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1. INTRODUCCIÓN Problema estándar Problema generalizado
CÁLCULO DE AUTOVALORES
λ autovalor / valor propio v autovector / vector propio ÁLGEBRA LINEAL: los autovalores son las raíces del polinomio característico
Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN) Departament de Matemàtica Aplicada III Universitat Politècnica de Catalunya (Barcelona) http://www-lacan.upc.es
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Aplicaciones en ingeniería civil Inconvenientes: 1. Cálculo de determinantes (∼n! operaciones), agrupación de términos 2. Acumulación de errores de redondeo 3. No se aprovechan las cualidades de las matrices (simetría, definición positiva, estructura especial...)
– Cálculo dinámico de estructuras: sismos, vibraciones, viento... – Análisis de pandeo – Problemas de ondas: ingeniería marítima, problemas medioambientales (contaminación acústica) – Herramientas auxiliares para la resolución de sistemas de ecuaciones: número de condición (si SDP máx λi / mín λi), radio espectral (máx λi),
Necesidad de algoritmos alternativos más eficientes
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2. FUNDAMENTOS
En forma matricial
2.1 Problema estándar Teorema 1 [Teorema espectral del álgebra]: Si es simétrica, entonces diagonaliza (con autovalores reales) en una base ortonormal.
n autovectores n autovalores
U es ortogonal
ortonormales
diagonalización de A
Si A es simétrica y definida positiva (SDP)
tales que
Si A es simétrica y semidefinida positiva ·5
2.2 Problema generalizado
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Se busca una solución de la forma con φ vector de desplazamientos nodales constante (modo) y ω frecuencia de vibración (frecuencia propia)
Aplicación: Análisis modal en dinámica estructural
x: desplazamientos nodales
Sustituyendo en la ecuación de equilibrio
El desplazamiento en la viga se interpola a partir de los valores nodales
Ecuación de equilibrio (oscilaciones libres): M: matriz de masa (SDP) K: matriz de rigidez ·7
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¿Cómo son los autovalores del problema generalizado?
Teorema 2: si son simétricas y M es definida positiva, entonces existen n autovalores reales
simétricas ⇒ autovalores reales
Ejemplo:
y n autovectores •
M-ortonormales:
• K-ortogonales: con
los autovalores son ·9
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2.3 Reducción del problema generalizado al problema estándar con
1. M invertible: Aunque M y K sean simétricas, A* puede ser no simétrica.
Se conserva la simetría
Sólo es simétrica si K y M-1 conmutan 2. K y M simétricas, y M definida positiva: •
Si M SDP descomposición de Cholesky
A*
Sin embargo, a veces no conviene transformar el problema. Por ejemplo, si M y K son matrices en banda, L es en banda pero L-1 es una matriz llena A* es llena.
v* = λ v* · 11
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Demostración del Teorema 2
K y M simétricas, y M definida positiva A* real y
3.1 Deflación
simétrica
3. PROPIEDADES GENERALES de matrices simétricas
PROBLEMA ESTÁNDAR:
Por el Teorema 1 (Teorema espectral del álgebra), A* diagonaliza en una base ortonormal • autovalores reales λi • autovectores ortonormales
Solución propia La matriz
verifica uk pasa a tener autovalor 0
El problema generalizado tiene autovalores λi y autovectores que cumplen • M-ortonormales:
Demostración:
• K-ortogonales:
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3.2 Traslación PROBLEMA GENERALIZADO:
PROBLEMA ESTÁNDAR: con autovalores λi y autovectores ui
Solución propia La matriz
verifica autovalores uk pasa a tener autovalor 0
tiene los mismos autovectores ui, pero con
Demostración: PROBLEMA GENERALIZADO:
Demostración: (ejercicio)
con tiene los mismos autovectores ui, con autovalores · 15
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3.3 Cociente de Rayleigh PROBLEMA ESTÁNDAR:
Demostración:
A real, simétrica
Cociente de Rayleigh Expresión alternativa en la base de autovectores: utilizando
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Propiedades del cociente de Rayleigh
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Demostración 1. Caso 1: A definida positiva
1. a) 2. 3. Si
con
b)
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Demostración 2.
Caso 2: A no definida definida positiva Se considera p tal que traslación •
y la
El cociente de Rayleigh cumple
Demostración 3. •
con vamos a comprobar que
B tiene autovalores
B definida positiva (caso 1)
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PROBLEMA GENERALIZADO:
=λiui
Cociente de Rayleigh · 23
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4. MÉTODOS DE ITERACIÓN VECTORIAL (von Mises o de las potencias)
4.1 Método de iteración vectorial directa
Algoritmo IVD problema estándar Dado v0 casi-arbitrario
La Iteración Vectorial Directa (IVD) proporciona el autovalor dominante (el más alejado de cero) y el autovector asociado Atención a la nueva numeración
PROBLEMA ESTÁNDAR: • vector inicial casi-arbitrario v0 • iteraciones
k = 0, 1, 2...
A real, simétrica
Autovalor dominante (con su signo)
• Convergencia:
tal que · 25
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demostración convergencia IVD
Caso general: λn autovalor dominante con multiplicidad p
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Observaciones
PROBLEMA GENERALIZADO:
Existen otras versiones del algoritmo. Los vectores se pueden normalizar dividiendo por su norma, pero hay otras opciones. Por ejemplo,
y utilizar IVD • vector inicial casi-arbitrario v0 • iteraciones
El vector inicial no es totalmente arbitrario
Convergencia
• Convergencia:
tal que
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Algoritmo
Algoritmo IVD problema generalizado
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ωk+1 yk
ωk+1
yk
El algoritmo se simplifica obviando el cálculo de vk
Algoritmo IVI problema estándar
4.2 Método de iteración vectorial inversa La Iteración Vectorial Inversa (IVI) proporciona el autovalor más cercano a cero (el mínimo en valor absoluto, con su signo) y el autovector asociado
ωk+1
En la práctica no se calcula A-1
PROBLEMA ESTÁNDAR:
tiene los mismo autovectores con autovalores
?
IVD con A-1
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Observaciones
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PROBLEMA GENERALIZADO:
La convergencia se puede acelerar con una traslación IVI para IVI para A
IVD para A-1
ωk+1 yk
Cálculo del autovalor más cercano a un valor dado (o del autovector asociado a un autovalor conocido) ωk+1 zk+1 · 35
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Algoritmo
Algoritmo IVI problema generalizado
≈ λ1
?
(versión 1) (versión 2) · 37
5. OTROS MÉTODOS Métodos de iteración polinómica • iteración polinómica explícita • iteración polinómica implícita
Métodos de ortogonalización • descomposición en valores singulares (SVD) • Jacobi
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