UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES PLANTEL NAUCALPAN

GUÍA DE ESTUDIO DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

DICIEMBRE DEL 2008

ELABORÓ: Pedro Clavijo Valdez

Guía de Cálculo I

CCH-Naucalpan

INTRODUCCIÓN Esta colección de ejemplos y ejercicios pretende servir como una guía para presentar el examen extraordinario de Cálculo Diferencial e Integral I correspondiente al área de Matemáticas. El autor espera que te sea de utilidad esto será en la medida que la leas y trates de entender lo que hay en ella y resolviendo los ejercicios planteados, recuerda solo es una guía, trata de complementarla con lo visto durante tu curso.Me sería grato escuchar tus críticas sobre las dificultades que tuviste al trabajar con ella, los errores (que seguramente abundan) y como mejorarla para tu beneficio. Está basada en el Programa Oficial formulado por el CCH, el cual a manera de resumen presento a continuación Unidad 1 • Proponer situaciones que den lugar a procesos infinitos. •

Utilizar Procedimientos aritméticos para resolver problemas que involucran Procesos infinitos.

•

Acercar al concepto de límite de una función.

•

Calcular e interpretar el cálculo del límite de una función.

• •

Unidad 2 Situaciones que se modelan con funciones polinomiales de grado 1,2 y 3. Comparación de la razón de los cambios en intervalos del mismo tamaño, cambios de los cambios. Razón de cambio, medición de la variación. Concepto y notación de derivada. Representación algebraica.

• • •

Unidad 3 Derivada de funciones del tipo f ( x) = cx n . Reglas de derivación. Problemas de aplicación.Cálculo de tangentes y velocidades.

• •

• •

Unidad 4 Comportamiento gráfico de una función. Máximos y Mínimos relativos criterio de la primera y segunda derivada, puntos de inflexión. Problemas de optimización.

BIBLIOGRAFÍA -Cálculo de una Variable, trascendentes Tempranas.Thomson Learning. -Cálculo Aplicado.Warner Stefan y Costenoble S. Thomson Learning.

1

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UNIDAD 1 PROCESOS INFINITOS Y LA NOCIÓN DEL CONCEPTO DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN. • Situaciones que dan lugar a procesos infinitos PROBLEMA 1 Considera un cuadrado de lado 1,construye otro cuadrado interior uniendo los puntos medios de los lados del cuadrado de lado 1,construye otro cuadrado interior uniendo los puntos medios del último cuadrado, continuando este proceso una y otra vez, calcula la suma de las áreas de todos los cuadrados en el proceso descrito. Solución Es útil hacer un esquema parcial del problema a resolver:

Observemos que el área del cuadrado inicial es A1 = l12 = 1 . La del segundo cuadrado de lado l2 es, usando el Teorema de Pitágoras: 2

2

2

⎛l2 ⎞ l2 A ⎛l ⎞ ⎛l ⎞ ⎛l ⎞ A2 = l2 2 = ⎜ 1 ⎟ + ⎜ 1 ⎟ = 2 ⎜ 1 ⎟ = 2 ⎜ 1 ⎟ = 1 = 1 2 ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎝4⎠ 2 Para el tercer cuadrado tenemos, usando el mismo argumento: 2 2 2 ⎛ l2 2 ⎞ l2 2 A2 ⎛ l2 ⎞ ⎛ l2 ⎞ ⎛ l2 ⎞ 2 A3 = l3 = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 2 ⎜ ⎟ = 2 ⎜ ⎟ = = 2 ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎝ 4 ⎠ 2

Es claro que A4 =

A3 A y que An = n −1 para n ≥ 2 . 2 2

NOTA Si se tiene la serie geométrica infinita a + ar + ar 2 + ar 3 + ... + ar n + ... donde a ar ar 2 ar n = = ... = n −1 = r para todo n ∈ Z + la suma de esta es si −1 < r < 1 es 1− r a ar ar a decir a + ar + ar 2 + ar 3 + ... + ar n + ... = 1− r

Así en forma más clara el área del cuadrado siguiente es la mitad del inmediatamente anterior, esto da lugar a la generación de la serie geométrica infinita: 1 1⎛1⎞ 1⎛1⎞ 1⎛ 1 ⎞ 1 1 + (1) + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ... + ⎜ n−1 ⎟ + ... = =2 1 2 2⎝2⎠ 2⎝4⎠ 2⎝2 ⎠ 1− 2 Así el área total de los cuadrados construidos en el proceso infinito descrito al inicio es igual a 2. Ejercicio 1 Repite el problema del ejemplo 1 con un cuadrado de lado 16. 2

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PROBLEMA 2 Expresa el decimal periódico 0.73 como una suma infinita y calcula su valor: Debido a nuestro sistema de numeración posicional de base 10 tenemos: 7 3 3 3 3 3 0.73 = 0.7333... = + + + + + ... + + ... = 10 100 1, 000 10, 000 100, 000 10...0 7 3 3 3 3 3 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n + ... = 10 10 10 10 10 10 Observa que se tiene una serie geométrica infinita a partir del segundo término así de la 3 n 1 3 anotación hecha en el recuadro calculamos la suma ya que a = ∴ y r = 10 = 3 10 100 10n −1 3 3 7 3 3 3 3 3 7 0.73 = 0.7333... = + + + + + ... + n + ... = + 100 = 100 = 9 10 100 1, 000 10, 000 100, 000 10 10 1 − 1 10 10 7 ( 3)(10 ) 7 1 7 1 22 11 + = + = + = = 10 ( 9 )(100 ) 10 ( 3)(10 ) 10 30 30 15 Ejercicio 2 Expresa como una suma infinita y calcula su valor, del decimal periódico 0.7 PROBLEMA 3 Mediante un registro tabular y gráfico determina el comportamiento de la función x2 − 4 f ( x) = en valores de x cercanos a 2. x−2

1.88

x

2

f ( x) =

x −4 x−2

1.93

1.99

2

f (1.88) f (1.93) = f (1.99) = 3.99 = 3.88 3.93

4

2.03

2.01

2.04

f (2.03) = f (2.01) = f ( 2.04 ) = 4.03 4.01 4.04

Del registro tabular concluimos que las imágenes de la función toman valores MUY CERCA DE 4 CUANDO x esta cerca de 2 .La siguiente gráfica confirma lo hecho en el registro tabular.

3

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Ejercicio 3

Mediante un registro tabular y gráfico describe el comportamiento de f ( x) =

x2 −1 en x −1

valores de x cercanos a 1. • Cálculo e interpretación del concepto de límite de una función NOTA La simbología matemática lim f ( x ) = l nos describe un proceso de aproximación x →c

infinito mediante el cual x se acerca tanto como se desee a al valor de c y con esto describir el comportamiento de las respectivas f ( x)´s si el acercamiento de estas es hacía un número común l decimos que este es el límite de la función, si no, se dice que lim f ( x ) no existe.RECUERDA NI x TOMA EL VALOR DE c NI f ( x) TOMA EL x→c

VALOR DE l. PROBLEMA 4 x+3 Calcula lím 2 x →−3 x − 9 Primero observa que f ( x) =

1 x+3 x+3 para cualquier valor de x = = 2 x − 9 ( x + 3)( x − 3) x − 3

distinto de x = −3 .Por lo tanto x+3 x+3 1 1 1 lím 2 = lím = = = lím x →−3 x − 9 x →−3 ( x + 3 )( x − 3 ) x →−3 x − 3 −3 − 3 −6 1 Así si x → −3 nos lleva a f ( x ) → − . 6

4

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Ejercicio 4 x2 − 4 x→2 x − 2

Calcula lím

PROBLEMA 5 x2 + x − 2 Calcula lím 2 x →1 x − 6 x + 5 Primero observa que f ( x) =

x 2 + x − 2 ( x + 2 )( x − 1) x + 2 para x distintos de 1 = = x 2 − 6 x + 5 ( x − 5 )( x − 1) x − 5

( x + 2 )( x − 1) = lím x + 2 = − 3 x2 + x − 2 = = lím 2 x →1 x − 6 x + 5 x →1 ( x − 5 )( x − 1) x →1 x − 5 4 Ejercicio 5 x2 + x − 6 Calcula lím 2 x→2 x + 2 x − 8 EJERCICIO 1 1 1 1 1 + + ... + n + ... = 1.-Calcula la suma infinita + + 3 9 27 81 3 2.-Expresa 0.5 como una suma infinita y calcula su valor. 3.- Expresa 0.45 como una suma infinita y calcula su valor. 4.- Considera un triángulo equilátero de lado 4 cms. Construye un triángulo interior con los puntos medios de los lados del triángulo, con los puntos medios de los lados de este último triángulo construye otro triángulo, continuando este proceso calcula la suma de los perímetros de los triángulos formados en el proceso infinito descrito. 5.- Considera un Cuadrado de lado 1, divídelo en 5 partes iguales, raya una de ellas, deja tres sin rayar, y la quinta vuélvela a dividir en cinco partes iguales, raya una de ellas y deja tres sin rayar repite el proceso, suponiendo que puedes continuarlo indefinidamente formula la suma de las partes rayadas del cuadrado y da si valor. 6.-Si en una circunferencia de radio r se inscriben polígonos regulares y suponiendo que se pueden construir de estos con un número enorme de lados ¿Cuál es el perímetro y el área de un polígono con un número infinito de lados? 7.-Los lados de un cuadrado son de 8 cms.Un nuevo cuadrado se forma uniendo los puntos medios de los lados del cuadrado original, y dos de los triángulos fuera del segundo cuadrado están sombreados(ver figura).Determine el área sombreada si este proceso se repite un número infinito de veces. Así lím

8.-Un círculo de radio R lleva inscrito un cuadrado; éste lleva inscrito un círculo el cual, a su vez, tiene inscrito un cuadrado, y así sucesivamente n veces.Hallar el límite de la suma de todos los círculos y el de la suma de las áreas de todos los cuadrados cuando n tiende a infinito. 9.-Empezando con un cuadrado de lado1, se genera una sucesión de cuadrados.Cada cuadrado en la sucesión mide de lado la mitad de la longitud del lado de su antecesor y sus lados son bisecados por los lados de su antecesor, cómo se observa en la figura: 5

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Calcular el área total encerrada (sombreada) por los cuadrados en la sucesión. 10.- Considera un cuadrado de lado 1 divídelo en 7 partes iguales, sombrea una, las otras 5 en blanco y la séptima divídela en siete partes iguales, sombrea una, las otras 5 en blanco y a la otra aplícale el proceso descrito anteriormente, suponiendo que haces esto infinitas veces, calcula el área sombreada del cuadrado. x2 − x . 11.- Construya una tabla para calcular lim x →0 x 2 12.- Muestra mediante una gráfica que lim no existe. x →−2 x + 2 x2 + 4 =1 13.-Mediante una tabla comprueba que lim 2 x →∞ x − x x3 − 9 x = 14.-Calcula lim x →3 x − 3 x−2 = 15.-Calcula lim 3 x →2 x − 8 x 3 + 125 = 16.-Calcula lim 2 x →−5 x − 25 17.- Calcula lim

x+5 − 5 = x

18.- Calcula lim

2x +1 − 3 = x−4

x →0

x→4

x3 − 2 x + 4 = x →∞ − x3 + 8 3x + 1 − 5 20.- Calcula lim = x → 8 2 x − 16

19.- Calcula lim

6

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CUESTIONARIO DE EVALUACION 1.- Considera un cuadrado de lado 4, construye uno interior con los puntos medios del cuadrado interior sombrea las cuatro esquinas y deja el cuadrado construido en blanco, repite el proceso un número infinito de veces el área sombreada es: 32 a) 1 b) 3 c) 4 d) 5 e) 3 2.- Considera un cuadrado de lado L inscribe un círculo luego inscribe un cuadrado, luego en el círculo un cuadrado continúa el proceso un número infinito de veces, el área de los cuadrados y de los círculos construidos en el proceso infinito es: π L2 π L2 c) 2 L2 y d) L2 y e) No se puede saber a) L2 y π L2 b) 2 L2 y 2π L2 2 2 3.- Considera un cuadrado de lado 1 divídelo en dos partes iguales sombrea una y la que dejaste en blanco divídela en dos partes iguales, sombrea una y la no sombreada aplícale el proceso descrito anteriormente, suponiendo que haces esto infinitas veces, el área sombreada del cuadrado es: 32 2 1 d) e) a)1 b) 2 c) 3 3 2 4.- Considera un cuadrado de lado 1 divídelo en tres partes iguales sombrea una la otra en blanco y la tercera divídela en tres partes iguales, sombrea una la otra en blanco y la otra aplícale el proceso descrito anteriormente, suponiendo que haces esto infinitas veces, el área sombreada del cuadrado es: 1 3 2 1 32 b) c) d) e) a) 2 4 3 4 3 5.- Considera un cuadrado de lado 1 divídelo en cuatro partes iguales sombrea una, las otras dos en blanco y la cuarta divídela en cuatro partes iguales, sombrea una, las otras dos en blanco y la otra aplícale el proceso descrito anteriormente, suponiendo que haces esto infinitas veces, el área del cuadrado sombreada es: 1 1 1 1 3 b) c) d) e) a) 4 8 16 3 5 1 1 1 1 6.- La suma infinita 10 + + + + ... + 2 n −1 + ... = 2 8 32 2 1 1 32 43 c) 10 d) e) a) 10 b) 8 2 2 3 4 7.- El decimal periódico 0 .45 es la representación de: 45 45 5 4 45 b) c) d) e) a) 100 10 11 9 999 8.- El decimal periódico 1 .7 es la representación de: 11 16 10 7 19 b) c) d) e) a) 9 9 9 9 9 9.- El decimal periódico 0.87 es la representación de: 19 78 79 7 8 b) c) d) e) a) 90 90 90 9 9 1 1 1 1 10.- La suma infinita + + + ... + n + ... = 2 4 8 2 a) 1 b) 2 c) no se puede saber d) 3 e) 0

7

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x3 − 9 x es: x →−3 x + 3 a) 10 b) 7 x2 + 2x − 8 = 12.- El valor de lím 2 x →−4 x + x − 12 6 5 a) b) 7 7 11.- El valor de lím

13.- El valor de

( x + 5) lím

c)

d) 18

4 7

d)

e) 0

7 6

e)

−6 −7

2

− 49 = x−2

x →2

1 14

c) -18

c) 14

d)-14

e) 4

b) 6 c) 12 7 x + 11 − 11 15.- El valor de lím = x →0 x 7 7 7 b) c) a) 2 2 111 7 4 5 + 2x − 4x = 16.- El valor de lím x →∞ 9 − 2 x + 5 x 4 −4 5 a)-1 b) c) − 5 4 3 1+ x − x = 17.- El valor de lím x →∞ 2 x + x 4 a) 1 b) 0 c) 2

d) 10

e)2

a)

b) 12 8 x3 − 1 = 2 1 x→ 2 x − x

14.- El valor de lím 2

a) -6

d)

d)

4 5

7 2 11

e)

e) 5

d)3

e) no existe

x −1 = x →1 2 − 3 x + 1

18.- El valor de lím

a)

−4 3

4 3

b)

c)

−3 4

d)

3 4

e)

c) −

9 2

d)

9 4

e) −

8 3

8 x 3 + 27 = 3 4x2 − 9 x →−

19.- El valor de lím

2

a)

9 2

b)

2 9

2 2 + 20.- El valor de lím 2 x − 3 3 = es: x →0 x 4 9 9 b) c) − a) 9 4 4

d) −

8

4 9

e)

1 9

9 4

7 11

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UNIDAD 2 LA DERIVADA: ESTUDIO DE LA VARIACION Y EL CAMBIO • Problemas que dan lugar a funciones polinomiales de grado 1,2 y 3. PROBLEMA 1 Un tinaco contiene 170 litros de agua y se vacía a razón de 3 litros por minuto: a) Construir una tabla para saber la cantidad de agua que queda después de t = 2,3, 4,5 minutos. b) Dar una fórmula que permita calcular la cantidad de agua almacenada en el tinaco en t minutos. c) Construye la gráfica de la ecuación del modelo establecido en el inciso anterior. c(t2 ) − c(t1 ) para algunas parejas que se tengan. d) Calcula t2 − t1 e) Establecer una conclusión de lo hecho. Solución a) t(minutos) Cantidad de agua en un tiempo t(litros) 2 170-3(2)= 164 litros 3

170-3(3)= 161 litros

4

170-3(4)= 158 litros

5

170-3(5)= 155 litros

b) De lo mostrado en el inciso anterior se tiene que la cantidad que queda después de un 170 minutos.Que, de lo visto en cursos tiempo t es c(t ) = 170 − 3t donde 0 ≤ t ≤ 3 anteriores corresponde a una función lineal de ordenada al origen 170 y pendiente −3 . 170 minutos es: c) La gráfica de c(t ) = 170 − 3t donde 0 ≤ t ≤ 3

9

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d) En el inciso a obtuvimos que algunos elementos de la función lineal son: P1 (2,164), P2 (3,161), P3 (4,158), P4 (5,155). Calculando la razón de cambio, qué en este caso es la pendiente, se tiene: 161 − 164 lts. −3 lts. = = −3 lts/min. 3 − 2 min. 1 min. 155 − 158 lts. −3 lts. = = −3 lts/min. 5 − 4 min. 1 min. 158 − 164 lts. −6 lts. = = −3 lts/min. 4 − 2 min. 2 min. 158 − 161 lts. −3 lts. = = −3 lts/min. 4 − 3 min. 1 min. 155 − 161 lts. −6 lts. = = −3 lts/min. 5 − 3 min. 2 min. 155 − 164 lts. −9 lts. = = −3 lts/min. 5 − 2 min. 3 min. e) De lo estudiado en cursos anteriores se sabe que una función es lineal si y solo si la Δy y2 − y1 razón de cambio es constante para dos elementos sin distinción de la = Δx x2 − x1 función.Que es lo que sucede en este caso, ya que m = −3 esto significa que el tinaco pierde agua en forma constante. Finalmente observemos que sucede al efectuar las diferencias sucesivas de algunas de las imágenes de la función:

PROBLEMA 2 Un Club vende en promedio 600 membresías mensualmente a un precio de $800 cada una. Mediante un mercadeo, el Club observa que si reduce el precio en $40 el costo de cada membresía, se venden 50 membresías más, mensualmente.Escriba el modelo que permita calcular la utilidad que obtiene el club. Consideremos la siguiente tabla para plantear el modelo: Precio de la Número de miembros membresía $800 600 $800-$40(1) 600+50(1) $800-$40(2) 600+50(2) $800-$40(3) 600+50(3) $800-$40(4) 600+50(4) $800-$40(5) 600+50(5)

10

Utilidad $480,000 $494,000 $504,000 $510,000 $512,00 $510,000

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De esto se ve que el modelo que da la utilidad obtenida por el Club, mensualmente, es u ( x) = (800 − 40 x)(600 + 50 x) Al tratarse de un modelo discreto, trabajaremos con las diferencias de las imágenes para valores igualmente espaciados en la variable independiente. Utilidad $480,000 $494,000 $504,000 $510,000 $512,000 $510,000 Primera Diferencia Segunda Diferencia

$14,000

$10,000

-$4,000

$6,000

-$4,000

-$4,000

$2,000

-$2,000

-$4,000

PROBLEMA 3 De un pedazo de cartón de 64cms de lado se desean construir cajas abiertas por arriba, cortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando.Dar el modelo que determine el volumen de las cajas construidas con tal procedimiento. Supongamos que se cortan cuadrados de 2 cms de lado en las esquinas:

Por lo tanto, una de las cajas que pueden construirse con el proceso descrito es:

El Volumen de algunas cajas, se da en la siguiente tabla: Volumen(V) x 2 2(64-2(2))2 = 7,200 4 4(64-2(4))2 =12,544 6 6(64-2(6))2 = 16,224 8 8(64-2(8))2 =18,432 10 10(64-2(10))2 = 19,360 12

12(64-2(12))2 =19,200

14

14(64-2(14))2=18,144

Así el modelo que expresa el volumen de la caja, en términos de la longitud del lado del 2 cuadrado cortado en las esquinas es V ( x) = x ( 64 − 2 x ) .

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Finalmente se hacen, la diferencia de los volúmenes (1ª.diferencia), la diferencia de las diferencias (2ª.diferencia) y finalmente las diferencia de las diferencia de la diferencia, (3ª.diferencia)

De acuerdo a lo visto en los problemas planteados, para valores de x igualmente espaciados, se tiene que las diferencias constantes no cero de una función lineal, son las primeras, de una función cuadrática, son las segundas y las de una función cúbica, son las terceras ¿Es esto cierto en el caso general? De forma mas concreta, si tenemos y = ax + b , y = ax 2 + bx + c o y = ax3 + bx 2 + cx + d con a ≠ 0 , las diferencias de las imágenes constantes no cero serán las primeras, segundas y terceras respectivamente, veamos que efectivamente esto sucede. a) Sea f ( x) = ax + b

b) Sea f ( x) = ax 2 + bx + c

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c) Sea f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d

Con esto hemos probado que un polinomio de grado 1,2 o 3 tiene la primera, segunda, tercera diferencia constante no cero respectivamente, cuando se tienen valores de x igualmente espaciados. Ejercicio 1 Haz un resumen de lo estudiado en esta sección. • Razón de cambió, medición de la variación PROBLEMA 4 Determinar la velocidad instantánea de un cuerpo en caída libre, en t = 5 segundos . Solución Es conocido que un cuerpo en condiciones como estar libre de fricción, lugar donde se esté, velocidad inicial cero, recorre una distancia en función del tiempo dada por 1 d (t ) = gt 2 donde g es la aceleración de la gravedad y depende del lugar donde se esté 2 presenta una pequeña variación, para la Ciudad de México tiene un valor de 1 d (t ) = gt 2 9.8 m / s 2 por lo tanto se convierte para nosotros en 2 1 d (t ) = (9.8) t 2 mts. = 4.9 t 2 mts. 2 Procediendo, si calculamos la distancia que ha caído el cuerpo en t = 5 segundos , esta es d (5) = 4.9m / seg 2 ( 5seg ) = 122.5 mts. 2

Hacemos una estimación de la velocidad promedio que tendrá el cuerpo en el intervalo de tiempo [5, 6] esto es:

d (6) − d (5) mts. 4.9 ( 6 ) − 4.9 ( 5 ) = = 6 − 5 segs. 6-5 2

V⎡5,6⎤ ⎣

⎦

2

=

4.9 ( 62 − 52 ) 6−5

=

4.9 ( 6 − 5 )( 6 + 5 ) = ( 6 − 5)

4.9 ( 6 + 5 ) = 4.9 (11) = 53.9 mts/seg.

Si reducimos el intervalo por ejemplo [5,5.5] tendremos:

d (5.5) − d (5) mts. 4.9 ( 5.5 ) − 4.9 ( 5 ) = = 5.5 − 5 segs. 5.5 − 5 2

V⎡5,5.5⎤ ⎣

⎦

4.9 ( 5.5 + 5 ) = 4.9 (10.5 ) = 51.45 mts/seg.

13

2

=

4.9 ( 5.52 − 52 ) 5.5 − 5

=

4.9 ( 5.5 − 5)( 5.5 + 5 ) = ( 5.5 − 5)

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Una aproximación más: d (5.01) − d (5) mts. 4.9 ( 5.01) − 4.9 ( 5 ) = 5.01 − 5 segs. 5.01 − 5 2

V⎡5,5.01⎤ = ⎣

⎦

2

=

4.9 ( 5.012 − 52 ) 5.01 − 5

=

4.9 ( 5.01 − 5 )( 5.01 + 5 )

( 5.01 − 5)

4.9 ( 5.01 + 5 ) = 4.9 (10.01) = 49.049 mts/seg.

Hagamos un cálculo final para confirmar nuestras sospechas sobre el resultado final, supongamos que t es muy cercano a t = 5 segundos y mayor como en cada uno de los casos anteriores: 2 2 d (t ) − d (5) 4.9t 2 − 4.9(5)2 4.9 ( t − 5 ) 4.9 ( t − 5 )( t + 5 ) = = = = 4.9 ( t + 5 ) mts/seg. t −5 t −5 t −5 ( t − 5) Puesto

que

t →5

entonces

4.9 ( t + 5 ) mts/segs. → 49 mts/segs. Por

lo

tanto

V ( 5 ) = 49 mts/seg. (Ver ejercicio2). Ejercicio 2 Determina velocidades promedio para t < 5 segundos para concluir que V ( 5 ) = 49 mts/seg. PROBLEMA 5 Determina la ecuación de la recta tangente a la curva de f ( x) = x 2 en A ( 2,4 ) . Solución Interpretemos el problema en términos gráficos, consideremos A(2, 4) como un punto fijo y otros puntos “cercanos a él” en la gráfica de la función y tracemos rectas secantes como en la figura:

Por ejemplo la pendiente de la recta secante que pasa por 2.52 − 22 ( 2.5 − 2 )( 2.5 + 2 ) (2, 22 ) y (2.5, 2.52 ) es m1 = = = ( 2.5 + 2 ) = 4.5 2.5 − 2 ( 2.5 − 2 )

14

=

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Ejercicio3 Determina la pendiente de las rectas secantes que pasan por: a) (2, 4) y (2.1, 2.12 ) b) (2, 4) y (2.01, 2.012 ) b) (2, 4) y (1.9,1.92 ) c) (2, 4) y (1.99,1.992 ) ¿Qué puedes concluir? Como habrás visto al estar x cerca de 2, parece como si el punto A(2, 4) y ( x, x 2 ) fueran uno solo y la recta parece “tocar” una sola vez a la gráfica de la función,en el punto A(2, 4) , en este momento la recta pasa de secante a tangente y la pendiente de la recta en este último caso es 4,en efecto, Si x → 2 entonces la pendiente de la recta entre ( x, x 2 ) y (2, 4) x 2 − 4 ( x − 2 )( x + 2 ) mtag = = = ( x + 2 ) → 4,si x → 2 ∴ mtag = 4. x−2 ( x − 2) Así la ecuación de la recta tangente en A(2, 4) es y − 4 = 4( x − 2) ⇒ y = 4 x − 4 . Definición Sea f una función de variable real, la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f f ( x) − f (a ) en ( a, f (a) ) está dado por lím si este límite existe x→a x−a PROBLEMA 6 Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de cada una de las siguientes funciones en donde se indica 1) f ( x) = x 2 en P1 ( −1,1) .

Determinemos primero la pendiente de la recta tangente: x2 −1 x2 − 1 ( x + 1)( x − 1) lím = lím = lím = lím ( x − 1) = −1 − 1 = −2 x →−1 x − ( −1) x →−1 x + 1 x →−1 x →−1 x +1 Con esto la recta tangente en ( −1,1) tiene por ecuación:

y − 1 = −2( x + 1) o en la forma pendiente-ordenada al orígen y = −2 x − 1 2) f ( x ) = 3 x 2 − x en P1 (1, 2).

( 3x + 2 )( x − 1) = lím 3x + 2 = 5 3x 2 − x − 2 = lím ( ) x →1 x →1 x →1 x −1 x −1 Así la recta tangente en (1,2 ) tiene por ecuación: y − 2 = 5( x − 1) ó y = 5 x − 3.

lím

3) f ( x) = 2 − x3 en P1 (2, −6)

( 2 − x ) ( 4 + 2x + x2 ) 2 − x3 − (−6) 2 − x3 + 6 8 − x3 lím = lím = lím = lím = x →2 x →2 x→2 x − 2 x→2 x−2 x−2 x−2 − ( x − 2) ( 4 + 2 x + x2 ) lím = −12 x →2 x−2 Y la recta tangente en P1 (2, −6) tiene por ecuación: y + 6 = −12( x − 2)

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4) f ( x) = 2 x + 1 en P1 (4,3) lím

x →4

lím

x →4

2x +1 − 3 2x +1 − 3 = lím x→4 x−4 x−4 2x − 8

( x − 4) (

2x +1 + 3

)

= lím

x→4

2x +1 + 3 2x +1− 9 = = lím 2 x + 1 + 3 x→4 ( x − 4 ) 2 x + 1 + 3

(

2( x − 4)

( x − 4) (

2x +1 + 3

)

= lím

x →4

)

2 1 = 2x + 1 + 3 3

1 Finalmente la recta tangente en P1 (4,3) tiene por ecuación: y − 3 = ( x − 4) 3 2 5) f ( x) = en x1 = 1 1 − 3x 2 2 Puesto que f (1) = = = −1 , P1 (1, −1) .Con esto: 1 − 3 −2 2 2 2 + 1 − 3x − ( −1) +1 3 − 3x = lím 1 − 3 x = lím 1 − 3 x = lím = lím 1 − 3 x x →1 x →1 x →1 x →1 ( x − 1)(1 − 3 x ) x −1 x −1 x −1 3 −3( x − 1) −3 = lím = x →1 ( x − 1)(1 − 3 x ) x →1 1 − 3 x 2

lím

3 Finalmente la ecuación en P1 (1, −1) de la recta tangente es : y + 1 = ( x − 1) 2 Ejercicio 4 Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de cada una de las siguientes funciones en donde se indica: 1) f ( x) = x 2 + x − 3 en P1 (2,3) 2) f ( x) = 3 − x 2 en P1 (−2, −1) 3) f ( x) = x3 + 1 en P1 (2,9) 4) f ( x) = 3 − 2 x en P1 (−1, 5) 5) f ( x) = 3 x en P1 (−8, −2) 3 en P1 (0,3) 2x +1 4 4⎞ ⎛ 7) f ( x) = 2 en P1 ⎜ −3, ⎟ x 9⎠ ⎝ 8) f ( x) = 3x + 2 en P1 (−8, −22) 6) f ( x) =

9) f ( x) =

5 5⎞ ⎛ en P1 ⎜ −1, ⎟ 7 − 2x 9⎠ ⎝

10) f ( x) = x en P1 (3, 3)

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• Derivada de funciones Polinomiales La derivada de una función f en a , está dada por

lím

x →a

f ( x) − f (a ) x−a

si este límite existe,sí así sucede,se denota con f ′(a) .Obsérvese que a manera de aprendizaje significativo no es otra cosa que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en (a, f (a)) . A manera de introducción de uno de los conceptos más importantes del cálculo diferencial: la derivada de una función, calcularemos algunas de estas usando la definición de derivada en a , según Pierre de Fermat, hecha en párrafos anteriores. PROBLEMA 7 Calcular la derivada de las siguientes funciones con a en el dominio de la función. a) f ( x) = 4 Puesto que f (a) = 4 , se tiene: 4−4 0 lím = lím = lím 0 = 0 ∴ Si f ( x) = 4, f ′(a) = 0 x→a x − a x →a x − a x →a b) f ( x) = 3 − 5 x 3 − 5 x − (3 − 5a ) 3 − 5 x − 3 + 5a = lím Puesto que f (a ) = 3 − 5a,se tiene lím x →a x →a x−a x−a −5( x − a ) = lím = lím − 5 = −5 ∴ Si f ( x) = 3 − 5 x, f ′(a ) = −5 x →a x →a x−a 2 c) f ( x) = 2 x − 5 x + 3 2 x 2 − 5 x + 3 − ( 2 a 2 − 5a + 3 )

2 x 2 − 5 x + 3 − 2 a 2 + 5a − 3 lím = lím = x→a x →a x−a x−a 2 x 2 − 5 x − 2 a 2 + 5a 2( x 2 − a 2 ) − 5( x − a) 2( x − a )( x + a) − 5( x − a ) lím = lím = lím = x→a x→a x →a x−a x−a x−a ( x − a ) [ 2( x + a ) − 5] = lím [ 2( x + a ) − 5] = 4a − 5 ∴ si f ( x) = 2 x 2 − 5 x + 3, f ′(a ) = 4a − 5 lím x →a x →a x−a

d) f ( x) = 3 x 3 − 5 x 2 + x − 1 3 x 3 − 5 x 2 + x − 1 − ( 3a 3 − 5a 2 + a − 1)

3 x 3 − 3a 3 − 5 x 2 + 5a 2 + x − a = x→a x →a x−a x−a 3( x3 − a 3 ) − 5( x 2 − a 2 ) + x − a 3( x − a)( x 2 + ax + a 2 ) − 5( x − a)( x + a ) + x − a lím = lím = x→a x →a x−a x−a ( x − a) ⎡⎣3( x 2 + ax + a 2 ) − 5( x + a) + 1⎤⎦ = lím ⎡⎣3( x 2 + ax + a 2 ) − 5( x + a ) + 1⎤⎦ lím x→a x→a x−a lím

= lím

= 3(3a 2 ) − 5(2a) + 1 = 9a 2 − 10a + 1

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e) f ( x) = x 4 − x 2 x4 − x2 − ( a4 − a2 )

x 2 − a 2 )( x 2 + a 2 ) − ( x 2 − a 2 ) ( x4 − a4 − x2 + a2 lím = lím = lím x→a x →a x →a x−a x−a x−a 2 2 2 2 2 2 ( x − a )( x + a ) ⎡⎣( x + a ) − 1⎤⎦ ( x − a ) ⎡⎣( x + a ) − 1⎤⎦ = lím = lím = lím ( x + a ) ⎡⎣( x 2 + a 2 ) − 1⎤⎦ = x →a x→a x →a x−a x−a 2 2 2 3 4 2 = (2a ) ⎡⎣(a + a ) − 1⎤⎦ = (2a ) ⎡⎣ 2a − 1⎤⎦ = 4a − 2a ∴ si f ( x) = x − x , f ′(a ) = 4a 3 − 2a

Ejercicio 5 Determina la derivada de las siguientes funciones usando la definición de esta, según Fermat. 1) f ( x) = −1 2) f ( x) = 3 x + 1 3) f ( x) = 2 − 7 x 4) f ( x) = x 2 + x 5) f ( x) = 4 x 2 − − x + 3 6) f ( x) = x 4 7) f ( x) = −8 x 2 + 6 x − 2 8) f ( x) = 6 − x − 2 x 2 9) f ( x) = x3 − x 10) f ( x) = 3 x3 − 5 x 2 + 9 x − 2 Observación f ( x) − f (a) Consideremos lím y llamemos h = x − a entonces x = a + h,cuando x → a, h → 0. x→a x−a Con esto una definición alternativa y más útil de la derivada de una función en a está dada por

f (a + h) − f (a) en el caso de existir este límite. h→0 h A manera de ejemplo, usaremos esta definición alternativa de la derivada de una función para derivar las siguientes funciones en a permitido. 1) f ( x) = x 2 − 5 x + 3 lím

lím

(a + h)

2

− 5 ( a + h ) + 3 − ( a 2 − 5a + 3 )

h →0

h

a 2 + 2ah + h 2 − 5a − 5h + 3 − a 2 + 5a − 3 = h →0 h

= lím

2ah + h − 5h h(2a + h − 5) = lím = lím (2a + h − 5) = 2a − 5 ∴ f ′(a ) = 2a − 5 h →0 h →0 h →0 h h

= lím

2

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1 1 2) f ( x) = x 3 − x 2 + x − 1 3 2 1 1 1 1 3 2 ( a + h ) − ( a + h ) + (a + h) − 1 − ⎛⎜ a3 − a 2 + a − 1⎞⎟ 3 2 2 ⎝3 ⎠= lím h →0 h 1 1 1 1 3 2 ( a + h ) − ( a + h ) + ( a + h) − 1 − a 3 + a 2 − a + 1 2 3 2 lím 3 = h →0 h 1 3 1 2 1 1 1 1 1 1 1 a + 3a h + 3ah 2 + h3 − a 2 − 2ah − h 2 + a + h − 1 − a 3 + a 2 − a + 1 3 3 3 2 2 2 3 2 lím 3 = h →0 h 1 1 1 1 ⎛1 ⎞ 1 2 1 1 1 1 h ⎜ 3a 2 + 3ah + h 2 − 2a − h + 1⎟ 3a h + 3ah 2 + h3 − 2ah − h 2 + h 3 3 3 2 2 ⎠= 3 3 2 2 = lím ⎝ lím 3 h →0 h → 0 h h 1 1 1 1 ⎛1 ⎞ lím ⎜ 3a 2 + 3ah + h 2 − 2a − h + 1⎟ = a 2 − a + 1∴ f ′(a ) = a 2 − a + 1 h →0 3 3 3 2 2 ⎝ ⎠ 5 2x −1 10a − 5 − 10a − 10h + 5 5 5 5 5 − − ( 2a + 2h − 1)( 2a − 1) = 2(a + h) − 1 2a − 1 = lím 2a + 2h − 1 2a − 1 = lím lím h →0 h →0 h →0 h h h −10h ( 2a + 2h − 1)( 2a − 1) = lím −10h −10 = lím = lím h →0 h→0 h ( 2a + 2h − 1)( 2a − 1) h →0 ( 2a + 2h − 1)( 2a − 1) h 3) f ( x) =

−10 −10 −10 = ∴ f ′(a ) = 2 2 ( 2a − 1)( 2a − 1) ( 2a − 1) ( 2a − 1)

4) f ( x) = 5 − 7 x 5 − 7(a + h) − 5 − 7a 5 − 7a − 7h − 5 − 7a 5 − 7a − 7h + 5 − 7a = lím = h →0 h →0 h h 5 − 7a − 7h + 5 − 7a 5 − 7a − 7h − ( 5 − 7a ) 5 − 7a − 7h − 5 + 7a = lím = lím h →0 h →0 h 5 − 7a − 7h + 5 − 7a h 5 − 7a − 7h + 5 − 7a

lím

(

lím h →0

−

h

(

)

−7h 5 − 7a − 7h + 5 − 7a

)

(

= lím h →0

)

−7 −7 = = 5 − 7a − 7h + 5 − 7a 5 − 7a + 5 − 7a

7 7 ∴ f ′(a) = − 2 5 − 7a 2 5 − 7a

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Ejercicio 6 Determina la derivada de las siguientes en a , usando la definición alternativa 1) f ( x) = x 2 − 3 2) f ( x) = 3x 2 − 2 x 3) f ( x) = x3 − x 2 + 3 4) f ( x) = 3x + 1 6 5) f ( x) = 2− x

UNIDAD 3 DERIVADA DE FUNCIONES ALGEBRAICAS Consideremos c, una constante, f ( x), g ( x) funciones diferenciables, la derivada tiene las siguientes propiedades: d d ( cf ( x) ) = c ( f ( x ) ) dx dx d d d ( f ( x) + g ( x)) = ( f ( x)) + ( g ( x)) b) dx dx dx Las siguientes son fórmulas a emplear para la derivación: d 1) (c) = 0 dx a)

2)

d ( x) = 1 dx

3)

d n ( x ) = nx n −1 n es un número real dx

4)

d d d ( f ( x) g ( x)) = f ( x) ( g ( x)) + g ( x) ( f ( x)) dx dx dx

d d g ( x) ( f ( x)) − f ( x) ( g ( x)) d f ( x) dx dx 5) válida para toda x tal que g(x) ≠ 0 ( )= dx g ( x) ( g ( x)) 2 d d 6) (( f ( x)) n ) = n(( f ( x)) n −1 ) ( f ( x)) donde n es un número real que en forma más dx dx d n d (u ) = nu n −1 (u ) . compacta se puede poner si u=f(x) como dx dx

A continuación recordaremos dos hechos elementales del álgebra: 1 i) Si x ≠ 0 , n número real x − n = n . x m

ii)

n

x m = x n para ciertos números m, n.

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PROBLEMA 1 Calcular la derivada de las siguientes funciones usando Propiedades y fórmulas de derivación. d 19 ( x ) = 19 x19−1 = 19 x18 1) Si y = x19 por la fórmula 3, usamos la notación dx 32 2) Si y = x entonces su derivada es: 3) Si y = 3 x 4 usando la propiedad a) y la fórmula 3.Tenemos : dy d d = ( 3 x 4 ) = 3 ( x 4 ) = 3(4 x 4−1 ) = 12 x 3 dx dx dx 10 4) Si y = 5 x entonces su derivada es :

5) Ahora usaremos la linealidad de la derivada y la fórmula 3 para derivar la función y = 3 x3 + 2 x 2 − 21x + 4 . dy d d d d d = ( 3x3 + 2 x 2 − 21x + 4 ) = ( 3 x3 ) + ( 2 x 2 ) + ( −21x ) + ( 4 ) = dx dx dx dx dx dx d d d 3 ( x3 ) + 2 ( x 2 ) − 21 ( x ) + 0 = 3 ( 3x 2 ) + 2 ( 2 x ) − 21 = 9 x 2 + 4 x − 21. dx dx dx

6) Si y = 2 x12 − 2 x 2 + 5 x − 1 su derivada es: 1

7) Si y = x entonces por la nota de la página 2 podemos escribir y = x 2 donde por la

d ⎛ 12 ⎞ 1 12 −1 1 − 12 1 . fórmula 3 su derivada es; ⎜ x ⎟ = x = x = dx ⎝ ⎠ 2 2 2 x 8) Si y = 3 x 2 su derivada es: 1 d 9) Si y = 2 = x −2 ⇒ ( x −2 ) = −2 x −2−1 = −2 x −3 usando lo acordado sobre equivalencia x dx 1 de exponentes; tenemos 2 = x −2 y la fórmula 3 para calcular su derivada. x 10) Usando como guía el ejercicio anterior termina el siguiente: 2 2 −1 d 2 2 d −1 (x ) = = x ⇒ ( x −1 ) = Si y = 5x 5 dx 5 5 dx Seguiremos haciendo ejercicios sobre derivación pero avanzaremos en el uso de las fórmulas, a continuación usaremos la formula para derivar un producto de funciones recordemos que para hacer esto la fórmula es: d d d ( f ( x) g ( x)) = f ( x) ( g ( x)) + g ( x) ( f ( x)) dx dx dx 11) Sea y = (3x14 + 12 x)(2 x3 − 6 x 2 ) la derivada la calculamos como: d d d ((3 x14 + 12 x)(2 x3 − 6 x 2 )) = (3 x14 + 12 x) (2 x3 − 6 x 2 ) + (2 x3 − 6 x 2 ) (3 x14 + 12 x) = dx dx dx 21

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(3x14 + 12 x)(2(3x 2 ) − 6(2 x)) + (2 x3 − 6 x 2 )(3(14 x13 ) + 12(1)) = (3x14 + 12 x)(6 x 2 − 12 x) + (2 x3 − 6 x 2 )(42 x13 + 12) 12) Deriva y = (3x 6 − 8 x)(5 x −3 − 2 x −6 ) . A continuación ilustraremos la derivación de funciones racionales, lo cual como lo habíamos señalado se hace con la fórmula: d f ( x) ( )= dx g ( x)

g ( x)

d d ( f ( x)) − f ( x) ( g ( x)) dx dx ( g ( x)) 2

13) Derivemos y =

d ⎛ 8x − x ⎞ ⎜ ⎟= dx ⎝ 4 − 6 x 4 ⎠ 3

=

Para toda x tal que g(x)≠0

8x3 − x por la fórmula anterior: 4 − 6 x4

(4 − 6 x 4 )

d d (8 x3 − x) − (8 x3 − x) (4 − 6 x 4 ) dx dx = (4 − 6 x 4 ) 2

(4 − 6 x 4 )(8(3 x 2 ) − 1) − (8 x3 − x)(−6(4 x 3 )) (4 − 6 x 4 )(24 x 2 − 1) − (8 x 3 − x)(−24 x 3 ) = = (4 − 6 x 4 ) 2 (4 − 6 x 4 ) 2

96 x 2 − 18 x 4 + 48 x 6 − 4

( 4 − 6x )

4 2

2x2 − 1 = 3x3 + 7 Finalmente ilustraremos el uso de la fórmula: d n du (u ) = nu n −1 dx dx 14) Deriva y =

15) Si y = (3 x 4 − 2 x 2 − 4)5 la derivada de esta función, por la fórmula inmediata anterior es: Tomando n = 5 y u = 3x 4 − 2 x 2 − 4 d d ((3x 4 − 2 x 2 − 4)5 ) = 5(3x 4 − 2 x 2 − 4)4 (3x 4 − 2 x 2 − 4) = 5(3x 4 − 2 x 2 − 4) 4 (12 x3 − 4 x) dx dx 3 4 2 4 = ( 60 x − 20 x ) (3 x − 2 x − 4) 16) Si y = 3 2 x 2 + 3 x + 2 entonces su derivada; tomando la igualdad entre exponentes fraccionarios con los radicales. 1 Tenemos que y = 3 2 x 2 + 3 x + 2 = (2 x 2 + 3 x + 2)1/ 3 su derivada tomando n = y 3 2 u = 2 x + 3x + 2 es:

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17) a) Si y = (4 − 3x) 5 (7 x 2 − 3) 8 usando, primero el hecho que es un producto de funciones con lo cual tenemos: dy d d = (4 − 3 x) 5 (7 x 2 − 3) 8 + (7 x 2 − 3) 8 (4 − 3x) 5 Observa que las derivadas de dx dx dx las funciones por calcular se hacen con la fórmula 6; con esto tenemos:

(

)

(

8 −1 d dy ⎛ 7x2 − 3 = (4 − 3 x) 5 ⎜ 8 7 x 2 − 3 dx dx ⎝

)⎞⎟ + (7 x

2

⎠

)

8⎛ d ⎞ − 3 ⎜ 5(4 − 3 x) 4 ( 4 − 3 x ) ⎟ = dx ⎝ ⎠

(4 − 3x) 5 (8(7 x 2 − 3) 7 (14 x)) + (7 x 2 − 3) (5( 4 − 3 x ) 4 ( −3)) = (4 − 3 x) 5 (112 x(7 x 2 − 3) 7 ) + (7 x 2 − 3) 8 (−15(4 − 3 x) 4 ) = (4 − 3x) 4 (7 x 2 − 3) 7 (112 x(4 − 3x) + (−15)(7 x 2 − 3)) = (4 − 3x) 4 (7 x 2 − 3) 7 (−441x 2 + 448 x + 45) 8

2x − 3 Observemos primero que por ser un cociente de funciones 3x + 2 aplicaremos primero la fórmula 5.Con esto tenemos:

b) Si y =

Recordando que

1

2 x − 3 = (2 x − 3) 2 se tiene; 1

d ⎛ 2x − 3 ⎞ ⎟ = ⎜ dx ⎜⎝ 3x + 2 ⎟⎠

(3x + 2)

1

d d (3x + 2) (2 x − 3) 2 − (2 x − 3) 2 dx dx = (3x + 2) 2

1 1 ⎛1 ⎞ − 1 1 − (3x + 2)⎜ (2 x − 3) 2 (2) ⎟ − (2 x − 3) 2 (3) 2 2 ( 3 x + 2 )( 2 x − 3 ) − 3 ( 2 x − 3 ) 2 ⎝ ⎠ = = (3 x + 2) 2 (3x + 2) 2 Trata de simplificar esta derivada hasta donde te sea posible.

NOTA Como habrás notado el proceso de derivar funciones a través de fórmulas y de sus propiedades, es con mucho, más práctico.Por ello, problemas que en la unidad anterior se habían hecho con la definición e interpretación de la derivada ahora se pueden hacer mucho más rápido. Para esto recordemos, de la Unidad 2, que la derivada de una función f ′ ( x ) , si existe, nos proporciona la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en como f ( x) = mtg ( x ) .

( x, f ( x ) ) ;

lo que también denotaremos

´

18) Encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva y = x 2 − 3x + 2 en x = −2 .Y dar su ecuación en el punto ( −2,12 ) . De la NOTA tenemos que y′ = f ′( x) = mtg ( x ) = 2 x − 3 evaluada en x = −2 , es decir,

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f ′(−2) = mtg ( −2 ) = 2(−2) − 3 = −7. La ecuación en el punto dado es y − 12 = −7( x − (−2)) = −7( x + 2) = −7 x − 14 . Que al efectuar operaciones queda como: y = −7 x − 2 19) Encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva y = x3 − 2 x en x = 2. Y dar su ecuación en (1, −1) . 20) Un cuerpo se desplaza de acuerdo a la relación s (t ) = 4t 2 − 3t + 2 determina la velocidad en 2 segundos. Puesto que la relación expresa el desplazamiento en t segundos s′(t ) = 8t − 3 nos da la m velocidad en t segundos así que en t=2 es s′(2) = 8(2) − 3 = 13 . s 2 21) Si un cuerpo se desplaza de acuerdo a s(t ) = 4t − 3t determina su velocidad en 4 segundos.

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Ejercicio 1 A continuación se presenta una lista de ejercicios que pretenden poner en práctica lo aprendido paulatinamente en el apartado anterior. Deriva las siguientes funciones: 12 1) y = 2 x 2) y = 14 x 2 − 2 x + 3 3) y = 3 x 2 + 4 4 x 3

.

4) y = ( 2 x − 23) ( 4 − 2 x3 ) 5) y = ( 3x3 − 4 x − 1) (1 + 3x ) 6) y = 2 x ( x − 3)

12

2 x3 + 4 x − 1 x2 − 2x + 8 33x − 2 x 2 − 4 x 5 8) y = 1 − 2 x + 8x 3 1 1− x 9) y = 2 −2 3x 7) y =

7

⎛ −4 ⎞ x +2 ⎟ ⎜ 10) y = ⎜ 53 ⎟ ⎝ 5x − 3 ⎠ −5 11) y = 9 (13x4 − 5x3 + 14 x − 3) 12) y =

3 − x3 3x + 2

13) y =

( 3x

3

+ 2 x 2 + 3)

14) y = 2(2 x +

7

3 − 3x −1 + 1) −12 x3

15) y = (5 x 2 + 3x − 1)4 (3 − 2 x5 )−3

16) y = 3 x + 2

25

Guía de Cálculo I

⎛ 3x 4 + 2 ⎞ 17) y = ⎜ 3 ⎟ ⎝ 5x − 3 ⎠

CCH-Naucalpan 7

3

⎛ 2 x3 + 4 x − 1 ⎞ 8 18) y = 8 ⎜ 2 ⎟ ⎝ x − 2x + 8 ⎠

19) y = 5 x ( 2 x 2 + 3 x − 1)

20) y = − 2 x (3 x 10 − 4 x 7 − 2 x − 2) − 5

10

⎛1 2 3 4 ⎞ 21) y = ⎜ + 2 − 3 − 4 + 1⎟ x x ⎝x x ⎠

22) y =

x 3

4x4

(

23) y = x + x 2 + 1

)

19

24) y = x + x

25) y =

3+ 3 x 3− 3 x

26

Guía de Cálculo I

CCH-Naucalpan CUESTIONARIO DE EVALUACIÓN

Esta colección de ejercicios pretende que aprendas conceptos y procedimientos, pon mucha atención al contestar cada una de las preguntas. Subraya la respuesta correcta en los siguientes reactivos. x 1) La función y = es igual a : 2 1 2 1 b)2 x d )x a) x c) e) 2 2 x 2) Para derivar y = 4 x 3 primero se escribe como: 4

a) x 3

1

b)

x

c) x

3 4

−

4 3

3

d )x 4

e) x

−

4 3

3 se deriva rápidamente usando su equivalente que es: 2x4 3 3 3 3 2 a) x 4 b ) x −4 c ) −4 d) e ) x −4 2 2 2x 2 3 2 4) La derivada de π es : a) 2π b) 0 c) π d)2 e) 1

3) La función y =

5) La derivada de f ( x) = 9 es: a) 9 b) − 9

c ) 90

d) 0

d) 1

6) Si f ( x) = x e su derivada es:

a) ex e −1

b) x e −1

7) La derivada de y = 2 a) 3

3 b) 2

c) x

e)2.7 x1.7

d) 1

2x es: 3 4x2 c) 9

d) 0

e) 1

8) Si f ( x ) = −3x + 1 entonces f ′ ( 0 ) es igual a:

a)1

b)0

d ) −1

c) x

e) − 3

9) Si s (t ) = 3 − 2t + 5t 2 , la velocidad instantánea de un cuerpo con este recorrido en un tiempo cualquiera es: a) 3 b) 3+10t c) 2+10t d ) 10t − 2 e) 3 − 2t 10) Para derivar la función y = 2 x + 1 , fundamentalmente, haces uso de la fórmula: a) 1

b) 2

c) 5

d) 6

27

e) 4

Guía de Cálculo I

CCH-Naucalpan

11) La pendiente de la recta tangente a la gráfica de la siguiente función, en (0,1) es:

a) Es cero

b) Es 1

12) El cálculo de lim x →2

a) f ( x) = x en x = 2. b) f ( x) = x3 en x = 1. c) 12 d ) f ( x) = x3 en x = 2. e) f ( x ) = x 3 .

c) Es Cuatro

d ) Es negativa

e) No está definida

x3 − 8 nos da la derivada de: x−2

13) Si la gráfica de una función es:

Su derivada es igual a:

a)0

b)1

⎛ 1⎞ 14) Si y = ( x 2 ) ⎜ x 2 ⎟ su derivada es: ⎝ ⎠ 1 5 ⎛1 2⎞ a) ( 2 x ) ⎜ x ⎟ b) x 2 2 ⎝ ⎠

c)2

d )3

⎛ 1 − 12 ⎞ c) ( 2 x ) ⎜ x ⎟ ⎝2 ⎠

e)4

d)

5x x 2

e)0

15) La pendiente de la recta tangente a la gráfica de f ( x) = 4 x − x 2 en x = 2 es: a)0 b)1 c) 8 d)4 e) no está definida.

28

Guía de Cálculo I

CCH-Naucalpan

16) La ecuación de la recta tangente a la gráfica de f ( x) = 2 x 2 + 3 en P1 (1,5 ) es:

b) y = 4 x + 1

a) y = 2 x 2 + 3

17) La derivada de la función y = a ) y′ = d ) y′ =

6

( 3x + 1) 6

e) y ′ = −

2

d ) y = 2x

e) y = 4

2 es: 3x + 1 6

b) y ′ = −

2

( 3x − 1)

c) y = 4 x − 1

( 3x − 1)

c) y′ =

2

6 3x − 1

6

( 3x + 1)

2

18) La velocidad instantánea de una partícula con trayectoria s (t ) = 8t + 3 mts. en 1 t = seg. es: 8 a)

1m 8 s

b)8

m s

19) La derivada de la función y =

c)2

m s

d )3

5

( 3 x 3 − 5 x 2 + 4 x − 3)

7

m s

e)5

m s

es:

a ) y′ = 0 b) y′ = 9 x 2 − 10 x + 4 c)(−315 x 2 + 350 x − 140)(3 x3 − 5 x 2 + 4 x − 3) −8 d )(3x3 − 5 x 2 + 4 x − 3) −8

e)35 x 2 − 3x + 5 20) La pendiente de la recta tangente en el puntoA:

a) Es positiva

b) Es negativa

c) Es cero

29

d) No está definida

e) es − 1 .

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CCH-Naucalpan

21) La derivada de la función y = 2

2x + 1 es: 2x − 1

a) cero b) y′=

-4

( 2x-1)

2

-

1

1 ⎛ 2x+1 ⎞ 2 c) y′= ⎜ ⎟ 2 ⎝ 2x-1 ⎠ -2 d) y′= (2x-1) 4x 2 -1 e) -2

22) El resultado de lim x →1

a) 5000

x5000 − 1 es: x −1

b)4999

c) 1

d) no definido

e)0

23) Si la gráfica de una función es la siguiente:

La derivada de la función es:

a) 0

b) No se puede saber c) No está definida

d ) −1

e) − 2

24) La función de posición de una partícula está dada por s (t ) = t 3 − 4.5t 2 − 7t t ≥ 0 ¿Cuándo alcanza la partícula una velocidad de 5 m / s. ? a ) t = 1 seg .

b) t = 4 segs.

c ) t = 2 segs.

d ) t = 3 segs.

e) 0 segs.

25) La función cuadrática de la forma y = ax 2 + bx y cuya tangente en (1,1) tenga la ecuación y = 3x − 2 es: a) y = 2 x 2 − 1 30

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b) y = 2 x 2 + 2 x c) y = 2 x 2 d ) y = −2 x 2 − x e) y = 2 x 2 − x EJERCICIOS ADICIONALES La siguiente colección de ejercicios tiene la finalidad de reforzar o ampliar tus conocimientos. 1) y = 5 x 4 − 32 x 2 + x + 8 2) y = x5 − 4 x +

3 −8 x5 2

3) y = − x 3 − 33 x +

−3 3 x 4) y = ( 3x5 + 3 x 2 + 1)( 2 − 2 x − 3x9 ) 7

⎛2 ⎞ 5) y = ⎜ − 5 x + 1⎟ ( 3 x − 4 ) ⎝x ⎠

(

)(

6) y = 3x12 − 3x 5 − 2 21 + 2 x − x14

)

2 3 3⎞ ⎛3 ⎞⎛ 7) y = ⎜ − 3 + 9 ⎟⎜ 3 x − x 3 − ⎟ 2 x⎠ ⎝ x 3x ⎠⎝

1 2 + 2 x x 8) y = 2 +1 3x 3x3 − 2 x + 1 9) y = 4 − x6 33x − 2 x 2 − 4 x 5 10) y = 1 − 2 x + 8x 3 1 10 + 2 x 11) y = 2 − 2x 3x 12) y = (2 − 3x + 5 x 2 )18 13) y = 15(1 − x − 2 x 3 ) 4 14) y = 2 2 x − 33 3 x + 4 4 4 x + 5 5

31

Guía de Cálculo I 15) y =

CCH-Naucalpan

−9

(9 + 9 x + 9 x )

9 9

12

⎛ 5x + 3 ⎞ 16) y = ⎜ 2 ⎟ ⎝ 3 − 12 x ⎠

⎛ 3 − 2x ⎞ 17) y = ⎜ ⎟ ⎝ 2 − 3x ⎠

15

⎛ 3 − 7x ⎞ 18) y = 5 ⎜ 2 ⎟ ⎝ 4x − 3 ⎠

3

19) y = 3 x + 2(8 x 3 − 2 x + 1) 20) y =

2(3x − 2)3 5x

21) y = x(2 x − 6) 3 22) y = 23) y =

3 2x − 3 7 x − 2 (3 − 2 x 5 ) 4 1 − − 7 3 2

24) y = (2 x 4 − 3 x ) (2 − 2 x − x 3 ) 3

5

25) y = (7 x + 3) 2 1 − 3x 26) y =

1 − 11x 2x − 2

27) y =

x +1 (3 x + 2) 3

28) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f ( x) = ( x 2 + 2)3 en P1 (1, 27) . 29) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f ( x) = 3 x + 1 en P1 (0,1) 30) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f ( x) = x 2 + 2 en x = 1 .

32

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UNIDAD 4 COMPORTAMIENTO GRÁFICO Y PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN 1.-Usando el criterio de la primera derivada para extremos relativos de una función, realizar un bosquejo de la gráfica de las siguientes: Ejemplo 1 a) f ( x) = x3 − 6 x 2 + 9 x − 3 Encontramos puntos críticos de la función, aquellos puntos donde f ′( x) = 0 ó f ′( x) no esté definida. En este caso f ′( x) = 3x 2 − 12 x + 9 = 3( x 2 − 4 x + 3) = 3 ( x − 1)( x − 3) = 0 ⇔ x1 = 1 ó x2 = 3 Al ubicar estos puntos en la recta real y hacer un estudio de la primera derivada alrededor de ellos tenemos: a) Para x < 1 podemos ver que f ′( x) = 3 ( x − 1)( x − 3) es positiva ya que

f ′(0) = 3 ( 0 − 1)( 0 − 3) = 3 ( −1)( −3) = 9 , lo que sucederá para todo x < 1.Así en

x < 1 la función es creciente. b) Para 1 < x < 3 nuevamente tomamos un punto de prueba para determinar el carácter de monotonía de la función, tomemos x = 2 , así f ′(2) = 3(2 − 1)(2 − 3) = −3 es negativa, lo que sucederá para todo x en el intervalo (1,3) .Así en 1 < x < 3 la función es decreciente. c) Para x > 3 , por ejemplo x = 4 , vemos que f ′(4) = 3(4 − 1)(4 − 3) = 9 es positiva lo que sucederá en todo x > 3 . Así en x > 3 la función es creciente. Con esto,puesto que x1 = 1 es un punto crítico de la función,recuerda que si la primera derivada pasa de positiva a negativa en una vecindad de un punto crítico este es un MÁXIMO RELATIVO de la función, así:

(

)

(1, f (1)) = 1, (1) − 6 (1) + 9 (1) − 3 = (1,1 − 6 + 9 − 3) = (1,1) es un punto importante de la 3

2

gráfica de la función . Ahora x2 = 3 , también es un punto crítico de la función pero la derivada de la función pasa de Negativa a positiva en una vecindad de él así que el criterio de la primera derivada nos dice que es un MÍNIMO RELATIVO de la función, (3, f (3)) es otro punto significativo de la gráfica de la función. Lo anterior lo resumimos en el siguiente esquema:

33

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Y el bosquejo de la gráfica sería:

Ejemplo 2 f ( x) = x 4 − 8 x 2 + 2 Primero veamos donde f ′( x) = 4 x3 − 16 x = 4 x( x 2 − 4) = 4 x( x + 2)( x − 2) = 0 ⇔

x1 = −2 ó x2 = 0 ó x3 = 2 Entonces si; a) x < −2 por ejemplo x = −3 , f ′(−3) = 4(−3)(−3 − 2)(−3 + 2) = −60 ∴ f ′( x) < 0 en x < −2 y la función es decreciente en x < −2 . b) −2 < x < 0 por ejemplo x = −1 , f ′(−1) = 4(−1)(−1 − 2)(−1 + 2) = 12 ∴ f ′( x) > 0 en −2 < x < 0 y la función es creciente en −2 < x < 0 . c) 0 < x < 2 por ejemplo x = 1 , f ′(1) = 4(1)(1 − 2)(1 + 2) = −12 ∴ f ′( x) < 0 en 0 < x < 2 y la función es decreciente en 0 < x < 2 . d) x > 2 por ejemplo x = 3 , f ′(3) = 4(3)(3 − 2)(3 + 2) = 60 ∴ f ′( x) > 0 en x > 2 y la función es creciente en x > 2 . Resumamos la información:

Con esto también tenemos que x1 = −2 , f (−2) = (−2)4 − 8(−2)2 + 2 = 16 − 32 + 2 = −14 es un mínimo relativo de la función y (−2, −14) es un punto importante de la gráfica de la función.

34

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En x2 = 0 , f (0) = ( 0 ) − 8 ( 0 ) + 2 = 2 es un máximo relativo de la función y (0, 2) es un punto importante de la gráfica de la función. 4 2 Finalmente en x3 = 2 , f (2) = ( 2 ) − 8 ( 2 ) + 2 = −14 la función tiene un mínimo relativo 4

2

y (2, −14) es un punto importante de la gráfica de la función, un bosquejo de la gráfica de la función es:

Ejercicio 1 Empleando el criterio de la primera derivada para extremos relativos de una función realizar un bosquejo de la gráfica de las siguientes, indicando donde es creciente o decreciente. 1) f ( x) = x3 + 2 x 2 − 15 x − 20 2) f ( x) = 1 + 2 x −

x 2 x3 − 2 3

3) f ( x) = 3x 2 − x3 4) f ( x) = 2 + 12 x + 3x 2 − 2 x3 5) f ( x) = x 4 − 4 x 6) f ( x) = x3 − 3 x + 2 7) f ( x) = 2 x 2 − x3 8) f ( x) = x3 + 3x 2 − 2 9) f ( x) = 3x3 + 13x 2 + 2 x − 8 10) f ( x) = 2 x 2 − x 4 2.-Usando el criterio de la segunda derivada para extremos relativos de una función realiza un bosquejo de la gráfica de las siguientes funciones. Ejemplo 3 f ( x) = − x3 + 3 x 2 + 9 x − 2

35

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CCH-Naucalpan

Determinamos donde f ′( x) = 0 , en este caso f ′( x) = −3 x 2 + 6 x + 9 = −3( x 2 − 2 x − 3) = −3 ( x + 1)( x − 3) = 0 ⇔ x1 = −1 ó x2 = 3 Derivando otra vez f ′( x) = −3x 2 + 6 x + 9 , tenemos que f ′′( x) = −6 x + 6 , evaluando x1 = −1 , x2 = 3 en f ′′( x) = −6 x + 6 se tiene f ′′(−1) = −6(−1) + 6 = 12 , así que el criterio de

la

segunda

derivada

establece

que

en

x1 = −1

f (−1) = −(−1)3 + 3(−1) 2 + 9(−1) − 2 = 1 + 3 − 9 − 2 = −7 Es un mínimo relativo de la función. Evaluando ahora en x2 = 3 , f ′′(3) = −6(3) + 6 = −12 así que el criterio de la segunda derivada establece que en x2 = 3 , la función tiene un máximo relativo. f (3) = −(3)3 + 3(3) 2 + 9(3) − 2 = −27 + 27 + 27 − 2 = 25 Dos puntos importantes de la gráfica de la función son: ( −1, −7 ) , ( 3, 25 ) Puesto que f ′′( x) = −6 x + 6 y f ′′( x) = −6 x + 6 = 0 ⇔ x = 1 Al hacer un estudio de la segunda derivada en los “alrededores de x = 1 ” se tiene que si: a) x < 1 f ′′( x) > 0 , ya que f ′′(−1) = −6(−1) + 6 = 12 , se tiene que la gráfica de la función es cóncava hacia arriba en x < 1. b) x > 1 f ′′( x) < 0 , ya que f ′′(3) = −6(3) + 6 = −12 , se tiene que la gráfica de la función es cóncava hacia abajo para x > 1 . Este análisis nos sirve para afirmar que en el punto (1, f (1)) la gráfica de la función presenta un cambio de concavidad por eso, a este punto se le llama un punto de inflexión. Un bosquejo de la gráfica de la función es:

Ejemplo 4 f ( x) = x 4 − 2 x 2 Determinamos donde f ′( x) = 0 , en este caso f ′( x) = 4 x3 − 4 x = 4 x( x 2 − 1) = 4 x ( x + 1)( x − 1) = 0 ⇔ x1 = −1 ó x2 = 0 ó x3 = 1 Derivando otra vez f ′( x) = 4 x3 − 4 x , tenemos f ′′( x) = 12 x 2 − 4 , evaluando x1 = −1 , x2 = 0 , x3 = 1 en f ′′( x) = 12 x 2 − 4 se tiene f ′′(−1) = 12(−1)2 − 4 = 8 , así que x1 = −1 , f (−1) = (−1) 4 − 2(−1)2 = 1 − 2 = −1 es un mínimo relativo de la función.

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Ahora f ′′(0) = 12(0)2 − 4 = −4 ∴ en x2 = 0 , f (0) = (0) 4 − 2(0) 2 = 0 − 0 = 0 es un máximo relativo de la función. Finalmente f ′′(1) = 12(1)2 − 4 = 8 , así que x3 = 1 , f (1) = (1) 4 − 2(1) 2 = 1 − 2 = −1 es un mínimo relativo de la función. Tres puntos importantes de la gráfica de la función son: ( −1, −1) , ( 0, 0 ) , (1, −1) 1 , los cuales 3 pueden dar lugar a puntos donde la gráfica de la función cambia de concavidad, para determinar el sentido de la concavidad de la gráfica de la función, hagamos un estudio 1 . de la concavidad en vecindades de x = ± 3 1 a) Para x < − por ejemplo x = −1, f ′′(−1) = 12(−1) 2 − 4 = 8 , la gráfica de la función 3 es cóncava hacia arriba. 1 1 3 cóncava hacia arriba. 1 la gráfica de la función tiene Esto también nos sirve para determinar que en x = ± 3 dos puntos de inflexión. 4 2 ⎛ 1 5⎞ ⎛ 1 ⎞⎞ ⎛ 1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎞ ⎛ 1 1 2⎞ ⎛ 1 ,f⎜ ,⎜ , − ⎟=⎜ ,− ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ = ⎜⎜ ⎟ − 2⎜ ⎟ ⎟⎟ = ⎜ ⎝ 3⎠ ⎠ ⎝ 3 9 3⎠ ⎝ 3 6⎠ ⎝ 3 ⎝ 3 ⎠⎠ ⎝ 3 ⎝ 3 ⎠ Para el otro punto tenemos: Ahora veamos donde f ′′( x) = 12 x 2 − 4 = 0 lo cual sucede en x = ±

4 2 ⎛ 1 5⎞ ⎛ 1 ⎞⎞ ⎛ 1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎞ ⎛ 1 1 2⎞ ⎛ 1 − − = − − − − , f , 2 , − ⎟ = ⎜− ,− ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎟ = ⎜ − 3 ⎝ 3 ⎠⎠ ⎝ 3 ⎝ 3⎠ 3⎠ ⎠ ⎝ 3 9 3⎠ ⎝ 3 6⎠ ⎝ ⎝ Con todo esto tenemos el bosquejo de la gráfica de la función:

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Ejercicio 2 Hacer un bosquejo de la gráfica de las siguientes funciones, usando el criterio de la segunda derivada para extremos relativos, determinar también regiones de concavidad, y puntos de inflexión. 1) f ( x) = x3 − 3x 2 + 4 2) f ( x) = x3 − 6 x 2 + 9 x − 2 3) f ( x) = 2 x3 + 9 x 2 + 12 x + 6 x3 3 2 4) f ( x) = − x 4 2 5) f ( x) = x 4 − 4 x 6) f ( x) = 2 x 2 − x 4 7) f ( x) = x 4 − x 2 + 1 x 4 x3 8) f ( x) = + − 2 x 2 − 4 x + 1 4 3 9) f ( x) = x 4 + 2 x3 − 3x 2 − 4 x + 4 4 10) f ( x) = x + x PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Plantea y resuelve los siguientes problemas usando los criterios de optimización vistos. Ejemplo 5 Se desea construir una caja de un pedazo de cartón de 12cms x 12cms , cortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando los lados.Hallar la longitud del lado del cuadrado a cortar para que el volumen de la caja sea máximo.

38

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Doblando, tenemos

Al doblar, el volumen de la caja está dado por V ( x) = x(12 − 2 x)(12 − 2 x) = x (12 − 2 x )

2

De donde 0 ≤ x ≤ 6 determinemos puntos críticos del modelo planteado, esto es: V ′( x) = 0, puesto que V ′( x) = x(2(12 − 2 x)(−2)) + (12 − 2 x)2 = (12 − 2 x)(−4 x) + (12 − 2 x) 2

(12 − 2 x)(−4 x + 12 − 2 x) = (12 − 2 x)(12 − 6 x) = 0 ⇔ x1 = 6 ó x2 = 2 El punto crítico válido es x2 = 2 , en efecto, ya que

V ′′( x) = (12 − 2 x )( −6 ) + (12 − 6 x )( −2 ) el criterio de la segunda derivada dice que

V ′′(2) = (12 − 2 ( 2 ) ) ( −6 ) + (12 − 6 ( 2 ) ) ( −2 ) = −48 ∴V (2) = 2 (12 − 2 ( 2 ) ) = 128 es 2

máximo. Ejemplo 6 De un trozo de papel circular de radio R se construye un vaso cónico, cortando un sector y uniendo los lados CA y CB.Encuentre la capacidad máxima de dicho vaso.Ver figura.

Al unir CA con CB el vaso cónico queda como:

Por el teorema de Pitágoras R 2 = r 2 + h 2

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1 1 El volumen del cono es V = π r 2 h , puesto que r 2 = R 2 − h 2 , V ( h ) = π ( R 2 − h 2 ) h = 3 3 1 1 1 π ( R 2 h − h3 ) ⇒ V ′(h) = π ( R 2 − 3h 2 ) ∴V ′(h) = 0 = π ( R 2 − 3h 2 ) ⇔ R 2 − 3h 2 = 0 3 3 3 R ⇔ = h Veamos que este valor de h nos da una capacidad máxima, en efecto, 3 1 R Puesto que V ′′(h) = π ( −6h ) = −2π h evaluando h = en V ′′(h) = −2π h tenemos 3 3 R ⎛ R ⎞ ⎛ R ⎞ V ′′ ⎜ ⎟ = −2π ⎜ ⎟ < 0 probando que en h = 3 ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠

⎛ R ⎞ 1 ⎛ 2 R 2 ⎞ R 1 ⎛ 2 R 2 ⎞ R 2π R 3 V⎜ = π⎜ = la capacidad del vaso es ⎟ ⎟ = π ⎜R − 3 ⎟ ⎝ 3⎠ 3 ⎝ ⎠ 3 3 ⎝ 3 ⎠ 3 9 3 máxima.

Ejemplo 7 Una compañía fabricante de trajes determina que puede vender 2000 trajes a sus proveedores en $750 cada traje y que por un incremento de $25 en cada traje venderá 40 trajes menos ¿Cuántos trajes tiene que vender para maximizar sus ganancias? Hagamos un planteamiento basándonos en el siguiente registro Precio por traje Número de trajes vendidos Utilidad 750 2000 1,500,000 750+25(1) 2000-40(1) 1,519,000 750+25(2) 2000-40(2) 1,536,000 750+25(3) 2000-40(3) 1,551,000 750+25(4) 2000-40(4) 1,564,000 De acuerdo con el registro el modelo U ( x) = ( 2000 − 40 x )( 750 + 25 x ) nos da la utilidad. Así U ′( x) = ( 2, 000 − 40 x )( 25 ) + ( 750 + 25 x ) ( −40 ) = 20, 000 − 2, 000 x = 0 ⇔ x = 10 y

U ′′( x) = −2, 000 ∴ U ′′(10) = −2, 000 ∴ U (10) = (1, 600 )(1, 000 ) = 1, 600, 000

es

la

utilidad máxima y se obtiene vendiendo 1600 trajes en $1,000 cada traje. Ejercicio 3 Resuelve los siguientes problemas usando los criterios de la primera o segunda derivada para optimizar. 1) Se quiere construir una caja de base cuadrada sin tapa que tenga un volumen de 4 dm3 .Encontrar las dimensiones que minimicen la cantidad de material necesario.

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Guía de Cálculo I

CCH-Naucalpan

2) Se desea construir un recipiente cilíndrico sin tapa que tenga una capacidad de 1 m3.Encontrar las dimensiones que debe tener para que la cantidad de material sea mínima. 3) Para un cercado rectangular el alambre del largo cuesta $20 por metro, mientras que el del ancho cuesta $40 por metro si se cuenta con $800¿Cuál es el cercado rectangular de área máxima que puede hacerse con los $800? 4) Encontrar las dimensiones del rectángulo de área máxima de entre todos los que tiene perímetro 24. 5) De un pedazo de cartón de 16 x 20 cms.de lado se desea construir una cajita, abierta por arriba, cortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando hacia arriba ¿De que medida deben ser los cuadraditos para que el volumen de la caja sea máximo? 6) Un almacén rectangular debe tener 465 m2 de área y debe estar dividido en dos zonas rectangulares por una pared interior .El coste de las paredes exteriores es de $150 por metro lineal y el de la pared interior de $100 por metro. Hallar las dimensiones que minimicen el coste de la construcción del almacén. 7) Un zoológico cobra $80 por entrada, pero da precio especial a grupos entre 30 y 60 personas.Si entran más de 30 el precio disminuye $1, en cada aumento sucesivo de entradas. ¿El ingreso de cuántas personas dentro de este rango producirá al zoológico ganancias máximas? 8) Se desea construir una piscina rectangular de 1800ft2 .El dueño desea que tenga pasillos de 5ft. de ancho a cada lado y 10 ft en los extremos. Calcule las mínimas dimensiones del terreno rectangular dentro del cual quedará la alberca con las especificaciones dadas. 9) Hallar las coordenadas del punto P( x, y ) que maximice el área del rectángulo de la figura:

10) Hallar las dimensiones del triángulo isósceles de perímetro 12 y área máxima.

Elaboró Pedro Clavijo Valdez

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