COMPENSADORES DE ADELANTO Y RETARDO

1.

1

Dise˜ no de un compensador de adelanto de fase El compensador de adelanto de fase persigue el aumento del margen de

fase mediante la superposici´on de la curva de fase del diagrama de bode sobre el diagrama de bode del sistema a compensar. El diagrama de bode del compensador se sit´ ua de manera que el valor m´aximo de adelanto de fase (situado en la media geom´etrica de las frecuencias w1 y w2 de la figura 1) se encuentre donde se espera tener la frecuencia de cruce de ganancia. Diagrama de bode de compensador de adelanto de fase 20 18 16

Magnitude (dB)

14 12 10 8 6 4 2

Phase (deg)

0 60

30

w2 = 0.1 rad/s

w1 = 1 rad/s

0 −3

10

−2

10

−1

10

wm

0

10

1

10

2

10

Frequency (rad/sec)

Figura 1: Diagrama de Bode de un compensador de adelanto de fase

COMPENSADORES DE ADELANTO Y RETARDO

2

El compensador de adelanto de fase tiene la forma general Gcaf = Kc

T s+1 αT s+1

con 0 < α < 1

La frecuencia donde se alcanza el m´aximo de adelanto de fase es ωm =

1 √

T α 1 siendo la amplificaci´on a esta frecuencia de √ . α Conviene tener en cuenta que el compensador de adelanto de fase siempre

sumar´a ganancias positivas sobre el sistema original (ver figura 5), llevando hacia la derecha la frecuencia de cruce de ganancia. Esto originar´a que el margen de fase aumente menos de lo esperado. Un adecuado dise˜ no del compensador supone que ωm es suficientemente mayor que las frecuencias caracter´ısticas del sistema. De esta forma, la ganancia positiva aportada por el compensador no ser´a muy grande a las frecuencias caracter´ısticas del sistema y el desplazamiento hacia la izquierda de la frecuencia de cruce de ganancia no ser´a significativo. La disminuci´on del margen de fase respecto de lo esperado se compensa con un cierto margen adicional entre 5o y 12o , tal como se ver´a en el ejemplo siguiente.

1.1.

Ejemplo

Ejemplo de la p´agina 624 de Ogata. Para el sistema con funci´on de transferencia G1 (s) =

4 s (s + 2)

se quiere dise˜ nar un compensador para el sistema de modo que la constante

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3

de error est´atico de velocidad Kv sea de 20 s−1 , el margen de fase sea al menos de 50o y el margen de ganancia sea al menos de 10 dB. En primer lugar se obtiene la constante del compensador, comprobando si simplemente con un controlador proporcional en bucle cerrado podr´ıamos cumplir con las especificaciones. Si no es as´ı, el valor que se obtiene de cumplir con la especificaci´on de la constante est´atica (en este caso de velocidad) ser´a la constante Kc que habr´a de tener el compensador. Kv = l´ım s Kc G1 (s) = Kc · 2 s→0

Luego Kc = 10. Con este valor, se comprueba si el sistema original junto con esta ganancia cumple las especificaciones del margen de fase y ganancia, para lo que se traza su diagrama de Bode (fig. 2). Se ve que el margen de ganancia es infinito, lo que es propio de sistemas de orden uno o dos. El margen de fase es aproximadamente 18o . La frecuencia de cruce de ganancia es 6,16 rad/s. Como esta frecuencia es suficientemente mayor que las frecuencias caracter´ısticas del sistema original, se supone un margen adicional sobre el margen de fase de 5o . Si estuviera m´as pr´oximo, habr´ıa que subir hasta 12o . Por tanto el margen de fase que el compensador debe aportar es el margen de fase especificado, m´as el adicional, menos el original Mφcomp = Mφesp + Mφadic − Mφorig = 37o Se puede demostrar que el valor de α para el compensador es tal que ¡ ¢ 1−α sin Mφcomp = 1+α

COMPENSADORES DE ADELANTO Y RETARDO

4

Diagrama de bode de G1(s) = 40/s/(s+2) 50

Magnitude (dB)

25

0

−25

Phase (deg)

−50 −90

−120

−150

−180 −1

10

0

1

10

2

10

10

Frequency (rad/sec)

Figura 2: Diagrama de Bode del sistema con Kc · G1 (s) =

40 s (s + 2)

con lo que α = 0,2482. El ´angulo de adelanto de fase m´aximo se da en una frecuencia que es 1 ωm = √ . Interesa que en la frecuencia de cruce de ganancia del sistema αT compensado se tenga el m´aximo de adelanto de fase. Por tanto la frecuencia ωm ser´a la frecuencia de cruce de ganancia del sistema compensado. La ganancia que aporta el compensador en la frecuencia de adelanto de 1 fase m´aximo es √ = 6 dB. Por tanto, para que el sistema compensado α tenga en esa frecuencia una ganancia 1, se busca en el diagrama de Bode a qu´e frecuencia la ganancia del sistema es −6 dB, de forma que la ganancia del

COMPENSADORES DE ADELANTO Y RETARDO

5

Diagrama de bode de G1(s) = 40/s/(s+2) 50 40 30

Magnitude (dB)

20 10 0 −10 −20 −30 −40 −50 45

Phase (deg)

0

−45

−90

−135

−180 −1

0

10

1

10

10

2

10

Frequency (rad/sec)

Figura 3: Diagrama de Bode del sistema con Kc · G1 (s) = compensador y del sistema compensado

40 , del s (s + 2)

sistema compensado sea unitaria. La frecuencia es 8,8 rad/s, y esta ser´a la frecuencia central del compensador ωm . De aqu´ı se obtienen los valores de T = 0,2281 s y α T = 0,056 s, con lo que el compensador resulta Gcaf (s) = 10

0,2281 s + 1 0,056 s + 1

(1.1)

La figura 3 muestra los diagramas de Bode del sistema original (multiplicado por Kc ), del compensador (sin Kc ) y del sistema compensado. En la figura 4 se observa en trazo discontinuo el comportamiento de los

COMPENSADORES DE ADELANTO Y RETARDO Step response

6

Ramp response

1.4

10

9 1.2 8

1

7

6 Amplitude

Amplitude

0.8 5

0.6 4

3

0.4

2 0.2 1

0

0

1

2

3

4

5

6

0

0

Time (sec)

Figura 4: Respuesta del sistema Kc · G1 (s) = pensado para entradas en escal´on y rampa

2

4

6

8

10

Time (sec)

40 y del sistema coms (s + 2)

sistemas original (sin multiplicar por Kc ) y, en trazo continuo, compensado, para una entrada en escal´on y rampa.

2.

Dise˜ no de un compensador por retardo El compensador de retardo igualmente persigue el aumento del margen

de fase pero mediante otra estrategia. El efecto primero del compensador es disminuir la ganancia del sistema compensado para frecuencias iguales o superiores a las frecuencias caracter´ısticas del sistema, con lo que supuestamente deber´ıa trasladar la frecuencia de cruce de ganancia hacia valores

COMPENSADORES DE ADELANTO Y RETARDO

7

menores. Como el margen de fase se mide a la frecuencia del cruce de ganancia, y esta se conseguir´a reducir, es previsible que dicho margen aumente. El diagrama de Bode de un compensador de retardo con ganancia unitaria puede ser como el mostrado en la figura 5. Diagrama de bode de compensador de retraso de fase 0 −2 −4

Magnitude (dB)

−6

β

−8 −10 −12 −14 −16 −18

Phase (deg)

−20 0

−30

w1 = 0.1 rad/s

w2 = 1 rad/s

−60 −3

10

−2

−1

10

10

0

wm

10

1

10

2

10

Frequency (rad/sec)

Figura 5: Diagrama de Bode de un compensador de retardo El compensador de adelanto de fase tiene la forma general Gcr = Kc

T s+1 βT s+1

con β > 1

A frecuencias suficientemente altas, el sistema original ver´a atenuada su amplitud en

µ ¶ 1 Atenuacion = 20 log β

(2.1)

COMPENSADORES DE ADELANTO Y RETARDO

8

que para el caso de la figura 5 vale −20 dB. Conviene tener en cuenta que el compensador de retardo sumar´a fases negativas sobre el sistema original (ver figura 5). Un adecuado dise˜ no del compensador supone que 1/T es suficientemente menor que las frecuencias caracter´ısticas del sistema. De esta forma, para frecuencias del orden de la frecuencia de cruce de ganancia, la cantidad de fase negativa que se sumar´a en la frecuencia de cruce de ganancia no ser´a significativa, y se podr´a compensar con un cierto margen adicional entre 5o y 12o .

2.1.

Ejemplo

Ejemplo de la p´agina 633 de Ogata. Para el sistema con funci´on de transferencia G1 (s) =

2 s (s + 2)(s + 1)

se quiere dise˜ nar un compensador para el sistema de modo que la constante de error est´atico de velocidad Kv sea de 5 s−1 , el margen de fase sea al menos de 40o y el margen de ganancia sea al menos de 10 dB. En primer lugar se obtiene la constante del compensador, comprobando si simplemente con un controlador proporcional en bucle cerrado podr´ıamos cumplir con las especificaciones. Si no es as´ı, el valor que se obtiene de cumplir con la especificaci´on de la constante est´atica (en este caso de velocidad) ser´a la constante Kc que habr´a de tener el compensador. Kv = l´ım s Kc G1 (s) = Kc s→0

COMPENSADORES DE ADELANTO Y RETARDO

9

Luego Kc = 5. Con este valor, se comprueba si el sistema original junto con esta ganancia cumple las especificaciones del margen de fase y ganancia, para lo que se traza su diagrama de Bode (fig. 6). Diagrama de bode de G1(s) = 10/s/(s+1)/(s+2) 80 60

Magnitude (dB)

40 20 0 −20 −40 −60 −90

Phase (deg)

−135

−180

−225

−270 −3

10

−2

10

−1

10

0

10

1

10

Frequency (rad/sec)

Figura 6: Diagrama de Bode del sistema con Kc · G1 (s) =

10 s (s + 2)(s + 1)

El sistema no es de orden uno o dos, por lo que el margen de ganancia no ser´a infinito. De hecho es −4,5 dB, es decir, que el sistema con esa ganancia de 5, resulta ser inestable. El margen de fase,l´ogicamente tambi´en negativo, es -13o . La frecuencia de cruce de ganancia es 1,8 rad/s. En principio, no se tiene mucha informaci´on de d´onde centrar el compensador de retardo. Se escoger´a un margen adicional de 8o , intermedio entre 5o

COMPENSADORES DE ADELANTO Y RETARDO

10

y 12o . Por tanto, el margen de fase que se debe buscar para el sistema ser´a de Mφ = Mφesp + Mφadic = 48o El sistema original presenta una fase de −132o a la frecuencia de 0,5 rad/s. Ser´a esta la frecuencia de cruce de ganancia deseada para el sistema compensado. La frecuencia de corte m´as alta del compensador (1/T ) deber´ıa ser entre 2 y 10 veces menor de esta frecuencia. Si se escoge 2, el Bode de fase interferir´a demasiado y habr´ıa que aumentar el marge adicional a 12o . Si se escoge 10, se podr´ıa bajar este margen adicional a 5o , pero dar´ıa lugar a frecuencias demasiado bajas que implican constantes de tiempo muy altas, lo cual no es conveniente. Se deja en 5 veces menor y se da por bueno un margen de seguridad de 8o . Por tanto, la mayor frecuencia de cruce del compensador de retardo se sit´ ua en 0,1 rad/s, que corresponde a T = 10 s. Por otro lado, a 0,5 rad/s, la ganancia es de 18.4 dB. Como 0,5 rad/s es la frecuencia de cruce de ganancia deseada, aplicando una atenuaci´on de -18.4 dB, se consigue que el sistema compensado tenga una amplitud de 0 dB a la frecuencia de 0,5 rad/s. Por tanto esta atenuaci´on, que corresponde a un valor de 8,32, ser´a la que el compensador de retardo debe conseguir. Por tanto el valor β, tal como se explic´o anteriormente y se muestra en la figura 5, equivale a esta atenuaci´on, es decir β = 8,32.

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11

Diagrama de bode de G1(s) = 10/s/(s+1)/(s+2) 80 60

Magnitude (dB)

40 20 0 −20 −40 −60 0

Phase (deg)

−45 −90 −135 −180 −225 −270 −3

10

−2

−1

10

10

0

1

10

10

Frequency (rad/sec)

Figura 7: Diagrama de Bode del sistema con Kc · G1 (s) = del compensador y del sistema compensado

10 , s (s + 1)(s + 2)

El compensador de retardo queda finalmente Gcr(s) = 5

10 s + 1 83,2 s + 1

(2.2)

La figura 7 muestra los diagramas de Bode del sistema original (multiplicado por Kc ), del compensador (sin Kc ) y del sistema compensado. En la figura 8 se observa en trazo discontinuo el comportamiento de los sistemas original (sin multiplicar por Kc ) y, en trazo continuo, compensado, para una entrada en escal´on y rampa. Realmente la respuesta transitoria es peor. La pareja polo-cero cerca del

COMPENSADORES DE ADELANTO Y RETARDO Step Response

12

Ramp response 40

35

1.2

30 1

25 Amplitude

Amplitude

0.8 20

0.6 15

0.4 10

0.2

0

5

0

5

10

15

20

25

30

35

0

0

Time (sec)

10

20

30

40

Time (sec)

10 y del sistema s (s + 1)(s + 2) compensado para entradas en escal´on y rampa

Figura 8: Respuesta del sistema Kc · G1 (s) =

origen produce una larga cola de peque˜ na amplitud en la respuesta escal´on, aumentando el tiempo de asentamiento. Sin embargo, el error en r´egimen permanente disminuir´a en el caso de excitaci´on en rampa.

3.

Comparaci´ on de las compensaciones de adelanto y retardo

1. La compensaci´on de adelanto proporciona el resultado deseado mediante su contribuci´on al adelanto de fase, mientras que la compensaci´on de retardo logra el resultado a trav´es de su propiedad de atenuaci´on a

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13

altas frecuencias. 2. La compensaci´on de adelanto suele usarse para mejorar los m´argenes de estabilidad. La compensaci´on de adelanto da una frecuencia de cruce de ganancia m´as alta que la que puede obtenerse con la compensaci´on de retardo. La frecuencia de cruce de ganancia m´as alta significa un mayor ancho de banda. Un ancho de banda grande implica una reducci´on en el tiempo de asentamiento. Si se desea un ancho de banda grande o una respuesta r´apida, debe emplearse la compensaci´on de adelanto. Sin embargo, si hay se˜ nales de ruido, tal vez no esa adecuado un ancho nales de banda grande, porque esto hace al sistema m´as sensible a las se˜ de ruido, debido a l incremento de la ganancia a altas frecuencias. Se ve la cierta equivalencia entre un compensador de adelanto y un regulador PD, mientras que un compensador de retardo equivale a un PI. 3. La compensaci´on de adelanto requiere un incremento adicional en la ganancia para compensar la atenuaci´on inherente a la red de adelanto. Esto significa que la compensaci´on de adelanto requiere una ganancia mayor que la que precisa la compensaci´on de retardo. Una ganancia mayor casi siempre implica mayor espacio, mayor peso y un coste m´as elevado. 4. La compensaci´on de adelanto puede generar grandes se˜ nales en el sistema. Estas se˜ nales no son deseables porque pueden originar saturaciones en el sistema.

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14

5. La compensaci´on de retardo reduce la ganancia del sistema a altas frecuencias permitiendo aumentarla a bajas frecuencias, con lo que aumenta la precisi´on en estado estacionario. Al reducir la ganancia a altas frecuencias, los ruidos a altas frecuencias que contiene el sistema se aten´ uan, aunque al reducirse el ancho de banda del sistema, ´este responde a una velocidad m´as lenta. 6. La compensaci´on de retardo introduce una combinaci´on polo-cero cerca del origen que genera una larga cola de peque˜ na amplitud en la respuesta transitoria.