UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES E IDIOMAS ASIGNATURA: RAZONAMIENTO Y REPRESENTACION MATEMÁTICA GUIA Nº 1 MÉTODO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE GEORGE POLYA OBJETIVOS  Identificar el paso del modelo de Polya utilizado para resolver un problema.  Describir las estrategias para resolver problemas  Aplicar el modelo de Polya a la resolución de problemas. COMPETENCIAS  Capacidad para formular, plantear, transformar y resolver problemas matemáticos.  Desarrollo y profundización del pensamiento lógico matemático.  Identificación de regularidades, modelos y estructuras matemáticas en procesos y situaciones problémicas.  Capacidad comunicativa en lenguaje matemático.  Habilidad de conversión de un objeto matemático a los diferentes lenguajes, registros y representaciones matemáticas, cuando sea posible. DESARROLLO TEMÁTICO: GEORGE POLYA: ESTRATEGIAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS George Polya nació en Hungría en 1887. Obtuvo su doctorado en la Universidad de Budapest y en su disertación para obtener el grado abordó temas de probabilidad. Fué maestro en el Instituto Tecnológico Federalen Zurich, Suiza. En 1940 llegó a la Universidad de Brown en EE.UU. y pasó a la Universidad de Stanford en 1942. En sus estudios, estuvo interesado en el proceso del descubrimiento, o cómo es que se derivan los resultados matemáticos. Advirtió que para entender una teoría, se debe conocer cómo fue descubierta. Por ello, su enseñanza enfatizaba en el proceso de descubrimiento aún más que simplemente desarrollar ejercicios apropiados. Para involucrar a sus estudiantes en la solución de problemas, generalizó su método en los siguientes cuatro pasos: 1. Entender el problema. 2. Configurar un plan 3. Ejecutar el plan 4. Mirar hacia atrás Las aportaciones de Polya incluyen más de 250 documentos matemáticos y tres libros que promueven un acercamiento al conocimiento y desarrollo de estrategias en la solución de problemas. Su famoso libro Cómo Plantear y Resolver Problemas que se ha traducido a 15 idiomas, introduce su método de cuatro pasos junto con la heurística y estrategias específicas útiles en la solución de problemas. Otros trabajos importantes de Pólya son Descubrimiento Matemático, Volúmenes I y II, y Matemáticas y Razonamiento Plausible, Volúmenes I y II. Polya, que murió en 1985 a la edad de 97 años, enriqueció a las matemáticas con un importante legado en la enseñanza de estrategias para resolver problemas. El Método de Cuatro Pasos de Polya. Este método está enfocado a la solución de problemas matemáticos, por ello nos parece importante señalar alguna distinción entre "ejercicio" y "problema". Para resolver un ejercicio, uno aplica un procedimiento rutinario que lo lleva a la respuesta. Para resolver un problema, uno hace una pausa, reflexiona y hasta puede ser que ejecute pasos originales que no había ensayado antes para dar la respuesta. Esta característica de dar una especie de paso creativo en la solución, no importa que tan pequeño sea, es lo que distingue un problema de un ejercicio.

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES E IDIOMAS ASIGNATURA: RAZONAMIENTO Y REPRESENTACION MATEMÁTICA Sin embargo, es prudente aclarar que esta distinción no es absoluta; depende en gran medida del estadio mental de la persona que se enfrenta a ofrecer una solución: Para un niño pequeño puede ser un problema encontrar cuánto es 3 +2 o bien, para niños de los primeros grados de primaria responder a la pregunta ¿Cómo repartes 96 lápices entre 16 niños de modo que a cada uno le toque la misma cantidad? le plantea un problema, mientras que a uno de nosotros esta pregunta sólo sugiere un ejercicio rutinario: "dividir ". Hacer ejercicios es muy valioso en el aprendizaje de las matemáticas: Nos ayuda a aprender conceptos, propiedades y procedimientos -entre otras cosas-, los cuales podremos aplicar cuando nos enfrentemos a la tarea de resolver problemas. Como apuntamos anteriormente, la más grande contribución de Polya en la enseñanza de las matemáticas es su Método de Cuatro Pasos para resolver problemas. A continuación presentamos un breve resumen de cada uno de ellos y sugerimos la lectura del libro "Cómo Plantear y Resolver Problemas" de este autor (Editorial Trillas). Paso 1: Entender el Problema.  ¿Entiendes todo lo que dice?  ¿Puedes replantear el problema en tus propias palabras?  ¿Distingues cuáles son los datos?  ¿Sabes a qué quieres llegar?  ¿Hay suficiente información?  ¿Hay información extraña?  ¿Es este problema similar a algún otro que hayas resuelto antes? Paso 2: Configurar un Plan. ¿Puedes usar alguna de las siguientes estrategias? (Una estrategia se define como un artificio ingenioso que conduce a un final).  Ensayo y Error (Conjeturar y probar la conjetura).  Usar una variable.  Buscar un Patrón  Hacer una lista.  Resolver un problema similar más simple.  Hacer una figura.  Hacer un diagrama  Usar razonamiento directo.  Usar razonamiento indirecto.  Usar las propiedades de los Números.  Resolver un problema equivalente.  Trabajar hacia atrás.  Usar casos  Resolver una ecuación  Buscar una fórmula.  Usar un modelo.  Usar análisis dimensional.  Identificar sub-metas.  Usar coordenadas.  Usar simetría.  Usar coordenadas  Usar simetría.

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES E IDIOMAS ASIGNATURA: RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA Paso 3: Ejecutar el Plan.  Implementar la o las estrategias que escogiste hasta solucionar completamente el problema o hasta que la misma acción te sugiera tomar un nuevo curso.  Concédete un tiempo razonable para resolver el problema. Si no tienes éxito solicita una sugerencia o haz el problema a un lado por un momento (¡puede que "se te prenda el foco" cuando menos lo esperes!).  No tengas miedo de volver a empezar. Suele suceder que un comienzo fresco o una nueva estrategia conducen al éxito. Paso 4: Mirar hacia atrás.  ¿Es tu solución correcta? ¿Tu respuesta satisface lo establecido en el problema?  ¿Adviertes una solución más sencilla?  ¿Puedes ver cómo extender tu solución a un caso general? Comúnmente los problemas se enuncian en palabras, ya sea oralmente o en forma escrita. Así, para resolver un problema, uno traslada las palabras a una forma equivalente del problema en la que usa símbolos matemáticos, resuelve esta forma equivalente y luego interpreta la respuesta. Este proceso lo podemos representar como sigue, algunas sugerencias hechas por quienes tienen éxito en resolver problemas. Además del Método de Cuatro Pasos de Polya nos parece oportuno presentar en este apartado una lista de sugerencias hechas por estudiantes exitosos en la solución de problemas: 1. Acepta el reto de resolver el problema. 2. Reescribe el problema en tus propias palabras. 3. Tómate tiempo para explorar, reflexionar, pensar... 4. Habla contigo mismo. Hazte cuantas preguntas creas necesarias. 5. Si es apropiado, trata el problema con números simples. 6. Muchos problemas requieren de un período de incubación. Si te sientes frustrado, no dudes en tomarte un descanso -el subconsciente se hará cargo-. Después inténtalo de nuevo. 7. Analiza el problema desde varios ángulos. 8. Revisa tu lista de estrategias para ver si una (o más) te pueden ayudar a empezar 9. Muchos problemas se pueden de resolver de distintas formas: solo se necesita encontrar una para tener éxito. 10. No tenga miedo de hacer cambios en las estrategias. 11. La experiencia en la solución de problemas es valiosísima. Trabaje con montones de ellos, su confianza crecerá. 12. Si no estás progresando mucho, no vaciles en volver al principio y asegurarte de que realmente entendiste el problema. Este proceso de revisión es a veces necesario hacerlo dos o tres veces ya que la comprensión del problema aumenta a medida que se avanza en el trabajo de solución. 13. Siempre, siempre mira hacia atrás: Trata de establecer con precisión cuál fue el paso clave en tu solución. 14. Ten cuidado en dejar tu solución escrita con suficiente claridad de tal modo puedas entenderla si la lees 10 a años después. 15. Ayudar a que otros desarrollen habilidades en la solución de problemas es una gran ayuda para uno mismo: No les des soluciones; en su lugar provéelos con sugerencias significativas. 16. ¡Disfrútalo! Resolver un problema es una experiencia significativa.

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EJEMPLOS DE ALGUNAS ESTRATEGIAS PARA LA RESOLUCION DE PROBLEMAS Existen varias estrategias para resolver problemas. Cada vez que te enfrentes a uno de ellos, debes preguntarte: “¿hay otra manera de hacerlo?” Si tu respuesta es afirmativa, procede en la forma que has pensado; comprobarás que muchas veces utilizamos una combinación de dos o más estrategias para resolver un problema. A continuación describiremos algunas estrategias para resolver problemas y enunciaremos algunos ejemplos para su análisis: ENSAYO Y ERROR Consiste en realizar los siguientes pasos: 1. Elegir un valor (resultado, operación o propiedad) possible. 2. Llevar a cabo con éste valor las condiciones indicadas por el problema. 3. Probar si hemos alcanzado el objetivo buscado. Ejemplo: Calcula un número que al elevarlo al cuadrado y sumarle el número buscado, nos dé 132. SOLUCIÓN: Comprender el problema: Se va hallar un número que al elevarlo al cuadrado y sumarle el mismo número nos dé como resultado 132. Datos conocidos: Resultado de la suma: 132 Planteamiento de la suma Datos desconocidos: Cantidad a hallar bajo unas condiciones Desarrollar un plan: Se elige un valor entre 10 y 20 se pone a prueba las condiciones del problema, hasta encontrar el número que las cumpla. Ejecutar el plan: 102 + 10 = 100 + 10 =110 112 + 11 = 121 + 11 = 132 Comprobación: Verificando los cálculos con una calculadora se puede demostrar que ese es el número pedido. Esta estrategia puede ser puesta en práctica de formas diferentes, estas son: 1. Ensayo y error fortuito: realizado sin pautas o al azar. 2. Ensayo y error sistemático: los valores no se eligen al azar, sino de manera ordenada, de forma que eliminemos las posibles repeticiones de ensayo agotando las soluciones hasta encontrar lo que buscamos. 3. Ensayo y error dirigido: en él contrastamos cada respuesta para ver si estamos más cerca o más lejos del objetivo buscado.

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES E IDIOMAS ASIGNATURA: RAZONAMIENTO Y REPRESENTACION MATEMÁTICA Ejemplo: Judith y Teodoro fueron de visita a la granja de su abuelo. Durante su estancia vieron un corral con cerdos y gallinas. Teodoro dijo haber contado 18 animales en total. Judith afirma haber contado un total de 50 patas ¿Cuántos cerdos había? (sin utilizar ecuaciones). SOLUCIÓN: Ensayo y error fortuito: Damos valores al azar. Cerdos

Gallinas

Patas

14

4

64

12

6

60

10

8

Etc.

De forma sistemática: Se van dando valores de forma sistemática 1,2, 3, Cerdos

Gallinas

Patas

1

17

38

2

16

40

3

15

etc.

Etc. De forma dirigida: Cerdos

Gallinas

Patas

10

8

56 (nos hemos pasado) sobran cerdos

9

9

54 “

“

“

“

8

10

52 “

“

“

“

7

11

50 es la solución

DESCUBRIR UN PATRÓN: Te ayuda a describir algo que ocurre en repetidas ocasiones. Un patrón en un problema se puede presentar como un comportamiento en el cual una misma cantidad se sume, reste, multiplique o divide. En otras ocasiones el patrón no tiene que ver con números, sino con figuras geométricas, letras o comportamientos. Ejemplo: Para cada uno de los patrones siguientes, determina los dos términos que siguen: 1, 3, 5, 7, … 1, -2, 3, -4, … 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … 3, 12, 48, 192, …

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES E IDIOMAS ASIGNATURA: RAZONAMIENTO Y REPRESENTACION MATEMÁTICA SOLUCIÓN: 9 y 11. Cada número es impar positivo. 5 y -6. El valor absoluto de cada número es uno más que el anterior. Los números son alternos en signos. 21 y 34. A partir del tercer número cada uno es la suma de los dos anteriores. (Nota: este patrón se conoce como la sucesión de Fibonacci) 768, 3072. Cada número es el producto de 4 por el número anterior.

DE ATRÁS HACIA ADELANTE Esta estrategia también se conoce como comenzar por el final. Es útil cuando tienes que comenzar por la conclusión del problema y trabajar hacia delante. Ejemplo: El manatí que cuidaban en la Parguera, atrajo a muchas personas. El primer día acudieron a verlo 80 espectadores menos que el segundo. El segundo día fueron 250 personas menos que el tercero. En éste acudieron 50 personas más que el cuarto. Al cuarto día fueron 500 personas. ¿Cuántos espectadores vieron el manatí el primer día? Solución: Comprender el Problema Se desea determinar el número de personas que fueron a ver el manatí el primer día. Se sabe que ese día fueron 80 espectadores menos que el segundo, cuando fueron 250 menos que el tercero. Durante éste acudieron 50 personas más que el cuarto día, en el que se presentaron 500 personas. Desarrollar un Plan Este problema se resuelve trabajando de atrás hacia adelante. Como se conoce la cantidad que fue el cuarto día, se calcula cuantos fueron el tercero, el segundo y por último el primer día. Llevar a cabo el Plan Si se sabe que el cuarto día fueron 500 personas y el tercero 50 más, cabe concluir que ese día hubo 550 asistentes. Con este dato y el hecho de que el segundo día fueron 250 personas menos que el tercero, se obtiene que la asistencia del segundo día fue de 300 personas. Para determinar la cantidad que acudió el primer día, solo queda restar 80 a la cantidad del segundo día. Esto da 220 personas. Este procedimiento también se pudo organizar haciendo uso de la estrategia elaboración de una tabla: DIA CUARTO TERCERO SEGUNDO PRIMERO

ASISTENCIA 500 500 + 50 = 550 550 – 250= 300 300 – 80 = 220

Comprobar: Se puede revisar invirtiendo el proceso de adelante hacia atrás: si el primer día fueron 220 personas, el segundo día fueron 80 más, o sea 300. El tercer día acudieron 250 más que el segundo; es decir 550. El cuarto día fueron 50 menos que el tercero. Lo cual coincide con el hecho de que el cuarto día acudieron 500 personas.

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES E IDIOMAS ASIGNATURA: RAZONAMIENTO Y REPRESENTACION MATEMÁTICA TANTEO Y ERROR Esta estrategia te ayuda cuando no conoces otra. En esencia, consiste en realizar varios intentos para llegar a la solución. Ejemplo: Escribe símbolos de suma y resta entre números compuestos de los dígitos: 3 5 9 1 0 5 3 De modo que obtengas 257 como resultado. Los dígitos no se pueden repetir y se tienen que presentar en el mismo orden que aparecen. Solución: Comprender el problema: Se establece que los números son compuestos solo hay que usar los símbolos de suma y resta, utilizar los dígitos una vez y seguir el orden en que aparecen. 3, 5, 9, 1, 0,5 y 3. Además, el resultado tiene que ser 257. Desarrollar un Plan El plan que conviene utilizar es tantear colocando los símbolos de suma y resta en posiciones diferentes. Como el resultado tiene tres dígitos, 257, cabe suponer que al menos una cifra tiene tres dígitos y está entre 100 y 300. Llevar a cabo el Plan A partir de 359 se pueden agrupar los números en esta forma: 359 + 10 – 53 = 316; entonces, esta combinación no funciona. Luego, se intenta con 105, ya que 910 está muy lejos, y resulta; 35 + 9 + 105 – 3 = 146; este ejercicio tampoco da 257. Por último, se prueba una combinación con 359 y 105: 359 – 105 + 3 = 257; ¡es el arreglo correcto! Comprobar: Obviamente se puede ver que las condiciones del problema se cumplen. ELABORACIÓN DE UNA TABLA: Con esta estrategia puedes llevar la cuenta de los números, datos y combinaciones de números en forma organizada. Una tabla es un arreglo rectangular de la información, acomodada en filas y columnas. Ejemplo: Los estudiantes de una clase de Botánica llevaron 300 hojas para estudiar sus características y propiedades curativas. La clase analizó 10 hojas el primer día, el segundo estudió 15, el tercero 20 hojas y así sucesivamente. ¿Alrededor de cuántos días tardarán en estudiar todas las hojas? Comprender el problema: En este caso se dice que la clase estudió 10 hojas el primer día, 15 el segundo, 20 el tercero y así sucesivamente. Además, la cantidad total de hojas que tienen que estudiar es 300. Se desea saber cuántos días más o menos tardarán en estudiar todas las hojas.

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Desarrollar un Plan: Se observa que la cantidad de hojas por estudiar aumenta cinco cada día. Esto define un patrón. Una vez descubierto, se pueden organizar los datos en una tabla con tres columnas. La primera se refiere al día que estudiaron las hojas, la segunda a la cantidad de hojas que analizaron ese día y la tercera representa la cantidad de hojas acumuladas. De esta manera se continúa el patrón hasta llegar a la solución. Llevar a cabo el Plan: En este paso se prepara la tabla mencionada:

DIA

HOJAS ESTUDIADAS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1O 15 20 25 30 35 40 45 50 30

TOTAL DE HOJAS ESTUDIADAS 10 25 45 70 100 135 175 220 270 300

Comprobar: Revisa si la respuesta tiene sentido. Observa que el patrón continúa hasta el noveno día y cambia en el décimo porque solo quedan 30 hojas por estudiar. En conclusión, el grupo demorará aproximadamente unos diez días en estudiar las 300 hojas. GRÁFICOS En tu bolsillo tienes 5 monedas de diferentes denominaciones: 50, 100, 200, 500 y 1000 pesos. ¿Cuántas cantidades distintas puedes formar? Comprender el problema: Se tienen 5 monedas de diferentes valores en el bolsillo con las cuales se pueden formar diferentes cantidades. Datos conocidos: Cinco monedas de 50, 100, 200, 500 y 1000 pesos Datos desconocidos: Cantidad que se pueden formar con las cinco monedas. Cantidad de números diferentes que se pueden formar Desarrollar un plan: Se hará una representación gráfica que muestre las combinaciones entre las cinco monedas, diferenciando las que no se tiene con las que se tiene con un menos, luego sumaremos cada combinación posible para determinar las cantidades.

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Ejecutar el plan:

Comprobación: Siguiendo cada rama, podemos sumar los valores de las monedas dando como resultado las cantidades que se podrían formar en el bolsillo, al final se cuentan dando como resultado 32 cantidades diferentes que se pueden formar. APLICACIÓN DE FÓRMULAS Cuando se conoce la relación entre dos o varias cantidades, la relación se puede expresar mediante una expression matemática conocida como una fórmula. En estos casos, las cantidades se representan con símbolos mejor conocidos en matemáticas como variables y su relación, con una igualdad. Ejemplo: Jaime, Gissella, Silvia y Carlos desean cancelar su matrícula de ingreso a la Universidad del Magdalena. Averiguan que la liquidación para alumnos nuevos en sus respectivos programas puede realizarse a través de la fórmula emitida por el acuerdo superior No. 017 en la cual se reglamenta que el valor de los derechos de matrícula puede calcularse así:

Además deben tener en cuenta el factor del programa, el factor estrato socio-económico y el factor del colegio de procedencia, los cuales pueden determinarse a través de los valores de las tablas:

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES E IDIOMAS ASIGNATURA: RAZONAMIENTO Y REPRESENTACION MATEMÁTICA FACTOR DEL PROGRAGAMA ACADÉMICO

FACTOR ESTRATO SOCIO-ECONÓMICO

FACTOR COLEGIO DE PROCEDENCIA

Donde:

Jaime y Silvia pertenecen a los programas de Ciencias Empresariales (Contaduría) e Ingeniería (Ambiental) y provienen de Colegios privados y pertenecen a los estratos 4 y 5 respectivamente, mientras que Carlos y Gisella de los programas de Ciencias de la educación (Licenciatura en Educación básica con énfasis en informática) y Ciencias básicas (biología) de estrato 2 y 3 respectivamente y de colegios públicos.

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES E IDIOMAS ASIGNATURA: RAZONAMIENTO Y REPRESENTACION MATEMÁTICA La pensión de Jaime en el grado 10 fue de $180.000 y en grado 11 de $ 225.000. Para Silvia, el valor de la pensión en grado 10 era de $200.000 y en grado 11 de $ 280.000. Determina cuánto dinero debe cancelar cada estudiante una vez liquidada su matrícula. Solución: Comprender el problema: ¿Qué pide el problema? El valor que cada estudiante debe cancelar una vez liquidada su matrícula. ¿Cuáles son los datos conocidos del problema? Los programas de cada uno de los estudiantes, el estrato socioeconómico, el colegio de procedencia y el valor de las pensiones de Jaime y Silvia en los grados10 y 11 y el valor del salario mínimo legal mensual vigente. Desarrollar un plan: Se aplicará la estrategia de hacer uso de una fórmula. La fórmula que debe utilizarse será:

Además se tendrán en cuenta los valores correspondientes a cada factor anotados en las tablas. Llevar a cabo el plan: Para calcular el valor de la matrícula de Jaime se procede así: Valor matrícula = Valor matrícula = Para calcular el Factor del colegio de procedencia = Factor del colegio de procedencia = Determina el valor de la matrícula que debe cancelar Silvia. Verificación: Se comprueba utilizando la calculadora para determinar el valor de la matrícula. Luego Jaime debe cancelar por concepto de matrícula: $1.011.586, 5 Para determinar el costo de la matrícula de Gisella se procederá así: Valor matrícula = Valor matrícula = Por lo tanto Gisella cancelará $ 911.956,5 Determina el monto que debe cancelar Carlos.

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES E IDIOMAS ASIGNATURA: RAZONAMIENTO Y REPRESENTACION MATEMÁTICA ANALOGÍA O SEMEJANZA Consiste en la búsqueda de semejanzas (parecidos, relaciones, similitudes) en el “archivo” de la experiencia, con casos, problemas, juegos etc. que ya se hayan resuelto. A veces, ante la situación que nos ocupa, nos podemos preguntar: ¿A qué nos recuerda? ¿Es como aquella otra? Es muy bueno, a fin de encontrar un buen asidero que nos proporcione confianza, buscar situaciones semejantes a la propuesta. Al hacerlo, probablemente, surgirán procedimientos de ataque de dichas situaciones semejantes, que nos proporcionarán estrategias válidas para la que nos ocupa. Esta búsqueda será más fácil cuanta más experiencia tengamos en la resolución de problemas. Esta estrategia suele ir asociada a la particularización y la generalización. Ejemplo: Calcular el área lateral del tronco de cono que aparece en la figura Solución: El área lateral corresponde al siguiente desarrollo

Se parece a un trapecio (Estamos utilizando la analogía) . El área del trapecio es igual:

Area = ----------------------------------. altura 2

h= lado generatriz del tronco de cono: h

Luego: Area 

H 2  ( R  r) 2

2R  2r 2  H 2   R  r 2

¿Será cierto?

SIMPLIFICAR, PARTICULARIZAR Consiste en pasar de la consideración de un conjunto de objetos dado a considerar un conjunto más pequeño (o incluso un solo objeto) contenido en el conjunto dado. Particularizar significa simplificar el problema haciéndolo más concreto y específico, hasta que sea posible hacer algún progreso. A veces te encuentras con un problema que resulta difícil por su tamaño, por tener demasiados elementos que lo hacen enrevesado y oscuro. En este caso se puede empezar construyendo un problema semejante más sencillo, tratar de resolverlo y luego proceder a complicarlo hasta llegar al propuesto inicialmente.

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES E IDIOMAS ASIGNATURA: RAZONAMIENTO Y REPRESENTACION MATEMÁTICA Es una de las mejores estrategias para los principiantes, pues sirve para adquirir confianza y, en otros casos, proporciona ayuda en los atascos y bloqueos y nos permite entrar en materia manipulando los datos. Se utiliza en la técnica de demostración lógica denominada “contraejemplo”: basta encontrar una sola excepción para refutar de forma irrevocable lo que pretende ser una regla o una afirmación de carácter general. La particularización puede hacerse al azar para entender el significado del problema o de forma sistemática para preparar el terreno hacia la generalización. Acude a ésta estrategia cuando no poseas ninguna idea que te haga prosperar, ya que en múltiples ocasiones te permitirá lograr un avance. Puede ir relacionada con otras estrategias como: la generalización, la modificación del problema, la experimentación. Ejemplo 16 jugadores de tenis participan en un sorteo para emparejarse entre sí en la primera ronda. ¿De cuántas maneras se pueden hacer los emparejamientos? Solución: Como el número de jugadores es elevado, comenzamos con dos jugadores; claramente hay una sola forma. Si el número de jugadores es 3, tenemos 3 emparejamientos. Si los jugadores son 4, tenemos los siguientes 6 grupos: (1,2); (1,3); (1,4); (2,3); (2,4) y (3,4). Si los jugadores son 6, aparecen 15 grupos (compruébalo) ¿Serías capaz de encontrar una ley y deducir cuántos emparejamientos hay con 16 jugadores?. Otra forma de resolver el problema es visualizar las diversas situaciones en diagramas y sacar conclusiones

1

2

1

NO

SÍ

2

NO

NO

2 jugadores; un emparejamiento

1

2

3

4

1

NO

SÍ

SÍ

SÍ

2

NO

NO

SÍ

SÍ

3

NO

NO

NO

SÍ

4

NO

NO

NO

NO

4 jugadores; 6 emparejamientos

ORGANIZACIÓN, CODIFICACIÓN La organización, en general, consiste en adoptar un enfoque sistemático del problema. Suele ser de gran ayuda enfocar el problema en términos de tres componentes fundamentales: antecedentes (origen y datos), el objetivo y las operaciones que pueden realizarse en el ámbito del problema.

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Las técnicas asociadas a la organización pasan por realizar: símbolos apropiados, croquis, gráficos, figuras, diagramas y esquemas. Estos símbolos o dibujos no se reservan al uso exclusivo de la geometría; pueden ayudar en todo tipo de problemas, ya que las figuras trazadas sobre el papel son fáciles de hacer, de conocer y de recordar. Las figuras que te formes del problema deben incorporarse de forma sencilla a los datos relevantes y de esta manera, suprimir los hechos que pueden conducir a confusión. De ésta forma pueden quedar resaltadas visualmente las relaciones entre los aspectos más importantes del problema, y de ahí muy a menudo se desprenden luces que clarifican sustancialmente la situación. Una buena organización suele ir asociada con la elección de una notación o código que organice la búsqueda de posibles caminos hacia la solución. Las diferentes notaciones y códigos nos conducen a utilizar un determinado lenguaje. Los lenguajes que resultan útiles en la resolución de problemas son: el lenguaje de la Lógica el de las Matemáticas (geométrico, algebraico, analítico, probabilístico etc.), el analógico (modelos, manipulaciones etc.) y el imaginativo o pictórico (figuras, esquemas, diagramas etc.). Una buena organización es un buen punto de arranque y a veces allí se encuentra la clave del éxito. Ejemplo: Hay varias formas de sumar 10, mediante números impares y con cuatro sumandos; tenemos: 10 =1+1+1+7; 10 = 1+1+3+5; 10 = 1+3+3+3; tenemos tres formas (los cambios de orden en los números no cuentan como nuevas soluciones). Para obtener 20 con 8 sumandos impares ¿Cuántas formas hay? Desde luego hay que organizarse un poco y ser sistemático: 20= 1+1+1+1+1+1+1+13; 20=1+1+1+1+1+1+7+7; 20 = 1+1+1+1+1+1+3+11; así llegamos hasta 11 combinaciones posibles ¿Te atreves? CODIFICACIÓN: Ejemplo Se tiene 3 cajas iguales y 5 guantes de la mano izquierda, todos ellos iguales ¿De cuántas maneras se pueden distribuir en las tres cajas? Solución: Después de jugar un poco con el problema se puede llegar a definir un código que nos organice la búsqueda. Así si los guantes los representamos por A y las cajas por B, la secuencia BAA BA BAA nos indica que en la 1ª caja hay dos guantes, en la 2ª un guante y en la 3ª dos guantes. Quizás este código nos resulte más fácil de manejar y así resolver el problema.

RESOLVER UNA ECUACIÓN: Frecuentemente cuando se aplica la estrategia de usar una variable en la resolución de problemas, tal representación conlleva a una ecuación que puede ser de tipo lineal o cuadrática. Veamos el siguiente ejemplo:

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José es propietario de una finca en la cual cría conejos y gallinas. Para establecer el número de animales que posee, manda a uno de sus empleados a realizar el conteo de estos. Al regresar el empleado dice a José: “Contando todas las cabezas de los animales usted tiene 60; pero si cuenta las patas el resultado es de 188”. Cuántos Conejos y cuántas gallinas tiene José en su finca?

Comprender el problema: ¿Qué pide el problema? La cantidad de Conejos y gallinas que tiene José en la finca. ¿Cuáles son los datos conocidos del problema? El total de cabezas de los animals (60) y el total de las patas de los animales (188). Desarrollar un plan: Se aplicará la estrategia de resolver una ecuación, para ello debe asignarse variables así: Sea

Ejecutar el plan: Se deben plantear dos ecuaciones teniendo en cuenta los datos conocidos así:

La solución del sistema se realiza aplicando el método de reducción: luego : 188 ____________________

Por lo tanto

. Entonces:

Sustituyendo:

en (1) se tiene:

Luego hay 34 conejos y 26 gallinas.

Comprobación: Se realiza reemplazando los valores obtenidos en la ecuación (1) y (2) :

34 + 26 = 60 USAR LAS PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS U OPERACIONES MATEMÁTICAS Entender la naturaleza intrínseca de los números a menudo es útil en la solución de problemas. Para resolver problemas donde intervienen cálculos numéricos u operaciones matemáticas, es importante establecer las relaciones que existen entre los datos suministrados. Veamos el siguiente ejemplo: Cristina desea remodeler la sala de su casa que tiene 7, 8 m de largo por 3 m de ancho, con baldosas cuadradas lo más grande posibles. ¿Cuánto debe medir el lado de cada baldosa si al colocarlas se desea que no se rompa ninguna?

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES E IDIOMAS ASIGNATURA: RAZONAMIENTO Y REPRESENTACION MATEMÁTICA Solución: Comprender el problema: ¿Qué pide el problema? La longitude del lado de cada baldosas para que al colocarlas no se rompa. ¿Cuáles son los datos conocidos del problema? El largo de la sala 7, 8 m y el ancho de 3 m. Desarrollar un plan: Se aplicará la estrategia de propiedades matemáticas. Ejecutar el plan: Para efectuar los cálculos, se expresará el largo y el ancho en centímetros, es decir, 7, 8 m = 780 cm y 3 m = 300 cm. Para determinar la medida del lado de la baldosa de tal manera que al colocarlas no se rompa ninguna, se require establecer un número exacto de veces en 780 cm y 300 cm, por lo tanto se debe buscar números que dividan exactamente a la vez ambos números, es decir, divisors communes. Como la baldosas debe ser lo más grande posible, se debe elegir el mayor de los divisores communes que corresponde al máximo común divisor de 780 y 300. En consecuencia: 2 390

150 2

195

75

3

65

25

5

13

5

Luego el lado de la baldosas debe medir 60 cm

EJERCICIOS PROPUESTOS Resuelve cada uno de los ejercicios utilizando el mayor número de estrategias para la solución de problemas 1. Cuatro patinadores participan en un torneo, razón por la cual compiten en una pista circular recorriendóla totalmente en 8, 10, 12 y 15 segundos, respectivamente. Si parten juntos, ¿en cuantos minutos se encontrarán en la partida? a) 120 b) 1 c) 2 d) 3 2. Un albañil inicia la construcción de las paredes de una casa, para ello cuenta con cierta cantidad de bolsas de cemento. El primer día utiliza de la cantidad total, el segundo día de lo que tenía. Ates de iniciar el tercer día cuenta la cantidad de bolsas de cemento y observa que aún le quedan 55. ¿Cuántas bolsas de cemento tenía al inicio de la construcción?

3. Álvaro, Juan , Daniela y Laura son estudiantes antiguos de la universidad del Magdalena. Al inicial semestre desean liquidar su matrícula para el año 2013, sabiendo que ésta puede realizarse con base en el acuerdo superior 024 del 23 de junio del 2009, el cual establece que el valor de la matrícula se determina mediante la fórmula:

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FACTOR ESTRATO SOCIO-ECONÓMICO

El Colegio de procedencia se estimará de la siguiente manera:

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES E IDIOMAS ASIGNATURA: RAZONAMIENTO Y REPRESENTACION MATEMÁTICA NÚMEROS DE CRÉDITOS ACADÉMICOS

Si se sabe que: Álvaro pertenece al programa de medicina, procede de colegio privado y la pensión de escolaridad en el grado 10 era de $300.000 y en el grado 11 de $ 350.000 y de estrato 5. Daniela pertenece al programa de derecho, de colegio privado y la pensión en el grado 10 era de $225.000 y en grado 11 de $240.000. y de estrato 4. Mientras que Juan y Laura provienen de colegios oficiales de estratos 2 y 3 respectivamente y de los programas de Ingeniería Civil y Antropología.¿ Cuánto dinero debe cancelar cada estudiante al inicio del semestre? Selecciona un estudiante del programa de Ingeniería Ambiental, Negocios Internacionales y Economía y realiza la respectiva liquidación teniendo en cuenta: a. El acuerdo 024 b. El acuerdo 017 Para ello considera que : a. Son de estrato 3 b. Son de oficial(No privado) Establece semejanzas y diferencias entre ambas liquidaciones. ¿Dónde la liquidación es mayor? ¿Dónde es menor? ¿Porqué? Realiza tu propia liquidación con el acuerdo 017.

4. Andrea desea asar en una parrilla tres arepas. En la parrilla caben dos arepas a la vez, pero solo se puede asar por un lado. Se tarda 30 segundos en asar una cara de una arepa, 5 segundos en colocar una arepa, o en sacarla y tres segundos en darle la vuelta. ¿Cuál es el mínimo de tiempo que se necesita para asar las tres arepas por ambas caras? A.

118 seg

b. 120 seg

c. 121 seg

d. 145 seg

d. 115 seg.

5. En las inmediaciones de la isla de Salamanca hubo un derrame de aceite de palma. Tal hecho ha ocasionado la muerte de muchas especies que allí habitan. Se cree que se derramaron parte de los 1, 5 millones de galones de aceite. Los 1, 5 millones de galones de aceite caben en 125 carro tanques. ¿Cuál es la cantidad de aceite contenida en cada carro tanques?

6. Camilo tiene una caja de chocolates y desea compartirla con sus mejores amigos. A Cristina regala la mitad de sus chocolates más uno, a José la mitad de los chocolates que le quedaron más uno y a Carlos la mitad de los que le quedaban más uno. Si a Camilo aún le queda un chocolate, ¿cuántos chocolates tenía la caja al inicio?

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES E IDIOMAS ASIGNATURA: RAZONAMIENTO Y REPRESENTACION MATEMÁTICA 7. Un profesor decide premiar a sus estudiantes por el buen desempeño mostrado por ellos durante el periodo escolar, razón por la cual realiza un concurso. Por una calificación sobresaliente le da una tarjeta con un número entero menor que 100 escrito en ella. Un premio de $1000 pesos se le dará a cualquier niño que presente tarjetas cuyos números sumen 100. A continuación se muestran varias tarjetas,

¿Cómo se podría determinar una combinación ganadora? ¿Puede usted sugerir como estructurar el concurso de tal modo que pueda haber a lo más 1000 ganadores? 8. Muchos ceros. ¿En cuántos ceros termina el número100! =100x99x98x....x4x3x2x1? Nota: Como el resultado de 100! , es un número muy grande, intenta primero resolver el problema análogo para 10!= 10x9x8x7x6x5x4x3x2x1 9. Lucía viajó 125 millas en dos días. El segundo día viajó 23 millas más que el primero. ¿Cuántas millas viajó cada día? 10. Sumar quince: Nueve fichas numeradas del 1 al 9, se ponen sobre la mesa. Juegan dos jugadores. Cada uno coge una ficha por turno. Gana el primero que sume 15. Intenta elaborar dos estrategias que puedan conducir a la victoria: una para usarla si eres tú el primero en comenzar y otra si te toca en segundo lugar. 11. Discos: Se tienen dos discos circulares. En la cara superior de cada uno de ellos hay escrito un número. En la otra cara tiene escrito otro número. Si lanzamos los dos discos al aire y sumamos los dos números, podemos obtener estos resultados: 11, 12, 16 y 17. Investiga qué números están escritos en la cara oculta de cada disco. Prueba ahora con estos tres discos sabiendo que los resultados que se obtienen son : 15, 16,17,19,20,21,22,23.

¿Y si los resultados obtenidos fuesen 12, 13, 15, 16, 17, 18, 20,21, qué números estarían escritos en la cara oculta de cada disco? 12. Un cajero contó 248 billetes. Solo tiene billetes de $20.000 y $ 5.000 y en total hay $ 2210. ¿Cuántos billetes de $20.000 y de $ 5.000 hay? 13. Canelo es un asno glotón. Su dueño lo ha atado con una cuerda de 15 m de largo en el centro de un prado de forma cuadrada de 30 m de lado. Calcula la superficie de la parte del prado en la que no puede comer Canelo porque se lo impide la cuerda.

14. Luís pesa menos que Antonio, pero más que Pablo. Pablo pesa menos que Luís, pero más que Esteban. ¿Quién pesa más y quién le sigue en este orden?

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES E IDIOMAS ASIGNATURA: RAZONAMIENTO Y REPRESENTACION MATEMÁTICA 15. Llegan 9 personas a un baile y cada una le da un apretón de manos a la otra. ¿Cuántos apretones de manos se dan en total? 16. La edad de un padre y la de su hijo suman 47 años. Si dentro de 14 años el padre tendrá el duplo de la edad del hijo, ¿cuál es la edad del padre? 17. Julia tiene un carro pequeño que le rinde 30 kilómetros por galón en el pueblo, y 36 kilómetros por galón en el expreso. El tanque de su carro tiene capacidad de 15 galones, la gasolina regular cuesta a $ 0.28 el litro y la premiun a $ 0.32 el litro. ¿Cuánto le costará llenar el tanque de su auto con gasolina regular? (ayuda: 1 galón es aproximadamente equivalente a 1 galón = 3,7854118 litros). 18. La señora Martínez desea sembrar amapolas en el patio de su casa de modo que formen una verja recta. La distancia que desea cubrir mide 30 pies. El jardinero le indica que estas flores deben sembrarse a 2 pies de distancia entre ellas. ¿cuántas debe comprar para cubrir la verja de extremo a extremo si desea sembrar la primera amapola en uno de los extremos?

19. En el salón de historia están estudiando las banderas de los países de las Américas. Cada día estudian algunas y aprovechan para estudiar la topografía del país. El quinto día estudiaron 2 países más que el cuarto día. El cuarto día estudiaron tres países menos que el tercer día. El tercer día estudiaron la misma cantidad de países que estudiaron el segundo día. El segundo día estudiaron cuatro países. El primer día estudiaron un país menos que en segundo día. ¿Cuántos países estudiaron en total? 20. En el mismo orden que aparecen, agrupa los siguientes dígitos 6 3 5 4 7 y escribe los símbolos de suma y resta para que obtengas 534.

21. En un edificio de 4 pisos vive la familia Sánchez, Arteaga, Martínez y Castro. La familia Sánchez vive entre las familias Arteaga y Castro. La familia Sánchez vive dos pisos más arriba que la familia Martínez. Las familias viven en pisos diferentes. ¿En qué piso vive la familia Martínez? a. 1er piso

b. 2do piso

c. 3er piso

d. 4to piso

e. Sótano

22. Guillermo va al casino semanalmente. La primera semana triplicó su dinero, pero luego perdió $ 12.000. A la semana siguiente llevó el dinero que le sobraba, lo duplicó, pero después perdió $ 40.000. Habiendo guardado el dinero que le quedó, la semana siguiente lo intentó una vez más y cuadruplicó su dinero, con tanta suerte que no perdió nada y pudo regresar a casa con el total, que ascendía a $ 224.000. ¿Con cuánto dinero comenzó en la primera semana? 23. El sueldo anual de Miguel ha aumentado la misma cantidad en los últimos años. Su sueldo era de $18 000 anuales el primer año de trabajo. Si el séptimo año ganaba $24000. ¿Cuántos años lleva en el trabajo si ahora gana $30 000 anuales?

24. Las agendas para el próximo año escolar están en oferta. Los precios son independientes del color, pero dependen del tamaño. Si compras entre una o tres agendas del tamaño regular, cuestan $47 cada una. Si compras entre 4 y 24 de las mismas, cuestan $39.75 cada una. La agenda de bolsillo tiene los siguientes precios, entre una y tres cuestan $16.95, entre 4 y 24 cuestan $13.50. Para el día del ejecutivo, el presidente de JOTA MATEMAT decide comprar estas agendas para sus empleados. Si compra diez agendas de bolsillo color marrón y dos agendas negras de tamaño regular. ¿cuánto se ahorró?

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BIBLIOGRAFIA  CAMPISTROUS, L., RIZO, C. “Aprende a resolver problemas aritméticos” (1996) Editorial Pueblo y Educación.  RODRIGUEZ, J., CARABALLO, A., CRUZ, T., HERNANDEZ, O. “Razonamiento Matemático, Fundamentos y Aplicaciones”. (1997). International Thomson Editores.  SANTOS TRIGO, L. “La Resolución de Problemas Matemáticos Fundamentos Cognitivos”. (2007). Editorial Trillas.

WEBGRAFÍA: http://www2.minedu.gob.pe/digesutp/formacioninicial/wpdescargas/educacionprimaria/didactica_mat/04_resolucion_de_problemas.pdf http://www.educarchile.cl/Portal.herramientas/nuestros_sitios/7mm/sitio/respuesta3.htm http://www.planetamatematico.com/index.php?option=com_content&task=view&id=52&Itemid=74&lim it=1&limitstart=3