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1.5

Ecuaciones

Ecuaciones 1.5.1 La idea de ecuaci´on

Muchos problemas que se plantean en la vida real consisten en hallar el n´umero, o los n´umeros, que cumplen ciertas condiciones. Las Matem´aticas nos ofrecen un arma muy ´util para enfrentarnos con este tipo de situaciones: las ecuaciones. El pilar en que descansa esta poderosa herramienta pr´actica ya se ha encontrado anteriormente al estudiar los c´alculos con expresiones literales, esto es, los c´alculos donde algunas letras sustituyen a n´umeros desconocidos. La mejor manera de comprender qu´e es una ecuaci´on y qu´e tipo de problemas resuelve es Figura 1.10: Las ecuaciones presentar un ejemplo extra´ıdo de la vida cotidiana. Supongamos que una cuenta a plazo produce es anual. Una cuesti´on directa que podemos plantearnos es calcular cu´al ser´a el representan un cierto equili- un 12 % de inter´ brio entre los dos miembros inter´ es que obtenemos si depositamos en dicha cuenta 10000 euros. Esta cuesti´on se responde separados por el signo ‘igual’. f´acilmente con los conocimientos adquiridos en las secciones precedentes: basta recordar que 12 % 12 12 es un n´umero fraccionario, que equivale al quebrado , y efectuar la multiplicaci´on 10000 × = 1200, 100 100 para encontrar que el rendimiento del dep´osito ser´a de 1200 euros. Pero hay otro tipo de cuestiones que podemos plantearnos sobre dicha cuenta que exigen un razonamiento m´as sutil. Por ejemplo, supongamos que deseamos saber cu´anto dinero deber´ıa ingresarse para obtener unos intereses anuales de 900 euros. No se sabe qu´e cantidad habr´a que ingresar. Como tambi´en sabemos calcular con letras, podemos recurrir a denominar x a la cantidad desconocida y actuar como en el caso anterior. Si 12 se ingresan x euros, el inter´es que producen ser´a el 12 % de x, es decir, · x = 0.12x As´ı, para que ese 100 inter´es sea igual a 900 euros, debe cumplirse que el n´umero 0.12x debe ser precisamente el n´umero 900, es decir, ha de cumplirse la igualdad 0.12x = 900. Recordando las operaciones con n´umeros fraccionarios, 900 encontramos que el ´unico n´umero x que puede cumplir la igualdad anterior es x = , o equivalentemente, 0.12 el n´umero x = 7500. Averiguamos as´ı que la cantidad que hay que depositar en la cuenta al 12 %, para 54

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Ecuaciones

obtener unos intereses de 900 euros, es justamente 7500 euros. Si se repasa el caso que acabamos de exponer, se encontrar´an las siguientes caracter´ısticas: 1. El problema plantea calcular un n´umero, la cantidad de dinero que hay que depositar en una cuenta, a fin de que se cumpla cierta condici´on: que el inter´es percibido sea igual a 900 euros. 2. El m´etodo utilizado para enfrentarse con el problema consiste en designar con una letra, en este caso x, al n´umero que se quiere calcular y traducir a s´ımbolos –letras, n´umeros y signo igual– la condici´on que estaba expresada con palabras. 3. La traducci´on de la condici´on tiene cierto car´acter de balance. En un platillo se pone el inter´es que se percibir´a por depositar x euros, 0.12x; en el otro platillo, la cantidad que se quiere recibir, 900 euros. Para que ambos platillos est´en en equilibrio, las dos expresiones han de ser iguales: 0.12x = 900. Luego se tendr´a x = 7500 euros. La igualdad 0.12x = 900 se denomina ecuaci´ on y traduce completamente la condici´on que resume el problema: hallar un n´umero tal que su 12 % sea igual a 900. En una ecuaci´on como 0.12x = 900 el n´umero x que se quiere hallar se denomina n´ umero inc´ ognita, cantidad inc´ ognita o simplemente inc´ ognita. Por otra parte, si examinamos la soluci´on del caso anterior, encontramos dos pasos bien distintos: 1. Primero se establece la ecuaci´on que traduce al lenguaje matem´atico las condiciones del problema. En el ejemplo ser´ıa Hallar un 12 %} sea igual a 900 euros | {z n´umero} tal que su | {z | {z } | {z } = ¿x? 900 0.12x Esta traducci´on de las condiciones literales a s´ımbolos matem´aticos se denomina planteamiento de la ecuaci´on.

2. Una vez planteada la ecuaci´on, se trata de hallar el valor que debe tener la inc´ognita para que se verifique la ecuaci´on. Esta fase se denomina resoluci´ on de la ecuaci´on. 55

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ECUACIONES

Ecuaciones

Se llama ecuaci´ on a toda igualdad que relacione n´umeros con letras que representan cantidades desconocidas denominadas inc´ ognitas y que se quieren hallar. - Plantear una ecuaci´on es traducir las condiciones literales a s´ımbolos matem´aticos. - Resolver una ecuaci´on es hallar el valor que deben tener las inc´ognitas para que se verifique la ecuaci´on. Una herencia de 120 000 euros se reparte entre dos personas, de forma que uno de los herederos recibe 30 000 euros m´as que el otro. Queremos saber cu´anto recibe cada heredero. El problema consiste en hallar dos n´umeros que representan las cantidades de dinero percibidas por cada uno. Para plantear la ecuaci´on, designamos por x a la cantidad que recibe el m´as favorecido. Por la condici´on del reparto, el otro heredero recibir´a 30 000 euros menos; simb´olicamente: x − 30 000. Puesto que toda la herencia se reparte entre ambos, la suma de las cantidades que reciben individualmente ser´a igual a 120 000. Esto se traduce en la ecuaci´on: x + (x − 30 000) = 120 000. EJEMPLO 1.51

Podemos simplificar la expresi´on del lado izquierdo de la igualdad y obtenemos una traducci´on equivalente: 2x − 30 000 = 120 000. Para resolver la ecuaci´on anterior podemos razonar en t´erminos de estado de equilibrio: si sumamos a los dos lados de la igualdad una misma cantidad, el balance no cambia; entonces, nada impide sumar a los dos miembros 30 000 euros: 2x − 30 000 + 30 000 = 120 000 + 30 000. Si efectuamos las operaciones indicadas resulta una ecuaci´on m´as simple: 2x = 150 000. Ahora es muy sencillo resolver la ecuaci´on, ya que el ´unico n´umero que multiplicado por 2 resulta igual a 150 000 es: x=

150 000 = 75 000. 2 56

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Ecuaciones

As´ı pues, el reparto consiste en dar 75 000 euros a uno y 75 000 − 30 000 = 45 000 euros al otro. Ambas cantidades suman 75 000 + 45 000 = 120 000 euros que es el total de la herencia.

Sobre el planteamiento de ecuaciones no hay reglas fijas; es, m´as bien, cuesti´on de pr´actica. En cuanto a la resoluci´on de ecuaciones es posible dar algunos m´etodos generales seg´un el tipo de ecuaci´on. Ello exige una labor previa de clasificaci´on de las ecuaciones. ´ DE CLASIFICACION LAS ECUACIONES

Las ecuaciones pueden clasificarse atendiendo a diversos criterios: 1. Seg´un el n´ umero de inc´ ognitas que aparecen: una, dos, tres, etc. 2. Seg´un el mayor exponente al que est´an elevadas las inc´ognitas. Este n´umero se denomina grado de la ecuaci´on. Las ecuaciones de grado uno se suelen denominar lineales. Para los grados restantes se suele hablar de ecuaciones de segundo grado, tercer grado, etc. y son todas ellas ecuaciones no lineales. 3. Seg´un el n´ umero de ecuaciones. En ocasiones, un problema conduce a plantear varias ecuaciones que deben ser satisfechas, a la vez, por las soluciones. A estos conjuntos de ecuaciones que deben verificar, simult´aneamente, las inc´ognitas se denominan sistemas de ecuaciones; as´ı por ejemplo, hay sistemas de dos ecuaciones con dos inc´ognitas, de dos ecuaciones con tres inc´ognitas, de tres ecuaciones con tres inc´ognitas, etc. EJEMPLO 1.52

a) La ecuaci´on x2 − 4x + 2 = 0 tiene una inc´ognita y es de segundo grado, puesto que el mayor exponente de x es 2. b) La ecuaci´on x − 2y − 3 = 0 tiene dos inc´ognitas y grado igual a uno, ya que el mayor exponente al que est´an elevadas las inc´ognitas es 1; por lo tanto, es una ecuaci´on lineal. c) La ecuaci´on x3 − 2x = y + 1 tiene dos inc´ognitas y es de tercer grado, porque la inc´ognita x est´a elevada a exponente 3; por tanto, es una ecuaci´on no lineal. d) Las ecuaciones:  2x − 3y = 4 −4x + 2y = −3 57

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Ecuaciones

forman un sistema de dos ecuaciones con dos inc´ognitas. e) Las ecuaciones:

 x + 3y = 1  4x − 2y = 3  3x − y = −1

forman un sistema de tres ecuaciones con dos inc´ognitas. f) Las ecuaciones:

 x + 3y − z = 1  4x − 2y + 2z = 3  3x − y − 4z = −1

forman un sistema de tres ecuaciones con tres inc´ognitas.

1.5.2 Soluciones de una ecuaci´on Ecuaciones con una u ´nica inc´ ognita

Resolver una ecuaci´on es hallar n´umeros tales que al reemplazar por ellos las inc´ognitas se cumple la igualdad de los dos miembros. Estos n´umeros se denominan soluciones de la ecuaci´on. De lo anterior se deduce que para comprobar si un n´umero es soluci´on de una ecuaci´on debe reemplazarse la inc´ognita por el n´umero y, si la expresi´on num´erica que resulte es cierta, entonces el n´umero ser´a soluci´on de la ecuaci´on. EJEMPLO 1.53

a) El n´umero 3 es soluci´on de la ecuaci´on 2x − 5 = 1, ya que si se sustituye x por 3 se cumple la igualdad de los dos miembros 2 · 3 − 5 = 1. Por el contrario, el n´umero 2 no es soluci´on de la ecuaci´on, puesto que si se sustituye x por 2 no son iguales los dos miembros 2 · 2 − 5 = −1 6= 1.

b) El n´umero 2 es soluci´on de la ecuaci´on x2 − 4 = 0, puesto que se cumple 22 − 4 = 0. El n´umero −2 es otra soluci´on de la ecuaci´on, dado que se verifica (−2)2 − 4 = 0. Sin embargo, 3 no es soluci´on, puesto que 32 − 4 = 9 − 4 = 5 6= 0. 58

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Ecuaciones

c) Cada uno de los n´umeros 1, 0 y −2 es una soluci´on de la ecuaci´on x3 + x2 = 2x, puesto que se cumple: 13 + 12 = 2 = 2 · 1, 03 + 02 = 0 = 2 · 0, (−2)3 + (−2)2 = −4 = 2 · (−2).

Ecuaciones con m´as de una inc´ ognita

Cuando la ecuaci´on tiene m´as de una inc´ognita, las soluciones no consisten en un n´umero sino en varios: tantos como inc´ognitas haya. En estos casos, es preciso escribir de manera ordenada los n´umeros que componen la soluci´on para saber a qu´e inc´ognita corresponden. EJEMPLO 1.54

a) La ecuaci´on 3x − 2y = 5 − 2x tiene dos inc´ognitas x, y. Sus soluciones ser´an pares ordenados de n´umeros. Por ejemplo, (1, 0). El primer n´umero del par es el valor que corresponde a x, y el segundo, el valor que corresponde a y. Para comprobar que (1, 0) es una soluci´on, se reemplaza en la ecuaci´on x por 1 e y por 0 y se comprueba que ambos miembros son iguales: 3 · 1 − 2 · 0 = 3 = 5 − 2 · 1. La expresi´on par ordenado indica que no es igual (1, 0) que (0, 1). En efecto: el par (1, 0) es soluci´on mientras que (0, 1) no es soluci´on, pues, al sustituir x por 0 e y por 1, la ecuaci´on no se verifica: 3 · 0 − 2 · 1 = −2 6= 5 = 5 − 2 · 0. A menudo, para evitar confusiones en el orden de los n´umeros que componen la soluci´on, se escribe de manera expl´ıcita x = 1, y = 0, pero debe entenderse que esta expresi´on de dos valores, uno para cada variable, define una ´unica soluci´on de la ecuaci´on. b) El par de n´umeros x = 1, y = −2 es una soluci´on de la ecuaci´on 2x + y2 = 6, puesto que se tiene: 2 · 1 + (−2)2 = 6. De igual manera puede comprobarse que el par x = 3, y = 0, tambi´en es soluci´on. Mientras que el par x = 2, y = 1, no es soluci´on. c) La terna de n´umeros x = 1, y = −2, z = −1 es una soluci´on de la ecuaci´on −3x − 2y + z = 0. En efecto: −3 · 1 − 2 · (−2) + (−1) = 0.

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Ecuaciones

Sistemas de ecuaciones

Por lo que a sistemas de ecuaciones se refiere, se denomina soluci´ on de un sistema a un conjunto ordenado de n´umeros —tantos como inc´ognitas tenga el sistema— que es soluci´on de todas las ecuaciones del sistema. EJEMPLO 1.55

a) El par de n´umeros x = 2, y = −3, es una soluci´on del sistema: 2x + y = 1 x + y = −1



porque si se reemplaza x por 2 e y por −3 en el sistema, se verifican las dos ecuaciones de ´este. 2 · 2 + (−3) = 1 2 + (−3) = −1



b) La terna de n´umeros x = −2, y = 1, z = −1, es una soluci´on del sistema:  x + y − z = 0 x + 2y = 0  − x + 2y + z = 3

porque si se reemplaza x por −2, y por 1 y z por −1 en el sistema, se verifican todas las ecuaciones de ´este.  −2 + 1 − (−1) = 0  −2 + 2 · 1 = 0  − (−2) + 2 · 1 + (−1) = 3

Podemos resumir todo lo anterior en la definici´on siguiente: 60

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´ DE UNA SOLUCION ´ ECUACION

Ecuaciones

Se llama soluci´ on de una ecuaci´on a todo conjunto ordenado de n´umeros —tantos como inc´ognitas haya— tales que si se sustituye la primera inc´ognita por el primer n´umero, la segunda por el segundo, etc., el valor del primer miembro de la ecuaci´on es igual al del segundo. Se llama soluci´ on de un sistema de ecuaciones a un conjunto ordenado de n´umeros —tantos como inc´ognitas tenga el sistema— que es soluci´on de todas las ecuaciones del sistema.

1.5.3 Reglas generales para resolver ecuaciones Como sabemos, una ecuaci´on puede entenderse como una condici´on que deben cumplir ciertos n´umeros. En el lenguaje ordinario, es posible expresar una misma condici´on con t´erminos diferentes. Otro tanto ocurre en el lenguaje de ecuaciones; puede haber diferentes ecuaciones que expresen una misma condici´on. Por ejemplo, es lo mismo decir que el doble de un n´umero es 3 que decir que su cu´adruple es 6. La ecuaci´on que representa la primera expresi´on es 2x = 3, mientras que la ecuaci´on que representa la segunda es 4x = 6. Pero parece evidente que no hay nada esencialmente diferente entre una y otra ecuaci´on. En ambos casos, el n´umero que resuelve la ecuaci´on es 3/2, que es el n´umero que cumple cualquiera de las dos expresiones literales. De modo an´alogo, es lo mismo decir que el doble de un n´umero m´as uno es cinco que, directamente, decir que el doble de dicho n´umero es cuatro. La traducci´on, en forma de ecuaciones de estas expresiones es, respectivamente, 2x + 1 = 5 y 2x = 4. Nuevamente, comprobamos que x = 2 resuelve cualquiera de las dos ecuaciones. Esta idea de ecuaciones que comparten las mismas soluciones es clave para resolver ecuaciones. ECUACIONES

Dos ecuaciones se dicen equivalentes si tienen las mismas soluciones.

EQUIVALENTES

La resoluci´on de ecuaciones consiste, b´asicamente, en encontrar otras ecuaciones equivalentes a las dadas que sean m´as simples y, por tanto, m´as sencillas de resolver. Por ello, tienen particular importancia las reglas 61

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Ecuaciones

que vamos a estudiar a continuaci´on, ya que permiten obtener ecuaciones equivalentes a la dada. Regla 1: Si se suma o resta a ambos miembros de una ecuaci´on un mismo n´umero, o una misma expresi´on donde intervengan las inc´ognitas de la ecuaci´on, se obtiene una ecuaci´on equivalente. EJEMPLO 1.56

a) Si a cada miembro de la ecuaci´on 2x − 3 = 7 se le suma el n´umero 3, es decir, 2x − 3 + 3 = 7 + 3, se obtiene la ecuaci´on 2x = 10 equivalente a la primera. b) Si a cada miembro de la ecuaci´on 2x−3 = 7 −x se le suma la expresi´on 3 + x, es decir, (2x−3) + (3 + x) = (7 −x) + (3 + x), se obtiene la ecuaci´on 3x = 10 equivalente a la primera.

En particular, si se quiere cambiar de miembro alguno de los t´erminos que aparecen en una ecuaci´on, basta con sumar el opuesto de dicho t´ermino a cada miembro de la ecuaci´on. Por ejemplo, en la ecuaci´on 2x − 3 = 5 − 3x, para pasar al primer miembro el t´ermino −3x del segundo, se suma su opuesto 3x a cada miembro; as´ı resulta la ecuaci´on equivalente (2x − 3) + 3x = (5 − 3x) + 3x o bien, la ecuaci´on 5x − 3 = 5. Este tipo de transformaciones son frecuentes y se resumen en la siguiente regla: Regla 2: Se puede pasar cualquier t´ermino de una ecuaci´on de un miembro a otro sin m´as que cambiarle el signo. En la ecuaci´on 3x−8 = 2x + 4, el sumando 2x pasa del segundo miembro al primero con signo menos, 3x−8 −2x = 4 y la ecuaci´on que resulta, x − 8 = 4, es equivalente a la primera. EJEMPLO 1.57

Regla 3: Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuaci´on por un mismo n´umero distinto de cero, la ecuaci´on que resulta es equivalente a la primera. EJEMPLO 1.58

a) Si cada miembro de la ecuaci´on 4x + 5 = 2 − 6x se multiplica por 3, se obtiene la ecuaci´on 3(4x + 5) = 3(2 − 6x), o bien la ecuaci´on 12x + 15 = 6 − 18x, que es equivalente a la primera. 62

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Ecuaciones

1 1 b) Si cada miembro de la ecuaci´on 18x − 6 = 12 se divide por 6 se obtiene la ecuaci´on (18x − 6) = (12), o bien la ecuaci´on 6 6 3x − 1 = 2, que es equivalente a la primera. c) La exigencia de que el n´umero por el que se divida o multiplique cada miembro de la ecuaci´on sea distinto de cero es imprescindible. El mal uso de la Regla 3 conduce a “demostraciones” parad´ojicas. Pensemos, por ejemplo, en la ecuaci´on 2x = x. Si se divide por x cada miembro, resultar´a la “paradoja” 2 = 1. El error est´a en que se ha dividido por cero cada miembro, puesto que si 2x = x, necesariamente x = 0; luego dividir por x equivale a dividir por cero. d) Otro ejemplo de las paradojas a que conduce el mal uso de la Regla 3 es el siguiente: se parte de la igualdad 32 2 2 se resta 3 a cada miembro 3 − 32 entonces (3 + 3)(3 − 3) se divide cada miembro por (3 − 3) 3+3 luego 6

= = = = =

3·3 3 · 3 − 32 3 (3 − 3 ) 3 3

Otra vez el error consiste en dividir por cero.

1.5.4 Ecuaciones lineales con una inc´ognita La ecuaci´on m´as sencilla que puede plantearse es una ecuaci´on en la que aparece una ´unica variable elevada a exponente 1; esta ecuaci´on es la ecuaci´on lineal, o de primer grado, con una inc´ognita. Un ejemplo de este tipo de ecuaciones es la ecuaci´on 5x + 4 = 9 − 2x. La forma de resolver este tipo de ecuaciones es sencilla. La idea consiste en tratar de poner a un lado de la igualdad todos los t´erminos que contienen a la inc´ognita y al otro lado a los t´erminos que no la contienen. Ello se consigue aplicando de forma adecuada las reglas estudiadas anteriormente. En este caso, para lograr que todos los t´erminos que tienen x est´en en el primer miembro de la ecuaci´on y los dem´as t´erminos en el segundo miembro aplicamos la Regla 2, de forma que pasamos 2x al primer miembro, sumando, y 4 al segundo miembro, restando. As´ı se llega a la ecuaci´on equivalente 5x + 2x = 9 − 4. Ahora podemos operar en cada miembro para obtener una nueva ecuaci´on 63

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Ecuaciones

equivalente, 7x = 5. La ecuaci´on anterior es muy sencilla de resolver. Basta dividir los dos miembros de la 5 ecuaci´on por el n´umero 7 que est´a multiplicando a la inc´ognita para obtener x = . 7 La ecuaci´on lineal con una inc´ognita 7x = 5, equivalente a la de origen, tiene una forma peculiar: a un lado del signo igual est´a la inc´ognita, en este caso x, multiplicada por un n´umero real, en este caso 7; al otro lado del signo igual est´a ´unicamente un n´umero real. Esta forma de la ecuaci´on lineal con una inc´ognita recibe un nombre especial.

FORMA NORMAL

Si a y b son dos n´umeros reales, una ecuaci´on lineal con una inc´ognita x de la forma

´ DE LA ECUACION

ax = b

LINEAL CON UNA ´ INCOGNITA

se dice que est´a en la forma normal . El n´umero a se denomina coeficiente de la inc´ognita. El n´umero b se denomina t´ ermino del lado derecho de la ecuaci´on.

Como hemos visto, dada una ecuaci´on lineal con una inc´ognita es sencillo encontrar una ecuaci´on equivalente a ella que est´e en la forma normal. Esto se consigue pasando todos los t´erminos donde aparezca la inc´ognita a un miembro y todos los t´erminos num´ericos a la otra. Luego se divide cada miembro por el coeficiente de la inc´ognita. Este proceso de aislar una inc´ognita en uno de los miembros de la ecuaci´on se llama despejar la inc´ognita. Entonces, la soluci´on de la ecuaci´on lineal con una inc´ognita en forma normal puede encontrase de manera general en funci´on del coeficiente a y del t´ermino del lado derecho b. 64

´ UNIDAD DIDACTICA 1 Cantidad

´ DE RESOLUCION

Dada la ecuaci´on ax = b

´ LA ECUACION LINEAL CON UNA ´ INCOGNITA

Ecuaciones

donde a, b son n´umeros reales y x es la inc´ognita, se cumple: – Si a 6= 0 la ecuaci´on tiene una ´unica soluci´on x=

b a

– Si a = 0 hay que distinguir dos casos: • Si b = 0, la ecuaci´on tiene infinitas soluciones, ya que cualquier n´umero x cumple 0 · x = 0. • Si b 6= 0, no hay soluci´on, ya que ning´un n´umero x puede cumplir 0 · x = b. EJEMPLO 1.59

a) Resolver la ecuaci´on 5x + 3 = 3x + 3. Para poner la ecuaci´on en la forma normal, en primer lugar se pasa 3x al primer miembro y 3 al segundo, obteniendo la ecuaci´on 5x − 3x = 3 − 3. Luego se efect´uan las operaciones en los dos miembros, a fin de simplificar las expresiones, y se obtiene 2x = 0. Por lo tanto, x = 0. b) Resolver la ecuaci´on 2(3x − 1) + 5 = 1 − 2x + 4(1 + x). Aplicando las reglas repetidamente obtenemos la siguiente serie de ecuaciones equivalentes que conducen a una ecuaci´on en la forma normal: 2(3x − 1) + 5 = 1 − 2x + 4(1 + x) 6x − 2 + 5 = 1 − 2x + 4 + 4x 6x + 3 = 5 + 2x 6x − 2x = 5 − 3 4x = 2. 2 1 Entonces x = = . 4 2

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Ecuaciones

1.5.5 Sistemas de ecuaciones lineales Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos inc´ ognitas

Consideremos el siguiente sistema de de dos ecuaciones lineales con dos inc´ognitas:  x − 4y = 6 y = 2 Este sistema no parece muy dif´ıcil de resolver: en la segunda ecuaci´on tenemos y = 2; si se reemplaza este valor en la primera, resulta x − 8 = 6; esto es, x = 14. El sistema ha resultado f´acil de resolver porque una inc´ognita, la y, ya estaba despejada en una de las ecuaciones y ha bastado con sustituir su valor en la otra ecuaci´on para convertir a ´esta en una ecuaci´on con una sola inc´ognita, la x, que ya sabemos resolver. Este ejemplo nos sugiere el camino para resolver los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos inc´ognitas. Se trata de conseguir despejar una inc´ognita en una de las ecuaciones para poder llevar su valor a la otra ecuaci´on, que ser´a entonces una ecuaci´on con una inc´ognita, para la que disponemos de una forma general de soluci´on. Veamos c´omo podemos llevar adelante esta idea. Consideremos un sistema de dos ecuaciones con dos inc´ognitas m´as complicado:  x − 2y = 5 3x − y = 10 Si en la primera ecuaci´on se pasa el t´ermino 2y al segundo miembro, resultar´a x = 5 + 2y. Ahora, se reemplaza x en la segunda ecuaci´on por su valor equivalente 5 + 2y y resulta el sistema equivalente:  x − 2y = 5 3(5 + 2y) − y = 10 que es equivalente al sistema: x − 2y = 5 15 + 6y − y = 10

 66

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Ecuaciones

o bien, al sistema: x − 2y = 5 5y = −5



Este ´ultimo sistema tambi´en se resuelve de inmediato; de la segunda ecuaci´on se obtiene y = −1 y, al sustituir este valor en la primera, se tiene x + 2 = 5; por lo cual x = 3. As´ı pues, la soluci´on es: x = 3, y = −1. Este procedimiento para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos inc´ognitas se suele denominar m´ etodo de sustituci´ on. ´ METODO DE ´ SUSTITUCION

Para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales E1 y E2 con dos inc´ognitas x, y se procede del modo siguiente: Paso 1 1.1 Se despeja en la ecuaci´on E1 la inc´ognita x en funci´on de y. 1.2 Se sustituye en E2 el valor despejado de x; resulta una ecuaci´on en y que llamamos E2′ . 1.3 Se resuelve E2′ y se obtiene el valor de y. Paso 2 Se sustituye el valor de y que se ha obtenido en el Paso 1.3 en el valor despejado de x del Paso 1.1.

EJEMPLO 1.60

Paso 1:

Resolver el sistema:

 

x + y = 4  x − y = 3

1.1 En la primera ecuaci´on se despeja x:

x = 4 − y. 67

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Ecuaciones

1.2 Se sustituye este valor en la segunda ecuaci´on: 1.3 Se resuelve la ecuaci´on en y:

4 − y − y = 3.

−2y = −1, −1 1 y = = . −2 2

Paso 2 2.1 Se reemplaza el valor de y en el valor despejado de x:

x = 4 − y = 4 − 12 = 72 .

El m´etodo de sustituci´on permite resolver cualquier sistema de ecuaciones pero no es siempre el m´as simple. En la pr´actica, seg´un cual sea el problema concreto son preferibles unos m´etodos a otros. La habilidad para resolver sistemas de ecuaciones, como tantas otras habilidades, se adquiere con la pr´actica de resolver ejercicios. Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres inc´ ognitas

El m´etodo de sustituci´on, que se ha empleado con los sistemas de dos ecuaciones con dos inc´ognitas, tambi´en permite resolver los de tres ecuaciones y tres inc´ognitas. Los pasos a seguir son: 1. Despejar una inc´ognita, por ejemplo x, en una de las ecuaciones. 2. Sustituir esa expresi´on en las restantes ecuaciones; se llegar´a a un sistema de dos ecuaciones con dos inc´ognitas, que ya se sabe resolver. EJEMPLO 1.61

Resolver el sistema:

En la primera ecuaci´on se despeja x; resulta:

 x + y − z = 3 x + 2y − z = 4  3y + z = 4 x = 3 − y + z.

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Ecuaciones

Ahora, se sustituye esta expresi´on en las dos ecuaciones restantes. En este sistema basta sustituir en la segunda ecuaci´on, puesto que la tercera no tiene t´erminos en x; resulta as´ı, el sistema de dos ecuaciones con dos inc´ognitas:  3 − y + z + 2y − z = 4 3y + z = 4 o bien, si se agrupan los t´erminos, resulta el sistema: y = 1 3y + z = 4



En general, se resolver´a por sustituci´on el sistema que resulte; en este caso de la primera ecuaci´on se tiene y = 1; al sustituir este valor en la segunda, se tiene z = 1 y, si se reemplazan estos valores en la expresi´on: x = 3 − y + z, se tiene x = 3.

Como se anticip´o en el apartado anterior, el m´etodo de sustituci´on no siempre es el procedimiento m´as simple para resolver un sistema de ecuaciones. En ocasiones, interesa reemplazar algunas ecuaciones por otras m´as sencillas; esto puede hacerse siempre que la ecuaci´on que se introduzca sea equivalente a la suprimida. La aplicaci´on sistem´atica de estas simplificaciones se suele denominar m´ etodo de eliminaci´ on, ya que trata de eliminar variables. Por ejemplo, para resolver el sistema:  x + y + z = 12  − x + y + z = 18  x + 2y − z = 4 se pueden sumar las dos primeras ecuaciones; el sistema que resulte ser´a equivalente al primero y tendr´a una segunda ecuaci´on sin t´ermino en x.  x + y + z = 12  2y + 2z = 30  x + 2y − z = 4

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Ecuaciones

A continuaci´on, con la intenci´on de eliminar el t´ermino en x de la tercera ecuaci´on, se resta a la tercera ecuaci´on la primera. x +

 y + z = 12  2y + 2z = 30  y − 2z = −8

El resultado de estos dos pasos ha sido eliminar la inc´ognita x de las dos ´ultimas ecuaciones. Este proceso puede repetirse eliminando la segunda inc´ognita y de la tercera ecuaci´on. Para ello, se multiplica por 2 la tercera ecuaci´on; resulta as´ı: x +

 y + z = 12  2y + 2z = 30  2y − 4z = −16

y, luego, se resta a la tercera la segunda; se obtendr´a: x +

 y + z = 12  2y + 2z = 30  − 6z = −46

23 22 De la tercera ecuaci´on, se tiene z = ; al sustituir este valor en la segunda, resulta y = y, por ´ultimo, 3 3 al sustituir los dos valores anteriores en la primera se obtiene x = −3. 70

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´ METODO DE ´ ELIMINACION

Ecuaciones

Para resolver un sistema de tres ecuaciones lineales, E1, E2 y E3, con tres inc´ognitas, x, y, z se procede del modo siguiente: Paso 1 1.1 Se multiplica la ecuaci´on E1 por un n´umero convenientemente elegido y se suma con la ecuaci´on E2 eliminando de ´esta la inc´ognita x; resulta una ecuaci´on en y, z que llamamos E2′. 1.2 Se multiplica la ecuaci´on E1 por un n´umero convenientemente elegido y se suma con la ecuaci´on E3 eliminando de ´esta la inc´ognita x; resulta una ecuaci´on en y, z que llamamos E3′. Las ecuaciones E2′ y E3′ forman un sistema de dos ecuaciones con dos inc´ognitas, y y z. Paso 2 2.1 Se multiplica la ecuaci´on E2′ por un n´umero convenientemente elegido y se suma con la ecuaci´on E3′ eliminando de ´esta la inc´ognita y; resulta una ecuaci´on en z que llamamos E3′′. 2.2 Se resuelve la ecuaci´on E3′′, encontrando el valor de la inc´ognita z. Paso 3 Se sustituye en la ecuaci´on E2′ el valor de z encontrado en el Paso 2; resulta una ecuaci´on en y, que se resuelve para encontrar el valor de la inc´ognita y. Paso 4 Se sustituye en la ecuaci´on E1 el valor de z encontrado en el Paso 2 y el valor de y encontrado en el Paso 3; resulta una ecuaci´on en x que se resuelve para encontrar el valor de la inc´ognita x. Evidentemente, en el procedimiento anterior el nombre de las ecuaciones y variables no es relevante, siendo indiferente cu´al sea la ecuaci´on E1, E2 o E3 y cu´al sea la inc´ognita x, y, z, con tal de que, por 71

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Ecuaciones

supuesto, a lo largo del procedimiento no se cambie. Por otra parte, en la pr´actica es habitual emplear una combinaci´on de los m´etodos de eliminaci´on y sustituci´on. EJEMPLO 1.62

Resolver por el m´etodo de eliminaci´on el siguiente sistema de ecuaciones:  x − 3y + 2z = 6  x + y − z = −1  2x + 3y + z = 0

Paso 1 Para eliminar la x de la segunda ecuaci´on se multiplica la primera ecuacion por −1 y se suma a la segunda ecuaci´on, lo que equivale a restar la primera ecuaci´on de la segunda. Para eliminar 2x de la tercera ecuaci´on se multiplica la primera ecuaci´on por −2 y se suma con la tercera, lo que equivale a restar de la tercera dos veces la primera. Las dos ecuaciones resultantes forman un sistema de dos ecuaciones con dos inc´ognitas, y, z. Paso 2 Ahora hay que eliminar una de las inc´ognitas, y o z, en la segunda de las ecuaciones anteriores. Observamos que es m´as sencillo eliminar la z, ya que para ello basta multiplicar la primera por −1 y sumar con la segunda, o lo que es lo mismo, hay que restar la primera de la segunda. Se resuelve la anterior ecuaci´on en y. Paso 3 El valor y = −1 se sustituye en la primera de las ecuaciones en y y z obtenidas en el Paso 1 y se resuelve la ecuaci´on resultante en z. Paso 4 El valor y = −1 y el valor z = 1 se sustituyen en la primera de las ecuaciones del sistema y se resuelve la ecuaci´on resultante en x. Concluimos que la soluci´on del sistema de ecuaciones es: x = 1, y = −1, z = 1.

−1 [ x − 3y + 2z = 6 ] + [ x + y − z = −1 ] 4y − 3z = −7 −2 [ x − 3y + 2z = 6 ] + [ 2x + 3y + z = 0 ] 9y − 3z = −12 4y − 3z = −7 9y − 3z = −12 −1 [ + [

4y − 3z = −7 ] 9y − 3z = −12 ] 5y = −5 y =

−5 = −1 5

4 · (−1) − 3z = −7 −3z = −7 + 4 = −3 −3 z = =1 −3 x − 3 · (−1) + 2 · 1 = 6 x = 6−3−2 = 1

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