Semana 2 [1/24]

Derivadas

August 16, 2007

Derivadas

Semana 2 [2/24]

Máximos y mínimos: la regla de Fermat

Máximos y mínimos locales

Mínimo local x¯ es un mínimo local de la función f si existe ε > 0 tal que f (x¯ ) ≤ f (x) ∀x ∈ (x¯ − ε, x¯ + ε).

Análogamente: Máximo local → (f (x¯ ) ≥ f (x)).

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Semana 2 [3/24]

Máximos y mínimos: la regla de Fermat

Regla de Fermat

Teorema Si x¯ ∈ (a, b) es mínimo local o máximo local de una función derivable f : (a, b) → R, entonces f ′(x¯ ) = 0.

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Semana 2 [4/24]

Máximos y mínimos: la regla de Fermat

Ejemplo Queremos diseñar un cilindro de radio r y altura h cuyo volúmen V = πr 2h sea máximo, para una superficie total dada S = 2πr 2 + 2πrh. r

h

Volumen del cilindro: V (r ) = πr 2



S −r 2πr



=

Resolvemos V ′(r ) = 0, es decir S − 3πr 2 = 0 2

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Sr − πr 3. 2

Semana 2 [5/24]

Máximos y mínimos: la regla de Fermat

Ejemplo

Solución positiva: p r = S/6π. ∗

∗

Volumen: V (r ) =

p

S 3/54π.

Observación No podemos asegurar que la solución entregue el volumen máximo. Podemos mirar el gráfico aproximado de V (r ): V(r)

V*

r*

r

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Semana 2 [6/24]

Teorema del valor medio

Teorema del valor medio

TVM

Sean f , g : [a, b] → R funciones continuas en [a, b] y derivables en (a, b), con g(b) 6= g(a) y g ′(x) 6= 0 para todo x ∈ (a, b). Entonces, existe c ∈ (a, b) tal que f (b) − f (a) f ′(c) = . g(b) − g(a) g ′(c) En particular, si g(x) = x se tiene f (b) − f (a) = f ′(c). b−a

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Semana 2 [7/24]

Aplicaciones de la derivada

Regla de l’Hôpital

Útil para el cálculo de límites de la forma 0/0 o ∞/∞.

Teorema

Sean f , g : (a, b) → R derivables en (a, b), tales que lim f (x) = lim g(x) = L

x→a+

x→a+

con L = 0 o L = ∞, y g ′(x) 6= 0 para todo x ∈ (a, b). Entonces f (x) f ′(x) lim = lim ′ x→a+ g(x) x→a+ g (x) siempre que este último límite exista.

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(1)

Semana 2 [8/24]

Aplicaciones de la derivada

Regla de l’Hôpital

También se aplica para límites con x → a− , x → a, e incluso para límites con x → ∞: Si limx→∞ f (x) = limx→∞ g(x) = 0 o ∞ y g ′(x) 6= 0 para x suficientemente grande, f (1/y) f (x) = lim x→∞ g(x) y →0+ g(1/y) −f ′(1/y)/y 2 = lim y →0+ −g ′(1/y)/y 2 f ′(1/y) = lim ′ y →0+ g (1/y) f ′(x) = lim ′ , x→∞ g (x) lim

siempre que este último límite exista.

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Semana 2 [9/24]

Aplicaciones de la derivada

Regla de l’Hôpital: Ejemplos

limx→0(1 − cos(x))/x 2 = 1/2. Es más, 1 cos(x) − 1 + x 2/2 . = lim x→0 x4 24 1 exp(x) − 1 − x = . x→0 x2 2 lim

ln(x) − 1 + x = 4. x→1 arctan(x) − π/4 lim

lim ln(1 + exp(x)) sin(1/x) = 1.

x→∞

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Semana 2 [10/24]

Aplicaciones de la derivada

Regla de l’Hôpital: Ejemplos

f : R → R posee asíntota y = mx + n en ∞, si existen m = lim f (x)/x x→∞

n = lim f (x) − mx. x→∞

Si limx→∞ f ′(x) existe, entonces m = lim f ′ (x). x→∞

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Semana 2 [11/24]

Aplicaciones de la derivada

Derivadas y monotonía

Teorema

Sea f : [a, b] → R continua en [a, b] y derivable en (a, b). Si f ′(x) ≥ 0 (resp. ≤ 0) para todo x ∈ (a, b), entonces f es creciente (resp. decreciente) en [a, b]. Si la desigualdad es estricta, la monotonía es igualmente estricta.

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Semana 2 [12/24]

Aplicaciones de la derivada

Derivadas y convexidad

f : [a, b] → R se dice convexa si las rectas secantes al gráfico de la función quedan por encima del gráfico, vale decir  f (y) − f (x) (z − x) f (z) ≤ f (x) + y −x 

∀ x < z < y.

f(y)

f(x) x

z

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y

(2)

Semana 2 [13/24]

Aplicaciones de la derivada

Derivadas y convexidad

Teorema

Sea f : [a, b] → R continua en [a, b] y derivable en (a, b). Entonces f es convexa en [a, b] ssi f ′ es creciente en (a, b). Análogamente: f cóncava si   f (y) − f (x) f (z) ≥ f (x) + (z − x) y −x

∀ x < z < y.

f cóncava ssi f ′ es decreciente.

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(3)

Semana 2 [14/24]

Aplicaciones de la derivada

Derivadas de orden superior

Son útiles para construir aproximaciones polinomiales de la función, más precisas que la aproximación afín dada por la derivada primera. Se definen inductivamente como: f [k ](x¯ ) := (f [k −1] )′ (x¯ ).

f : (a, b) → R es de clase C k (a, b) si es k veces derivable en todo punto del intervalo (a, b), y la función f [k ] : (a, b) → R es continua. Clase C ∞, si lo anterior es cierto ∀k ∈ N.

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Semana 2 [15/24]

Aplicaciones de la derivada

Desarrollos limitados

Desarrollo limitado

f : (a, b) → R posee un desarrollo limitado de orden k en torno al punto x¯ ∈ (a, b) si existen constantes a0, . . . , ak ∈ R tales que f (x) = a0 + a1(x − x¯ ) + a2(x − x¯ )2 + · · · + ak (x − x¯ )k + o((x − x¯ )k ). con limu→0 o(u k )/u k = 0. Esto equivale a f (x¯ + h) = a0 + a1h + a2h2 + · · · + ak hk + o(hk ).

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Semana 2 [16/24]

Aplicaciones de la derivada

Desarrollos limitados

Teorema

Sea f : (a, b) → R, k-veces derivable en x¯ ∈ (a, b), y sea f ′′ (x¯ ) 2 f [k ](x¯ ) k := f (x¯ ) + f (x¯ )h + h + ···+ h 2 k! su desarrollo de Taylor de orden k en torno a x¯ . ′

Tfk (h)

Entonces f (x) = Tfk (x − x¯ ) + o((x − x¯ )k ) con limh→0 o(hk )/hk = 0.

Atención La recíproca no es cierta. Que una función admita un desarrollo limitado de orden k en x¯ no implica la existencia de f [k ](x¯ ).

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Semana 2 [17/24]

Aplicaciones de la derivada

Desarrollos limitados: Ejemplos

Desarrollo limitado de orden k en torno a 0 de exp: xk x2 + ··· + + o(x k ). exp(x) = 1 + x + 2 k! Desarrollo limitado de orden k en torno a 0 de − ln(1 − x): xk x2 x3 + +··· + + o(x k ). − ln(1 − x) = x + 2 3 k

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Semana 2 [18/24]

Aplicaciones de la derivada

Desarrollos limitados: Ejemplos Los desarrollos limitados se pueden sumar y multiplicar. Consideremos sin(x) = x − x 3/6 + o(x 4) exp(−x) = 1 − x + x 2/2 − x 3/6 + o(x 3). Como o(x m ) es también o(x k ) si k ≤ m, x2 x3 x2 x3 3 4 exp(−x) + sin(x) = 1 + − + o(x ) + o(x ) = 1 + − + o(x 3). 2 3 2 3 Además x m = o(x k ) si m > k y también f (x)o(x k ) = o(x m+k ) siempre que limx→0 |f (x)/x m | < ∞, entonces x3 x5 x6 − + + o(x 4) exp(−x) + o(x 3) sin(x) sin(x) exp(−x) = x − x + 3 12 36 x3 2 = x −x + + o(x 4). 3 2

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Semana 2 [19/24]

Aplicaciones de la derivada

Desarrollos limitados: Ejemplos

Los desarrollos limitados también se pueden componer. Para obtener un desarrollo limitado de orden 2 de f (x) = ln[1 + exp(x)] en torno a x¯ = 0, usamos el desarrollo exp(x) = 1 + x + x 2/2 + o(x 2) y f (x) = ln[2 + x + x 2/2 + o(x 2)]. Por otro lado, dado que z z2 ln[2 + z] = ln 2 + − + o(z 2 ) 2 8 reemplazando z = x + x 2/2 + o(x 2 ) se obtiene [x + x 2/2 + o(x 2)] [x + x 2/2 + o(x 2)]2 f (x) = ln 2+ − +o([x +x 2/2+o(x 2 )]2 ). 2 8

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Semana 2 [20/24]

Aplicaciones de la derivada

Desarrollos limitados: Ejemplos

Finalmente, identificamos los coeficientes de las potencias de x de grado menor o igual que 2, el resto son de orden o(x 2). x x2 + o(x 2). ln[1 + exp(x)] = ln 2 + + 2 8

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Semana 2 [21/24]

Aplicaciones de la derivada

Caracterización de puntos críticos

Proposición

Sea f : (a, b) → R, k veces derivable en x¯ ∈ (a, b), con f ′ (x¯ ) = · · · = f [k −1] (x¯ ) = 0 y f [k ](x¯ ) 6= 0, k ≥ 2. Entonces hay 3 casos posibles: Si k es par y f [k ](x¯ ) > 0, x¯ es un mínimo local. Si k es par y f [k ](x¯ ) < 0, x¯ es un máximo local. Si k es impar, x¯ es un punto de inflexión.

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Semana 2 [22/24]

Aplicaciones de la derivada

Fórmula de Taylor

El siguiente resultado permite medir el error que se comete al usar un desarrollo de Taylor:

Teorema

Sea f : (a, b) → R, (k + 1)-veces derivable en (a, b). Sea Tfk (·) el polinomio de Taylor de orden k en x¯ ∈ (a, b). Entonces, para todo x > x¯ (resp. x < x¯ ) existe ξ ∈ (x¯ , x) (resp. ξ ∈ (x, x¯ )) tal que f [k +1] (ξ) k f (x) = Tf (x − x¯ ) + (x − x¯ )k +1 . (4) (k + 1)!

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Semana 2 [23/24]

Aplicaciones de la derivada

El método de Newton

Consideramos f (x) = 0.

f : [a, b] → R derivable tal que f (a)f (b) < 0. Sabemos que existe una solución x ∗.

Si reemplazamos f por su aproximación afín en torno a x0, f (x0 ) + f ′(x0 )(x − x0 ) = 0. Y f ′(x0 ) 6= 0, x1 = x0 − f (x0)/f ′ (x0 ) es una nueva aproximación de x ∗.

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Semana 2 [24/24]

Aplicaciones de la derivada

El método de Newton Esto nos conduce a un procedimiento iterativo: xn+1 = xn − f (xn )/f ′ (xn ), mientras f ′(xn ) 6= 0. Este es el Método de Newton.

Teorema

Sea f : (a, b) → R una función de clase C 2 y supongamos que x ∗ ∈ (a, b) es una solución de la ecuación f (x ∗) = 0 tal que f ′(x ∗) 6= 0. Entonces existen constantes ǫ > 0 y M > 0 tales que para todo punto de partida x0 ∈ Iǫ := (x ∗ − ǫ, x ∗ + ǫ) el método de Newton está bien definido y converge hacia x ∗ con |xn+1 − x ∗| ≤ M|xn − x ∗|2 .

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