Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce

Modelos exponencial y logístico de la población en el Suroeste de Puerto Rico Por: José N. Quiñones Suárez y Dr. Álvaro Lecompte Montes Universidad Interamericana de Puerto Rico en el Recinto de San Germán

Los modelos matemáticos más empleados para el crecimiento de una población son el exponencial y el logístico, el primero introducido por Thomas Malthus (1776-1834) en 1798 y el segundo por P. F. Verhulst (1804-1849) en 1838. Ambos son modelos para un sistema cerrado, es decir, no consideran las migraciones. En este trabajo examinamos la correspondencia de ambos con la evolución real de la población en los pueblos del Suroeste de Puerto Rico, concretamente Cabo Rojo, Lajas, Sabana Grande y San Germán, durante el siglo XX y sus proyecciones hacia el inicio del siglo XXI. Los datos de población de estos pueblos considerados en el siglo completo muestran un crecimiento exponencial, excepto por dos períodos cortos, hacia la década 1920-30 y luego hacia 1960-70, donde las poblaciones de estos pueblos se estabilizan o disminuyen. Considerando todo el siglo XX, los datos indican que el modelo exponencial es estadísticamente válido en estas poblaciones. Sin embargo, las dos estabilizaciones señaladas sugieren que el límite poblacional en esos períodos se había alcanzado, aunque luego, por desarrollos históricos de índole económica y política que escapan a este estudio, el límite o capacidad poblacional aumentó y el crecimiento se restableció. Por esta razón, los datos también se analizan bajo el modelo logístico, aplicado en tres etapas durante el período completo del siglo XX. La tercera etapa está ya también llegando a su límite de población máxima en el futuro próximo. En la primera sección, revisamos rápidamente la base matemática de ambos modelos. Los datos de población según el censo se presentan en la segunda sección. Las tasas de crecimiento del modelo exponencial se pueden calcular mediante un ajuste de curva con los datos experimentales, mediante la aproximación estadística de errores cuadráticos mínimos. Los resultados de este ajuste se presentan en la tercera sección. En la cuarta sección se estiman los límites de población según el modelo logístico. El modelo logístico de población es estrictamente no lineal, por lo que los métodos de regresión lineal no se pueden aplicar directamente. Sin embargo, las tasas instantáneas de crecimiento en este Revista 360/ No.3/ 2007

Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce modelo son funciones lineales de la población. Por tanto, si se analiza el cambio en esta tasa como función de la población, se puede inferir la tasa de crecimiento natural del modelo logístico y la capacidad de población en cada una de las etapas: desde 1900 a 1940, luego de 1940 al 1970 y finalmente del 1970 en adelante. Los valores obtenidos son estadísticamente un tanto inciertos, ya que en cada etapa se disponen de pocos datos, pero comparando con los resultados históricos se comprueba que son aceptables. Las conclusiones generales de este trabajo y sus limitaciones se discuten en la sección 5. Aunque los pueblos son similares en cuanto a su tamaño, su economía rural original y otras características, sus crecimientos difieren entre sí. Cabo Rojo demuestra ser la población más dinámica en los últimos años, mientras San Germán es la de menor crecimiento. Sabana Grande y Lajas presentan características muy similares de crecimiento intermedio. Estas diferencias plantean varias interrogantes de interés para la planificación futura.

1. Modelos de Población Todos los organismos, incluyendo a los humanos, son afectados por diversos factores que afectan el crecimiento de la población. Los cambios poblacionales dependen de las tasas "naturales" de nacimientos y muertes, pero estas tasas a su vez pueden variar según los recursos disponibles y los enemigos de la especie. También las poblaciones pueden variar por eventos externos, como huracanes, enfermedades o invasiones de otras especies en el territorio. En los sistemas ecológicos complejos, la población de algunas especies depende de otras de las cuales se alimentan. A su vez, las poblaciones de las presas están limitadas por la de sus depredadores. También hay especies que compiten entre sí por los mismos recursos. En estos sistemas las poblaciones varían interactivamente. Otro aspecto a considerar es el del territorio: cuando los recursos se agotan las poblaciones pueden emigrar a otros espacios disponibles y cuando los recursos abundan el territorio atrae a organismos similares de los territorios vecinos. En el caso humano esta interacción espacial ha sido la más decisiva a lo largo de la historia. Con el propósito de elaborar modelos matemáticos, conviene dejar de lado la mayor parte de esos detalles y considerar situaciones idealizadas. Los modelos más simples se postulan para una sola población, sin interacción con otras. También se suele evitar la consideración de las

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Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce migraciones. En este caso se habla de un sistema cerrado. Bajo estos supuestos se destacan dos modelos: el modelo exponencial y el modelo logístico. El objetivo de los modelos es el de explicar o predecir la población, la cual se mide por la variable P = P(t), que cuenta el número de individuos presentes en el territorio en el instante t. Aunque la función P necesariamente toma valores enteros, cuando el número de individuos es grande se toma como una función de valores reales, continua y varias veces derivable. Los modelos se basan en “leyes de crecimiento de la población”, que son ecuaciones para la razón de cambio dP/dt de la población por unidad de tiempo.

El modelo exponencial supone

tasas de nacimientos y muertes (con relación al total de la población) constantes en el tiempo. Esto es: dP/dt = (rn - rm) P = r P

(1)

donde rn es la tasa (instantánea) de nacimientos (por individuos y por unidad de tiempo) y rm la tasa de muertes. La resta de ambas es la tasa de crecimiento neto r de la población. Este modelo supone que las tasas son determinadas de alguna manera por los mecanismos de reproducción, crecimiento y muerte de la población, los cuales se mantienen fijos en el tiempo. Este modelo no puede ser indefinidamente válido, ya que tendría que llegar un momento en que los recursos llegan a su límite, limitando la tasa de crecimiento, pero puede ser apropiado en los términos de corto plazo. En el caso de las poblaciones humanas, el crecimiento exponencial se puede sostener por períodos largos si los recursos aumentan a medida que crece la población, mediante el desarrollo tecnológico. El modelo exponencial fue introducido por el economista Malthus, aunque ya Euler lo había mencionado, precisamente para argumentar como una población podía crecer rápidamente hasta agotar todos los recursos disponibles; luego de lo cual, Malthus concluyó, sobrevendría el caos, las enfermedades y guerras. Pero si tenemos en cuenta el desarrollo tecnológico, la conclusión malthusiana no necesariamente es válida. La solución del modelo exponencial es precisamente la función exponencial, de allí el nombre del mismo. La población aumenta según la función: P(t)= Po exp(r t)

(2)

Una gráfica exponencial típica es de la forma indicada en la Figura 1.

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Figura 1. Modelo exponencial. La población se mide en miles, mientras el tiempo en períodos de 1 año. Se ha utilizado una tasa de 0.01 (1.0 % anual). La idea de un límite poblacional lleva al modelo logístico, como lo llamó Verhulst. Cuando las poblaciones se vuelven tan numerosas que agotan los recursos o el territorio, las interacciones entre los individuos llevan a muertes, ya sea por luchas entre ellos o por la facilidad en la propagación de enfermedades. También ocurre en esa situación que muchos individuos optan por no reproducirse o que la posibilidad de muertes infantiles aumente, ya que la reproducción conlleva una alta necesidad de recursos, con lo cual la tasa de nacimientos disminuye. Al final se llega a un estado de equilibrio donde el crecimiento neto de la población es cero. En este modelo se introduce un valor máximo fijo para la población, Pmax = K , llamado también la capacidad o carga máxima para los recursos limitados disponibles. La razón de crecimiento se supone entonces proporcional a P y (K – P) simultáneamente. Esto lleva a la siguiente ley de crecimiento: dP/dt= a P (K -P) Donde

(3)

a representa un factor de proporcionalidad. Por razones de conveniencia en las

dimensiones, se puede introducir un nuevo factor r0 = a K . Este factor r0 es la tasa de crecimiento de bajas población, cuando todavía no hay límites en los reursos, la que se puede llamar la tasa "natural" de crecimiento. La ley de crecimiento es entonces:

dP/dt = r0 P (1-P/ K)

(4)

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Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce Cuando la población todavía es pequeña, el segundo término es casi cero y la ley se reduce a (2). La tasa natural es una mayor que la del modelo exponencial, ya que la de este es último es una tasa promedio, que de alguna manera incluye las limitaciones en los recursos. La solución de (4) es la llamada función logística:

P(t) = P0 exp (r0 t) / (1 + (P0 / K) (exp(r0 t) -1) )

(5)

Esta función es parecida al crecimiento exponencial para tiempos cortos, ya que en ese caso el denominador es cercano a 1. Pero cuando el tiempo es grande, el término predominante en el denominador es (P0/K) exp(r t) y la función se acerca asintóticamente al valor K. Una gráfica típica se presenta en la figura 2.

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Figura 2. Modelo logístico. La población se mide en miles, mientras el tiempo en períodos de 1 año. Se ha utilizado una tasa natural de 0.1 (10.0% anual) y una población límite de 40 (mil).

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Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce 2. Datos del censo En Puerto Rico se dispone de datos de población desde 1530 y el primer censo detallado se remonta a 1765. Sin embargo, los datos sistemáticos se limitan a los censos realizados por la Oficina del Censo del Departamento de Comercio de los Estados Unidos, los cuales se inician luego de la soberanía estadounidense. La Oficina del Censo realizó el primero en 1899 y los ha repetido cada 10 años a partir de 1910. Para nuestro propósito, conviene suponer que el primero se realizó en 1900, para ir en períodos exactos de 10 años. Los resultados están disponibles en la dirección electrónica del censo (ref. 2). Para los pueblos del Suroeste de Puerto Rico, los datos de población (en miles) se resumen en la tabla 1. Se observa un crecimiento en las primeras décadas del siglo XX, hasta llegar a una estabilización en 1930. Nuevamente se observa el crecimiento en la siguiente década hasta el 1970. Luego de esto, se recupera el crecimiento hasta el presente. Año 1899 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000

Cabo Rojo 16.154 19.562 22.412 23.792 28.586 29.546 24.868 26.060 34.045 38.521 46.911

Lajas 8.789 11.071 11.908 12.454 14.736 16.326 15.375 16.545 21.236 23.271 26.261

Sabana Grande 10.560 11.523 12.305 11.881 14.116 16.097 15.910 16.343 20.207 22.843 25.935

San Germán 20.246 22.143 23.848 23.768 26.473 29.553 27.667 27.990 32.922 34.962 37.105

Tabla 1. Datos de población (en miles) para los pueblos del Suroeste de Puerto Rico 3. Tasas de crecimiento en el Suroeste de Puerto Rico Teniendo en cuenta los datos reales de población, podemos ver si el modelo exponencial logra explicar el crecimiento de la población en los pueblos considerados. La curva exponencial (4) contiene dos parámetros, P0 y r, de forma no-lineal. La podemos transformar en una relación lineal sacando logaritmos a ambos lados: ln(P) = ln(P0) + r t

(6)

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Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce Por tanto, la regresión lineal para la variable ln(P) contra t, permite estimar los valores de P0 y r para cada pueblo en este período de 100 años. Los resultados con sus errores estadísticos se resumen en la tabla 2. P0 Error r Error Ad. R-cuadrado Cabo Rojo 17.734 1.229 0.0085 0.0011 0.8431 Tabla 2. Lajas 9.423 0.385 0.0098 0.0007 0.9544 Sabana Grande 10.091 0.398 0.0086 0.0006 0.9452 San Germán 20.667 0.565 0.0056 0.0005 0.9352 Parámetros del modelo exponencial para la población de los pueblos del Suroeste de Puerto Rico. En general, el ajuste estadístico de la curva (medido por R cuadrado) es bueno en todos los casos. El peor ajuste es el de Cabo Rojo, pero todavía es aceptable. Los tres primeros pueblos tiene tasas de crecimiento similares dentro del margen de error, cerca de 0.009 (0.9% anual), mientras San Germán tiene una tasa de crecimiento inferior, de 0.006 (0.6% anual). Las gráficas de las curvas ajustadas se incluyen en las figuras 3 a 7. En las gráficas se observa que a pesar de un ajuste general bueno, hay varios períodos que en que el modelo discrepa notablemente de la realidad. 60 50 40 30 20

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Figura 3. Población de Cabo Rojo (en miles) y el modelo exponencial. El año cero corresponde a 1900.

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Figura 4. Población de Lajas (en miles) y el modelo exponencial. El año cero corresponde a 1900.

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Figura 5. Población de Sabana Grande (en miles) y el modelo exponencial. El año cero corresponde a 1900.

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Figura 6. Población de San Germán (en miles) y el modelo exponencial. El año cero corresponde a 1900. Revista 360/ No.3/ 2007

Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce Para un análisis más detallado y también porque la necesitaremos ene l modelo logístico, hemos calculado la tasa de crecimiento instantánea que corresponde a la tasa de crecimiento promedio de cada período de 10 años. La tasa instantánea de un período se relaciona con la tasa promedio por la relación: exp(10 ri ) = (1+ re )

(7)

Donde ri es la tasa instantánea promedio del período y re la tasa promedio. Los resultados se resumen en la tabla 3. Década Cabo Rojo Lajas Sabana Grande San Germán 1900-10 0.019 0.023 0.009 0.009 1910-20 0.013 0.007 0.007 0.007 1920-30 0.006 0.004 -0.035 -0.0004 1930-40 0.018 0.017 0.017 0.011 1940-50 0.003 0.010 0.013 0.011 1950-60 -0.017 -0.006 -0.001 -.0065 1960-70 0.004 0.007 0.003 0.0004 1970-80 0.027 0.025 0.021 0.017 1980-90 0.012 0.009 0.012 0.006 1990-2000 0.019 0.012 0.013 0.006 Tabla 3. Tasas instantáneas de crecimiento por década y por pueblo. Como se observa, las tasas instantáneas de crecimiento tienen alteraciones cíclicas. Las tasa altas de 1900 van bajando, hasta llegar a valores casi nulos o negativos en . Luego se restablecen a los valores de 1900, pero vuelven a bajar a mínimos en 1960 y 1970. En 1980 se disparan nuevamente a los valores altos, pero ya se observa, excepto en Cabo Rojo, su disminución a valores más bajos. La etapa actual todavía no llega a su mínimo. Estas etapas se pueden examinar con el modelo logístico, lo que se hace en la siguiente sección. 4. Límites de crecimiento La función logística tiene tres parámetros, r, P0 y K , sin una relación lineal directa que permita empelar la regresión lineal para estimar los tres parámetros. Aunque se puede intentar una regresión no-lineal, como se trata de tres etapas diferentes en los datos, nos parece más apropiada la siguiente metodología. La ecuación (3) es de la forma

(dP/dt)/P =d ln(P)/dt = r0 - r0 P/K

(8) Revista 360/ No.3/ 2007

Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce Esta ecuación en la que no aparece P0 presenta una relación lineal entre las tasas instantáneas de cambio y la población P. La variable del lado izquierdo corresponde aproximadamente a las mismas tasas de la tabla 3, aunque la población que debemos usar en el lado derecho debe ser la población promedio de ese período. Podemos entonces estimar r0 y K, a partir de la regresión lineal de las tasas instantáneas contra la población promedio de cada período. Obviamente en los datos de la tabla 3 no existe una relación lineal global para todo el siglo XX. Lo que se observa en cada pueblo son tres etapas donde más o menos hay un decrecimiento lineal: de 1900 a 1930, de 1930 a 1970 y la presente de 1970 en adelante que todavía no ha concluido. Al final de cada período hay un salto a una nueva línea. Para considerar las etapas se pueden introducir variables escalonadas que discriminen entre ellas (variables "dummies" o falsas). La primera etapa no necesita una variable, ya que está presente siempre. Para la segunda etapa utilizamos la variable e2, que vale cero hasta antes de 1930 y 1 de 1930 en adelante. Para la tercera etapa usamos e3, la cual vale cero hasta 1970 y 1 de allí en adelante. Con estas variables, los coeficientes de regresión de e2 P y de e3 P representarán los cambios en el coeficiente de P al pasar de una etapa a otra. También se ensayó la inclusión directa de e2 y e3, que representaría cambios en r0 de etapa en etapa, pero los coeficientes no fueron estadísticamente significativos, por lo que los dejamos afuera. Es decir lo que cambió en etapa en etapa fue la capacidad poblacional K. La única excepción fue Cabo Rojo, donde de la primera a la segunda etapa no se observó Los valores de los coeficientes para cada pueblo con sus errores y la R² ajustada se presenta en la tabla 5. Las columnas ∆1 y ∆2 representan los cambios en el coeficiente de P, esto es en r0/K cuando pasamos de una etapa a otra.

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Pueblo CR LJ SBG SGE

r0 0.047 0.083 0.070 0.085

error 0.021 0.016 0.045 0.029

r0 /Pmax 0.0017 0.0064 0.0066 0.0035

error 0.001 0.002 0.004 -0.001

∆1 0 -0.0014 -0.0024 -0.00057

∆2 -0.0009 .0006 -0.0019 0.001 -0.0016 0.0003 -0.0007 error

error 0.0004 .0005 0.001 0.0002

R² 0.34 0.56 0.25 0.42

Tabla 5. Coeficientes del modelo logístico de tres etapas

En esta tabla podemos observar que las R-cuadrado no son tan altas como sería deseable. Esto se debe a que en cada etapa tenemos pocos datos (4 datos en cada etapa) para estimar dos parámetros, pero también debemos tener en cuenta que los valores de las tasas de crecimiento son inciertos, ya que son crecimientos promedios de una década y no los valores instantáneos que suponen las matemáticas. Esto nos lleva a márgenes de error altos para los coeficientes. Con estas limitaciones en mente podemos seguir adelante y calcular los valores límites de la población en cada una de las etapas señaladas. Los resultados se presentan para cada pueblo en la tabla 6.

r0 error K 1930 error K 1970 error K actual Pueblo CR 0.047 0.021 27.6 12.4 27.6 12.4 58.8 LJ 0.083 0.016 13.0 2.50 16.6 3.2 26.8 SBG 0.070 0.045 10.6 6.8 16.67 10.71 26.9 SGE 0.084 0.029 24.3 9.89 28.67 10.3 38.4 Tabla 6. Poblaciones límites para cada pueblo en las tres etapas.

error 26.2 5.2 17.3 13.24

A pesar del amplio margen de error que la estadística le asigna a los parámetros, al comparar estos valores con las poblaciones de los pueblos al final de cada etapa el acuerdo es bueno. Para comodidad del lector, en la tabla 7 se presentan los valores verdaderos de la población al final de cada etapa, tomados de la tabla 1, comparados con los de la tabla 6. También podemos visualizar en que parte de la etapa logística actual nos encontramos.

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Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce Pueblo CR LJ SBG SGE

P 1930 23.792 12.454 11.881 23.768

K 1930 27.6 13.0 10.6 24.3

P 1970 26.060 16.545 16.343 27.990

K 1970 27.6 16.6 16.7 28.7

P 2000 46.911 26.261 25.935 37.105

K actual 58.8 26.8 26.9 38.4

Tabla 7. Comparación de las poblaciones con la capacidad límite en cada etapa. Todavía falta por estimar el valor de P0 en la función logística para cada una de las etapas. Como lo más importante es la proyección al futuro próximo, hemos limitado razón limitamos nuestros cálculos a la última etapa que empezó en 1970. Para la capacidad poblacional vamos a usar los resultados de la última columna de la tabla 7. Estos tienen según indicamos mucho error estadístico. Sin embargo, los otros resultados históricos tan consistentes con los datos reales nos llevan a confiar en ese número. El valor de r0 ya se tiene, pero para un mejor ajuste de curva podemos dejarlo libre junto con el valor de P0 y estimar estos dos por otro método independiente. Para encontrar una relación lineal con esos dos parámetros usamos la relación: P / (1 - P/K) = P0 / (1 - P0/K) exp (r0 t)

(11)

Esta ecuación se puede deducir de (5), pero en realidad se obtiene durante el proceso de solución de (4), luego de las integraciones (ver ref. 1). A partir de esta, tomando logaritmos a ambos lados, se encuentra la relación lineal:

ln( P / (1 - P/K)) = ln(P0 / (1 - P0/K)) + r0 t

(12)

Pueblo P0 (1970) error r0 error Ad. R² K 8. CR 25.847 1.45 0.0513 0.005 0.968 58.8 LJ 15.217 2.6 0.1093 0.022 0.881 26.8 SBG 15.221 0.83 0.0913 0.015 0.918 26.9 SGE 27.810 1.08 0.0773 0.007 0.976 38.4 Parámetros del Modelo Logístico para los pueblos del Suroeste de Puerto Rico desde 1970. Tabla

La regresión lineal de los valores de la izquierda contra la variable t, produce dos coeficientes: r0 que es el coeficiente del tiempo y otro del cual podemos estimar P0 por medio de (12). Los resultados se indican en la tabla 8. La segunda estimación de r0 es de menor error que la anterior y corrobora el resultado anterior dentro de los márgenes de error. Los valores altos de R² le dan cierta confianza a los resultados, pero puesto que nuestro camino para llegar a los Revista 360/ No.3/ 2007

Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce coeficientes ha sido indirecto, esta estadística no tiene el mismo significado que si fuera una regresión lineal directa. La representación gráfica de las poblaciones con las curvas logísticas correspondientes se presenta en las figuras 7 a 10. 55 50 45 40 35 30

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Figura 7. Población de Cabo Rojo (en miles) y el modelo logístico. El año cero corresponde a 1970. 26 24 22 20 18 16

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Figura 8. Población de Lajas (en miles) y el Modelo logístico. El año cero corresponde a 1970.

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Figura 9. Población de Sabana Grande (en miles) y el modelo logístico. El año cero corresponde a 1970.

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Figura 10. Población de San Germán (en miles) y el modelo logístico. El año cero corresponde a 1970.

Como se observa, el modelo logístico anticipa un aumento de la población mucho menor que el del modelo exponencial en las próximas décadas. Los valores esperados para los siguientes tres censos se presentan en la tabla 9. Año Cabo Rojo Lajas Sabana Grande San Germán 2000 46.911 26.261 25.935 37.105 2010 50.408 26.513 26.386 37.693 2020 53.439 26.683 26.703 38.043 2030 55.441 26.741 26.803 38.207 Tabla 9. Población para las próximas décadas según el Modelo Logístico

5. Conclusiones El ajuste del modelo exponencial a los datos del censo resultó ser muy bueno para las poblaciones del Suroeste de Puerto Rico como un modelo global. Tres de los pueblos exhiben tasas instantáneas de crecimiento de 0.9% anual, mientras San Germán presenta tasas del orden del 0.6% anual. Estas son tasas promedio para todo el siglo XX. Esto significa un aumento de 9.4 % cada 10 años para los primeros pueblos y de 6.2% cada diez años para San Germán. Sin embargo, un análisis más detallado de los datos señala que durante el siglo XX el crecimiento de los pueblos del Suroeste de Puerto Rico se divide en tres etapas. La primera, de 1900 a 1930. La segunda de 1930 a 1970 y la tercera de 1970 hasta el presente. En cada una de las etapas la población se desarrolló bajo el modelo logístico, con un límite poblacional característico de la economía de la época. Aunque nuestro estudio no analiza variables económicas o sociales, claramente la primera etapa corresponde a la economía agrícola basada en la caña de azúcar, que hizo crisis a partir de 1930. La segunda corresponde a la primera industrialización de Puerto Rico basada en la industria de la aguja, la cual también se agota precisamente hacia 1970. La tercera corresponde a la segunda industrialización basada en los sectores farmacéutico y electrónico, en la cual estamos hoy en día. Revista 360/ No.3/ 2007

Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce El crecimiento exponencial promedio del siglo XX se pudo dar porque en cada momento en que parecía que se llegaba a la estabilización se logró un desarrollo económico y tecnológico que permitió aumentar la capacidad poblacional límite de los pueblos. En esta década 2000-10, que ya va mediada, según el modelo logístico los pueblos están llegando a su límite bajo el modelo económico-tecnológico del presente. Exceptuando a Cabo Rojo, que todavía muestra un potencial de crecimiento, los demás pueblos están muy próximos a su máximo poblacional o sobre el mismo. Debido a la limitación de los modelos y datos utilizados no se puede extrapolar o llevar los resultados más allá de lo que hemos dicho. La capacidad límite estimada contiene un margen de error amplio. Entre los factores más importantes que fueron dejados de lado es el de las migraciones. La estabilización en el crecimiento en nuestros pueblos se ha dado en el pasado como consecuencia de la emigración hacia las ciudades o hacia los Estados Unidos. Matemáticamente el aumento en la tasa de emigración es similar a un aumento en la tasa de muertes, mientras la inmigración corresponde a un aumento en la tasa de nacimientos. Sin embargo, si los que se van son jóvenes y los que regresan son personas mayores, las tasas de verdaderos nacimientos y verdaderas muertes se ven afectadas hacia el futuro. Un modelo más completo debe incluir los flujos de personas hacia otros destinos y leyes de cómo se dan estos flujos. Otro factor fuera de nuestro análisis es el de las distintas generaciones que componen la población. A principio y mediados del siglo XX el perfil de la población era sesgado hacia la población juvenil. En las últimas décadas, debido al aumento en la esperanza de vida, la población de edad avanzada ha venido aumentando. Por tanto, las tasas de nacimiento, que se calculan con respecto al total de la población, han disminuido. Como consecuencia, aún si se da un nuevo aumento en la capacidad poblacional máxima de los pueblos, la tasa natural de crecimiento en este siglo XXI que empieza posiblemente será menor que la que predominó en el siglo XX. Los modelos poblacionales que incluyen varias generaciones son más complejos que estos hemos que visto. Por último, al no tomar en consideración los factores económicos o políticos, es claro que nuestro análisis tiene principalmente un valor explicativo, pero es limitado en cuanto a predicciones. El futuro en realidad depende de los factores que no hemos mencionado: los recursos económicos. Aún así, es sorprendente que los modelos matemáticos coincidan tan cerca a lo observado en el pasado. Excepto que ocurra un cambio económico notable, parece que en estos pueblos ya se ha llegado a la situación de equilibrio.

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Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce Las situaciones de equilibrio no necesariamente son presagio de catástrofes o conflictos. En los países desarrollados se ha alcanzado el equilibrio con un nivel de vida aceptable para la mayoría de la población. Este se logra si las tasas de nacimiento se acercan al nivel de reemplazo, mientras el trabajo que normalmente hacen las personas de edad productiva se va sustituyendo por trabajo mecanizado. De esta forma la sociedad puede sostener un número alto de personas de edad avanzada con un menor número de personas en la edad productiva. También ocurre que la edad de retiro se pospone por varios años, de modo que el volumen de la fuerza trabajadora no se ve afectado. En los países donde la tasa de nacimientos ha disminuido por debajo del nivel de reemplazo, la fuerza trabajadora se mantiene al permitir o favorecer la inmigración desde otros lugares. Todas estas posibilidades plantean nuevas preguntas que se pueden analizar en trabajos futuros. También sería interesante corroborar o comparar estos resultados con los de otras poblaciones de la Isla y con los de la población total. Bibliografía 1. Boyce, W. and R. DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, J Wiley & Sons, New York, 1997. pp. 58 a 65. 2. Datos del censo en: www. censo.gobierno.pr 5. J.N. Quiñónez, Proyecto Creativo para el Grado de MA, Universidad Interamericana de Puerto Rico, San Germán, 2006. 3. La mayor parte de cálculos y gráficas se hicieron en el programa Mathematica, creado por Stephen Wolfram. 4. Las regresiones lineales múltiples se hicieron con el programa GRTL, creado por Allin Cottrell (www.gnu.org)

José N. Quiñones Suárez, MA. Es maestro de matemáticas en la Escuela Superior Lola Rodríguez de Tió, San Germán, Puerto Rico. Alvaro Lecompte Montes, Sc D. [email protected] Es profesor de matemáticas en la Universidad Interamericana de Puerto Rico, San Germán, Puerto Rico.

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