UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO 2013-2014 SEPTIEMBRE

FÍSICA Instrucciones: a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Debe desarrollar las cuestiones y problemas de una de las dos opciones. c) Puede utilizar calculadora no programable, ni gráfica ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. d) Cada cuestión o problema se calificará entre 0 y 2,5 puntos (1,25 puntos cada uno de sus apartados).

OPCIÓN A 1.

a) Escriba la ley de Lorentz y explique las características de la fuerza magnética sobre una carga en movimiento. b) Razone si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: “La energía cinética de una partícula cargada que se mueve en un campo eléctrico no puede ser constante, pero si se moviera en un campo magnético sí podría permanecer constante”. Solución. r r La fuerza F a la que se ve sometida una carga q que se desplaza con una velocidad v en el seno a. r de un campo magnético B viene dada por la expresión: r r r F = q⋅ v×B Donde × representa el producto vectorial r La dirección y sentido de F vienen dados por la regla del producto vectorial, siendo r r r r perpendicular al plano que contiene a v y a B y el sentido será el de giro de v sobre B si la carga es positiva o el contrario si la carga es negativa.

(

)

La fuerza sobre la carga será máxima cuando la velocidad y el campo sean perpendiculares entre si y nula, cuando sean paralelos b. Verdadero. En un campo eléctrico, la fuerza es tangencial al desplazamiento y por tanto realiza trabajo sobre la carga modificando su energía potencial y cinética (campo conservativo) W = − ∆E p   : W = ∆E c ∆E p + ∆E c = 0 En un campo magnético, la fuerza ejercida por el campo sobre la partícula cargada en movimiento es siempre perpendicular a su velocidad, y por tanto a su trayectoria, por lo que el trabajo realizado por esta fuerza es siempre nulo. r r r r r r dW = F o d r = F o vdt = 0 porque F ⊥ v Si W = 0 ⇒ ∆E c = 0 ⇒ E c = constante

2.

a) Hipótesis de De Broglie.

b) Un protón y un electrón tienen igual energía cinética. Razone cuál de los dos tiene mayor longitud de onda. Solución. a. Toda partícula en movimiento lleva asociada una onda, cuya longitud de onda viene dada por la ecuación: h h λ= = mv p Donde h es la constante de PlanK y el producto mv es el momento lineal (p) de la partícula en movimiento.

1

b. La longitud de onda de una partícula en movimiento se puede expresar en función de su masa y de su energía cinética. 1 E c = mv 2 2 Multiplicando los dos miembros por 2m

2mE c = m 2 v 2 → mv = 2mE c Sustituyendo en la expresión de De Broglie: h h λ= = mv 2nmE c Aplicando esta expresión al protón y electrón: h λp+ = 2m p + E c

h

λe− =

2m e − E c

Comparando las longitudes de onda de ambas partículas y teniendo en cuenta que ambas tienen igual energía cinética. h

λp+ λe−

=

2m p + E c h

2m e − E c

=

=

2m p + E c

2m e − E c 2m p + E c

=

me − mp+

{

}

= me − < mp + < 1 ⇒ λ p + < λ e−

2m e − E c El electrón tendrá mayor longitud de onda.

3. Durante la misión del Apolo 11 que viajó a la Luna en julio de 1969, el astronauta Michael Collins permaneció en el módulo de comando, orbitando en torno a la Luna a una altura de 112 km de su superficie y recorriendo cada órbita en 2 horas. a) Determine razonadamente la masa de la Luna. b) Mientras Collins orbitaba en torno a la Luna, Neil Armstrong descendió a su superficie. Sabiendo que la masa del traje espacial que vestía era de 91 kg, calcule razonadamente el peso del traje en la Luna (PLuna) y en la Tierra (PTierra). G = 6,67 ·10‒11 N m2 kg‒2 ; RLuna = 1740 km ; gTierra = 9,8 m s‒2 Solución. a. El modulo de comando orbitó en torno a la luna con un movimiento circular uniforme, por tanto, la suma de todas la fuerzas que actuaban sobre el debía ser igual a fuerza centrípeta que le hacia girar. F = Fc

∑

La única fuerza que actuaba sobre el modulo era la fuerza gravitatoria.

G

M Luma ⋅ m v2 =m 2 R R

v2 = G

M Luma R

Teniendo en cuenta v = ω ⋅ R 2π

ω2 ⋅ R 2 = G

M Luma =

4π 2 ⋅ R 3 G ⋅ T2

2

M Luma ω = T  2π  M →  ⋅ R 2 = G Luma R T R  

=

(

4π 2 ⋅ 1740 × 103 + 112 × 103 6,67 × 10−11 ⋅ (2 ⋅ 3600)2

)

3

= 7,25 × 1022 kg

b. Para calcular el peso del traje en la luna es necesario calcular la intensidad de campo gravitatorio en la superficie de la luna (gLuna). Teniendo en cuenta que el peso en la luna es la fuerza con la que la Luna atrae a los cuerpos:

PLuna = FG

m ⋅ gL = G

M Luna ⋅ m R 2Luna

gL = G ⋅

M Luna 7,25 × 10 22 = 6,67 × 10 −11 ⋅ = 1,6 N kg −1 2 2 3 R Luna 1740 × 10

PLuna = m ⋅ g Luna = 91 kg ⋅ 1,6 N kg

(

−1

= 145 N

En la superficie de la tierra sería: P = m ⋅ g = 91 kg ⋅ 9,8 N kg -1 = 891,8 N

2

)

4. La ecuación de una onda que se propaga en una cuerda es: π  y(x, t ) = 0,04 sen  6t − 2x +  S.I. 6  a) Explique las características de la onda y determine su amplitud, longitud de onda, período y frecuencia. b) Calcule la velocidad de propagación de la onda y la velocidad de un punto de la cuerda situado en x = 3 m en el instante t = 1 s. Solución. a. Onda armónica transversal: • Amplitud es 0,04 m. • Velocidad angular o frecuencia angular 6 rad/s. • Se desplaza en el sentido positivo del eje x, siendo su número de onda k = 2 rad/m 2π 2 π rad • Longitud de onda λ = = =πm k 2 rad m −1 2π 2π rad = = 1,05 s • Periodo T = ω 6 rad ⋅ s −1 1 1 • Frecuencia f = = = 0,95 Hz T 1,05 π • Desfase inicial rad 6 b.

λ ω 6 = = = 3 m s −1 T k 2 Velocidad de vibración: dy d  π  π π    v(x, t ) = =  0,04 sen  6t − 2x +   = 0,04 cos  6t − 2 x +  ⋅ 6 = 0,24 cos  6t − 2x +  dt dt  6  6 6    Velocidad de propagación v p =

π π  v(3,1) = 0,24 cos  6 ⋅1 − 2 ⋅ 3 +  = 0,24 cos = 0,2 m s −1 6 6 

3

OPCIÓN B 1. a) Explique las características de la interacción gravitatoria entre dos masas puntuales. b) Dos partículas puntuales de masa m están separadas una distancia r. Al cabo de un cierto tiempo la masa de la primera se ha reducido a la mitad y la de la segunda a la octava parte. Para que la fuerza de atracción entre ellas tenga igual valor que el inicial, ¿es necesario acercarlas o alejarlas? Razone la respuesta. Solución. a. La interacción gravitatoria, o fuerza con la que se atraen dos partículas cualesquiera, es una interacción a distancia de carácter universal, es proporcional a las masas de las partículas que se atraen y disminuye con el cuadrado de la distancia que las separa. Teóricamente, su alcance es ilimitado. Se puede sentir en como los cuerpos son atraídos por la tierra, pero es imperceptible entre cuerpos de poca masa. Esta interacción, es la responsable de la existencia de planetas, estrellas y, en general, de la estructura del Universo. La ley que rige la interacción gravitatoria, se denomina Ley de la Gravitación Universal, y se formulo para explicar el movimiento de los planetas en el Sistema Solar, no para explicar la atracción entre los cuerpos, se enuncia de la siguiente forma: “Dos cuerpos cualesquiera del Universo se atraen mutuamente con una fuerza que es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, r, que existe entre sus centros.” Mm F=G 2 r Donde G es una constante de proporcionalidad denominada constante Universal de gravedad de valor 6,67 × 10 −11 N m 2 kg −2 , que es independiente del tipo de masa y del medio donde se encuentren, por tanto es una constante universal Como toda fuerza tiene carácter vectorial, siendo su dirección la línea que une los centros de los cuerpos y sentido el de atracción. b. Como la fuerza es directamente proporcional al producto de las masas, al disminuir las masas, disminuirá la fuerza de atracción entre ellas, y como es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa, para compensar esa disminución de masa y mantener constante la fuerza, se deberán aproximar entre ellas. Mm  F1 = G 2  M m r1  Mm r2 r F1 = F2 M m  → G 2 = G 2 2 8 → r22 = 1 → r2 = 1 2⋅8 r1 r2 16  F2 = G 2 2 8  r2 

r1 4 Para mantener la misma fuerza entre las masa, su distancia deberá disminuir a la cuarta parte. r2 =

2. a) Escriba la ecuación de una onda estacionaria y comente sus características. b) Explique las diferencias entre una onda estacionaria y una onda viajera. Solución. a. Una onda estacionaria es el resultado de la interferencia de dos ondas idénticas que se propagan en la misma dirección pero en sentido contrario. y1 (x , t ) = A sen (ω t − k x + φ o )

y 2 (x, t ) = A sen (ω t + k x + φ o )  ω t − k x + φo + ω t + k x + φo   ω t − k x + φ o − (ω t + k x + φ o )  y1 (x , t ) + y 2 (x , t ) = 2A sen  ⋅ cos   2 2    

4

Operando y simplificando

y(x , t ) = 2A sen (ω t + φ o ) ⋅ cos (− k x ) Donde 2A cos (− k x ) es la amplitud resultante (Ar).

y(x, t ) = A r sen (ω t + φ o ) Resultando la ecuación de un movimiento armónico simple. Todos los puntos de una onda estacionaria están dotados de movimiento armónico sin que el perfil de la onda se desplace. La amplitud de la onda estacionaria, depende exclusivamente de la localización de las partículas. Los puntos de máxima amplitud reciben el nombre de vientres y los de amplitud nula se llaman nodos. b. Se define como onda a las perturbaciones producidas en un medio natural que se propagan a través de él. Si la perturbación alcanza al cabo de cierto tiempo a todos los puntos del medio, la perturbación recibe el nombre de onda viajera, en cambio, es estacionaria cuando la propagación está delimitada, mediante fronteras, a una región específica del medio

3. Un buceador enciende una linterna debajo del agua y dirige el haz luminoso hacia arriba formando un ángulo de 30º con la vertical. Explique con ayuda de un esquema la marcha de los rayos de luz y determine: a) el ángulo con que emergerá la luz del agua; b) el ángulo de incidencia a partir del cual la luz no saldrá del agua. naire = 1 ; nagua = 1,33 Solución. a. Aplicando la ley de Snell: ) ) n1 sen i = n 2 sen r ) 1,33 ⋅ sen 30º = 1 ⋅ sen r ) sen r = 0,665

b.

⇒

) r = 41,68º

Cálculo del ángulo límite:

) ) n1 sen i = n 2 sen r ) 1,33 ⋅ sen i = 1 ⋅ sen 90º

) 1 sen l = = 0,75 1,33

5

⇒

) l = 48,75º

4. Una partícula de 20 g y cargada con ‒ 2 ×10‒6 C, se deja caer desde una altura de 50 cm. Además del campo gravitatorio, existe un campo eléctrico de 2 ×104 V m‒1 en dirección vertical y sentido hacia abajo. a) Dibuje un esquema de las fuerzas que actúan sobre la partícula y determine la aceleración con la que cae. ¿Con qué velocidad llegará al suelo? b) Razone si se conserva la energía mecánica de la partícula durante su movimiento. Determine el trabajo que realiza cada fuerza a la que está sometida la partícula. Solución. r r r r r r r a. R = m⋅a = Fi = FE + FG = q ⋅ E + m ⋅ g r r r 20 × 10 −3 ⋅ a = −2 × 10 −6 ⋅ − 2 × 10 4 j + 20 × 10 −3 ⋅ − 9,8 j r r r r 2 × 10 −6 ⋅ 2 × 10 4 j − 20 × 10 −3 ⋅ 9,8 j a= = −7,8 j m s − 2 −3 20 × 10 Para calcular la velocidad, se tiene en cuenta que la partícula realiza un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. El módulo de la velocidad en función de la aceleración y del espacio recorrido puede calcularse mediante la expresión: v = s o = 0 −2 −1 v 2 − v o2 = 2a ⋅ (s − s o ) :  o  : v = 2a ⋅ h = 2 ⋅ 7,8 ⋅ 50 × 10 = 2,8 m s  s=h  r r v = −2,8 j m s −1

∑

(

)

(

)

b. El campo eléctrico es conservativo ya que el trabajo realizado para trasladar una carga entre dos puntos solo depende de las posiciones iniciales y finales y no del camino por el que se realiza la circulación. r r E ⋅ dr = 0

∫S

• •

El trabajo realizado por cada una de las fuerzas que actúan sobre la partícula es: r r r r WE = FE o l = FE ⋅ l ⋅ cos α = 2 × 10−6 ⋅ 2 × 104 ⋅ 50 × 10−2 ⋅ cos 180º = −0,02 J r r r r WG = FG o l = FG ⋅ l ⋅ cos α = 20 × 10−3 ⋅ 9,8 ⋅ 50 × 10−2 ⋅ cos 0º = 0,098 J El trabajo total realizado sobre la partícula es la suma de los trabajos sobre ella. W = WE + WG = −0,02 + 0,098 = 0,078 J

Por se conservativo, el trabajo realizado deberá ser igual a la variación de energía cinética que experimenta la partícula. W = − ∆E p   : W = ∆E c ∆E p + ∆E c = 0 

1 mv 2 = W 2

v=

2W = m

2 ⋅ 0,078 = 2,8 m s −1 −3 20 × 10

Se corrobora la conservación de energía mecánica.

6