Universidad del Magdalena Facultad de Estudios Generales Razonamiento y Representación Matemática Grá…cas y Funciones Objetivos: 1. Localizar puntos en el sistema de coordenadas cartesianas 2. Trazar grá…cas por medio de puntos 3. Interpretar grá…cas 4. Establecer la diferencia entre una relación y una función 5. Comprender el concepto de función y relacionarlo con situaciones de la vida real 6. Identi…car las características de una función lineal GRÁFICAS: Muchas relaciones algebraicas son más fáciles de entender con la ayuda de una representación visual.Las grá…cas son,precisamente,representaciones visuales que muestran la relación entre dos o más variables en una ecuación. El plano coordenado o sistema de coordenadas cartesianas o sencillamente el plano cartesiano,está formado por un par de rectas perpendiculares,una horizontal llamada eje x o abscisa y una vertical,llamada eje y u ordenada.La intersección entre estas dos rectas forma cuatro regiones llamadas cuadrantes.El punto de intersección entre los dos ejes se llama origen.

1

y

5 4 3 2 1

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

-1

5

x

-2 -3 -4 -5

En el plano cartesiano se ubican parejas ordenadas o puntos de la forma (x; y):Por ejemplo las parejas:A( 5; 3); B(6; 5); C( 92 ; 72 ); D(0; 0):

Una grá…ca es una representación visual del conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación.Algunas veces,cuando trazamos una grá…ca,organizamos en una tabla algunos puntos que satisfacen la ecuación,luego los ubicamos en el plano y …nalmente unimos los puntos para obtener la grá…ca.Por ejemplo:Trazar la grá…ca de la ecuación y = 2x 3 1 x 1 0 1 2 y = 2x 3 2( 1) 3 = 2 3 = 5 3 2 1

2

y

5 4 3 2 1

-2

-1

1 -1

2

x

-2 -3 -4 -5

Otro ejemplo:Trazar la grá…ca de y = x2 zamos en la tabla: x y

3 5

2 0

1 3

0 4

1 2 3 3 0 5

y 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 -4

-2

2 -2

4

x

-4

Ejercicios: 1. Gra…que:

3

4:Algunos valores los organi-

(a) y =

1 x

(b) y = jxj (c) y =

1 x 3

+1

FUNCIONES En la vida diaria las funciones constituyen una poderosa herramienta para describirfenómenos.Son usados por físicos,ingenieros,economistas,entre otros,para establecer por ejemplo la variación del precio de un producto a través de los años;el crecimiento de la población en un periodo de tiempo;la resistencia de un material a distintas temperaturas,en …n,su uso es inevitable. De…nición (Relación): Una relación R es un subconjunto del plano,es decir,R R R = R2 :En otras palabras,una relación es un conjunto de parejas ordenadas. p.e:Supongamos que unas naranjas tienen un precio de $50 cada una.Entonces una tiene un precio de $50,dos cuestan $100,tres cuestan $150,etc.Esta información la podemos representar en pares ordenados (1,50),(2,100),(3,150) y una ecuación o una relación que representa esta situación esta dada por c = 50n;donde n es el número de naranjas y c el costo en pesos.Es claro que el costo es la variable dependiente y el número de naranjas es la variable independiente.Usualmente,la variable independiente se representa con la letra x y la variable dependiente,con la letra y:En nuestro ejemplo el conjunto formado por A = f1; 2; 3g,constituye el dominio de la relación y el conjunto formado por B = f50; 100; 150g ;se le denomina el rango de la relación. Otro ejemplo de relación es R = f(x; y)=x2 + y 2 = 1g,que es la ecuación de una circunferencia unitaria. De…nición (Función): Sean A y B dos conjuntos,decimos que una relación f es una función,si para cada x 2 A;existe un único y 2 B:En otras palabras,una función es un conjunto de pares ordenados,en donde no se repite la primera componente. Al conjunto formado por todos los posibles valores de x,se le llama domino de la función y al conjunto formado por todos los posibles valores de y,se le denomina rango de la función. p.e.Determinar cual o cuales de los siguientes conjuntos representa una función.M = f1; 2; 3g ; N = fa; b; c; dg f = f(1; b); (2; a); (3; d)g ! si g = f(1; c); (2; c); (3; c)g ! si 4

h = f(1; a); (2; b); (3; c); (1; d)g ! no u = f(1; c); (2; a)g ! no: ¿porqué? Grá…camente se puede determinar si una relación representa una función si se traza una recta paralela al eje y y esta la corta en único punto. Ejercicios 1. Teniendo en cuenta la siguente tabla

x y

3 2 1 0

1 1

0 2

(a) Ubica las parejas en el plano y traza la grá…ca (b) Escribe la ecuación que de…ne estos valores 2. Sean los conjuntos A = f2; 3; 4g y B = f0; 4; 6; 8; 10; 12g ; y la función f : A ! B tal que a cada elemento de A se asocia su doble en B.De…nir la función f mediante: (a) Diagrama sagital (b) Diagrama cartesiano (c) Ecuación (d) Tabla de valores 3. ¿Cuál es el dominio y el rango de la función f (x) = 2x + 1?Justi…que claramente. 4. Evalue cada función en los valores indicados (a) Determine f (2),f ( 3),si f (x) = (b) Determine g(2); g

1 2

(c) Determine h( 3); h

;si g(x) = 2 5

;si h(x) =

2x + 5 2x2 + x + 2 x2 +4x x+6

FUNCIONES LINEALES Toda función de la forma y = mx + b,donde m y b son constantes,con m diferente de cero,es una funcion lineal.La función lineal es una función real 5

cuya principal característica consiste en que su representación grá…ca es una recta. p.e la grá…ca de la función y = 3x

y

15

10

5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

-5

-10

-15

Toda recta corta a los ejes coordenados,estos puntos de corte es posible determinarlos haciendo cero una de las variables.p.e:La intersección con el eje y,hacemos x = 0;la intersección con el eje x,hacemos y = 0: Ejemplo: Gra…que la función 5x = 10y 20:Indique las coordenadas en las intersecciones con los ejes. Solución: Intercepto con el eje x,hacemos y = 0 5x = 10(0) 20 5x = 20 x = 4; un punto es ( 4; 0) Intercepto con el eje y,hacemos x = 0 5(0) = 10y 20 0 = 10y 20 10y = 20 y = 2; el otro punto es (0; 2)

6

y 4

3

2

1

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

Ejercicios: 1. Gra…que cada ecuación.Indique las coordenadas de los interceptos con los ejes (a) y = x

5

(b) f (x) = (c)

1 x 2

6x + 5

+ 2y = 4

(d) 3(x

2) = 4(y

5)

LA RECTA De…nición (Pendiente): Sean P1 (x1; y1 ) y P2 (x2; y2 ) dos puntos distintos en el plano,la pendiente de la recta (inclinación de la recta) que pasa por P1 y P2 es:m = xy22 yx11 ; x2 6= x1 : Observación: El signo de la pendiente de una recta depende del ángulo de inclinación entre la recta y el eje x:podemos diferenciar cuatro casos: 1. m > 0

7

y

15 10 5

-4

-2

2

4

2

4

2

4

-5

x

-10

2. m < 0

y

15 10 5

-4

-2 -5

x

-10

3. m = 0

y

4.0 3.5 3.0 2.5

-4

-2

0

x

4. m no está de…nida,cuando la recta es paralela al eje y: 8

ECUACIONES DE LA RECTA La ecuación explícita es y = mx + b;donde m es la pendiente,b es el punto de corte con el eje y,es decir,el punto (0; b) La ecuación general es Ax + By + C = 0: Estas dos se pueden obtener de la expresión:(y y0 ) = m (x x0 ) ;donde m es la pendiente y (x0 ; y0 ), es un punto dado de la recta. Ejemplo: Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos (4; 3) y (6; 2) :Trazar la grá…ca. Solución. Note que (y y0 ) = m (x x0 ) ;por lo tanto,en primer lugar,se debe calcular la pendiente = 12 ) m = 12 ;con este dato y cualquiera de m = xy22 xy11 = 26 (4 3) = 2+3 2 los dos puntos,reemplazamos en (y y0 ) = m (x x0 ) (y ( 2)) = 21 (x 6) 2 (y + 2) = x 6 2y + 4 = x 6 2y = x 10 y = 21 x 5; !forma explícita x 2y = 10 !forma general -5

-4

-3

-2

-1

y

0 -3

-4

-5

-6

-7

9

1

2

3

4

x

5

Otro ejemplo: Los especialistas en acondicionamiento físico recomiendan a quienes desean quemar calorias y perder peso,que hagan ejercicios consistentemente durante largos periodos.El número de calorias que se queman al conducir una bicicleta durante una hora,es una función lineal de la velocidad al que se realiza el ejercicio.En promedio,una persona que conduce a 12 millas por hora quemará alrededor de 564 calorías en una hora,y si conduce a 18 mph quemará más o menos 846 calorías en el mismo tiempo.La información se muestra en la grá…ca.

y

1000 800 600 400 200 0 6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

x

1. (a) Determine una función lineal que pueda que pueda utilizarse para calcular el número de calorías,C,que se queman en una hora cuando se conduce una bicicleta a r mph,para 6 r 24 (b) Calcula el número de calorías que se queman en una hora cuando se conduce una bicicleta a 20 mph (c) Calcula la velocidad a la que se tiene que conducir una bicicleta para quemar 1000 calorías en una hora Solución: 1. (a) Sea r la velocidad y C las calorias. Sabemos que cuando se conduce a 12 mph se queman 564 C,entonces tenemos la pareja (12,564) y cuando se conduce a 18 mph,se queman 846 C,entonces tenemos la pareja (18,846). 10

Calculamos la pendiente de la recta: 564 m = xy22 xy11 = 846 = 282 = 47 18 12 6 Ahora,escribimos la ecuación por medio de (C cualquiera de los puntos, C 564 = 47(r 12) C 564 = 47r 564 C = 47r;es la ecuación pedida.

C0 ) = m (r

r0 ) ;utilizamos

(b) C = 47r C = 47(20) = 940 ) C = 940;cuando se conduce a 20 mph,se queman 940 calorías. (c) C = 47r 1000 = 47r t 21; 28;por lo tanto,para quemar 1000 calorías en una r = 1000 47 hora,se debe conducir la bicicleta a una velocidad de más o menos 21,28 mph. Ejercicios: 1. escribir cada ecuación en su forma general (a) 9 (b)

x=y 2y = 5x

(c) 4x (d)

5 x 3

1

2y = +2=

1 x 3

3x + 6 + 4y

2. Hallar la ecuación de la recta para cada caso: (a) m = 2;pasa por (1; 1) (b) m =

1 ;pasa 2

por (4; 1)

(c) Pasa por (4; 2) y (1; 9) 3. El pago mensual que recibe un o…cial del ejercito,es una función lineal de los años que ha dedicado al servicio.Un o…cial con 10 años de servicio recibe $3477 al mes,mientras que otro con 20 años de servicio recibe $4168 al mes. 11

(a) Escriba una ecuación que describa la situación anterior (b) Determine el salario mensual que recibe un o…cial con 18 años de servicio (c) Determine el número de años de servicio necesarios para que un o…cial gane un salario mensual de $4000. Bibliogra…a 1. ANGEL,Allen.Algebra internmedia.Sexta edición.PEARSON,Prentice Hall. 2. HERRERA,Adolfo;SALGADO,Diana;NIVIA Luisa;ACOSTA,Martha; ORJUELA,Julia.Algebra y Geometría II.Santillana.

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