UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA FÍSICA MECÁNICA MÓDULO #10: HIDROSTÁTICA Diego Luis Aristizábal R., Roberto Restrepo A., Tatiana Muñoz H. Profesores, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín

Temas           

Introducción Definiciones básicas Principio fundamental de la hidrostática. El barómetro. El manómetro La paradoja hidrostática Tubo en U con líquidos no miscibles Principio de Pascal Principio de Arquímedes ¿Qué pasa con los gases? Ejercicios

Introducción En este módulo se deducirán los principios básicos del comportamiento de los líquidos en reposo, es decir, de la hidrostática, a partir de la ley de inercia para cuerpos rígidos. Varios de estos principios también se aplican a los gases en cuyo caso se usará el término fluido. Los principios que no son comunes a ambos se debe fundamentalmente a que los gases pueden comprimirse con facilidad, mientras que un líquido es prácticamente incompresible. Recordar que los estados de agregación básicos de la materia son: sólido, líquido y gas. Los sólidos tienen un volumen y una forma definidos; las fuerzas de cohesión (fuerzas eléctricas) entre sus partículas (sean éstas moléculas, átomos o iones) son relativamente grandes para lograr mantenerlas en posiciones fijas aunque logran vibrar. Los líquidos tienen un volumen definido pero no tienen forma definida; las fuerzas de cohesión entre sus partículas son lo suficientemente débiles como para permitir cierta movilidad de ellas pero a su vez son lo suficientemente intensas como para mantener entre las mismas una distancia media constante: esto les permite adoptar forma esférica en estado libre (dado que es la mínima superficie para un volumen dado). En los gases las fuerzas de cohesión son prácticamente nulas permitiendo máxima movilidad a sus partículas: no tienen ni volumen ni forma definidos. Otros 3 estados de agregación de la materia son: coloide (intermedio entre sólido y líquido), el plasma que es un gas que se somete a elevadas temperaturas y el superfluido. Definiciones básicas Densidad La densidad en un punto de una sustancia es la masa dm contenida en un elemento diferencial de volumen dv que contiene en su interior el punto considerado, dividida por ese volumen dv,

1

ρ=

dm dv

[1]

La densidad media de un cuerpo, es el cociente entre su masa m y su volumen v,

ρ=

m v

[2]

2

La densidad es un escalar y su unidad en el SI es kg.m-3. Otras unidades son el g.cm-3 que equivale al g.ml-1. La densidad del agua a 4 oC y a 1 atm de presión es igual a 1,0 g.cm-3. La densidad del mercurio es igual a 13,6 g.cm-3. Estos dos datos son muy importantes y se usarán con frecuencia en este módulo. Presión La presión se define como la magnitud de la fuerza normal dF que actúa sobre una superficie dividida el área dA de la misma, Figura 1,

Figura 1

P=

dF dA

[3]

La presión media es,

P=

F A

[4]

La presión es un escalar y su unidad en el SI es N.m-2=Pa (Pascal). Otras unidades son dina.cm-2=baria, la atmósfera (atm), el torr (mm de Hg) y cm de H2O.Algunas equivalencias son, 1 atm= 1,01x105 Pa=760 torr=760 mm de Hg. 1 cm de Hg=13,6 cm de H2O. Las leyes que rigen a los fluidos en equilibrio se deducen todas de la misma definición de fluido, según la cual, el esfuerzo en un punto de un fluido es normal para cualquier orientación de la superficie diferencial considerada en ese punto, esto se enuncia así: La presión en cualquier punto dado de un fluido es la misma en todas las direcciones , Figura 2.

Esta propiedad es la que no permite que la presión tenga comportamiento vectorial.

3

Figura 2 Presión atmosférica (Patm) Es la fuerza que ejerce el aire (la columna de atmósfera) sobre una superficie que contienen el punto donde se está midiendo (la orientación de esta superficie es indiferente). Se mide con un barómetro el cual se explicará más adelante. Al nivel del mar la presión atmosférica es igual a 1 atm (760 mm de Hg); en la ciudad de Medellín que se encuentra a 1538 m sobre el nivel del mar es igual a 640 mm de Hg (0,84 atm). Presión manométrica ( P ) Es la presión en un punto de un fluido sin tener en cuenta la presión atmosférica. Presión absoluta (P) Es el valor de la presión en un punto de un fluido teniendo en cuenta la presión atmosférica.

P=P+Patm

[5]

Principio fundamental de la hidrostática En la Figura 3 se ilustra un recipiente con un líquido en reposo. Se quiere calcular la diferencia de presión entre dos puntos 1 y 2 que se encuentran a diferente profundidad. La presión en el punto 1 es P 1 y la presión el punto 2 es P2, por lo tanto se quiere calcular ∆P=P2-P1.

Figura 3

Para hacer éste análisis mecánico, se elegirá como sistema un cilindro de líquido que contenga en sus bases estos puntos: observar la región encerrada con una línea punteada, la cual tiene de base A y altura y2-y1, Figura 4. El marco de referencia elegido es el recipiente y los ejes coordenados elegidos se ilustran en la misma figura.

4

Figura 4 En la Figura 5 (izquierda) se ilustra un elemento diferencial del sistema mecánico elegido (de base A, masa dm, peso dW y altura dy). En la misma figura se ilustra dos diagramas de fuerzas: en el centro se ilustran las fuerzas de presión distribuidas sobre el elemento diferencial de líquido y en el de la derecha un sistema equivalente de fuerzas más fácil de analizar. Las fuerzas de presión F son ejercidas por el resto de líquido sobre el elemento diferencial, adicionalmente dW es el peso de éste.

Figura 5 Aplicando la ley de inercia de traslación se obtiene,

  Fy =0  F-  F+dF -dW=0 dF=-dW  dp  A  =-  dm  g 

 dp  A  =- ρ  A  dy   g  dp= -ρgdy

El signo menos indica que si se asciende hacia la superficie del líquido la presión disminuye. Integrando, p2

y2

p1

y1

 dp=-  ρgdy

Si la densidad es constante, es decir si se considera que el líquido es incompresible, se obtiene,

p2 - p1 = - ρg  y2 - y1 

[6]

Sí y2-y1=H (diferencia de profundidad),

Δp = - ρgH

[7]

Este resultado se conoce con el nombre de principio fundamental de la hidrostática y se enuncia así, En un líquido (considerado incompresible) en equilibrio la diferencia de presión entre dos puntos del mismo, es proporcional a la aceleración de la gravedad, a su densidad y a la diferencia de profundidad (diferencia de nivel) de estos. Adicionalmente, es mayor en el punto más profundo:

p1 = p2 + ρgH

[8]

Consecuencias inmediatas del principio fundamental de la hidrostática son: 

En un líquido en equilibrio en todos los puntos que están a la misma profundidad la presión es igual. Análisis: En este caso, si el punto 1 y el punto 2 están a la misma profundidad H=0 y por tanto,

p1 = p2 

La presión absoluta en un punto del líquido que se encuentra a una profundidad h es,

p = Patm + ρgh

[9]

Análisis: Si el punto 2 se encuentra en la superficie del líquido (la cual se encuentra libre a la atmósfera), p2=Patm, y si el punto 1 se encuentra en el interior del mismo a una profundidad h en donde la presión absoluta es p, se obtiene,

p = Patm + ρgh

5



La presión manométrica en un punto del líquido depende la gravedad, de la densidad y de la profundidad h,

p = ρgh

[10]

Análisis: Como la presión absoluta en un punto a una profundidad h del líquido es,

p = Patm + ρgh entonces,

p - Patm = ρgh p = ρgh 

La superficie de un líquido en reposo es horizontal. Análisis: En este caso si el punto 1 y el punto 2 pertenecen a la superficie del líquido, se tiene que p1=p2 y por lo tanto h1=h2 y ambas iguales a CERO, lo que lleva a concluir (extendiendo el análisis a más puntos de la superficie) que la superficie es horizontal.



En estado de ingravidez la presión en todos los puntos del líquido es la misma. Análisis: Para cualquier punto del líquido si g=0, se obtiene que la presión manométrica es CERO, p = 0 , y por lo tanto en todos los puntos del líquido la presión es la misma (por ejemplo, la presión será la atmosférica si el líquido tiene su superficie libre a la atmósfera).



Para vasos comunicantes, Figura 6, se cumple: o o o

La presión en la parte superior de cada columna de líquido es igual a la presión atmosférica, P atm. La presión en el fondo sólo depende de la altura de la columna del líquido y no de la forma del recipiente. Todos los puntos a una misma profundidad del líquido se encuentran a la misma presión, sin importar la forma del recipiente.

6

7

Figura 6 El barómetro Un barómetro es un instrumento que mide la presión atmosférica. La atmósfera ejerce presión sobre los cuerpos debido a su peso. El barómetro más conocido es el de mercurio de Torricelli, el cual se puede construir de la siguiente forma: se llena de mercurio un tubo delgado de vidrio cerrado en un extremo de unos 80 cm de longitud; se tapa el otro extremo y se sumerge en una cubeta que contenga también mercurio; si entonces se destapa se verá que el mercurio del tubo desciende unos centímetros dejando en la parte superior un espacio vacío (cámara barométrica o vacío de Torricelli), Figura 7.

Figura 7

La altura de la columna de mercurio en el tubo, medida desde la superficie del mercurio de la cubeta, es de 760 mm de Hg al nivel del mar y en la ciudad de Medellín es de 640 mm de Hg. Un análisis del funcionamiento del barómetro se puede hacer empleando el principio fundamental de la hidrostática en una de sus consecuencias: el punto 1 (que se puede imaginar un poco por debajo de la superficie del mercurio) y el punto 2 están a la misma presión debido que están al mismo nivel dentro del mercurio y por lo tanto,

p1 = p2 Pero, p1=patm y p2=gh siendo  la densidad del mercurio, por lo tanto,

patm = ρgh Con base en este resultado, el valor de h se convierte en una medida de la presión atmosférica, de esta forma la expresión, “… la presión atmosférica en el lugar X es igual a h cm de Hg”, significa que si se hace

el experimento con el barómetro de mercurio, la altura de la columna de mercurio desciende hasta un valor de h. Los barómetros son instrumentos fundamentales para saber el estado de la atmósfera y realizar predicciones meteorológicas. Las altas presiones se corresponden con regiones sin precipitaciones, mientras que las bajas presiones son indicadores de regiones de tormentas y borrascas. Tarea:

8

Describir el experimento de Torricelli con un barómetro de agua ¿Cuánto mediría h al nivel del mar? ¿Cuánto mediría h en la ciudad de Medellín? El manómetro En la Figura 8 se ilustra un manómetro empleado para medir

la presión manométrica

pgas de un gas

contenido en un recipiente. El recipiente está comunicado con un tubo en U dentro del cual hay un líquido de densidad . Si el tubo está abierto a la atmósfera y la diferencia de nivel del líquido es h, se puede mostrar que,

pgas = ρgh

Figura 8 Análisis: Los puntos A (se puede considerar que este punto está un poco por debajo del líquido) y B están al mismo nivel dentro del líquido, por lo tanto aplicando el principio fundamental de la hidrostática se obtiene que,

pA = pB Pero, pA=pgas y pB=gh+patm siendo  la densidad del líquido, por lo tanto,

pgas = patm +ρgh

Cumpliéndose para la presión manométrica del gas,

pgas - patm = ρgh pgas = ρgh Con base en este resultado, el valor de h se convierte en una medida de la presión manométrica del gas, de esta forma la expresión, “… la presión manométrica del gas X que se encuentra confinado en el recipiente es igual a h cm del líquido manométrico”, significa que si se hace el experimento con un manómetro de mercurio, se expresaría la medida en cm de Hg y si se hace con un manómetro de agua, se expresaría en cm de H2O. Tarea: Si la presión manométrica de un gas es igual a 90,0 cm de Hg, ¿cuál sería su valor medida con un manómetro de agua? La paradoja hidrostática Si se ponen en comunicación varias vasijas de formas diferentes, se observa que el líquido alcanza el mismo nivel en todas ellas, Figura 9. A primera vista, debería ejercer mayor presión en su base aquel recipiente que contuviese mayor volumen de líquido.

Figura 9 La fuerza debida a la presión que ejerce un líquido en la base de un recipiente puede ser mayor o menor que el peso del líquido que contiene el recipiente, esta es en esencia la paradoja hidrostática. Como se ha demostrado, en la ecuación fundamental de la estática de líquidos, la presión solamente depende de la profundidad por debajo de la superficie del líquido y es independiente de la forma de la vasija que lo contiene. Como es igual la altura del líquido en todos los vasos, la presión en la base es la misma y el sistema de vasos comunicantes está en equilibrio. La paradoja se resuelve en el momento en el que se tienen en cuenta las componentes verticales de las fuerzas que ejerce el líquido sobre todas las paredes del recipiente originadas por la presión.

9

Análisis: Dos ejemplos sencillos servirán para aclarar la paradoja hidrostática. Ejemplo A: Observar la situación representada en la Figura 10. 10

Figura 10 Recipiente de la izquierda 

Peso del líquido

El peso del líquido contenido en el recipiente de la izquierda de forma cilíndrica es m1g=ρA1h1g 

Fuerza debida a la presión en sus bases.

La presión que ejerce el líquido en la base es P= ρh1g La fuerza debida a la presión es F=PA1= ρA1h1g En el recipiente de la izquierda, ambas cantidades coinciden. Recipiente de la derecha 

Peso del líquido

El peso del líquido contenido en el recipiente de la derecha es la suma del peso del líquido contenido en el cilindro de base A1 y altura h1 y del cilindro hueco de base anular A2 y altura h2. m2g= ρA1h1g+ ρA2h2g



Fuerza debida a la presión en sus bases.

El líquido ejerce una fuerza hacia abajo en su base A1 debida a la presión F1= ρA1h1g También ejerce una fuerza en su base anular A2 debida a la presión del líquido situado encima, 11

F2=ρA2h2g Ambas fuerzas tienen el mismo sentido, hacia abajo. La resultante es igual al peso del líquido F1+F2=m2g Ejemplo B: Observar la situación representada en la Figura 11.

Figura 11 Recipiente de la izquierda 

Peso

El peso del líquido contenido en este recipiente es m1g=ρA1h1g 

Fuerza debida a la presión en sus bases.

La presión en la base del recipiente es P= ρh1g La fuerza debida a esta presión es F=PA1= ρA1h1g

Ambas cantidades coinciden. Recipiente de la derecha 

Peso

El peso del líquido contenido en el recipiente de la derecha es la diferencia entre el peso del líquido contenido en el cilindro de base A1 y altura h1, y el peso del líquido contendido en el cilindro hueco de base anular A2 y altura h2. m2g= ρA1h1g- ρA2h2g 

Fuerza debida a la presión en sus bases.

El líquido ejerce una fuerza en la base A1 debida a la presión del líquido que está encima y es igual a F1= ρA1h1g, apuntando hacia abajo También ejerce una fuerza en su base anular A2 debida a la presión del líquido situado encima, igual a F2=ρA2h2g pero en sentido opuesto La resultante nos da el peso del líquido contenido en el recipiente. F1-F2=m2g Como se observa, la paradoja queda resuelta si se considera la fuerza que ejerce el fluido debido a la presión en la superficie anular A2, que en el primer ejemplo es hacia abajo y en el segundo es hacia arriba. Se ha comprobado en dos ejemplos sencillos que la suma de las fuerzas verticales debidas a la presión que ejerce el fluido en las paredes del recipiente iguala al peso del fluido contenido en el mismo. Tubo en U con líquidos no miscibles Dos líquidos inmiscibles de densidades 1 y 2 se vierten en un tubo en U, Figura 12.

Figura 12 Al equilibrase el sistema, con base en el principio fundamental de la hidrostática se cumple,

12

p1 = patm +ρ1gh1 p2 = patm +ρ2gh 2 p1 =p2 y por lo tanto,

ρ1 h 2 = ρ 2 h1

13

Las densidades de los dos líquidos no miscibles están en relación inversa a las alturas de sus columnas sobre la superficie de separación en el tubo en forma de U. Esto permite calcular la densidad de uno de los líquidos conocida la otra. Principio de Pascal Este principio es la base de muchas aplicaciones en ingeniería hidráulica. Este enuncia: “El incremento de la presión aplicada a una superficie de un líquido incompresible, contenido en un recipiente indeformable, se transmite con el mismo valor a cada una de las partes del mismo, es decir, se transmite con igual intensidad en todas las direcciones y sentidos”, Figura 13.

Izquierda: Imagen tomada de http://hidrostatica.galeon.com/pascal.htm Derecha: Foto tomada de http://www.cienciafacil.com/

Figura 13: Aparato para la demostración del principio de Pascal La condición de que el recipiente sea indeformable es necesaria para que los cambios en la presión no actúen deformando las paredes del mismo en lugar de transmitirse a todos los puntos del líquido. Otra forma de enunciar este principio: “Todo cambio de presión en un punto de un líquido incompresible dentro de un recipiente indeformable se transmite íntegramente a todos los puntos del líquido y a las paredes del recipiente que lo contiene”. Aplicación: La prensa hidráulica

La prensa hidráulica (también conocida como gato hidráulico) es una máquina que se basa en el principio de Pascal para transmitir una fuerza, Figura 14. En esta máquina se aplica una pequeña fuerza sobre una pequeña superficie para obtener una fuerza mayor que actuará sobre una superficie también proporcionalmente mayor. Esta máquina “gana” fuerza “a costillas” de perder desplazamiento.

14

Figura 14 Análisis: La fuerza F1 actuando sobre la superficie de A1, genera una variación en la presión igual a,

ΔP1 =

F1 A1

Según el principio de Pascal, esta variación en la presión se transmite con igual intensidad a todos los puntos del líquido e incluso a las paredes del recipiente; por lo tanto se manifiesta en el pistón de salida, P2,

ΔP1 =P2 y como,

ΔP2 =

F2 A2

se concluye que,

F1 F2 = (Fuerza proporcional al área de la superficie donde se aplica) A1 A 2 es decir ,

F2 =

A2 F1 A1

Una fuerza aplicada en el pistón de la izquierda, Figura 14, sale amplificada por el pistón de la derecha.

Principio de Arquímedes Este principio enuncia así: “Cualquier cuerpo parcial o totalmente sumergido en un fluido es empujado hacia arriba por una fuerza que es exactamente igual al peso del fluido desalojado”. A la fuerza se le conoce con el nombre de EMPUJE o FUERZA ARQUIMEDIANA. A continuación se demostrará este principio a partir de la ley de inercia. En la Figura 15 (a) se ilustra una porción de fluido que se tomará como base para realizar el análisis (por facilidad se tomó de forma cilíndrica); en la Figura 15 (b) se observa el diagrama de fuerzas de este cilindro: su peso W, las otras fuerzas son las fuerzas de presión que ejerce el resto de fluido sobre este cilindro que se eligió. Por simetría las fuerzas horizontales de anulan, obteniéndose un sistema equivalente de fuerzas verticales, Figura 15 (c); en la Figura 15 (d) se llega a un diagrama de fuerzas más simplificado: La fuerza E es la equivalente a la suma de TODAS las fuerzas de presión que ejerce el resto del fluido y que actúa sobre el cilindro de fluido escogido (es la fuerza de EMPUJE).

Figura 15 El cilindro elegido está en equilibrio, por lo tanto aplicando la ley de inercia se obtiene del equilibrio de traslación,

  Fy = 0  W - E = 0 Es decir el resultado de las fuerzas de presión (el EMPUJE) es exactamente igual al peso del fluido del cilindro elegido. Ahora, como también hay equilibrio de rotación, se debe cumplir,

τ

cg

=0

Se escogió el centro de gravedad (cg) del cilindro elegido para calcular los torques. La única forma de que se cumpla la ecuación anterior es que la fuerza de empuje E y el peso W tengan la misma línea de acción, la cual contiene, obviamente, el centro de gravedad. Es decir:

15

“La fuerza de empuje es exactamente igual al peso del fluido contenido en el cilindro escogido y su punto de aplicación es el centro de gravedad de este cilindro (denominado centro de empuje)”. Supóngase ahora que se introduce dentro del fluido un cuerpo cuya superficie límite sea exactamente, la superficie imaginaria de la porción de fluido considerada antes (es decir, el cilindro elegido atrás), Figura 16 (a). Sobre este cuerpo actúan las mismas fuerzas de presión, es decir el empuje E. Observar que se puede decir que el cuerpo desalojó una cantidad de fluido igual a su volumen; si adicionalmente se piensa en la conclusión de atrás (que ese empuje es igual al peso de esa cantidad de fluido), se puede enunciar ahora sí el principio de Arquímedes como:

Figura 16 “Cualquier cuerpo sumergido en un fluido es empujado hacia arriba por una fuerza (fuerza de empuje E) que es exactamente igual al peso del fluido desalojado” Es necesario aclarar que el peso del cuerpo actúa en el centro de gravedad de éste y el empuje actúa en el centro de empuje que corresponde al centro de gravedad del fluido desalojado. Estos dos puntos no necesariamente están en la misma línea de acción, por lo que el cuerpo podría estar rotando e incluso estar acelerado mientras está sumergido: EL CUERPO PODRÁ ESTAR O NO ESTAR EN EQUILIBRIO mientras está sumergido en el fluido. Peso aparente La fuerza resultante de la suma vectorial del peso REAL del cuerpo, Wc, y la fuerza de empuje E, se le denomina peso aparente, Wa,

Wa = Wc - E Cuando un cuerpo se sumerge en un fluido y se suelta en su interior, puede precipitarse hacia el fondo, o quedarse suspendido en el interior de éste, o ascender dependiendo de la relación entre las densidades del cuerpo c y del fluido f,



c > f el cuerpo desciende, Wa>0.



c = f el cuerpo quedará suspendido en su interior, Wa=0.

16



c < f el cuerpo asciende, Wa