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1 Razonamiento y consistencia Contenidos 1. Situaciones lógicas 2. Enunciados 3. El concepto de razonamiento 4. Razonamientos deductivos 5. Nota: razonamientos ampliativos 6. El concepto de consistencia 7. El objeto de la lógica

1. Situaciones lógicas 1.1. Problemas lógicos En la vida se presentan problemas de muchos tipos: cómo arreglar un aparato, cómo conseguir un trabajo mejor pago, cómo llevarse bien con el prójimo, cómo evitar enfermedades, etc. Todos buscamos soluciones cuando nos enfrentamos a estos y otros problemas. La solución de cualquier problema implica tomar decisiones y realizar acciones, seguir pasos determinados o procedimientos, etc. También hay problemas específicos en las diferentes profesiones y actividades que los seres humanos llevan a cabo: un grupo de ingenieros tiene que resolver el problema de construir una represa lo suficientemente resistente como para soportar un volumen determinado de agua, un abogado tiene que determinar la estrategia para defender a su cliente, los ejecutivos de una empresa industrial tienen que encontrar una manera para exportar los productos que la empresa fabrica, un médico tiene que encontrar una causa para los síntomas de un paciente, un mecánico tiene que arreglar un auto después de un choque, un agrimensor debe dividir correctamente un terreno, un equipo de biólogos y bioquímicos debe encontrar una vacuna para una enfermedad infecciosa, un equipo de economistas está abocado a desarrollar un sistema impositivo que sea menos regresivo, y así siguiendo. Estos tienen un carácter marcadamente práctico: su solución conduce de manera bastante inmediata a cambios en la realidad. Pero hay, además, problemas más teóricos, más intelectuales digamos, tales como calcular el área de un polígono, calcular cuántos números de 4 cifras diferentes se pueden escribir con los dígitos 1, 2, 3, 4, determinar la probabilidad de obtener un 5 al arrojar dos dados, o encontrar la estructura matemática adecuada para una teoría física, etc. Algunos problemas son lógicos. Supóngase el caso de tres estudiantes universitarios: Patricia, Laura y Damián. De ellos se sabe lo siguiente: (a) Cada uno estudia una única carrera y todos estudian carreras diferentes.

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(b) Las carreras son Comunicación., Administración y Educación. (c) Aquel que es varón estudia Educación. (d) Laura no estudia Comunicación. El problema está en determinar, sobre la base de la información dada, quién estudia qué carrera. Piénsese qué tipo de problema es y qué debe hacerse para solucionarlo (¡razonar!) Las soluciones a estos problemas son: (1) Damián estudia Educación. La razón es que, según (c) es el único varón de los tres (Se supone que Damián es un nombre exclusivamente de varón). (2) Laura estudia Administración. Esto se sigue de que, por (d), ella no estudia comunicación y por (c), ya que Laura es nombre de mujer, no estudia Educación, y por (b) no hay más carreras a considerar. (3) Finalmente, Patricia estudia Comunicación (no queda otra alternativa). La solución de estos problemas ha requerido hacer razonar, en el sentido de hacer inferencias. Esto está indicado por las frases “la razón es que…”, “de aquí se sigue...” indicadas en las soluciones. 1.2. Justificación de creencias Otro caso en el que se emplea lógica es cuando queremos justificar las creencias que tenemos. 1.2.1. Ejemplo: Se puede justificar que este caño de hierro conduce la electricidad partiendo del hecho de que todos los metales conducen la electricidad y de que el hierro es un metal. La justificación se basa en inferir que el caño de hierro conduce la electricidad a partir de los otros dos hechos Un caso distinto es el siguiente: 1.2.2. Ejemplo: Se quiere encontrar una justificación de por qué Paula está a favor del aborto. Alguien argumenta que puede deberse a que ella ha votado a un partido de izquierda. De este modo, se pretende inferir que Paula está a favor del aborto a partir de que Laura ha votado siempre a partidos de izquierda y de la suposición de que los votantes de partidos de izquierda están a favor del aborto. Estos ejemplos muestran que la justificación de nuestras creencias requiere procedimientos, mecanismos o recursos que llamaremos lógicos. Piénsese que muchas veces justificamos nuestras creencias en relación con ciertos valores o con el fin de llevar a cabo ciertas acciones. En este sentido, el hecho de que nuestras justificaciones contengan inferencias hace que nuestras creencias, acciones o decisiones sean racionales.

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2. Enunciados Tanto al dar la solución de los problemas de la sección anterior como en los ejemplos de justificación de creencias se infieren hechos a partir de otros hechos, que constituyen la información que permite hacer inferencias. Esta información acerca de hechos se expresa en la vida cotidiana mediante un idioma o lengua histórica (francés, chino, náhuatl, castellano, guaraní, bantú, etc.). Llamaremos “enunciados” a las unidades en que se expresa esta información acerca de hechos en un idioma cualquiera. Estos enunciados (llamados a veces también proposiciones) son expresiones (es decir, secuencias de palabras) de una lengua histórica que pueden ser tomadas como oraciones declarativas de esa lengua; estas expresiones describen situaciones, procesos hechos o estados de cosas y se las puede afirmar como verdaderas o falsas. Es decir, se afirma que se da o no se da lo que ellas describen. Como ejemplos pueden mencionarse los siguientes: “Buenos Aires está al sur del paralelo 34”, “La inflación del mes de febrero de 2003 fue de 0,6%”, “13 es un número primo”, “Los murciélagos son mamíferos”. Por el contrario las expresiones “Buenos Aires”, “inflación del mes de febrero de 2003”, “número primo” o “murciélago” no son enunciados pues no tiene sentido afirmar de ellas que son verdaderas o falsas. Así pues, el hecho de que puedan ser verdaderos o falsos es un rasgo que nos permite identificar, en una primera aproximación, aquellas expresiones de una lengua que tomaremos como enunciados. Por lo tanto, se pueden caracterizar los enunciados de la siguiente manera: 2.1. Un enunciado es aquella expresión de una lengua de la cual tiene sentido decir que es verdadera o falsa. Esta caracterización será especialmente útil a los fines de presentar nociones lógicas, tal como se verá inmediatamente. Por lo demás, los enunciados de una lengua tienen un importante valor para el conocimiento: cuando uno sabe que un enunciado es verdadero, entonces conoce que se da la situación, el proceso o el estado de cosas que el enunciado describe. 2.2. Nota. Como se acaba de ver, se usarán comillas dobles para indicar que se está hablando de la expresión lingüística (palabra, frase, oración, letra, signo, etc.) y no de aquello a lo que la expresión se refiere. Por ejemplo, “Bernal” se referirá a la palabra que es el nombre de la localidad de la provincia de Buenos Aires y no a la localidad misma. Así, se puede decir con verdad que “Bernal” tiene seis letras, pero no puede afirmarse lo mismo de la localidad.

2.3. Ejercicios Luego de leer el párrafo que figura a continuación, a. seleccione las oraciones que expresen enunciados, b. explique por qué puede considerarse que las oraciones que seleccionó expresan enunciados.

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Examinemos la posibilidad de que el FMI sea un representante de los intereses de la comunidad financiera internacional y de las firmas multinacionales. ¿Considera Ud. que esta hipótesis carece de fundamento? Antes de responder, analicemos algunos hechos. En setiembre de 2001, a pocos meses del default, este organismo giró hacia nuestro país aproximadamente seis millones de dólares. ¿Estaba este crédito destinado a promover inversiones productivas que permitiera superar la crisis económica? ¡Ojalá hubiera sido esa la intención del FMI! El propósito de esta entidad crediticia fue proveer la cantidad de divisas necesaria para efectivizar la fuga de capitales ante la inminente devaluación. Ejemplos: 1. La oración “Examinemos la posibilidad de que el FMI sea un representante de los intereses de la comunidad financiera internacional y de las firmas multinacionales” no expresa un enunciado, porque no describe una situación, un proceso o acontecimiento, sino que formula una propuesta: nos propone que consideremos una hipótesis. Obsérvese que, por esta razón, no es una oración declarativa, ni es posible atribuirle un valor de verdad. 2. La oración “¿Considera Ud. que esta hipótesis carece de fundamento?” tampoco expresa un enunciado, ya que no describe un hecho. Tampoco es una oración declarativa, sino que es interrogativa y, en consecuencia, no puede asignársele un valor veritativo. 3. La oración “En setiembre de 2001, a pocos meses del default, este organismo giró hacia nuestro país aproximadamente seis millones de dólares” sí expresa un enunciado, pues describe un acontecimiento. Estamos ante una oración declarativa, a la que puede atribuirse un valor de verdad, aunque quizá no sepamos cuál es. (Ahora, continúe analizando Ud. el resto de las oraciones). 4. La oración “Antes de responder, analicemos algunos hechos”………………………… ……………………………………………………………………………………….................... 5. La oración “¿Estaba este crédito destinado a promover inversiones productivas que permitieran superar la crisis económica?”……………………………………………….…. ………………………………….………………………………………………………..……... 6. La oración “¡Ojalá hubiera sido esa la intención del FMI!”………………………………. …….. ………………………………………..…………………………………………………… 7. La oración “El propósito de esta entidad crediticia fue proveer la cantidad de divisas necesaria para efectivizar la fuga de capitales ante la inminente devaluación”……… ……….…………………………………………………………………………………………….

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3. El concepto de razonamiento Tanto en la solución del problema de la sección 1.1 como en los ejemplos de la sección 1.2 se hacían inferencias. Más específicamente, en el primer ejemplo, se decía que este caño de hierro conduce la electricidad partiendo del hecho de que todos los metales conducen la electricidad y de que el hierro es un metal. Puede decirse que se hace una inferencia del enunciado “este caño de hierro conduce la electricidad” a partir de los enunciados “Todos los metales conducen la electricidad” y “El hierro es un metal”. En el segundo ejemplo, se hace una inferencia del enunciado “Laura está a favor del aborto” a partir de los enunciados “Laura ha votado siempre a partidos de izquierda” y “Los votantes de partidos de izquierda están a favor del aborto”. Al hacer una inferencia se establece una relación entre un enunciado y otros. De una forma más clara uno puede expresar estas dos inferencias del siguiente modo: (1) Todos los metales conducen la electricidad. El hierro es un metal. Por lo tanto, este caño de hierro conduce la electricidad. (2) Laura ha votado siempre ha partidos de izquierda. Los votantes de partidos de izquierda están a favor del aborto. Luego, Laura está a favor del aborto. Estos son dos razonamientos. En ellos tenemos un enunciado (la conclusión) que se infiere a partir de otro u otros enunciados (las premisas). En general, hay ciertas frases llamadas expresiones conclusivas, que indican el paso de premisas a conclusión. 3.1. Definición. RAZONAMIENTO: conjunto de enunciados, uno de los cuales (la conclusión) se infiere del (los) restante(s) (la(s) premisa(s)). La inferencia es la relación que se da entre premisas y conclusión y está representada por expresiones conclusivas. En algunos casos, la expresión conclusiva puede no aparecer de manera explícita. 3.2. Ejemplos. (1) Todos los partidos bonaerenses están al sur del trópico de Capricornio. Quilmes es un partido bonaerense. Luego, Quilmes está al sur del trópico de Capricornio. (2) El nivel de los mares se elevará. Esto se sigue de que la temperatura de la superficie terrestre está aumentando. Y si la temperatura de la superficie terrestre aumenta, entonces disminuye la extensión de la capa de hielo en las regiones polares y el nivel de los mares se eleva. (3) El Banco Central deja de comprar dólares o el índice de inflación será mayor al previsto. Pero el Banco Central no deja de comprar dólares. Por lo tanto, el índice de inflación será mayor al previsto.

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(4) Por lo general, las grandes estrellas de rock viajan en su propio avión. Mick Jagger es gran una estrella de rock. Se puede inferir que Mick Jagger viaja en su propio avión. (5) Si la tasa de natalidad crece sostenidamente, entonces algunos alimentos comienzan a escasear. Efectivamente, hay alimentos que han comenzado a escasear. De aquí que sea razonable afirmar que la tasa de natalidad ha tenido un crecimiento sostenido. (6) Algunos lógicos son miopes. Por consiguiente, algunos miopes son lógicos. 3.3. Nota. Los ejemplos indican que en un razonamiento puede haber un número indeterminado de premisas, pero hay una única conclusión 3.4. Expresiones conclusivas: Estas expresiones son frases que pueden anteceder a la conclusión, como "en consecuencia", "de aquí", "así pues", "consiguientemente", "luego", "se sigue que", "por lo tanto", "implica que", "se concluye que", o pueden anteceder a las premisas, como "porque", "se debe a que", "pues", "se sigue a partir de", "por la razón de que". Con estas expresiones el hablante quiere expresar la existencia de una relación de inferencia entre premisas y conclusión. 3.5. Razonamientos y lenguaje. Los razonamientos están formados por expresiones de un lenguaje. No se va a considerar que los razonamientos están en el cerebro o en la mente (por más que en las mentes o cerebros se realicen inferencias). Para el siguiente estudio basta con considerar los razonamientos como expresiones dadas en un lenguaje. Sin embargo, como se verá más adelante, en la unidad 2, la lógica no limitará el estudio a los razonamientos en un idioma particular. La idea de lenguaje será mucho más general.

3.6. Ejercicios Lea cada uno de los siguientes párrafos y a. determine cuáles de ellos expresan razonamientos, b. en el caso de los párrafos que expresen razonamientos, identifique las expresiones conclusivas, c. subraye la conclusión y enumere cada una de las premisas. Ejemplos: 1. El cacique mapuche Caupolicán fue un héroe. Pues, junto con el caudillo araucano Lautaro, capturó y ejecutó al conquistador español Pedro de Valdivia. Pero si capturó y ejecutó a un conquistador español, entonces resistió la conquista española. Además, cualquier cacique mapuche que haya resistido la conquista española es un héroe.

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Este conjunto de enunciados constituye un razonamiento, pues las tres últimas oraciones se ofrecen como prueba o evidencia que sustenta la conclusión. Las premisas que se mencionan luego de la conclusión están introducidas por la expresión conclusiva “Pues”. La conclusión es el enunciado “El cacique mapuche Caupolicán fue un héroe”. Premisa 1. “(Caupolicán), junto con el caudillo araucano Lautaro, capturó y ejecutó al conquistador español Pedro de Valdivia” Premisa 2. “Si (Caupolicán) capturó y ejecutó a un conquistador español, entonces resistió la conquista española.” Premisa 3: “cualquier cacique mapuche que haya resistido la conquista española es un héroe.”

2. Lautaro era hijo del cacique araucano Curiñanca, pero estuvo al servicio de Pedro de Valdivia. Luego se fugó y organizó la lucha contra los españoles. Atacó y destruyó el fuerte de Tucapel, donde derrotó y ejecutó a Pedro de Valdivia, junto con las fuerzas del Caupolicán. Pero posteriormente fue derrotado y ejecutado por Villagra, sucesor de Valdivia, y su cabeza fue expuesta en una picota en la Plaza de Armas de Santiago. Este conjunto de enunciados no constituye un razonamiento, pues no tenemos aquí una conclusión que pretenda inferirse a partir de ciertas premisas. Solamente se describe parte de la historia y las luchas de Lautaro contra los españoles, pero no se pretende derivar ninguna conclusión.

(Ahora, continúe analizando Ud. el resto de los párrafos)

3. Los gálatas y los helvecios eran pueblos celtas. En consecuencia, algunos pueblos celtas se asentaron en Asia Menor; pues los gálatas se asentaron en Asia Menor, aunque los helvecios no lo hicieron.

4. A mediados del siglo XIX, el vapor era la fuente energética revolucionaria que impulsaba el progreso de la economía europea. La tecnología del vapor se empleaba en el transporte y en la producción fabril. A su vez, el ferrocarril aceleró la expansión de la producción y el intercambio comercial. Pero también promovió el desarrollo de la industria metalúrgica, incrementando así la demanda de recursos minerales. 5. Es probable que Júpiter esté rodeado de brillantes anillos de polvo. Ya que Júpiter, igual que Saturno y Urano, es un enorme planeta gaseoso. Y tanto Saturno como Urano están rodeados de brillantes anillos de polvo.

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4. Razonamientos deductivos En el ejemplo (1) de 3.2., que decía Todos los partidos bonaerenses están al sur del trópico de Capricornio. Quilmes es un partido bonaerense. Luego, Quilmes está al sur del trópico de Capricornio. la conclusión parece tener un cierto carácter forzoso (“no puede ser de otro modo”). En estas circunstancias se habla de una relación de deducción o de inferencia deductiva entre premisas y conclusión. La conclusión se sigue con “necesidad” de las premisas. Así, la verdad de las premisas lleva de manera forzosa a la verdad de la conclusión. Esto quiere decir que la verdad se transmite de las premisas a la conclusión. Tómese este ejemplo y supóngase que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. Si esto es así, hay un partido bonaerense que no está al sur del Trópico de Capricornio. Pero, sobre esta base, se volvería falsa la primera premisa. Algo semejante ocurriría con los casos (2), (3) y (6) de 3.2., que también son razonamientos deductivos. 4.1. Introducción de la noción de validez. En estos casos se dice que estos razonamientos son válidos. La noción de validez de razonamientos está ligada a razonamientos deductivos. (Los auténticos razonamientos deductivos son los válidos.) 4.2. Definición. RAZONAMIENTO VÁLIDO (Definición provisoria): Un razonamiento es válido si y sólo si la conclusión es verdadera siempre que las premisas sean verdaderas (es decir, no puede darse que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa). Basta con que sean las premisas verdaderas para afirmar la verdad de la conclusión. 4.3. Inferencia deductiva. En los razonamientos válidos el paso de premisas a conclusión está dado por una relación de inferencia deductiva. En los estudios de Lógica (y sobre todo en la Lógica Matemática) se emplea una línea horizontal para indicar esta relación. Así un razonamiento se presenta en forma de una columna con las premisas separadas de la conclusión por una línea. De este modo, los razonamientos (1), (2) y (3) vistos anteriormente se presentan como sigue: (1’) Todos los partidos bonaerenses están al sur del trópico de Capricornio. Quilmes es un partido bonaerense. Quilmes está al sur del trópico de Capricornio.

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(2’) Si la temperatura de la superficie terrestre aumenta, entonces la precipitación pluvial aumenta y el nivel de los mares se eleva. La temperatura de la superficie terrestre está aumentando. El nivel de los mares se elevará. (3’) El Banco Central deja de comprar dólares o el índice de inflación será mayor al previsto. El Banco Central no deja de comprar dólares. El índice de inflación será mayor al previsto. 4.4. Nota. También se emplea la palabra “correcto” para designar a los razonamientos válidos. “Validez” y “corrección” son aquí sinónimos. 4.5. Problemas en la noción de validez. Queda claro que en un razonamiento válido con premisas verdaderas la conclusión deberá ser verdadera. En otras palabras, la validez de un razonamiento excluye la posibilidad de premisas verdaderas y conclusión falsa. Pero ¿qué se puede decir en otros casos? Supongamos en el ejemplo (1’), que indicamos como un caso de razonamiento válido, que la premisa “Quilmes es un partido bonaerense”, ya sea por ejemplo porque cambia de nombre, o porque cambian los límites de la Provincia de Buenos Aires, o se crea una nueva provincia con los partidos del Gran Buenos Aires, o alguna otra circunstancia concebible. Dado alguno de estos casos, ¿dejaría de ser válido el razonamiento? No parece esto razonable. El problema, entonces, es ahora cómo determinar la validez de un razonamiento de manera más general, sin considerar si tiene premisas verdaderas o falsas. Ese problema es objeto de estudio en la unidad 3.

5. Razonamientos ampliativos En los ejemplos (4) y (5) de 3.2.2 puede verse que la verdad de las premisas no asegura la verdad de la conclusión. Esto quiere decir que pueden concebirse casos que hagan a las premisas verdaderas y a la conclusión falsa. En cuanto a (4) hay grandes estrellas de rock que no tienen su avión propio. En cuanto a (5) pueden ser verdaderas las premisas, pero eso no lleva a inferir un aumento de la tasa de natalidad. Por ejemplo, también puede darse que haya una serie de malas cosechas, guerras, etc. En estos casos, no puede hablarse de una transmisión necesaria de la verdad de las premisas a la conclusión. Así pues, no son razonamientos válidos. No obstante, son razonamientos útiles, y en ellos las premisas pueden dar evidencia o “buenas razones” para la conclusión. Son una base más débil para la afirmación de la conclusión. Los razonamientos no deductivos serán objeto de la Unidad 6. Allí se los clasificará y ejemplificará.

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5.1. Ejercicios En los siguientes razonamientos: a. subraye las expresiones conclusivas b. encierre entre llaves la conclusión c. señale cuáles de los razonamientos son deductivos, luego de responder la siguiente pregunta con respecto a cada uno de ellos: ¿podría ocurrir que todas sus premisas sean verdaderas y la conclusión sea falsa? Ejemplos:

1. Es condición suficiente que en Ischigualasto haya esqueletos de enormes dinosaurios, para que esta región sea un importante yacimiento paleontológico. De modo que {Ischigualasto es un importante yacimiento paleontológico}, ya que allí, efectivamente, hay esqueletos de enormes dinosaurios. IMPORTANTE: aquí tenemos dos expresiones conclusivas: “De modo que” introduce la conclusión, y “ya que” introduce una nueva premisa, luego de que ya se adelantó la conclusión. Este razonamiento es deductivo, pues es válido. En efecto, supongamos que la conclusión es falsa, es decir, que Ischigualasto no sea un yacimiento paleontológico importante. Pero si la segunda premisa es verdadera, entonces no podría ser verdadera la primera premisa. Es decir, no bastaría con que haya esqueletos de dinosaurios en una región para esa región sea un importante yacimiento paleontológico. Por ejemplo, podríamos pensar que para ser considerado como un yacimiento paleontológico importante, además de tener esqueletos de dinosaurios fuera también necesario que tuviera esqueletos de pterodáctilos. Pero si se consideran verdaderas ambas premisas, no es posible que la conclusión de este razonamiento sea falsa. 2. Si Teotihuacan fue construida antes de la conquista española, entonces era una cuidad azteca. Teotihuacan fue, efectivamente, construida antes de la conquista española; así que {era una ciudad azteca}. Este razonamiento es deductivo, pues es válido. Sin embargo, su conclusión es falsa (Teotihuacan no era una ciudad azteca) así que no pueden ser verdaderas ambas premisas. La segunda premisa es verdadera, pero la primer premisa es falsa (ya que la circunstancia de que Teotihuacan haya sido construida antes de la conquista española, no es suficiente evidencia como para sostener que fue una ciudad azteca, pues hubo muchas otras culturas precolombinas en América Central que pudieron haber construido esta ciudad. En suma, aquí tenemos un razonamiento válido cuya conclusión es falsa, pero esto sucede porque al menos una de sus premisas también es falsa.

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3. {Argentina no recurrirá, seguramente, al Tribunal Internacional de Justicia de La Haya}. Pues Argentina recurrirá a ese tribunal si Uruguay permite el establecimiento de papeleras en Fray Bentos. Pero Uruguay no permitirá que se instalen papeleras allí. Este razonamiento no es deductivo, pues es inválido. Observe que aunque sea falsa la conclusión, todas las premisas podrían ser verdaderas, ya que Argentina podría recurrir al Tribunal de La Haya por otro motivo. 4. Ningún tehuelche era araucano. Todos los mapuches eran araucanos. Caupolicán no era un cacique tehuelche, aunque sí era araucano. Por lo tanto, {Caupolicán era mapuche.} Este razonamiento no es deductivo, pues es inválido. Sin embargo, tanto sus premisas como su conclusión son verdaderas. ¿Podría explicar por qué no es válido? (Ahora, continúe analizando Ud. el resto de los razonamientos) 5. No todos los satélites de Urano describen órbitas keplerianas simples. Una prueba de esto es que Cupido y Belinda, dos de los más de veinte satélites de Urano, no siguen este tipo de órbitas simples sino que describen trayectorias caóticas.

6. Si los tlaxcaltecas se aliaron con el conquistador Hernán Cortés, entonces lucharon contra los aztecas. Así pues, los tlaxcaltecas lucharon contra los aztecas, dado que se aliaron con el conquistador Hernán Cortés. 7. Los dinoterios, igual que los mamuts, los mastodontes y los elefantes, fueron enormes mamíferos proboscidios. En consecuencia, los dinoterios no pueden haber sido carnívoros, pues ni los mamuts ni los mastodontes han sido carnívoros, y tampoco lo son los elefantes. 8. Si hay un brote de aftosa en Argentina, Chile dejará de comprar carne argentina. Efectivamente, Chile dejó de comprar carne argentina. Por lo tanto, hubo un brote de aftosa en Argentina. 9. En Traful y Talampaya hay pinturas rupestres. Pero Traful y Talampaya son centros de atracción turística. De modo que cualquier sitio donde haya pinturas rupestres será un centro de atracción turística. 10. Los druidas eran sacerdotes celtas. De aquí se sigue que Stonehenge era un centro ceremonial celta, pues Stonehenge era un centro ceremonial de los druidas.

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6. El concepto de consistencia Piénsese ahora en el caso de un folleto turístico acerca de ciudades de la Patagonia, dando información básica sobre su ubicación y características. Se menciona a San Carlos de Bariloche, El Calafate, Puerto Madryn, Trelew, Río Gallegos, etc. En el folleto aparecen los enunciados siguientes: (1) Río Gallegos está a orillas del Atlántico y está al sur de Comodoro Rivadavia. (2) Puerto Madryn está cerca de la Península de Valdéz y al norte de Comodoro Rivadavia. (3) Puerto Madryn está al sur de Río Gallegos. Se advierte que algo no anda bien en esta serie de tres enunciados. Ya que si se aceptan (1) y (2) y nuestros conocimientos geográficos acerca de los puntos cardinales, entonces debe inferirse: (4) Puerto Madryn está al norte de Río Gallegos. Los enunciados (3) y (4) son incompatibles: no pueden afirmarse los dos como verdaderos al mismo tiempo. El lector del folleto quedaría confundido y no sabría que hacer, por ejemplo, al querer planificar su viaje, o debería suponer un error en el folleto, lo que lo haría poco recomendable o inútil. Incluso sería incompatible con los mapas de la región. En suma, el folleto deja de tener un auténtico valor informativo. Desde un punto de vista lógico, puede decirse que los enunciados (1) a (3) forman un conjunto inconsistente de enunciados, pues no pueden afirmarse los tres como verdaderos. Si este fuera el caso, diríamos que el conjunto es consistente. 6.1. Definición. CONSISTENCIA (primera definición): Un conjunto de enunciados es consistente si y sólo si todos los enunciados que lo componen pueden ser verdaderos simultáneamente. Es decir, se puede concebir una situación en la que todos sean verdaderos. Se dice que algo es consistente cuando tiene firmeza, es sólido, resistente. En nuestro caso un conjunto consistente resiste la contradicción (no puede dar lugar a una contradicción). 6.2 Consistencia y contradicción Nótese que a partir de (4) y la definición de los puntos cardinales, se infiere (5) Puerto Madryn no está al sur de Río Gallegos.

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Este enunciado es precisamente la negación del enunciado (3); es decir niega lo que afirma este último y obviamente no pueden ser ambos verdaderos. Pero, además, no pueden ser ambos falsos. Ambos enunciados (3) y (5) se contradicen entre sí. Si conectamos ambos enunciados del siguiente modo: (6) Puerto Madryn está al sur de Río Gallegos y Puerto Madryn no está al sur de Río Gallegos, se está entonces frente a un ejemplo de contradicción. Por lo tanto, en el caso de conjuntos inconsistentes, estos conducirán a la afirmación de contradicciones. La contradicción es una propiedad típicamente lógica. Por el contrario, la consistencia está ligada a la ausencia de contradicción. 6.3. Definición. CONSISTENCIA (segunda definición): Un conjunto de enunciados es consistente si y sólo si de uno o más de sus componentes no puede inferirse deductivamente una contradicción.

6.4. Ejercicios Dados los siguientes conjuntos de enunciados, a. indique cuáles de estos conjuntos son inconsistentes, b. en el caso de los conjuntos de enunciados que considere inconsistentes, justifique por qué cree que lo son. Ejemplos: 1. a. Ningún príncipe troyano fue asesinado fuera de Troya b. Los hijos de Hécuba y Príamo eran príncipes troyanos. c. Héctor era jefe del ejército troyano, pero fue asesinado por Aquiles en Troya. d. Quien es asesinado en Tracia, es asesinado fuera de Troya. e. Héctor, Polidoro y Casandra eran hijos de Hécuba y Príamo. f. Polidoro escapó de Troya, pero luego fue asesinado en Tracia.

Este conjunto de enunciados es inconsistente, pues no pueden ser verdaderos conjuntamente los enunciados a, b, d, e y f. Pues si b, d, e y f son verdaderos, entonces Polidoro fue un príncipe troyano que fue asesinado fuera de Troya. Pero entonces, no puede ser verdadero el enunciado a.

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2. a. Aeroteros es una línea aérea que hace vuelos de cabotaje. b. Las líneas aéreas que tienen aviones jets en su flota hacen vuelos de cabotaje. c. Chimango Airlines es una línea aérea que hace vuelos internacionales y de cabotaje. d. La Cachirla Aircraft es una línea aérea que hace vuelos internacionales pero no de cabotaje e. La Cachirla Aircraft y Aeroteros no tienen aviones jets, sino aviones con motores turbo-hélice. f. Chimango Airlines tiene aviones jets y aviones con motores turbo-hélice.

Este conjunto de enunciados no es inconsistente. Pues aunque Aeroteros no tenga aviones jets y haga vuelos de cabotaje, no hay aquí una contradicción. En efecto, el enunciado b no afirma que sólo las líneas que tienen aviones jets hacen esta clase de vuelos.

(Ahora, continúe analizando Ud. los restantes conjuntos de enunciados)

3. a. Si Agamenón amaba a Casandra, entonces creía en todas las profecías de Casandra. b. Es suficiente que el dios Apolo se enojara con Casandra, para que ningún troyano creyera en las profecías de Casandra. c. El dios Apolo se enojó con Casandra d. Agamenón no era troyano ni amaba a Casandra.

4. a. Agamenón sacrificó a Ifigenia antes de partir hacia Troya. b. Agamenón era rey de Micenas y marido de Clitemnestra. d. Ningún rey sacrifica a sus propias hijas, pero algunas reinas asesinan a sus maridos. e. Clitemnestra era reina de Micenas y asesinó a Agamenón. f. Electra e Ifigenia eran hijas de Clitemnestra y Agamenón.

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5. a. Las empresas de taxi aéreo que operan en la Provincia de Buenos Aires tienen base en el Aeroparque Metropolitano. b. Aeroñandú es una empresa de taxi aéreo y opera en la Provincia de Buenos Aires. c. Carancho Airlines tiene base en el Aeropuerto Metropolitano; en cambio, Aeroñandú tiene base en el Aeropuerto de San Fernando. d. Ninguna empresa que tenga base en el Aeropuerto de San Fernando tiene base en el Aeroparque Metropolitano.

7. El objeto de la lógica Así, en este rápido bosquejo que se acaba de ofrecer, queda claro que la consistencia de conjuntos de enunciados y la validez relativa a razonamientos son propiedades lógicas. Estas propiedades son el objeto de estudio de la lógica deductiva. En suma VALIDEZ: propiedad lógica de razonamientos CONSISTENCIA: propiedad lógica de conjuntos de enunciados 7.1. Lógica y métodos formales La lógica se ocupa de encontrar métodos para los siguientes problemas: (a) extraer de manera válida conclusiones a partir de premisas (o sea, construir razonamientos válidos), (b) determinar que un razonamiento es válido o que es inválido, (c) determinar que un conjunto de enunciados es consistente o inconsistente. Estos métodos serán formales. Con esto no quiere decirse métodos de gran complicación matemática o que sean de difícil comprensión. Que un método sea formal quiere decir, al menos en uno de los sentidos de la palabra, que estos métodos estarán claramente definidos y sus pasos estarán todos explícitos y serán precisos. Como método formal se estudiará más adelante la Deducción Natural y el concepto de lo formal también será objeto de un análisis más detallado.

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