1º BACH CCSS - MATEMÁTICAS - PROBLEMAS DE ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE UNA VARIABLE ˆ EJERCICIO 24 Dada la siguiente tabla de ingresos: Ingresos mensuales

Frecuencia

Menos de 1000

35

[1000, 1100)

70

[1100, 1400)

70

[1400, 1600)

90

[1600, 1900)

85

Más de 1900

64

Construye el histograma de frecuencias relativas y el polígono de frecuencias relativas.

Calculamos las frecuencias relativas dividiendo las frecuencias entre el número total de casos, que, sumando, sabemos que es 414. Como no todos los intervalos poseen la misma amplitud, debemos hallar la altura de cada rectángulo teniendo en cuenta que el área del rectángulo sea proporcional a cada una de las frecuencias absolutas. Para ello, dividimos cada frecuencia relativa entre el número de veces que es mayor el intervalo correspondiente al menor de todos. Para la última clase podemos suponer que su límite superior es 2400.

ˆ EJERCICIO 25 Las edades de un grupo de 19 personas aparecen en la siguiente tabla: Edad

14

15

17

18

19

20

21

Nº de personas

3

1

2

3

5

3

2

(a) Halla la media, la moda y la varianza. (b) Halla el rango, la varianza y la desviación típica. (c) ¾Cuántos años tiene la persona de mayor edad, de entre las que se encuentran en el 40% de las personas con menor edad?

Sea la tabla: xi

fi

Fi

xi · fi

x i · Fi

14 15 17 18 19 20 21

3 1 2 3 5 3 2 19

3 4 6 9 14 17 19

42 15 34 54 95 60 42 342

588 225 578 972 1805 1200 882 6250

(a) Media: x =

342 19

= 18 años; moda: M o = 19 años; mediana: la mitad de los datos es

(b) Rango: 21 − 14 = 7 años; varianza: s2 =

6250 19

19 2

= 90 5, por tanto M e = 19 años.

− 182 = 40 95 años2 ; desviación típica: s = 20 22 años.

(c) Hay que calcular el percentil 40. Por debajo de esos años estará el 40% de las personas más jóvenes. 40N 100

760 100

=

= 70 6 ⇒ P40 = 18 años. La persona de más edad entre las que se encuentran en el 40 % de las más jóvenes

tiene 18 años. ˆ EJERCICIO 26 Los pesos, en kg, de 20 estudiantes son: 51

47

55

53

49

47

48

50

43

60

45

54

62

57

46

49

52

42

38

61

(a) Agrupa los datos en cinco clases de igual amplitud. (b) Dibuja el histograma y el polígono de frecuencias absolutas correspondientes. (c) Halla la media de los datos. (d) Calcula los cuartiles primero y tercero.

(a) Agrupamos los datos y formamos la tabla. [Li , Ls )

xi

fi

Fi

xi · fi

[37'5 - 42'5) [42'5 - 47'5) [47'5 - 52'5) [52'5 - 57'5) [57'5 - 62'5)

40 45 50 55 60

2 5 6 4 3 20

2 7 13 17 20

80 225 300 220 180 1005

(b) (c) x = (d)

N 4

1005 20

=

Q1 = 55. 3N 4

=

60 4

20 4

= 500 25 = 5 ⇒ el cuartil primero está en la segunda clase. Tomaremos como valor aproximado su marca de clase,

= 15 ⇒el cuartil tercero está en la cuarta clase. Tomaremos como valor aproximado su marca de clase, Q3 = 55.

ˆ EJERCICIO 27 El siguiente diagrama de barras muestra las calicaciones obtenidas por un grupo de 50 alumnos.

Construye el histograma correspondiente a las calicaciones numéricas y calcula la calicación media, teniendo en cuenta el siguiente cuadro de equivalencias: Suspenso

Aprobado

Notable

Sobresaliente

[0, 5)

[5, 7)

[7, 9)

[9, 10)

Como no todos los intervalos poseen la misma amplitud, debemos hallar la altura de cada rectángulo, teniendo en cuenta que el área del rectángulo sea proporcional a cada una de las frecuencias absolutas. [Li , Ls )

xi

fi

xi · fi

Base del rectángulo

Altura del rectángulo (fi /base)

[0, 5)

2'5 6 8 9'5

20 14 12 4 50

50 84 96 38 268

5 2 2 1

4 7 6 4

[5, 7) [7, 9) [9, 10)

ˆ EJERCICIO 28 Una ocina bancaria ha tabulado las cantidades de dinero que retiran de sus cuentas 100 clientes en un determinado día. Euros

[0, 120)

[120, 240)

[240, 360)

[360, 480)

[480, 600)

Cliente

33

27

19

14

7

Halla: (a) La cantidad media de dinero retirado por cliente. (b) ¾Qué porcentaje de clientes retiraron fondos por encima de la mediana?

(c) Halla los cuartiles Q1 , Q2 y Q3 .

Formamos la tabla: Euros xi 60 180 300 420 540

[0 − 120) [120 − 240) [240 − 360) [360 − 480) [480 − 600)

(a) x =

fi

Fi

xi · Fi

33 27 19 14 7 100

33 60 79 93 100

1980 4860 5700 5880 3780 22200

= 222 ¿

22200 100

(b) Por la denición de mediana, el porcentaje es el 50 %. (c) N 2

N 4

=

3N 4

100 4

= 100 2

=

= 25 ⇒ Q1 = 60

= 50 ⇒ Q2 = 180

300 4

= 75 ⇒ Q3 = 300

ˆ EJERCICIO 29 Un especialista en pediatría obtuvo la siguiente tabla sobre los meses de edad de 50 niños de su consulta en el momento de andar por primera vez: Meses

9

10

11

12

13

14

15

Niños

1

4

9

16

11

8

1

(a) Dibuja el polígono de frecuencias. (b) Calcula la mediana, la moda y la varianza. (c) Halla el rango y el rango intercuartílico.

(a) (b) Formamos la siguiente tabla: xi

fi

Fi

x2i

fi · xi

fi · x2i

9 10 11 12 13 14 15

1 4 9 16 11 8 1 50

1 5 14 30 41 49 50

81 100 121 144 169 196 225

9 40 99 192 143 112 15 610

81 400 1089 2304 1859 1568 225 7526

N 2

=

50 2

= 25 ⇒ M e = 12 meses

M o = 12 meses x= s2 =

610 50

= 120 2 meses

7526 50

− 120 22 = 10 68 meses

(c) Rango: 15 − 9 = 6 meses N 4

=

50 4

= 120 5 ⇒ Q1 = 11 meses;

3N 4

=

150 4

= 370 5 ⇒ Q3 = 13 meses

Rango intercuartílico: 13 − 11 = 2 meses ˆ EJERCICIO 30 Se han lanzado dos dados 120 veces y cada vez se ha anotado su suma. Los resultados vienen reejados en la siguiente tabla: Sumas

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Nº de veces

3

8

9

11

20

19

16

13

11

6

4

(a) Calcula la media x y la desviación típica s. (b) Halla el porcentaje de valores comprendido en intervalos (x − s, x + s), (x − 2s, x + 2s) y (x − 3s, x + 3s).

Formamos la tabla: xi

fi

x2i

xi · fi

x2i · fi

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

3 8 9 11 20 19 16 13 11 6 4 120

4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144

6 24 36 55 120 133 128 117 110 66 48 843

12 72 144 275 720 931 1024 1053 1100 726 576 6633

(a) x =

843 120

= 70 025; s2 =

6633 120

− 70 0252 = 50 924; s =

√

50 924 = 20 43

(b) Los valores comprendidos en (x − s, x + s)=(40 595, 90 455) son los correspondientes a las sumas 5, 6, 7, 8 y 9, que dan 79 un total de 79 valores, es decir el 120 · 100 = 650 83% de los datos. Igualmente, los valores comprendidos en (x − 2s, x + 2s)=(20 165, 110 885) son los correspondientes a las sumas 3, 4, 5, 6, 113 7, 8, 9, 10 y 11, que dan un total de 113 valores, es decir el 120 · 100 = 940 17% de los datos. Por último, los valores comprendidos en (x − 3s, x + 3s)=(−00 265, 140 315) son el 100% de los datos. ˆ EJERCICIO 31 Se ha pasado un test de 79 preguntas a 600 personas. El número de respuestas correctas se reeja en la siguiente tabla: Respuestas

Nº de personas

[0,10)

40

[10,20)

60

[20,30)

75

[30,40)

90

[40,50)

105

[50,60)

85

[60,70)

80

[70,80)

65

(a) Dibuja el histograma y el polígono de frecuencias de las frecuencias absolutas.

(b) Halla la media y la desviación típica de respuestas correctas. (c) Calcula la mediana y el primer cuartil. ¾Qué miden estos parámetros?

(a) (b) Formamos la tabla: [Li , Ls )

xi

x2i

fi

Fi

fi · xi

fi · x2i

[0,10) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80)

5 15 25 35 45 55 65 75

25 225 6.25 1.225 2.025 3.025 4.225 5.625

40 60 75 90 105 85 80 65

40 100 175 265 370 455 535 600

200 900 1.875 3.150 4.725 4.675 5.200 4.875 25.600

1.000 13.500 146.875 110.250 212.625 257.125 338.000 365.625 1.345.000

x=

25.600 600

= 420 67 preguntas correctas; s2 =

1.345.000 600

− 420 672 = 4200 94; s =

√

4200 94 = 200 52 preguntas correctas

(c)

600 2

600 4

= 150, que está en la tercera clase, por lo que tomaremos como valor del primer cuartil Q1 = 25.

= 300, que está en la quinta clase, por lo que tomaremos como valor de la mediana M e = 45.

ˆ EJERCICIO 32 En una encuesta sobre tráco se ha preguntado a 1000 conductores sobre el número de multas recibidas que ha sido mayor o igual a cero y menor o igual a 5. Al efectuar la tabla correspondiente, algún número ha desaparecido, por lo que disponemos de la siguiente información: Nº de conductores

-

260

150

190

100

90

Número de multas

0

1

2

3

4

5

Halla:

(a) La media. (b) La mediana. (c) La moda. (d) La desviación típica. (e) Los cuartiles primero y tercero. (f) El rango intercuartílico.

El dato desconocido es: 1000 − (260 + 150 + 190 + 100 + 90) = 210. Formamos la tabla:

xi

fi

Fi

xi · fi

x2i · fi

0 1 2 3 4 5

210 260 150 190 100 90 1000

210 470 620 810 910 1000

0 260 300 570 400 450 1980

0 260 600 1710 1600 2250 6420

(a) x == (b)

1000 2

1980 1000

= 10 98 multas

= 500 ⇒ M e = 2 multas

(c) M o = 1 multa (d) s2 =

6420 1000

− 10 982 = 20 4996 ⇒ s =

(e)

N 4

=

1000 4

= 250 ⇒ Q1 = 1 multa

3N 4

=

3000 4

√

20 4996 = 10 58 multas

= 250 ⇒ Q3 = 3 multas

(f) Rango intercuartílico: Q3 − Q1 = 3 − 1 = 2 multas ˆ EJERCICIO 33 Un dentista observa el número de caries de cada uno de los 100 niños de un colegio. La información resumida aparece en la siguiente tabla: Número de caries

Frecuencia absolutas

Frecuencia relativa

0

25

0'25

1

20

0'20

2

x

z

3

15

0'15

4

y

0'05

(a) Completa la tabla obteniendo los valores x, y, z. (b) Dibuja un diagrama de sectores. (c) Realiza un diagrama de barras. (d) Calcula el número medio de caries. (e) Calcula los cuartiles.

(a) La suma de las frecuencias relativas ha de ser igual a 1: 00 25 + 00 20 + z + 00 15 + 00 05 = 1 ⇒ z = 00 35. La frecuencia relativa de un dato es igual a su frecuencia absoluta dividida por la suma de las frecuencias absolutas, que el enunciado nos dice que es 100. x 100

= 00 35 ⇒ x = 35 ;

y 100

= 00 05 ⇒ y = 5

(b)

(c) (d) Formamos la tabla: xi

fi

Fi

xi · fi

0 1 2 3 4

25 20 35 15 5 100

25 45 80 95 100

0 20 70 45 20 155

x=

(e)

155 100 N 4

= 10 55 caries

= 25 ⇒ Q1 = 0 caries;

N 2

= 50 ⇒ Q2 = 2 caries;

3N 4

= 75 ⇒ Q3 = 2 caries

ˆ EJERCICIO 34 El número de horas que 20 trabajadores perdieron por bajas médicas el año pasado es el siguiente: 0 3 4 8 10 12 12 15 15 17 19 21 21 23 25 26 32 33 40 60 (a) Construye la tabla de frecuencias agrupando los datos en intervalos de amplitud 10, indicando también las frecuencias absolutas y relativas acumuladas. (b) Dibuja el histograma y el polígono de frecuencias de las frecuencias relativas.

(c) Halla la media de días no trabajados por trabajador. (d) Halla el rango intercuartílico. (e) Calcula el coeciente de variación.

(a) [Li , Ls )

xi

fi

Fi

hi

Hi

xi · fi

x2i · fi

[0,10) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70)

5 15 25 35 45 55 65

4 7 5 2 1 0 1 20

4 11 16 18 19 19 20

0'2 0'35 0'25 0'1 0'05 0 0'05 1

0'2 0'55 0'8 0'9 0'95 0'95 1

20 105 125 70 45 0 65 430

100 1575 3125 2450 2450 0 4225 13500

(b) (c) x =

430 20

= 210 5 bajas

(d)

N 4

3N 4

= 5 ⇒el primer cuartil está en el intervalo [10,20)⇒ Q1 = 15

= 15 ⇒el tercer cuartil está en el intervalo [20,30)⇒ Q3 = 25

Por tanto, el rango intercuartílico es: RI = Q3 − Q1 = 25 − 15 = 10. (e) s2 = CV =

s x

13500 20

=

− 210 52 = 2120 75 ⇒ s =

140 59 210 5

√

s2 =

√

2120 75 ' 140 59 bajas

' 00 68

ˆ EJERCICIO 35 Las sumas de los puntos obtenidos al lanzar 20 veces dos dados son: 9 3 6 4 5 8 5 6 4 11 7 8 7 8 5 7 2 9 7 10 (a) Calcula las frecuencias absolutas y relativas. (b) Halla la media, la mediana y la moda. (c) Calcula la varianza y la desviación típica.

(a) Formamos la tabla:

xi

fi

Fi

hi

xi · fi

x2i · fi

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1 1 2 3 2 4 3 2 1 1 20

1 2 4 7 9 13 16 18 19 20

0'05 0'05 0'1 0'15 0'1 0'2 0'15 0'1 0'05 0'05 1

2 3 8 15 12 28 24 18 10 11 131

4 9 32 75 72 196 192 162 100 121 963

(b) x =

= 60 55; M e = Q2 = 7, pues N2 = 10; M o = 7. √ 0 2 0 (c) s2 = 963 50 25 = 20 20. 20 − 6 55 = 5 25 ⇒ s = 131 20

ˆ EJERCICIO 36 La tabla adjunta muestra el presupuesto dedicado a acción social de varios municipio de una determinada comunidad autónoma. Presupuesto (en miles de euros)

Número de municipios

[0,30)

8

[30,60)

12

[60,90)

19

[90,120)

21

[120,150)

14

[150,180)

6

(a) Representa grácamente la distribución mediante un histograma y su polígono de frecuencias. (b) Halla la mediana e interpreta este parámetro. (c) Calcula la media. (d) ¾Cuál es la proporción de municipios que dedican a acción social más de 30.000 euros y menos de 150.000? (a) Formamos la tabla:

[Li , Ls )

xi

fi

Fi

xi · Fi

[0,30) [30,60) [60,90) [90,120) [120,150) [150,180)

15 45 75 105 135 165

8 12 19 21 14 6 80

8 20 39 60 74 80

120 540 1425 2205 1890 990 7170

(b) La mitad de los datos en 40. Como los 40 se alcanzan en la cuarta clase, tomaremos como aproximación a la mediana la marca de clase, es decir, M e = 105. La mitad de los datos son inferiores a 105, y la otra mitad, superiores. (c) x =

7170 80

= 890 625

(d) Hemos de considerar las frecuencias correspondientes a las clases 2ª, 3ª, 4ª y 5ª: 12 + 19 + 21 + 14 = 66. Con una simple proporción, x = 66·100 = 820 5%. Es decir, aproximadamente el 83% de los municipios dedica a acción social más de 80 30.000 euros y menos de 150.000. ˆ EJERCICIO 37 Se ha realizado un test, compuesto de 10 preguntas, a 40 alumnos de un grupo, con los siguientes resultados: Respuestas

[0,2)

[2,4)

[4,6)

[6,8)

[8,10)

Alumnos

4

9

15

7

5

(a) Representa grácamente la distribución. (b) Calcula el valor de la moda. (c) Halla la varianza y la desviación típica. (d) ¾A partir de qué dato se encuentra el 70% de los alumnos que han obtenido la mejor nota?

(a) Formamos la tabla: [Li , Ls )

xi

fi

Fi

xi · fi

x2i · fi

[0,2) [2,4) [4,6) [6,8) [8,10)

1 3 5 7 9

4 9 15 7 5 40

4 13 28 35 40

4 27 75 49 45 200

4 181 375 343 405 1208

(b) La clase modal es [4,6). Tomaremos como aproximación de la moda la marca de clase: M o = 5. (c) x =

200 5

= 5; s2 =

1208 40

− 52 = 50 2 ⇒ s =

(d) Hay que calcular el percentil 30: la marca de clase, P30 = 3.

30N 100

=

√

50 2 = 20 28

1200 100

= 12 ⇒el percentil 30 se encuentra en la clase [2,4). Tomamos como P30

ˆ EJERCICIO 38 La tabla adjunta muestra las distancias, en cm, alcanzadas por un grupo de alumnos en salto de longitud. Longitud del salto (cm)

Número de alumnos

[100,110)

3

[110,120)

7

[120,130)

15

[130,140)

16

[140,150)

6

[150,160)

2

(a) Halla la media, la mediana y la moda. (b) Halla el rango y el rango intercuartílico, e interpreta este último parámetro.

(a) Formamos la tabla: [Li , Ls )

xi

fi

Fi

xi · fi

[100,110) [110,120) [120,130) [130,140) [140,150) [150,160)

105 115 125 135 145 155

3 7 15 16 6 2 49

3 10 25 41 47 49

315 805 1875 2160 870 310 6335

x= N 2

=

6335 49 49 2

= 1290 29

= 240 5. La mediana se encuentra en la clase [120,130), por tanto M e = 125.

La clase modal es [130,140), por tanto M o = 135. (b) R = 160 − 100 = 60 N 4

=

49 4

= 120 25 ⇒el primer cuartil se alcanza en [120,130), por tanto Q1 = 125 cm.

3N 4

49·3 4

=

= 360 75 ⇒el tercer cuartil se alcanza en [130,140), por tanto Q2 = 135 cm.

RI = Q3 − Q1 = 135 − 125 = 10 cm. El 50% de los datos de la zona central están en tan solo 10 cm. ˆ EJERCICIO 39 Se ha contado el número de ocinas municipales de información al consumidor abiertas al público en 25 ciudades. Estos son los datos: 3642345473545433432461825 (a) Construye la tabla de frecuencias y representa el diagrama de barras. (b) Halla la media. (c) Halla la desviación media. (d) Calcula la varianza, la desviación típica y el coeciente de variación. (e) Calcula la mediana y el rango intercuartílico.

xi

fi

Fi

hi

Hi

xi · fi

|xi − x|

|xi − x| · fi

x2i · fi

1 2 3 4 5 6 7 8

1 3 6 7 4 2 1 1 25

1 4 10 17 21 23 24 25

0'04 12 0'24 0'28 0'16 0'08 0'04 0'04 1

0'04 0'16 0'40 0'68 0'84 0'92 0'96 1

1 6 18 28 20 12 7 8 100

3 2 1 0 2 2 3 4

3 6 6 0 2 2 3 4 30

1 12 54 112 100 72 49 64 464

(a)

(b) x =

100 25

=4

(c) Dx =

30 25

(d) s2 =

464 25

CV =

s x

=

= 10 2 − 42 = 20 56 ⇒ s =

10 6 4

√

20 56 = 10 6

= 00 4

(e) La mediana corresponde al dato número 13 de la serie ordenada, por tanto: M e = 4. N 4 3N 4

=

25 4

=

= 60 25 ⇒el primer cuartil corresponde al séptimo dato de la serie ordenada; por tanto Q1 = 3 cm.

25·3 4

= 180 75 ⇒el tercer cuartil corresponde al dato decimonoveno de la serie; por tanto Q3 = 5 cm.

RI = Q3 − Q1 = 5 − 3 = 2 ˆ EJERCICIO 40 Al estudiar la distribución de la edad en una población se obtuvieron los resultados siguientes: Edad (en años)

[0,20)

[20,40)

[40,60)

[60,80)

Número de individuos

15

?

15

16

Como se ve, se ha extraviado el dato correspondiente al intervalo [20,40). (a) ¾Cuál será el valor de este dato si la media es de 35 años? (b) ¾Cuál será el valor de este dato si la mediana es de 30 años? (c) ¾Cuál será la desviación típica si el dato es 16?

(a) Formamos la tabla: [Li , Ls )

xi

fi

xi · fi

[0,20) [20,40) [40,60) [60,80)

10 30 50 70

15

150

f2

30 · f2

15 16

750 1120

46 + f2

2020 + 30 · f2

Sea f2 la frecuencia del intervalo [20,40) si la edad media fuera 35 años. Entonces:

35 =

2020+30·f2 46+f2

⇒ 1610 + 35 · f2 = 2020 + 30 · f2 ⇒ f2 = 82

(b) Formamos la tabla: [Li , Ls )

xi

fi

Fi

[0,20) [20,40) [40,60) [60,80)

10 30 50 70

15

150

f2

15 + f2

15 16

30 + f2 46 + f2

46 + f2

La mediana es el dato central de la distribución. Como M = 30, se deduce que:

46+f2 2

≥ 31 ⇒ 46 + f2 ≥ 62 ⇒ f2 ≥ 16.

(c) Formamos la tabla: [Li , Ls )

xi

fi

xi · fi

x2i · fi

[0,20) [20,40) [40,60) [60,80)

10 30 50 70

15 16 15 16

150 480 750 1.120 2.500

1.500 14.400 37.500 78.400 131.800

46 + f2 x=

2500 62

= 40 32; s2 = 0

131.800 62

− 400 322 = 5000 1 ⇒ s = 220 36

ˆ EJERCICIO 41 Un centro de enseñanza tiene tres grupos de 1º de Bachillerato. La nota media de los alumnos del grupo A es de 5'7 puntos, la de los del grupo B es de 5'6, y la de los del grupo C es de 5'5. En el grupo A hay 30 alumnos, y se sabe que en el grupo C hay 5 alumnos más que en el grupo B. Si la nota media de todos los alumnos de 1º de Bachillerato del centro es de 5'6 puntos, ¾cuántos alumnos de 1º de Bachillerato hay en el mismo?

Sea b el número de alumnos del grupo B, b + 5 será el número de alumnos del grupo C. 50 6 =

30·50 7+b·50 6+(b+5)·50 5 30+b+(b+5)

⇒ 50 6 =

1980 5+110 1+b 35+2b

⇒ 196 + 110 2 · b = 1980 5 + 110 1 · b ⇒ b = 25

El número de alumnos de 1º de Bachillerato en el Instituto es: 30 + 25 + 30 = 85.