Aplicación de la derivada Tangentes horizontales y verticales. La tangente se define como una recta que tiene un solo punto común con la circunferencia. Sabemos que los valores del parámetro t para los puntos de contacto de las tangentes horizontales y verticales se determinan así: En las tangentes horizontales, el ángulo de inclinación es de 0°, por lo que su pendiente es cero; en las tangentes verticales, el ángulo de inclinación es de 90°, por lo que su pendiente es indeterminada ().

Ejemplo. Hallar los puntos de contacto de las tangentes horizontales y verticales a la cardiode presentada anteriormente, dada por las ecuaciones: x = a cos ø − 1/2 a cos 2 ø − 1/2 a, y = a sen ø − 1/2 a sen 2 ø. dx dø Tangentes horizontales. Debe ser: cos ø − cos 2 ø = 0 cos 2 ø = 2 cos2 ø − 1 ø = 0, 120°, 240°. Tangentes verticales. Debe ser: − sen ø + sen 2 ø = 0 sen 2 ø = 2 sen ø cos ø ø = 0, 60°, 180°, 300°. Definición de función creciente y decreciente Funciones crecientes y decrecientes. * Una función y = f (x) se llama función creciente si y aumenta (algebraicamente) cuando x aumenta Una función y = f(x) se llama función decreciente si y disminuye (algebraicamente) cuando x aumenta. La gráfica de una función indica claramente si es creciente o decreciente. Por ejemplo, consideremos la gráfica. Al variar un punto a lo largo de la curva de izquierda a derecha, la curva, es decir, a medida que la x del punto 1

aumenta. la función (= y) a u m en t a. Evidentemente, Ay y Ax tienen un mismo signo.

Por otra parte en la siguiente gráfica, si el punto se mueve a lo largo de la curva de izquierda a derecha, la curva "baja"; es decir, a medida que la x del punto aumenta, la función (=y) disminuye siempre. Claramente y y x tienen signos opuestos

El hecho de que una función puede ser unas veces creciente y otras decreciente, puede verse en la sigueinte gráfica de la curva 1) y = 2 x3 − 9x2 + 12x − 3 Si un punto se mueve a lo largo de la curva de izquierda a derecha,

la curva sube hasta llegar al punto A, baja desde A hasta B y sube a la derecha de B. Valores máximos y mínimos de funciones Aplicando la derivada de una función, determinamos los intervalos en que la es creciente o decreciente; ahora la utilizaremos para analizare los puntos en que la función pasa de creciente a decreciente o viceversa. Si f es una función cuyo valor es c, se tiene que: • a) f(c) se llama un valor máximo de f si existe un intervalo (a, b) que contiene a c tal que f(x) < f(c) para todo x en dicho intervalo, es decir, si f(c) es mayor que cualquiera de los valores de f(x) que le anteceden o le siguen inmediatamente en el intervalo dado. • f(c) se llama un valor mínimo de f si existe un intervalo (a, b) que contiene a c tal que f(x) > f(c) para todo x en dicho intervalo, es decir, si f(c) es menor que uno cualquiera de los valores de f(x) que le anteceden o le siguen inmediatamente en el intervalo dado. Ejemplo. Sea f la función definida por f(x) = x2 − 4x + 5 Entonces f'(x) = 2x − 4. Como f'(2) = 0, f puede tener un extremo relativo en 2. Puesto que f(2) = 1 y 1 < f(x) cuando x < 2 o x > 2, concluimos que f tiene un valor mínimo relativo en 2. el la siguiente gráfica es evidente que la función tiene un valor máximo MA (= y = 2) cuando x=1, y un valor mínimo NB (=y =1) cuando x =2.

Valor crítico Si c es un número que está dentro del dominio de una función, entonces a c se le denomina valor crítico de la función si f'(c) = 0 ó f'(c) no existe. El valor crítico de una función nos permite analizar si la función tiene un máximo o mínimo relativo.

2

Teorema del valor medio para derivadas El teorema del valor medio para derivadas es importante en Cálculo porque muchas de las propiedades de las funciones pueden deducirse fácilmente a partir de él. Antes de establecer el teorema del valor medio, examinaremos uno de sus casos particulares a partir del cual puede deducirse el teorema general. Este caso particular lo descubrió en 1690 Michel Rolle (1652−17 19), matemático francés. Teorema de Rolle Sea f una /unción continua en todos los puntos de un intervalo cerrado [a, b] y derivable en cada punto del intervalo abierto (a, b). Supongamos también que f(a) = f(b) Existe entonces por lo menos un punto c en el intervalo abierto (a, b) tal que 1'(c) = 0. El significado geométrico del teorema de Rolle está representado en la figura 4.10. En este teorema se afirma tan sólo que la curva debe tener una tangente horizontal en algún punto entre a y b. Demostración. Supongamos que f ´(x) O para todo x en el intervalo abierto (a, b), y llegamos a una contradicción como se ve a continuación: Según el teorema de los valores extremos para funciones continuas, f debe alcanzar su máximo absoluto M y su mínimo aboluto m en algún punto del intervalo cerrado [a, b]. El teorema nos dice que ningún extremo puede ser alcanzado en puntos interiores (de otro modo sería nula la derivada allí). Luego, ambos valores extremos son alcanzados en los extremos a y b. Pero como f(a) = f(b), esto significa que m = M, y por tanto f es constante en [a, b]. Esto contradice el hecho de que f ´(x) O para todo x en (a, b). Resulta pues que f`(c) = O por lo menos en Un C que satisfaga a< c
3