DERIVADAS (DERIVATIVES)

Tema: La derivada como pendiente de una curva Topic: The derivative and the slope of a curve Para hallar la pendiente de una curva en algún punto hacemos uso de la recta tangente de una curva en un punto. To find the slope of a curve at a point we use the tangent line to the curve at the point.

La pendiente de la curva en el punto P es la pendiente de la recta tangente en P. The slope of the curve at the point P is the slope of the tangent line at P.

Definición: La pendiente de una curva Definition: The slope of the curve En (x,f(x)) la pendiente m de la gráfica de y = f(x) es igual a la pendiente de su recta tangente en (x,f(x)), y se determinada por la fórmula si es que el límite existe: In (x,f(x)) the slope m of the graph of y = f(x) is equal to the slope of the tangent line at (x,f(x)), and is determined by the following formula, if the limit exists:

Para calcular la pendiente de la recta tangente a una curva en el punto x = c mediante la definición de límite seguimos los siguientes pasos: To compute the slope of the tangent line to a curve at the point x = c using limits, we follow the steps: 1) Calcular : Compute

2) Hacer que h→0 para obtener: Let h  0 to obtain:

Ejemplo para discusión: Examples to discuss: 1) Considera la gráfica de. Consider the graph of: y = 3 - x2 

Halla la fórmula de la pendiente de la gráfica. Find the formula of the slope of the curve



Indica cuál es la pendiente en los puntos (0,3) y (-2,-1). Find the slope at points (0,3) and (-2, -1)

 Halla la ecuación de la recta tangente para cada uno de los puntos anteriores. Find the equation of the tangent line that passes 2) Halla la ecuación de la recta tangente a f(x) = x2 – 6x en el punto (1, 5). Fin the equation of the tanget line of the function f(x) = x2 – 6x at the point (1, - 5) Nota: Algunas curvas puede que no tengan tangente en cada punto. Por ejemplo f(x) = |x| en (0,0). Note: Some curves might Not have a tanget at each point. For example f(x) = |x| at (0,0). Definición: El límite, si existe, en la fórmula se llama la derivada de f en x y se denota por f’(x).

Definition: The limit in the formula, if it exists, is called the derivative of f in x and is denoted by f’(x). 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) ∆𝑥→0 ∆𝑥 lim

La notación f ’(x) se lee "f prima de x". También se usa mucho la notación diferencial", que se lee “la derivada de y respecto a x". The notation f ’(x) is read “f prime of x”. Another common notation used is the differential:

Nota: Una función es derivable en x si existe su derivada en x. Note: A function is differentiable in x if the derivative in x exists.

Ejemplos para discusión: Halla la derivada de los siguientes: Examples for discussion: Find the derivative of the following:

Nota: En cualquier punto donde la tangente es vertical, la pendiente es infinita; la derivada, por tanto, no existe. Tampoco existe en esquinas agudas y/o picos. Note: At any point where the tangent is vertical, the slope is infinity; therefore the derivative does Not exist. Also at cusps or sharp corners.

Tema: Reglas de Derivación Topic: Rules of Differentiation Ya hemos calculado derivadas a través de la definición de la derivada como límite. Este procedimiento resulta en muchas ocasiones largo y tedioso.

Existen varias reglas que nos permiten calcular la derivada sin usar directamente los límites. We have calculated derivatives using the definition of the derivative as a limit. This process is long and tedious. There are various rules that allow us to compute the derivative directly without using limits. 1. Regla de las constantes: La derivada de una función constante es cero. Esto es, si f(x) = c, para alguna constante c, entonces f’(x) = 0. The constant rule: The derivative of a constant function is zero. That is, if f(x) = c, for a constant c, then f ’(x) = 0. Ejemplos: Examples

2. Regla de las potencias: Si f es una función diferenciable y f(x) = xn, entones para cualquier número real n: The power rule: If f is a differentiable function and f(x) = xn then for any real number n: f’(x) = nxn-1 Ejemplos: Examples

3. Regla del producto por un escalar (constante) : Si cf(x) es una función diferenciable, entonces Rule of the product by a scalar (constant): if cf(x) is a differentiable function, then

Ejemplos: Examples:

4. Regla de la suma: La derivada de la suma de dos funciones es la suma de las derivadas. Esto es, si f y g son funciones diferenciables, entonces : The sum rule: The derivative of the sum of two function is the sum of their derivatives. Assuming f and g are differentiable functions then:

Ejemplos: Deriva las siguientes funciones y evaluarla en los casos indicados. Examples: Find the derivative of the following functions and evaluate in the indicated value. 1) g(x) = x3 – 4x + 2; g’(2)

Ejercicio: Halla la derivada de: Exercise: Find the derivative of:

3) f(x) = x2 + x + 1 Tema: Derivadas de orden superior Topic: Derivatives of higher order Como la derivada de una función es otra función, entonces podemos buscar otra vez la derivada del resultado (derivada de la derivada). Si hacemos tal cosa, el resultado es de nuevo una función que pudiera ser a su vez derivada. Al continuar así una y otra vez, tenemos lo que se conoce por derivadas de orden superior. The derivative of the function is another function, then we can find the derivative again of the result (the derivative of the derivative). If we do this the result is a new function that you can derive again. If we continue this process again we obtain derivatives of higher order. Por ejemplo: For example :

f(x) = 6x3 - 5x2:

primera derivada es: the first derivative is:

f’(x) = 18x2 - 10x

segunda derivada es: the second derivative is:

f"(x) = 36x - 10

tercera derivada es: the third derivative is:

f’’’(x) = 36

cuarta derivada es: the fourth derivative is:

f(4)(x) = 0

. . . n-ésima derivada es: the nth derivative is:

Ejemplos para discusión: Examples to discuss:

f(n) (x) = 0

1) Si f(x) = -x4 + 2x3 + x + 4, halla f ’’’(-1). Let f(x) = -x4 + 2x3 + x + 4, find f ’’’(-1). 2) Halla las primeras cuatro derivadas de: Find the first four derivatives of:

Nota: Si f’(x) representa la pendiente de la gráfica de f, entonces f"(x) representa la pendiente de la gráfica de f’. A su vez, f’’’(x) representa la pendiente de la gráfica de f". Note: If f’(x) represents the slope of the graph at f, then f ’’(x) represents the slope of the graph of f ’(x). Then f ’’’(x) is the slope of the graph of f ’’.

Tema: Velocidad y Aceleración Topic: Velocity and Acceleration Definición: Si s(t) representa la función posición de un objeto en el tiempo t que se mueve a lo largo de una curva, la velocidad instantánea del objeto en el instante t=c, está dada por: Definition: If s(t) represents the position function of an object that is moving along a curve in time t, the instantaneous velocity of the object at the instance t = c is given by:

Siendo la velocidad promedio en un intervalo [f(c), f(c + h)]: The average velocity in the interval [f(c), f(c + h)]:

Ejemplo: Un objeto se mueve a lo largo de una recta de acuerdo con la ecuación s(t) = 2t2 - 12t + 10, donde s se mide en pies y t en segundos.

Example: The object that moves along the curve given by the equation s(t) = 2t2 - 12t + 10, where s is measured in feet and t in seconds. a) Completa la tabla de valores e ilustra en una recta numérica el movimiento del objeto. Fill the table of values and illustrate in the real line the movement of the object t

s(t)

0 1 2 3 4

b) Halla la velocidad del objeto cuando t = 0,1,2,3,4. Fin the velocity of the object when t = 0,1,2,3,4. c) Indica cuándo la velocidad a cero. Indicate when the velocity is zero. d) Halla la velocidad promedio en el intervalo 0  t  4. Find the average velocity in the interval 0  t  4 Nota: La velocidad puede ser negativa. Para el movimiento horizontal consideramos la velocidad negativa cuando el objeto se mueve hacia la izquierda (disminuye la distancia en x) y positiva cuando el objeto se mueve hacia la derecha (aumenta la distancia). La velocidad es cero cuando el objeto invierte su sentido de dirección. Note: The velocity can be negative. For the horizontal movement we consider a negative velocity when the object is moving to the left (decrease x-distance) and positive when the object moves to the right (bigger distance) Cuando el objeto se lanza al aire verticalmente, consideramos la velocidad positiva mientras el objeto se está elevando, cero cuando alcanza su altura máxima y negativa cuando cae.

When the object is thrown in the air vertically, we consider the velocity positive as the object is getting higher, zero when it reaches the maximum, and negative when it is falling. Definición: Si s(t) es la función posición de un objeto que se mueve a lo largo de una recta, la aceleración del objeto en el instante t, está dada por a(t) = v’(t) = s"(t), donde v(t) es la velocidad en t tiempo. Definition: Is s(t) is a function of position of an object that is moving along a curve, the acceleration of the object at the time t, is given by a(t) = v’(t) = s"(t), where v(t) is the velocity at time t.

Ejemplo: Se dispara un proyectil directamente hacia arriba desde la superficie de la tierra con una velocidad inicial de 400 pies/seg. Su distancia sobre la superficie de la tierra después de t segundos está dada por la ecuación s(t) 2 = -16t + 400t. Example: You shoot a projectile directly upward from the earth Surface at an initial velocity of 400 feet/sec. Its distance on the surface after t seconds is given by the equation s(t) = -16t2 + 400t. 1) Halla el tiempo cuando el proyectil retorna nuevamente la superficie de la tierra. Find the tiime when the projectile reaches the surface of the earth again. 2) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el proyectil? What is the maximum altitude that the projectile reaches? 3) ¿Cuál es la aceleración en cualquier tiempo? What is the acceleration at any time?

Nota: La derivada de una función se puede interpretar de dos maneras: Note: The derivative of the function can be interpreted in two ways: 1) Interpretación geométrica: Donde f’(c) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de y = f(x) en el punto (c,f(c)). Geometric Interpretation: Where f ’(c) is the slope of the tangent line of the graph y=f(x) at the point (c,f(c))

2) Interpretación física: Cuando la posición de un objeto en t tiempo está dada por s(t), entonces s’(t) es la velocidad instantánea del objeto en t. Physical interpretation: When the position in time t of an object is given by s(t) then s’(t) is the instantaneous velocity in time t. Tema: Reglas de derivación para productos y cocientes Topic: Rules to differentiate products and quotients Regla del producto: La derivada del producto de dos funciones es igual al producto de la primera función por la derivada de la segunda más la segunda función por la derivada de la primera. Esto es, Product rule: The derivative of the product of two functions is equal to the product of the first by the derivative of the second function time the derivative of the first. This is:

Ejemplos para discusión: Examples to discuss: 1) F(x) = (3x - 2x2)(5 + 4x) 2) G(x) = (1 + x-1)(x - 1)

Regla del cociente: La derivada del cociente de dos funciones es igual al producto del denominador por la derivada del numerador menos el numerador por la derivada del denominador dividido todo por el cuadrado del denominador. Esto es, Quotien rule: The differential of the quotient of two functions is equal to the product of the denominator times the derivative of the numerator minus the numerator times the derivative of the denominator, all divided by the square of the denominator.

donde g(x) es diferente de cero. Where g(x) is different from zero. Ejemplos para discusión: Examples to discuss

Ejercicio de práctica: Halla la derivada de : Practice exercise: Find the derivative of:

Tema: Regla de la Cadena Topic: The Chain Rule Regla de la Cadena (Chain Rule) Si y = f(u) es una función derivable de u y u = g(x) es una función derivable de x, entonces y = f(g(x)) es una función derivable y : If y = f(u), is a differentiable function of u, and u= g(x) a differentiable function in x, then y = f(g(x)) is a differentiable function y:

Ejemplo: Si f(u) = 3u15 y g(x) = 2x - 1, entonces la derivada es el producto de:

f ’(u) = (15)(3u14)= 90u14, y g’(x) = (2) . Finalmente, al sustituir a u por 2x -2, tenemos que la derivada es 90(2x - 1)14. Example: If f(u) = 3u15 and g(x) = 2x - 1,then the derivative is the product of: f ’(u) = (15)(3u14)= 90u14, y g’(x) = (2) . Finalmente, al sustituir a u por 2x -2, tenemos que la derivada es 90(2x - 1)14.

Regla general de las potencias General power rule Si y = [u(x)]n donde u es una función derivable de x y n es un número real, entonces: If y = [u(x)]n where u is a function of the x and n is a real number. Then:

Ejemplos: Halla la derivada de: Examples: Find the derivative of:

Ejercicio de práctica: Halla la derivada de: Practice exercise: Find the derivative of:

Tema: Derivación implícita Topic: Implicit Differentiation Hasta el momento las ecuaciones han sido expresadas en forma explícitas. Esto es, la ecuación ha sido expresada respecto a una variable en términos de la otra. Por ejemplo, y = 2x - 3 es una ecuación de y expresada en términos de x. Up to this moment the equations have been expressed in explicit form. That is, the equation has been expressed as a variable in terms of the other variable. For example: y = 2x – 3 is an equation of “y” expressed in terms of “x”. Pero existen ecuaciones que no están dadas explícitamente. Por ejemplo, las ecuaciones no están dadas en forma explícita. Tales ecuaciones están expresadas en forma implícita. Para derivar una ecuación implícita no es necesario expresarla en forma explícita. Se puede utilizar un método conocido por derivación implícita. Es un método que consiste en derivar cada término por separado en la ecuación dada. But there are equations that are not always written in explicit form. For example the following equations are not given in explicit form. These equations will be expressed in implicit form. In order to differentiate an implicit equation it is not necessary to express it in explicit form. You can use the method named implicit differentiation. It is a method that consists in deriving each term separately in the given equation. 2x + y = 4 xy =1 x2 + y2 = 9 La notación : The notation:

se lee "la derivada de y respecto a x". Para entender cómo hallar la derivada de y con respecto a x implícitamente, se debe observar que la derivación se efectúa respecto de x. Esto es, cuando derivamos términos que contienen sólo a x, se deriva como de costumbre, pero al derivar términos con y (como y 𝑑𝑦 es una función de x) se aplica la regla de la cadena: f ’(y)* y’ = 𝑓′(𝑦) . 𝑑𝑥

Is to be read “the derivative of y respect to x”. To understand how to call the derivative with respect to x implicitly, you should observe that the derivative is taken with respect to x. That is, when we derivate the terms that contain only x, we derivate as usual, but when you derivate the y terms, because y is a 𝑑𝑦 function of x, we use the Chain Rule : f ’(y)* y’ = 𝑓′(𝑦) . 𝑑𝑥

Ejemplos: Deriva respecto a x las siguientes expresiones: Examples: Derivate with respect to the x the following expressions: 1) 4x2 2) 2y3 3) x + 2y 4) xy3 Ejemplos: Halla la derivada de y respecto a x de: Examples: Find the derivative of y with respecto to x: 1) x2 + y2 = 9 2) x2y3 = 1 3) sen y = x 4) Calcula la pendiente de la recta tangente a x2 + xy + y2 = 7 en el punto (1,2). Calculate the slope of the tangent line to x2 + xy + y2 = 7 at the point (1,2).