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VARIABLE ALEATORIA CONTINUA. DISTRIBUCIÓN NORMAL. Conocimientos previos CONCEPTO DE INTEGRAL DEFINIDA.

Para hallar el área del recinto limitado por la curva f(x), el eje de abscisas y las rectas x=a y x=b, se utiliza la siguiente fórmula:

Area =

∫

b a

f ( x)dx

que recibe el nombre de integral definida de f entre los límites a y b y se lee “integral entre a y b de f(x)”. La integración es la operación inversa de la derivación. Por ejemplo, si f ( x) = x n , la fórmula anterior se resuelve de la siguiente forma:

∫

b a

b

 x n+ 1  x dx =    n + 1 a n

Primero se sustituye la x por b y al resultado obtenido le llamaremos F(b). Después se sustituye la x por a y al resultado obtenido le llamaremos F(a) Finalmente restamos los resultados, es decir,

∫

b

x n dx = F (b) − F (a )

a

Ejercicio: Resuelve la siguiente integral definida: Solución:

∫

3 1

∫

3 1

( x 2 + 2 x − 3)dx 3

 x3  ( x + 2 x − 3)dx =  + x 2 − 3x  = F (3) − F (1)  3 1 2

F (3) = 9 + 9 − 9 = 9

luego

∫

3 1

F (1) =

( x 2 + 2 x − 3)dx = 9 − (−

1 5 + 1− 3= − 3 3 5 5 32 )= 9+ = 3 3 3

Cuando se calculan áreas los resultados se toman en valor absoluto.

F. Sánchez Fernández, profesor del IES Poeta Paco Mollà de Petrer (Alicante)

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Variable aleatoria continua. Es aquella que puede tomar infinitos valores dentro de un intervalo de la recta real. Por ejemplo, la duración de las bombillas de una determinada marca y modelo. En el caso de variables aleatorias continuas no tiene sentido plantearse probabilidades de resultados aislados, por ejemplo, probabilidad de que una bombilla dure 100 horas, 22 minutos y 16 segundos. La probabilidad sería 0. El interés de estas probabilidades está en conocer la probabilidad correspondiente a un intervalo. Dicha probabilidad se conoce mediante una curva llamada función de densidad y suponiendo que bajo dicha curva hay un área de una unidad. Conociendo esta curva, basta calcular el área correspondiente para conocer la probabilidad de un intervalo cualquiera. La función de densidad de una v.a. continua cumple las siguientes condiciones: • Sólo puede tomar valores comprendidos entre 0 y 1: 0 ≤ f ( x) ≤ 1 •

El área encerrada bajo la curva es igual a la unidad:

∫

+∞ −∞

f ( x).dx = 1 .

Ejercicio: x con x ∈ [ 0,6] . Comprueba que es una función de densidad y calcula 18 p (2 ≤ x ≤ 5)

Sea f ( x) =

Solución: Para que sea función de densidad

∫

6 0

x dx tiene que valer 1. Veamos: 18

6

x 1  x2  1  36  ∫ 0 18 dx = 18  2  = 18  2 − 0  = 1 0 6

5

x 1  x2  1  25 4  21 7 p (2 ≤ x ≤ 5) = ∫ dx = − = =    = 2 18 18  2  2 18  2 2  36 12 5

Función de distribución. Como en el caso de la v.a. discreta, la función de distribución proporciona la probabilidad acumulada hasta un determinado valor de la variable, es decir, F ( x) = p ( X ≤ x) . Cumple las siguientes condiciones: • Su valor es cero para todos los puntos situados a la izquierda del menor valor de la variable. • Su valor es 1 para todos los puntos situados a la derecha del mayor valor de la variable. Media y varianza de una v.a. continua. Existe cierta correspondencia entre la variable aleatoria discreta y la continua:

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Variable aleatoria discreta µ = ∑ xi . p i

σ

Lo que es

2

∑

=

∑

x i2 p i − µ

pasa a ser

∫

20

Variable aleatoria continua

∫

µ =

2

σ

2

=

∫

b a

b a

x. f ( x).dx

x 2 f ( x)dx − µ

2

y lo que es p i pasa a ser f (x)

Ejercicio 1. La función de densidad de una v.a. continua viene definida por :  2 x si 0 ≤ x ≤ 1 f ( x) =   0 en el resto a) Halla la función de distribución. b) Calcula la media y la varianza. Solución: a) La función de distribución se obtiene integrando la función de densidad, es decir, A la izquierda de 0, su valor 0. A la derecha de 1, su valor es 1 Entre 0 y 1: F ( x) = p ( X ≤ x) =  0 si x < 0  2 es decir, F ( x) =  x si 0 ≤ x ≤ 1  1 para x > 1  b)

Cálculo de la media: µ = Cálculo de la varianza: σ

∫

b a

2

∫

x 0

2 xdx = x 2

x. f ( x).dx =

=

∫

b a

∫

1 0

]

x

= x2

0

x.2 x.dx =

x 2 f ( x)dx − µ

2

=

∫

1 0

2 3 x 2 .2 x.dx −

4 1 = 9 18

Ejercicio 2. Calcula la media, la varianza y la desviación típica de una v.a. que tiene como función x+ 3 con x ∈ [1,5] de densidad: f ( x) = 24 Solución: Media: µ =

∫

b a

5

x. f ( x).dx =

∫

x+ 3 1 5 2 1  x 3 3x 2  29 x. dx = ( x + 3 x ) dx = + =   ∫ 24 24 1 24  3 2 1 9

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Varianza:

σ

2

=

∫

b a

x f ( x)dx − µ 2

5

2

∫

=

5 1

2

2

x+ 3 1 5 3  29   29  x dx −  ( x + 3 x 2 )dx −   =  = ∫ 24 24 1  9   9  2

2

 1  x4 104  29  = + x3  −  = 1,28 .  =  24  4 81 1  9  Desviación típica: σ =

1,28 = 1,13

Ejercicio 3. x2 − 1 con x ∈ [ 2,5] , una función de densidad. 36 a) Calcula su función de distribución. b) Calcula p (3 ≤ x ≤ 4) . Sea f ( x) =

Solución:

• •

x

x2 − 1 1 x 2 1 x3 x 3 − 3x − 2  dx = ( x − 1 ) dx = ( − x ) = ∫ 2 36  3 36 ∫ 2 36 108 2 Su valor es cero para todos los puntos situados a la izquierda de 2 Su valor es 1 para todos los puntos situados a la derecha de 5

a) F ( x) = p( X ≤ x) =

x

4

b) p (3 ≤ x ≤ 4) =

∫

4 3

4

 x2 − 1 1 4 2 1  x3 1 x 3 − 3x  17   dx = ( x − 1 ) dx = − x = =   ∫   36 36 3 36  3 3  3 54   3 36

Distribución normal. Hay muchas v.a. continuas cuya función de densidad tiene forma de campana. Ejemplos: - La variable peso en una población de personas de la misma edad y sexo. - La variable altura de la población citada. - etc. Se dice que estas variables tienen una distribución normal y la función de densidad recibe el nombre de curva normal o campana de Gauss. Para expresar que una v.a. continua X, tiene una distribución normal de media µ y desviación típica σ , escribimos N ( µ , σ ) .

Representación gráfica de la función de densidad de una distribución normal.

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Distribución normal estándar. De las infinitas distribuciones N ( µ , σ ) , tiene especial interés la de media 0 y desviación típica 1, es decir, N (0,1) . Esta distribución recibe el nombre de estandar o reducida Existen unas tablas que permiten calcular probabilidades en distribuciones normales reducidas. Por ello es aconsejable transformar cualquier v.a. X que sigue que sigue una distribución N ( µ , σ ) en otra variable Z que siga una distribución N(0,1). El cambio de variable que es necesario hacer es el siguiente: X− µ Z= σ Cálculo de probabilidades en distribuciones normales reducidas. Sea Z una variable que sigue una distribución normal N(0,1). Vamos algunos ejemplos que nos permiten calcular determinadas probabilidades en las tablas: a) p ( Z ≤ 1,23) La probabilidad pedida se encuentra directamente en las tablas. Basta buscar 1,2 en la columna y 0,03 en la fila. Su intersección nos da la probabilidad.

b) p ( Z ≥ 1,24)

En este caso la probabilidad pedida no está en las tablas. Sin embargo, si tenemos en cuenta que el área total bajo la gráfica ha de ser 1, deducimos de la figura que: p ( Z ≥ 1,24) = 1 − p( Z ≤ 1,24) = 1 − 0,8925 = 0,1075 .

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c) p ( Z ≤ − 0,72) Como la gráfica es simétrica respecto al eje de ordenadas, p ( Z ≤ − 0,72) = p ( Z ≥ 0,72) y ya estamos en el caso anterior. Comprueba que el resultado final es 0,2358. d) p (0,5 ≤ Z ≤ 1,76)

Observando la figura se deduce que p (0,5 ≤ Z ≤ 1,76) = p ( Z ≤ 1,76) − p( Z ≤ 0,5) = 0,9608 − 0,6915 = 0,2693

Ejercicio 4 El peso de los individuos de una población se distribuye normalmente con media de 70 Kg. y desviación típica 6 Kg. De una población de 2000 personas, calcula cuántas tendrán un peso comprendido entre 64 y 76 Kg. Solución: Se trata de una distribución N(70,6) 76 − 70   64 − 70 p (64 ≤ X ≤ 76) = p ≤ Z≤  = p (− 1 ≤ Z ≤ 1) = p ( Z ≤ 1) − p ( Z ≤ − 1) 6 6   p ( Z ≤ 1) = 0,8413 (directamente en las tablas) p ( Z ≤ − 1) = p ( Z ≥ 1) = 1 − p ( Z ≤ 1) = 1 − 0,8413 . Por tanto, p (64 ≤ X ≤ 76) = 0,8413 − (1 − 0,8413) = 0,8413 − 1 + 0,8413 = 0,6825 Esto significa que el 68,25 % de las personas pesan entre 64 y 76 Kg.. Como hay 2000 personas, calculamos el 68,25% de 2000 y obtenemos 1365 personas. Ejercicio 5. La duración media de un lavavajillas es de 15 años y su desviación típica 0,5. Sabiendo que su vida útil se distribuye normalmente, halla la probabilidad de que al adquirir un lavavajillas dure más de 15 años. Solución: Es una distribución normal de media 15 y desviación típica 0,5, es decir, N(15; 0,5). 15 − 15 p ( X ≥ 15) = p ( Z ≥ ) = p( Z ≥ 0) = p ( Z ≤ 0) = 0,5 0,5

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Ejercicio 6. La nota media de las pruebas de acceso correspondientes a los estudiantes que querían ingresar en una facultad era 5,8 y la desviación típica 1,75. Fueron admitidos los de nota superior a 6. a) ¿Cuál fue el porcentaje de admitidos si la distribución es normal? b) ¿Con qué probabilidad exactamente cuatro de diez estudiantes son admitidos? Solución: Apartado a): p ( X > 6) = p ( Z >

6 − 5,8 ) = p ( Z > 0,11) = 1 − p( Z ≤ 0,11) = 1 − 5438 = 0,4562 ≈ 45,62% 1,75

Apartado b): Es una distribución binomial de parámetros n=10 y p=0,4562 p(obtener r éxitos )=p(X = r)=  n r  10  n− r 4 6 =   p .(1 − p ) = p (X = 4) =   (0,4562) (1 − 0,4562) =  r  4 10.9.8.7 = (0,4562) 4 (0,5438) 6 = 0,235 4.3.2.1 Aproximación de la distribución binomial mediante la normal. (Corrección de Yates) Cuando n es grande y p está próximo a 0,5 el comportamiento de una distribución binomial B(n, p) es aproximadamente igual a una distribución normal, N ( np, npq ) Esto permite sustituir el estudio de una B (n, p) por el de una N (np, npq ) . Suele considerarse que la aproximación es buena cuando np>5 y nq>5 Dado que por mucho que se parezca nunca es igual una binomial que una normal, es necesario aplicar en el cálculo de probabilidades un ajuste que recibe el nombre de corrección de Yates. Si X es la binomial y X’ la normal, la corrección consiste en lo siguiente: 1 1  p ( X = r ) = p r − ≤ X ′ ≤ r +  2 2  (Se asocia un intervalo unidad centrado en el punto) 1 1  p ( a ≤ X ≤ b) = p  a − ≤ X ′ ≤ b +  2 2  (se alarga el intervalo ½ por la izquierda y ½ por la derecha.) Para valores de n mayores de 1.000 se puede suprimir la corrección. Ejercicio 7.

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Se lanza una moneda correcta al aire 400 veces. Calcula la probabilidad de obtener un número de caras comprendido entre 180 y 210, ambos inclusive. Solución: Calculamos la media y la desviación típica de la distribución binomial: 1 1 1 µ = np = 400. = 200 ; σ = npq = 400. . = 10 . Por tanto, 2 2 2 210,5 − 200   179,5 − 200 p (180 ≤ X ≤ 210) = p(179,5 ≤ X ′ ≤ 210,5) = p ≤ Z≤ = 10 10   = p(− 2,05 ≤ Z ≤ 1,05) = p ( Z ≤ 1,05) − p ( Z ≤ − 2,05) pero p ( Z ≤ 1,05) = 0,8531 y p ( Z ≤ − 2,05) = p ( Z ≥ 2,05) = 1 − p ( Z ≤ 2,05) = 1 − 0,9798 = 0,0202 luego p (180 ≤ X ≤ 210) = 0,8531 − 0,0202 = 0,8329

Ejercicio 8. Un tirador acierta en el blanco en el 70% de los tiros. Si el tirador participa en una competición y tira 25 veces, ¿cuál es la probabilidad de que acierte más de 10 tiros? Solución: Es una distribución B(25; 0,7) que podemos aproximar a través de la normal: µ = n. p = 25.0,7 = 17,5 > 5 n.q = 25.0,3 = 7,5 > 5 La aproximación será buena.

σ =

npq =

25.0,7.0,3 = 2,29

10,5 − 17,5   p ( X > 10) = p ( X ≥ 11) = p ( X ′ ≥ 10,5) = p Z ≥  = p ( Z ≥ − 3,06) = 2,29  

= p ( Z ≤ 3,06) = 0,9998

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Ejercicios propuestos. 1.- Un profesor de matemáticas ha observado que las notas obtenidas por sus alumnos en los exámenes de Estadística siguen una distribución N(6; 2,5). Se han presentado al último examen 32 alumnos, ¿cuántos sacaron al menos un 7?. ( Sol. 11 )

2.- Una empresa lleva a cabo una prueba para seleccionar nuevos empleados. Por la experiencia de pruebas anteriores, se sabe que las puntuaciones siguen una distribución normal de media 80 y desviación típica 25. ¿Qué porcentaje de candidatos obtendrá entre 75 y 100 puntos? (Sol. 36,74% )

3- Calcula el valor de k para que la función f ( x) =

1 − kx si x ∈ [ 0, 10] sea función de 5

densidad. Obtenido el valor de k, calcula la media y la desviación típica de la distribución. ( Sol. k = 1/50 ; media = 3,33; desviación típica = 2,36 )

4.- El peso de los toros de una determinada ganadería se distribuye normalmente con una media de 500 Kg. y 45 Kg. de desviación típica. Si la ganadería tiene 2000 toros, a) Cuántos pesarán más de 540 Kg.? b) Cuántos pesarán menos de 480 Kg.? c) Cuántos pesarán entre 490 y 510 Kg.? ( Sol. 373; 660; 348 )

5.- Una de las pruebas de acceso a la Universidad para mayores de 25 años consiste en un test con 100 preguntas, cada una de las cuales tiene 4 posibles respuestas y sólo una correcta. Para superar esta prueba deben obtenerse, al menos, 30 respuestas correctas. Si una persona contesta al azar, ¿cuál es el número esperado de respuestas correctas?. ¿Qué probabilidad tendrá de superar la prueba? (Sol. 25; Utilizando la aproximación a través de la normal: p= 0,1492)

6.- Después de realizar varios sondeos sobre una población con escasa cultura, se ha conseguido averiguar que únicamente el 15 % de la misma es favorable a los tratamientos de psicoterapia. Elegida al azar una muestra de 50 personas de dicha población, se desea saber: a) La probabilidad de que haya más de 5 personas favorables a dichos tratamientos. b) La probabilidad de que a lo sumo haya 6 personas favorables. (Sol. 0,7852; 0,3446 )

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