UNIDAD III 3.1.− DEFINICIÓN DE DERIVADA. 3.2.− INTERPRETACIÓN GEOMETRICA. 3.3.− NOTACIÓN Y CÁLCULO A PARTIR DE LA DEFINICIÓN. 3.4.− LA DERIVADA COMO UNA RELACIÓN DE INCREMENTOS. 3.5.− COMO PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE A LA CURVA. 3.6.− REGLAS DE DERIVACIÓN. 3.7.− DERIVADAS DE FUNCIONES COMPUESTAS. 3.8.− REGLA DE LA CADENA. 3.9.− DERIVADA DE FUNCIONES IMPLICITAS. 3.10.− DERIVADAS SUCESIVAS O DE ORDEN SUPERIOR. 3.11.− APLICACIONES A FUNCIONES ECONÓMICAS. 3.1.− DEFINICIÓN DE DERIVADA. La derivada de una función con respecto a la variable independiente es la razón de cambio instantáneo de la función con respecto a la variable independiente. En otras palabras, la derivada es el límite del cociente de los incrementos de la función y la variable independiente cuando el incremento de la variable tiende a cero. En símbolos, sea y = f(x), entonces la derivada de y con respecto a x es: dy y y´ = = f´(x) = fx (x) = Lim dx !x x Hay diferentes notaciones para denotar la derivada de y con respecto a x se ha encontrado que: dy Lim f(x + x) − f(x) = dx x!0 La derivada así definida es una medida de variación instantánea de la variable dependiente y con respecto a la variable independiente x. Es importante observar que la existencia del límite, en todo caso, es una propiedad local de la función en el 1

valor considerado de la variable independiente x. si la derivadas existe en un punto x = x0, se dice que la función es derivable en ese punto. Si la función es derivable en todos los puntos de un intervalo a " x " b, entonces se dice que la función es derivable en el intervalo. 3.2.− INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LSA DERIVADA. Sea la curva AB de la ecuación y = f(x) Y B S Siendo: Q PS una secante que corta a la curva en P y Q y T el ángulo que forma la secante con el eje X PT una tangente en el punto P A P y = f(x) el ángulo que forma la tangente con el eje X R P(x,y) x Q(x + x, y + y) se forma el triángulo en R. 0MNX y = f(x) = PM (1) y + y = f(x +x) = QN (2) Restando (1) de (2) queda: y = f(x +x) − f(x) = QN − PM = QR Dividiendo entre x se tiene: Si tomamos el límite cuando x!0 y f(x + x) − f(x) QR y = = ; Lim = Lim tg = tg x x PR x!0 x x!0 La razón de los incrementos es el ángulo que forma la secante con el eje x QR y y Pero = tg RPQ ! = tg ! = m PR x x dy ! = tg dx

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Para un punto P dado en la curva, la derivada es la pendiente de la tangente a la curva en ese punto dado P 3.3.− NOTACIÓN Y CÁLCULO A PARTIR DE LA DEFINICIÓN. Cuando una variable pasa de un valor numérico a otro, la diferencia entre el valor inicial y el valor final se le llama incremento de la variable. Notación: x = incremento de x. y = incremento de y. f(x) = incremento de f(x). Ejemplos: 1.− Sea la recta de ecuación y = f(x) y P1 y+yy P x P (x,y) y P1(x + x , y + y) xx+xx 2.− sea la parábola y = x2, tomando P (−1, 1) como inicial. x −3 −2 −1 0 1 2 3

y 9 4 1 0 1 4 9

x −2 −1 0 1 2 3 4

y 8 3 0 −1 0 3 8

y Punto Inicial o P (−1,1)

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0x 3. 3.1.− LA DERIVADA COMO UNA RELACIÓN DE INCREMENTOS. La derivada es el límite de la razón de los incrementos de x e y. Se le conoce también como el cociente diferencial. Para obtenerla se sigue lo que se conoce como la Regla de los cuatro pasos. Sea la función y = f(x) 1) Se incrementa la función. y + y = f(x + x) 2) Se resta la función incrementada de la original. y + y = f(x + x) − y = f(x) y = f(x + x) − f(x) 3) Se divide entre el incremento de la variable independiente (x). y f(x +x) − f(x) = xx 4) Se encuentra el límite cuando x!0 y f(x + x) − f(x) Lim = Lim x!0 x x!0 x A la función así obtenida se le llama la derivada de y con respecto a x, y para señalarla se utiliza la notación siguiente: dy/dx ó y´. Ejemplos; obtener la 1° derivada por la regla de los cuatro pasos de la siguiente función: 1) y = 3x2 − 5 y + y = 3(x + x) 2 − 5 [1] y + y = 3x2 + 6xx + 3(x) 2 − 5 − y = −3x2 + 5 y = 6xx + 3(x) 2 [2]

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y 6xx 3(x) 2 = + = 6x + 3x x x x [3] y Lim = Lim (6x + 3x) = 6x x!0 x y y´ = Lim = 6x !x x [4] 2) y = 3x2 − 5 Obtener la 1° derivada por la formula general: y f(x + x) − f(x) [3(x + x) 2 − 5] − [3x2 − 5] Lim = = Lim = x!0 x x x!0 x 3x2 + 6xx + 3(x) 2 − 5 − 3x2 + 5 6xx + 3(x) 2 =Lim = Lim = 6x x!0 x x!0 x y Lim = 6x x!0 x 3.4.− LA DERIVADA COMO UNA RELACIÓN DE INCREMENTOS. Se define la pendiente m de una recta como la tangente de su ángulo de inclinación o en forma equivalente, como la razón del cambio en la distancia vertical (elevación) con respecto al cambio en la distancia horizontal (avance) cuando un punto se mueve a lo largo de la línea en cualquier dirección. y y2 − y1 y (x2, y2) m = tg = = x2 − x1 x y

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(x1,y1) xx La pendiente de cualquier línea recta es una constante, lo que significa que la razón de y con respecto a x se mantiene constante en toda la longitud de la recta a medida que x cambia. Sin embargo, esto no se cumple cuando se trata de curvas simples y la pendiente debe entonces determinarse para cada punto de interés particular. Supóngase que (x1,y1) y (x2,y2) son dos puntos cualesquiera sobre la curva y = f(x) Entonces la pendiente de la línea (denominada secante) que une a los puntos(x1,y1) y (x2,y2) esta dada por la expresión: y2 − y1 y m sec = = x2 −x1 x Supóngase ahora que el punto (x1, y1) se mantiene fijo, mientras que el punto (x2,y2) se desliza a lo largo de la curva y = f(x) hacia el punto (x1,y1); a medida que el punto (x2,y2) se mueve a lo largo de f(x), la pendiente de la línea que une a (x1,y1) y (x2,y2) en general, cambiara. Sin embargo, puede suceder y de hecho sucede para la mayoría de las curvas encontradas en la práctica, que a medida que el punto (x2,y2) se aproxima más y más al punto (x1,y1), la pendiente de la secante varía en cantidades cada vez más pequeñas y, de hecho, se aproxima a un valor límite constante. Cuando esto sucede se dice que el valor límite representa la pendiente de la tangente a la curva en (x1,y1) o la pendiente de la curva en (x,y) según figura siguiente. y (x2,y2) o (x + x , y + y) y = f(x) y (x1, y1) o(x,y) x x y Lim m sec = Lim = Pendiente de la curva en (x1,y1) x!0 x!0 x La pendiente de la tangente a la curva en un punto dado, es la primera derivada de la curva en dicho punto. Es costumbre al definir la primera derivada, hacer uso de la notación (x,y) para el punto fijo (x1,y1) y la notación (x +x , y +y) para el punto móvil (x2,y2). Entonces: dy y f(x + x) − f(x) = Lim = Lim dx x!0 x x Que es la primera derivada respecto a x de la función y = f(x). Este límite puede existir para algunos valores 6

de x y no existir para otras. En cada punto (x,y) donde este límite existe, se dice que la función tiene derivada o simplemente que es derivable y dy/dx resulta ser la primera derivada o la derivada de y = f(x). Al proceso de obtener la primera derivada de una función se le denomina derivación. Además del símbolo dy/dx otros varios tipos de notación son utilizados para representar la primera derivada de y = f(x) con respecto a x. los más usuales son: d(y) f´(x); y´; ; Dx y; Dx (y) dx 3.5.− COMO PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE A LA CURVA. Una razón para estudiar las rectas tangentes es poder utilizar sus pendientes para definir razones de cambio instantáneas. Ejemplos. 1) Encontrar las pendientes y las inclinaciones de las tangentes a la parábola y = x2 x −3 −2 −1 0 1 2 3

y 9 4 1 0 1 4 9

y y=f(x) 0

SOLUCIÓN: y = x2 su derivada es: y´= 2x para el vértice (0,0) ! x = 0 y´= 2(0) = 0 por lo tanto en el vértice la pendiente de la tangente es: m = 0, inclinación = 0° para x = ½ ! y´= 2 (½) = 1 por lo tanto en x = ½ la pendiente de la tangente es: m = 1, la inclinación = 45° 2) Encontrar la pendiente y las inclinaciones de la tangente a la hipérbola y = 9/x en los puntos donde x = 3, x =−3 7

y x 9 6 3 0 −1 −3 −6 −9

y 1 3/2 3 " −9 −3 − 3/2 −1

y = 9/x

0x SOLUCÓN: y = 9/x, obtenemos la derivada: 9 Si y = 9x −1 ! y´= − 9x −2 = − x2 para x = 3 9 y´= − = −1 ! m = −1, = 135° (3) 2 para x = −3 9 y´= − = −1 ! m = −1, = 135° (−3) 2 3) Encontrar la pendiente y la inclinación a la curva y = 4 − x2 para los puntos x = 0 y x = − 3. SOLUCIÓN. y x −4

−3

−2

−1

0

1

2

3

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