UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE JALISCO

NO. 3 VERSIÓN: 1

DIVISIÓN ELECTROMÉCANICA INDUSTRIAL

TITULO DE LA PRACTICA:

Productos Notables.

ASIGNATURA:

Matemáticas I

UNIDAD TEMATICA: NUMERO DE PARTICIPANTES RECOMENDABLE: 2 HORAS

CARRERA:

HOJA: 1

1

DURACIÓN :

1 LUGAR:

DE: 5

FECHA DE REALIZACIÓN:

AULA DE CLASE

Procesos de Producción El alumno aplicará las reglas y procedimientos para realizar las operaciones básicas (multiplicación y división).

OBJETIVO:

FECHA: MAYO 07

Mayo de 2007

ELABORO:

EDGAR I. SÁNCHEZ RANGEL y MARTHA F. PARRA SÁNCHEZ.

REVISO:

FRANCISCO CHÁVEZ. 1

2

3

REVISION: x

Descripción de la Práctica: El alumno conocerá, enunciará y resolverá productos notables. Material: Cuaderno, lápiz, borrador y bibliografía (Dr. Aurelio Baldor, Editorial Cultural Mexicana, S.A. de México. Pág. 63 – 72 y 79 – 88) Prerrequisitos: Conocimientos de aritmética y lenguaje algebraico básico. Marco Teórico: Se llaman productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin efectuar la multiplicación.

PRODUCTOS NOTABLES. 1. . (x + a ) = x + 2ax + a Cuadrado de un binomio. 2 2 2 2. . (x − a ) = x − 2ax + a Cuadrado de un binomio. 2 3. . (x + a )(x + b ) = x + (a + b )x + ab 4. . (ax + c )(bx + d ) = abx 2 + (ad + bc )x + cd 5. . (x + a )(x − a ) = x 2 − a 2 Producto de una suma y una diferencia. 3 3 2 2 3 6. (x + a ) = x + 3ax + 3a x + a Cubo de un binomio. 3 3 2 2 3 7. (x − a ) = x − 3ax + 3a x − a Cubo de un binomio. 2

2

2

Usaremos los siguientes ejemplos para ver las reglas 2) y 3) Ejemplos: A) (x + 3) = (x + 3)(x + 3) 2

B) (2 x − 5) = (2 x − 5)(2 x − 5) 2

Podemos formular un mecanismo para encontrar el producto en casos como estos. Notarás en el 2 ejemplo anterior (x + 3) que para conseguir los términos del producto debemos proceder así: ¾ ¾ ¾

Cuadra el primer término x → x 2 Toma el doble del producto del primer y segundo término x + 3 → (3 x )2 → 6 x Cuadra el segundo término 3 → 9

1

4

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¾

FECHA: MAYO 07

Respuesta: x 2 + 6 x + 9

Ahora al examinar el ejemplo B notarás que se realiza el mismo procedimiento. El cuadrado del primer Dos veces el primero Se cuadra el segundo término por el segundo. término. 2 2 20 x + 25 (2x − 5) = 4x − . . 3) El producto de dos binomios que tienen un término común es El cuadrado del primer La suma algebraica de término los segundos términos de los binomios, multiplicada por el primer término 6a 2 + 3c 6a 2 + 5c 36a 4 + 48a 2 c +a (a + 7 )(a − 6) a2

(

)(

)

El producto de los segundos términos de los binomios.

+ 15c 2 −42

4) Dentro del estudio de álgebra es esencial aprender a multiplicar mentalmente los factores de primer grado de la forma: (3 x + 2)(2 x − 1) = P A I S Producto de los Producto de los Producto de los Producto de los primeros términos extremos alejados extremos segundos interiores términos. 2 − 3 x + 4 x -2 (3x + 2)(2 x − 1) 6x Para acelerar el proceso combinamos los productos interiores y exteriores mentalmente. El método se designa método PAIS. Nótese que el producto de dos polinomios de primer grado es un polinomio de segundo grado. 5. El producto de la suma por la diferencia de dos números es igual al cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo. (Debemos cuidar que sea la diferencia la que observemos siempre, pues de esta manera, estaremos seguros del orden de los términos, es decir, minuendo y sustraendo). (a + 3)(a − 3) = a 2 − 9 24 × 16 = (20 + 4 )(20 − 4 ) = 20 2 − 4 2 = 400 − 16 = 384

6 El cubo de la suma de dos números es igual El cubo del primer Más el triple del termino cuadrado del primero por el segundo 3 3 (2a + b ) 8a + 12a 2 b 3 100 + 600 12 3 = (10 + 2)

Mas el triple del cuadrado del segundo por el primero + 6ab 2 + 128

Más el cubo del segundo.

8 El cubo de la diferencia de dos números es igual El cubo del primer Menos el triple del termino cuadrado del primero por el

Mas el triple del cuadrado del segundo por el

Menos el cubo del segundo.

+ b3 + 8 = 1728

2

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(2a − b )3 3 19 3 = (20 − 1)

segundo -- 12a 2 b −1200

8a 3 8000

primero + 6ab 2 +60

FECHA: MAYO 07

-- b 3 −1 = 6,859

II. Cocientes notables Se llaman cocientes notables a ciertos cocientes que obedecen a reglas fijas que pueden ser escritos por simple inspección. Cociente de la diferencia de cuadrados de dos cantidades entre la suma o la diferencia de las cantidades

a2 − b2 = a −b a+b

a2 − b2 = a+b a −b

Ejemplos: 1.

9x 2 − y 2 = 3x − y 3x + y

2.

1 − (a + n) 2 = 1+ a + n 1 − ( a + n)

Cociente de la suma o diferencia de los cubos de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades

a3 − b3 = a 2 + ab + b 2 a −b

a3 + b3 = a 2 − ab + b 2 a+b Ejemplos: 1.

2.

8x 3 − y 3 = (2 x) 2 − 2 x( y ) + y 2 = 4 x 2 − 2 xy + y 2 2x + y 8 x 12 − 729 y 6 2x − 9 y 4

2

= 4 x 8 + 18 x 4 y 2 + 81 y 4

Desarrolla los siguientes productos: 1. ( 10 x 3 − 9 xy 5 ) 2

R. 100 x 6 − 180 x 4 y 5 + 81x 2 y 10

2. ( x a +1 − 3x a − 2 ) 2

R. x 2 n + 2 − 6 x 2 a −1 + 9 x 2 a − 4

3. (6 x 2 − m 2 x)(6 x 2 + m 2 x)

R. 36 x 4 − m 4 x 2

4. (a x +1 − 2b x +1 )(a x +1 + 2b x +1 )

R. a 2 x + 2 − 4b 2 x − 2

5. (4n + 3) 3

R. 64n 3 + 144n 2 + 108n + 27

3

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6. (2 x + 3 y ) 3

R. 8 x 3 + 36 x 2 y + 54 xy 2 + 27 y 3

7. (a 2 b 2 − 1)(a 2 b 2 + 7)

R. a 4 b 4 + 6a 2 b 2 − 7

8 (a x +1 − 6)(a x +1 − 5)

R. a 2 x + 2 − 11a x +1 + 30

9.

10

11

12

36m 2 − 49n 2 x 4 6m − 7 nx

2

1 − 9 x 2m+ 4 1 + 3x

m+ 2

x 6 − 27 y 3 x − 3y 2

64a 3 + b 9 4a + b

3

FECHA: MAYO 07

R. 6m + 7 nx 2

R. 1 − 3 x m + 2

R. x 4 + 3 x 2 y + 9 y 2

R. 16a 2 − 4ab 3 + b 6

Escribir, por simple inspección, el resultado de: 6 6 13 (a + 7 )(a − 9)

14 (x + 2)(x + 3)

15 (n + 3)(n + 5)

16 (m − 3)(m + 3)

17 (3ab + 3)(3 − ab )

2 18 (1 − 4ax )

19

x 2 −1 x +1

21

4 x 2 − 9m 2 n 4 2 x + 3mn 2

20

25 − 36 x 4 5 − 6x 2

22

9 − x4 3− x2

Criterio de desempeño que se evaluará: 1. Orden y limpieza. Sin tachones, borrones, rayones o manchas de comida u otra sustancia. Seriación del procedimiento de solución.

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FECHA: MAYO 07

2. Secuencia lógica del procedimiento para la solución del problema. 3. Resultado correcto. 4. Se escogerán al azar algunos alumnos para que pasen al pintarrón y expliquen cómo solucionaron los problemas. Bibliografía: Baldor, Aurelio. Álgebra. Publicaciones Cultural, México, 1995, 97-111 pp.

CUESTIONARIO:

1. ¿Qué es un producto notable? 2. ¿Qué es un término común en una expresión algebraica? 3. ¿Qué es un binomio conjugado? 4. ¿Cómo se eleva un binomio a una potencia?

CRITERIO DE DESEMPEÑO QUE SE EVALUARÁ:

¾ Orden y limpieza. Sin tachones, borrones, rayones o manchas de comida u otra sustancia. Seriación del procedimiento de solución. ¾ Secuencia lógica del procedimiento para la solución del problema. ¾ Resultado correcto. ¾ Se escogerá al azar a algunos alumnos para que pasen al pintarrón y expliquen como solucionaron los problemas.

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