TEMA 5: ECUACIONES E INECUACIONES CONCEPTO DE ECUACIÓN Una ecuación es una igualdad algebraica que la cumplen tan solo una serie de números que son las soluciones. Es decir, Las soluciones de una ecuación son los valores que deben tomar las letras para que la igualdad sea cierta. A la parte izquierda del igual se le llama 1er miembro y a la parte derecha, 2º miembro. Ejercicios. 1. Indica cuáles de estos números son solución de estas ecuaciones. -3 ; 7 ; 5 ; 2

3x  7  11 Solución: 2 b) 2 x  2  10  1  x Solución: d) x 2  x  6  0 Solución: a)

ECUACIONES DE PRIMER GRADO Son ecuaciones en las que la incógnita tiene grado 1. Para resolver estas ecuaciones seguiremos los siguientes pasos:  Quitar paréntesis  Quitar fracciones.  Reducir.  Trasponer términos  Reducir.  Despejar la incógnita En el último paso pueden ocurrir los siguientes casos:

a. x = b 0. x = 0 0. x = b Ejercicios. 2. Resuelve las ecuaciones. a) 7(3x+2)-5(4x-3) = 4(x-2)+1

b)

2x  5 2  1 2   3x    4 x  3 3 4 5

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuación de la forma

ax2 + bx + c = 0 donde a, b y c son números reales y a es un número diferente de cero. La solución de estas ecuaciones es:

x Ejercicios. 3. Resuelve las ecuaciones siguientes: a) x2 – 5x + 6 = 0

b)

2 x  12 3

 b  b2  4  a  c 2a

1   3 x  2  3 x x    7 2 

Ecuaciones de segundo grado incompletas. Hay dos casos:  b = 0 Son de la forma ax2 + c = 0 y se resuelven despejando la x2 Por ejemplo:

3x2 – 75 = 0



X 2 +16 = 0

c = 0 Son de la forma ax2 + bx = 0 y se resuelven sacando factor común a la x. Por ejemplo:

7x2 – 12x = 0

Ejercicios. 4. Resuelve las siguientes ecuaciones. a) (2x + 1)2 = (x +1)(x – 1)+2

b) 4x2 + 2 = 0

c) 3x2 + 5 = 5

ECUACIONES FACTORIZADAS Son ecuaciones del tipo ( … ) . ( … ) . ….. . ( … ) = 0. Se resuelven igualando cada factor a cero y resolviendo las ecuaciones. Por ejemplo:

x . ( 2x+5 ) . ( x – 4 ). (4 +3x ) = 0

Ejercicios. 5. Resuelve la ecuación (3x+4). (x2 – 16). (2-x) . (3x+6) = 0

ECUACIONES CON RADICALES Son ecuaciones en las que la x está bajo un radical. Para resolverlas seguiremos los siguientes pasos:  Aislar la raíz.  Reducir.  Elevar al cuadrado los dos miembros. ¡¡¡ ojo con las identidades notables!!!  Resolver la ecuación resultante.  Comprobar las soluciones.

Por ejemplo:

3x  2 x  3  x  9

Ejercicios. 6. Resuelve las ecuaciones:

a)

2x  3  9

b) 4 x 2  15  2 x  1

ECUACIONES CON LA X EN EL DENOMINADOR Para resolver estas ecuaciones hemos de seguir estos pasos:  Calculamos el m.c.m. de los denominadores de los dos miembros.  Tachamos estos denominadores.  Resolvemos la ecuación resultante.  Rechazamos las soluciones que anulen algún denominador. Por ejemplo:

x4 2  2 0 2 x  5 x x  25

Ejercicios. 7. Resuelve las siguientes ecuaciones: a)

3x  4 2 4x  3   x x3 x

b) 4 x 

2 2  5x  x4 x3

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONES Para resolver un problema seguiremos los siguientes pasos:  Leer y comprender el enunciado  Designar la incógnita  Plantear la ecuación  Resolver la ecuación  Discusión e interpretación de los resultados PROBLEMAS ALGEBRAICOS 8. La tercera parte de un número es 45 unidades menor que su doble. ¿Cuál es ese número?

9. En una reunión hay doble número de mujeres que de hombres y triple número de niños que de hombres y mujeres juntos. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños hay si la reunión la componen 96 personas?

PROBLEMAS DE EDADES 10. Un padre tiene 35 años y su hijo 5. ¿Al cabo de cuántos años será la edad del padre tres veces mayor que la edad del hijo?

11. Las tres cuartas partes de la edad del padre de Juan excede en 15 años a la edad de éste. Hace cuatro años la edad de la padre era doble de la edad del hijo. Hallar las edades de ambos.

PROBLEMAS DE MEZCLAS 12. Un comerciante tiene dos clases de café, la primera a 40 € el kg y la segunda a 60 € el kg. ¿Cuantos kilogramos hay que poner de cada clase de café para obtener 60 kilos de mezcla a 50 € el kg?

PROBLEMAS GEOMÉTRICOS 13. El largo de un rectángulo es dos veces el ancho. El perímetro del rectángulo es de 30 cm. ¿Cuál es el largo y cuál es el ancho?

INTERVALOS Y SEMIRECTAS

Se utilizan para designar conjuntos de números reales formados por infinitos elementos o para designar algunos tramos de la recta real. Un intervalo es un conjunto de números reales que se corresponden con los puntos de un segmento o una semirrecta en la recta real. Según incluyan o no a los puntos extremos estos intervalos pueden ser cerrados, abiertos o semiabiertos.

El intervalo abierto (-3 , 2) es el conjunto de números reales comprendidos entre -3 y 2 sin incluir éstos y se puede representar de la forma

Ejercicios. 14. Representa de forma gráfica y en forma de desigualdad los siguientes intervalos: 1. (3 , 7)

2. [-2 , 8]

3. [5 , ∞)

4. (-∞ , o)

15. Representa en forma gráfica y de intervalo las siguientes desigualdades: 1. x ≥-4

b) -3 ≤ x ‹ 7 c) x ‹ 4 d) x › -9 INECUACIONES DE PRIMER GRADO Son desigualdades algebraicas y se resuelven como las ecuaciones, salvo en el caso de que la incógnita a despejar sea negativa, en cuyo caso cambiaremos todo de signo incluyendo el signo de desigualdad. Por ejemplo: 3 x  7  5 x  6 ; 3x  5 x  6  7

Ejercicios: 16. 52 x  4  4 x  5  23  x 

17.

2 1 3x  4 6  2x    3  3 5 5

SISTEMAS DE INECUACIONES CON UNA INCÓGNITA En estos sistemas se trata de encontrar una solución que cumpla dos o más condiciones. Para resolverlas se resuelve cada inecuación por separado, se representan las soluciones en la misma recta y se toma como solución la zona común. Por ejemplo

2 x  5  1  x  7  12 

Ejercicios: 18. Resuelve los siguientes sistemas: x  53  x   4 x  5 a)  3x  7  5x  3  2 

x  53x  1  6 x  4  b) 2 3 x  2x    3    3 4 5 

EJERCICIOS 1. Halla por tanteo las soluciones de estas ecuaciones. Usa la calculadora si es preciso.

a) x 3  5  69 b) x x  3125 c) 3 x1  81 d ) x  3  4 2. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 3x  5  x  1 b) 3x  1  5x  2  7 x c) 5 x  31  x   12  2x  5 d ) 42  3x   10x  1  2x  9 e) 2x  3  5 x  7  13  11x

Sol: a) x=-7 b) x=13 c) No tiene d) Infinitas e) x=3/2. 3. Resuelve las siguientes ecuaciones:

3x  2 x  1 2x  1 37 2x  3 x  3 x 1 2 x  3 x  1 12 x  4    b)   4  c) x    2 5 5 10 2 4 2 9 3 9 2 x   2 x  3x  4 3x  2 4 x  1 5 x  2 x  1 d )  5    3  1  e)    3 4  3 5 5 10 8 4  a)

Sol: a) x=1 b) x=-1 c) x=5 d) x= 34/83 e) x=0. 4. Si al doble de un número le sumamos la cuarta parte de dicho número, el resultado es 189. Calcula dicho número. Sol: 84. 5. La suma de un número más su tercera parte es 48. ¿De qué número se trata? Sol: 36. 6. Ana tiene 8 años más que Raquel y entre las dos suman 40 años. ¿Qué edad tiene cada una? Sol: Raquel 16 y Ana 24. 7. Eloísa tiene 25 años menos que su madre. Entre las dos tienen medio siglo. Calcula la edad de cada una. Sol: 12,5 y 37,5 años. 8. Rodrigo tiene 54 000 €. Invierte una parte en un negocio y el resto en un banco. En el negocio gana el 12%; y en el banco, el 3%. Al final ha ganado 4 320 €. Calcula cuánto invirtió en cada sitio. Sol: 30 000 € en el negocio y 24 000 € en el banco. 9. Hace dos años me compré una bicicleta y un equipo de música por 260 €. Los acabo de vender por un total de 162 €, habiendo perdido el 30% con la bicicleta y el 40% con el equipo de música. ¿Cuánto me costó cada cosa? Sol: Bici: 60 €, equipo: 200 €. 10. La suma de tres números naturales consecutivos es cuatro veces el menor de ellos. ¿Qué números son? Sol: 3 ; 4 y 5. 11. Calcula la edad de Alberto sabiendo que dentro de 22 años tendrá el triple de su edad actual. Sol: 11 años. 12. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 10 x 2  3x  1  0 b) x 2  20 x  100  0 c) 3x 2  5 x  11  0 d ) 2 x 2 8 x  8  0 e) 2 x 2  50  0

f ) 3x 2  5  0 g ) 7 x 2  5 x  0 h) 2 x 2  10 x  0

S0l: a) x=1/2 x=-1/5 b) x=10 c) No tiene f) No tiene g) x=0 x= -5/7 13. Resuelve las siguientes ecuaciones:

d) x=2 e) x=5 x=-5 h) x=0 x=-5.

xx  3 x  1 1 a) x  1x  1  x  2  3 b)    0 c) x  2x  3  x  3 2 3 3 2 x  1  3 f ) x  12  x  12  2  x 2  6 2 d ) x  1  2 xx  2  14 e) x2 x  1  2 2

2

Sol: a) x=0 x=2 b) x=0 x=-5 d) x=-5 x=3 e) x=-7/3 x= 1 14. Resuelve las siguientes ecuaciones:

c) x=3 x=-3 f) x=2.

2  x  2 a) 3x  13x  1 

 x2  2 x2 1 x  5 2 x  12 x  1 3x  2 x 2  1  2 x b)   c)   2 3 4 12 3 6 3 x  1x  3  x  x e) x  3x  1  x  2  x 2  2 f ) xx  1  xx  1  3x  4  0 d) 2 3 2 3 3 4 12 2 2 2 2 x 1 x 4 x x4 x  x2 g) 1   x h)  i ) xx  3  x  4 x  4  2  3x 3 6 4 2 j ) 3xx  4  xx  1  13x  8 Sol: a) x=0 f) x=2

b) x=0 x=1 g) x=0 x=-6

c) x=0 x=1/2 h) x=0 x=-3

d) x=2 x=-3/2 i) x=3 x=-3

e) x=19/6 x=-1 j) x=2 x=-2.

15. El producto de dos números consecutivos es 210. Calcula estos números. Sol: Los números son 14 y 15. 16. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 3 cm más que el cateto mayor, y éste mide 3 cm más que el menor. ¿Cuánto miden los tres lados?. Sol: Los lados miden 9 cm, 12 cm y 15 cm. 17. La superficie de un rectángulo es de 28 cm2, y su perímetro, 22 cm. ¿Cuánto miden sus lados? Sol: Los lados miden 7 cm y 4 cm. 18. Los tres lados de un triángulo miden 15 cm, 22 cm y 23 cm, respectivamente. Si a los tres les restamos la misma longitud, el triángulo resultante es rectángulo. ¿Qué longitud es esa? Sol: La longitud restada es 10 cm. 19. La superficie de un rectángulo es 150 cm2, y su perímetro, 50 cm. Calcula sus dimensiones. Sol: 15 cm de largo y 10 cm de ancho. 20. El producto de dos números es 10, y su suma, 6,5. ¿Qué números son? Sol: Los números son 4 y 2,5. 21. En un triángulo rectángulo, uno de los catetos mide los 3/5 de la hipotenusa, y el otro cateto mide 5 cm menos que ésta. Halla el perímetro del triángulo. Sol: 60 cm. 22. Los lados de un triángulo miden 18 cm, 16 cm y 9 cm, respectivamente. Si restamos la misma cantidad a los tres lados, obtenemos un triángulo rectángulo. ¿Qué cantidad es esa?. Sol: La cantidad restada es 1 cm. 23. Si se aumenta en 3 cm el lado de un cuadrado, su área aumenta en 75 cm2. ¿Cuánto mide su lado?. Sol: El lado mide 11 cm. 24. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) x  4x  6  0 b) x  2x  3  0 c) xx  1x  5  0 d ) 3x  12 x  3  0















f ) 2 x  1 x 2  5 x  24  0 g ) x x 2  49 x 2  x  2  0

e) x x 2  64  0

Sol: a) x=4 x=6 b) x=-2 x=3 c) x=0 x= -1 x=5 d) x=-1/3 x=3/2 e) x=0 x=8 x=-8 f) x=-1/2 x= 3 x=-8 g) x=0 x= 7 x=-7 x= 1 x= -2. 25. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a ) x  3  0 b ) x  2  x c ) 4 x  5  x  2 d ) x  1  3  x  8 e) 2 x 2  2  1  x f ) x  x  2 g ) x  25  x 2  1 h) x  169  x 2  17 i ) x  5 x  10  8

j) x  2  3  x  1

Sol: a) x=9 b) x=4 c) x=1 x=-1 d) x=8 e) x=-3 x=1 f) x=4 g) x= 4 h) x=No tiene i) x=3 j) x=7. 26. Resuelve las ecuaciones siguientes:

200 200 10 2000 2000 1 1 3 2 1 3x 5 b)  5  4 x  1 c)  25  d)  2  e)   x x2 x3 x x4 x x 4 x 2x 2 800 600 1 3 x x 2x  4 100 90 250 f)  50  g) 2  2  h)  1  i) 5 j)  5  34 x  1 2 x x4 2 x4 x x4 x 1 x 3x 1 2 5 2 x 4 k)  2  l)  1 x x 9 2 2 x a)

Sol: a) x=10 x=-8 b) x=2 x=-3,5 c) x=20 x=-16 d) x=2 x=-2/3 e) x=-1 x=1 f) x= -8 x=8 g) x= 1/6 h) x= 0 x=2 i) x= -8 x=10 j) x= -31/6 x=4 k) x=-6/5 x=3 l) x=-4 x=2. 27. Un grupo de estudiantes alquila un piso por 700 € al mes. Si fueran dos más, cada uno pagaría 40 € menos. ¿Cuántos son? Sol: Son 5. 28. Un grupo de estudiantes salen a cenar, teniendo que pagar 18 € cada uno. Una pareja se ha dejado el dinero en casa y no pueden pagar, por lo cual cada uno tiene que pagar 6 € más. Calcula cuántos han ido a cenar y cuánto les ha costado en total. Sol: 8 estudiantes y 144 €. 29. Un granjero va al mercado para vender una partida de botellas de leche a 0,50 € la botella. En el camino se le rompen 60 botellas. Para obtener el mismo beneficio, aumenta en 0,05 € el precio de cada botella. ¿Con cuántas botellas salió de la granja?. ¿Cuánto dinero pretende ganar? Sol: Salió con 660 botellas y pretende ganar 330 €. 30. Un vendedor callejero lleva un cierto número de relojes, por los que piensa sacar 200 €. Pero comprueba que dos de ellos están deteriorados. Aumentando el precio de los restantes en 5 €, consigue recaudar la misma cantidad. ¿Cuántos relojes llevaba? Sol: 10 relojes. 31. Un grupo de amigos alquilan un autocar por 2 000 € para una excursión. Fallan 4 de ellos, por lo que los asistentes deben pagar 25 € más cada uno. ¿Cuántos había al principio? Sol: Había 20 amigos. 32. Resuelve estas ecuaciones:



a) x 2  9











x  3  0 b) x x  x  2  0 c) 2 x 2  6

Sol: a) x=3 x=9 b) x=0 x=4 c) x=4 d) x=1.





x  2  0 d)





x 1



x 1  0

33. Resuelve estas inecuaciones y representa gráficamente las soluciones:

a) 2 x  1  7 b) 7  5 x  12 c) 5 x5 d ) 2 x  3  7 e) 104  9 x  45 x  3 f ) 34  x 18 x  5 x 5x 1 4  2x 2x  2 x 1 x4 x4 g)  x   h)  2x  3 i ) 2 x j) x 1 k) 1  4 3 6 3 3 2 4 8 Sol: a) x  3 b) x  1 c) x1 d) x  2 e) x  4 f) x1 / 3 g) x  2 / 29 h) x11 / 4 i) x1 j) x3 k) x  4

34. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:

3x  15 3x  5  x  12 5 x  7 23  2 x  1  14  8 x a) b)  c) d)  2 x  8  x  45 x  8 3  2 x x  30 5 x  8 6 x  5 / 2 2 x  4 20 4 x  6  2 x  16  x  3 2 x  1 4 x  5  11 e)  f ) g ) h)   x  25  5  2 x 3x  2  2 x  5 5  2 x3x  x  212  x Sol: a) x  4 , 5 b) x  3 , 17 / 2 c) x  6 , 11 d) x  2,5 , 5,5 e) x  8 , 10 f) x  3 , 5 g) x   4 , 1 h) x  4 , 5 35. Una oposición consta de dos exámenes, uno escrito, que es el 65% de la nota, y otro oral, que es el 35%. Si un opositor ha sacado un 4 en el escrito, ¿qué nota tiene que sacar como mínimo en el oral para aprobar? Sol: Un 6,86 como mínimo. AUTOEVALUACIÓN 1. Resuelve:

2x  2 3x  4 a)  4x  4  3 2

2. Resuelve:





a ) 4 x x  6  x 2  9  0

x2 1 x2  4 b)   x 1 3 6 b) 5  3x  3x  1

Sol: a) x=4 b) x=0 x=6

Sol: a) x=0 x=6 x=3 x=-3 b) x=1/3 x=-4/3.

3. Resuelve:

a)

2x  5  2x  6 3

5 x  3  x  5 b)  x  6  0

Sol: a) x  2 ,   b) x  2 , 6

4. Halla las dimensiones de un jardín rectangular cuyo perímetro es de 60 m, y su área, de 221 m2. Sol: 17 m y 13 m. 5. Una persona compra un equipo de música y un ordenador por 2 500 €, y los vende, después de algún tiempo, por 2 157,5 €. Con el equipo de música perdió el 10% de su valor, y con el ordenador, el 15%. ¿Cuánto le costó cada uno? Sol: Equipo de música: 650 € Ordenador: 1 850 € 6. Varios amigos quedan para cenar en un restaurante y deben pagar una cuenta de 144 €. Como dos no tienen dinero, el resto debe aportar 12 € más cada uno. Calcula cuántos amigos son. Sol: Son 6 amigos. 7. Un profesor de lengua calcula la nota final mediante dos exámenes, uno escrito, que es el 75% de la nota final, y otro de lectura, que es el 25%. Un alumno obtiene un 6 en el examen de lectura. ¿Qué nota tiene que sacar en el escrito para obtener como nota final al menos un 7? Sol: Al menos un 7,33. 8. La suma de dos números es 40. Hállalos, sabiendo que el menor más la raíz cuadrada del mayor es 10. Sol: Los números son 4 y 36.