciprocidad de la Función Exponencial.

•

Corte en el eje de ordenada.

•

Asíntotas.

•

Número e.

12.4.- Horas estimadas para la clase: 2 horas pedagógicas. 12.5.- Aprendizajes esperados u Objetivos Específicos. Los y las estudiantes serán capaces de: •

Analizar expresiones algebraicas.

•

Comparar funciones.

•

Estimar el número e

82

12.6.- Marco Referencial de la clase del Proceso de Enseñanza Aprendizaje. a) Materiales o Recursos Metodológicos: Computador, Proyector, Internet al finalizar la clase. b) Indicaciones al docente: Esta clase se realiza en el laboratorio de computación, cada alumno(a) trabaja con el procesador simbólico. El docente debe solicitar a los alumnos(as) que envíen sus tareas de la clase por Internet (minutos antes de finalizar la clase), ordenadas en una carpeta llamada portafolio, con fecha del día respectivo y con nombre de la actividad. c) Programación de la clase: Actividades a Desarrollar en el Aula Clase Actividades del Docente

Actividades del

Tiempo

Estudiante Inicio:

2

Articulación de contenidos

Revisan sus apuntes

revisados en clase precedente.

anteriores, para recordar

Se repasa el concepto de

los contenidos

Función Exponencial, con un

examinados en la clase

cuadro comparativo, para

anterior.

2 horas

recordar si la función es creciente o decreciente.

83

Desarrollo: Formalización de Contenidos. Se analiza la reciprocidad que

Toman atención a la

posee la Función Exponencial,

explicación, realizan

con un gráfico. Luego se

preguntas y contestan

examina el punto de Corte en el

interrogantes que el o la

eje de ordenada y después se

docente realiza cuando

estudia la Asíntota. Se termina

presenta los contenidos.

con la presentación del concepto

Interpretan y analizan

de Número e y luego la función

los cambios que ocurren

del Número e.

en las funciones, cuando varían las constantes.

84

Cierre: Conclusiones Se para

plantean

resolver

en

ejercicios Realizan el desarrollo de clases,

la ejercicios:

evaluación de estos se realiza 1) Reciprocidad de la tomando un ejemplo de cada Función: Comprobar y tema:

graficar dos funciones 1) Reciprocidad: se toma con

su

inverso

una función y su recíproca; y se multiplicativo. muestra en un gráfico que son simétricas con respecto al eje y.

2) Corte en el eje de

2) Corte en el eje de ordenada: ordenada: función,

se

escoge

multiplicándola

Graficar

una funciones. por

constantes; y se comprueba que 3) la función corta al eje y.

Asíntota:

Graficar

funciones.

3) Asíntota: se escoge una

función,

sumándoles 4)

Estimación

del

constantes; y se muestra en un número e: Estimar el gráfico.

valor de e, para ciertos

4) Estimación del número e: se valores de x. estima con un valor para la expresión del número e. Después el docente concluye cada ítem con ejercicios y una retroalimentación. Cuadro 6: Propuesta de actividades para el estudio de las propiedades de la función Exponencial y del Número “e”.

85

13.- CLASE 3 13.2.- Breve Descripción de la actividad. Se repasa la función Exponencial. El tema de la clase es: Sistemas de Ecuaciones Exponenciales, se dan ejemplos; para comenzar la realización de los ejercicios. 13.2.- Conocimientos Previos de los estudiantes.

•

Potencias y sus propiedades.

•

Función Exponencial.

•

Uso de Maple 9.

13.3.- Detalles de Contenidos.

•

Ecuaciones Exponenciales.

13.4.- Horas estimadas para la clase: 2 horas pedagógicas. 13.5.- Aprendizajes esperados u Objetivos Específicos. Los y las estudiantes serán capaces de: •

Analizar ecuaciones exponenciales.

13.6.- Marco Referencial de la clase del Proceso de Enseñanza Aprendizaje: a) Materiales

o

Recursos

Metodológicos:

Computador,

Proyector,

cuadernos.

86

b) Indicaciones al docente: En esta clase, se explicará: Sistema de Ecuaciones utilizando el procesador simbólico, y se mostrarán los ejercicios, para que los y las estudiantes los resuelvan en sus cuadernos. Al finalizar la clase el o la docente debe pedir los ejercicios resueltos a los y las estudiantes, y debe resolver algunos ejercicios como retroalimentación c) Programación de la clase: Actividades a Desarrollar en el Aula Clase Actividades del Docente

Actividades del

Tiempo

Estudiante Inicio: Articulación de contenidos

Revisan sus apuntes

revisados en clases

anteriores, para comenzar

precedentes, sobre la Función

la clase.

Exponencial. Desarrollo: Formalización de Contenidos: 3

El docente explica el Sistema

Toman atención a la

de Ecuaciones Exponenciales,

explicación, realizan y

resolviendo ejemplos.

contestan interrogantes,

2 horas

con un rol activo. Cierre: Conclusiones Se plantean ejercicios para

Desarrollan ejercicios:

resolver en clases. El docente

1) Transformar la base de

finaliza la clase con una

una potencia.

retroalimentación: explica

2) Resolver sistema de

algunos ejercicios.

ecuaciones.

Cuadro 7 : Propuesta de actividades para el estudio del Sistema de ecuaciones Exponenciales.

87

2.14.- CLASE 4 2.14.1.- Breve Descripción de la actividad. La matemática se incorpora a la Física.

Para añadir el

concepto de función Exponencial a la vida cotidiana, se utilizan dos ejemplos para mostrar en clase, tales como: el interés compuesto y la descomposición radiactiva. Con ejercicios y conclusiones. 2.14.2.- Conocimientos Previos de los estudiantes.

•

Potencias y sus propiedades.

•

Función exponencial.

•

Uso de Maple 9.

2.14.3.- Detalles de Contenidos.

•

Aplicación Física: Sustancia Radiactiva.

•

Aplicación a la Economía: Interés Compuesto.

•

Solución a ejercicio de Bacteria.

2.14.4.- Horas estimadas para la clase: 2 horas pedagógicas.

88

2.14.5.- Aprendizajes esperados u Objetivos Específicos. Los y las estudiantes serán capaces de:

•

Analizar fenómenos naturales y cotidianos utilizando la Función Exponencial.

•

Modelar fenómenos naturales a través de la Función Exponencial.

2.14.6.- Marco Referencial de la clase del Proceso de Enseñanza Aprendizaje: a) Materiales o Recursos Metodológicos: Computador, Proyector, Internet al finalizar la clase. b) Indicaciones al docente: En esta clase se muestran dos ejemplos de aplicaciones físicas que utilizan la función exponencial. El docente debe solicitar a los alumnos(as) que envíen sus tareas de la clase por Internet, ordenadas en una carpeta llamada portafolio, con fecha del día respectivo y con nombre de la actividad.

89

c) Programación de la clase: Actividades a Desarrollar en el Aula Clase Actividades del Docente

Actividades del

Tiempo

Estudiante Inicio: Articulación de contenidos

Revisan sus apuntes

revisados en clases

anteriores.

precedentes, sobre La Función Exponencial. Desarrollo: Formalización de Contenidos: Aplicaciones Matemáticas para

Atender a la explicación,

la física: se analizará la

realizar y contestar

construcción de dos

interrogantes, con un rol

aplicaciones en la vida diaria.

activo.

4

2 horas Cierre: Conclusiones Evaluación del ejercicio:

Desarrollan el ejercicio:

Aplicación Bacteria. El

Aplicación Bacteria.

docente explica esta

Determinar la función que

aplicación. Al finalizar la clase

representa el número de

se refuerza la utilidad que tiene bacterias después de x La función Exponencial.

horas si se sabe que inicialmente había 20000 bacterias y que la población se cuadruplica cada hora.

Cuadro 8 : Propuesta de aplicaciones para la función exponencial.

90

4.4.- Diseño Curricular de La Tercera Unidad a Tratar: FUNCIÓN LOGARÍTMICA 1.-.Curso (Año): Cuarto Año de Enseñanza Media 2.- Sub-Sector: Matemática 3.- Nombre de la Unidad: Función Logarítmica 4.- Tiempo Estimado para la Unidad: 8 horas Pedagógicas. 5.- Registro de Contenidos Temáticos ejes39:

•

Funciones logarítmicas, sus gráficos correspondientes.

•

Modelación de fenómenos naturales a través de esta función.

•

Análisis de las expresiones algebraicas y gráficas de la función logaritmo.

•

Análisis y comparación de escalas logarítmicas.

Plantear y

resolver problemas sencillos que involucren el cálculo en escalas logarítmicas. •

Uso de programas computacionales de manipulación algebraica y gráfica.

39

MINEDUC. Programa de Estudio, Cuarto Año Medio, Sector Matemáticas. Unidad de Curriculum y Evaluación. Chile: Santiago.

91

Presentación de la Unidad Esta unidad está centrada en el estudio de La Función Logaritmo de modo que lo(a)s estudiantes desarrollen tanto un trabajo cuantitativo como cualitativo de dicha función y sus propiedades, además de contextualizar cada tema con la cotidianeidad y así explicar fenómenos que comúnmente ocurren en nuestro alrededor. Durante la unidad, se enfatiza en que los alumnos y alumnas fundamentalmente trabajen con el procesador simbólico, en algunos casos para ser guiados por el profesor, otro momento para comprobar la enunciación formal de los contenidos, y en otros casos para el desarrollo de los ejercicios. La recopilación de las actividades será principalmente de manera digital en un portafolio y constituirá evidencia del proceso de aprendizaje y llevará calificación adjunta.

6.- Aprendizajes Esperados: Los alumnos y alumnas serán capaces de: •

Analizar el comportamiento gráfico y analítico de la función Logarítmica.40

•

Clasificar las relaciones entre los gráficos, y los parámetros en la función Logarítmica. 41

•

40

Modelar situaciones o fenómenos naturales. 42

MINEDUC. Programa de Estudio, Cuarto Año Medio, Sector Matemáticas. Curriculum y Evaluación. Chile: Santiago. 41 ídem. 42 Ídem.

Unidad de

92

7.- Objetivos Fundamentales Verticales Los y las estudiantes, serán capaces de:

•

Aplicar el proceso de formulación de modelos matemáticos al análisis de situaciones y a la resolución de problemas. 43

•

Percibir la matemática como una disciplina que ha evolucionado y que continúa desarrollándose, respondiendo a veces a la necesidad de resolver problemas prácticos, pero también planteándose problemas propios. 44

•

Construir

aprendizajes

realizando

gráficos,

resolviendo

ecuaciones, a través de un software educativo, para que el o la estudiante se relacione en el mundo de las Nuevas Tecnologías de Información y Comunicación.

43

MINEDUC. Programa de Estudio, Cuarto Año Medio, Sector Matemáticas. Curriculum y Evaluación. Chile: Santiago. 44 Ídem.

Unidad de

93

8.- Objetivos Fundamentales Transversales

•

Desarrollo del pensamiento: orientado a actividades para una selección y organización de información; y las de resolución de problemas y de pensamiento lógico, a través del conjunto de contenidos y actividades orientadas al aprendizaje de algoritmos o procedimientos frecuentes, también a la aplicación de leyes y principios.

El desarrollo del pensamiento también contribuye a

tomar decisiones en la sociedad.45

•

Persona y su entorno: enfocados al trabajo en equipo, con compromiso, planteando cualidades de rigor y perseverancia, originalidad y capacidad de recibir y aceptar consejos y críticas, en el aula. 46

•

Crecimiento y autoafirmación personal: conducentes al interés que el o la estudiante posee, para que pueda relacionar lo aprendido con la realidad del día a día. 47

45

MINEDUC. Programa de Estudio, Cuarto Año Medio, Sector Matemáticas. Curriculum y Evaluación. Chile: Santiago. 46 Ídem. 47 Ídem.

Unidad de

94

9.- Nivel de Mapa de Progreso: La planificación de la Función Logarítmica corresponde al Mapa de Progreso de Algebra, ya que detalla el progreso de la capacidad de utilización de símbolos y el desarrollo matemático.48 Cada nivel de aprendizaje se relaciona con los contenidos ejecutados, en tanto esta unidad corresponde al nivel 5, ya que, se reconoce la función, con representación gráfica; resuelve sistemas de ecuaciones en forma algebraica. 49

10.- Mapa Conceptual de La Unidad: Función Logarítmica

Figura 30: Mapa conceptual Función Logaritmo.

48

.MINEDUC. Unidad de Currículum. Mapas de Progreso del Aprendizaje: Algebra, Sector Matemáticas. Chile: Santiago, 2009. 49 .Ídem.

95

11.- CLASE 1 11.1.- Breve Descripción de la actividad. Se pretende incorporar la definición de Función Logarítmica, a través de una interrogante matemática, creando la necesidad de solución mediante logaritmo, luego se incorpora formalmente el concepto y sus condiciones, se define cada término de la Función y su comportamiento. Se finaliza la clase con una retroalimentación de lo ya aprendido. 11.2.- Conocimientos Previos de los estudiantes.

•

Clasificación de los números.

•

Potencias y sus propiedades.

•

Función Exponencial.

•

Uso de Maple 9.

11.3.- Detalles de Contenidos.

•

Actividad Introductoria a la Función Logarítmica.

•

Definición de La Función Logarítmica.

•

Función Logarítmica con base mayor que 1.

•

Función Logarítmica con base entre 0 y 1.

11.4.- Horas estimadas para la clase: 2 horas pedagógicas.

96

11.5.- Aprendizajes esperados u Objetivos Específicos. Los y las estudiantes serán capaces de:

•

Definir el concepto de Función Logarítmica.

•

Analizar expresiones algebraicas.

•

Comparar gráficos.

•

Resolver ejercicios.

11.6.- Marco Referencial de la clase del Proceso de Enseñanza Aprendizaje: a) Materiales o Recursos Metodológicos: Computador, Proyector. b) Indicaciones al docente: Los contenidos de esta clase, se muestran con el procesador simbólico Maple 9, y los ejercicios de la clase, se les pide a los y las estudiantes que los realicen con el mismo procesador. El docente debe solicitar a los alumnos (as) que envíen sus tareas de la clase por Internet, ordenadas en una carpeta llamada portafolio, con fecha del día respectivo.

97

c) Programación de la clase Actividades a Desarrollar en el Aula Clase Actividades del Docente

Tiempo

Actividades del Estudiante

Inicio: Se plantea el objetivo de la Atienden a la motivación, clase, definir el concepto de discuten

1

entre

ellos

logaritmo.

responden

Motivación.

preguntas del docente.

y

algunas 2 horas

Se presenta una interrogante con la cual se guía al alumno a llegar a una solución como introducción

a

la

Función

Logaritmo. Desarrollo: Formalización de Contenidos. Se

define

el

concepto

de Comprueban

con

el

Función Logaritmo, mostrando procesador simbólico los ejemplos posibles,

con y

se

comportamiento función,

es

los

casos casos

analiza de

decir,

el cambiando los parámetros esta característicos

si

posibles, de

cada

le caso.

asignamos un valor a la base “a”,

se

estudiarán

las

características de dicho caso. Se ejemplifica en los dos casos posibles.

98

Cierre: Conclusiones Se plantean ejercicios Desarrollo de ejercicios: para resolver en clases.

1) Ejercicios: con función

La evaluación de los logarítmica de base > 1. ejercicios se realiza con el 2) Ejercicios con función análisis de gráficos 1)

Para

logarítmica de base entre la

base 0 y 1

perteneciente al intervalo [0,1], se muestra el comportamiento de las funciones en un gráfico, observando

que

es

decreciente, con dominio en los reales positivos y recorrido en los reales. 2) Para la base mayor que 1, se observa que la función

es

creciente,

con

dominio en los reales positivos y recorrido en los reales. Cuadro 9: Propuesta de actividades para el estudio de las características de la función Logarítmica.

99

12.- CLASE 2 12.1.- Breve Descripción de la actividad: Se comienza con un resumen de la clase anterior, después se introduce algunas propiedades de la función logarítmica, asíntota y el caso del logaritmo natural. 12.2.- Conocimientos Previos de los estudiantes.

•

Potencias y sus propiedades.

•

Definición de la Función Exponencial.

•

Definición de la Función Logaritmo.

•

Uso de Maple 9.

12.3.- Detalles de Contenidos.

•

Dominio de la Función Logaritmo.

•

Propiedad de simetría de la Función Logaritmo con la Función Exponencial (funciones inversas una de la otra).

•

Corte en el eje de abscisa.

•

Asíntotas.

•

Logaritmo natural.

12.4.- Horas estimadas para la clase: 2 horas pedagógicas.

100

12.5.- Aprendizajes esperados u Objetivos Específicos: Los y las estudiantes serán capaces de:

•

Analizar expresiones algebraicas.

•

Comparar funciones.

•

Resolver ejercicios.

•

Identificar el logaritmo natural.

12.6.- Marco Referencial de la clase del Proceso de Enseñanza Aprendizaje: a) Materiales o Recursos Metodológicos: Computador, Proyector. b) Indicaciones al docente: Esta clase se realiza en el laboratorio de computación, cada alumno(a) o grupo trabaja con el procesador simbólico los contenidos de la clase.

101

c) Programación de la clase: Actividades a Desarrollar en el Aula Clase Actividades del Docente

Actividades del

Tiempo

Estudiante Inicio:

2

Articulación de contenidos

Atienden, reconocen y

revisados en clases

comprueban, a través del

precedentes. Se repasa el

software, propiedades

concepto de Función

presentadas.

2 horas

Logaritmo, con un cuadro comparativo para recordar si la función es creciente o decreciente. Desarrollo: Formalización de Contenidos. Se analiza una propiedad de

Comprueban con el

Simetría de la Función

procesador simbólico la

logaritmo y la función

simetría utilizando bases

exponencial con respecto a la

de distinto valor (positivo),

función y=x a través de

le adicionan y ponderan

gráficos.

una constante.

Se reconocen la función exponencial y logaritmo como funciones inversas entre sí. Luego se analiza el corte en el eje de las abscisas si se le pondera o agrega una constante.

102

Cierre: Conclusiones de cada tema.

Desarrollo de ejercicios:

Evaluación de los ejercicios.

1) Propiedad de simetría (relación inversa entre sí de función logaritmo y exponencial. 2) Constante Multiplicativo y la adición. 3) Logaritmo natural y base relación con “e” .

Cuadro 10: Propuesta de actividades para el estudio de propiedades del Logaritmo Natural.

103

13.- CLASE 3 13.1.- Breve Descripción de la actividad. Se repasa la Función Logarítmica y sus propiedades. El tema de esta clase es: resolver ecuaciones logarítmicas de distintas características, algunos ejemplos, para finalizar con la resolución de ejercicios. 13.2.- Conocimientos Previos de los estudiantes.

•

Potencias y sus propiedades.

•

Función Exponencial y Logaritmo.

•

Ecuaciones Exponenciales.

•

Uso de Maple 9.

13.3.- Detalles de Contenidos.

•

Ecuaciones Logarítmicas

13.4.- Horas estimadas para la clase: 2 horas pedagógicas. 13.5.- Aprendizajes esperados u Objetivos Específicos. Los y las estudiantes serán capaces de:

•

Resolver ecuaciones logarítmicas y analizar soluciones.

104

13.6.- Marco Referencial de la clase del Proceso de Enseñanza Aprendizaje: a) Materiales o Recursos Metodológicos: Computador, Proyector, cuaderno, calculadora portátil. b) Indicaciones al docente: En esta clase, se explicará: Cómo resolver algunos tipos de ecuaciones logarítmicas utilizando el procesador simbólico para el análisis gráfico, y se mostrarán los ejercicios, para que los y las estudiantes los resuelvan en sus cuadernos. Al finalizar la clase el o la docente debe pedir los ejercicios resueltos a los y las estudiantes, y debe resolver algunos ejercicios con y sin ayuda del computador. c) Programación de la clase: Actividades a Desarrollar en el Aula Clase Actividades del Docente

Actividades del

Tiempo

Estudiante Inicio: Articulación de contenidos

Atienden y comprueban a

revisados en clases

través del software

precedentes, sobre la Función

propiedades presentadas.

Logarítmica. 3

2 horas

105

Desarrollo: Formalización de Contenidos: Resolución, el docente

Comprueban resultados

presenta ejemplos de

mediante el análisis

resolución de ecuaciones que

gráfico, guiados por el

intervengan logaritmos.

profesor.

Cierre: Conclusiones Se plantean ejercicios Desarrollo de ejercicios: para

resolver

en

clases. 1) Transforman

Evaluación de los ejercicios.

expresiones para cambio

La evaluación de los de base. ejercicios se realiza en el 2) Determinan qué procesador simbólico.

logaritmo es mayor o menor. 3) Resuelven inecuaciones. 4) Determinar dominio y recorrido.

Cuadro 11: Propuesta de actividades para el estudio de Ecuaciones Logarítmicas.

106

14.- CLASE 4 14.1.- Breve Descripción de la actividad. La matemática se incorpora a la Física.

Para añadir el

concepto de función Logarítmica a la vida cotidiana, se utilizan ejemplos para mostrar en clase, como es la escala Richter en distintos casos, con ejercicios y conclusiones. 14.2.- Conocimientos Previos de los estudiantes.

•

Función Logarítmica.

•

Propiedades de logaritmo.

•

Uso de Maple 9.

14.3.- Detalles de Contenidos.

•

Repaso de la Función Logaritmo

•

Aplicación Física: Escala Richter.

14.4.- Horas estimadas para la clase: 2 horas pedagógicas. 14.5.- Aprendizajes esperados u Objetivos Específicos. Los y las estudiantes serán capaces de:

•

Modelar fenómenos naturales a través de la función logarítmica.

107

14.6.- Marco Referencial de la clase del Proceso de Enseñanza Aprendizaje: a) Materiales o Recursos Metodológicos: Computador, Proyector. b) Indicaciones al docente: En esta clase se muestran ejemplos de algunas aplicaciones físicas que utilizan la función logarítmica. c) Programación de la clase: Actividades a Desarrollar en el Aula Clase Actividades del Docente

Actividades del

Tiempo

Estudiante Inicio:

4

Articulación de contenidos

Alumnos y alumnas

revisados en clases

realizan un resumen con

precedentes, sobre La Función

las curvas y parámetros

Logaritmo.

involucrados en la función

2 horas

logaritmo (asíntota, corte). Desarrollo: Formalización de Contenidos. Aplicaciones en la Física

Atienden a las características de la Escala Richter. Modelan el comportamiento mediante función logaritmo.

108

Cierre: Conclusiones Evaluación del ejercicio:

Desarrollo de ejercicios:

Escala Richter. El docente

Escala Richter

explica esta aplicación.

Determinan valores de dicha escala para distintos tipos de terremotos.

Cuadro 12 : Propuesta de actividades para el estudio de las aplicaciones en la función Logarítmica.

109

Capítulo 5: Propuesta Consideraciones Generales Objetivo General: Diseñar actividades metodológicas, para desarrollar en el aula, en el sub - sector de Matemática, para el o la docente y para el alumno(a), utilizando un procesador simbólico, correspondiente a contenidos de Tercer y Cuarto Año de Enseñanza Media. Específicamente, se proponen actividades para el estudio de las siguientes funciones: 1. Función Cuadrática correspondiente a Tercer Año de Enseñanza Media; 2. Función Exponencial correspondiente a Cuarto Año de Enseñanza Media; 3. Función Logarítmica correspondiente a Cuarto Año de Enseñanza Media. Cada clase establece claramente los objetivos a lograr, actividades introductorias a la función respectiva para luego formalizar los contenidos además de problemas y ejercicios para los estudiantes y con ello logren los aprendizajes esperados para la jornada a través de la obtención de propias conclusiones y la comparación de las mismas con las entregadas por el docente al finalizar cada sesión.

110

FUNCIÓN CUADRÁTICA Clase 1 Objetivos >

`Objetivos`;

> `1. Reconocer el concepto de función cuadrática`; > `2. Identificar la representación gráfica de la función cuadrática`; Actividad Introductoria > `Imaginemos que se lanza una bengala.`; > `Si dibujáramos con un lápiz el camino que recorrería el haz de luz`; >`¿Qué dibujo veríamos?`; > `Para responder esta interrogante, miremos la siguiente animación:`; >restart: with(plots): >a1:=pointplot({[0,0]},

symbol=circle,

color=[black],

tickmarks=[0,0]): >a2:=pointplot({[0,0],[10,400]}, color=[black,red],

symbol=circle,

tickmarks=[0,0]):

>a3:=pointplot({[0,0],[10,400],[20,800]},symbol=circle, color=[black,red,navy],tickmarks=[0,0]): >a4:=pointplot({[0,0],[10,400],[20,800],[30,600]}, symbol=circle,

color

=

[black,

red,

navy,

yellow],

tickmarks=[0,0]): >a5:=pointplot({[0,0],[10,400],[20,800],[30,600], [40,200]},symbol=circle, color=[black,red,navy,yellow,kakhi],tickmarks=[0,0]):

111

>a6:=pointplot({[0,0],[10,400],[20,800],[30,600],[40,200], [60,0]},symbol=circle,color=[black,red,navy,yellow,kakhi.gr een], tickmarks=[0,0]): >display({a1,a2,a3,a4,a5,a5},insequence=true); > `Si uniéramos los puntos con una línea continua, ¿qué veríamos?:`; >plot(2*x^2+5*x,x=0..3,y=0..4,color=green,tickmarks=[0,0],thickne ss=3);

Figura 31. Trayectoria haz de luz de una bengala

> `La curva que observamos se conoce con el nombre de "Parábola"`; > `y corresponde al gráfico que se obtiene de una Función Cuadrática`; > `Un ejercicio para tí, ¿Dónde has visto esta figura en otro lugar?`; Definición > `DEFINICIÓN`; > `Se llama función de 2º grado o función cuadrática a la función de la forma:`;

112

> f(x)=a*x^2+b*x+c; >`Expresión

que

corresponde

a

la

función

cuadrática

completa`;`donde a, b y c números reales y a distinto de 0`; Representación Gráfica > `REPRESENTACIÓN GRÁFICA`; > `como vimos en la introducción la trayectoria que sigue el haz de luz en el aire`; > `corresponde a una "Parábola"`; > `cuyo gráfico es:`; > restart: >plot(-2*x^2+5*x,

x=0..3,

y=0..4,

color=green,

tickmarks=[0,0],thickness=3); > `La función cuadrática asociada a este gráfico es:`; > f(x)=-2*x^2+5*x; `donde`; > a=-2; `es el coeficiente cuadrático de la función`; > b=5; `es el coeficiente lineal de la función cuadrática`; > c=0; `es el término independiente de la función`; > `En este caso, el valor de a es menor que cero (a < 0)`; > `Luego, ¿Cómo es el gráfico?`; > `Vemos que la parábola es "invertida"`; > `Miremos el siguiente ejemplo:`; > `la parábola cuya función está dada por:`; > f(x)=x^2;donde:`;a=1;b=0;c=0; > `Su gráfico es:`;restart: >plot(x^2,x=5..5,y=0..4,

color=green,

tickmarks=[0,0],

thickness=3);

113

Figura 32. Función f(x)=x

>

`Vemos

que

el

gráfico

muestra

2

que

la

parábola

es

simétrica al eje X`; > `En este caso vemos que el valor de a es positivo (a > 0)`; > `Finalmente, el gráfico para este caso es una parábola derecha`; > `y el gráfico muestra que la parábola es simétrica al eje X`; > `Luego podemos concluir que dependiendo del valor del coeficiente cuadrático de la función, es el gráfico que presenta`; > `Además, el valor de a depende de la abertura de la parábola, lo que se conoce como excentricidad`; Forma Estándar de la Función Cuadrática > `Forma Estándar de la Función Cuadrática`; > `Para efectos interpretativos de la expresión:`; > `Conviene expresarla de modo distinto`;

114

> `Para esto factorizamos por a, ya que a distinto de cero`; > `Entonces dividimos

el

primer y

segundo

miembro

de

f ( x )`; > f(x)=a*[x^2+(b/a)*x]+c; >`Podemos

ver

que

la

expresión

que

se

encuentra

en

el

paréntesis`; >`Se puede escribir como cuadrado perfecto, es decir`; > f(x)=a*[x+(b/2*a)]^2-(b^2/(4*a^2))+c; >`Ahora

definiremos

tres

constantes

a,

h,

k,

de

modo

siguiente:`; >a = a;h = -b/(2*a);k = c - b^2/(4*a^2); >`De manera que f ( x ) adopta la siguiente expresión: >`Diremos

que

es

la

forma

estándar

de

la

función

cuadrática`; > f(x) = a*(x-h)^2+k; Ejercicios I. Grafica las siguientes funciones. Además encuentra el dominio y recorrido de cada una: a) b) c) • Conclusión > `La función cuadrática es de la forma`; > f(x)=a*x^2+b*x+c; > `Cuya representación gráfica es una parábola`;

115

Clase 2 Objetivos > `Objetivos`; >

`1.

Encontrar

y

analizar

la

expresión

que

permita

calcular las coordenadas del vértice de la función`; >

`2.

Identificar

los

puntos

máximos

y

mínimos

de

una

función cuadrática`; >

`3.

Determinar

los

intervalos

de

crecimiento

y

decrecimiento de una función cuadrática`; Actividad Introductoria > `En las prácticas de golf un jugador intenta alcanzar el green con un lanzamiento de la pelota, la cual describe una trayectoria parabólica. La altura de la pelota se puede obtener a partir de la siguiente función cuadrática:`; > h(t)=-5*t^2+50*t; > `En la que h corresponde la altura y t el tiempo medido en segundos desde el cual fue lanzada la pelota`; > `Si graficamos la función h, ¿Qué característica tiene la curva?`; > `Respecto del gráfico, analiza y responde las siguientes preguntas:`; > `1. ¿Qué es el eje de simetría?`; > `2. ¿En qué punto intercepta el eje de simetría a la parábola?`; > `3. ¿Qué punto considerarías el vértice de la parábola? ¿Por qué?`;

116

> `4. ¿Qué sucede con la pelota en el intervalo de tiempo 0 y 5 segundos ?`; > `5. ¿Qué sucede con la pelota en el intervalo de tiempo 5 y 10 segundos ?`; > `Vemos que la parábola es simétrica con respecto a un eje, además existe un punto en la curva que llamaremos Vértice`; Vértice > `VÉRTICE`; > `Recordemos que la función cuadrática es de la forma:`; > f(x)=a*x^2+b*x+c; > `y su forma estándar es:`; > f(x)=a(x-h)^2+k; > `Ahora, vamos a demostrar que el vértice de la parábola es:`; V(h,k)=(-b/(2*a),-(b^2-4*a*c)/(4*a)); > restart: `Sea la función:`; > f(x)=a*x^2+b*x+c; > `Factorizando por a, se tiene:`; > f(x)=a(x^2+(b*x)/a+c/a); > `Sumando y restando el término `;b^2/(4*a^2); > f(x)=a*((x^2+(b/a)*x+(b*(1/(2*a))^2)-(b/(2*a))^2+c/a)); > `Completando Cuadrado de Binomio, tenemos:`; > f(x)=a*(((x+b/(2*a))^2-(b/(2*a))^2+c/a)); > `Sumando los términos libres, queda:`; > f(x)=a*((x+b/(2*a))^2-(b^2-(4*a*c))/(4*a^2));restart: >

`Resolviendo

el

paréntesis

se

obtiene

la

siguiente

expresión:`;

117

> f(x)=a*((x+b/(2*a))^2-(b^2-(4*a*c))/(4*a));`donde`; > h=-b/(2*a); k=-(b^2-4*a*c)/(4*a); >

`Luego,

reemplazando

h

y

k

en

la

función

f(x),

se

tiene:`; > f(x):=a*(x-h)^2+k;f(x):=a*(x-h)^2+k; > `V(h,k)=(-b/(2*a)-(b^2-4*a*c)/(4*a))`; > `Ejemplo 1`;`Sea la función`; >

f(x)=x^2+2*x+3;`Sabemos

que

el

vértice

se

puede

determinar utilizando la expresión`; > `V(h,k)=(-b/(2*a)-(b^2-4*a*c)/(4*a))`;a:=1; b:=2;c:=3; > h:=-b/(2*a);k:=-(b^2-4*a*c)/(4*a); > `Luego, el vértice de la parábola es:`; > V:=(-b/(2*a)-(b^2-4*a*c)/(4*a); >plot(x^2+2*x+3,

x=-4..3,

y=0..10,

color=[navy],

tickmarks=[0,0]);

2

Figura 33. Función f(x)=x +2x+3

Extremos > `MÁXIMO Y MÍNIMO`; > `Como ya vimos en la sección anterior, el vértice de la parábola está dado por:`; > V(h,k)=(-b/(2*a),-(b^2-4*a*c)/(4*a));`rec(f) =[-00,0]`;

118

>

`Este

punto

puede

ser:

mínimo

o

máximo’;’

En

qué

situaciones se habla de máximo?, mínimo?`; > `Analizaremos los siguiente ejemplos:`; > `1. Sea la función`;f(x)=7*x+6-4*x^2; > `Donde:’; a:=-4;b:=7;c:=6; > h:=-b/(2*a);k:=-(b^2-4*a*c)/(4*a);f(x):=a*(x-h)^2+k; > V:=((-b/(2*a),-(b^2-4*a*c)/(4*a))); > `Si graficamos f, tenemos`; >plot(7*x+6-4*x^2,

x=-2..3,

y=0..10,

tickmarks=[0,0],

color=navy, thickness=3);

2

Figura 34. Función f(x)=-4x +7x+6

>

`En

el

puesto que

gráfico

vemos

que

a=-4`; `además,

la

parábola

es

invertida

el vértice es:`;

> V:=((-b/(2*a),-(b^2-4*a*c)/(4*a))); > `Por lo tanto, el vértice de la parábola corresponde a un Máximo Relativo de la función f.`; > `Ejemplo 2`; > `Un ganadero quiere construir un corral rectangular de 1000 metros de cercado`; > ` ¿Cuáles deben ser las dimensiones del corral para que el área cercada sea máxima?`;

119

> `Solución`; > `Llamaremos a al ancho y l al largo’;’ luego el área está dado por la expresión`;A=a*l; > `Como dato, tenemos el perímetro`; `P=1000 m`; > `Por lo tanto`; restart: P=2*a+2*l; > 1000=2*a+2*l; > `Despejando l de la expresión anterior, tenemos`; > l=1/2*(1000-2*a); > `Sustiyendo l en el área, se tiene, `; > A=a*1/2*(1000-2*a); > A=500*a-a^2; >

`Ahora

tenemos

una

función

cuadrática,

que

permite

calcular el área del corral`; > `Primero, determinamos el vértice`; > a:=-1;b:=500;c:=0; > V:=((-b/(2*a),-(b^2-4*a*c)/(4*a))); >

`Como

el

coeficiente

cuadrático

es

menor

que

cero,

entonces tiene un máximo relativo`; > plot(500*a-a^2,color=navy,a=0..100); > `Luego, las dimensiones del corral son: `; > a:=7/8; > l=1/2*(1000-2*a); Monotonía > `Sea f una función definida en un intervalo,`;` y sean X1 y x2`; > `dos valores cualesquiera en ese intervalo, entonces`; > `(i) f es creciente si`; > x1 f(x)=x^2+2*x; >plot(x^2+2*x,

x=-3..2,

y=-1..3,

color=navy,

tickmarks=[0,0]);

2

Figura 35. Monotonía de la función f(x)=x +2x

> `(ii) f es decreciente si`; > x2 f(x)=a*x^2+b*x+c; >`Entonces`; > `El vértice de la función está dado por la expresión: ` > V(h,k)=(-b/(2*a),-(b^2-4*a*c)/(4*a)); > `Y a partir del vértice podemos reconocer gráficamente la monotonía de la función`: > `Es decir, verificar en que intervalos la función crece y en cuales está decrece`; > `En otras palabras:`; > `f es creciente si`; > `Para todo x1,x2 e A: x1`Para todo x1,x2 e A: x20), entonces se dice que el vértice es un Mínimo Relativo`; >`Si la curva que presenta la función cuadrática es cóncava hacia abajo(a `Objetivos`; > `1. Caracterizar distintas traslaciones que presenta la función cuadrática`; Actividad Introductoria Grafica las siguientes funciones

Ahora, responde las siguientes preguntas a partir del gráfico. a) ¿Qué ocurre con los gráficos? b) ¿Cuál es el eje de simetría para cada caso? c) ¿Qué ocurre con los máximos o mínimos que presentan cada función? Traslación Horizontal > restart: with(plots): >a1:=plot([x^2],x=-10..10,

y=0..5,

color=[cyan],

thickness=2, tickmarks=[0,0]): >a2:=plot([x^2,(x-4)^2],x=-10..10,

y=0..5,

color=[cyan,navy], thickness=[2,3], tickmarks=[0,0]): > display({a1,a2}, insequence=true);

124

Figura 36. Traslación de la función f(x)=x

2

> `¿Qué relación existen entre ambas parábolas?`; > `Vemos en el gráfico, que la curva verde es la que tiene centro en (0,0),`;`en cambio la parábola dibujada en azul tiene su vértice en el punto (4,0)`; > `Y corresponde a la traslación de la primera parábola a lo largo del eje X en cuatro unidades’;’ generalizando la expresión anterior`; >

`Definamos

la

función:`;

f:=x->(x-h)^2;donde

h

es

un

número real `; > `Si h > 0, ¿qué ocurre con la parábola?`; > `Para resumir, miremos la siguiente animación:`; > restart:with(plots): >a:=plot(x^2,

x=-10..10,

y=0..25,

color=[green]

x=-5..8,

y=0..25,

tickmarks=[2,4]): >b:=plot([x^2,(x-2)^2], color=[green,navy],

tickmarks=[2,4],

thickness=[2,2],

linestyle=[3,1]):

125

>c:=plot([x^2,(x-2)^2,(x-5)^2],

x=-10..15,

y=0..25,

color=[green,navy,red],tickmarks=[2,4],thickness=[2,2,3],li nestyle=[3,3,1]): > display({a,b,c}, insequence=true); Traslación Vertical >

`Considemos

la

función`;f(x)

=

x^2;

plot(x^2,x=-

5..5,color=navy,tickmarks=[0,0]); >`Ahora,

¿qué

ocurre

si

movemos

esta

parábola

horizontalmente?`; `Para analizar lo que ocurre generaremos la siguiente animación:`; > restart: with(plots): > a1:=plot(x^2,x=-10..10,

color=[green],tickmarks=[0,0]):

>a2:=plot([x^2,x^2-10],

x=-10..10,

color=[green,navy],

tickmarks=[0,0]): >a3:=plot(

[x^2,

x^2-10,

x^2-20],

x=-10..10,

color=[green,navy,red],tickmarks=[0,0]): > display({a1,a2,a3},insequence=true);

126

Figura 37. Animación de la traslación horizontal de la función f(x)=x

2

> `En el ejemplo anterior, vemos que el gráfico de la función se traslada en sentido vertical, en comparación a la función original`; >`Por

lo

que

se

puede

decir

que

si

k `Ahora, ¿qué ocurre si k>0? >restart: >with(plots): > a1:=plot(x^2,x=-10..10, >a2:=plot([x^2,x^2+10],

color=[green],tickmarks=[2,4]): x=-10..10,

color=[green,navy],

tickmarks=[2,4]): >a3:=plot([x^2,

x^2+10,

x^2+20],

x=-10..10,

color=[green,navy,red],tickmarks=[0,0]): > display({a1,a2,a3},insequence=true);

127

Figura 38. Animación de la traslación vertical de la función f(x)=x

2

Traslación General >

`Sea la función f definida como: `; f(x)=(x-2)^2+5;

> ` ¿Cómo se traslada la función f con respecto a la x^2?`; > `La respuesta a esta interrogante tenemos la siguiente animación: ` > restart:with(plots): >a1:=plot(x^2,

x=-10..10,

y=-1..30,

color=green,

tickmarks=[0,0],): >a2:=plot([

x^2,

(x-2)^2],

x=-10..10,

color=[green,navy],thickness=[2,2,3],

y=-1..30,

linestyle=[3,3,1],

tickmarks=[0,0],): >a3:=plot([ x^2, (x-2)^2, (x-2)^2+5], x=-10..7, y=-1..30, color=[green,navy,red], tickmarks=[0,0], thickness=[2,2,3], linestyle=[3,3,1]): > display({a1,a2,a3},insequence=true);

128

Figura 39. Animación de la traslación vertical de la función f(x)=x

2

> `Reconocemos el gráfico dibujado en verde a la función canónica:`;f(x)=x^2; > `A partir de ello, vemos que la función graficada en azul,

presenta

una

traslación

de

tipo

horizontal,

dos

unidades hacia la derecha`; > `En cambio la curva roja, se traslado en dos sentidos, es decir subió 5 unidades y avanzó 2`; Ejercicios I. Hallar el vértice de las siguientes funciones a) b) c)

129

Conclusión >

`Si

h f(x)=x^2; >

`Si

h>0,

entonces

la

función

presenta

una

traslación

horizontal que corresponde el movimiento hacia la derecha`; > `Si la función cuadrática es de la forma: `; >

f(x)=x^2+k;`con

k

real’;’

se

dice

que

se

traslada

verticalmente`;

130

Clase 4 Objetivos > `Objetivos`; > `1.Relacionar el discriminante de la ecuación cuadrática con las raíces de la función cuadrático `; Actividad Introductoria Consideremos un ave que vuela a cierta altura sobre el nivel del mar, luego tiene tres opciones posibles de vuelo 1. El ave se lanza desde una altura, se sumerge en el agua y siguiendo una trayectoria parabólica emerge, que está dada por la expresión: > h1=t^2-8*t+9; >plot(t^2-8*t+9,

t=0..10,

y=(-10..10),color=[blue],

linestyle=[3],tickmarks=[0,0]);

Figura 40. El ave corta en dos puntos el mar

131

2. El ave se lanza y solo toca el agua para luego elevarse nuevamente, dada por la expresión: > h2=t^2-8*t+16; >plot(

t^2-8*t+16,

t=0..10,

y=0..20,color=[green],

linestyle=[3],tickmarks=[0,0]);

Figura 41. El ave corta en un punto el mar

132

3. El ave sigue un movimiento parabólico y en ningún instante toca el agua. > h3=t^2-8*t+20; >plot(t^2-8*t+20,

t=0..10,

y=0..20,

color=[cyan],

linestyle=[3],tickmarks=[0,0]);

Figura 42. El ave no se sumerge en el mar

¿Qué diferencias notas en los tres casos anteriores? Discriminante > `Sea la función cuadrática escrita de forma general:`; f(x)=a*x^2+b*x+c; > `Los puntos en los cuales la parábola corta el eje X, en otras palabras y=0,`;

133

>

`Se

obtiene

al

resolver

la

ecuación

cuadrática`;ax^2+bx+c=0;

> `Dependiendo de la soluciones, sabremos si se corta el eje X en dos puntos, uno o ninguno`; >

`En

otras

palabras

dependerá

de

lo

que

llamaremos

Discriminante, que denotaremos por "d"`; > `Y lo definiremos como:`; > d:=b^2-4*a*c; > `Veamos algunos ejemplos:`; > f(x)=x^2-8*x+9; > a:=1:b:=-8:c:=9: > d:=b^2-4*a*c; > `Como el determinante es menor que cero, entonces la parábola no corta el eje x. `; > `Comprobemos: `; > `Busquemos los puntos: `;eq:=x^2-8*x+9; > sols:={solve(eq,x)}; >plot(x^2-8*x+20,

x=0..10,

y=0..20,color=[cyan],

linestyle=[3],tickmarks=[0,0]);

134

Figura 43. Discriminante menor que cero

Ejercicios I. Estudie el signo de cada una de las siguientes funciones: a) y=2*x^2-5*x+2 b) y=-x^2+4*x-4 c) y=-x^2-3*x II. ¿Para qué valores de x la función f(x)=-x(x+2) asume valores positivo? III. Determine k de modo que -2*x^2+6*x+(k-1) `Si el discriminante d es menor que cero, la función cuadrática no admite raíces reales`; >

`es

decir,

la

ecuación’;

a*x^2+b*x+c=0

no

tiene

soluciones reales`; > `y la parábola no intercepta el eje X`; > `Si el discriminante d es igual que cero, la función cuadrática admite una raíz real`; > `en decir, la ecuación’; a*x^2+b*x+c=0 tiene dos ráices reales e iguales.`; > `y la parábola

intercepta en un punto el eje X`;

> `Si el discriminante d es mayor que cero, la función cuadrática admite dos raíces reales`; > `en decir, la ecuación’; a*x^2+b*x+c=0 tiene soluciones reales y distintas`; > `y la parábola

intercepta en dos puntos el eje X`;

136

FUNCIÓN EXPONENCIAL Clase 1 Objetivos > `Objetivos`; > `Definir el concepto de Función Exponencial.`; > `Determinar dominio y recorrido de la Función Exponencial` > `Analizar expresiones algebraicas.`; > `Comparar gráficos.`; > `Resolver ejercicios, según la base.`; Actividad Introductoria > `Actividad Introductoria` > `El ajedrez y los granos de trigo.`; > `Historia: Un rey quiso premiar las dotes adivinatorias de un sacerdote.`; > `El sacerdote pidió 2 granos de trigo por la primera casilla de un tablero de ajedrez,`; > `4 por la segunda, 8 por la tercera, y el doble cada vez por cada nueva casilla. `; > `El rey pareció complacido por la modestia del sacerdote, hasta que comprobó la magnitud de su petición,`; > `una cantidad inimaginable, que no se almacenaba en todo el reino.`; > `¿Cómo se puede escribir matemáticamente la petición del sacerdote?`; > `Veamos:`; > `Si por la primera casilla pide 2 granos de trigo.`;

137

> 2=`2`^1; > `Por la segunda casilla pide 4 granos.`; > 4=`2`^2; > `Por la tercera casilla pide 8 granos.`; > 8=`2`^3; > `Por la cuarta casilla pide 16 granos.

Tenemos:`;

> 16=`2`^4; > `Vemos que si al número 2 lo elevamos al número de casillas (número natural), resultan los granos de trigos dados,`; > `así se cumple que la cantidad de trigos por casilla es el doble de la cantidad de trigo anterior,`; `entonces la petición se puede escribir como:`; > restart:

F:=n->2^n: f(n)=F(n);

> `De esta manera se puede formular otras preguntas como: ¿Cuántos granos de trigo corresponden a 8 casillas?`; > f(8)=`2`^8; > f(8)=F(8); > `¿Cuántos granos de trigo corresponden a 20 casillas?`; > f(20)=`2`^20; > plot(F, 0..6,0..30,thickness=4,color=aquamarine,tickmarks=[0,6]);

138

Figura 44. “El ajedrez y los granos de trigo”

> `¿Cuál es el dominio de esta función, si el número de casillas de un tablero de ajedrez es de 64?`; > `Como n es la variable dependiente, tiene como dominio a los números naturales en el intervalo: [1,64].`;

Función Exponencial Introducción > `La Función Exponencial es del tipo:`;f(x)=b^x;

b1;

b>0; > `Donde b es la base, que pertenece a los números reales.`; > `Donde x es el exponente, un número real.`; > `Tal como se muestra:`;

139

> restart:

with(plots):

f:=x->2^x:

pointplot({[-6,f(-

6)],[-5,f(-5)],[-4,f(-4)],[-3,f(-3)],[-2,f(-2)],[-1,f(1)],[0,f(0)],[1,f(1)],[2,f(2)],[3,f(3)],[4,f(4)],[5,f(5)],[ 6,f(6)]},ytickmarks=[f(0),f(1),f(2),f(3),f(4),f(5),f(6)],xt ickmarks=[-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6], title=`f(x)=2^x`);

Figura 45. Función Exponencial en puntos

> `Va a depender del valor que se le asigne a x`; > `Por ejemplo: si x=4, y será 16.`; > `El comportamiento de la función exponencial va a depender de:`; > `Base > 1`; > `0 > Base > 1`;

140

Base: b > 1. > `Grafiquemos las funciones:`; > restart: P:=x->4^x: p(x)=P(x);

p:=x->4^x:

> plot(p,-4..4,0..4,color=khaki,thickness=4);

Figura 46. Base mayor que 1

> restart: T:=x->9^x: t(x)=T(x);

t:=x->9^x:

> plot(t,-3..3,0..8,color=magenta,thickness=4);

Figura 47. Base mayor que 1

> `¿Qué puede concluir de estos gráficos?`;

141

> `Conclusión:`; > `El dominio de la función son todos los números reales y el recorrido de ésta son los reales positivos.`; > `En los dos casos se trata de una función creciente,`; `cuando su base es mayor que 1.`; > `Se observa que la curva intersecta al eje de ordenadas en y=1.`; Ejercicios: con función exponencial de base > 1. > restart: `Ejercicios: Grafique las siguientes funciones e indique su dominio y su recorrido.`;

`Utilizando

plot(k).`; • • • • • Base: 0 < b < 1. > `Grafiquemos las funciones:`; > restart:

a:=x->(1/5)^x: a(x)=A(x);

a:=x->(1/5)^x:

plot(a,-1.5..1.5,0..5,color=aquamarine,thickness=3);

142

Figura 48. Base entre 0 y 1

> v:=x->(1/6)^x: v(x)=V(x);

v:=x->(1/6)^x:

> plot(v,-2..2,0..10 ,color=navy,thickness=3);

Figura 49. Base entre 0 y 1

> `¿Qué puede concluir de estos gráficos?`; > `Conclusión:`; > `El dominio de la función son todos los números reales y el recorrido de ésta son los reales positivos.`;

143

> `En los dos casos se trata de una función decreciente,`; `cuando su base está entre 0 y 1.`; > `Se observa que la curva intersecta al eje de ordenadas en y=1.`; Ejercicios con función exponencial de base entre 0 y 1. > `Ejercicios: Grafique las siguientes funciones e indique su dominio y su recorrido.`; `Utilizando plot(c)`; > restart:

C:=x->(1/2)^x: c(x)=C(x);

c:=x->(1/2)^x:

• • • • • •

144

Conclusión Ejercicios: con función exponencial de base > 1 > `En el siguiente gráfico se puede observar las funciones de este ejercicio:`; > with(plots): > a1:=plot(2^x,x=-5..5,y=0..15,color=gray,title=`2^x`): > a2:=plot(3^x,x=-5..5,y=0..15,color=green,title=`3^x`): > a3:=plot(5^x,x=-5..5,y=0..15,color=orange,title=`5^x`): > a4:=plot(8^x,x=-5..5,y=0..15,color=pink, title=`8^x`): > a5:=plot(10^x,x=-5..5,y=0..15,color=pink, title=`10^x`): > display([a1,a2,a3,a4,a5],insequence=true,thickness=3);

Figura 50. Función Exponencial con base mayor que 1

> `Se observa que: el dominio de la función siempre son los números reales, y el recorrido son los reales positivos;`; `si aumenta la base,

el comportamiento de la función

siempre es creciente.`; > `Antes del punto (0,1), la función crece más lento.`; > `Después del punto (0,1), la función crece más rápido.`;

145

Ejercicios con función exponencial de base entre 0 y 1. > `En el siguiente gráfico se puede observar las funciones de este ejercicio:`; > restart:

with(plots):

> a1:=plot((1/2)^x,x=4..4,y=0..12,color=gray,title=`(1/2)^x`): > a2:=plot((1/3)^x, x=-4..4, y=0..12, color=green, title=`(1/3)^x`): > a3:=plot((1/4)^x,x=-4..4, y=0..12, color=cyan, title=`(1/4)^x`): > a4:=plot((1/7)^x,x=-4..4, y=0..12, color=violet, title=`(1/7)^x`): > a5:=plot((1/8)^x,x=-4..4, y=0..12, color=violet, title=`(1/8)^x`): > a6:=plot((1/20)^x,x=-4..4, y=0..12, color=pink, title=`(1/20)^x`): > display([a1,a2,a3,a4,a5,a6],insequence=true,thickness=3);

146

Figura 51. Función Exponencial con base entre 0 y 1

> `Se observa que: el dominio de la función siempre son los números reales, y el recorrido son los reales positivos;`; `si disminuye la base,

el valor de la función siempre es

decreciente.`; > `Antes del punto (0,1), la función decrece más rápido.`; > `Después del punto (0,1), la función decrece más lento.`;

147

Clase 2 Objetivos > `Objetivos`; > `Analiza expresiones algebraicas.`; > `Comparar funciones.`; > `Estimar número e`;

Función Exponencial Cuadro Comparativo Criterio

0 < Base < 1

Base > 1

Función

Decreciente

Creciente

Cuadro 13. Tabla comparativa de la función exponencial

Propiedad > `Se ha comprobado que el dominio de la Función Exponencial son todos los números reales.`; `El recorrido de la función exponencial son los números reales positivos.`; > `Veamos la siguiente propiedad:`; > restart:`Las funciones:`;T:=x->2^x: > restart: M:=x->(1/2)^x:

t(x)=T(x);

m(x)=M(x);

> restart: t:=x->2^x: m:=x->(1/2)^x: > plot({t,m},-5..5,y=0..11,thickness=5,tickmarks=[5,5]);

148

Figura 52. Reciprocidad de la Función Exponencial

> `Las curvas son simétricas con respecto al eje de ordenadas.`; > `Entonces, si se tienen dos Funciones Exponenciales, y ambas bases son el inverso multiplicativo de la otra,`; `se cumple que sus curvas son simétricas con respecto al eje de ordenadas (reciprocidad).`;

Ejercicio > `Ejercicios: Compruebe graficando dos funciones con su inverso multiplicativo.`;

Corte en el eje de ordenada. > `Observemos lo que pasa con las siguientes funciones:`; > restart: Z:=x->3*(3^x): v(x)=3*(5^x);

z(x)=Z(x); c(x)=3*(4^x);

b(x)=3*(6^x);

149

> z:=x->3*(3^x): c:=x->3*(4^x): v:=x->3*(5^x): >3*(6^x):

b:=x-

with(plots): a1:=plot(3*(3^x),x=-3..3,y=0..8,

color=gray,title=`3*(3^x)`): a2:=plot(3*(4^x), x=-3..3, y=0..8, color=green, title=`3*(4^x)`): a3:=plot(3*(5^x), x=-3..3,y=0..8, color=cyan, title=`3*(5^x)`): a4:=plot(3*(6^x), x=-3..3,y=0..8,color=violet, title=`3*(6^x)`):

display([a1,a2,a3,a4],insequence=true,

thickness=3,thickness=5);

Figura 53. Corte de la Función Exponencial en el eje de las Ordenadas

> `Con los gráficos, ¿qué concluye?, ¿qué tienen en común las funciones?`; > `Se observa que todas las funciones cortan al eje de ordenadas en el punto [0,3].`; > `Si se tiene una constante que multiplica a la función exponencial,`; `entonces la curva interceptará al eje de ordenadas en ese valor.`;

150

Ejercicio > `Ejercicios: Grafique las siguientes funciones, multiplicándolo la misma constante 4, y luego la constante 7.`; •

•

•

•

•

•

Asíntotas > `Observemos lo que pasa con estas funciones:`; > with(plots): > a1:=plot(3*(3^x)+2,x=5..5,y=0..12,color=gray,title=`3*(3^x)+2`): > a2:=plot(3*(4^x)+2,x=5..5,y=0..12,color=green,title=`3*(4^x)+2`): > a3:=plot(3*(5^x)+2,x=5..5,y=0..12,color=cyan,title=`3*(5^x)+2`): > a4:=plot(2*(3^x)+2,x=5..5,y=0..12,color=violet,title=`3*(6^x)+2`): > display([a1,a2,a3,a4],insequence=true,thickness=4);

151

Figura 54. Asíntota

> `¿Qué tienen en común las funciones?`; > `Se observa que todas las funciones tienen asíntota 2`; > `Si se tiene una constante que es sumada a la función exponencial,`; `entonces la curva tendrá como asíntota ese valor.`;

Ejercicio > `Ejercicios: Grafique las siguientes funciones, sumándoles la misma constante 5, y luego la constante 8.`; •

•

•

•

•

•

152

Conclusiones: * Propiedad > restart:z:=x->5^x:

Z(x)=z(x);

> restart: u:=x->(1/5)^x:

U(x)=u(x);

> restart: z:=x->5^x: u:=x->(1/5)^x: > plot({z,u},-5..5,y=0..19,thickness=5,tickmarks=[5,5]);

Figura 55. Conclusión de la reciprocidad de la función exponencial

> `Estas dos funciones, son simétricas con respecto al eje y.`; * Corte en el eje de ordenada. > restart: Z:=x->4*(3^x):

z(x)=Z(x); c(x)=7*(3^x);

> z:=x->4*(3^x): c:=x->7*(3^x):

with(plots):

a1:=plot(4*(3^x),x=-3..3,y=0..8,color=gray, title=`3*(3^x)`): a2:=plot(7*(3^x),x=-3..3,y=0..8, color=violet, title=`7*(3^x)`):

display([a1,a2],

insequence=true,thickness=3,thickness=5);

153

Figura 56. Conclusión del corte de la función exponencial en el eje de las ordenadas

> `La Función Exponencial, intersecta al eje de ordenada y dependerá de la constante multiplicativa.`;

* Asíntotas > with(plots):

a1:=plot((9^x)+5,x=-

5..5,y=0..12,color=gray,title=`(9^x)+5`): > a2:=plot((9^x)+8,x=5..5,y=0..12,color=green,title=`(4^x)+8`): > display([a1,a2],insequence=true,thickness=5);

154

Figura 57. Conclusión de la asíntota de la función exponencial

> `La función exponencial, tiene asíntota 5 y 8, según la constante sumativa.`;

Número e Concepto > `El valor de "e" está determinado matemáticamente por la siguiente expresión:`; > f(x)=(1+1/x)^x; > `Cuando el valor de x tiende al infinito.`; > `Este valor sirve en aplicaciones matemáticas.`; > `Para saber el valor de e, se dan variados valores de x de forma creciente,`;

`hasta encontrar un número que varíe,

sus decimales, en cantidades pequeñas.`;

`Por ejemplo,

iniciemos con este valor:`;

155

> x:=5; > (1.+1/x)^x; > `Elevemos el valor a x`; > x:=20; > (1.+1/x)^x; > `Como vemos el valor de e va en aumento y con más decimales.`;

Ejercicio > `Estime el valor de e, con los siguientes valores para x:`; • • •

...

•

000000

•

0000000

> `Utilizando la expresión:`; > d:=(1.+1/x)^x;

Conclusión 156

> `Conclusión:`; > `Como vemos para estimar e, el valor de x es:`; > x:=100000000000; > restart: > d:=(1.+1/x)**x; > x:=100000000000; > Digits:=14:

d:

e:=d;

> `Un número racional.`;

157

La función > `La función:`; > restart: e^x; > `Tiene la propiedad de que en cada punto de su gráfico,`; `la pendiente de la tangente es igual al valor de la función en ese punto.`; > `Veamos en el gráfico:`; > restart:

with(plots):

F:=x->2.71828^x:

f(x)=e^x;

pointplot({[-4,F(-4)],[-3,F(-3)],[-2,F(-2)],[-1,F(1)],[0,F(0)],[1,F(1)],[2,F(2)],[3,F(3)],[4,F(4)]},ytickmark s=[F(0),F(1),F(2),F(3),F(4)],xtickmarks=[-4,-3,-2,1,0,1,2,3,4]);

Figura 58. Función Exponencial e

x

> `Se tiene que, para:`; > x:=1; > e;

158

Clase 3 Objetivos > `Objetivos`; > `Analizar y asimilar Ecuaciones exponenciales.`; > `Resolver ejercicios de sistema de ecuaciones.`; De la función exponencial > `Recordemos la función exponencial:`; > `La base puede pertenecer al rango [0,1] o bien mayor que 1.`; > f(x)=4^x;

k(x)=(1/3)^x;

`o bien`; k(x)=3^(-x);

> `Por propiedad de las potencias,`; > `ahora la base es mayor que 1, pero con exponente negativo.`; Ecuaciones Exponenciales. > `Ecuaciones Exponenciales`; > `Son aquellas en la cual, la incógnita se encuentra en el exponente.

Ejemplos:`;

> 2^s=8; > 3^(2*s)=3; > 4^(4*s)=16; > (b^(2*s))*b=b^(3*s+1); > `La incognita es "s".`; > `Para resolver estas ecuaciones, se aplican las propiedades de las potencias y sus operatorias.`;

159

> `Es fundamental la utilización de la igualdad de las potencias,`; `"dos potencias son iguales si las bases son iguales y sus exponentes son iguales".`; > `Luego se resuelve la ecuación de Primer o segundo grado que quede en los exponentes, al igualar los exponentes.`; `Tomemos el primer ejemplo:`; > 2^s=8; > `se sabe que:`; `8=2`^3; (2^s=`2 `^3); > `Entonces se igualan los exponentes y se obtiene el valor de la incógnita:`;s=3; Ejercicios Con una incógnita Transforme las siguientes expresiones a la base que se indica: a la base 2.

• •

a la base 5.

•

a la base (3).

•

a la base

Encuentre el valor de la incógnita: Ejemplo: > 3^(g/2)=729; > solve({3^(g/2)=729}); • • • •

160

• • • • • • • • • • • • • Con dos incógnitas: Sistema de Ecuaciones con dos incógnitas. Ejercicios: Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones > `Ejemplo`; > (2^u)-4^(2*y)=0

,u-y=15;

> solve({(2^u)-4^(2*y)=0,u-y=15});

161

• • • •

Conclusiones: Solucionario. Con una incógnita Transforme las siguientes expresiones a la base que se indica: •

a la base 2, es:

•

a la base 5, es:

•

a la base (3), es:

•

a la base (1/2), es:

Encuentre el valor de la incógnita: > solve({3^(g/2)=729}); > solve({3^(-9+v) = 1/81}); > solve({40^(4+c) = 40}); > solve({625^r = 5^(1/3)}); > solve({1/7 = 2401^(-5*g)*2401}); > solve({4^w = 4096}); > solve({7^(3*w+2) = 1}); > solve({11^(-4+w) = 1});

162

> solve({1 = 344^(s-6)}); > solve({32^(w+4) = 4^(5+w)}); > solve({4^7 = 4^(5+2*w)}); > solve({64^(-1+5*w)*64^(5*w-4) = 64^(6*w+7)}); > solve({(1/7)^(w-7) = 7^(7*w-7)}); > solve({625^w = 25^(2*w-3)*(1/25)^(w+3)}); > solve({4^(5*w-4) = 128^(-2+4*w)}); > solve({4^(6*w)*1 = 256*(1/16)^w}); > solve({81^w*(1/9)^5 = 3*27^w}); Con dos incógnitas: Sistema de Ecuaciones con dos incógnitas. Ejercicios: Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones > solve({(2^u)-4^(2*y)=0,u-y=15}); > solve({2^(2*x)*2^(5*y) = 2, 2^(-x+y) = 8}); > solve({2^(-4*x)*2^(-m) = 4^(-4), 5^m*25^(-x) = 25^x}); > solve({3^(r-r)*3^s = 27, 4^(-r)*64^r = (1/2)^(2*s)}); > solve({8^m*(1/2)^5 = 16^p, 3^p*(1/9)^(-m) = (1/27)^4});

163

Clase 4 Objetivos >

`Objetivos`;

> `Analizar fenómenos naturales y cotidianos utilizando la Función Exponencial`; > `Modelar fenómenos naturales a través de la Función Exponencial`; De la función exponencial > `Recordemos la función exponencial:`; > f(x)=b^x;

b1; b>0;

> `La base puede pertenecer al rango [0,1] o bien mayor que 1.`; > f(x)=4^x; > k(x)=(1/3)^x;

`o bien`; k(x)=3^(-x);

> `Por propiedad de las potencias,`; > `ahora la base es mayor que 1, pero con exponente negativo.`; Sustancia Radioactiva > `Las sustancias radiactivas se desintegran emitiendo radiaciones y transformándose en otras sustancias.`; > `Veamos un ejemplo:`; > `Una sustancia radiactiva pierde el 10% de su masa cada hora,`; > `es decir, después de una hora queda solo el 90%, de la cantidad inicial.`; > `Por ejemplo, si se parte con:`;

`400 gramos`;

164

> `El 10% es`; > Digits:=2:400*0.1;

`gramos`;

> `Entonces dentro de una hora habrá:`; > Digits:=3: (400*0.9); `gramos.`; > `Es decir,`;

`400 ! 0,9`;

> `Luego en la 2º hora se pierden:`; > Digits:=2:

l:=(400*0.9):

l*0.1;

gramos;

> `Porque pierde masa con respecto a la masa que queda y no de la masa inicial.`; > `y quedan`; > Digits:=3:

b:=(400*0.9):

> `Es decir,`;

b*0.9;

gramos;

`400 ! 0,9 ! 0,9`;

> `Entonces a la hora 3º, quedará el 90% de 324 gramos.`; > Digits:=4:

m:=(400*0.9):

> `Es decir,`;

m*0.9*0.9;

`gramos.`;

`400 ! 0,9 ! 0,9 ! 0,9`;

> `Así sucesivamente cada hora.`; > `Si se realiza una tabla con estos datos se tiene:`; Hora

Masa (gramos)

Pérdida de masa

0

400

1

360

40

2

324

36

3

291,6

32,4

4

262,44

29,16

5

236,196

26,244

6

212,5764

23,6196

7

191,31876

21,25764

Cuadro 14. Cantidad de masa de una sustancia radiactiva

165

Masa Hora

Masa que queda (forma Pérdida de masa

(gramos)

numérica)

0

400

400

1

360

40

400 x 0,9

2

324

36

400 x 0,9 x 0,9

3

291,6

32,4

400 x 0,9 x 0,9 x 0,9

4

262,44

29,16

400 x 0,9 x 0,9 x 0,9 x 0,9

5

236,196

26,244

400 x 0,9 x 0,9 x 0,9 x 0,9 x 0,9 400 x 0,9 x 0,9 x 0,9 x 0,9 x 0,9

6

212,5764

23,6196

x 0,9 400 x 0,9 x 0,9 x 0,9 x 0,9 x 0,9

7

191,31876

21,25764

x 0,9 x 0,9

Cuadro 15. Cantidad de masa de una sustancia radiactiva

> `Veamos, en la primera hora de descomposición quedó el 90%: 360 gramos.`; > `Como se puede observar, la cantidad de masa que queda en determinada hora,`; `es el resultado de la multiplicación de la masa inicial por 0,9,`; `0,9 se multiplica por si mismo tantas veces indique la hora.`; > `Ejemplo: en 4 horas la masa resultante es:`; > Digits=2: h[4]=expand(400*0.9*0.9*0.9*0.9);

restart:

h[4]=`400*0.9*0.9*0.9*0.9`; > `Esta operación puede ser definida en una función, donde la variable x indica las horas,`; `se tiene la variable y que indica la cantidad de masa desintegrada en x horas.`; > f(x)=400*(0.9^x); ` Por ejemplo en horas 4.`; > F:=x->400*(0.9^x):f(4)=F(4); plot(F,0..60, color=cyan, thickness=3);

166

Figura 59. Masa en función del tiempo de una sustancia radioactiva

> `Porque se perdieron por descomposición radioactiva 10%, y queda el 90%.`; Conclusión > `Conclusión:`; > `Las sustancias radiactivas que se desintegran, reducen su masa,`;` es por esto que la función, en este caso, es del tipo exponencial decreciente.`; > `Es decreciente, porque la base de la potencia pertenece a [0,1],`; `que es 0,9.`; Interés Compuesto > `Un caballero quiere depositar su dinero en el banco para mayor seguridad.`; > `$10.000.000.-`; > `por 6 meses`; > `Va al banco, le dicen que el interés para depositar en ese tiempo es del 2%,`;

167

> `es decir, el interés se aplica al valor inicial, y el próximo interés se aplica al nuevo valor.`; > `Del banco le entregan la siguiente información:`; Interés Mes

Depósito inicial

desarrollado

Interés

Depósito final

0

10000000

1

10000000

10000000x0,02

200000

10200000

2

10200000

10200000x0,02

204000

10404000

3

10404000

10404000x0,02

208080

10612080

4

10612080

10612080x0,02

212242

10824322

5

10824322

10824322x0,02

216486

11040808

6

11040808

11040808x0,02

220816

11261624

Cuadro 16. Depósito en el interés compuesto

> `Al finalizar el período el caballero se llevará $11.486.857.-`; > `Al caballero le gustó la oferta y deposita el dinero.`; > `Pero la secretaria del banco le explica de otra manera:`; > `Para calcular el interés de cada mes.`; > `En el primer mes el interés es de:`; 10000000*0.02; pesos; > `entonces, el dinero en el primer mes será de:`; > Digits:=3: 10000000*1.02; > `Para calcular esto:`;

> `Se debe sumar el 2% de interés al valor inicial. es decir, multiplicar por 1,02`; 168

> `10.000.000 x (1+0,02)`; > `10.000.000 x 1,02`; > Digits:=3: 10000000 * 1.02; > `En el segundo mes, el interés será:`;

10200000*0.02;

pesos; > `entonces, el dinero en el segundo mes será de:`; > Digits:=5: 10200000*1.02; > `Para calcular esto:`; > `Se debe sumar el 2% de interés a 10200000, es decir, multiplicar por 1,02.`; > `10.200.000 x (1+0,02)`; > `10.200.000 x 1,02`; > 10200000 * 1.02; > `Pero el valor 10.200.000 proviene de otra operación:`; > `10.000.000 x (1+0,02)`=10200000; > `reemplazamos en`; > `la cifra 10.200.000`;

`10.200.000 x (1+0,02)`; `10.000.000 x (1+0,02) x

(1+0,02)`; > `10.000.000 x (1+0,02)`^2; > 10000000*(1+0.02)^2; > `Se obtiene una potencia de base mayor que 1`; > `y de exponente 2 que, corresponde a los 2 meses.`; > `En el tercer mes, el interés será:`;

10404000*0.02;

pesos; > `entonces, matemáticamente será de:`; > Digits:=6: 10404000*1.02; > `Para calcular esto:`;

169

> `Se debe sumar el 2% de interés a 10404000, es decir, multiplicar por 1,02`; > `10.404.000 x (1+0,02)`; > `10.404.000 x 1,02`; > 10404000 * 1.02; > `Pero el valor 10.404.000 proviene de otra operación:`; > `10.000.000 x (1+0,02)`^2=10404000; > `reemplazamos en`;

`10.404.000 x (1+0,02)`;

> `la cifra 10.404.000`;

`10.000.000 x (1+0,02) x

(1+0,02) x (1+0,02)`; > `10.000.000 x (1+0,02)`^3; > 10000000*(1+0.02)^3; > `Se obtiene una potencia de base mayor que 1`; > `y de exponente 3 que, corresponde a los 3 meses`; > `Asi se obtiene una fórmula para tener el depósito de cada mes.`; > `10.000.000 x (1+0,02)`^3; > K*(1+i)^t; > donde; > `K= capital inicial`;

`i= interés`;

`t= tiempo en

meses`; > `Entonces, el caballero quiere saber cuánto dinero tendrá en 9 meses, con el mismo interés.`; > `La secretaria le señala que haga uso de la fórmula.`; > restart:

c[f]:=t->K*(1+i)^t:

C[f](t)=c[f](t);

> K:=10000000: i:=0.02: C[f](t)=K*(1+i)^t; > restart:

K:=10000000: i:=0.02:

c[f]:=t->K*(1+i)^t:

C[f](t)=c[f](t): C[f](9)=c[f](9);

170

Mes 0 1 2 3 4

Depósito Inicial

Fórmula Desarrollada

10000000 10000000 10200000 10404000 10612080

10000000x1,02 10000000x1,02x1,02 10000000x1,02x1,02x1,02 10000000x1,02x1,02x1,02x1,02 10000000x1,02x1,02x1,02x1,02x 1,02 5 10824322

6 11040808

Forma Exponencial

Depósito Final

10000000x1,02 10000000x1,022 10000000x1,023 10000000x1,024

10200000 10404000 10612080 10824322

10000000x1,025

11040808

10000000x1,026 Cuadro 17. Depósito en el interés compuesto

11261624

10000000x1,02x1,02x1,02x1,02x1,0 2x1,02

> `Esta fórmula es la llamada interés compuesto.`; > `De esta manera se puede observar que la ecuación es exponencial.`; > `Veamos en un gráfico:`; > C[ci]:=10000000: i:=0.02: C[f]:=t->10000000*(1+0.02)^t: plot(C[f],0..180,0..149000000, tickmarks=[3,4]);

Figura 60. Interés en función del tiempo

171

Ejercicio: Bacteria > `Determine la función que representa el número de bacterias que hay en una población después de x horas,`; `si se sabe que inicialmente había 20000 bacterias y que la población se cuadruplica cada hora.`; Solución a ejercicio de Bacteria. > `En una hora se tiene:`; > `20000!4`=80000; > `A las dos horas:`; > `20000!4*4=20000!4`^2=320000; > `A las tres horas:`; > `20000*4*4*4=20000*4`^3=1280000; > `Después de n horas:`; > 20000*4^n; > `Entonces, teniendo a n como el número de horas que transcurren desde el momento inicial, se tiene que la cantidad de bacteria se representa por la siguiente función:`; > r(n)=20000*4^n; r:=n->20000*4^n: > `Si queremos saber el número total de bacterias, en la hora octava, reemplazamos n por 8`; > r(8):=20000*4^8; > L(n)=20000*4^n; l:=n->20000*4^n:

plot(l,0..3,0..1000000,

xtickmarks=4);

172

Figura 61. Bacterias en función del tiempo

Conclusión. > `Analizamos 2 aplicaciones, pero existen muchas otras de las que se puede hacer uso de las Matemáticas.`; > `En especial la Función Exponencial.`; > `En la cual, la base puede pertenecer al rango:`; > [0,1]; > `o bien, la base puede ser`; > base>1; > `Según

este

criterio,

la

función

será

creciente

o

decreciente.`;

173

FUNCIÓN LOGARÍTMICA Clase 1 Objetivo > `Objetivos`; > `Definir el concepto de Función Logarítmica.`; > `Analizar expresiones algebraicas.`; > `Comparar gráficos`; Actividad introductoria Introducción > `Actividad Introductoria`; > `Logaritmo al Rescate`; > `Cuando se resuelven ecuaciones exponenciales existe siempre la posibilidad de que algunos números enteros queden expresados de forma exponencial.`; Ejemplo 1 > 8=`2`^3; 9=`3`^2; 144=`12`^2; > 531441=`3`^12; > `Éstos números enteros mostrados en el ejemplo anterior (8, 9, 144, 531441) comparten la misma característica.`; > `Se pueden escribir como potencia de otros números enteros.`; > `Por esto hay ciertos números enteros que se pueden escribir con distinta base entera.`;

174

Ejemplo 2 > 64=`8`^2; > 64=`4`^3; > 64=`2`^6; Análisis > `Puede notar que algunos números enteros son expresados como potencias (generalmente son los cuadrados y cubos de los primeros números enteros.`; Ejemplo 3: "Los de base 2" > `Para el caso de números "de base 2" se tiene el conjunto de los siguientes pares ordenados.`; > restart; C:=[[n,2^n] $n=1..10]; > `Representados gráficamente uno por uno tenemos:`; > with (plots): > C1:=[[n,2^n] $n=0..1]:

C2:=[[n,2^n]$n=0..2]:

C3:=[[n,2^n]$n=0..3]:

C4:=[[n,2^n]$n=0..4]:

C5:=[[n,2^n]$n=0..5]:

C6:=[[n,2^n] $n=0..6]:

C7:=[[n,2^n]$n=0..7]:

C8:=[[n,2^n]$n=0..8]:

C9:=[[n,2^n]$n=0..9]:

C10:=[[n,2^n]$n=0..10]:

> a1:=plot(C1,x=0..10,y=0..100,style=point): > a2:=plot(C2,x=0..10,y=0..100,style=point): > a3:=plot(C3,x=0..10,y=0..100,style=point): > a4:=plot(C4,x=0..10,y=0..100,style=point): > a5:=plot(C5,x=0..10,y=0..100,style=point): > a6:=plot(C6,x=0..10,y=0..100,style=point): > a7:=plot(C7,x=0..10,y=0..100,style=point): > a8:=plot(C8,x=0..10,y=0..100,style=point): > a9:=plot(C9,x=0..10,y=0..100,style=point):

175

> a10:=plot(C10,x=0..10,y=0..100,style=point): > display([a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9,a10],insequence=true, title=`Pares ordenados de los cuadrados de los primeros 10 naturales`);

Figura 62. Cuadrados de los primeros números naturales

> `Cada par ordenado representa a: Abscisa como exponente en base dos, y Ordenada a el valor correspondiente`; Ejemplo 4: "Cuadrados, cubos..." > `Por supuesto, podemos seguir encontrando números que cumplan la condición de ser expresados como expresión exponencial, pero tomando no sólo los de "base 2"`; > `Pueden ser los de "base 3"`; > E:=[[n,3^n] $n=1..10]; > F:=[[n,4^n] $n=1..10]; > G:=[[n,5^n] $n=1..10]; 176

> `Gráficamente tenemos de lo anterior`; > with (plots): > E1:=[[n,2^n]$n=0..10]: E2:=[[n,3^n] $n=0..10]: E3:=[[n,4^n] $n=0..10]: E4:=[[n,5^n] $n=0..10]: > a1:=plot(E1,x=0..10,y=0..100,style=point): > a2:=plot([E1,E2],x=0..10,y=0..100,style=point): > a3:=plot([E1,E2,E3],x=0..10,y=0..100,style=point): > a4:=plot([E1,E2,E3,E4],x=0..10,y=0..100,style=point): > display([a1,a2,a3,a4],insequence=true,title=`Pares que se pueden escribir como expresión exponencial`);

Figura 63. Pares que se pueden escribir como expresión exponencial.

> `Cada par ordenado corresponde a: Abscisa como exponente en base dos, tres, cuatro y cinco; y Ordenada al valor correspondiente`;

177

> `Como usted podrá notar son prácticamente no más de 20 los pares ordenados que cumplen la condición necesaria`; Extensión > `Ahora la pregunta es la siguiente`; >

`¿Se

podrán

escribir

todos

los

números

de

forma

siguientes

pares

exponencial?`; >

`Como

sabemos

al

notar

que

los

ordenados:`; > C:=[[n,2^n] $n=1..10]; E:=[[n,n^3] $n=1..10]; F:=[[n,n^4] $n=1..10]; G:=[[n,n^5] $n=1..10]; > `Sólo fueron generados por las siguientes funciones:`; > :restart: c(x)='2'^x; e(x)='3'^x; f(x)='4'^x; g(x)='5'^x; c:=x->2^x: e:=x->3^x:

f:=x->4^x: g:=x->5^x:

> `Y al graficarlas tenemos que:`; > with(plots): > a1:=plot(2^x,x=0..10,y=0..100): > a2:=plot([3^x,2^x],x=0..10,y=0..100): > a3:=plot([4^x,3^x,2^x],x=0..10,y=0..100): > a4:=plot([5^x,4^x,3^x,2^x],x=0..10,y=0..100): > display([a1,a2,a3,a4],insequence=true,title=`Curvas de c(x), e(x), f(x), g(x)`);

178

Figura 64. Curvas para base 2, 3 ,4 y 5.

> `Cada función corresponde a curvas de la forma "n elevado a x"`; > `Se

pueden

extraer

varias

cosas

importantes

de

lo

anterior`; > `-En particular, cualquier número entre 0 y 100 se puede escribir como expresión exponencial (de base 2, 3, 4, y 5) ya que son funciones continuas.`; > `-Existen valores reales que no se habían considerado anteriormente (ya que sólo se habían tomado pares ordenados)`; > `-En general, cualquier número se puede escribir como expresión exponencial.`; > `-El dominio de todas estas funciones son los reales, y el recorrido es el intervalo entre cero e infinito (sin incluir el cero). > `A medida que uno se va acercando al valor 17 en el eje y se tiene que siempre se encontrará (en base 3 en este caso) un valor real`;

179

> `En otras palabras para:`; > f:=x->3^x; > `f(2)`=f(2); > `f(3)`=f(3); > `Luego podemos decir que existe un valor x, tal que f(x)=17`; > `f(x)=17`; 3^x=17; > `Para saber el valor de x cuando esta en el exponente cuando la base es 3 y el resultado es 17, es necesario usar lo que llamaremos logaritmo`; > `En este caso se dirá que el valor de x es el logaritmo de 17 en base 3`; > `Este valor x es real, ya que gráficamente se muestra que la función no muestra discontinuidades`; > `Por el momento sólo podemos decir que el valor de x varía entre 9 y 27`; Extendiendo Análisis > `Si considera la función f(x)`=x^3; > restart: with(plots): > a1:=plot(3^x,x=0..10,y=0..100): > t1:=textplot([4.1,95,`3^x`]): > b1:=display([a1,t1]): > display({a1,b1},insequence=true);

180

Figura 65. Función acotada a [2,3]

> `Si la función estudiada se acota al intervalo [2,3] se observa que no presenta discontinuidades`; > a1:=plot(3^x,x=0..10,y=0..100): > a2:=plot(3^x,x=1..8,y=3..50): > a3:=plot(3^x,x=2..3,y=9..27): > display([a1,a2,a3],insequence=true);

Figura 66. Acotación de función al punto y=17.

> `A medida que se va acercando al valor 17 en el eje y se tiene que siempre se encontrará (en base 3 en este caso) un

181

valor real`; > `En otras palabras para:`; > f:=x->3^x; > `f(2)`=f(2); > `f(3)`=f(3); > `Luego podemos decir que existe un valor x, tal que f(x)=17`; > `f(x)=17`; 3^x=17; > `Para saber el valor de x cuando está en el exponente cuando la base es 3 y el resultado es 17, es necesario usar lo que llamaremos logaritmo`; > `En este caso se dirá que el valor de x es el logaritmo de 17 en base 3`; > `Este valor x es real, ya que gráficamente se muestra que la función no muestra discontinuidades`; > `Por el momento sólo podemos decir que el valor de x varía entre 9 y 27`; Función Logaritmo Introducción > `La Función Logarítmica es del tipo:`; f(x)=`log[a]`(x); a>0; > `El comportamiento de la Función Logarítmica dependerá de dos casos:`; > `Primer caso:`; a>1; > `Segundo caso:`; `0 restart: P:=x->log[1/2](x); plot(P,-1..10, thickness=4, tickmarks=[10,10]);

Figura 67. Curva de función logaritmo.

> `Se observa que la función intercepta al eje x en 1`; > `Observemos otra función con un valor "a" entre 0 y 1`; > Q:=x->log[1/8](x); plot(Q,-1..10,thickness=4, tickmarks=[10,10], color=blue); > `Nuevamente se observa que la curva intersecta en el punto (0,1)`; `Observe la siguiente función con valor "a" entre 0 y 1`; with(plots): a1:=plot(log[0.1](x),x=-1..10,y= 3..8, color=gray,title= `a=0,1`): > a2:=plot(log[0.3](x),x=-1..10,y=-3..8, color=green, title=`a=0,3`): a3:=plot(log[0.7](x),x=-1..10,y=-3..8, color=orange,title=`a=0,7`): > a4:=plot(log[0.9](x),x=-1..10,y=-3..8,color=pink, title=`a=0,9`): > display([a1,a2,a3,a4],insequence=true,thickness=3);

183

Figura 68.Curva de función logaritmo en que varía su base entre 0 y 1.

> `Se concluye que el dominio de estas funciones son los reales positivos, y el recorrido todos los reales.`; > `Notar que para x=0, siempre el valor de la imagen será 1`; Base mayor que 1 > `Observe la siguiente función`; > restart: R:=x->log[2](x); plot(R,-1..10, thickness=4, tickmarks=[10,10]); > `Nuevamente se observa que la curva intersecta a la abscisa en el punto 1`; > `Con un valor "a" igual a 10 se tiene`; > restart: R:=x->log[10](x); plot(R,-1..10, thickness=4, tickmarks=[10,10],color=blue); > `Analicemos en conjunto para a=(2,7,10,100)`; > with(plots):

184

> a1:=plot(log[2](x),x=-1..5,y=-8..8,color=gray, title=`a=2`): > a2:=plot(log[7](x),x=-1..5,y=-8..8,color=green, title=`a=7`): > a3:=plot(log[10](x),x=-1..5,y=-8..8,color=orange, title=`a=10`): > a4:=plot(log[100](x),x=-1..5,y=-8..8,color=pink, title=`a=100`): > display([a1,a2,a3,a4],insequence=true,thickness=3);

Figura 69. Curva de función logaritmo en que su es mayor que 1.

Ejercicios Base entre 0 y 1 > `Ejercicios: Grafique las siguientes funciones e indique su dominio y su recorrido.`; `Utilice plot(c)`; > c:=x->log[1/6](x); > plot(c,-1..10); > restart; p:=x->log[1/60](x); q:=x->log[1/30](x); r:=x>log[1/7](x);

185

> `En el siguiente gráfico se puede observar las funciones anteriores:`; > with(plots): > a1:=plot(log[1/6](x),x=-1..4,y=-5..10,color=gray, title=`log[1/6](x)`): > a2:=plot(log[1/60](x),x=-1..4,y=-5..10,color=green, title=`log[1/60](x)`): > a3:=plot(log[1/30](x),x=-1..4,y=-5..10,color=cyan, title=`log[1/30](x)`): > a4:=plot(log[1/7](x),x=-1..4,y=-5..10,color=violet, title=`log[1/7](x)`): > display([a1,a2,a3,a4],insequence=true,thickness=3);

Figura 70. Función logaritmo (Ejercicio)

186

Figura 71. Función logaritmo (Ejercicio)

> `Se observa que: el dominio de la función siempre son los números reales positivos, y el recorrido son los reales`; `Se concluye que la función en cualquiera de estos casos, es decreciente`;

187

Base mayor que 1 > `Ejercicios: Grafique las siguientes funciones e indique su dominio y su recorrido.`; > restart; c:=x->log[5](x); > plot(c,-1..10); > d:=x->log[25](x); e:=x->log[50](x); f:=x->log[300](x); > with(plots): > a1:=plot(log[5](x),x=-1..5,y=-10..15,color=gray, title=`log[5](x)`): > a2:=plot(log[25](x),x=-1..5,y=-10..15,color=green, title=`log[25](x)`): > a3:=plot(log[50](x),x=-1..5,y=-10..15,color=orange, title=`log[50](x)`): > a4:=plot(log[300](x),x=-1..5,y=-10..15,color=pink, title=`log[300](x)`): > display([a1,a2,a3,a4],insequence=true,thickness=3);

Figura 72. Función logaritmo (Ejercicio)

188

> `Se observa que: el dominio de la función siempre son los números reales positivos, y el recorrido son los reales;`; `Si aumenta la base, el comportamiento de la función siempre es creciente.`; Conclusiones > `Cuando 0a:`; `Dom: Reales positivos, Rec: Reales y función es creciente`;

Clase 2 Objetivos > ` Objetivos`; > ` Analizar expresiones algebraicas.`; > ` Comparar funciones.`; > ` Resolver ejercicios.`; > ` Identificar el logaritmo natural.`; Cuadro Comparativo

189

Cuadro 18. Tabla comparativa de la función logarítmica

> `Se ha comprobado que el dominio de la Función Logarítmica son todos los números reales.`; `El recorrido de la función exponencial son los números reales.`; > `Analicemos lo siguiente`; > restart: `Se tiene las siguientes dos funciones:`; f:=x>10^x; g:=x->log[10](x); h:=x->x: >

plot({f,g,h},-10..10,y=-10..10,thickness=3,

tickmarks

=[5,5]);

Figura 73. Función logaritmo v/s Función Exponencial

> `Observar que: Las curvas son simétricas con respecto a la función

h(x)=x`;

190

> `Esta propiedad muestra que dos funciones, una exponencial y otra logarítmica, que contengan la misma base siempre serán simétricas con respecto a la función anteriormente citada`; > `Por lo anterior se muestra gráficamente que ambas funciones son la inversa una de la otra.`; > `Ejercicios: Compruebe graficando funciones logarítmica y exponenciales con misma base`; `Relacione lo anterior con el inicio de la unidad (Actividad introductoria)`; Corte en el eje de la ordenada > `Observar las siguientes funciones`; > restart: f:=x->5*log[2](x); g:=x->5*log[3](x); h:=x>5*log[4](x); i:=x->5*log[5](x); > f:=x->5*log[2](x): g:=x->5*log[3](x): h:=x->5*log[4](x): i:=x->5*log[5](x): with(plots): a1:=plot(5*log[2](x),x=10..10,y=-10..10,color=gray,title=`5*log[2](x)`): a2:=plot(5*log[3](x),x=-10..10,y=10..10,color=green,title=`5*log[3](x))`): a3:=plot(5*log[4](x),x=-10..10,y=10..10,color=cyan,title=`5*log[3](x)`): a4:=plot(5*log[5](x),x=-10..10,y=10..10,color=violet,title=`5*log[3](x)`): display([a1,a2,a3,a4],insequence=true,thickness=3,thickness =5);

191

Figura 74. Función logaritmo ponderada.

> `Note que todas las funciones anteriores cortan al eje de las abscisas en el [1,0]. Saque las conclusiones respectivas`; > `Si se tiene una constante que multiplica a la Función Logarítmica, el punto de corte no se verá alterado, ¿en qué se diferencia con la función exponencial?.`;

192

Asíntotas > `Observe las siguientes Funciones Logarítmicas`; > restart: f:=x->log[2](x)+4; g:=x->log[3](x)+4; h:=x>log[4](x)+4; i:=x->log[5](x)+4; > with(plots): > a1:=plot(log[2](x)+1,x=-10..10,y=10..10,color=gray, title=`log[2](x)+4`): > a2:=plot(log[3](x)+1,x=-10..10,y=-10..10,color=green, title=`log[3](x)+4`): > a3:=plot(log[4](x)+1,x=-10..10,y=-10..10,color=cyan, title=`log[4](x)+4`): > a4:=plot(log[5](x)+4,x=-10..10,y=-10..10,color=violet, title=`log[5](x)+4`): > display([a1,a2,a3,a4],insequence=true,thickness=4);

Figura 75. Función logaritmo más una constante.

193

> `Notar que:`; `La asíntota sigue estando en el eje de las ordenadas, independiente de si se le agregue una constante (Compruebe con valores constantes mayores, probablemente deberá usar mayores valores extremos para la visualización en el gráfico)`; `Ejercicio: Verifique que sucede con el punto de corte en la abscisa`; `Compare con lo estudiado con la Función Exponencial.`;

Clase 3 Objetivos > `Objetivos`; > `Resolver ecuaciones logarítmicas.`; > `Analizar soluciones de ecuaciones logarítmicas `; > `Ejercicios propuestos`; > `Afirme si es verdadero o falso las siguientes enunciados (gráficamente)`; `log[5]`(sqrt(3))>`log[5]`(sqrt(2)); `log[0,1]`(sqrt(3))>`log[0,1]`(sqrt(2)); `log[2]`(sqrt(5))>`log[2]`(sqrt(5)); > `Afirme si es verdadero o falso las siguientes afirmaciones (gráficamente)`; `Si log[5](x)>0, entonces x>1`; `Si log[3](x)>1, entonces x>3`; `Si log[2](x)>1, entonces 0log[2](3.14)`;

194

> `Dé el dominio de la función en cada caso (graficando las funciones)`; `f(x)=log[1/2](log[2](x^2-1))`; `f(x)=log(log(x^2+x+2)`; `f(x)=log(log(6x^2-13x+7)`; `f(x)=sqrt(log[10](x^2-x-1))`;

Clase 4 Objetivos > `Objetivos`; > `Analizar fenómenos naturales y cotidianos utilizando la Función Logarítmica `; > `Modelar fenómenos naturales a través de la Función Logarítmica`; Escala Richter (Aplicación) > `La escala que ha sido desarrollada para medir terremotos se le conoce como la escala Richter. La magnitud de un terremoto medida por la escala Richter está dada por la expresión:`; > `R=log`(E/I[o]); > `Donde "E" es la magnitud de las vibraciones del terremoto medido y "Io" es la magnitud de la unidad de un terremoto estándar (medida con un sismómetro).`; > `Un sismo imperceptible tiene una magnitud 3 grados Richter, y un terremoto puede ser considerado con una magnitud 7.2`;

195

> `Usando la definición de la Escala de Richter:`; > `3.0=log`(E[tip]/I[o]); > `7.2=log`(E[terr]/I[o]); > `Por propiedad de logaritmo:`; > `7.2=log E(terr) -log Io`;`3.0=log E(tip) -log Io`; > `Luego:`; > `4.2=log E(terr)-log E(tip)`; > `Usando la misma propiedad:`; > `4.2=log`(E[terr]/E[tip]); > ` log `(E[terr]/E[tip])=10^(4.2); > ` log `(E[terr]/E[tip])=15849; > `Un terremoto de 7.2 es 15849 veces más intenso que uno de 3.0`;

> `Ejercicios:`; > `Determine cuantas veces más intenso es un terremoto con respecto a otro`; > `a) 3.0 Richter - 9.5 Richter (Valdiva 1960)`; `b) 3.0 Richter - 8.8 Richter (Cobquecura 2010)`; `c) 7.2 Richter 8.8 Richter (Cobquecura 2010)`;

196

Conclusiones

La incorporación de las TIC´s en las escuelas, en los hogares, ha transformado la vida de las personas; en la actualidad, los jóvenes tienen Internet en sus casas, manejan celulares con las últimas innovaciones, están actualizados con los nuevos aparatos tecnológicos. Es por esto, nuestro interés en el diseño de propuestas metodológicas en el ámbito de las matemáticas, utilizando un procesador simbólico, es decir, una herramienta matemática. Así, teniendo esta tecnología, como futuros docentes:

•

Estamos más cerca del mundo en el cual viven los jóvenes de hoy,

estamos más relacionados con la actualidad tecnológica, sabemos qué es lo que les llama la atención, el hecho de que los(as) estudiantes conozcan más tecnología que nosotros los docentes, es un desafío, para implementar ésta en las clases.

•

Además facilita la transferencia e incorporación del aprendizaje, al

utilizar TIC´s, porque, los(as) jóvenes se interesan más, investigan, trabajan, lográndose los objetivos propuestos. En suma, nuestro trabajo quiere facilitar herramientas de aprendizaje, en donde, el alumno(a) pueda construir competencias y desarrollar habilidades, para que llegue a descubrir el gusto de la experiencia matemática, mediante la utilización de un procesador simbólico, permitiendo que la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas sea atractiva, eficaz, significativa y cumpla los objetivos formulados.

197

Para sustentar nuestro trabajo, es necesario poseer bases teóricas del aprendizaje, es por esto que, revisamos algunos modelos de enseñanza, partiendo del enfoque Conductual, que se refiere a disciplinar la mente y la conducta; llegando a la Teoría Constructivista, que trata de la construcción de aprendizajes en el alumno, para que pueda realizar conexiones cognitivas que le permitan desarrollar operaciones mentales, utilizando sus conocimientos anteriores para relacionarlos con los nuevos, revisamos que el individuo que aprende debe construir los conceptos a través de la interacción con los objetos y con otros sujetos. Teniendo una base teórica constructivista, que también se encuentra en la matemática educativa, nos queremos enfocar a la enseñanza matemática en el aula, revisando la manera de entregar y facilitar el aprendizaje, que el docente transfiere en el aula, esto lleva a que el docente realice un esfuerzo, para que éste se convierta en un organizador, coordinador, asesor del proceso de adquisición del conocimiento para el alumno(a), esto lleva a revisar las prácticas docentes y a añadir nuevas técnicas de aprendizaje, llegando a la inminente incorporación de las Tecnologías de Información y Comunicación a la enseñanza de las matemáticas. Esta incorporación nos lleva a la utilización del procesador simbólico: Maple 9, como herramienta para el aprendizaje, porque es un procesador diseñado para cálculos y nosotros lo adecuamos para el proceso de enseñanza en la educación. La manera de hacer matemáticas, está regida por el Marco Curricular, regulado por los Objetivos Fundamentales Transversales en el Decreto 220 y complementado por los Mapas de Progresos, en el caso de nuestro trabajo utilizamos el Mapa de Progreso de Álgebra, que nos orientó en la evaluación de los aprendizajes adecuados a la edad de los(as) estudiantes, es decir, la

198

indicación del nivel de logro, también nos entregó criterios de observación y descripción cualitativa del aprendizaje obtenido. Por otra parte, incluimos en este trabajo la encuesta realizada a profesores y profesoras de matemática que actualmente están ejerciendo la labor docente en la Región Metropolitana, logrando obteniendo su percepción en cuanto a la incorporación de las TIC´s en el aula, encontrando distintas visiones, las cuales varían de acuerdo a la edad del entrevistado, puesto que si mayor son los años de vida de la persona, más le dificultaba incluir las TIC´s en sus clases debido a la gran experiencia con que cuentan para hacer las clases. En cambio, si el encuestado(a) es más joven, le es más fácil, ya que se encuentra con disposición favorable para incorporar las herramientas tecnológicas. Además identificamos diversas razones por las cuales no se utiliza TIC´s en las salas de clases, de las cuales destacamos dos:

•

La primera es el tiempo que se requiere invertir para planificar

clases con algún programa computacional, ya que es necesario un cambio de visión y metodología de la enseñanza para el aprendizaje, además de actualizaciones y capacitaciones constantes, debido a los frecuentes cambios y actualizaciones tecnológicas que ocurren en la sociedad, idea que reconocimos al realizar las planificaciones ya que se necesita de actividades que realmente sean significativas y no todas logran este objetivo.

•

El segundo motivo es la falta de recursos tecnológicos de calidad,

puesto que no todos los establecimientos cuentan con este tipo de herramientas y programas computacionales y educacionales.

Aunque también hay que

199

señalar que actualmente se observa una fuerte inversión del Estado, para la incorporación y mejora de tecnología y capacitación de los docentes. Con la utilización del Procesador Simbólico, construimos actividades motivadoras para los alumnos(as), de manera de presentar una clase con este procesador, con animaciones, gráficos, para hacer una clase más clara y llamativa, realizamos clases de ejercicios y llevamos la matemática al ámbito físico, es decir, las aplicaciones. Construir las actividades, fue un camino de largo estudio, ya que debimos aprender la utilización de Maple 9, comenzamos trabajando con operaciones sencillas, nos instruimos sobre los comandos de ejecución para realizar las operaciones matemáticas, aprendimos a construir gráficos, animaciones, entre otras. Después empezamos a planificar las clases: primero estableciendo objetivos de éstas, luego trabajamos actividades exploratorias previas para introducir los contenidos de la clase, es decir, queríamos lograr el aprendizaje significativo: relacionar las ideas previas que posee el alumno(a) con la presentación del nuevo contenido, para que procediéramos a la explicación de conceptos de manera formal y de explicitar sus clasificaciones; después generamos las actividades a desarrollar en clases de forma individual y grupal, utilizando la evaluación formativa; a cada estudiante se le solicita el envío de su trabajo en Maple 9 y para finalizar cada clase se retroalimentaba lo aprendido.

200

Las ventajas que trae consigo la utilización de este procesador son las siguientes:

•

Planificar clases atractivas para los alumnos(as), facilitando la

atención de éstos, para que estén más dispuestos a entender las materias, debido a la existencia de una mayor interacción para obtener mejores resultados,

•

Al docente se le es más fácil la entrega de conocimiento, ya que la

clase ya está planificada con el procesador, está a solo un paso de hacer “clic” y además solo necesita los elementos tecnológicos para implementarla,

•

Aprovecha los tiempos, es decir, al presentar gráficos en el

procesador sólo tenemos que ejecutar la operación, pero si lo realizamos en papel, resulta una trabajo demoroso, imperfecto y defectuoso,

•

Maple 9 es una gran calculadora, por lo cual, desarrolla ejercicios

de forma eficaz y eficiente,

•

Maple 9 es un software matemático, que adaptamos para la

utilización en la educación, lo que quiere decir, que no tan sólo se puede usar en matemáticas, sino que también en otras ramas educativas, como tal vimos en las aplicaciones físicas, económicas, entre otras. Como desventaja, podemos señalar que, con este procesador, hay que tener mucho cuidado al ejecutar las operaciones, es decir, es muy sensible cuando se quiere realizar alguna operación, las indicaciones deben ser claras y precisas, cualquier error de escritura, sea una coma, un paréntesis, el procesador no podrá presentar la solución del problema.

201

El procesador es una T.I.C., por ende está relacionado al mundo de los jóvenes que día a día actualizan su manera de estar comunicados con el mundo, permitiendo combinar los datos de forma numérica, simbólica y gráfica, tratando a las matemáticas de manera global. Esta propuesta contempla el diseño de actividades que están pensadas principalmente para trabajar con el procesador simbólico Maple 9, pero que pueden ser aplicadas a cualquier procesador o software matemático. El aprendizaje obtenido al finalizar este trabajo es de gran importancia para nuestra labor docente puesto que aprendimos a utilizar un software que no fue diseñado para la educación, sino que lo orientamos y usamos como una herramienta facilitadora del aprendizaje. Además durante el desarrollo del trabajo, reconocimos las necesidades tecnológicas presentes en la sociedad actual las cuales no están relacionadas con la falta de herramientas, sino con la utilidad que se les brinda. Por último, el término de este seminario no representa que acabe el estudio y la profundización de los conocimientos, sino es el comienzo de un nuevo viaje lleno de aprendizajes que debemos transmitir a aquellos estudiantes que encontraremos a lo largo de nuestra experiencia laboral como docentes.

202

Bibliografía

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Castillo, Sandra. Documento de: “Propuesta Pedagógica basada en el Constructivismo para el uso óptimo de las TIC en la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas”.

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MINEDUC.

Programa

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Programa de Estudio, Cuarto Año Medio, Sector

Matemáticas. ISBN 956-7933-86-3. Unidad de Curriculum y Evaluación. Chile: Santiago, 2001.

•

Oliva, Gustavo. La centralidad del alumno en el sistema educativo. Gobierno, estructura y financiamiento de la educación. Argentina: Santa Fe, 2002.

204

205

Anexo1: Encuesta Estimado (a) Docente: La presente encuesta tiene por objetivo conocer su opinión acerca del uso las Nuevas Tecnologías de Comunicación e Información (TIC`s) y como afectan nuestro entorno, para este fin se incluyen tres escalas de apreciación y preguntas. Parte I Edad

:_______________________________

Dependencia

:_______________________________

Modalidad de Estudio

:_______________________________

Tipo de Jornada

:_______________________________

Composición del alumnado por sexo

:_______________________________

Parte II Marca con una X la alternativa que represente tu opinión con respecto a los indicadores que se establecen a continuación: Totalmente de acuerdo

3

De acuerdo

2

Medianamente de acuerdo

1

En desacuerdo

0

206

Las Nuevas Tecnologías y la Globalización Indicadores

3

2

1

0

3

2

1

0

1. La tecnología es una herramienta que permite desarrollo en el país 2. El uso de las nuevas tecnologías generan cambios en la sociedad 3. Mejora la calidad de vida de las personas con la implementación de NTIC`s 4. A pesar de los cambios tecnológicos en Chile, las cosas siguen siendo igual 5. Las NTIC`s impondrán nuevas exigencias para la sociedad chilena 6. El uso de las nuevas tecnologías permite la conexión con otras naciones 7. Las

personas

deben

adquirir

competencias

para

desarrollarse de manera óptima en la Sociedad 8. Se tiene acceso rápido a la información Mi Relación con la Tecnología Indicadores 1. La tecnología me permite ser independiente. 2. Me entretengo al utilizar tecnología. 3. Utilizo las NTIC`s para adquirir conocimientos. 4. Me

complica

utilizar

tecnologías

en

mi

quehacer

cotidiano. 5. Es complicado aprender a utilizar las nuevas tecnologías.

207

6. No confío en las NTIC`s porque fallan cuando se necesitan. 7. Siento

miedo

de

echar

a

perder

los

aparatos

tecnológicos. 8. No necesito de la tecnología. 9. La tecnología aumenta las desigualdades sociales. 10. Utilizo internet para descargar música, conversas con otras personas, jugar, etc. El uso de las NTIC`s en la escuela Indicadores

3

2

1

1. La escuela debe adquirir aparatos tecnológicos. 2. El uso de las NTIC`s contribuye al proceso de enseñanza y aprendizaje. 3. El sistema educativo se preocupa de capacitar a los docentes en cuanto al uso de las TIC`s. 4. La escuela disminuye la brecha digital presente en la sociedad actual. 5. La integración curricular de las NTIC`s requiere de un cambio integral de los métodos de enseñanza. 6. Las

escuelas

cuentan

con

recursos

tecnológicos

necesarios para el aprendizaje. 7. Se incorpora tecnologías en los procesos de aprendizajes 8. Profesores motivados con su trabajo innovan más en sus métodos de enseñanza 9. Los docentes están dispuestos a utilizar recursos TIC`s en el aula

208

0

Parte III 1. ¿Qué recursos TIC´s utilizas en tu labor docente?

2. CD-ROM 3. Computador 4. Power Point 5. Laboratorio de Computación 6. Proyector 7. Internet 8. Software Educativos

2. ¿Qué Software Educativo usted conoce?

3. Si usted tuviera que enseñar en matemática funciones, ¿utilizarías recursos TIC`s?.¿Por qué?

209

4. ¿Qué entiende usted por laboratorio?

5. ¿Usted piensa que es necesario fortalecer la enseñanza de las TIC`s en las carreras de pedagogías?

210

Anexo 2: Glosario Definición de los comandos utilizados en la propuesta de actividades con Maple 9. Comando

Definición

;

Para realizar cualquier operación, debe ir al final

^

Elevado a algo

[]

Subíndice

:=

Definición

:=`x`

Borra el valor asignado a la variable x

Animate

Animación

Digits:=4

Cantidad de decimales

Display

Animación

evalf()

Expresado en números

Exp( )

Número e elevado a

Expand( )

Expande la expresión

f:=

Dada una función

factor()

Factoriza

P(x):=

Define un polinomio con coeficientes enteros

plot({función,x})

Para hacer gráficos

restart:

No considera lo anterior

S:={}

Soluciones de las raíces

Simplify

Simplifica la expresión

Solve

Resolver

Sqrt

Raíz cuadrada

211