Circuitos de corriente alterna en régimen permanente 1- Resistencia eléctrica Se denomina resistencia eléctrica, R, de una sustancia, a la oposición que encuentra la corriente eléctrica durante su recorrido. Su valor viene dado en ohmios, se designa con la letra griega omega mayúscula (Ω), y se mide con el Óhmetro. También se define como la propiedad de un objeto o sustancia de transformar energía eléctrica en otro tipo de energía de forma irreversible, generalmente calor. Esta definición es válida para la corriente continua y para la corriente alterna cuando se trate de elementos resistivos puros, esto es, sin componente inductiva ni capacitiva. De Figura 1. Grupo resistores existir estos componentes reactivos, la oposición presentada sobre papel milimetrado a la circulación de corriente recibe el nombre de impedancia. Según sea la magnitud de esta oposición, las sustancias se clasifican en conductoras, aislantes y semiconductoras. Existen además ciertos materiales en los que, en determinadas condiciones de temperatura, aparece un fenómeno denominado superconductividad, en el que el valor de la resistencia es prácticamente nula.

Comportamientos ideal y real Una resistencia ideal es un elemento pasivo que disipa energía en forma de calor según la Ley de Joule. También establece una relación de proporcionalidad entre la intensidad de corriente que la atraviesa y la tensión medible entre sus extremos, relación conocida como Ley de Ohm:

donde i(t) la Corriente eléctrica que atraviesa la resistencia de valor R y u(t) es la diferencia de potencial que se origina. En general, una resistencia real podrá tener diferente comportamiento en función del Figura 2. Circuito con resistencia. tipo de corriente que circule por ella.

Comportamiento en corriente continua Una resistencia real en corriente continua (CC) se comporta prácticamente de la misma forma que si fuera ideal, esto es, transformando la energía eléctrica en calor. Su ecuación pasa a ser:

R

V  tg I

que es la conocida ley de Ohm para CC.

1

Comportamiento en corriente alterna Como se ha comentado, una resistencia real muestra un comportamiento diferente del que se observaría en una resistencia ideal si la intensidad que la atraviesa no es continua. En el caso de que la señal aplicada sea senoidal, corriente alterna (CA), a bajas frecuencias se observa que una resistencia real se comportará de forma muy similar a como lo haría en CC, siendo despreciables las diferencias. En altas frecuencias el comportamiento es diferente, aumentando en la medida en la que aumenta la frecuencia aplicada, lo que se explica fundamentalmente por los efectos inductivos que producen los materiales que conforman la resistencia real. Por Figura 3. Diagrama fasorial. ejemplo, en una resistencia de carbón los efectos inductivos sólo provienen de los propios terminales de conexión del dispositivo mientras que en una resistencia de tipo bobinado estos efectos se incrementan por el devanado de hilo resistivo alrededor del soporte cerámico, además de aparecer una cierta componente capacitiva si la frecuencia es especialmente elevada. En estos casos, para analizar los circuitos, la resistencia real se sustituye por una asociación serie formada por una resistencia ideal y por una bobina también ideal, aunque a veces también se les puede añadir un pequeño condensador ideal en paralelo con dicha asociación serie. En los conductores, además, aparecen otros efectos entre los que cabe destacar el efecto pelicular. Consideremos una resistencia R, como la de la figura 2, a la que se aplica una tensión alterna de valor:

u(t )  Vm .sin(.t   ) De acuerdo con la ley de Ohm circulará una corriente alterna de valor:

i(t ) 

u (t )  I m . sin( .t   ) R

donde

Im 

Vm R

Se obtiene así, para la corriente, una función senoidal que está en fase con la tensión aplicada (figura 3). Si se representa el valor eficaz de la corriente obtenida en forma polar: 

I  I . e j

Y operando matemáticamente:

2

V .e j I R.e j 0



De donde se deduce que en los circuitos de CA la resistencia puede considerarse como una magnitud compleja sin parte imaginaria o, lo que es lo mismo con argumento nulo, cuya representación binómica y polar serán: 

R  R  j 0  R.e j 0 Asociación de resistencias Las formas más comunes de conectar resistencias entre sí son las asociaciones serie, paralelo y mixta. A estas formas hay que añadir las asociaciones en estrella y en triángulo y la asociación puente. Seguidamente se comentan las características de cada una de ellas comenzando con el concepto de resistencia equivalente.

Resistencia equivalente Se denomina resistencia equivalente, RAB, de una asociación respecto de dos puntos A y B, a aquella que conectada la misma diferencia de potencial, U AB, demanda la misma intensidad, I (ver figura 4). Esto significa que ante las mismas condiciones, la asociación y su resistencia equivalente disipan la misma potencia.

Figura 4. Asociaciones generales de resistencias: a) Serie y b) Paralelo. c) Resistencia equivalente

Asociación serie Dos o más resistencias se encuentran conectadas en serie cuando al aplicar al conjunto una diferencia de potencial, todas ellas son recorridas por la misma corriente. Para determinar la resistencia equivalente de una asociación serie imaginaremos que ambas, figuras 4a) y 4c), están conectadas a la misma diferencia de potencial, U AB. Si aplicamos la segunda ley de Kirchhoff a la asociación en serie tendremos:

Aplicando la ley de Ohm:

3

En la resistencia equivalente:

Finalmente, igualando ambas ecuaciones:

Y eliminando la intensidad:

Por lo tanto la resistencia equivalente a n resistencias montadas en serie es igual a la suma de dichas resistencias.

Asociación paralelo Dos o más resistencias se encuentran en paralelo cuando tienen dos terminales comunes de modo que al aplicar al conjunto una diferencia de potencial, UAB, todas la resistencias tienen la misma caída de tensión, UAB. Para determinar la resistencia equivalente de una asociación en paralelo imaginaremos que ambas, figuras 4b) y 4c), están conectadas a la misma diferencia de potencial mencionada, U AB, lo que originará una misma demanda de intensidad, I. Esta intensidad se repartirá en la asociación por cada una de sus resistencias de acuerdo con la primera ley de Kirchhoff:

Aplicando la Ley de Ohm:

En la resistencia equivalente se cumple:

Igualando ambas ecuaciones y eliminando la tensión UAB:

De donde: Por lo que la resistencia equivalente de una asociación en paralelo es igual a la inversa de la suma de las inversas de cada una de las resistencias. Existen dos casos particulares que suelen darse en una asociación en paralelo: 4

1. Dos resistencias: En este caso se puede comprobar que la resistencia equivalente es igual al producto dividido por la suma de sus valores, esto es:

2. k resistencias iguales: Su equivalente resulta ser:

Asociación mixta En una asociación mixta podemos encontrarnos conjuntos de resistencias en serie con conjuntos de resistencias en paralelo. En la figura 5 pueden observarse tres ejemplos de asociaciones mixtas con cuatro resistencias. A veces una asociación mixta es necesaria ponerla en modo texto. Para ello se utilizan los símbolos "+" y "//" para designar las asociaciones serie y paralelo respectivamente. Así con (R1 + R2) se indica que R1 y R2 están en serie mientras que con (R1//R2) que están en paralelo. De acuerdo con ello, las asociaciones de la figura 5 se pondrían del siguiente modo: a) (R1//R2)+(R3//R4) b) (R1+R3)//(R2+R4) c) ((R1+R2)//R3)+R4 Para determinar la resistencia equivalente de una asociación mixta se van simplificando las resistencias que están en serie y las que están en paralelo de modo que el conjunto vaya resultando cada vez más sencillo, hasta terminar con un conjunto en serie o en paralelo.

Figura 5. Asociaciones mixtas de cuatro resistencias: a) Serie de paralelos, b) Paralelo de series y c) Ejemplo de una de las otras posibles conexiones.

Como ejemplo se determinarán la resistencias equivalentes de cada una de las asociaciones de la figura 5: a)

b) R1//R2 = R1//2 R3//R4 = R3//4 RAB = R1//2 + R3//4

R1+R3 = R1+3 R2+R4 = R2+4 RAB = (R1+3 · R2+4)/(R1+3 + R2+4)

c) R1+R2 = R1+2 R1+2//R3 = R1+2//3 RAB = R1+2//3 + R4

Asociaciones estrella y triángulo

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En la figura 6a) y b) pueden observarse respectivamente las asociaciones estrella y triángulo, también llamadas T y π respectivamente. Este tipo de asociaciones son comunes en las cargas trifásicas. Las ecuaciones de equivalencia entre ambas asociaciones vienen dadas por el teorema de Kenelly, de donde se deduce que los valores de la estrella en función de los del triángulo (transformación triángulo a estrella) son:

Figura 6. Asociaciones: a) En estrella y b) En triángulo.

Y los del triángulo en función de la estrella (transformación estrella a triángulo):

Asociación puente Si en una asociación paralelo de series como la mostrada en la figura 5b se conecta una resistencia que una las dos ramas en paralelo, se obtiene una asociación puente como la mostrada en la figura 7. La determinación de la resistencia equivalente de este tipo de asociación tiene sólo interés pedagógico. Para ello se sustituye una de las configuraciones en triangulo de la asociación, la R1-R2-R5 o la R3-R4-R5 por su equivalente en estrella, transformándose el conjunto en una asociación mixta de cálculo sencillo. Otro método consiste en aplicar una fem (E) a la asociación y obtener su resistencia equivalente como relación de dicha fem y la corriente total demandada (E/I). El interés de este tipo de asociación está cuando por la resistencia central no circula corriente, pues permite calcular los valores de una de las resistencias (R1, R2, R3 o R4) en función de las otras tres. En ello se basan los puentes de Wheatstone y de hilo para la medida de resistencias con precisión. También se define como la propiedad de un objeto o sustancia.

Figura 7. Asociación puente.

Resistencia de un conductor El conductor es el encargado de unir eléctricamente cada uno de los componentes de un circuito. Dado que tiene resistencia óhmica, puede ser considerado como otro componente más con características similares a las de la resistencia eléctrica. De este modo, la resistencia de un conductor eléctrico es la medida de la oposición que presenta al movimiento de los electrones en su seno, o sea la oposición que presenta al paso de la corriente eléctrica. 6

Generalmente su valor es muy pequeño y por ello se suele despreciar, esto es, se considera que su resistencia es nula (conductor ideal), pero habrá casos particulares en los que se deberá tener en cuenta su resistencia (conductor real). La resistencia de un conductor depende de la longitud del mismo ( ), de su sección ( ), del tipo de material y de la temperatura. Si consideramos la temperatura constante (20 ºC), la resistencia viene dada por la siguiente expresión:

en la que es la resistividad (una característica propia de cada material).

Influencia de la temperatura La variación de la temperatura produce una variación en la resistencia. En la mayoría de los metales aumenta su resistencia al aumentar la temperatura, por el contrario, en otros elementos, como el carbono o el germanio la resistencia disminuye. Como ya se comentó, en algunos materiales la resistencia llega a desaparecer cuando la temperatura baja lo suficiente. En este caso se habla de superconductores. Experimentalmente se comprueba que para temperaturas no muy elevadas, la resistencia a un determinado valor de t ( ), viene dada por la expresión:

donde   

= Resistencia de referencia a 20°C. = Coeficiente Olveriano de temperatura. = Diferencia de temperatura respecto a los 20°C (t-20).

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2- Capacitor (o condensador) En electricidad y electrónica, un condensador o capacitor es un dispositivo formado por dos conductores o armaduras, generalmente en forma de placas o láminas, separados por un material dieléctrico (siendo este utilizado en un condensador para disminuir el campo eléctrico, ya que actúa como aislante) o por el vacío, que, sometidos a una diferencia de potencial (d.d.p.) adquieren una determinada carga eléctrica. Fig. 1: Diversos tipos de condensadores. A esta propiedad de almacenamiento de carga se le denomina capacidad o capacitancia. En el Sistema internacional de unidades se mide en Faradios (F), siendo 1 faradio la capacidad de un condensador en el que, sometidas sus armaduras a una d.d.p. de 1 voltio, éstas adquieren una carga eléctrica de 1 culombio. La capacidad de 1 faradio es mucho más grande que la de la mayoría de los condensadores, por lo que en la práctica se suele indicar la capacidad en micro- µF = 10-6, nano- F = 10-9 o pico- F = 10-12 faradios. Los condensadores obtenidos a partir de supercondensadores (EDLC) son la excepción. Están hechos de carbón activado para conseguir una gran área relativa y tienen una separación molecular entre las "placas". Así se consiguen capacidades del orden de cientos o miles de faradios. Uno de estos condensadores se incorpora en el reloj Kinetic de Seiko, con una capacidad de 1/3 de Faradio, haciendo innecesaria la pila. También se está utilizando en los prototipos de automóviles eléctricos. El valor de la capacidad viene definido por la fórmula siguiente:

donde:

C: Capacidad Q: Carga eléctrica V: Diferencia de potencial

En cuanto al aspecto constructivo, tanto la forma de las placas o armaduras como la naturaleza del material dieléctrico es sumamente variable. Existen condensadores formados por placas, usualmente de aluminio, separadas por aire, materiales cerámicos, mica, poliéster, papel o por una capa de óxido de aluminio obtenido por medio de la electrolisis.

Energía almacenada El condensador almacena energía eléctrica en forma de campo eléctrico cuando aumenta la diferencia de potencial en sus terminales, devolviéndola cuando ésta disminuye. Matemáticamente se puede obtener que la energía, , almacenada por un condensador con capacidad C, que es conectado a una diferencia de potencial V, viene dada por:

Este hecho es aprovechado para la fabricación de memorias, en las que se aprovecha la capacidad que aparece entre la puerta y el canal de los transistores MOS para ahorrar componentes.

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Comportamientos ideal y real

El condensador ideal (figura 2) puede definirse a partir de la siguiente ecuación diferencial:

donde C es la capacidad, u(t) es la función diferencia de potencial aplicada a sus bornes e i(t) la intensidad resultante que circula. Fig. 2: condensador.

Circuito

con

Comportamiento en corriente continua Un condensador real en CC se comporta prácticamente como uno ideal, esto es, como un circuito abierto. Esto es así en régimen permanente ya que en régimen transitorio, esto es, al conectar o desconectar un circuito con condensador, suceden fenómenos eléctricos transitorios que inciden sobre la d.d.p. en sus bornes.

Comportamiento en corriente alterna En CA, un condensador ideal ofrece una resistencia al paso de la corriente que recibe el nombre de reactancia capacitiva, XC, cuyo valor viene dado por la inversa del producto de la pulsación ( ) por la capacidad, C:

Si la pulsación se expresa en radianes por segundo (rad/s) y la capacidad en faradios (F), la reactancia resultará en ohmios. Fig. 3: Diagrama de las tensiones y corriente en un condensador. Al conectar una CA senoidal v(t) a un condensador circulará una corriente i(t), también senoidal, que lo cargará, originando en sus bornes una caída de tensión, -vc(t), cuyo valor absoluto puede demostrase que es igual al de v(t). Al decir que por el condensador "circula" una corriente, se debe puntualizar que, en realidad, dicha corriente nunca atraviesa su dieléctrico. Lo que sucede es que el condensador se carga y descarga al ritmo de la frecuencia de v(t), por lo que la corriente circula externamente entre sus armaduras.

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El fenómeno físico del comportamiento del condensador en CA se puede observar en la Figura 3. La corriente i(t) va disminuyendo desde su valor máximo positivo en t =  ; a medida que aumenta su tensión v(t), llegando a ser nula cuando alcanza el valor máximo positivo. A partir de ahí v(t) disminuye, y el condensador comienza a descargarse. Cuando el condensador está completamente descargado, i(t) alcanza su valor máximo negativo. En el otro semiciclo el razonamiento es similar al anterior. Fig. 4: Diagrama fasorial. De todo lo anterior se deduce que la corriente queda adelantada 90º respecto de la tensión aplicada. Considerando, por lo tanto, un condensador C, como el de la figura 2, al que se aplica una tensión alterna de valor:

u(t )  Vm .sin(.t   ) De acuerdo con la ley de Ohm circulará una corriente alterna, adelantada 90º (π / 2) respecto a la tensión aplicada (figura 4), de valor:

i(t )  I m .sin(.t    90) donde

Im 

Vm XC

. Si se representa el valor eficaz de la corriente obtenida en forma polar: 

I  I . e j (  90)

Y operando matemáticamente:

V j (  90) V .e j I e  XC X C .e  j 90



Por lo tanto, en los circuitos de CA, un condensador ideal se puede asimilar a una magnitud compleja sin parte real y parte imaginaria negativa: 

X C  0  jX C  X C .e  j 90

Figura 5. Circuitos equivalentes de un condensador en CA. En el condensador real, habrá que tener en cuenta la resistencia de pérdidas de su dieléctrico, RC, pudiendo ser su circuito equivalente, o modelo, el que aparece en la figura 5a) o 5b) dependiendo del tipo de condensador y de la frecuencia a la que se trabaje, aunque para análisis más precisos pueden utilizarse modelos más complejos que los anteriores.

Asociaciones de condensadores 10

Figura 4: Asociación serie general. Figura 5: Asociación paralelo general. Al igual que la resistencias, los condensadores pueden asociarse en serie (figura 4), paralelo (figura 5) o de forma mixta. En estos casos, la capacidad equivalente resulta ser para la asociación en serie:

y para la paralelo:

Para la asociación mixta se procederá de forma análoga que con las resistencias.

Aplicaciones típicas Los condensadores suelen usarse para:       

Baterías, por su cualidad de almacenar energía Memorias, por la misma cualidad Filtros Adaptación de impedancias, haciéndoles resonar a una frecuencia dada con otros componentes Demodular AM, junto con un diodo. El flash de las cámaras fotográficas. Tubos fluorescentes

Condensadores variables Un condensador variable es aquel en el cual se pueda cambiar el valor de su capacidad. En el caso de un condensador plano, la capacidad puede expresarse por la siguiente ecuación:

donde: ε0: constante dieléctrica del vacío εr: constante dieléctrica o permitividad relativa del material dieléctrico entre las placas A: el área efectiva de las placas d: distancia entre las placas o espesor del dieléctrico Para tener condensador variable hay que hacer que por lo menos una de las tres últimas expresiones cambien de valor. De este modo, se puede tener un condensador en el que una de las placas sea móvil, 11

por lo tanto varía d y la capacidad dependerá de ese desplazamiento, lo cual podría se utilizado, por ejemplo, como sensor de desplazamiento. Otro tipo de condensador variable se presenta en los diodos varicap.

Tipos de condensador

Condensadores electrolíticos 







Condensadores electrolíticos de tantalio

Condensadores de poliéster

Condensadores cerámicos, "chip" y de "disco"

Condensador de aire. Se trata de condensadores, normalmente de placas paralelas, con dieléctrico de aire y encapsulados en vidrio. Como la permitividad eléctrica es la unidad, sólo permite valores de capacidad muy pequeños. Se utilizó en radio y radar, pues carecen de pérdidas y polarización en el dieléctrico, funcionando bien a frecuencias elevadas. Condensador de mica. La mica posee varias propiedades que la hacen adecuada para dieléctrico de condensadores: bajas pérdidas, exfoliación en láminas finas, soporta altas temperaturas y no se degrada por oxidación o con la humedad. Sobre una cara de la lámina de mica se deposita aluminio, que forma una armadura. Se apilan varias de estas láminas, soldando los extremos alternativamente a cada uno de los terminales. Estos condensadores funcionan bien en altas frecuencias y soportan tensiones elevadas, pero son caros y se ven gradualmente sustituidos por otros tipos. Condensadores de papel. El dieléctrico es papel parafinado, bakelizado o sometido a algún otro tratamiento que reduce su higroscopía y aumenta el aislamiento. Se apilan dos cintas de papel, una de aluminio, otras dos de papel y otra de aluminio y se enrollan en espiral. las cintas de aluminio constituyen las dos armaduras, que se conectan a sendos terminales. Se utilizan dos cintas de papel para evitar los poros que pueden presentar. o Condensadores autoregenerables. Los condensadores de papel tienen aplicaciones en ambientes industriales. Los condensadores autoregenerables son condensadores de papel, pero la armadura se realiza depositando aluminio sobre el papel. Ante una situación de sobrecarga que supere la rigidez dieléctrica del dieléctrico, el papel se rompe en algún punto, produciéndose un cortocircuito entre las armaduras, pero este corto provoca una alta densidad de corriente por las armaduras en la zona de la rotura. Esta corriente funde la fina capa de aluminio que rodea al cortocircuito, restableciendo el aislamiento entre las armaduras. Condensador electrolítico. El dieléctrico es una disolución electrolítica que ocupa una cuba electrolítica. Con la tensión adecuada, el electrolito deposita una capa aislante muy fina sobre la cuba, que actúa como una armadura y el electrolito como la otra. Consigue capacidades muy elevadas, pero tienen una polaridad determinada, por lo que no son adecuados para funcionar con corriente alterna. La polarización inversa destruye el óxido, produciendo una corriente en el electrolito que aumenta la temperatura, pudiendo hacer arder o estallar el condensador. Existen de varios tipos: o Condensador de aluminio. Es el tipo normal. La cuba es de aluminio y el electrolito una disolución de ácido bórico. Funciona bien a bajas frecuencias, pero presenta pérdidas grandes a frecuencias medias y altas. Se emplea en fuentes de alimentación y equipos de audio. 12

o



 

 

Condensador de aluminio seco. Es una evolución del anterior, que funciona a frecuencias más altas. Muy utilizado en fuentes de alimentación conmutadas. o Condensador de tantalio (tántalos). Es otro condensador electrolítico, pero emplea tantalio en lugar de aluminio. Consigue corrientes de pérdidas bajas, mucho menores que en los condensadores de aluminio. Suelen tener mejor relación capacidad / volumen, pero arden en caso de que se polaricen inversamente. o Condensador para corriente alterna. Está formado por dos condensadores electrolíticos en serie, con sus terminales positivos interconectados. Condensador de poliéster. Está formado por láminas delgadas de poliéster sobre las que se deposita aluminio, que forma las armaduras. Se apilan estas láminas y se conectan por los extremos. Del mismo modo, también se encuentran condensadores de policarbonato y polipripoleno. Condensador styroflex. Otro tipo de condensadores de plástico, muy utilizado en radio, por responder bien en altas frecuencias y ser uno de los primeros tipos de condensador de plástico. Condensador cerámico. Utiliza cerámicas de varios tipos para formar el dieléctrico. Existen tipos formados por una sola lámina de dieléctrico, pero también los hay formados por láminas apiladas. Dependiendo del tipo, funcionan a distintas frecuencias, llegando hasta las microondas. Condensador síncrono. No es un condensador, sino un motor síncrono que se comporta como condensador. Condensador variable. Este tipo de condensador tiene una armadura móvil que gira en torno a un eje, permitiendo que se introduzca más o menos dentro de la otra. El perfil de la armadura suele ser tal que la variación de capacidad es proporcional al logaritmo del ángulo que gira el eje. o Condensador de ajuste. Son tipos especiales de condensadores variables. Las armaduras son semicirculares, pudiendo girar una de ellas en torno al centro, variando así la capacidad. Otro tipo se basa en acercar las armaduras, mediante un tornillo que las aprieta.

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3- Inductor

Un inductor o bobina es un componente pasivo de un circuito eléctrico que, debido al fenómeno de la autoinducción, almacena energía en forma de campo magnético

Figura 1: Inductores.

Construcción Un inductor está constituido usualmente por una bobina de material conductor, típicamente alambre o hilo de cobre esmaltado. Existen inductores con núcleo de aire o con núcleo de un material ferroso, para incrementar su inductancia. Los inductores pueden también estar construidos en circuitos integrados, usando el mismo proceso utilizado para realizar microprocesadores. En estos casos se usa, comúnmente, el aluminio como material conductor. Sin embargo, es raro que se construyan inductores dentro de los circuitos integrados; es mucho más práctico usar un circuito llamado "girador" que, mediante un amplificador operacional, hace que un condensador se comporte como si fuese un inductor. El inductor consta de las siguientes partes: Pieza polar: Es la parte del circuito magnético situada entre la culata y el entrehierro, incluyendo el núcleo y la expansión polar. Núcleo: Es la parte del circuito magnético rodeada por el devanado inductor. Devanado inductor: Es el conjunto de espiras destinado a producir el flujo magnético, al ser recorrido por la corriente eléctrica. Expansión polar: Es la parte de la pieza polar próxima al inducido y que bordea al entrehierro. Polo auxiliar o de conmutación: Es un polo magnético suplementario, provisto o no, de devanados y destinado a mejorar la conmutación. Suelen emplearse en las máquinas de mediana y gran potencia. Culata: Es una pieza de sustancia ferromagnética, no rodeada por devanados, y destinada a unir los polos de la máquina. También pueden fabricarse pequeños inductores, que se usan para frecuencias muy altas, con un conductor pasando a través de un cilindro de ferrite o granulado.

Energía almacenada La bobina almacena energía en forma de campo magnético cuando aumenta la intensidad de corriente, devolviéndola cuando ésta disminuye. Matemáticamente se puede demostrar que la energía, , almacenada por una bobina con inductancia L, que es recorrida por una corriente de intensidad I, viene dada por:

Fuerza electromotriz autoinducida Una variación de la intensidad de corriente dará como resultado una variación del campo magnético y, por lo mismo, un cambio en el flujo que está atravesando el circuito. De acuerdo con la 14

Ley de Faraday, un cambio del flujo, origina una fuerza electromotriz autoinducida. Esta fuerza electromotriz, de acuerdo con la Ley de Lenz, se opondrá a la causa que lo origina, esto es, la variación de la corriente eléctrica, por ello suele recibir el nombre de fuerza contraelectromotriz. Su valor viene dado por la siguiente ecuación diferencial:

donde el signo menos indica que se opone a la causa que lo origina. En un inductor ideal, la fuerza contraelectromotriz autoinducida es igual a la tensión aplicada al inductor. La fórmula precedente puede leerse de esta manera: Si uno de los bornes del inductor es positivo con respecto al otro, la corriente que entra por el primero aumenta con el tiempo. Cuando el inductor no es ideal porque tiene una resistencia interna en serie, la tensión aplicada es igual a la suma de la caída de tensión sobre la resistencia interna más la fuerza contraelectromotriz autoinducida.

Comportamientos ideal y real La bobina ideal (figura 2) puede definirse a partir de la siguiente ecuación:

donde, L es la inductancia, u(t) es la función diferencia de potencial aplicada a sus bornes e i(t) la intensidad resultante que circula.

Figura 2: inductancia.

Circuito

con

Comportamiento en corriente continua Una bobina ideal en CC se comporta como un cortocircuito (conductor ideal) mientras que la real se comporta como una resistencia cuyo valor RL (figura 5a) será el de su devanado. Esto es así en régimen permanente ya que en régimen transitorio, esto es, al conectar o desconectar un circuito con bobina, suceden fenómenos electromagnéticos que inciden sobre la corriente (ver circuitos serie RL y RC).

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Comportamiento en corriente alterna

Figura 4. Diagrama fasorial. Figura 3. Gráfico de tensión y corriente en un inductor. En CA, una bobina ideal ofrece una resistencia al paso de la corriente que recibe el nombre de reactancia inductiva, XL, cuyo valor viene dado por el producto de la pulsación ( ) por la inductancia, L:

Si la pulsación está en radianes por segundo (rad/s) y la inductancia en henrios (H) la reactancia resultará en ohmios. Al conectar una CA senoidal v(t) a una bobina aparecerá una corriente i(t), también senoidal, esto es, variable, por lo que, como se comentó más arriba, aparecerá una fuerza contraelectromotriz, -e(t), cuyo valor absoluto puede demostrase que es igual al de v(t). Por tanto, cuando la corriente i(t) aumenta, e(t) disminuye para dificultar dicho aumento; análogamente, cuando i(t) disminuye, e(t) aumenta para oponerse a dicha disminución. Esto puede apreciarse en el diagrama de la Figura 3. En t = -,donde i(t) es negativa, disminuyendo desde su valor máximo negativo hasta cero, se observa que e(t) va aumentando hasta alcanzar su máximo negativo. Luego, la corriente aumenta desde cero hasta su valor máximo positivo, mientras e(t) disminuye hasta ser cero. En el semiciclo siguiente, el razonamiento es similar al anterior. Dado que la tensión aplicada, v(t)es igual a -e(t), o lo que es lo mismo, está desfasada 180º respecto de e(t), resulta que la corriente i(t) queda retrasada 90º respecto de la tensión aplicada. Consideremos por lo tanto, una bobina L, como la de la figura 2, a la que se aplica una tensión alterna de valor:

u(t )  Vm .sin(.t   )

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De acuerdo con la ley de Ohm circulará una corriente alterna, retrasada 90º (π / 2) respecto a la tensión aplicada (figura 4), de valor:

i(t )  I m .sin(.t    90) I  donde. m

Vm XL

Si se representa el valor eficaz de la

corriente obtenida en forma polar: 

I  I . e j (  90)

Y operando matemáticamente: 

I

j

V j (  90) V .e e  XL X L .e j 90

Figura 5.: Circuitos equivalentes de una bobina real en CC, a), y en CA, b) y c).

Por lo tanto, en los circuitos de CA, una bobina ideal se puede asimilar a una magnitud compleja sin parte real y parte imaginaria positiva: 

X L  0  jX L  X L .e j 90 En la bobina real, habrá que tener en cuenta la resistencia de su bobinado, R L, pudiendo ser su circuito equivalente o modelo, el que aparece en la figura 5b) o 5c) dependiendo del tipo de bobina o frecuencia de funcionamiento, aunque para análisis más precisos pueden utilizarse modelos más complejos que los anteriores.

Asociaciones comunes

Figura 6. Asociación serie general. Figura 7. Asociación paralelo general. Al igual que la resistencias, las bobinas pueden asociarse en serie (figura 6), paralelo (figura 7) o de forma mixta. En estos casos, y siempre que no exista acoplamiento magnético, la inductancia equivalente para la asociación serie vendrá dada por:

y para la paralelo: 17

Para la asociación mixta se procederá de forma análoga que con las resistencias. Si se requiere una mayor comprensión del comportamiento reactivo de un inductor, es conveniente entonces analizar detalladamente la "Ley de Lenz" y comprobar de esta forma como se origina una reactancia de tipo inductiva , la cual nace debido a una oposición que le presenta el inductor o bobina a la variación de flujo magnético.

Comportamiento a la interrupción del circuito La alimentación carga el inductor a través la resistencia. Examinemos el comportamiento práctico de un inductor cuando se interrumpe el circuito que lo alimenta. En el dibujo de derecha aparece un inductor que se carga a través una resistencia y un interruptor. El condensador dibujado en punteado representa las capacidades parásitas del inductor. Está dibujado separado del inductor, pero en realidad forma parte de él, porque representa las capacidades parásitas de las vueltas del devanado entre ellas mismas. Todo inductor tiene capacidades parásitas, incluso los devanados especialmente concebidos para minimizarlas como el devanado en "nido de abejas". El interruptor se abre. La corriente solo puede circular cargando las capacidades parásitas. A un cierto momento el interruptor se abre. Si miramos la definición de inductancia:

vemos que, para que la corriente que atraviesa el inductor se detenga instantáneamente, seria necesario la aparición de una tensión infinita, y eso no puede suceder. ¿Qué hace la corriente? Pues continúa a pasar. ¿Por donde? Ella "se las arregla" para continuar. Al principio, el único camino que tiene es a través las capacidades parásitas. La corriente continúa a circular a través la capacidad parásita, cargando negativamente el punto alto del condensador en el dibujo.

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En el instante el interruptor de abre dejando la inductancia oscilar con las capacidades parásitas. Nos encontramos con un circuito LC que oscilará a una pulsación:

donde es el valor equivalente de las capacidades parásitas. Si los aislamientos del devanado son suficientemente resistentes a las altas tensiones, y si el interruptor interrumpe bien el circuito, la oscilación continuará con una amplitud que se amortiguará debido a las pérdidas dieléctricas y resistivas de las capacidades parásitas y del conductor del inductor. Si además, el inductor tiene un núcleo ferromagnético, habrá también pérdidas en el núcleo. Hay que ver que la tensión máxima de la oscilación puede ser muy grande. Eso le vale el nombre de sobretensión. Se comprende que pueda ser grande, ya que el máximo de la tensión corresponde al momento en el cual toda la energía almacenada en la bobina habrá pasado a las capacidades parásitas . Si estas son pequeñas, la tensión puede ser muy grande y pueden producirse arcos eléctricos entre vueltas de la bobina o entre los contactos abiertos del interruptor. Aunque los arcos eléctricos sean frecuentemente perniciosos y peligrosos, otras veces son útiles y deseados. Es el caso de la soldadura al arco, Si la tensión es grande pueden producirse arcos en el lámparas a arco, alto horno eléctrico y hornos a interruptor o en la bobina. arco. En el caso de la soldadura al arco, el interruptor de nuestro diagrama es el contacto entre el metal a soldar y el electrodo. Lo que sucede cuando el arco aparece depende de las características eléctricas del arco. Y las características de un arco dependen de la corriente que lo atraviesa. Cuando la corriente es grande (decenas de amperios), el arco está formado por un camino espeso de moléculas y átomos ionizados que presentan poca resistencia eléctrica y una inercia térmica que lo hace durar. El arco disipa centenas de vatios y puede fundir metales y crear incendios. Si el arco se produce entre los contactos del interruptor, el circuito no estará verdaderamente abierto y la corriente continuará a circular. Los arcos no deseados constituyen un problema serio y difícil de resolver cuando se utilizan altas tensiones y grandes potencias.

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En el instante se produce un arco que dura hasta el instante . A partir de ese momento, la inductancia oscila con las capacidades parásitas. En punteado la corriente y la tensión que habría si el arco no se produjese. Cuando las corrientes son pequeñas, el arco se enfría rápidamente y deja de conducir la electricidad. En el dibujo de la derecha hemos ilustrado un caso particular que puede producirse, pero que solo es uno de los casos posibles. Hemos ampliado la escala del tiempo alrededor de la apertura del interruptor y de la formación del arco. Después de la apertura del interruptor, la tensión a los bornes de la inductancia aumenta (con signo contrario). En el instante , la tensión es suficiente para crear un arco entre dos vueltas de la bobina. El arco presenta poca resistencia eléctrica y descarga rápidamente las capacidades parásitas. La corriente, en lugar de continuar a cargar las capacidades parásitas, comienza a pasar por el arco. Hemos dibujado el caso en el cual la tensión del arco es relativamente constante. La corriente del inductor disminuye hasta que al instante sea demasiado pequeña para mantener el arco y este se apaga y deja de conducir. La corriente vuelve a pasar por las capacidades parásitas y esta vez la oscilación continúa amortiguándose y sin crear nuevos arcos, ya que esta vez la tensión no alcanzará valores demasiado grandes. Recordemos que este es solamente un caso posible. Se puede explicar porqué puede uno recibir una pequeña descarga eléctrica al medir la resistencia de un bobinado El diodo sirve de camino a la corriente del con un simple ohmetro que solo puede alimentar unos inductor cuando el transistor se bloquea. miliamperios y unos pocos voltios. La razón es que para Eso evita la aparición de altas tensiones medir la resistencia del bobinado, le hace circular unos entre el colector y la base del transistor. miliamperios. Si, cuando se desconectan los cables del óhmetro, sigue uno tocando con los dedos los bornes de la bobina, los miliamperios que circulaban en ella continuaran a hacerlo, pero pasando por los dedos. La regla es que, para evitar los arcos o las sobretensiones, hay que proteger los circuitos previendo un pasaje para la corriente del inductor cuando el circuito se interrumpe. En el último diagrama hay un ejemplo de un transistor que controla la corriente en una bobina (la de un relé, por ejemplo). Cuando el transistor se bloquea, la corriente que circula en la bobina carga las capacidades parásitas y la tensión del colector aumenta y puede sobrepasar fácilmente la tensión máxima de la junción colector-base y destruir el transistor. Colocando un diodo, como el diagrama, la corriente encuentra un camino en el diodo y la tensión del colector estará limitada a la tensión de alimentación más los 0,6 V del diodo. El precio funcional de esta protección es que la corriente de la bobina tarda más en disminuir y eso, en algunos casos, puede ser inconveniente. Se puede disminuir el tiempo si, en lugar de un diodo rectificador, se coloca un diodo zener. No hay que olvidar que el dispositivo de protección deberá ser capaz de absorber casi toda la energía almacenada en el inductor.

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4- Inductancia Mutua Cuando el flujo magnético generado en una bobina, o parte de él, atraviesa otra bobina, se produce el fenómeno de la inductancia mutua. Dadas dos bobinas alimentadas con sendos generadores de tensión, (ver Figura) podemos descomponer los flujos magnéticos en cada una de ellas de la siguiente manera:

flujo flujo dflujo flujo flujo dflujo

que atraviesa la bobina 1 debido a la corriente i1 que atraviesa la bobina 2 debido a la corriente i1 disperso de la bobina 1 debido a la corriente i1 que atraviesa la bobina 2 debido a la corriente i2 que atraviesa la bobina 1 debido a la corriente i2

Figura

disperso de la bobina 2 debido a la corriente i2

Se pueden verificar las siguientes relaciones:

 21  k1.11 12  k 2 . 22

0  k1  1 0  k2  1

donde k1 y k2 son los coeficientes de acoplamiento. También se verifica que

11   21  1d  22  12   2 d

Definimos los coeficientes de dispersión y 

1 

1d 11

2 

2d  22

Recordando que las autoinducciones de las bobinas 1 y 2 son:

L11 

N1.11 i1

y

L22 

N 2 . 22 i2

de manera similar definimos las inducciones mutuas

M 12  Resulta que

N1.12 i2

y

M 21 

N 2 . 21 i1

M12  M 21  M entonces k . .N k1.11.N 2 M  2 22 1 M  y i2 i1

multiplicando entre sí las expresiones anteriores obtenemos

21

M2 

k 2 . 22 .N1 k1.11.N 2 N N .  k1 1 11 k 2 2 22 i2 i1 i1 i2

M 2  k1k 2 L11L22 y así obtenemos:

M  k1k2 L11L22 M  k L11L22

y si llamamos siendo

k  k1k2

0  k 1

Si el valor de k es próximo a 1, el acoplamiento es fuerte. Si el valor de acoplamiento es débil La inductancia mutua, al igual que la autoinducción se mide en Henry

M

resulta

k

es próximo a cero, el

M  [Hy]

12  21  i2 i1

Así, para régimen permanente sinusoidal encontramos el valor de la reactancia mutua

X M  .M

Signo de la inductancia mutua Sean dos arrollamientos de N1 y N2 espiras respectivamente, devanados sobre un núcleo ferromagnético como el que nuestra la figura. Planteamos las ecuaciones de las mallas del circuito

di1 di M 2 dt dt di di e2  i2 R2  L22 2  M 1 dt dt e1  i1 R1  L11

Figura

pero... ¿cuales son los signos de los últimos términos de estas ecuaciones? ¿+ o -? Si cambiamos el sentido del arrollamiento de la bobina 2, vemos que:

di1 di M 2 dt dt di di e2  i2 R2  L22 2  M 1 dt dt e1  i1 R1  L11

Cuando el sentido de los flujos (determinados por la regla del tirabuzón)es el mismo, el signo de la caída de tensión debida a la inductancia mutua es + y viceversa.

Figura

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Método de los puntos homólogos Es un método que se usa para indicar, en un diagrama de circuito, la polaridad de la inducción mutua. Consiste en puntos que se colocan en los terminales que tienen la misma polaridad instantánea desde el punto de vista de la inductancia mutua exclusivamente. Estos indicarán el mismo sentido del bobinado cuando haciendo entrar corriente por esos puntos, los flujos se refuerzan o suman. Si las corrientes entran una por el punto y la otra no, los flujos se restan o tienen acciones contrarias.

Las corrientes entran por el punto Los flujos magnéticos se suman La caída de tensión es positiva

Una de las corrientes entra por el punto y la otra no. Los flujos magnéticos se restan La caída de tensión es negativa

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5- Circuitos de corriente alterna En el presente apartado se verán las características de los circuitos básicos de CA senoidal que están formados por los componentes eléctricos fundamentales: resistencia, bobina y condensador. En cuanto a su análisis, todo lo visto en los circuitos de corriente continua es válido para los de alterna con la salvedad que habrá que operar con números complejos en lugar de con reales. Además se deberán tener en cuenta las siguientes condiciones:  Todas las fuentes deben ser sinusoidales y tener la misma frecuencia o pulsación.  De estar en régimen estacionario, es decir, una vez que los fenómenos transitorios que se producen a la conexión del circuito se hayan atenuado completamente.  Todos los componentes del circuito deben ser lineales, o trabajar en un régimen tal que puedan considerarse como lineales. Los circuitos con diodos están excluidos y los resultados con inductores con núcleo ferromagnético serán solo aproximaciones.

Circuito serie RL Supongamos que por el circuito de la figura 8a circula una corriente 

I  I .e j

Como VR está en fase y VL adelantada 90º respecto a dicha corriente, se tendrá: 

VR  I .R.e j 

VL  I . X L .e j ( 90) Sumando fasorialmente ambas tensiones obtendremos la total V: 





V  VR  VL V .e j (  )

Figura 8: Circuito serie RL (a) y diagrama fasorial (b).

donde, y de acuerdo con el diagrama fasorial de la figura 8b, V es el módulo de la tensión total:

y  el ángulo que forman los fasores tensión total y corriente (ángulo de desfase): Figura 9: Triángulo de impedancias de un circuito serie RL La expresión representa la oposición que ofrece el circuito al paso de la corriente alterna, a la que se denomina impedancia y se representa Z: En forma polar 

V  V .e

j (  )

 I .Z .e

j (  )

j

 I .e .Z .e

j

 

 I .Z

con lo que la impedancia puede considerarse como una magnitud compleja, cuyo valor, de acuerdo con el triángulo de la figura 9, es: 24



Z  Z .e j  R  jX L Obsérvese que la parte real resulta ser la componente resistiva y la parte imaginaria la inductiva.

Circuito serie RC Supongamos que por el circuito de la figura 10a circula una corriente 

I  I .e j

Como VR está en fase y VC retrasada 90º respecto a dicha corriente, se tendrá: 

VR  I .R.e j La tensión total V será igual a la suma fasorial de ambas tensiones, 





V  VR  VC V .e j (  )

Figura 10: Circuito serie RC (a) y diagrama fasorial (b).

Y de acuerdo con su diagrama fasorial (figura 10b) se tiene:

Al igual que en el apartado anterior la expresión módulo de la impedancia, ya que 

R2  X C

2

es el Figura 11: Triángulo de impedancias de un circuito serie RC.  

V  V .e j (  )  I .Z .e j (  )  I .e j .Z .e  j  I . Z

lo que significa que la impedancia es una magnitud compleja cuyo valor, según el triángulo de la figura 11, es: 

Z  Z .e  j  R  jX C Obsérvese que la parte real resulta ser la componente resistiva y la parte imaginaria, ahora con signo negativo, la capacitiva.

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Circuito RLC serie Razonado de modo similar en el circuito serie RLC de la figura 12 llegaremos a la conclusión de que la impedancia Z tiene un valor de 

Z  Z .e j  R  j ( X L  X C ) siendo

En el diagrama se ha supuesto que el circuito era inductivo (XL > XC), pero en general se pueden dar los siguientes casos:  XL > XC: Circuito inductivo, la intensidad queda retrasada respecto de la tensión (caso de la figura 12, donde  es el ángulo de desfase).  XL < XC: Circuito capacitivo, la intensidad queda adelantada Figura 12: Circuito serie respecto de la tensión. RLC (a) y diagrama fasorial  XL = XC: Circuito resistivo, la intensidad queda en fase con la (b). tensión (en este caso se dice que hay resonancia).

Circuito serie general Sean n impedancias en serie como las mostradas en la figura 13a, a las que se le aplica una tensión alterna V entre los terminales A y B lo que originará una corriente I. De acuerdo con la ley de Ohm:

donde es la impedancia equivalente de la asociación (figura 13c), esto es, aquella que conectada la misma tensión alterna, intensidad, .

, demanda la misma

Figura 13: Asociaciones de impedancias: a) serie, b) paralelo y c) impedancia equivalente. Del mismo modo que para una asociación serie de resistencias, se puede demostrar que

lo que implica

y Circuito paralelo general Del mismo modo que en el apartado anterior, consideremos n impedancias en paralelo como las mostradas en la figura 13b, a las que se le aplica una tensión alterna V entre los terminales A y B lo que originará una corriente I. De acuerdo con la ley de Ohm:

y del mismo modo que para una asociación paralelo de resistencias, se puede demostrar que 26

Para facilitar el cálculo en el análisis de circuitos de este tipo, se suele trabajar con admitancias en lugar de con impedancias.

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