GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 2010–11. MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II Lección 1. Funciones y derivada.

6. Optimización de funciones de una variable. En esta sección estudiaremos cómo calcular los extremos absolutos (si estos existen) de una función suficientemente regular f : x ∈ I ⊆ \ → f ( x) ∈ \.

DEFINICIÓN (EXTREMOS ABSOLUTOS). Se dice que la función f alcanza el máximo absoluto en el intervalo I en el punto a ∈ I , si f (a) ≥ f ( x) para todo x ∈ I . Análogamente, se dice que la función f alcanza el mínimo absoluto en el intervalo I en el punto a ∈ I , si f (a ) ≤ f ( x) para todo x ∈ I . Al máximo o al mínimo absolutos se les llama extremos (absolutos) de la función f en el intervalo I . En general, una función no tiene extremos absolutos en un conjunto. El siguiente resultado establece condiciones para que una función posea tales extremos. TEOREMA (WEIERSTRASS). Sea f : x ∈ [a, b] → f ( x) ∈ \ una función continua en el intervalo [a, b]. Entonces tiene máximo y mínimo absolutos, es decir, existen dos puntos x1 y x2 del intervalo [a, b] tales que f ( x1 ) ≤ f ( x) ≤ f ( x2 ) para todo x ∈ [ a, b]. Estos puntos x1 y x2 donde la función continua alcanza los extremos absolutos no son únicos y pueden ser puntos interiores del intervalo, puntos extremos del intervalo o ambos.

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Si los extremos absolutos (máximo o mínimo) se alcanzan en puntos interiores de un intervalo I , entonces son también lo que se conoce como extremos relativos, concepto que pasamos a definir a continuación. DEFINICIÓN (EXTREMO RELATIVO). Sea f : x ∈ I ⊆ \ → f ( x) ∈ \ y sea a un punto interior de I . Se dice que f alcanza un máximo relativo en a si existe un número δ > 0 tal que f (a ) ≥ f ( x) para todo x ∈ ( a − δ , a + δ ) . Análogamente, se dice que f alcanza un mínimo relativo en a si existe un número δ > 0 tal que f (a ) ≤ f ( x) para todo x ∈ ( a − δ , a + δ ) .

El siguiente resultado explica por qué, usualmente, necesitamos considerar sólo unos cuantos puntos para obtener los extremos absolutos de una función. PROPOSICIÓN. Sean f : x ∈ I → f ( x) ∈ \ una función derivable y a un punto interior a I . Si f alcanza un extremo relativo en a, entonces f ′(a ) = 0. DEM. Supongamos que la función f tiene un máximo relativo en el punto a. Entonces existe un número positivo δ tal que f (a ) ≥ f ( x) para todo x ∈ ( a − δ , a + δ ). De esta forma, si 0 < h < δ se f ( a + h) − f ( a ) verifica que ≤ 0, ya que el numerador es negativo y el denominador es positivo. h f ( a + h) − f ( a ) f ( a + h) − f ( a ) = lim+ ≤ 0. Si, por el contrario, tomamos ahoPor tanto, f ′(a ) = lim h →0 h →0 h h f ( a + h) − f ( a ) ra −δ < h < 0, se verifica que ≥ 0, ya que tanto el numerador como el denominador h f ( a + h) − f ( a ) f ( a + h) − f ( a ) son negativos. Por tanto, f ′(a ) = lim = lim− ≥ 0. Por consiguiente, h →0 h →0 h h hemos probado que f ′(a ) = 0. Los puntos a, interiores al intervalo I , tales que f ′(a ) = 0 se llaman puntos críticos de la función f en el intervalo I . La proposición anterior asegura que los extremos relativos son puntos críticos.

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En general, no es cierto que todo punto crítico sea un extremo relativo. PROPOSICIÓN. Sea f : x ∈ I → f ( x) ∈ \ una función suficientemente regular y a un punto interior de I . Si f alcanza un máximo relativo en a, entonces f ′′(a ) ≤ 0. En cambio, si f alcanza un mínimo relativo en a, entonces f ′′(a ) ≥ 0.

DEM. Supongamos que f alcanza un máximo relativo en a. El teorema de Taylor garantiza que 1 R ( h) f (a + h) = f (a) + f ′′(a )h 2 + R2 (h), donde lim 2 2 = 0. Por tanto, h →0 2 h R ( h) f ( a + h) − f ( a ) 1 = f ′′(a) + 2 2 . 2 h 2 h 1 f ′′(a). Por otro lado, teniendo en cuenta que 2 f alcanza un máximo relativo en a, para h suficientemente pequeño el término de la izquierda es negativo. Por consiguiente, f ′′(a ) ≤ 0. Igualmente se prueba, en el caso en que f alcanza un mínimo relativo en a, que f ′′(a ) ≥ 0. Cuando h → 0, el término de la derecha converge a

El siguiente resultado es el recíproco de la proposición anterior. PROPOSICIÓN. Sea f : x ∈ I → f ( x) ∈ \ una función suficientemente regular y a un punto interior de I . Si a es un punto crítico y f ′′(a) > 0, entonces la función f alcanza un mínimo relativo en el punto a. Análogamente, si a es un punto crítico y f ′′(a) < 0, entonces la función f alcanza un máximo relativo en el punto a. DEM. Supongamos que a es un punto crítico de la función f y que f ′′(a ) > 0. El teorema de TayR ( h) 1 lor garantiza que f (a + h) = f (a) + f ′′(a )h 2 + R2 (h), donde lim 2 2 = 0. De esta forma, pode0 h → 2 h mos encontrar un número positivo δ tal que si h ∈ (−δ , δ ), entonces se verifica que f ′′(a) R2 (h) f ′′(a) . En este caso tenemos que − ≤ 2 ≤ 2 h 2 f ( a + h) − f ( a ) =

R ( h) ⎞ 1 ⎛1 f ′′(a )h 2 + R2 (h) = h 2 ⎜ f ′′(a) + 2 2 ⎟ ≥ 0. h ⎠ 2 ⎝2

Es decir, f (a + h) ≥ f (a) y, por tanto, la función f tiene un mínimo en el punto a. Igualmente se prueba la otra afirmación. OBSERVACIÓN. Si la segunda derivada también se anula, es decir si f ′′(a ) = 0, el criterio anterior no da información sobre los extremos relativos. La función f ′′(a ) = 0, puede tener en el punto a un mínimo relativo, un máximo relativo o ninguno de los dos. No obstante, existe un criterio que usa derivadas de orden superior y nos permite decidir si el punto crítico a es extremo relativo o punto de inflexión de la función f .

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EJERCICIO 1. El precio de una gema (diamante, rubí, zafiro,…) ha sido establecido por la gemología como proporcional al cuadrado de su peso en quilates (1 quilate equivale a 0,2 gramos). Determina la mejor forma de dividir un diamante de 5 quilates en dos trozos, no necesariamente iguales. EJERCICIO 2. Un granjero quiere cercar un terreno de pasto rectangular de área A adyacente a un muro de piedra. ¿Qué dimensiones exigen la mínima cantidad de alambre para cerca? EJERCICIO 3. Una ventana tiene forma de rectángulo terminado por un semicírculo de diámetro igual a la base del rectángulo. La porción rectangular ha de ser transparente y la parte circular ha de ser de un tipo de cristal de color que sólo deja pasar la mitad de luz por metro cuadrado que el cristal transparente. El perímetro total de la ventana ha de tener longitud P. Halla, en función de P, las dimensiones de la ventana que dejan pasar la mayor cantidad de luz posible.

EJERCICIO 4. La siguiente figura muestra un rectángulo inscrito en un triángulo rectángulo isósceles, cuya hipotenusa mide 2 unidades.

(1) Expresa la coordenada y de P en términos de x. (2) Expresa el área del rectángulo en términos de x. (3) ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo de mayor área? ¿Cuál es su área? EJERCICIO 5. Encuentra las dimensiones de un cilindro circular recto de volumen máximo que se puede inscribir en una esfera de radio 10 cm. ¿Cuál es el volumen máximo? EJERCICIO 6. El abrevadero de la siguiente figura se debe hacer con las dimensiones que se muestran. Solamente se puede variar el ángulo θ . ¿Qué valor de θ maximizará su volumen?

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EJERCICIO 7. Se quiere construir un silo (sin incluir la base) en forma de cilindro rematado por una semiesfera El coste de construcción por unidad de superficie es dos veces mayor para la esfera que para la pared cilíndrica. Determina las dimensiones que se deben usar si el volumen es fijo para que el coste de construcción sea mínimo. EJERCICIO 8. Se dobla en dos una hoja de cartulina de 24 por 36 cm para formar un rectángulo de 24 por 18 cm, como se muestra en la figura siguiente. Después se cortan, de las esquinas del rectángulo doblado, cuatro cuadrados de longitud x. Se desdoblan la hoja y las seis solapas se desdoblan hacia arriba para formar una caja con paredes y tapa. (1) Escribe una fórmula V ( x) para el volumen de la caja en función de x, determina el dominio apropiado de la función V y dibuja la función V ( x). (2) Calcula el valor de x que da un volumen de 1120 cm3. (3) Calcula el valor de x que maximiza la función V ( x). ¿Cuál es el volumen máximo?

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