Universidad Politécnica de Madrid

Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales

Metodología didáctica para enseñanza de Geometría Descriptiva basada en un Tutor-Evaluador y en un Generador de ejercicios integrados en un entorno de propósito constructivo general

Resumen de la memoria presentada para la obtención del Grado de Doctor Ingeniero Industrial Por Antonio María Carretero Díaz

Madrid, julio de 2001

Tesis doctoral de Antonio Carretero Díaz

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Según las leyes generales del aprendizaje debe irse a metodologías que fomenten la motivación, proporcionando el conocimiento inmediato de la solución así como la evaluación inmediata de lo realizado. Las posibilidades didácticas que ofrecen los sistemas informáticos y las modernas aplicaciones que pueden realizarse en lenguajes de programación estructurados constituyen un reto para cualquier entorno docente. Esta tesis esta motivada por el deseo de desarrollar una nueva metodología de enseñanza de sistema diédrico que permita su aprendizaje de forma autónoma por parte del alumno, y por tanto descargar al profesor del trabajo repetitivo y permitiéndole dedicarse a aspectos mas conceptuales. El objetivo fundamental de la línea de investigación seguida con esta tesis es el estudio de las posibilidades de sistematización de la elaboración de problemas, control de su resolución y evaluación del resultado, así como las condiciones de su implementación en un sistema informático. Esto ha dado lugar a dos líneas de trabajo complementarias que comparten la misma organización del conocimiento, la primera de ellas persigue el diseño de una herramienta informática que permita la introducción de problemas al profesor, y realice las funciones de tutorización durante la resolución de ejercicios por parte del alumno, con su posterior evaluación, mientras que la segunda se ha orientado hacia la sistematización de la generación y solución automática de problemas para que el alumno pueda por una parte estimular su capacidad de razonamiento geométrico y por otra contrastar sus conocimientos con material siempre nuevo. Si bien existen estudios y desarrollos de herramientas y métodos de enseñanza de geometría descriptiva apoyándose en ordenadores, normalmente la evaluación se realiza mediante ejercicios de test que plantean preguntas con diversas respuestas, o bien plantean ejercicios incompletos o con errores que el alumno debe completar o corregir. Esta tesis aporta un modulo tutor-evaluador que supone una innovación en su concepción, pues plantea al alumno la resolución de ejercicios completos, y no cuestiones aisladas, de sistema diédrico debiendo este resolverlos, de forma que el sistema puede controlar si los pasos que va dando son correctos o no, y asimismo si la solución alcanzada es o no correcta, además permite al profesor la introducción de ejercicios de forma muy estructurada, dejándole completa libertad para incorporar a la resolución todas las variantes que desee. En cuanto al generador de ejercicios de geometría descriptiva, supone una aportación de esta tesis, puesto que no se ha encontrado en ningún campo del conocimiento el planteamiento y la resolución de problemas académicos atendiendo a las restricciones que implica cualquier relación entre elementos, lo que permite su inmediata resolución tanto numérica como gráfica. En el campo que nos ocupa estas restricciones son métricas y topológicas. Cada disciplina posee un conjunto particular de elementos básicos, fundamentales, con unas propiedades especificas, y cuyas combinaciones determinan otros elementos y sistemas con configuraciones muy variadas, pudiendo dar lugar a numerosos tipos de problemas. El campo de conocimientos que ha estructurado es el de la representación gráfica de entidades 2D y 3D sobre un soporte plano empleando la doble proyección cilíndrica ortogonal. Una de las primeras tareas ha sido organizar ese conocimiento en niveles de acuerdo a la naturaleza y complejidad de los conceptos manejados, y cada nivel en bloques pequeños que representan conceptos y conocimientos muy reducidos. De este modo los problemas se dividen en objetivos parciales, y éstos a su vez en subobjetivos que son los que se introducen y comprueban paso a paso en la resolución. Cada una de las fases de la introducción/resolución/generación de problemas supone la realización de una o varias construcciones geométricas. Se ha sistematizado la identificación y el análisis de los elementos que intervienen, centrándose en problemas de geometría plana y de superficies regladas desarrollables, y dentro de éstas principalmente en los poliedros regulares más sencillos (tetraedro, hexaedro y octaedro). No obstante la metodología sería extrapolable a cualquier otro tipo de entidades, así como a otros campos del conocimiento. Las relaciones entre los elementos de un problema se traducen en un conjunto de ecuaciones

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matemáticas (lineales, no lineales e inecuaciones) que deben ser satisfechas por sus variables y que debe ser resuelto. Esta tesis se ha materializado en una aplicación informática denominado DIÉDRICO, que aplica la metodología desarrollada en esta tesis, mediante la que se pueden realizar, además de las construcciones propias de los programas de dibujo por ordenador, las operaciones especificas del sistema diédrico de representación, formando todos sus módulos el entorno de propósito constructivo general al que se hace referencia en el titulo de esta tesis. El programa dispone de tres partes claramente diferenciadas: una primera que podría asimilarse a un programa de CAD convencional adaptado a la geometría descriptiva, una segunda que incorpora un programa tutor-evaluador que permita archivar, analizar y valorar el trabajo de los alumnos, y una tercera que permite la generación de problemas y su resolución automática, que proporciona la posibilidad de disponer en todo momento de ejercicios resolubles diferentes con poco esfuerzo. En definitiva se pretende que el alumno pueda disponer, mediante el programa, de un tutor personalizado y un generador de problemas disponible en cuanto lo requiera. La estructura de la aplicación DIEDRICO se muestra en el esquema, en el que aprecian dos grandes módulos y 5 bloques




BASE DE DATOS: facilita no solamente la gestión de los alumnos y su trabajo, y de los problemas introducidos por el profesor, sino también se encarga de almacenar los datos que permiten la elaboración de las funciones analíticas que representan las restricciones.




LIBRERÍA DE FUNCIONES: contiene entre otras las funciones de definición de las entidades básicas (Punto, Recta, Plano, Circunferencia, Polígono, etc) así como las funciones matemáticas en que se plasman las restricciones que se pueden imponer entre elementos.




MODULO CAD (2D/3D): almacena las funciones que permiten la realización de las operaciones propias del sistema diédrico, así como las transformaciones sobre los elementos 2D y 3D.




SOLUCIONADOR DE RESTRICCIONES: se encuentran todos los procedimientos para pasar cada una de las restricciones como parámetro a la librería matemática que posteriormente revolverá el sistema de ecuaciones para llegar a la solución final.




FUNCIONES DE VISUALIZACION: permiten la transformación de coordenadas 3D a proyección 2D, y el paso de coordenadas 2D a coordenadas de pantalla/papel

Módulo Tutor-Evaluador Una de las aportaciones de esta tesis se materializa en el desarrollo de un módulo tutor-evaluador que presenta un planteamiento innovador en cuanto a la metodología empleada para evaluar a los alumnos, y que permita al profesor la introducción de ejercicios de geometría descriptiva realizados de forma estructurada, dividiendo el objetivo global en varios objetivos parciales, estableciendo puntos de control para la verificación de lo realizado por el alumno de manera automática por el propio programa, ayuda contextual disponible por el alumno en cada fase de la resolución, y pudiendo incluir todos los procedimientos de resolución que el profesor desee, y con una evaluación en tiempo real tanto final como en cualquier fase intermedia de lo realizado. Admite la posibilidad de que se pueda seguir un procedimiento de resolución diferente a cualquiera de los previstos, llegando a una solución correcta, puesto que los algoritmos de verificación detectarán que

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la solución obtenida es correcta y por tanto el problema está, en principio, bien resuelto. No obstante, en un caso en que solamente sea correcta la solución del problema y alguno de los pasos intermedios, y dado que es posible llegar a una solución correcta por procedimientos incorrectos, será el profesor el que finalmente establezca la bondad o no del procedimiento empleado por el alumno. Para que el profesor pueda posteriormente analizar todo el proceso seguido, se almacena toda la secuencia de operaciones realizadas. El módulo tutor-evaluador se orienta principalmente a problemas de geometría plana y tridimensional en los que intervienen poliedros regulares.

Módulo generador de problemas Una de las aportaciones de esta tesis la constituye el generador de ejercicios de geometría descriptiva, que permite el planteamiento y la resolución de problemas académicos atendiendo a las restricciones que implica cualquier relación entre elementos, lo que proporciona su inmediata resolución tanto numérica como gráfica. Se han estudiado las posibilidades de sistematización de la generación de problemas académicos, y analizado las características que presenta en entornos académicos geométricos. El generador trata de conseguir la determinación exacta de un conjunto de entidades geométricas relacionadas entre si por un conjunto de relaciones geométricas a partir de datos de las propias entidades buscadas o de terceras. Permite plantear problemas imponiendo condiciones iniciales muy diversas. Está diseñado de forma paramétrica, por lo que no están definidos numéricamente, pero el conocimiento de algún dato permite obtener el de todos aquellos que dependen exclusivamente de él, lo que da una completa flexibilidad a la hora de configurar un enunciado y es capaz de reconocer e indicar si las condiciones que se van introduciendo permiten o no definir correctamente el problema, determinándola finalmente, por lo que puede indicarle al alumno si la solución a la que él ha llegado es o no adecuada. Los problemas que se abordan en este apartado se caracterizan por ser siempre resolubles. A partir de unos datos iniciales que permiten establecer las variables dato se establecen las variables incógnita, pudiendo obtener la solución que satisface todas las variables implicadas.

Validación de la metodología El desarrollo de nuevos materiales y métodos docentes no es suficiente para justificar su utilización, sino que es necesario realizar su validación para detectar tanto la fiabilidad de la aplicación, validez de la metodología, la aceptación por el usuario, así como posibles deficiencias o carencias y realizar mejoras.

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Es necesario medir la incidencia que su empleo tiene en los alumnos, empleando como criterio principal la evolución en el rendimiento académico que alcanzan y su actitud hacia el método. Se utilizó como recurso de apoyo a la enseñanza y el aprendizaje de la geometría descriptiva con una metodología tradicional, y el criterio principal que se aplicó en la evaluación de la metodología consistió en analizar la evolución de los resultados obtenidos por los alumnos en las pruebas de evaluación oficiales correspondientes.

Por último, y sin poder ser absolutamente concluyentes puesto que el grupo muestral empleado no es lo suficientemente grande, se puede indicar que el sistema propuesto en esta tesis cumple su misión como herramienta complementaria para la formación de los alumnos en el campo del conocimiento en que se ha desarrollado, al obtener mejores resultados aquellos que lo emplearon.

Conclusiones y Aportaciones La presente tesis aborda el desarrollo de una aplicación informática cuyos objetivos más ambiciosos, en los que se ha realizado un trabajo profundo, y que constituyen las aportaciones más claras son dos:

La inclusión de un módulo tutor-evaluador que permita al profesor la introducción de ejercicios de geometría descriptiva realizados de forma estructurada, estableciendo puntos de control para la verificación de lo realizado por el alumno, ayuda disponible por el alumno en cada fase de la resolución, y pudiendo incluir todos los procedimientos de resolución que el profesor desee. Con la librería de ejercicios así creada, así como con las continuas aportaciones que se pueden ir realizando de material nuevo o de mejora de los ejercicios ya existentes, se le pueden plantear esos problemas al alumno con el fin de que los resuelva de manera controlada. Ese planteamiento puede realizarse de forma aleatoria por parte del ordenador, o bien puede ser realizado de forma interactiva por el alumno, eligiendo en cada momento el problema que más le interese. En cualquiera de los casos el sistema controla si lo que está realizando el alumno es o no correcto, y puede indicarle si la solución a la que ha llegado es o no adecuada. Para que el profesor pueda posteriormente analizar todo el proceso seguido, el sistema almacena toda la secuencia de órdenes empleadas. El sistema también almacena la secuencia de órdenes que va ejecutando el alumno, y es capaz de discernir si un usuario realiza correctamente o no un ejercicio aunque emplee un procedimiento de resolución no previsto por el profesor. Este sistema tutor-evaluador es un paso hacia un futuro en el que la misión del profesor va a estar más centrada en aspectos como la motivación de los alumnos o el establecimiento del contenido de los programas, y no en la mera transmisión de conocimientos. De modo que si antes el profesor asumía el papel de actor y era principalmente un almacén y transmisor de conocimiento, en un futuro inmediato debe convertirse en el director, es decir, debe ser un guía en la formación y la construcción del conocimiento de los alumnos, y debe ser un estímulo en el autoaprendizaje del alumnado, proporcionándole los recursos necesarios para aprender a aprender por sí mismos. Por otra parte la generación interactiva de problemas de sistema diédrico y su solución automática por parte del ordenador es una aplicación de los ordenadores a la enseñanza que permanece prácticamente inédita, a pesar de que el conocimiento empleado en la elaboración y resolución de problemas en entornos académicos presenta unas características especificas que permite organizarlos en grupos temáticos, pudiendo incluso llegar a la generación exhaustiva de problemas. Se ha desarrollado un generador de problemas de geometría descriptiva orientado principalmente a geometría plana y espacial en donde se incluyan puntos, rectas y planos, y en especial a poliedros regulares. Internamente la representación de las restricciones geométricas se realiza mediante ecuaciones algebraicas que permiten definir las características y propiedades de los datos y de las incógnitas. Toda la geometría que interviene en el problema se trasforma en ecuaciones, donde las variables son las coordenadas geométricas de los puntos de los elementos. De este modo se puede generar una batería de tipos de problemas muy amplia, lo que unido a la posibilidad de modificar los datos arbitrariamente hace que el número de problemas posibles sea ilimitado. La aplicación informática en que se apoya está estructurada en módulos perfectamente integrados: el módulo tutor-evaluador y el módulo generador de problemas. En la generación de problemas de poliedros regulares tanto el enunciado como la solución se elaboran de manera paramétrica. Existe un método automático de generación de todas las soluciones de un problema. Internamente se plantean de forma paramétrica, por lo que inicialmente no están definidas numéricamente ninguna de las magnitudes que intervienen, lo que da una completa flexibilidad a la hora

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de configurar un enunciado. Al generar un problema se pueden ir imponiendo restricciones geométricas de dos tipos: métricas y topológicas. El programa permitirá al estudiante aprender de una forma guiada y con mayor independencia del profesor, pudiéndose llegar en un futuro a que la evaluación formal de los alumnos se realice con una intervención reducida por parte del profesor. Por último, y sin poder ser absolutamente concluyentes puesto que el grupo muestral empleado no es lo suficientemente grande, se puede indicar que el sistema propuesto en esta tesis cumple su misión como herramienta complementaria para la formación de los alumnos en el campo del conocimiento en que se ha desarrollado, al obtener mejores resultados aquellos que lo emplearon.

Publicaciones Como consecuencia de los trabajos realizados en la tesis se ha publicado en distintos congresos nacionales e internacionales.

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“Desarrollo de un sistema para autoaprendizaje de geometría descriptiva”. IX Congreso Internacional de Ingeniería Gráfica. Bilbao 1997. Actas del Congreso. “An Intelligent Tutoring System for Learning Descriptive Geometry” . CompuGraphics’97. Proceedings of CompuGraphics’97 “Sistema de autoevaluación para sistema diédrico” X Congreso Internacional de Ingeniería Gráfica. Málaga 1998. Actas del Congreso. “Enseñanza de Ingeniería Gráfica Asistida por Internet”. XI Congreso Internacional de Ingeniería Gráfica. 1999. Actas del Congreso. “Generador de problemas de sistema diédrico”. XII Congreso Internacional de Ingeniería Gráfica. Valladolid 2000. Actas del Congreso.