UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE JALISCO

NO. 10 VERSIÓN: 1 FECHA:

DIVISIÓN ELECTRÓNICA Y AUTOMATIZACIÓN TITULO DE LA PRACTICA:

Transformada inversa de Laplace

ASIGNATURA:

Matemáticas III

UNIDAD TEMATICA:

Transformada de Laplace Inversa

NUMERO DE PARTICIPANTES RECOMENDABLE: DURACION :

AGOSTO 06

1 Integrantes

2 Horas

LUGAR:

HOJA: 1

DE: 6

FECHA DE REALIZACIÓN:

22 de Agosto 2006

ELABORO:

Aula de clase

María del Rosario Prado Salazar

REVISO:

CARRERA:

Electrónica y Automatización

OBJETIVO:

El alumno conocerá y dominará las definiciones y propiedades de la transformada inversa de Laplace para la solución de integrales

1

2

3

4

REVISION:

MARCO TEÓRICO:

Definición de una transformada inversa Suponga que la función F(t) se determina a partir de una ecuación diferencial con condiciones iniciales. El operador de Laplace L se usa para transformar el problema original en uno nuevo donde se encontrara la transformada ƒ(s). Si la transformación es efectiva, el nuevo problema deberá ser más sencillo que el original. Primero encontramos ƒ(s) y luego obtenemos F(t) a partir de ƒ(s). Por lo tanto, será deseable desarrollar métodos para determinar la función objetivo F(t) cuando se conoce su transformada ƒ(s). Si L { F (t) } = ƒ(s).

(1)

decimos que F(t) es la transformada inversa de Laplace, o una transformada inversa, de ƒ(s) y escribimos: -1

F(t) = L { ƒ(s) }

(2)

Como (1) significa que:

∫

∞

0

e -st F (t) dt = ƒ(s),

(3)

De inmediato se deduce que una transformada inversa no es única. Por ejemplo, si F1 (t) y F2 (t) son idénticas salvo en un conjunto discreto de puntos y difieren en estos puntos, entonces el valor de la integral en (3) es el mismo para las dos funciones; sus transformadas son idénticas. Empleamos el termino función nula para cualquier función N(t) en la que: to

∫ N (t )dt = 0

(4)

0

para toda t0 positiva. El teorema de lerch (que no se demuestra aquí), establece que si L { F1 (t)} = L { F2 (t)}, entonces F1 (t) - F2 (t) = N (t). Esto es, una transformada inversa de Laplace es única salvo por la suma de una función nula cualquiera. La única función nula continua es la función cero. Si una ƒ(s) tiene una inversa continua F (t), entonces F(t) es la única inversa continua de ƒ(s). Si ƒ(s) tiene una inversa F1 (t) continua sobre un intervalo cerrado especificado, toda inversa que también sea continua en ese intervalo será identificada F1 (t) en ese intervalo. En esencia, las inversas de la misma ƒ(s) difieren cuando mucho en sus puntos de discontinuidad. En aplicaciones, la falta de unicidad provocada por la suma de una función nula no es grave, ya que esa función nula no tiene efecto sobre las propiedades físicas de la solución. En los problemas que trataremos, se requiere que la inversa F(t) sea continua para t ≥ 0, o que sea continua por secciones con valores de F(t) especificados en los puntos de discontinuidad para cada problema. Entonces F(t) es única. Un método burdo pero a veces efectivo para encontrar las transformadas inversas de Laplace, es construir una tabla de transformadas (véase la tabla al final de esta capitulo) y luego usarla en sentido contrario para determinar las inversas. Sabemos del ejercicio 1, sección 14.3, que:

L{ cos kt} =

Por lo tanto,

s s + k2 2

(5)

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-1

L

⎧ s ⎫ = cos kt. ⎨ 2 2 ⎬ ⎩s + k ⎭

AGOSTO 06

(6)

Afinaremos el método anterior y en realidad lo haremos muy poderoso, desarrollando teoremas por medio de los cuales una ƒ(s) dada puede ser descompuesta en partes componentes cuyas inversas son conocidas (encontradas en tablas). Otros teoremas nos permitirán escribir ƒ(s) en formas alternas que producen la inversa deseada. El mas fundamental de estos es el que establece que la transformación inversa es una operación lineal. Teorema 15.1 Si c1 y c2 son constantes,

L−1 {c1 f 1 ( s ) + c 2 f 2 ( s )} = c1 L−1 { f1 ( s )} + c 2 L−1 { f 2 ( s )}.

Ahora demostraremos un teorema muy sencillo pero extremadamente útil en cuanto al manejo de transformadas inversas. Con base en: ∞

f ( s ) = ∫ e − st F (t )dt ,

(7)

0

obtenemos: ∞

f ( s − a ) = ∫ e −( s − a ) f F (t )dt 0

∞

[

]

= ∫ e − st e at F (t ) dt. 0

-1

Así, de L { ƒ(s) } = F(t) se deduce que:

L−1 { f ( s − a )} = e at F (t ), o

L−1 { f ( s − a )} = e at L−1 { f ( s )}.

(8)

La ecuación (8) puede escribirse de nuevo con la exponencial transferida al otro miembro de la ecuación. Así llegamos al enunciado siguiente. Teorema 15.2

L−1 { f ( s )} = e − at L−1 { f ( s − a )}. EJEMPLO 1

Encuentre

15 ⎧ ⎫ L−1 ⎨ 2 ⎬ . Primero complete el cuadrado en el denominador, ⎩ s + 4 s + 13 ⎭ ⎫ 15 15 ⎧ ⎫ −1 ⎧ L−1 ⎨ 2 ⎬. ⎬=L ⎨ 2 ⎩ s + 4 s + 13 ⎭ ⎩ ( s + 2) + 9 ⎭

Como sabemos que

⎧ k ⎫ L−1 ⎨ 2 = senkt , 2 ⎬ ⎩s + k ⎭

procedemos como sigue:

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⎫ 3 ⎫ 3 15 ⎧ ⎫ −1 ⎧ − 2 t −1 ⎧ L−1 ⎨ 2 ⎬ = 5e L ⎨ 2 ⎬ = 5L ⎨ ⎬ 2 ⎩ s + 4 s + 13 ⎭ ⎩s + 9⎭ ⎩ ( s + 2) + 9 ⎭ = 5e −2t sen3t , en la que usamos el teorema 15.2, EJEMPLO 2

Evalué

s +1 ⎧ ⎫ L−1 ⎨ 2 ⎬ . Escribimos: ⎩ s + 6s + 25 ⎭ ⎫ ⎧ s +1 s +1 ⎧ ⎫ −1 L−1 ⎨ 2 ⎬. ⎬=L ⎨ 2 ( ) s 3 16 + + ⎩ s + 6 s + 25 ⎭ ⎭ ⎩

Entonces:

s +1 ⎧ ⎫ −3t −1 ⎧ s − 2 ⎫ L−1 ⎨ 2 ⎬=e L ⎨ 2 ⎬ ⎩ s + 6s + 25 ⎭ ⎩ s + 16 ⎭ ⎡ ⎧ s ⎫ 1 −1 ⎧ 4 ⎫⎤ = e −3t ⎢ L−1 ⎨ 2 ⎬− L ⎨ 2 ⎬⎥ ⎣ ⎩ s + 16 ⎭ 2 ⎩ s + 16 ⎭⎦ 1 ⎛ ⎞ = e −3t ⎜ cos 4t − sen4t ⎟. 2 ⎝ ⎠ Obtenga

⎫ ⎧ s2 − 6 l − 1⎨ 3 ⎬. dado que el denominador es un producto de factores lineales distintos, sabemos que existen 2 s s s 4 3 + + ⎭ ⎩

constantes A, B, C tales que:

s2 − 6 s2 − 6 A B C = + + . = 3 2 s + 4 s + 3s s (s + 1)(s + 3) s s + 1 s + 3 al multiplicar cada termino por el mínimo común denominador obtenemos la identidad:

s 2 − 6 = A(s + 1)(s + 3) + Bs(s + 3) + Cs (s + 1) de la cual necesitamos determinar A, B C. Usando los valores

s = 0: s = −1 : s = −3 :

s = 0,−1,−3,

-6 = A (1) (3) -5 = B (-1 )(2) 3 = C (-3) (-2)

(2)

de manera sucesiva en (2), obtenemos:

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De modo que A = -2,

B=

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5 1 C = . por lo tanto. 2, 2 1 5 s −6 −2 = + 2 + 2 . 3 2 s s +1 s + 3 s + 4s + 3s 2

Ya que

⎧1 ⎫ ⎧ 1 ⎫ − at L − 1⎨ ⎬ = 1yl − 1⎨ ⎬ = e , obtenemos el resultado deseado. ⎩s⎭ ⎩s + a⎭ ⎧ 5 − t 1 − 3t . s2 − 6 ⎫ L − 1⎨ 3 ⎬ = −2 + e + e 2 2 2 ⎩ s + 4 s + 3s ⎭

EJEMPLO 3

Obtenga

⎧ 5s 3 − 6 s − 3 ⎫ . Como el denominador contiene factores lineales repetidos, debemos supones que existen L−1 ⎨ 3 2 ⎬ ⎩ s ( s + 1) ⎭

fracciones parciales de la forma:

B B2 5s 3 − 6 s − 3 A1 A2 A3 = + 2 + 3 + 1 3 2 s s + 1 ( s + 1) 2 s ( s + 1) s s

Para cada factor en el denominador de la forma

.

( x − γ ) r , en general debemos suponer la existencia de r

(3)

fracciones parciales de la

forma:

A1 A2 Ar + + ... + 2 x − y ( x − y) ( x − y) r

A partir de (3) obtenemos:

5s 3 − 6 s − 3 = A1 s 2 ( s + 1) 2 + A2 s (s + 1)

2

+ A3 ( s + 1) 2 + B1 s 3 ( s + 1) + B2 s 3 ,

(4)

Que debe ser una identidad en s. Para poder obtener las cinco ecuaciones necesarias en la determinación de A1, A2, A3, B1, B2, es común utilizar dos métodos elementales. En (4) pueden usarse valores específicos de s, o igualarse los coeficientes de las mismas potencias de s en los dos miembros. Empleamos cualquier combinación de estos métodos siempre y cuando proporcione ecuaciones sencillas que se resuelvan para A1, A2, A3, B1, B2. De (4) obtenemos:

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s =0:

-3 =A3 (1),

s = -1:

-2 =B2 (-1), 4

0 =A1 + B1,

3:

5 = 2A1 + A2 + B1 + B2,

coeficiente de s : coeficiente de s

coeficiente de s:

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-6 = A2 + 2A3,

Las ecuaciones anteriores producen A1 =3, A2 =0, A3 =-3, B1 = -3, B2 = 2. Por lo tanto, encontramos que:

⎧3 3 ⎧ 5s 3 − 6 s − 3 ⎫ 3 2 ⎫ L−1 ⎨ 3 = L−1 ⎨ − 3 − + ⎬ 2 ⎬ s + 1 (s + 1)2 ⎭ ⎩s s ⎩ s (s + 1) ⎭

3 = 3 − t 2 − 3e −t + 2te −t . 2 DESCRIPCION DE LA PRACTICA: En está practica el alumno utilizara sus conocimiento para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden por el método transformada de laplace inversa

MATERIAL:

• • • • •

Tabla de Derivadas Tablas de Integrales Hojas blancas Lápiz Borrador

PRERREQUISITOS:

•

Conocimientos en calculo diferencial ™ ™ ™ ™ ™ ™ ™ ™ ™

•

Derivada de una constante Derivada de un potencia Derivada de un producto Derivada de un cociente Derivadas de funciones trigonometricas Derivadas Logarítmicas Derivadas exponenciales Derivada de cadena Derivación sucesiva

Conocimiento en calculo Integral ™ ™ ™ ™ ™ ™ ™ ™ ™

Integral de una constante Integral de un potencia Integral de un producto Integral de un cociente Integrales de funciones trigonometricas Integral Logarítmicas Integral de un exponenciales Integral por partes Integrales con fracciones parciales

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Conocimientos de algebra ™ ™ ™ ™

Productos notables Factorización Despeje de ecuaciones Solución de sistemas de ecuaciones

PROCEDIMIENTO Desarrolla las siguientes ecuaciones diferencial de primer orden por el método de transformada inversa

1.

1 . s + 2s + 10

4.

s . s + 6 s + 13

2.

1 . s − 4s + 8

5.

1 . s + 4s + 4

3.

3s . s + 4s + 13

6.

s s + 4s + 4

7.

2s − 3 s − 4s + 8

9.

2s + 3 ( s + 4) 3

2

2

2

2

2

2

2

CUESTIONARIO

CRITERIO DE DESEMPEÑO QUE SE EVALUARA

1. 2. 3. 4.

Problemas Resueltos Tabla de Derivadas Tablas de Integrales Procedimiento