MATEMÁTICA 1 JRC El que no estudia en su juventud… se lamentará en las ocasiones en que deba hacer uso del conocimiento.

1. Completa las sucesiones, e indica la regla de formación que corresponda en cada caso. a)

20; 24; 28; 32; ……… …………………………………………………

b)

300; 298; 296; 294; ……. …………………………………………………

c)

30; 50; 70; 90; …….. ………………………………………………….

d)

9; 10; 12; 15; 19; …... ………………………………………………….

e)

12; 12; 12; 12; 12; ………… ………………………………………………….

f)

3; 5; 9; 15; 23; ………. ………………………………………………….

g)

3; 6; 12; 24; ………… ………………………………………………….

h)

1; 3; 9; 27; 81; …………. ………………………………………………….

2. Encuentre el valor del décimo término de las sucesiones del ejercicio anterior. a) …………………….. e) …………………….. b)

……………………..

f) ……………………..

c)

……………………..

g ……………………..

d)

……………………..

h) ……………………..

3. Resuelve, analiza y responde  Halla la suma del primer y último término de las sucesiones del ejercicio 1 a) …………………….. e) …………………….. b)

……………………..

f) ……………………..

c)

……………………..

g ……………………..

d)

……………………..

h) ……………………..

4. Suma el segundo y el penúltimo término de las sucesiones del ejercicio 1 a) …………………….. e) …………………….. b)

……………………..

f) ……………………..

c)

……………………..

g ……………………..

d)

……………………..

h) ……………………..

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MATEMÁTICA 2 JRC El que no estudia en su juventud… se lamentará en las ocasiones en que deba hacer uso del conocimiento.

5. Halla el valor numérico de las siguientes expresiones: 3 1 a. c  5 2

b.

n2  n  3n  1

c.

a2  b2  c2

para n = – 1

si b= 0,4cm a= 0,3cm

6. Resuelve respetando el orden de las operaciones: 40  ( 2)  5  3.( 2)  a)

b)

a + (b – c ) + 2a – ( a + b) =

c)

5x + ( – x – y ) – [– y + 4x] =

d)

64  ( 4)( 2)  1

e)

log 2 32  5(3) 

f)

5  (3)2 3  10  (2) 

para c = 

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3 2

MATEMÁTICA 3 JRC El que no estudia en su juventud… se lamentará en las ocasiones en que deba hacer uso del conocimiento.

Expresa la variable en términos de las otras dadas. a)

b

en

b)

r

en

c)

π

en

a2  b2  c2

r 2  A 2r  L

7. Encuentre el valor del sexto término de cada sucesión. a) 3; 5; 7; 9; ………………………………….. b)

26; 32; 38; ……………………………………

8. Halla el término que sigue: a) 31; 74; 33; 73; 35; 72; …………. b)

26; 24; 22; 20; ……………..

9. Halla la regla de formación en cada caso. a) 3; 5; 7; 9; ….

1.

……………………………..

b)

15; 20; 25; 30; ….

……………………………..

c)

2; 5; 10; 17; 26; …….

……………………………..

SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales (N) y su rango es un subconjunto de los números reales (R) En general, podemos decir que una sucesión está definida por una expresión con una variable que toma valores naturales de 1 en adelante y en forma sucesiva, obteniendo así los términos de la sucesión. f "Para ser feliz no se N R 1 2 3 4 . . . n

necesita oro ni dinero, sino amor, amistad y luz interior".

a1 a2 a3 a4 . . . an

Elementos del Dominio

Elementos del Rango

EJEMPLO 1: La sucesión formada por los números pares tiene por término general Sn=2n. De modo que si reemplazamos n por los valores naturales 1; 2; 3; 4; ….; se generan los términos. Para: n=1 S n  2n S1  .......... S1  2 Para:

n=2

S n  2.n

S 2  ..........

S2  4

Para:

n=4

S n  2n

S 4  2(4)

S 4  .......

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MATEMÁTICA 4 JRC El que no estudia en su juventud… se lamentará en las ocasiones en que deba hacer uso del conocimiento.

El conjunto de los números pares: {2; 4; 6; 8; 10; ….} EJEMPLO 2: El término general de la sucesión de números impares es: S n  2n  1 Luego: Para: n=1 S n  2n  1 S1  ...................... S1  1 Para:

n=2

S n  2.n  1

S1  ......................

S2  3

Para:

n=3

S n  2n  1

S 3  2(3)  1

S3  5

El conjunto de los números pares: {1; 3; 5; 7; 9; ….} En la sucesión S n  a1 ; a 2 ; a3 ; a 4 : .........; los puntos suspensivos después de a 4 sirven para indicar que la sucesión se prolonga indefinidamente, es decir, tiene infinitos términos. 

Una sucesión es infinita cuando no tiene último término, es decir, dado cualquier término de la sucesión, existen términos siguientes a él, ejemplo: los términos de la sucesión:  n  sn    ; son n  2 1 1 2 2 3 3 s1   s2   s3   ; ……….. 1 2 3 22 4 3 2 5

Una sucesión es finita, cuando tiene un término que es el último Ejemplo: 3; 7; 11; 15; 19; 23; 27. Como se observará esta sucesión tiene un último término que es 27, por lo tanto, la sucesión es finita. DETERMINACIÓN DE UNA SUCESIÓN: Una sucesión puede estar determinada por el término general o por una ley de recurrencia. A. Por el término general. Ejemplo: 3n  1 Escribir la sucesión cuyo término general es: f (n)  2n  5 Resolución: si n = 1; 2; 3; 4; ……. Y se tendrá 31  1 2  Para: n = 1; el término de la sucesión es: f (1)  2(1)  5 7 

2.

Luego: los términos de la sucesión son:

2 8 26 ; ; ;.......... 7 9 11

B. Por una ley de recurrencia: Que permite obtener un término a partir de otros anteriores Ejemplo. Escribir la sucesión cuyo primer término es 2; sabiendo que cada término siguiente es el cuadrado del anterior. f1 = 2;

f2 = 2 2 = 4;

f2 = 4 2  16 ;

Luego, los términos de la sucesión son:

f2 = 16 2  256 ; …….. 2; 4; 16; 256; ……….

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MATEMÁTICA 5 JRC El que no estudia en su juventud… se lamentará en las ocasiones en que deba hacer uso del conocimiento.

Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada término es igual al anterior más un número constante. El número constante que se suma a cada término se llama razón o diferencia de la progresión por ser igual a la diferencia entre un término cualquiera y su anterior. En la progresión aritmética: 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17;...

a1  5

  

El primer término es La Razón es: El número de términos:

d=2 n



Término enésimo:

an

La fórmula del término general

an Simbólicamente:

an  a1  (n  1)d

1.

Hallar el término vigésimo de una 2. Halla el primer término de una progresión aritmética cuyo primer progresión aritmética sabiendo que el término es 120 y la diferencia es – 3. 20 décimotercer término es  y la a) 78 3 b) 45 1 diferencia es  c) 63 2 d) 53 2 a)  e) 89 3 1 b) 3 c) 4 d) 3 3.

Halla la diferencia de una progresión de quince términos si el primer término es 1 5  y el último es . 8 2

¿Cuántos términos tiene una progresión aritmética si se sabe que su diferencia es – 25, el primer término es 246 y el último es – 54? a) 14 b) 28 c) 13 d)11 e) 10

Se sabe que en una P.A. el término que ocupa el lugar 12 es 24 y que la razón es 2. Hallar el primer término de la progresión.

6.

a) 4 b) 7 3 c) 16 4 d) 18

5.

4.

Calcula el término que ocupa el lugar 10 de una progresión aritmética cuyo primer término es igual a 4 y la diferencia es 5.

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MATEMÁTICA 6 JRC El que no estudia en su juventud… se lamentará en las ocasiones en que deba hacer uso del conocimiento.

a) 3 b) 6 c) 2 d) 7

7.

a) 48 b) 59 c) 19 d)49

En una P.A. de 25 términos, se sabe

1.

El primer término de una P.A. es 12, la razón 4, hallar el trigésimo término. a3  a23  56 . Hallar la suma de todos a) 120 sus términos. b) 132 d) 640 c) 128 e) 720 d) 48 f) 100 e) 124 g) 700 h) 540

Interpolar n términos entre dos números dados, a1 y an , consiste en la obtención de n términos situados entre a1 y an, tales que formen una progresión aritmética de extremos a1 y a n. Entonces, para interpolar, tenemos que calcular la razón de la progresión aritmética. Como la progresión aritmética resultante tiene n+2 términos y sus extremos son a1 y an, la razón se:

d

an  a1 n 1

Interpolar cinco medios diferenciales entre 4 y 22  Como hay que interpolar 5 términos entre 4 y 22, la serie tiene 5 + 2 = 7 términos Entonces: 4; ….; ….; ….; ….; ….; 22 

Número de términos a interpolar : p = 5



Primer y último término: a1 = 4 y an = a7 = 22

 Para completar la progresión necesitamos hallar d. Observamos que desde el 4 al 22 hay 18 puntos de diferencia y 6 números para continuar. Entonces la diferencia entre los mismos es:

d

an  a1 n 1

d

22  4 18  3 7 1 6

 La diferencia d entre los términos es 3. Por lo tanto, la progresión resultante es: 4; 7; 10; 13; 16; 19; 22.

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MATEMÁTICA 7 JRC El que no estudia en su juventud… se lamentará en las ocasiones en que deba hacer uso del conocimiento.

RESOLVIENDO PROBLEMAS 2) Interpolar 4 medios diferenciales (o 3) Interpolar 3 medios aritméticos entre aritméticos) entre los números 3 y 28. los números – 10 y 10

4) Interpolar cuatro medios aritméticos 5)Interpolar 6 números entre: 14 y 63 entre 1 y 36

6) Encuentre los 8 primeros términos de 7) Encuentre los 8 primeros términos de la la proporción aritméticas. a1=12 d = – proporción aritméticas. a1= 26 d = 4 2

8) Encuentre los 8 primeros términos de 9) Encuentre los 8 primeros términos de la la proporción aritméticas. a8 = 10 d = 6 proporción aritméticas. a20 =300 d=– 4

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MATEMÁTICA 8 JRC El que no estudia en su juventud… se lamentará en las ocasiones en que deba hacer uso del conocimiento.

10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17)

Encuentre los 8 primeros términos de la proporción aritméticas. a8 = 26 Encuentre los 8 primeros términos de la proporción aritméticas. a32 = 25 Encuentre los 8 primeros términos de la proporción aritméticas. a1 = 200 Encuentre los 8 primeros términos de la proporción aritméticas. a1 = – 160 Encuentre los 8 primeros términos de la proporción aritméticas. a1 = – 160 Encuentre los 8 primeros términos de la proporción aritméticas. a1 = – 51 Encuentre los 8 primeros términos de la proporción aritméticas. a25 = – 300 Encuentre los 8 primeros términos de la proporción aritméticas. a1 = √250

d = 10 d = 10 d=–6 d = 15 d = 20 d=3 d = – 10 d = √40

SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA 

Suma de los términos equidistantes de los extremos: En una progresión aritmética la suma de los términos equidistantes de los extremos es igual a la suma de los extremos. Observa las siguientes progresiones aritméticas limitadas: an

:1; 3; 5; 7; 9; 11.

a1 1

;

a2 3

;

a3 5

; 12 12 12

a4 7

;

a5 9

a6 11

;

Notamos en la progresión an, que la suma de los términos extremos a1 + a6 = 12 y que los términos equidistantes a2 y a5, a3 y a4 suman también 12. Por lo tanto. a2 + a5 = a3 + a4 = a1 + a6 = 12 

Suma de los n términos de una progresión aritmética. ¿Cuál es la suma de los términos de la progresión 5; 10; 15; 20; 25 y 30? Una forma de hallar la suma de los 6 términos de esta progresión es escribir la suma dos veces invirtiendo el orden de los términos en una de ellas: S6 = 5 + 10 + 15 + 20 + 25 + 30 S6 = 30 + 25 + 20 + 15 + 10 + 5 2S6= 35 + 35 + 35 + 35 + 35 + 35 Se observa que: 2S6= 6 veces . (5 +30) Entonces la suma de los seis términos es: S 6 

(5  30).6  105 2

La suma de los seis términos de la progresión es 105 EN SU FORMA GENERAL: 

(a  a n ).n Sn  1 2

n

S n   a1  (k  1).d  k 1

Del término central (tc): También se le conoce como MEDIA ARITMÉTICA “En una progresión aritmética de número impar de términos, el término central (t c) es igual a la semisuma de los extremos”.

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tc 

a1  an 2

MATEMÁTICA 9 JRC El que no estudia en su juventud… se lamentará en las ocasiones en que deba hacer uso del conocimiento.

PROBLEMAS POR RESOLVER 1) El último término de una progresión aritmética que consta de 19 términos es 246. Sabiendo que su razón es 8; hallar la suma de todos ellos. a) 3306 b) 3456 c) 89702 d) 8976 e) 897

2)

¿Cuántos términos debe tener la progresión aritmética 120, 117, 114, …. para que la suma de todos sus términos sea 2295? a) 45 b) 12 c) 30 d) 15 e) 10

3)

Hallar la suma de los 9 términos de la siguiente P.A.: 22, 16, 10, …….. a) –18 b) 23 c) 12 d) –56 e) n.a.

4)

Encontrar la suma de los primeros 30 términos de una P.A. si el primer término es – 40 y el 12º término es 777. a) 4512 b) 15478 c) 11055 d) 4562 e) n.a.

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MATEMÁTICA 10 JRC El que no estudia en su juventud… se lamentará en las ocasiones en que deba hacer uso del conocimiento.

Una progresión geométrica es una sucesión de números tales que cada término es igual al anterior multiplicador por una constante llamada razón. Consideremos la sucesión: 1; 3; 9; 27; 81. los términos son: a1 = 1; a5 =81; n = 5; r=3 Observamos que cada término de esta sucesión es igual al anterior multiplicado por 3. Esta es la característica de un tipo de sucesiones llamadas progresiones geométricas.

a 2  a 1 .r

a 3  a 2 .r  a 1 .r .r  a 1 .r

2

a 4  a 3 .r  a 1 .r 2 .r  a 1 .r

3

a n  a 1 .r n 1

Para interpolar términos proporcionales basta hallar la razón r de la progresión geométrica que tiene por extremos a1 y an y cuyo número de términos es p + 2 Ejemplo: 5)

Interpolar 4 medios proporcionales entre 5 y 160. DATOS: a1 = 5 an = 160 n=p+2=4+2=6 r=

a n  a 1 .r

n 1

160  5.r 6 1 160  r5 5 32  r 5 25  r 5

2=r (multiplicar) Aplicamos la razón 2 y resulta la progresión: 5; 10; 20; 40; 80; 160. Los términos interpolados son: 10; 20; 4O y 80. PROBLEMAS Y EJERCICIOS POR RESOLVER 1) ¿Cuál es el sexto término en la progresión 2, 6, 18, …? a) 908 b) 456 c) 123 d) 486 e) 129

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MATEMÁTICA 11 JRC El que no estudia en su juventud… se lamentará en las ocasiones en que deba hacer uso del conocimiento.

2)

Se sabe que el 5to. término de una progresión geométrica es 11,25 y que la razón es Hallar el 1er. Término de la progresión. a) 124 b) 154 c) 180 d) 190 e) 156

3)

4)

Hallar la razón de una progresión geométrica sabiendo que su primer término es que su quinto término es 261. a) 4 b) 6 c) 7 d) 1 e) 3 Obtener el término central de la siguiente P.G. a1 = 12; a5 = 3 = . ; . >0

5)

Interpolar cinco medios geométricos entre

1 y 3. 9

6)

Interpolar 6 medios geométricos entre 8 y

1 . 16

1 . 2

29 y 9

SUMA DE LOS TÉRMINOS EN UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA LIMITADA: “La suma de los términos de una P.G. limitada es igual al último término multiplicado por la razón menos el primer término; dividido todo esto entre la diferencia de la razón y la unidad.

a n .r  a1 Sn  r 1

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MATEMÁTICA 12 JRC El que no estudia en su juventud… se lamentará en las ocasiones en que deba hacer uso del conocimiento.

EJEMPLO: Calcular la suma de los cinco primeros términos de la P.G.: 6, -12, 24, ……. SOLUCIÓN: Datos: Hallamos el último término: n 1

a1  6

a n  a 1 .r

n=5  12 r  2 6 an  ?

a n  ( 6 ).(  2 ) 5  1 a n  ( 6 ).(  2 ) 4  ( 6 )( 16 )  96

La suma pedida será: a .r  a1 Sn  n r 1 ( 96 ).(  2 )  ( 6 )  192  6  198 S5    3 (2)  1 3 S5 = 66

(Resultado)

SUMA DE LOS TÉRMINOS EN UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA DECRECIENTE ( S  ) La suma de un número infinito de término de una progresión geométrica decreciente razón positiva menor que la unidad, se da por:

S 

a1 1 r

EJEMPLO: Sumar la progresión geométrica siguiente: 0,45; 0,015; 0,0005; ………… SOLUCIÓN: 45 9 a1  0, 45   Tenemos: 100 20 0,015 15 1 r   0,45 450 30 9 9 Aplicando la ecuación o fórmula: S   20  20  9 (30 ) 1 29 29 ( 29 ) 1 30 30

S 

27 58

Resultado

RESOLVER LOS SIGUIENTE EJERCICIOS Y PROBLEMAS. 1) Hallar la suma de los 8 primeros términos de la siguiente progresión geométrica: 8; 16; 32; ….. a) 2060 b) 2040 c) 3409 d) 9034

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MATEMÁTICA 13 JRC El que no estudia en su juventud… se lamentará en las ocasiones en que deba hacer uso del conocimiento.

2)

En la progresión geométrica: 9; –3; 1; …. Hallar a) El término séptimo de la progresión.

b) La suma de los 7 primeros términos.

3 . 2 ¿Cuántos términos debe tener la progresión para que la suma de sus términos sea 3165? a) 9 b) 6 c) 10 d) 5 e) 7

3)

Se sabe que en una progresión geométrica el 1er. Término es 240 y que la razón es

4)

Hallar la suma de las 5 medios geométricas entre 9 y 576; sabiendo que la razón es positiva. a) 556 b) 879 c) 665 d) 558 e) 192

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MATEMÁTICA 14 JRC El que no estudia en su juventud… se lamentará en las ocasiones en que deba hacer uso del conocimiento.

PRODUCTO DE LOS TÉRMINOS EQUIDISTANTES  En toda progresión geométrica, el producto de dos términos equidistantes a los extremos es igual al producto de los extremos de la progresión. EJEMPLOS Observemos las siguientes progresiones geométricas: 7; 14; 28; 56; 112; 224; 448; 896; 1792;. 7 y 1792 son los extremos. Su Producto es 7 x 1792 = 12 544  Los términos equidistantes a los extremos son: 14 y 896.

El producto de los dos es

14 x 896 = 12 544

28 y 448.

El producto de los dos es

28 x 448 = 12 544

56 y 224.

El producto de los dos es

56 x 224 = 12 544

En términos generales si a1, a2, a3, …an-a, an-1, an es una progresión geométrica entonces se cumple las siguientes igualdades: (a 2 ).(a n1 )  (a1 ).(a n ) ; (a3 ).(a n 2 )  (a1 ).(a n ) , etc. PRODUCTO DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA. El producto de los n primeros términos de una progresión geométrica es igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos elevado a la potencia n. = ( . ) EJEMPLO: Hallar el producto de los 8 primeros términos de la progresión 2; 4; 8; … Solución: a1 = 2 a) hallando el octavo término: a8  a1 .r n 1 r=2 a8  2.(2) 81  2.(2) 7  2 8 n=8 b) Hallando el producto de los 8 términos:

Pn  (a1 .a n ) n P8  ( 2.28 )8  (29 )8  272

Pn  236 5)

Respuesta

Sea la siguiente progresión geométrica 2; 6; 18; 54; 162. Si P5 es el producto de los 5 términos, calcula P5 a) 1 987 987 b) 2 678 943 c) 1 889 568 d) 987 876 e) 908 234

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MATEMÁTICA 15 JRC El que no estudia en su juventud… se lamentará en las ocasiones en que deba hacer uso del conocimiento.

RESOLVIENDO EN GRUPO LOS SIGUIENTES PROBLEMAS 1)

El quinto término de una P.G. es 2500 y la razón es igual a 5. ¿Cuál es el primer término? a) b) c) d) e)

2)

4 6 8 9 1

Si el primer término de una P.G. es igual a razón. a) 3

y el sexto término vale

; determinar la

b) 5 c)

2 5

d)

1 2

e) 7

3)

Calcular el número de términos de la siguiente P.G. cuya razón es igual a − : P.G.: – 2; ………………..; a) 7 b) 9 c) 10 d) 6 e) 14

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MATEMÁTICA 16 JRC El que no estudia en su juventud… se lamentará en las ocasiones en que deba hacer uso del conocimiento.

4)

Calcular la suma de los cinco primeros términos de la P.G.: 6; – 12; 24; ………. a) 89 b) 66 c) 88 d) 99 e) 12

5)

El primer término de una P.A. es 5. Si la diferencia es – 4; encontrar el 4º término. a) – 4 b) 5 c) – 7 d) 4 e) 9

6)

Calcular la diferencia de una P.A. cuyo primer término es ; su último término es 12 y el número de términos es 10. a)

5 4

b) 5 c) 4 d) 5 e) 9 7)

Interpolar 3 medios aritméticos entre 4 y 40..

8)

Calcular la suma de los primeros 10 múltiplos de 4, diferentes de cero. a) 220 b) 440 c) 888 d) 120 e) 150

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MATEMÁTICA 17 JRC El que no estudia en su juventud… se lamentará en las ocasiones en que deba hacer uso del conocimiento.

9)

Encontrar el 6º términos de: 6; 10; 4; …. a) 26 b) 45 c) 89 d) 45 e) 8

10) Encontrar el 11º términos de: ; a)

19 6

b)

18 8

;………

c) 9 d) 78 e) 3 11) La suma de los 5 medios aritméticos entre 8 y 26 es: a) 85 b) 84 c) 95 d) 12 e) 16 12) ¿Cuál es la diferencia entre el 6º y el 9º término de una P.A. de 11 términos, si el primero es – 2 y el último es – 52? a) 15 b) 25 c) 10

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MATEMÁTICA 18 JRC El que no estudia en su juventud… se lamentará en las ocasiones en que deba hacer uso del conocimiento.

Interés simple y compuesto Es imprescindible para comprender el mundo de los préstamos, entender el concepto de interés simple e interés compuesto. Pongamos un ejemplo de cada tipo para intentar comprender en qué consiste cada interés: INTERÉS SIMPLE: Lourdes tiene 100 soles y desea depositarlos en un banco, el cual le ofrece un interés anual del 6%, es decir, al cabo de un año el banco le devuelve 100 soles más el 6% de 100 (6 soles de interés), luego le devuelve 106 soles. A Lourdes le ha gustado esta operación y vuelve a realizar la misma operación con los 100 soles, ya que los 6 soles deciden gastárselos. Entonces al cabo del segundo año se encontraría de nuevo con 106 soles. En dos años ha pasado de 100 soles a 112, ya que le ha añadido 6 cada año a los 100 primeros. Si esto lo hiciéramos durante varios años, podríamos resumirlo en la siguiente tabla:

Año

0

1

2

3

4

Capital total 100 106 112 118 124 INTERÉS COMPUESTO : Supongamos ahora que María realiza la misma operación que Lourdes el primer año, transcurrido el cual tendrá 106 soles. María decide al igual que su novio en volver a depositar en el banco el dinero, pero ella no deposita sólo los 100 soles, sino que añade el interés conseguido. La situación sería que el 6% en el segundo año se debe = 6,36 calcular sobre 106 soles, y este interés sería de 106. Al final del segundo año, María tendría 112,36 soles, y si continuásemos el proceso, calculando siempre el 6% sobre el capital obtenido el año anterior, los primeros años quedarían reflejados en la siguiente tabla: Año

0

1

2

3

4

Capital total 100 106 112,36 119,1016 126,247696 La diferencia entre los dos tipos de interés es evidente, en el primer caso, los intereses no se acumulan al capital, pero en el segundo sí lo hacen, siendo este segundo caso más beneficioso para la parte que aporta el dinero. El proceso que consiste en sumar al capital inicial el interés correspondiente al tiempo que dura la inversión o el préstamo se le llama capitalización. En nuestros dos ejemplos, tras cuatro años el proceso de capitalización ha dado dos cantidades distintas, que se han obtenido mediante las llamadas leyes financieras de capitalización simple y compuesta, respectivamente. Habitualmente, el interés compuesto o la llamada ley financiera de capitalización compuesta es la que se utiliza en los préstamos. La razón es evidente, porque si el banco nos prestase 5 000 soles es más beneficioso para ellos que el interés que tengamos pactado sea un interés compuesto, se acumularían más intereses a lo largo del tiempo.

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Ley financiera de capitalización compuesta En este apartado pretendemos describir el cálculo de la fórmula que nos determina el capital final (C') tras aplicarle un determinado interés compuesto (i) a un capital inicial (C). El cálculo de dicha fórmula es prescindible en el desarrollo de este tema, y sólo aparece a modo informativo para aquellos iniciados en el cálculo simbólico. Qué mejor que pedirle ayuda a nuestros novios para entender el desarrollo. Borja y María han decidido ingresar en un banco 4 000 soles y han pactado que lo cederán durante 5 años a un interés del 5% (por supuesto, compuesto). Inmediatamente podríamos hacer una tabla en la que apareciesen el desarrollo de los 5 años. Año

0

1

2

3

4

5

Capital total 4 000 4 200 4 410 4 630,5 4 862,025 5105,12625 Como ya hemos comentado, hay un método para averiguar cuánto tendremos al final de los 5 años, sin tener que utilizar una tabla en nuestros cálculos. En definitiva, queremos que saber qué capital final C' tendríamos a partir de un capital C a un interés compuesto anual i durante n años. Cálculo de la fórmula Aplicando la fórmula:

!

= .

+

donde

C=4000 i=5% n=5 años Tenemos que !

=

+

=

( + ,

) =

( ,

) =

,

FORMULA - INTERES SIMPLE: Fórmula para calcular el interés cuando la tasa está expresada en años y el tiempo se da en meses o en días. En meses

En días I

1)

C .R.T 1200

Años I

C.R.T 36000

3) 4)

C .R.T 100

Una persona recibe el 10% de comisión por la venta de una bicicleta cuyo valor es S/. 720. ¿A cuánto asciende la comisión?

2)

I

S/. 72

Si 150 obreros hacen un trabajo en 120 días, ¿cuánto tiempo demorarán 450 obreros en hacer el mismo trabajo?. 40 días 9 obreros trabajando 8 horas diarias, pintan una casa en 12 días. ¿Cuántos días demorarán en pintar la misma casa trabajando 6 horas diarias? 8 días Un saco me cuesta 125 soles, pero en el almacén hay un descuento del 25%. ¿Cuánto pagaré por el caso y cuánto asciende el descuento? S/. 93,75 S/. 31,25 www.mundogenial.com

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5) 6) 7)

¿Cuánto sería el interés producido por un capital de S/. 5 000, colocado durante 3 años al 9% anual? ¿Cuál es el capital que colocado al 13,25% anual ha producido S/. 346 en 10 meses? Un capital de S/. 3 560 ha producido en ocho meses un interés de S/. 302,6. ¿A qué tanto por ciento fue colocado?.

INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO

1) ¿Cuánto producen 500 soles al 6% 2) anual en 18 días? a) 15 soles b) 1,80 soles c) 1,50 soles d) 18 soles

¿En qué tiempo 720 soles al 1% bimestral producen 72 soles? a) 1 año 2 meses b) 1 año 8 meses c) 1 año 6 meses d) 2 años

3)

¿En qué tiempo 10 000 soles al 10% de interés compuesto anual producen una ganancia de 4641 soles? a) 3 años b) 4 años c) 6 años d) 2 años Carlos hizo un préstamo de 750 soles al 24% de interés anual. Si al final pagó 150 soles de interés. ¿Cuánto tiempo antes canceló la deuda? a) 25 días b) 2 meses c) 1 mes d) 40 días Una deuda de 30 000 soles al 1% de interés compuesto anual. ¿En cuanto se incrementa en 5 años? a) 1500,25 soles b) 1530,30 soles c) 1500,30 soles d) 1530,20 soles

5)

7)

¿en qué tiempo un capital al 5% 4) semestral produce la mitad de su monto? a) 5 años b) 4 años c) 6 años d) 3 años ¿Qué día se depositó 1000 soles al 1,5% 6) trimestral si el 13 de mayo se cobró 25 soles de interés? a) 10 de enero b) 25 enero c) 25 de febrero d) 13 de diciembre

Un comerciante se presta dinero al 6% 8) trimestral el 17 de junio. ¿A cuánto asciende la deuda que contrajo si al cancelarla el 5 de julio pagó un interés de 288 soles? a) 24 000 soles b) 28 500 soles c) 28 900 soles d) 96 000 soles 9) ¿A qué tasa de interés anual se 10) depositaron 900 soles para que en 8 meses hayan producido 45 soles? a) 6% b) 6,5% c) 7% d) 7,5% 11) ¿A qué tasa de interés semestral están 12) depositados 45 000 soles si producen una renta mensual de 150 soles? a) 4% b) 5%

¿Cuál es el capital depositado al 5% anual que produce una renta mensual de 250 soles? a) 50 000 soles b) 40 000 soles c) 60 000 soles d) 25 000 soles El capital A de 800 soles está al 6% en 4 años y el capital B de 1600 soles está al 3% en 2 años. ¿Cuál de los dos produce más interés y en que proporción? a) B, el doble

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c) 2,5% d) 2%

13)

15)

17)

19)

21)

23)

25)

b) A, el triple c) B, el triple d) A, el doble ¿Qué tasa de interés anual se cobra si 14) ¿Cuál es la diferencia entre los intereses 1600 soles en 25 días producen 6 soles que producen 600 soles colocados: al de interés? 8% en 5 años y al 5% en 8 años? a) 4% a) 100 soles b) 4,5% b) 50 soles c) 5% c) 0 soles d) 5,4% d) 10 soles ¿Cuál es la tasa de interés compuesto a 16) ¿Cuánto producen 500 soles al 6% anual la que se han depositado 18 000 soles en 18 días? durante 2 años para que produzcan un a) 15 soles interés de 1845 soles? b) 1,50 a) 6% c) 1,80 b) 5% d) 18 c) 7% d) 8% 2. ¿En qué tiempo 720 soles al 1% 18) 3. ¿en qué tiempo un capital al 5% bimestral producen 72 soles? semestral produce la mitad de su a) 1 año 2 meses monto? b) 1 año 8 meses a) 5 años c) 1 año 6 meses b) 4 años d) 2 años c) 6 años c) 3 años 4. ¿En que tiempo 10000 soles al 10% 20) 5. ¿Qué día se depositó 1000 soles al de interés compuesto anual producen 1.5% trimestral si el 13 de mayo se una ganancia de 4641 soles? cobró 25 soles de interés? a) 3 años a) 10 de enero b) 4 años b) 25 de enero c) 6 años c) 25 de febrero d) 2 años d) 13 de diciembre 6. Carlos hizo un préstamo de 750 soles 22) 7. Un comerciante se presta dinero al al 24% de interés anual. Si al final pagó 6% trimestral el 17 de junio. ¿A cuánto 150 soles de interés. ¿Cuánto tiempo asciende la deuda que contrajo si al antes canceló la deuda? cancelarla el 5 de julio pagó un interés a) 25 días de 288 soles? b) 2 meses a) 24 000 soles c) 1 ½ mes b) 28 500 soles d) 40 día c) 28 900 soles d) 96 000 soles 8. Una deuda de 30000 soles al 1% de 24) 9. ¿A qué tasa de interés anual se interés compuesto anual. ¿En cuanto se depositaron 900 soles para que en 8 incrementa en 5 años? meses hayan producido 45 soles? a) 1500,25 soles a) 6% b) 1530,30 soles b) 6,5% c) 1500,30 soles c) 7% d) 1530,20 s d) 7.5% 10. ¿Cuál es el capital depositado al 5% 26) 11. ¿A que tasa de interés semestral anual que produce una renta mensual están depositados 45000 soles si de 250 soles? producen una renta mensual de 150 www.mundogenial.com

MATEMÁTICA 22 JRC El que no estudia en su juventud… se lamentará en las ocasiones en que deba hacer uso del conocimiento.

a) 50 000 soles b) 40 000 soles c) 60 000 soles d) 25 000 soles

soles? a) 4% b) 5% c) 2,5% d) 2% 27) 12. El capital A de 800 soles está al 6% 28) 13. ¿Qué tasa de interés anual se cobra si en 4 años y el capital B de 1600 soles 1600 soles en 25 días producen 6 soles está al 3% en 2 años. ¿Cuál de los dos de interés? produce más interés y en que a) 4% proporción? b) 4,5% a) B, el doble c) 5% b) A, el triple d) 5,4% c) B, el triple d) A, el doble 29) 14. ¿Cuál es la diferencia entre los 30) 15. ¿Cuál es la tasa de interés compuesto intereses que producen 600 soles a la que se han depositado 18000 soles colocados: al 8% en 5 años y al 5% en 8 durante 2 años para que produzcan un años? interés de 1845 soles? a) 100 soles a) 6% b) 50 soles b) 5% c) 0 soles c) 7% d) 10 soles d) 8% 31) Halle el monto a los 4 años si S/. 5 000 se invierten al 7% anual computado continuamente. 32) Laura necesita tener S/. 12 000 dentro de 3 años para saldar una deuda que tiene con su tía. ¿Cuánto tendrá que depositar hoy en un fondo que acumula un 4,5% de interés computado trimestralmente para lograr su meta? 33) Elsa abrió una cuenta con S/. 500 el 4 de marzo. La cuenta acumula un 4% de interés anual computado diariamente. Si no hizo ningún retiro e hizo un depósito de S/. 1 500 el 28 del mismo mes, halle el monto el 15 de abril. 34) Pedro le prestó a Juan una cantidad de dinero cobrándole un 5% de interés por adelantado. Si el mismo fue saldado a los 2 años con un cheque por S/. 4 980, ¿Qué cantidad le prestó Pedro a Juan? 35) ¿En qué tiempo S/. 4 000, invertidos al 3% anual simple, producen S/. 1000 en intereses? 36) Si Mario pagó S/. 2300,75 en la fecha de vencimiento de un préstamo por 15 meses al 7,5% de interés simple, ¿de cuánto fue el préstamo? 37) Mariela abrió una cuenta con S/. 4000. Si la misma acumula un 5,5% de interés anual computado mensualmente, ¿qué tiempo debe dejar el dinero en el banco para tener un balance de S/. 8 500? 38) Si se necesita tomar un préstamo por 2 años de S/. 3 000, ¿cuál de las siguientes tasas de interés conviene? a) 9% computado mensualmente

b) 8,5% computado semanalmente

39) Halle el tiempo que tomaría S/. 4 000 en duplicarse al 6% computado anualmente.

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