Variables aleatorias conjuntas M. en A. Víctor D. Pinilla Morán Facultad de Ingeniería, UNAM Resumen Variables aleatorias conjuntas discretas; función de probabilidad conjunta: su definición y propiedades. Función de distribución acumulativa: su definición y propiedades. Funciones marginales de probabilidad. Funciones condicionales de probabilidad. Variables aleatorias conjuntas continuas; función de probabilidad conjunta: su definición y propiedades. Función de distribución acumulativa: su definición y propiedades. Funciones marginales de probabilidad. Funciones condicionales de probabilidad. Valor esperado de una función de dos o más variables. La curva de regresión. Variables aleatorias independientes. Covarianza, varianza de una suma de dos o más variables. 5.1 Variables aleatorias conjuntas discretas y continuas: Función de probabilidad conjunta, su definición y propiedades. Funciones marginales de probabilidad. Funciones condicionales de probabilidad. El estudio realizado hasta este momento está restringido a espacios muestrales de una sola dimensión en los que se registran resultados de un experimento como valores asumidos por una única variable aleatoria. Sin embargo habrá situaciones donde sea preferible registrar los resultados simultáneos de varias variables aleatorias.

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Para el caso particular de dos variables aleatorias, éstas se denominan variables aleatorias conjuntas. Definición. Si X y Y son dos variables aleatorias, la distribución de probabilidad de sus ocurrencias simultáneas puede representarse por una función F(x,y) para cualquier par de valores (x,y) dentro del rango de las variables aleatorias; a esto se le denomina distribución de probabilidad conjunta.

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Propiedades caso continuo.

a) Fxy ( X , Y ) ≥ 0

b

P ( a < x < b, Y = y ) = ∫

∀X , Y

a

f ( x, y ) dx h( y )

∞ ∞

b)

∫ ∫ Fxy ( X , Y )d x d y

−∞ −∞

c) P[( X , Y )ΕA] = ∫

A

∫ Fxy ( X , Y )d x d y

Propiedades caso discreto.

Ejemplo. Se seleccionan al azar 2 repuestos para una pluma de una caja que contiene:

3 repuestos azules 2 repuestos rojos 3 repuestos verdes

a ) Pxy ( X , Y ) ≥ 0 b)∑∀x ∑∀y Pxy (X , Y ) = 1

Si X representa el número de repuestos azules seleccionados y Y el de rojos. Determine: la función de probabilidad conjunta.

c ) P ( X = x , Y = y ) = P ( x, y ) para cualquier región en el plano A P[( X , Y )ΕA] = ∑ ∑ P( X , Y ) A

Probabilidades marginales. Se les llama marginales cuando a partir de una función conjunta se margina a una de las variables aleatorias. Es el equivalente a la probabilidad total de las funciones de una sola variable.

y

x 0 0

3/28

1

2

9/28 3/28

g ( X ) = ∑ Pxy ( x, y)

g(X) = ∫ Pxy ( x, y)dy

1

6/28

6/28

-

h(Y ) = ∑ Pxy ( x, y)

h(Y ) = ∫ Pxy ( x, y)dx

2

1/28

-

-

∀Y

∀X

Por otra parte, si se desea encontrar la probabilidad de que la variable aleatoria continua X esté entre a y b cuando se sabe que la variable aleatoria Y=y se obtiene: P( AB) P( B / A) = P( A)

P( X = x, Y = y) f ( X , Y ) = P( X = x) g ( x) P( X = x, Y = y) f ( X , Y ) P( X = x / Y = y ) = = P(Y = y) h( y)

P(Y = y / X = x) =

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3 C (3,2) = C (8,2) 28 6 C (3,1)C (2,1) = P (0,1) = 28 C (8,2) 1 C (2,2) = P (0,2) = C (8,2) 28 9 C (3,1)C (3,1) = P (1,0) = 28 C (8,2) 6 C (3,1)C (2,1) = P (1,1) = 28 C (8,2) 3 C (3,2) = P (2,0) = C (8,2) 28 P (0,0) =

Probabilidad condicional.

g(x) > 0 h(y)> 0

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Para el ejercicio anterior determinar las probabilidades marginales de X y Y.

a) Determinar si se trata de una distribución de probabilidad conjunta.

2

g ( x) = ∑ Pxy ( x, y ) = ∑ Pxy ( x, y ) ∀y

y =0

2

g ( x = 0) = ∑ Pxy (0, yi) = y =0

3 + 6 + 1 10 = 28 28

9 + 6 15 = 28 28

1

g ( x = 1) = ∑ Pxy (1, yi) = y =0 0

g ( x = 2) = ∑ Pxy (2, yi) = y =0

h( y ) = ∑ Pxy ( x, y ) 3 + 9 + 3 15 = 28 28 x =0 1 6 + 6 12 h( y = 1) = ∑ Pxy ( xi,1) = = 28 28 x =0 0 1 h( y = 2) = ∑ Pxy ( xi,2) = 28 X =0 2

h( y = 0) = ∑ Pxy ( xi,0) =

Equivale a sumar verticalmente en la tabla x 0 1 2

y(x) 10/28 15/28 3/28

Ejercicio. Dada la función:

⎧ 2(2 x + 3 y ) ⎪ 5 ⎪ Fxy ( x, y ) ⎨ ⎪0 ⎪ ⎩

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b) Encuentre la probabilidad

P[( x, y ) ∈ A] 1 1 2 2

1 2

2

1 2

⎡2 ⎛

3

∫ ∫ 5 (2 X + 3Y )dydx = ∫ ⎢⎣ 5 ⎜⎝ 2 xy + 2 y 0 1 4

∀x

h(y) 15/28 12/28 1/28

1

2⎛ 3⎞ 2⎛ 2 3 ⎞ ∫0 5 ⎜⎝ 2 x + 2 ⎟⎠dx = 5 ⎜⎝ x + 2 x ⎟⎠0 = 2 6 4 + 6 10 + = = =1 5 10 10 10 1

3 28

Equivale a sumar horizontalmente en la tabla.

y 0 1 2

1

º ⎡2 ⎛ 2( 2 x + 3 y ) 3 2 ⎞⎤ = dydx ⎜ 2 xy + y ⎟⎥ dx = ⎢ ∫∫0 ∫ 5 5 2 ⎠⎦ 0 0⎣ ⎝

1 2

0

⎡2 ⎛

3 1

2

⎞⎤ ⎟⎥ = ⎠⎦ 1 4

1 2

3 ⎞⎤

⎡2 ⎛ 1

9 ⎞⎤

∫ ⎢⎣ 5 ⎜⎝ x + 8 − 2 x − 32 ⎟⎠⎥⎦dx = ∫ ⎢⎣ 5 ⎜⎝ 2 x + 32 ⎟⎠⎥⎦dx = 0

0

1 2

2 ⎛ x2 9 ⎞ 1 9 13 ⎜⎜ + x ⎟⎟ = + = 5 ⎝ 4 32 ⎠ 0 40 160 160

c) Obtener la probabilidad marginal para la variable x. 1

⎡2 ⎛ 3 ⎞⎤ 2 g ( x) = ∫ (2 x + 3 y )dy = ⎢ ⎜ 2 xy + y 2 ⎟⎥ = 5 2 ⎠⎦ 0 ⎣5 ⎝ 0 1

2⎛ 3⎞ 4 6 ⎜ 2x + ⎟ = x + 5⎝ 2⎠ 5 10 4 3 g ( x) = x + 0 ≤ x ≤1 5 5

d) Obtener la probabilidad marginal de la variable y.

0 ≤ x ≤1 0 ≤ y ≤1 otros casos

1

2 (2 x + 3 y )dx = 5 0

h( y ) = ∫

(

)

1

⎤ ⎡2 2 ⎢ 5 x + 3 yx ⎥ = ⎦0 ⎣

2 6 + y 5 5 2 6 h( y ) = + y 0 ≤ y ≤ 1 5 5

=

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Ejemplo. Continuando con el ejemplo de los repuestos:

e) Determinar la distribución condicional de X dado que Y=1 y utilícela para determinar

P ( X = 0 Y = 1)

de que menos de un octavo de las mujeres que se inscribieron para un maratón en particular lo finalicen si se sabe que exactamente un medio de los atletas hombres lo terminaron. x

8 xy 2 g ( x) = ∫ 8 xydy = 2 0 1

h( y ) = ∫ 8 xydx = y

P( X Y = 1) =

Pxy ( X ,1) h(Y = 1)

=

Pxy ( X ,1) h(1)

=

Pxy ( X ,1) 12 28

6 Pxy (0,1) 28 6 1 = = = 12 12 12 2 28 28 6 Pxy (1,1) 28 1 = = 12 12 2 28 28 Pxy (2,1) =0 12 28

2

8x y 2

F(X Y) =

Fxy ( X Y )

F (Y X ) =

Fxy ( X Y )

h( y ) g ( x)

x

= 0

8 x3 = 4 x3 2

1

= 4 y − 4 y3 y

=

8 xy 2x = 3 4y − 4y 1 − y2

=

8 xy 2 y = 4 x3 x 2

P (Y < 1 X = 1 ) 8 2 P (0 < Y < 1 , X = 1 ) = 5 2 1 8

1 8

2y

∫x

2

dy

0

1

1 8 4 1 2y 2 8 dy ydy y = = = = 8 4 ∫0 ( 1 )2 ∫0 0 64 16 2

Ejemplo. Para la función de dos variables: X 0 1 2

P(X/Y=1) ½ ½ 0

Ejemplo. Suponga que la fracción X de atletas hombres y la fracción Y de atletas mujeres que terminan la carrera del maratón puede describirse por la función de densidad conjunta.

⎧8 xy ⎪ ⎪ Fxy ⎨ ⎪ ⎪⎩0

y ≤ x ≤1 0≤ y≤x otros casos

⎧ X (1 + 3Y 2) ⎪ 4 ⎪⎪ Fxy ( X Y )⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎩0

0< X