C´atedra de Matem´ atica

Facultad de Arquitectura Universidad de la Rep´ ublica

Matem´ atica

2013 – Primer semestre

´ rmula de Barrow Hoja 4. Derivadas e integrales. Teorema fundamental y fo

1.

Derivadas e Integrales

1.1.

Introducci´ on. La eterna lucha del hombre contra la gravedad

Vamos a recorrer la modelizaci´ on matem´atica de un fen´omeno simple: el que tiene lugar cuando tiramos un objeto hacia arriba en la superficie de la Tierra. Para eso, definamos bien la situaci´ on. Por alguna raz´ on, en el instante inicial t = 0 estamos en el techo de un edificio de tres pisos, a 10 metros de altura respecto al suelo y lanzamos una pelota hacia arriba con velocidad vertical de v0 = 10 m/s. Asumiremos que podemos despreciar el rozamiento del aire y que la aceleraci´on de la gravedad. Mediremos la altura desde el techo, en metros, con una variable y que crece a medida que subimos. Con esta convenci´ on, en el instante inicial t = 0 tenemos una altura inicial y0 = 0. Con la elecci´ on de unidades que hemos hecho, como la aceleraci´on de la gravedad tiene a hacer caer a los objetos, consideraremos una aceleraci´ on constante a = −10. ¿Qu´e le pasar´ a a la pelota? Ejercicio 1 1. Graficar la aceleraci´ on en funci´on del tiempo. ¿Cu´al ser´a la formula de a(t)? 2. Calcular y graficar la velocidad v(t), en funci´on del tiempo. 3. Calcular y graficar la altura y(t) en funci´on del tiempo. 4. Si tuvieras que contarle a alguien que le paso a la pelota, ¿Qu´e le dirias? Para resolver el ejercicio seguramente hemos usado que la velocidad v(t) resulta de sumar a la velocidad el efecto de la aceleraci´ on acumulado por el paso del tiempo: Z t v(t) = 10 + (−10)dt = 10 − 10t (1) 0

Para la altura y(t) habremos hecho algo an´alogo, como es sumar a la posici´on inicial el efecto acumulado de la velocidad: Z t

(10 − 10s)ds = 10t − 5t2 .

y(t) =

(2)

0

No es ning´ un secreto que la velocidad es la derivada de la posici´on. Derivando (2) encontramos y 0 (t) = 10 − 10t. Lo interesante es que en este c´ alculo aparece la derivada respecto a t de la integral que est´a en el segundo t´ermino de (2), y encontramos que la derivada es exactamente la misma funci´on que est´a dentro de la integral. Ejercicio 2 Un observador que est´ a en el suelo mira desde su posici´on como arrojamos la piedra y mide la altura de la piedra desde el suelo, con una variable z. Para ´el, la posici´on inicial es z(0) = 10. Calcular z(t) y la derivada z 0 (t). ¿Qu´e diferencia hay entre z(t) e y(t)? ¿Qu´e diferencia hay entre z 0 (t) e y 0 (t)? 1

A su vez, la aceleraci´ on es la derivada de la velocidad a(t) = v 0 (t). Ejercicio 3 Derivar la f´ ormula (1). ¿Qu´e se obtiene al derivar la constante 10 y la integral que aparecen en el miembro de la derecha?

2.

Dos caras de la misma moneda

¿Hay realmente alguna conexi´ on entre la integral y la derivada o el ejemplo que acabamos de ver en la secci´ on anterior es s´ olo una coincidencia?. Las integrales tienen que ver con ´areas, las derivadas con tangentes, ¿por d´ onde podr´ıan relacionarse? La derivada estudia variaciones y la integral se encarga de acumulaciones. Hemos venido poniendo atenci´on al efecto acumlativo de las integrales, relacionando la imagen geom´etrica de ´areas con desplazamientos, consumos de energ´ıa y cargas en estructuras. Ahora nos concentraremos en las variaciones.

2.1.

Variaciones

Estudiar las variaciones de las funciones es una parte esencial del trabajo para comprenderlas. En realidad, la principal raz´ on para estudiar funciones es que var´ıan. Si todas las funciones fueran constantes seguramente no merecer´ıan la atenci´on que reciben. Es una operaci´on corriente. Por ejemplo, para medir el consumo de electricidad UTE no computa el gasto momento a momento, en cambio se fija la variaci´ on del contador entre un mes y el otro. Dada una funci´ on cualquiera f y un intervalo [x0 , x1 ], en el que el argumento de f var´ıa de x0 a x1 , llamaremos incremento o variaci´ on de f a ∆f = f (x1 ) − f (x0 ). Naturalmente, el “incremento” puede ser un “decrecimiento” si f est´a disminuyendo y x1 es mayor que x0 . No hay ning´ un problema, el incremento resultar´a ser negativo. Tambi´en podemos considerar los casos en que x1 ≤ x0 . En definitiva, no estamos haciendo m´as que poner nombre a la diferencia de los valores de f entre dos puntos prefijados. En nuestro ejemplos nos interesar´ a estudiar variaciones de altura ∆y en intervalos de tiempo [t0 , t1 ]. Ejercicio 4 Calcular la variaci´ on de altura ∆y de la pelota del ejercicio 1 entre los siguientes tiempos: 1. entre los 0, 2 segundos y los 0, 3 segundos; 2. entre los 0, 6 segundos y los 0, 9 segundos; 3. entre los 0, 9 segundos y el primer segundo. ¿Qu´e observaci´ on merece el hecho de que el resultado de las partes 1 y 2 sea el mismo, aunque el intervalo de tiempo transcurrido en la segunda sea el triple que en la primera? ¿Qu´e observaci´ on merece el hecho de que el resultado de las partes 2 y 3 sean tan diferentes, aunque en ambas el tiempo transcurrido sea el mismo? Ejercicio 5 ¿Por qu´e si la pelota es lanzada con una velocidad de 10 m/s, en el primer segundo s´ olo recorre 5 metros, en la primera d´ecima de segundo no alcanza a recorrer un metro, en la primera cent´esima no alcanza a recorrer un dec´ımetro y en la primera mil´esima no alcanza el cent´ımetro? ¿Qu´e est´a pasando? ¿Qu´e significa que tenga una velocidad inicial de 10 m/s? La velocidad no mide s´ olo cambios de posici´on: relaciona los cambios de posici´on con los cambios en el tiempo. En efecto, todos sabemos que la misma distancia puede ser recorrida en tiempos muy diferentes, si el trayecto se hace con velocidades diferentes. La velocidad mide la relaci´on entre el desplazamiento –en nuestro caso ∆y– y el tiempo transcurrido ∆t. 2

Ejercicio 6 Calcular los intervalos de tiempo ∆t correspondientes a cada una de las partes del ejercicio 4 El cociente

∆y ∆t entre la variaci´ on de altura ∆y y la variaci´on de tiempo ∆ en un cierto intervalo de tiempo [t, t+∆t] es la velocidad media en ese intervalo. Alej´andonos de este contexto, propio de la cinem´atica, se denomina cociente incremental a este cociente, que tambi´en podemos escribir como ∆y y(t + ∆t) − y(t) = . ∆t ∆t Ejercicio 7 1. Para cada uno de los intervalos de tiempo del ejercicio 4 calcular la velocidad media correspondiente. 2. Hacer un gr´ afico de la altura y(t) en funci´on del tiempo, para t ≥ 0. Para los tiempos t = 0,2,;t = 0,3, t = 0,6, t = 0,9 y t = 1 ubicar en el gr´afico los puntos (t, y(t)). Identificar el significado geom´etrico que en ese gr´ afico tienen las velocidades medias calculadas en la parte anterior. Ejercicio 8 A partir del instante inicial t = 0, calcular para cada uno de los valores de ∆t que aparecen en la primera columna de la tabla, la variaci´on de altura ∆y ocurrida entre t = 0 y t = ∆t. Calcular el correspondiente cociente incremental. Completar la tabla con estos datos. ∆t (s)

∆y (m)

∆y/∆t (m/s)

0,001 0,01 0,1 1 2 3 La altura y(t) es una cantidad que tenemos muy controlada y conocemos su valor en todo momento. No tenemos por qu´e conformarnos con una tabla que s´olo contenga algunos valores. Podemos dar el lujo de tomar cualquier ∆t y de hacerlo mucho m´as peque˜ no que 0,001 para tener mejor resoluci´ on y estudiar que es lo que pasa cerca de t = 0 con todo detalle. Ejercicio 9 Calcular el cociente incremental (velocidad media) para la funci´on y(t) en cada intervalo [0, ∆t], con ∆t > 0. ¿Qu´e tan chicos podemos hacer los ∆t?. Podemos hacer que se aproximen a cero todo lo que queramos. Ejercicio 10 Identificar a qu´e valor se aproximan los cocientes incrementales del ejercicio 9 cuando ∆t se aproxima a 0. El valor l´ımite al que se aproximan los cocientes incrementales cuando ∆t tiende a cero es la velocidad instant´ anea. En el contexto general de funciones cualesquiera, se trata de la derivada. Es usual indicar la derivada de una variable y con la notaci´on y 0 . Tenemos entonces ∆y ∆t→0 ∆t

v(t) = y 0 (t) = l´ım

3

Observaci´ on 2.0.1 Tambi´en es corriente utilizar la notaci´on dy dt para la derivada, que tiene la misma forma que la notaci´on de los cocientes incrementales, con ∆ reemplazado por d. Veremos luego que esta notaci´on es especialmente u ´til para muchos prop´ ositos. En especial, para hacer cambios de variable en el c´alculo de integrales. El pr´oximo ejercicio nos propone repetir este tipo de c´alculos para t = 0,5. Es decir, en intervalos de la forma [0,5, 0,5 + ∆t]. Ejercicio 11 Calcular en funci´ on de ∆t los incrementos ∆y = x(0,5 + ∆t) − x(0,5), los cocientes incrementales

∆y ∆t e identificar a qu´e n´ umero se aproximan los cocientes incrementales cuando ∆t → 0. ¿Cuanto vale y 0 (0,5)? ¿Cu´ al es el valor de la velocidad v(0,5), en t = 0,5? Observaci´ on 2.0.2 El veloc´ımetro de un auto no calcula ∆x y ∆t, nos dice la velocidad instant´ anea momento a momento. De la misma forma le derivada no nos dice cuanto ha cambiado la variable, si no que tan r´ apido esta cambiando en determinado instante. El siguiente ejercicio retoma c´ alculos que ya hemos hecho, pero ahora en el contexto de hallar variaciones, cocientes incrementales y derivadas. Ejercicio 12 Se considera la funci´ on f (x) = (3 − |6 − x|) a partir de la que se define Z F (x) =

x

f (t)dt. 4

1. Para x = 5 y ∆x = 2, hallar el valor del cociente incremental ∆F/∆x. 2. Para x = 5 y ∆x pr´ oximo a 0, hallar la expresi´on del cociente incremental ∆F/∆x. 3. Para x = 5, hallar el valor al que se aproximan los cocientes incrementales ∆F/∆x cuando ∆x se aproxima a 0. 4. Calcular F 0 (5) y f (5). Explicar en t´erminos de ´areas bajo el gr´afico de f la relaci´on entre estos dos resultados. Ejercicio 13 Consideraremos la funci´on f (x) = x2 y a partir de x = 3 un incremento ∆x de la variable x. 1. El incremento de f con respecto a su valor en 3, cuando se eval´ ua en 3 + ∆x es ∆f =

× ∆x +

× (∆x)2 .

2. Cuando ∆x → 0, los cocientes incrementales ∆f /∆x se aproximan a

.

Nota: Completar con n´ umeros las casillas.

4

Ejercicio 14 Sea F : R → R la funci´on definida por la f´ormula Z x F (x) = (|2t + 4| − 4) dt. −3

1. Para x = −2 y ∆x cualquiera, hallar la f´ormula del incremento ∆F . Distinguir seg´ un ∆x sea mayor o menor que 0. Calcular el cocientes incrementales cuando ∆x se aproxima a 0. Atenci´ on que ∆x puede tender tomando valores positivos pero izquierda, con valores negativos nada). Cuando se aproxima por ∆x → 0−

a cero por dos caminos. Acercandose por la derecha, o sea, cada vez menores hasta que se anulen o acercandose por la que crecen hasta volverse nulos (s´ı, aumentan hasta volverse la derecha escribimos ∆x → 0+ y cuando es por la izquierda

¿Cu´ al es entonces el valor de F 0 (2)? 2. Para x = −3, hallar la f´ ormula del incremento ∆F para valores de ∆x pr´oximos a 0. ¿Est´ a f´ ormula es v´ alida para cualquier valor de ∆x? ¿Por qu´e? Si la respuesta es no, ¿para qu´e valores de ∆x es correcta y para qu´e valores no lo es? 3. Calcular F 0 (5).

2.2.

Teorema fundamental

Todos los ejemplos de la secci´ on anterior son instancias de un mismo resultado, el Teorema Fundamental del C´ alculo. Teorema 1 Si f : (a, b) → R es una funci´ on continua, x0 ∈ (a, b) y para cada x ∈ (a, b) definimos Z x F (x) = f (t)dt, x0

entonces F 0 (x) = f (x).

El teorema fundamental alimenta nuestra interpretaci´on de la integral como acumulaci´on. Viene a decirnos que la variaci´ on que sufre una cantidad (la F ) que es el resultado de la acumulaci´ on de algo (la f ), es justamente ese algo: la variaci´on de la distancia (efecto acumulado de la velocidad) es la velocidad; la variaci´ on del cortante (efecto acumulado de una carga distribuida) es el valor de la carga; la variaci´on de la cuenta de UTE es la potencia que estamos consumiendo, etc´etera. Abre adem´ as la puerta a una manera sistem´ atica de calcular integrales, que resultar´a u ´til para otras aplicaciones. Por ejemplo, para determinar el momento flector al que est´a sometida la viga de una estructura, una vez que veamos por qu´e la derivada de esta solicitaci´on es justamente el cortante.

3.

Nuestra tabla de derivadas es tambi´ en una tabla de integrales

El Teorema Fundamental asegura que la derivada de la funci´on F es f . Es habitual referirse a la relaci´on entre F y f , en que f es la derivada de F , diciendo que F es una primitiva de f . Hay tablas de derivadas y diversos procedimientos de c´alculo que nos dicen, para cada funci´on F , cu´al es su derivada F 0 . Ya que sabemos que F es una primitiva de f , podr´ıamos intentar usar el teorema fundamental para leer la tabla al rev´es, yendo de la columna en la que aprecen las derivadas, a la columna donde aparecen las funciones, para pasar de f a la primitiva F . Antes de seguir discutiendo esta idea en general, veamos en un ejemplo c´ omo funciona.

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Ejemplo 3.1 Sabemos que x0 = 1. De modo que podriamos intentar usar el truco para calcular integrales de la funci´ on constante 1, de la forma Z x 1dt. F (x) = x0

Con la idea de buscar una primitiva, esperar´ıamos que el resultado fuera x. Pero en este caso podemos calcularlo directamente: F (x) = x − x0 . Aunque la derivada de F en x es F 0 (x) = 1, la funci´on F no es exactamente xs. Aparece en el juego la constante x0 , que tiene que ver con el lugar desde el que estamos integrando. S´olo obtenemos el resultado correcto si x0 = 0, pero no para otros valores de x0 . Lo que pasa en el ejemplo anterior es completamente general: si conocemos una funci´on F (x) cuya derivada es f (x), en realidad cualquier funci´on de la forma F (x) + k, donde k es una constante arbitraria, tambi´en tiene a f como derivada. Por lo tanto, la integral no puede determinarse completamente “deshaciendo” la operaci´on de derivar. Para determinar el valor de esa constante hay que trabajar un poco m´as. Observaci´ on 3.1.1 Podemos retomar aqu´ı la observaci´on 2.0.2: aunque observemos el veloc´ımetro de un auto durante un mes entero no podremos saber el kilometraje total del auto si no disponemos de ninguna lectura de su cuentakil´ ometros. Con una lectura y la informaci´on del veloc´ımetro ya podr´ıamos mantener un c´ alculo actualizado del kilometraje. Sin una lectura inicial del cuentakil´ometros s´ olo podemos deducir variaciones de kilometraje, no kilometrajes totales. Esto mismo fen´omeno aparece en el c´alculo de integrales en la forma de una constante indeterminada en las primitivas. Por otra parte, dos primitivas diferentes F y G de f necesariamente tienen una diferencia constante. Porque para cualquier valor de x se tiene que (F − G)0 (x) = F 0 (x) − G0 (x) = f (x) − f (x) = 0. Esto implica que la derivada de F − G siempre se anula, y por lo tanto es constante. Observaci´ on 3.1.2 Es obvio que la derivada de cualquier funci´on constante es id´enticamente nula, pero esto no implica que una funci´ on cuya derivada siempre existe y es igual a cero necesariamente tenga que ser constante. Esta u ´ltima afirmaci´on es cierta, pero requiere demostraci´on. En el curso la aceptaremos sobre bases intuitivas, porque parece natural a la luz de la interpretaci´on de los conceptos que estamos manejando, pero invitamos al lector interesado a examinar este asunto con m´ as detalle. El hecho de que dos primitivas necesariamente difieran en una constante permite reducir el c´ alculo de integrales al c´ alculo de primitivas. Ejercicio 15 1. Mostrar que si F y G son dos primitivas de F entonces F (x) − F (x0 ) = G(x) − G(x0 ). Sugerencia: observar que F (x) − G(x) tiene que ser igual a F (x0 ) − G(x0 ). 2. Mostrar que si G es una primitiva de f y Z

x

F (x) =

f (t)dt, x0

entonces F (x) = G(x) − G(x0 ). 3. Introducir en la notaci´ on los cambios necesarios, para mostrar a partir del enunciado anterior, la c´elebre Regla de Barrow : si F es una primitiva de f , entonces Z b f (t)dt = F (b) − F (a). (3) a

6

La relaci´ on con el c´ alculo integral hace que sea corriente tambi´en llamar i ntegrales indefinidas a las primitivas, e indicarlas con el s´ımbolo de integral, sin l´ımites de integraci´on. Es una notaci´on corriente en la literatura, seg´ un la cual se escribe en la forma Z 1dx = x + k el hecho de que (x)0 = 1. La constante k recuerda que la integral indefinida (o primitiva) queda determinada por el integrando (o derivada) a menos de una funci´on de integraci´on. Ejemplo 3.2 Dado que (3x2 − 2x)0 = 6x − 2 tenemos que Z

(6x − 2)dx = 3x2 − 2x + k.

Ejercicio 16 Calcular dos primitivas diferentes de 6x − 2 y emplearlas para evaluar Z 2 (6x − 2)dx = 1

usando la regla de Barrow. ¿Se obtiene el mismo resultado en los dos casos? El ejercicio anterior llama la atenci´on sobre un posible problema: si hay infinitas primitivas, ¿cu´ al elegir para hacer las cuentas? Por suerte la regla de Barrow viene a salvarnos del abismo de la incertidumbre: la integral definida se calcula evaluando el incremento de una primitiva entre los l´ımites de integracion: Z b f (x)dx = F (b) − F (a) a

Pero si en lugar de F (x) hubieramos elegido otra primitiva, por ejemplo F (x) + k las cuentas habr´ıan sido Z b

f (x)dx = (F (b) + k) − (F (a) + k) = F (b) − F (a). a

¡Exactamente el mismo resultado! No importa cual primitiva utilicemos. La constante es irrelevante para el c´alculo de integrales seg´ un la F´ormula de Barrow, porque en esa f´ormula s´olo intervienen incrementos de la integral indefinida, y las constantes se cancelan. Ejercicio 17 Sabiendo que (xn )0 = nx(n−1) , ¿c´omo ser´ a entonces Z

xn dx?

Calcular: R 1. x2 dx R 2. x6 dx R 3. x42 dx

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3.1.

Linealidad de la integral

Al presentar las aproximaciones de la integral por sumas de Riemann hab´ıamos discutido sus propiedades de lineales. Tambi´en pueden deducirse de las propiedaes de linealidad de la derivada. La derivada del producto de una constante por una funci´on es (cf )0 (x) = cf 0 (x). Esto implica que Z

Z (cf )(x)dx = c

f (x)dx + k.

Ejercicio 18 Calcular: R 1. 6x2 dx R 2. 2x5 dx La derivada de la suma de dos funciones es (f + g)0 = f 0 + g 0 , la suma de sus derivadas. Entonces Z Z Z (f (x) + g(x))dx = f (x)dx + g(x)dx + k. Ejercicio 19 Calcular
R 1. 2 − 3x − x2 dx
R 2. 7x5 − 3x3 + 12x dx
R 3. 2t2 + 4t − 1 dt
R 4. at2 + bt + c dt

3.2.

C´ alculo de integrales con primitivas y la regla de Barrow

La combinaci´ on de la Regla de Barrow, la linealidad de la integral y el manejo de una tabla de derivadas, permiten ampliar enormemente el universo de las integrales que podemos evaluare. Ejercicio 20 Calcular:
R5 1. 2 3x2 − 4 dx
R3 2. 0 x3 − x2 + 4x dx Ejercicio 21 Tengo que embaldosar parte de un patio de 20m por 10m de ancho. El due˜ no quiere que el piso sea el grafico de la par´ abola y=−

x2 + 20 5

en el primer cuadrante, tomando una esquina del jard´ın como el origen, el ancho como el eje horizontal y el largo como el vertical. El resto del espacio ser´a reservado a c´esped y canteros para plantas. ´ Ped´ı dos presupuestos. Alberto Alvarez contest´o que la obra costar´ıa $88000. Mientras que en Baldosas B´ aez me dicen que tienen un costo fijo de transporte de $6000 y luego $600 por metro cuadrado. ¿Cu´al de las dos opciones es la m´as barata?

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