08 – Losas delgadas Teoría de Kirchhoff Diego Andrés Alvarez Marín Profesor Asistente Universidad Nacional de Colombia Sede Manizales

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Introducción ●

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Elementos laminares delgados –

Losas o placas (son elementos planos)

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Láminas de superficie curva

Losas: –

Losas delgadas: teoría de Kirchhoff

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Losas gruesas (y delgadas): teoría de ReissnerMindlin

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Algunas definiciones ●

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Placa: sólido paralelepípedo en el que una de sus dimensiones (espesor t) es mucho más pequeña que las otras dos. Plano medio de la placa: superficie plana equidistante de las caras mayores de la placa

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Teoría de Kirchhoff vs Teoría de Reissner-Mindlin La teoría de Kirchhoff asume que las secciones ortogonales y planas al plano medio de la placa se mantienen planas y ortogonales despues de la deformación de la placa. La teoría de RM asume que se mantienen planas pero NO ortogonales después de la deformación. Kirchhoff:

Reissner-Mindlin:

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Hipótesis fundamentales de la teoría de Kirchhoff 1) Los puntos del plano medio solo se desplazan verticalmente u = v = 0 2) Todos los puntos contenidos en una normal al plano medio tienen el mismo desplazamiento vertical 3) El esfuerzo normal σz es despreciable 4) Las secciones ortogonales y planas al plano medio de la placa se mantienen planas y ortogonales despues de la deformación de la placa. 5

Convención de signos, ejes de coordenadas y desplazamientos

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Campo de desplazamientos

Vector de movimientos (contiene los desplazamientos y giros de un punto del plano medio de la placa).

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Campos de deformaciones y esfuerzos

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Ley de Hooke

Matriz constitutiva para un elemento elástico isotropo

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Vector de momentos (vector de esfuerzos generalizados)

Recuerde que son momentos por unidad de longitud

Matriz constitutiva de flexión generalizada

El sub f quiere decir esfuerzos de flexión

Vector de deformaciones generalizadas de flexión (o vector de curvaturas) 10

Principio de los trabajos virtuales

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Principio de los trabajos virtuales

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Principio de los trabajos virtuales

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Ecuaciones de equilibrio de la placa

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Ecuación diferencial parcial que describe la flecha en una placa

D → rigidez a flexión de la placa (flexural stiffness). Sólo es válida para materiales elásticos e isótropos

Esta ecuación diferencial parcial junto con sus condiciones de frontera es el punto de partida para resolver analíticamente problemas de placas isotrópas.

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Condiciones de contorno

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Fuerzas y esfuerzos cortantes Una vez se resuelve la ecuación diferencial se calculan los momentos por unidad de longitud y las fuerzas cortantes por unidad de longitud finalmente, los esfuerzos máximos se estiman como: 17

Formulación de elementos finitos

El problema radica en la selección de términos del polinomio ya que cada alternativa genera un elemento diferente (y algunos de ellos no funcionan en la práctica). 18

Definiciones Se dice que un elemento finito es conforme cuando los desplazamientos y giros entre elementos son continuos. Se dice que un elemento cumple la condición de parcela cuando esto garantiza que la solución convergerá a la teorica al disminuir el tamaño de la malla. Se dice que el elemento tiene invarianza geométrica cuando el elemento (el polinomio) no tiene direcciones preferenciales. 19

Elemento rectangular de cuatro nodos MZC Este elemento finito fue propuesto en 1964 por Melosh, Zienkiewics, Cheung (MZC).

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Esta selección del campo de desplazamientos garantiza la invarianza geométrica (el polinomio no tiene direcciones preferenciales). Observe que a lo largo de los lados x=const y y=const la flecha w varía de acuerdo con un polinomio de tercer grado.

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Las constantes α1, α2, ..., α12se calculan haciendo

donde la matriz A está dada por:

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Utilizando funciones de forma, se puede expresar el desplazamiento vertical w como:

donde:

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Funciones de forma asociadas al nodo 1

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f

donde:

Para el cálculo de las derivadas anteriores utilizamos: 26

Reemplazando en el PTV

Carga puntual y los dos momentos flectores que equilibran el nodo i 27

La matriz de rigidez está dada por:

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El vector de fuerzas nodales equivalentes para una carga uniformemente repartida de magnitud q sobre el elemento es:

f

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Finalmente, los momentos flectores se calculan así:

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El elemento MZK es no conforme Es posible demostrar que aunque el campo de desplazamientos definido por:

establece la continuidad de w entre elementos, no garantiza, sin embargo, la continuidad de las primeras derivadas, excepto en los nodos donde, naturalmente, dichas derivadas toman un valor único. 31

Elemento finito triangular de Tocher (1962) Este elemento asume que el campo de desplazamientos está dado por:

1 x

y

x² xy y² x³ x²y xy² y³ J. L. Tocher, Analysis of plate bending using triangular elements, Ph. D. Dissertation, Dept. of Civil Engineering, University of California, Berkeley, California, 1962.

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Reemplazando en el PTV

Matriz constitutiva de flexión generalizada

Carga puntual y los dos momentos flectores que 36 equilibran el nodo i

Integración numérica utilizando las cuadraturas de Gauss Legendre sobre dominios triangulares ●

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David Dunavant, High Degree Efficient Symmetrical Gaussian Quadrature Rules for the Triangle, International Journal for Numerical Methods in Engineering,Volume 21, 1985, pages 1129-1148. http://people.sc.fsu.edu/~jburkardt/m_src/dunavant/dunavant.html

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En la tabla la precisión indica el grado del polinomio que se integra exactamente. En los artículos científicos usualmente se tabulan los Wi de modo que sumen 1. Sin embargo en la fórmula se requiere dividir por 1/2. Aquí los pesos ya se han 38 dividido por 1/2.

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El elemento de Tocher es no conforme, es decir, no respeta la condición de continuidad de la derivada normal a lo largo de los lados comunes entre elementos (pero si conserva la continuidad de los desplazamientos) La matriz A del elemento de Tocher se vuelve singular cuando los lados del triángulo son paralelos a los ejes x e y. 42