Derivada Aplicaciones de la Derivada: La derivada tiene una gran variedad de aplicaciones además de darnos la pendiente de la tangente a una curva en un punto. Se puede usar la derivada para estudiar tasas de variación, valores máximos y mínimos de una función, concavidad y convexidad, etc. Ejemplo: Encuentre los máximos y mínimos de la ecuación:

Por el criterio de la primera derivada. Obtenemos la primera derivada de la función:

Encontrando las raíces para la primera derivada tenemos:

Por lo tanto tenemos algún máximo o mínimo en el punto x=0, para determinar si es un máximo o un mínimo tendremos que valuar la pendiente antes y después de cero, es decir, en sus vecindades de este punto. Evaluando en y´(−0.01) tenemos: y´(−0.01)= −0.004 Evaluando para x después de cero tenemos: y´(0.01)= 0.004 como la derivada alrededor de cero cambia de positivo negativo a positivo por tanto tenemos un mínimo local en (0,0). 1

Teorema del Valor Medio: Si f es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b) existe al menos un número c tal que:

". Ejemplo:

(a+h)=hf'[a+t(b−a)]+f(a)

En nuestro caso sea f(x)=ln(x) x para con a=1 y h=x2. Como x2 es siempre positivo, el logaritmo se puede calcular para todo x y la función es continua para todo x. También es derivable en todo valor real siendo la derivada:

Aplicando el teorema:

Pues f(1)=ln 1=0

Y como para x distinto de cero:

Dado que la penúltima fracción es igual a ln(1+x2), queda finalmente:

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Como queríamos probar.

Teorema de Rolle: Suponiendo que f es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b). Si f(a) = f(b), existe al menos un número c entre a y b tal que: F'(c)= 0 Ejemplo: f(x)=x3+ 4x2−7x−10 en el intervalo [−1, 2] f'(x)=3x2+ 8x−7 f(−1)=(−1)3+4(−1)2−7(−1)−10=−1+4+7−10=0

f(2)=23+4.22−7.2−10=8+16−14−10=0 Se cumplen por tanto las hipótesis del teorema y ha de existir un c tal que:

Donde hay que despreciar la segunda solución por no pertenecer al intervalo considerado. Teorema de Cauchy Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en [a, b] y derivables en ]a, b[, tales que sus derivadas no se anulan simultáneamente en ningún punto de ]a, b[ y g(b) es distinto de g(a). Entonces existe, al menos, un punto c del intervalo ]a, b[ tal que:

"

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Ejemplo del Teorema de Cauchy f(x)= sen x g(x)= 1+ cos x

en

f'(x)= cos x g'(x)= 1− sen x Las derivadas de f(x) y g(x) se anulan simultáneamente en x= pero dicho punto no pertenece al intervalo abierto y como además:

Se cumplen todas las hipótesis del teorema y podemos aplicar la relación que en el enunciado del mismo se da para encontrar el valor de c, es decir:

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Perteneciendo ambos valores al intervalo es estudio y siendo, por tanto, válidos ambos. Integrales Integrales Indefinidas: Se llama integral indefinida de una función f(x), al conjunto de todas las primitivas de la función f(x), y se simboliza

Esta expresión se lee «integral de efe de equis diferencial de equis». Por las propiedades de la función primitiva, si F(x) es una primitiva de f(x),

Donde C representa una constante llamada constante de integración. Ejemplo:

Integrales definidas: Se llama integral definida de la función f(x) 0 entre a y b (a estos dos valores se les denomina límites de integración), al área de la porción de plano limitada por la gráfica de la función, el eje X y las rectas paralelas x=ayx=b Ejemplo: 5

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