CINEMÁTICA. 4ºESO. 1. El movimiento de un coche puede representarse mediante la siguiente gráfica.

a) Razonar el tipo de movimiento en cada tramo. b) Deducir las ecuaciones del movimiento el móvil para cada uno de los tramos. c) Calcular el espacio recorrido por el móvil en cada uno de los tramos y explica el trayecto seguido por el coche. a) Podemos responder a la primera pregunta de dos maneras: (1) Por la simple observación de la gráfica, o bien, (2) Obteniendo las ecuaciones correspondientes a cada tramo y comparándolas con las que ya conocemos, que es lo que haremos en el apartado b). • En el primer tramo (t=0 a t=4s) podemos ver como a medida que aumenta el tiempo va aumentando linealmente el espacio recorrido, es decir que recorre espacios iguales en tiempos iguales ⇒ la velocidad es constante ⇒ el tramo corresponde a un movimiento uniforme. Además podemos ver como en el momento t=0, s=0, es decir que inicialmente está en el origen y que al final del tramo t=4 ha recorrido 12 m. • En el segundo tramo (t=4s a t=8s) podemos ver que el móvil siempre está en la misma posición (a 12m) por tanto se encuentra en reposo. • En el tercer tramo (t=8s a t=10s) vemos como inicialmente está en la posición s=12m y que a medida que pasa el tiempo la distancia al origen se hace cada vez más pequeña hacerse nula ⇒ la velocidad es constante, pero ahora se mueve en dirección opuesta ⇒ el tramo corresponde a un movimiento uniforme. b) La ecuación general de una recta es y = mx + n, donde n representa la ordenada en el origen (punto de corte con el eje Y). La m representa la pendiente de la recta (tangente del ángulo que forma con el eje X ). En este caso las rectas tienen de ecuación v = mt + n La recta corta al eje de ordenadas en el punto 0 ⇒ n=0 La pendiente se obtiene a partir de un triángulo rectángulo cualquiera, por ejemplo el que está en naranja, dividiendo el cateto opuesto al ángulo entre el cateto contiguo: m= 12/4 =3 La ecuación de la recta es: s = 3·t

Comparando la ecuación obtenida con la ecuación general del espacio de un movimiento uniforme: s = so +v·t podemos concluir que en este tramo so =0 y que v = 3 m/s. Con esto, las ecuaciones durante el primer tramo son: a=0 v=3 s = 3·t En el segundo tramo la recta es una paralela al eje, que lo corta en s = 12, que por tanto es su ecuación. Puesto que la posición durante este tramo no depende del tiempo ⇒ el móvil está en reposo.

En el tercer tramo la recta corta al eje de ordenadas en el punto 12, por tanto n=12. La pendiente de la recta es m = 12/(−2) = −6 La ecuación de la recta es: s = 12 – 6·t Comparando la ecuación obtenida con la ecuación general del espacio de un movimiento uniforme: s = so +v·t podemos concluir que en este tramo so =12m y que v = −6 m/s. Con esto las ecuaciones durante el tercer tramo son: a=0 v=−6 s = 12 – 6·t c) El espacio recorrido en cada uno de los tramos puede leerse directamente en el eje de ordenadas de la gráfica, que corresponde al espacio o puede calcularse con las ecuaciones: Tramo 1 s = 3·t s t =4 = 3 ⋅4 = 12 m

Tramo 2 reposo

Tramo 3 s = −6 t (*) s t =2 = −6 ⋅2 = −12 m

(*) Para calcular el espacio recorrido en un tramo concreto se suprime el espacio inicial, porque de lo contrario obtendríamos la posición respecto al comienzo del movimiento. El signo menos que se obtiene indica que ha recorrido 12 metros hacia la izquierda. El espacio total recorrido es la suma de los valores absolutos: sTotal = 12 + 0 + |−12| = 24 m Sumando con los signos obtendríamos la posición final.

Explicación del trayecto seguido: • El móvil inicialmente se mueve hacia la derecha con velocidad constante de 3 m/s y recorre 12m. • A continuación está parado durante 4 segundos • Por último se mueve en sentido contrario con velocidad de 6 m/s y recorre otros 12 metros en sentido opuesto, por lo que finalmente el móvil termina en el punto de partida. 2. Para estudiar el movimiento de un móvil se ha medido el tiempo que, partiendo del reposo, tarda en recorrer diferentes espacios, recogiéndose los resultados en la siguiente tabla: espacio 0m 1m 2m 3m 4m 5m

tiempo 0,00 s 1,15 s 1,63 s 2,00 s 2,31 s 2,58 s

a) Representar gráficamente el espacio en función del tiempo y “a partir de la gráfica” obtenida razonar el tipo de movimiento que tiene el móvil. b) A partir de los datos obtenidos escribe las ecuaciones del movimiento del móvil. c) Calcula la velocidad que tendría después de 5 segundos. d) Calcula el espacio que recorrería en 5 segundos. a) La curva obtenida corresponde a una parábola, lo que quiere decir que el espacio es una función del tiempo al cuadrado ⇒ el movimiento es acelerado A la misma conclusión llegamos observado los datos, donde podemos ver que cada vez tarda menos tiempo en recorrer el siguiente metro ⇒ la velocidad es cada vez mayor ⇒ el movimiento es acelerado. b) Al tratarse de un movimiento acelerado podemos escribir las siguientes ecuaciones generales: a = cte v = vo + a·t s = so + vot + ½ a·t2 Teniendo en cuenta que nuestro móvil parte del reposo (porque nos lo dice el enunciado) y que el espacio inicial es cero (porque en los datos para t=0, s=0), podemos escribir que: a = cte v = a·t s = ½ a·t2

Únicamente nos falta calcular el valor de la aceleración para particularizar las ecuaciones al caso de nuestro móvil. Para eso no tenemos más que fijarnos en un punto cualquiera de la gráfica, preferiblemente que tenga valores conocidos en los ejes, como es el caso del punto en rojo, para el que s=3m tiene t=2s. Sustituyendo en la ecuación del espacio: s = ½ a·t2 ⇒ 3 = ½ a·22 ⇒ a = 6/4 = 1,5 m/s2.. Por tanto las ecuaciones concreatas del móvil son: a = 1,5 v = 1,5·t s = 0,75·t2 c) La velocidad para t=5s es: v = 1,5*5 = 7,5 m/s d) El espacio para t=5s es:

s = 0,75*52 = 18,75 m

3. Se lanza un cuerpo verticalmente hacia abajo con una velocidad inicial de 7 m/s. a) ¿Cuál será su velocidad después de haber descendido 3 s?. b) ¿Qué distancia habrá descendido en esos 3 s?. c) ¿Cuál será su velocidad después de haber descendido 14 m?. d) Si el cuerpo se lanzó desde una altura de 200 m, ¿en cuánto tiempo alcanzará el suelo?. e) ¿Con qué velocidad lo hará?. Siempre que en un movimiento exista aceleración constante se trata de movimiento uniformemente acelerado (MUA). No importa si se mueve sobre una trayectoria recta o una trayectoria circular o de cualquier otra forma. En este caso, se trata de un movimiento rectilíneo (porque cae en línea recta y su trayectoria es rectilínea) y uniformemente acelerado porque la aceleración es constante. La de la gravedad, que vale 10 m/s2. Siempre las fórmulas son las mismas y solo hay tres, únicamente 3, que son: a = cte # 0 v = vo + a.t

1 s = so + vo t + a ⋅ t 2 2 Con esas ecuaciones se pueden resolver todos los ejercicios que se pueden presentar, por muy difíciles que sean. Sin embargo, dependiendo de los datos, algunas veces es más sencillo utilizar otra ecuación, que no es una ecuación nueva, sino que es una combinación lineal de estas que se obtiene eliminando el tiempo entre ellas.:

v = v o2 + 2 ⋅ a ⋅ s Esta ecuación, como ya hemos dicho, no es necesaria pero a veces ayuda a que las operaciones sean más sencillas.

El siguiente paso, muy importante, elegir un sistema de referencia (el que quieras). Lo más sencillo siempre es tomar el centro del sistema de referencia en el lugar donde comienza el movimiento y con uno de los ejes en la dirección del movimiento. En ese caso el centro del sistema de referencia será arriba de esa torre o de ese acantilado desde donde se tiró la piedra:

Fíjate en dos cosas muy importantes, y en las que a menudo nunca reparas: • Hemos creado un sistema de referencia centrado en el lugar del disparo porque de esa forma el espacio inicial es cero. • Hemos asignado sentido positivo al sentido en que se va a mover la piedra. (podría haberse elegido de otra forma y eso no cambia las soluciones del problema.) En ese sistema de referencia lo que va hacia abajo lo tomaremos como positivo y lo que va hacia arriba negativo, así que la velocidad inicial será +7 m/s y la aceleración +10 m/s2. Las ecuaciones de un movimiento uniformemente acelerado son: v = vo + a.t

v = 7 + 10*t

v = 7 +10*t

1 s = vo t + a ⋅ t 2 2

1 s = 7 ⋅ t + 10 ⋅ t 2 2

s = 7 ⋅ t + 5⋅ t2

Estas son las ecuaciones de todos los movimientos uniformemente acelerados

Estas son las ecuaciones de “este movimiento” en concreto. Si le damos un valor al tiempo obtienes lo que vale la velocidad y el espacio en ese instante. Y al contrario, si le damos un valor a la velocidad o al espacio podremos despejar el tiempo que necesita para tener esa velocidad o recorrer ese espacio.

• Vuelve a fíjate que tanto la ecuación de la velocidad como la del espacio nos dicen lo que valen en cada momento. No hay más que darle un valor a t para saber su velocidad en ese momento y el espacio recorrido en ese tiempo.

• Y al contrario, si le damos un valor a la velocidad o al espacio podremos deducir el tiempo que tarda en alcanzar esa velocidad o el que tarda en estar en esa posición.

a) Si se lanza una piedra con una velocidad inicial de 7 m/s, ¿Cuál será su velocidad después de haber descendido 3 s?. Como ya hemos dicho, una vez que sabemos la ecuación de la velocidad basta con dar un valor al tiempo para conocer la velocidad en ese instante: v = 7 +10*t

→

v = 7 +10*3 = 37 m/s

b) Y lo mismo para conocer el espacio recorrido en un tiempo dado:

→ s = 7 ⋅ t + 5⋅ t2 s = 7 ⋅ 3 + 5 ⋅ 3 2 = 66 m Vamos a resolver el mismo ejercicio pero desde otro sistema de referencia y verás como los resultados son los mismos. Ahora vamos a elegir un SR centrado en el lugar del disparo (que es lo normal) pero el valor positivo va a ser hacia arriba, como es normal en los ejes cartesianos:

de acuerdo a ese SR la velocidad inicial será –7 m/s y la aceleración –10 m/s2. Las ecuaciones de un movimiento uniformemente acelerado son: v = vo + a.t

v = –7 – 10*t

1 s = vo t + a ⋅ t 2 2

s = −7 ⋅ t +

v = –7 –10*t

1 ( −10) ⋅ t 2 2

s = −7 ⋅ t − 5 ⋅ t 2

y la velocidad y el espacio a los 3 segundos sería: v = –7 –10*t

→

v = –7 –10*3 = –37 m/s

s = −7 ⋅ t − 5 ⋅ t 2

→

s = −7 ⋅ 3 − 5 ⋅ 3 2 = –66 m

Quiere decir que la velocidad vale 37 m/s y el signo menos nos indica que de acuerdo al SR elegido va hacia abajo. Que el espacio resulta –66m quiere decir que transcurridos 3 segundos el móvil ha recorrido 66m, y está en la posición (0,–66) del SR

c) ¿Cuál será su velocidad después de haber descendido 14 m?. Es casi igual. Simplemente ahora primero calculamos el tiempo que tarda en recorrer 14m y luego, igual que antes, calculamos el valor de la velocidad en ese instante:

s = 7 ⋅ t + 5⋅ t2

→

14 = 7 ⋅ t + 5 ⋅ t 2

t = 1,114 seg

→

El otro valor del tiempo no vale porque es negativo. Ahora que sabes lo que tarda en recorrer esos 3 metros, podemos calcular la velocidad que tendrá sustituyendo en la primera ecuación: v = 7 + 10*t

→

v = 7 + 10*1,114 = 18,14 m/s

Fíjate como hemos resuelto el apartado con las dos única fórmulas de siempre, pero para eso ha sido necesario resolver un sistema de ecuaciones. Cuando te ocurra eso, si no quieres hacerlo acuérdate entonces de esa tercera fórmula que te dije, que auque como ves no es imprescindible, pero sí que te ayuda a hacerlo más fácil. Verás:

v = v o2 + 2 ⋅ a ⋅ s = 7 2 + 2 ⋅ 10 ⋅ 14 = 18,14 m/s d) Se lanza un cuerpo verticalmente hacia abajo con una velocidad inicial de 7 m/s desde una altura de 200 m, ¿en cuánto tiempo alcanzará el suelo?. Pues exactamente igual, porque se trata de saber qué tiempo tarda en recorrer 200m: s = 7 ⋅ t + 5⋅ t2

→

200 = 7 ⋅ t + 5 ⋅ t 2

→

t = 5,663 seg

e) Con que velocidad llega al suelo?. Es como decir que velocidad tiene después de recorrer 200m , que ya sabemos que para ello tarda 5,663 seg, así que de la primera ecuación: v = 7 + 10.t

→

v = 7 + 10.5,663 = 63,63 m/s

También podía haberlo hecho con esa tercera fórmula: v = v o2 + 2 ⋅ a ⋅ s = 7 2 + 2 ⋅ 10 ⋅ 200 = 63,63 m/s y ahora que sabes la velocidad con que llega al suelo podrías calcular el tiempo que tarda en caer aplicando la primera ecuación: v = 7 + 10.t

→

63,63 = 7 + 10.t

→

t=

63,63 − 7 = 5,663 seg 10

4. Se lanza una pelota desde lo alto de una torre de 20 m de altura con una velocidad hacia arriba de 15 m/s. Calcular: a) ¿Qué velocidad tendrá al cabo de 1 seg? ¿Y al cabo de 3 seg? b) ¿Qué espacio habrá recorrido al cabo de 1 seg? ¿Y al cabo de 3 seg? c) La altura máxima que alcanza y el instante en que ocurre d) El tiempo que tarda en llegar al suelo e) La velocidad con que llega al suelo. Ya sabes que lo primero es elegir el sistema de referencia y que puedes elegir el que quieras, pero siempre el más sencillo es uno que tenga el centro en el lugar del disparo y que tenga uno de los ejes en la dirección del movimiento, por ejemplo como el siguiente:

en ese sistema de referencia lo que va hacia arriba lo tomaremos como positivo y lo que va hacia abajo negativo, así que la velocidad inicial será vo= +15m/s y la aceleración a=–10m/s2. Las ecuaciones de un movimiento uniformemente acelerado son: v = vo + a.t

v = 15 – 10*t

1 s = vo t + a ⋅ t 2 2

s = 15 * t +

Ecuaciones del MUA

1 * (-10) * t 2 2

v = 15 − 10 ⋅ t s = 15 ⋅ t − 5 ⋅ t 2

Ecuaciones de este movimiento concreto

a) Para calcular el valor de la velocidad en un momento determinado no hay más que sustituir t por su valor en la ecuación de la velocidad: v t =1 = 15 − 10 ⋅ 1 = 5 m/s v t =3 = 15 − 10 ⋅ 3 = −15 m/s • Observa que para t=1s la velocidad es +5m/s, eso quiere decir que en ese momento vale 5m/s y que va hacia arriba. En el momento t=3s la velocidad vale −15m/s y ese signo menos de acuerdo a nuestro RS quiere decir va hacia abajo. • Fíjate bien en la ecuación de la velocidad de “este movimiento concreto” v = 15 − 10*t

• Como puedes ver, si le damos valores pequeñitos al tiempo, la velocidad resulta positiva. Eso quiere decir que está subiendo (recuerda que en el sistema de referencia es positivo lo que va hacia arriba). Es lo que hace la piedra al principio: subir. • Hay un valor del tiempo, para el que la velocidad se hace cero. Ese valor corresponde al momento en que ha alcanzado la altura máxima y ahí está parado. • Si le damos un valor al tiempo mayor, entonces la velocidad se hace negativa y el signo menos indica que ahora está bajando b) Para calcular el valor del espacio recorrido en un momento determinado no hay más que sustituir t por su valor en la ecuación del espacio: s t =1 = 15 ⋅ 1 − 5 ⋅ 12 = 10 m s t =3 = 15 ⋅ 3 − 5 ⋅ 3 2 = 0 m Observa que el espacio coincide con la coordenada Y del SR, es decir que nos da su posición en ese momento. En el momento t=1 a 10m y en el momento t=2 está otra vez en la posición de partida. c) La altura máxima que alcanza y el instante en que ocurre. Para calcularla recuerda que la velocidad v = 15−10*t se va haciendo cada vez menor hasta llegar a cero y luego comienza a tomar valores negativos indicando que va hacia abajo. Obviamente la altura máxima la alcanzará justo en el momento en que v=0, por tanto: v = 15 − 10 ⋅ t = 0

→

t = 1,5 seg

para ese valor del tiempo, el espacio recorrido, que será la altura máxima respecto de nuestro SR, será: s t =1,5 = 15 ⋅ 1,5 − 5 ⋅ 1,5 2 = 11,25 m d) El tiempo que tarda en llegar al suelo es el tiempo necesario para que el espacio sea s=−20m, ya que si observas el dibujo en nuestro SR el suelo tiene coordenada Y=−20. s = 15 ⋅ t − 5 ⋅ t 2 = −20

→ t = 4 seg

e) La velocidad con que llega al suelo es la velocidad que tendrá para t=4s v t = 4 = 15 − 10 ⋅ 4 = −25 m/s El signo menos indica que en el momento de llegar al suelo se movía hacia abajo. Obvio.

5. Se lanza verticalmente y hacia arriba un móvil con una velocidad de 40m/seg. a) Hallar qué velocidad lleva a los tres segundos. b) ¿Cuánto tardaría la piedra en llegar al punto más alto y cuanto vale la altura máxima que alcanza? a) Ya sabes que lo primero es elegir el sistema de referencia y que puedes elegir el que quieras, pero siempre el más sencillo es uno que tenga el centro en el lugar del disparo y que tenga uno de los ejes en la dirección del movimiento, por ejemplo como el siguiente:

en ese sistema de referencia lo que va hacia arriba lo tomaremos como positivo y lo que va hacia abajo negativo, así que la velocidad inicial será +40m/s y la aceleración –9,8m/s2. Las ecuaciones de un movimiento uniformemente acelerado son: v = vo + a.t

v = 40 – 9,8*t

1 s = vo t + a ⋅ t 2 2

s = 40 * t +

1 * (-9,8)* t 2 2

v = 40 – 9,8*t s = 40 * t − 4,9 * t 2

* A los tres segundos, es decir en el momento t=3seg, pues no tienes mas que sustituir ese valor del tiempo en las ecuaciones y obtendrás el valor de la velocidad y el espacio que habrá recorrido en ese tiempo: v = 40 – 9,8*t

v = 40 – 9,8*3 = 10,6 m/s

s = 40 * t − 4,9 * t 2

s = 40 * 3 − 4,9 * 3 2 = 75,9 m

b) ¿Cuánto tardaría la piedra en llegar al punto más alto y cuanto vale la altura máxima que alcanza? Pues como hemos quedado, en el punto más alto la velocidad vale cero, así que: 40 → 0 = 40 – 9,8*t → t= = 4,08 seg v = 40 – 9,8*t 9,8

y ahora sustituyendo ese valor de tiempo en la ecuación del espacio obtendremos el espacio que ha recorrido que no es más que la altura subida s = 40 * t − 4,9 * t 2

→

s = 40 * 4,08 − 4,9 * 4,08 2 = 81,63m

6. Desde un acantilado de 100m de altura se lanza verticalmente y hacia arriba un objeto con una velocidad de 40m/seg. Hallar cuánto tarda en llegar al suelo desde el momento del lanzamiento. Tomamos un sistema de referencia centrado en el lugar desde donde se dispara, como el de la figura:

Fíjate que en ese sistema de referencia el punto del suelo tiene coordenada Y = –100 m, así que solamente tienes que escribir las ecuaciones del movimiento para esa piedra y ¿te acuerdas? si le damos un valor al tiempo nos dan la velocidad y el espacio para ese tiempo. Y lo mismo, si le damos una valor la velocidad o al espacio, nos dan el tiempo que tarda en adquirir esa velocidad o recorrer ese espacio. v = vo + a.t

v = 40 – 9,8*t

1 s = vo t + a ⋅ t 2 2

s = 40 * t +

v = 40 – 9,8*t

1 * (-9,8) * t 2 2

s = 40 * t − 4,9 * t 2

Ahora se trata de calcular el tiempo necesario para que el espacio sea s = –100 m. ( el signo menos es consecuencia del sistema de referencia, de que está por debajo del punto del disparo.) Así que: s = 40 * t − 4,9 * t 2

→

− 100 = 40 * t − 4,9 * t 2

y de ahí se despeja el valor del tiempo, que resulta t = 10,17 seg. (hay otro valor t= –2 seg que no vale y correspondería al caso de que en lugar de lanzar la piedra hacia arriba la hubiésemos tirado hacia abajo)

7. Lanzamos hacia arriba un objeto con una velocidad de 20 m/s. a) Calcular el tiempo que tarda en encontrarse a 5 metros sobre la posición inicial. b) Interpreta el resultado obtenido. Datos: g= 10 m/s2 a) Elegimos un SR centrado en el lugar del disparo. En ese SR las ecuaciones del objeto, que tiene un movimiento uniformemente acelerado por estar sometido a la aceleración de la gravedad, son:

v = vo + a.t

v = 20 – 10*t

1 s = vo t + a ⋅ t 2 2

s = 20 * t +

1 * (-10) * t 2 2

v = 20 – 20*t s = 20 * t − 5 * t 2

Sustituyendo en la ecuación del espacio s=5 podemos obtener el tiempo que tarda en alcanzar esa posición: s = 20·t – 5·t2 →

5 = 20·t – 5·t2

Resolviendo esa ecuación de segundo grado 5t2 – 20t + 5 = 0 con la fórmula: 2 2 − b ± b 2 − 4 a c 20 ± (−20) − 4 ⋅ 5 ⋅ 5 20 ± (−20) − 4 ⋅ 5 ⋅ 5 20 ± 17,32 = = = 2a 2⋅5 2⋅5 10 Obtenemos dos valores para el tiempo: t=0,27s y t=3,73s

t=

b) Interpretación: Los dos valores obtenidos para el tiempo son correctos y ambos corresponden al tiempo necesario para que el objeto esté a 5m de altura sobre el lugar del disparo: El valor más pequeño es el tiempo que tarda en llegar y el mayor corresponde al tiempo que tarda en volver a estar en la misma posición, después de que haya alcanzado la altura máxima.

8. Un coche lleva una velocidad de 20 m/s (72km/h) cuando frena bruscamente. Si la aceleración de frenado es de 4 m/s2, calcular: a) El tiempo de frenado. b) El espacio que el coche recorre antes de detenerse. Elegimos un SR centrado en el lugar donde comienza a frenar, como el de la figura, donde hemos dibujado la aceleración en sentido contrario a la velocidad por tratarse de un movimiento de frenado.

En ese sistema de referencia el punto en que se detiene el coche corresponde con el espacio que ha recorrido durante el frenado, es decir que en el momento en que v=0 el espacio recorrido para ese tiempo es igual al espacio de frenado. Las ecuaciones del movimiento del coche son: v = vo + a.t

v = 20 – 4*t

1 s = vo t + a ⋅ t 2 2

s = 20 * t +

v = 20 – 4*t

1 * (-4) * t 2 2

s = 20 * t − 2 * t 2

1. Ahora se trata de calcular el tiempo necesario para que el que la velocidad se hace cero: v = 20 – 4*t

→

0 = 20 – 4*t

→

t=5s

2. Ahora no hay más que sustituir ese tiempo en la ecuación del espacio para saber el espacio que recorre hasta pararse: s = 20 * t − 2 * t 2

→

s t =5,56 = 20 * 5 − 2 * 5 2 = 50 m

Observa el espacio tan grande que necesita un coche para detenerse, por lo que es muy importante mantener la distancia de seguridad que aconseja la DGT. En realidad la distancia de frenado es aún mayor, ya que en este caso no hemos tenido en cuenta el tiempo de reacción del conductor que suele estar entre 0,5 y 1 segundo. (En 1 segundo un coche a 20 m/s, obviamente, recorre 20 m que habría que sumar a los 50m calculados.)

9. Un coche lleva una velocidad de 20 m/s (72km/h) cuando frena bruscamente. Si después de frenar recorre 50 antes de pararse, calcular: a) El tiempo de frenado. b) La aceleración con que ha frenado. Obviamente se trata del mismo ejercicio que hemos resuelto anteriormente, solo que en este caso conocemos el espacio que recorre hasta pararse y desconocemos el valor de la aceleración. Elegimos el mismo SR y aunque hemos dibujado la aceleración en sentido contrario a la velocidad, por tratarse de un frenado, más adelante confirmaremos esa suposición al obtener para la aceleración un valor negativo.

Las ecuaciones del movimiento del coche son: v = vo + a.t 1 s = vo t + a ⋅ t 2 2

v = 20 + a*t 1 s = 20 * t + * a * t 2 2

En este caso, por lo pronto, no podemos terminar de concretar las ecuaciones del movimiento, sin embargo conocer la velocidad y el espacio en un momento concreto nos va a permitir calcular el valor de la aceleración y poder escribir las ecuaciones del movimiento: Teniendo en cuenta que en el momento en que v=0 el espacio recorrido es s=50m, podemos poner: 0 = 20 + a t 1 2 at 2 Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, cuyas soluciones son a=−4m/s2 y t=5s 50 = 20 t +

Para resolver el sistema de ecuaciones despejamos la aceleración de la primera ecuación (a=−20/t) y ahora sustituimos en la segunda ecuación: 50 = 20 t +

1 20 2 (- ) t 2 t

simplificando 50 = 20 t − 10 t → 50 = 10 t → t=5 seg

Sustituyendo el valor del tiempo en la expresión de la aceleración: a = −

20 20 =− = −4 m/s2 t 5

10. Se lanza verticalmente y hacia arriba un objeto con una velocidad de 50m/seg. Hallar el tiempo que transcurre desde el lanzamiento hasta caer sobre un edificio de 30m de altura.

Haremos como siempre. Después de elegir un sistema de referencia centrado en el lugar del disparo escribimos las ecuaciones de ese movimiento:

v = vo + a.t

v = 50 – 9,8*t

1 s = vo t + a ⋅ t 2 2

s = 50 * t +

v = 50 – 9,8*t

1 * (-9,8) * t 2 2

s = 50* t − 4,9* t 2

Ahora fíjate que cuando caiga sobre el edificio el espacio, en este sistema de referencia, vale s = +30 m. Así que no hay más que igualar la ecuación del espacio a 30 y calcular el valor de tiempo . (Por cierto que ahora obtendremos dos valores buenos para el tiempo ¿sabes el significado de cada uno? Piensa que por ese punto pasa dos veces.) s = 50 * t − 4,9 * t 2

→

30 = 50 * t − 4,9 * t 2

y de ahí se despeja el valor del tiempo, que resulta t = 9,56s y t = 0,63s El primer valor corresponde al tiempo que la piedra tarda en subir y estar a una altura de 30m y el segundo valor (que es mayor) es el tiempo que tarda en estar de nuevo en la misma posición, pero después de haber subido hasta lo más alto y vuelto. Fíjate bien en las palabras: Si te preguntasen ¿Cuánto tiempo tarda en alcanzar una altura de 30m? la respuesta sería 0,63seg. Pero lo que te preguntan es cuanto tiempo tarda en “caer sobre el edificio”, así que se entiende que primero sube y luego cae a la vuelta y por tanto la solución que debes dar es: t=9,56 seg.

11. Un observador situado a 40 m de altura ve pasar un cuerpo hacia arriba con una cierta velocidad y al cabo de 10 s lo ve pasar hacia abajo, con una velocidad igual en módulo pero de distinto sentido. a) ¿Cuál fue la velocidad inicial del móvil?. b) ¿Cuál fue la altura máxima alcanzada?.

a) Tomamos el SR centrado en el lugar del disparo. Es como si el observador estuviese en el suelo y “lanzara el cuerpo hacia arriba con una velocidad inicial de vo y después “t” segundos ha subido 40 m y tiene una velocidad +vB . Después de llegar al punto más alto vuelve a bajar y 10 segundos más tarde pasa por el mismo punto con una velocidad –vB (menos porque ahora va para abajo). Aplicando las ecuaciones del movimiento cuando está a 40 metros de altura tendremos: Para t=t está subiendo

Para t=t+10 está bajando

v B = v o − 10 t 1 40 = v o t − 10 t 2 2 − v B = v o − 10 ( t + 10)

t=0,7446s; vo=57,44m/s; vB=50m/s

b) La altura máxima es el espacio recorrido en el momento en que v=0, por tanto: 0 = 57,44 − 10 t h .máx → th.máx=5,744s → sh.máx=57,44*5,774−5(5,744)2=165m

Otra forma alternativa de razonarlo: Igual que antes, tomamos el SR centrado en el lugar del disparo. También, igual que antes, llamaremos a la velocidad vo=vA” , a la velocidad que tiene después de subir 40 m la llamaremos vB Puesto que no hemos cambiado de SR las ecuaciones del movimiento son mismas:

v = vo –10*t s = vo t − 5 ⋅ t 2

a) Cuando la piedra pasa delante del observador lleva una velocidad + vB. Como tarda 10seg en volver a pasar delante de él quiere decir, si no hay rozamiento, que ha tardado 5 segundos en llegar al punto más alto y otros 5 en volver. Podemos calcular la velocidad del cuerpo al pasar por el observador (punto B) teniendo en cuenta que sería exactamente igual que si se lanzara una piedra desde el punto B con una cierta velocidad inicial vB y estuviese subiendo 5 seg hasta pararse, por tanto: v = vo – 10.t

→

0 = vB – 10*5 →

vB = 10*5 = 50 m/s

b) El espacio que ha recorrido en esos 5 segundos, que es la altura medida desde el punto B es: s = v o t − 5t 2

→

s = 50 ⋅ 5 − 5 ⋅ 5 2 = 125m

Si miras en la figura verás que en nuestro SR la altura alcanzada por la piedra sería: h = 125m + 40m = 165 metros Pero aun no hemos terminado, porque en el apartado a) lo que preguntan no es con qué velocidad ve pasar el observador la piedra (esa sería 50 m/s) sino lo que preguntan es con qué velocidad inicial se lanzó la piedra. La piedra se lanzó desde el suelo (punto A). Sabemos que cuando va por el punto B (es decir después de subir 40m) tiene una velocidad vB= 50 m/s, así es que aplicando la ecuación de la velocidad entre el punto A y el B (recuerda que la velocidad en el punto A es la velocidad inicial vo y la del punto B es 50 m/s) tendremos que: v = vo –10.t

50 = vo – 10*tAB

s = vo t − 5 ⋅ t 2

40 = 10 ⋅ t AB − 5 ⋅ t 2AB

despejando el tiempo de la segunda ecuación y sustituyendo en la primera puede calcularse la velocidad inicial con que se tiró la piedra (la que tenía en el punto A). Pero si te acuerdas, para evitar resolver el sistema de ecuaciones podemos utilizar esa tercera ecuación, así que sería más fácil: v = v o2 + 2 ⋅ a ⋅ s

→

50 = v o2 + 2 ⋅ (−10) ⋅ 40

→

v o = 3300 = 57,44m / s

esa es la velocidad inicial con que debe lanzarse la piedra para que después de subir 40m pase delante del observador con una velocidad de 50 m/s y todavía continúe subiendo durante 5 segundos más hasta pararse y vuelva para abajo.

12. Para averiguar la profundidad de un pozo, dejamos caer una piedra y oímos el ruido del impacto contra el agua 2,06 segundos después. ¿Qué profundidad tiene el pozo, si se supone para el sonido una velocidad de propagación de 330 m/s? g = 10 m.s–2

El tiempo que tardaremos en oír el ruido será el que la piedra tarda en caer por efecto de la gravedad (t1) (movimiento uniformemente acelerado) más el que el sonido tarde en subir (t2) (movimiento uniforme): 1 2 gt 1 2

↓

s=

↑

s = vs t 2

2s g s t2 = vs t1 =

teniendo en cuenta que el tiempo desde que dejamos caer la piedra hasta que escuchamos el sonido es 2,06 seg: t 1 + t 2 = 2,06

sustituyendo:

2s s + = 2,06 10 330 de donde resulta que s=20 metros

13. Dos cuerpos A y B separados una distancia de 2Km, salen simultáneamente y se mueven en la misma dirección, ambos con movimiento rectilíneo uniformemente variado, siendo la aceleración de B (el más lento) de 0,32 m/s2.El encuentro se realiza a 3´025 Km del punto de partida de B. Se pide: a) tiempo invertido por ambos móviles b) aceleración de A c) la velocidad de ambos en el momento del encuentro.

a) En el SR de la figura ambos coches parten del reposo y deben recorrer con MRUA exactamente el mismo espacio (2000+3025m) en el mismo tiempo hasta encontrarse, lo que pasa es que el coche B en el momento inicial ya tiene recorrido un espacio inicial s0B=2000m

Ecuaciones del coche A

Ecuaciones del coche B

vA = a A t 1 sA = a A t 2 2 vB = a Bt

1 s B = 2000 + a B t 2 2 a) En el momento en que se encuentren sA=sB=5025 m. Sustituyendo en la ecuación del espacio de cualquiera de los coches podemos obtener el tiempo. Lo haremos al coche B porque de él sabemos la aceleración: 1 s B = 2000 + a B t 2 → 2

1 5025 = 2000 + 0,32 t 2 2

→ t = 137,5 seg

b) Ahora que sabemos el tiempo en encontrarse, sustituimos en la ecuación del espacio del coche A: 1 1 → aA = 0,53 m/s2 s A = a A t 2 → 5025 = a A (137,5) 2 2 2 c)

vA = aA.t = 0’53·137’5 = 73’09 m/s vB = aB.t = 0’32·137’5 = 44 m/s

14. Desde lo alto de una torre se dejan caer libremente dos pequeñas piedras con un intervalo de 3s. ¿Se mantendrá constante la distancia entre ellas durante la caída? Llamamos A a la piedra que lanzamos primero y B a la que lanzamos 3seg después. sA será el espacio que recorre la piedra A durante el tiempo que este cayendo: tA=t+3. sB es el espacio que recorre la piedra B durante el tiempo que esté cayendo: tB = t 1 g ( t + 3) 2 2 1 2 sB = g t 2 sA =

d = sA – sB =

1 1 g ( t + 3) 2 − g t 2 = g (3 t + 4’5) 2 2

No se mantiene la distancia, puesto que depende del tiempo: d = f (t). Además, como puedes ver, la distancia que separa las piedras se hace cada vez mayor.

15. Un cuerpo que se mueve en caída libre recorre en el último segundo de su caída la mitad del camino total. Calcula: a) la duración total de la caída. b) la altura h desde la que cayó

Vamos a dividir la caída en dos tramos iguales. Como en recorrer la segunda mitad tarda 1 seg., en la primera mitad tardará el tiempo total menos 1 seg, es decir que t1=t−1 Por otro lado, fíjate que la velocidad inicial del primer tramo es cero, mientras que la velocidad inicial del segundo tramo es igual a la final del primer tramo, es decir v o 2 = gt 1 = g ( t − 1)

s1 =

1 g ( t − 1) 2 2

1 1 1 1 s2 = v o 2 t 2 + g t 22 = g ( t − 1) ⋅ 1 + g ⋅ 12 = g t − g + g = (gt − g ) m 2 2 2 2

como s1 y s2 son iguales: 1 1 g ( t − 1) 2 = g.t − g 2 2

→

5.t2 – 10 t + 5 = 10 t – 5

de donde tenemos que 5 t2 – 20 t + 10 = 0 y la solución es t = 3’41 seg (0’586 s no vale)

b) Para calcular la altura no hay más que tener en cuenta que en recorrer h tarda 3,41 seg: h=

1 2 1 gt = 9’8 m/s2.3’412 s2 = 58’1 m 2 2

aunque también se podría sustituir en el espacio de cualquiera de los tramos en los que habíamos dividido el movimiento: h 1 = 2. g ( t − 1) 2 = g ( t 2 + 1 − 2 t ) = 58,1m 2 2 1 h = 2 ( gt – g) = 2 g t – g = 2. 9,8.3,41 – 9,8 = 58,1 m 2

h=2

16. Un tractor se mueve con velocidad constante y las ruedas traseras, que tienen 1 m de diámetro, dan 191 vueltas cada minuto. a) Calcular la velocidad angular de las ruedas traseras en unidades internacionales. b) Calcular la velocidad lineal del tractor. c) Imagina que en una rueda trasera se ha incrustado una piedra y el conductor escucha el ruido que hace al golpear el suelo cada vez que la rueda da una vuelta. ¿Cuántos golpes escucharía en 10 segundos? d) Cuál será la velocidad lineal y la velocidad angular de las ruedas delanteras, sabiendo que tienen 60 cm de diámetro. vueltas 2π rad = 191 = 20 rad / seg min . 60 seg b) v = ω·R ⇒ v = 20*0,5 = 10 m/s

a) ω = 191

c) La frecuencia es el número de vueltas que da en 1 segundo. Por tanto los golpes (vueltas) que dará en 10 segundos será igual a 10 veces la frecuencia. 2π = 2π ⋅ f ⇒ 20 = 2*π*f ⇒ f = 3,18 Hz ω= T Las vueltas que la rueda dará en 10 seg (golpes que escuchará en 10 seg) = 31,8 golpes d) La rueda delantera y la rueda trasera tienen la misma velocidad lineal, ya que ambas recorren el mismo espacio en el mismo tiempo (a menos que se desarme el tractor), por tanto: vr.trasera = vr.delantera = 10 m/s Sin embargo, la rueda delantera al tener distinto radio tendrá distinta velocidad angular: v = ω·R ⇒ 10 = ωr.delantera*0,3 ⇒ ωr.delantera = 33,3 rad/s

17. En una bicicleta, que tiene unas ruedas de 30 cm de radio, la cadena está en el plato de 10 cm y en el piñón de 4 cm de radio. El ciclista pedalea dando 0,8 vueltas de pedal cada segundo. Calcular: a) La velocidad angular del plato en unidades internacionales. b) La velocidad lineal de los dientes del plato. c) La velocidad angular de los dientes del piñón. d) La velocidad de la bicicleta. Observaciones: En la bicicleta los pedales son solidarios al plato y, por tanto, ambos giran con la misma velocidad angular. La cadena arrastra simultáneamente al plato y al piñón, haciendo que los dientes de ambos recorran el mismo espacio en el mismo tiempo, por tanto, los dientes de ambos discos tienen la misma velocidad lineal. El piñón es solidario con la rueda trasera y, por tanto, ambos giran con la misma velocidad angular. a) ω Plato = ω Pedales = 0,8 b) vPlato = ωPlato·RPlato

vueltas 2π rad = 0,8 = 5 rad / seg seg seg ⇒ vPlato = 5*0,10 = 0,5 m/s

c) Como los dientes del plato y del piñón tienen la misma velocidad lineal. vPiñón = vPlato = 0,5 m/s vPiñón = ωPiñón·RPiñón

⇒ 0,5 = ωPiñón*0,04

⇒ ωPiñón = 0,5/0,04 = 12,5 rad/s

d) Como la rueda es solidaria al piñón, ambos tienen la misma velocidad angular:

ωRueda = ωPiñón = 12,5 rad/s vRueda = ωRueda·RRueda ⇒ vRueda = 12,5*0,30 = 3,75 m/s

(13,5 Km/h)

CINEMÁTICA. REPASO. Ejercicios similares semiresueltos o con soluciones. Un coche tiene una velocidad de 90 km/h, cuando ve a lo lejos a un tractor que marcha a 36 km/h y al que no puede adelantar. a) Calcular el tiempo que debe accionar el freno para circular a la misma velocidad que el tractor, sabiendo que la aceleración de frenado es de 3 m/s2. b) Calcular el espacio que necesita para realizar esa frenada (sería la distancia mínima a la que debería accionar el freno para no chocar con el tractor).

vo = 90 Km/h = 25 m/s; vfinal = 36 Km/h = 10 m/s a) v = vo + a·t ⇒ 10 = 25 – 3*t ⇒ t = 5 seg. b) s = so + vot + ½ a·t2 ⇒ s = 25*5 – 3*52 = 50 m En los accidentes de tráfico la guardia civil determina la velocidad que llevaba el coche en el momento del accidente a partir de las huellas de frenado y teniendo en cuenta la aceleración de frenado que se estima, con la ayuda de unas tablas, a partir del estado del asfalto y de los neumáticos. a) Calcular la velocidad que tenía un coche en el momento de frenar sabiendo que las huellas que dejó en el asfalto tienen 50 metros y que la aceleración de frenado estimada es de 6,25 m/s2. b) Calcular el tiempo que ha tardado en frenar.

v = vo + a·t 0 = vo – 6,25*t s = so + vot + ½ a·t2 50 = vo*t – 3,125*t2 Resolviendo el sistema de ecuaciones (*) obtenemos las soluciones vo = 25 m/s y t = 4 seg. (*)Despejamos vo de la primera ecuación: vo = 6,25*t Sustituimos vo en la segunda ecuación: 50 = (6,25*t )*t – 3,125*t2 operando: 50 = 6,25*t2 – 3,125*t2 ⇒ 50 = 3,125*t2 ⇒ t2 = 4 ⇒ t = 4 seg. Un hombre conduce a una velocidad de 36 km/h. De pronto acelera con una aceleración de 6 m/s2 durante 57 metros. a) Calcular el tiempo que tardará en recorrer esos 57 m. a) Calcular la velocidad máxima que alcanzará.

vo = 36 Km/h = 10 m/s a) s = so + vot + ½ a·t2 b) v = vo + a·t

⇒ ⇒

57 = 10*t + 3*t2 ⇒ v = 10 + 6*3 = 28 m/s

t = 3 seg. (100,8 Km/h)

Se lanza verticalmente y hacia arriba un móvil con una velocidad de 50m/seg. Hallar el espacio recorrido a los 2 segundos. Sol: Debes obtener que para t=2seg, el espacio recorrido es s=80,4m y la velocidad que tiene en ese instante es v=30,4 m/s

Se lanza verticalmente y hacia arriba un móvil con una velocidad de 60m/seg. Hallar que velocidad lleva a los 10seg. Sol: (La velocidad a los 10 segundos es 38 m/s y el signo menos indica que va hacia abajo

Se lanza verticalmente y hacia arriba un móvil con una velocidad de 80m/seg; hallar la distancia recorrida a los 10seg. Sol: Debes obtener que para t=10seg, el espacio recorrido es s=310m y la velocidad que tiene en ese instante es v= –18 m/s

Se lanza verticalmente y hacia arriba un móvil con una velocidad de 70m/seg; hallar a qué altura se encuentra del suelo a los 12seg. Sol: Debes obtener que para t=12seg, el espacio recorrido es s=134,4m y la velocidad que tiene en ese instante es v= –47,6 m/s

Desde el suelo se lanza verticalmente y hacia arriba un móvil con una velocidad de 80m/seg. Se desea saber qué velocidad lleva cuándo ha recorrido 300m. Sol: Cuando sube (t=5,836s) → v = 80 – 9,8*t → v = 80 – 9,8*5,836 = 22,80 m/s Cuando baja (t=10,49s) → v = 80 – 9,8*t → v = 80 – 9,8*10,49 = –22,80 m/s

Se dispara verticalmente hacia arriba un objeto y a los 2seg va subiendo con una velocidad de 80m/seg. Hallar: a) la altura máxima alcanzada. b) la velocidad que lleva a los 15seg. Sol: a) th.máx = 10,16seg; hmáx=506,13m b) vt=15=− 47,4 m/s

Se lanza verticalmente y hacia arriba un móvil que tarda 10 segundos en llegar al punto de partida. Hallar: a) la altura máxima alcanzada. b) qué velocidad lleva a los 3seg. Sol: a) hmáx=122,5 m b) v=19,6m/s

Se dispara verticalmente hacia arriba un objeto, de forma que a los 2 segundos lleva una velocidad de 60m/seg. Hallar: a) la velocidad con la cual se disparó el objeto, b) a qué altura se encuentra a los 2 segundos. c) cuánto tiempo ha de transcurrir para que llegue a la parte superior de la trayectoria. Sol: a) vo=79,6m/s b) s=139,6m c) t=8,12seg; hmáx=323,27m

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1 EL MOVIMIENTO Y SU DESCRIPCIÓN

E J E R C I C I O S

P R O P U E S T O S

1.1 De una persona que duerme se puede decir que está quieta o que se mueve a 106 560 km/h (aproximadamente la velocidad de la Tierra alrededor del Sol). Indica la situación de los observadores que miden las velocidades dadas. Si el observador se encuentra en la misma habitación, puede decir que la persona que está durmiendo está en reposo. Sin embargo, si el observador se encontrase en un punto del sistema solar, en reposo con respecto al Sol, vería como el que duerme se mueve a la velocidad dada. 1.2 Si te encuentras en un tren parado en una estación esperando a que arranque y se pone en movimiento el tren que está paralelo, en la vía de al lado, ¿podrás asegurar que sigues parado? ¿Cómo lo compruebas? No podemos asegurar quién se mueve hasta encontrar algún punto de referencia estático en la estación. 1.3 Determina la posición en la trayectoria del coche teledirigido en los instantes t
1 s, t
3 s, t
7 s y t
12 s. Sustituyendo en la ecuación del movimiento los distintos tiempos encontramos que el coche dirigible en el instante t
1 s estará en s
3 m, o sea, 3 m antes de la fuente. Para t
3 s, se encuentra en s
1 m; para t
7 s, en s
9 m; y para t
12 s, s
19 m. 1.4 Calcula la ecuación del movimiento del coche teledirigido si en el instante inicial se encuentra 1 m a la derecha de la fuente. El dato que cambia es la posición inicial, que ahora es s0
1 m. La ecuación será: s
2 t  1. 1.5 El conductor de un coche ve un semáforo en rojo y empieza a frenar. Tarda en pararse 5 s y mientras se para recorre 50 m. a) ¿Qué velocidad media ha llevado? b) Cuando empezó a frenar, ¿su velocidad era mayor o menor que la calculada? a) La velocidad media se calcula dividiendo el espacio recorrido entre el tiempo empleado en recorrerlo. e 50 vm


10 m/s t 5 b) Cuando empezó a frenar, la velocidad instantánea era mayor que la velocidad media. 1.6 Una persona viaja en automóvil de Madrid a Sevilla (500 km) en 5 h. a) ¿Qué velocidad media ha llevado? b) Sabiendo que en las autopistas el límite de velocidad es de 120 km/h, ¿puedes asegurar que ha cumplido las normas de Tráfico? e 500 a) vm


100 km/h t 5 b) No podemos asegurar que ha cumplido las normas pues podría haber ido en algún momento a más de 120 km/h y en otros momentos a velocidad inferior a 100 km/h. 1.7 Un coche parado en un semáforo se pone en marcha cuando este se abre. Tomando el semáforo como origen, indica si la gráfica s-t sería recta o curva y por qué. Obligatoriamente debe ser curva, ya que el movimiento es variado, pues debe cambiar su velocidad desde cero hasta el valor al que circule después.

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1.8 Dadas las gráficas s-t de dos movimientos uniformes, ¿cómo podemos saber cuál de ellos tiene mayor velocidad? ¿Por qué se puede asegurar que son uniformes? Tendrá mayor velocidad el movimiento representado por la gráfica de mayor pendiente. Para asegurar que los movimientos son uniformes su pendiente debe ser constante ya que así no cambia la velocidad.

1.9 El agua de un río aumenta de velocidad al pasar por un estrechamiento. Deduce cuál de las gráficas corresponde al movimiento del agua en el tramo más ancho del río y cuál al tramo más estrecho. La que corresponde al tramo más estrecho es la que tiene más pendiente, pues el agua se mueve más rápidamente. La velocidad coincide con la pendiente de la gráfica s-t, y es mayor cuanto más inclinada esté la recta.

1.10 Un avión pasa por Valencia en dirección norte a 900 km/h, y otro lo hace sobre Bilbao en dirección este, también a 900 km/h. Representa el vector velocidad de los aviones, e indica qué tienen en común y en qué se diferencian.

900 km/h

900 km/h

Ambos vectores tienen en común el módulo de la velocidad. Si no cambian, el módulo de su velocidad recorrerán en 1 h, 900 km. Lo que los diferencia es la dirección de la velocidad, ya que cada uno se dirige en una dirección diferente.

1.11 La gráfica s-t de los dos movimientos, ¿tendrá la misma o distinta pendiente? Razona la respuesta. Las gráficas s-t de los dos movimientos de los aviones tendrán la misma pendiente, 900 km/h, ya que el módulo de su velocidad es el mismo.

1.12 De las siguientes magnitudes, indica las que son vectoriales y las que son escalares. Masa, velocidad, fuerza, temperatura, densidad. Son escalares la masa, la temperatura y la densidad, ya que no tienen dirección ni sentido. Son vectoriales la fuerza y la velocidad, pues tienen módulo, dirección, sentido y punto de aplicación.

1.13 Dibuja a escala 1:100 de forma aproximada la trayectoria que sigues desde tu clase al patio de recreo. Supón que desde que sales por la puerta de la clase hasta que llegas al patio vas a 0,5 m/s. a) Indica si el movimiento que llevas es uniforme o variado b) Indica si el movimiento es rectilíneo o curvilíneo. La trayectoria será distinta para cada alumno. Deben tener en cuenta que cada centímetro del papel representa 1 m de la realidad. a) Es uniforme, pues es un dato dado que la velocidad sea 0,5 m/s. b) Depende de cómo sea la trayectoria que trace. Lo más fácil es que no sea completamente recta, en cuyo caso el movimiento será curvilíneo.

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1.14 Dibuja de nuevo a escala 1 : 100 la trayectoria que sigues desde la clase al laboratorio de física. Supón que desde que sales por la puerta de la clase hasta que llegas al laboratorio vas a 0,5 m/s. Tomando en este ejercicio y en el anterior el origen en la salida de la clase, realiza y compara las gráficas s-t de ambos casos. ¿Serán iguales los dos movimientos? Razona la respuesta. De nuevo, la trayectoria será personal para cada aula en cada centro. Las gráficas son iguales. Empezamos a contar en el origen, por lo que la ordenada en el origen es 0, y la velocidad es constante (0,5, que será la pendiente de la recta s-t). La ecuación del movimiento en los dos casos es s
0,5 t con s en metros y t en segundos. Los movimientos no son iguales por no serlo sus trayectorias. Uno de los elementos del movimiento, la relación s-t es igual, pero no el otro, la trayectoria.

1.15 Un leopardo que persigue a una presa en un tramo recto de su movimiento va a 100 km/h. Si tomamos para t
0 s, s0
0 m, escribe la ecuación del movimiento e indica, razonadamente, qué tipo de movimiento es. Compara la velocidad del leopardo con la de un águila en vuelo a 44 m/s. En el tramo recto que nos indican, llevará movimiento rectilíneo. Al ser su velocidad 100 km/h y no depender del tiempo, el movimiento es uniforme, su ecuación es una recta, y como empezamos a contar en el origen, la ordenada en el origen es 0. Por tanto la ecuación es: s
100 t; donde s está expresado en km y t en horas. Para comparar ambas velocidades, las expresamos en las mismas unidades. 1 (h) 100 (km) 1000 (m) m vleopardo
    
27,78  3600 (s) 1 (h) 1 (km) s Como se ve es mayor la velocidad del águila que la del leopardo.

1.16 Un autobús va a 40 km/h en un tramo del movimiento. Representa la gráfica v-t y calcula el desplazamiento y el espacio recorrido en un cuarto de hora. Representa la misma gráfica cuando ese tramo se recorre en sentido contrario y calcula de nuevo las mismas magnitudes. v (km/h)

v (km/h)

40

_20

20

_40 0,25 0,5 0,75 1

0,25 0,5 0,75 1

t (h)

El desplazamiento coincide con el área encerrada entre la gráfica y el eje de los tiempos. Ida: v t
40  0,25
10 km Vuelta: v t
(40)  0,25
10 km El espacio recorrido es el mismo en ambos casos, 10 km.

t (h)

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C I E N C I A

A P L I C A D A

1.17 Calcula, con los supuestos anteriores, la distancia de seguridad para un coche que va a 90 km/h. Si el conductor tarda en reaccionar 0,6 s, ¿Cuánto ha aumentado el espacio total de frenado? 90 (km) 1000 (m) 1 (h) m Cambiamos las unidades de la velocidad: v
    
25  . 1 (h) 1 (km) 3600 (s) s Como el tiempo de reacción es de 0,4 s, en ese tiempo recorre e
25  0,4
10 m. 25 Si frena disminuyendo v en 9 m/s cada segundo tarda en detenerse: t

2,78 s. 9 Haciendo la gráfica v-t, calculamos el espacio recorrido hasta parar sin más que hallar el área encerrada en dicha gráfica. 2,78  25 A = 10  
10  34,75
44,75 m 2 Por tanto, el coche recorre 44,75 m antes de pararse.

v (m/s)

Si el tiempo de reacción aumenta a 0,6 s, el área del triángulo se mantiene, pero la del rectángulo varía:

25 20

25  2,78 e
0,6  25  
49,75 m. El espacio de frenado aumenta 5 m. 2

10 1

2

3

t (s)

4

1.18 Entre los factores que influyen en la distancia de frenado, indica sobre cuáles podemos actuar. Podemos actuar sobre la velocidad a la que viajamos, sobre el estado de los neumáticos y de los frenos para reducir el tiempo de frenado y controlar nuestro cansancio al volante para reducir el tiempo de reacción al mínimo.

E J E R C I C I O S

D E

A P L I C A C I Ó N

1.19 Mientras Ramón y Alicia corren por la mañana, entrenándose para la próxima carrera, uno al lado del otro, Guillermo los ve pasar desde un banco del parque leyendo el periódico. a) ¿Qué observador puede decir que Alicia está en reposo? b) ¿Para quién está Alicia en movimiento? c) Para Alicia, ¿quién está en reposo y quién en movimiento? a) Alicia está en reposo para Ramón, que va a su misma velocidad. b) Para Guillermo, Alicia está en movimiento. c) Para Alicia, Ramón está en reposo y Guillermo en movimiento.

1.20 Pepe ve salir a su hija Ana hacia el colegio y se da cuenta de que ha olvidado el bocadillo. Lo coge y sale corriendo para alcanzarla. Se lo da, espera a que lo guarde y vuelve andando a casa. a) ¿Cuál de las siguientes gráficas s-t se adapta mejor a esta situación? Razona la respuesta.

a) De las gráficas s-t dadas, la que corresponde al movimiento de Pepe es la a) ya que al salir corriendo, la pendiente de la gráfica es mayor al principio, luego se detiene en la misma posición y por último regresa hasta casa. La b) no puede ser, ya que Pepe vuelve a casa y la distancia final al origen es 0.

s(m)

s(m)

b) Calcula el desplazamiento y el espacio recorrido por Pepe en todo el movimiento estudiado.

20

20

10

10

12

24

a)

36

48

t (s)

b) El desplazamiento de Pepe es la posición final menos la inicial, luego s  s0
0  0
0. Al final, está en el mismo sitio que al inicio, no se ha desplazado. 12

24

b)

36

48

t (s)

El espacio recorrido es de 40 m, pues ha ido hasta donde está Raquel, que en el momento que le da alcance son 20 m y regresa caminando nuevamente los 20 m.

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1.21 La ecuación del movimiento de un tren cuando arranca de una estación es s
0,6 t2 hasta que alcanza la velocidad de 100 km/h. Suponiendo que saliera siguiendo una trayectoria recta, dibújala y sitúa el tren a los 5 y a los 10 s. s (m)

60 50 40 30 20 10 5

10

15

t (s)

A los 5 s, se encuentra en s
0,6  52
15 m.

1.22 Una persona que pasea por la playa quiere conocer cuál es su velocidad. Para ello sitúa dos señales a 700 m de distancia y mide el tiempo que tarda en recorrerlos sin cambiar su ritmo. Lo hace primero paseando por arena seca, y después repite el paseo por la arena húmeda. La gráfica s-t del camino hecho por la arena seca es:

s (m)

A los 10 s, s
0,6  102
60 m.

700

Arena seca

573

t (s)

a) Calcula la velocidad que llevó en m/s, y también en km/h. b) Razona y dibuja en la misma gráfica s-t cómo sería la recta que representase el movimiento sobre arena húmeda.

s (m) 700 600 500

Arena seca

400 300

Arena húmeda

200 100 100 200 300 400 500 600 700

t (s)

700 a) La velocidad es la pendiente de la recta: 
1,22 m/s 573 1,22 (m) 1 (km) 3600 (s) km En km/h, v
    
4,4 . 1 (s) 1000 (m) 1 (h) h b) La gráfica s-t cuando se pasea por arena húmeda tiene menos pendiente, pues camina más despacio.

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1.23 Observando la gráfica s-t del paseo por la arena seca descrito en el ejercicio 22: a) Dibuja su gráfica v-t. b) Si el paseo por arena húmeda se hace en 686 s, calcula la velocidad que lleva y represéntala en la misma gráfica v-t. c) Calcula los espacios recorridos en 500 s sobre arena seca y húmeda por dos métodos: mediante el área de la gráfica v-t y con la ecuación del movimiento uniforme. d) Suponiendo que el camino es un tramo recto de la playa, ¿cómo son los movimientos? e) ¿Cómo debería ser la trayectoria para que el movimiento fuese curvilíneo y uniforme? a)

v (m/s)

Seca Húmeda

1

0,2 100 200 300 400 500 600 700

t (s)

700 b) La velocidad por la arena húmeda es: v

1,02 m/s. 686 c)

s (m)

Seca 1

Húmeda

0,2 100 200 300 400 500 600 700

t (s)

s  s0
v t; como s0
0 m sseca
1,22  500
610 m shúmeda
1,02  500
510 m Aseca
1,22  500
610 m Ahúmeda
1,02  500
510 m d) El movimiento es rectilíneo y uniforme. e) Basta con que el movimiento se realice con velocidad constante, pero no se haga en línea recta, sino en curva.

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P R O B L E M A S

D E

S Í N T E S I S

1.24 Un coche va por una autopista en la que recorre 100 km a 120 km/h. Sale de ella para seguir por una carretera general en la que realiza otros 100 km a una velocidad de 70 km/h. a) ¿Qué velocidad media ha llevado el coche en los 200 km? b) ¿Qué tiempo emplea en la autopista? c) ¿Y en la carretera general? d) Representa en una gráfica v-t el movimiento. e) Calcula el espacio recorrido en todo el trayecto. e f) Calcula la velocidad media con la expresión vm
 y comprueba que coincide con la que calculaste en el t apartado a). a) Para hallar la velocidad media no podemos sumar las velocidades y dividir entre 2, pues no circula con cada velocidad el mismo tiempo. Hay que hallar el espacio total recorrido y dividirlo entre el tiempo empleado.

d)

v (km/h)

100

Si ha ido 100 km por autopista a 120 km/h, e 100 entonces t


0,83 h. v 120 e 100 En el siguiente tramo, t


1,43 h. v 70 Por tanto, en total ha recorrido 200 km en 2,26 h, ha hecho 200 una media de vm
 = 88,5 km/h. 2,26 b) Por la autopista circula durante 0,83 h.

75 50 25 1

2

3

t (h)

e) En todo el camino ha recorrido 200 km. f) La velocidad media es 200 vm =  = 88,5 km/h 2,26

c) Por la carretera general durante 1,43 h.

1.25 Susana lleva un movimiento s
0,6 t  1. a) Sitúa a Susana al comienzo del movimiento y en los segundos 2, 4 y 6. b) Indica su velocidad y dibuja el vector velocidad a los 6 s. Escala 1 : 200

c) Representa las gráficas s-t y v-t. d) Calcula el desplazamiento y el espacio recorrido por Susana entre los segundos 2 y 6. a) Calculamos la posición de Susana a partir de esta ecuación, que representamos en las gráficas del apartado c). s0
1 m; s2
0,6  2  1
2,2 m; s4
0,6  4  1
3,4 m; s6
0,6  6  1
4,6 m b) La velocidad es la pendiente de la recta, v
0,6 m/s. c)

s (m)

v (m/s) 1

7 6 5 4 3 2 1

0,2 1

2

3

4

5

6

7

t (s)

1

2

3

4

5

6

7

t (s)

d) Como el movimiento es uniforme y la velocidad no cambia su valor, el desplazamiento coincide con el espacio recorrido y vale v t
0,6  (6  2)
2,4 m.

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1.26 En una carrera ciclista, uno de los corredores escapa del pelotón. Cuando lleva 5 km de ventaja, otro ciclista sale a darle alcance. Tomamos como origen la posición del pelotón cuando sale el segundo corredor. Sabiendo que el escapado va a 45 km/h y el que le sigue a 50 km/h: a) Escribe las ecuaciones del movimiento de los dos ciclistas. b) Representa sus gráficas s-t en los mismos ejes. c) Calcula gráfica y numéricamente la posición donde le dará alcance. d) Representa las gráficas v-t en los mismos ejes. a) Del escapado s
5  45 t, donde t está expresado en horas y s en kilómetros. De que va en su busca s
50 t. b)

s (km) 70 60 50 40 30 20 10 0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

t (h)

1,4

c) En el punto que le da alcance, los valores de s y t son iguales para ambos corredores: 5  45 t
50 t ; t
1 h s
50 km En la imagen se ve que el punto donde se juntan las gráficas s-t de cada corredor coincide con el calculado analíticamente. d)

v (km/h) 50

0,2 0,2

0,4

0,6

0,8

t (h)

1

1.27 Observa la gráfica s-t de dos aviones durante un tramo de su movimiento. a) Compara sus movimientos indicando qué tienen en común y cuál es la posición de uno respecto del otro.

Posición (km)

b) ¿Para qué observador están en reposo? 400 300

a) Las distancias están dadas en kilómetros y los tiempos en horas. Van con la misma velocidad, 300 km/h, ya que sus pendientes son iguales, pero uno va 50 km delante del otro.

avión 1

200

avión 2

100 0

0,25

0,5

0,75

1

Tiempo (h)

b) Cada uno se encuentra en reposo respecto del otro, ya que no cambian sus posiciones.

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1.28 En el laboratorio se queman dos mechas hechas de papel impregnado de nitrato de potasio, como se ve en la figura, y se estudia el movimiento de avance del fuego por ambas.

Las tablas de datos obtenidas son iguales en los dos casos y su ecuación del movimiento es s
0,5 t, donde s está expresada en centímetros y t en segundos.

a) ¿Cómo es la velocidad con la que se quema la mecha?

b) ¿Qué tienen en común y qué diferente los dos movimientos?

c) Representa las gráficas s-t y v-t.

d) Calcula el espacio recorrido y el desplazamiento entre el primer y el segundo minuto del movimiento a partir de las gráficas s-t y v-t.

e) Para diseñar esta experiencia se decidió dibujar posiciones fijas sobre el papel y medir los tiempos en que pasa la combustión por ellas. Si llamamos variable independiente a aquella cuyos valores elegimos de forma arbitraria, y dependiente, a aquella cuyos valores obtenemos, ¿cuáles son en esta experiencia las variables dependiente e independiente, respectivamente?

a) La velocidad con que se quema la mecha es de 0,5 cm/s.

b) Tienen en común el módulo de su velocidad, que es igual, y la ecuación del movimiento, que es la misma. La diferencia está en que su trayectoria es distinta.

c) La gráfica s-t es la misma para los dos movimientos, una recta que sale del origen con pendiente 0,5 cm/s. La gráfica del módulo de la velocidad también es la misma para las dos, una recta horizontal en v
0,5 cm/s. v (cm/s) 1,2

s (cm)

1 0,8 7 6 5 4 3 2 1

0,6 0,4 0,2 2

4

6

8

10

12

14

t (s)

1

2

3

4

5

6

7

t (s)

d) El espacio recorrido coincide con el desplazamiento, pues el movimiento ha sido uniforme. Su valor en la gráfica s-t es el tramo de 0,5 a 1 cm, o sea 0,5 cm. Hallándolo con la gráfica v-t es el área encerrada desde t
1 hasta t
2 s con v
0,5, por tanto 0,5  (2  1)
0,5 cm.

e) La variable independiente es la posición, pues la hemos elegido arbitrariamente; la dependiente es el tiempo, ya que no podemos elegirla. Sale el valor que se obtiene experimentalmente.

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PA R A

P E N S A R

M Á S

1.29 Un podómetro es un sencillo aparato que se emplea para medir la distancia que se ha recorrido en un paseo, una carrera, etc. Para poder utilizarlo, primero hay que calibrarlo. Como el podómetro cuenta el número de pasos que se han dado, hay que introducir en el dispositivo el dato de la longitud media de los pasos de la persona que lo va a utilizar. Cada usuario debe calcular la longitud de sus pasos. Para calcular la longitud del paseo, el podómetro multiplica el número de pasos por la longitud media de los mismos. a) Describe un método que permita calcular la longitud media de los pasos de una persona. b) Busca en internet intervalos normales de velocidad de diferentes móviles: de paseantes, de ciclistas, de trenes de alta velocidad, etc. a) Para calcular la longitud media del paso, lo que hay que hacer es la media de varios pasos, cuantos más mejor. Damos por ejemplo 100 pasos y calculamos la distancia que se ha recorrido en esos 100 pasos. Una vez hallada, se divide entre 100 y obtenemos la longitud media de un paso.

1.30 El conductor de un coche que va a 108 km/h ve un ciervo parado en la carretera a 100 m de él. El tiempo de reacción del conductor es de 0,4 s y frena según esta gráfica v-t. a) Calcula gráfica y analíticamente el espacio que recorre el coche antes de frenar.

v (m/s)

b) Caminando, se alcanza una velocidad de 4 km/h; en bici, entre 20 y 30 km/h; los trenes de alta velocidad viajan desde 150 hasta 250 km/h dependiendo de los modelos.

30

0,4

4,15

t (s)

b) Calcula gráficamente el espacio que ha recorrido en el tiempo de frenado. c) Deduce si atropella o no al ciervo. a) Escribimos la velocidad en unidades del SI.

v (m/s)




km 1000 (m) m 1 (h) v
108     
30  h 1 (km) s 3600 (s)

30

Antes de empezar a frenar, mientras reacciona recorre s
30  0,4
12 m Gráficamente, el resultado es el área indicada debajo de la línea horizontal. 1

2

3

4

t (s)

b) El espacio cuando ya frena es el área del triángulo de base 3,75 y altura 30, por tanto: bh 3,75  30 A


56,25 m 2 2 c) El espacio total que necesita para frenar es de 12  56,25 m
68,25 m por tanto no atropella al ciervo.

T R A B A J O

1

E N

E L

L A B O R AT O R I O

Cambia de tamaño de bola y repite la experiencia. ¿Cómo es el nuevo movimiento?

El movimiento también será uniforme, pero con distinta velocidad. Cuanto menor es la bola mayor es la velocidad. 2

¿Cuándo tendríamos que haber empezado a medir el tiempo para obtener una ecuación del tipo s
a  b t?

Tendríamos que haber empezado a contar al pasar por cualquiera de las señales marcadas en el papel cada s
3 cm.

2 LOS MOVIMIENTOS ACELERADOS

E J E R C I C I O S

P R O P U E S T O S

2.1 Cuando un motorista arranca, se sabe que posee un movimiento acelerado sin necesidad de ver la gráfica s-t ni conocer su trayectoria. ¿Por qué? Porque al arrancar pasa del reposo a una velocidad distinta de 0, por lo tanto cambia de velocidad y tiene aceleración.

2.2 Un coche va por una autopista con una velocidad de 120 km/h. ¿Podemos asegurar si su movimiento es o no acelerado? No podemos asegurarlo mientras no conozcamos la trayectoria. Si la trayectoria es recta, no sería acelerado, pues no cambiaría la velocidad ni en módulo ni en dirección. Si la trayectoria es una curva, sí es acelerado, ya que aunque la velocidad no cambie de módulo, sí cambia de dirección.

v (km/h)

2.3 La gráfica v-t de un tren cuando entra en la estación, en un tramo recto, es la mostrada en la figura. Calcula su aceleración. Previamente cambiamos las unidades de la velocidad:

100

0

1 2

30

t (s)

1 (h) km 1000 (m) m V0 5 100 }} ? }} ? }} 5 27,8 }} 3600 (s) h 1 (km) s La aceleración como variación del módulo de la velocidad cada segundo, es la 0 2 27,8 pendiente de la recta v-t. a 5 }} 5 20,93 m/s2. 30 Como en este caso la trayectoria es recta, no cambia su dirección y no existe ningún otro tipo de aceleración, por lo que podemos asegurar que a 5 20,93 m/s2.

2.4 Cuando caminas por un paseo recto entre árboles con una velocidad de 3 km/h, ¿cuál es tu aceleración? Es 0, pues la velocidad no cambia ni de módulo ni de dirección.

2.5 La manecilla segundera de un reloj mide 1,5 cm. a) ¿Cuál es la aceleración del extremo de la manecilla? b) ¿Qué dirección y sentido tiene el vector que representa esta aceleración? El período de un segundero es de 60 s, ya que es lo que tarda en dar una vuelta. Como el radio es 1,5 cm, el movimiento será circular uniforme de velocidad lineal: 2pr 2 p ? 0,015 v 5 }} 5 }} 5 0,00157 m/s 60 60 v2 (0,00517)2 a) La aceleración es: aN 5 }} 5 }} 5 0,000164 m/s2. R 0,015 b) Su dirección es la del radio, y su sentido hacia el centro.

2.6 Un coche que va a 72 km/h quiere adelantar y aumenta su velocidad uniformemente antes de hacerlo hasta 30 m/s en 5 segundos. a) Dibuja la gráfica v-t y calcula la aceleración suponiendo un movimiento rectilíneo. b) Halla el espacio recorrido con la gráfica v-t. a) Cambiamos de unidades la velocidad inicial:

1 2

1 (h) km 1000 (m) m v0 5 72 }} ? }} ? }} 5 20 }} 3600 (s) h 1 (km) s Como la trayectoria es recta, la aceleración mide lo que varía el módulo de la velocidad. Como la variación es uniforme, la aceleración es:

v (m/s) 40

30 20 10

(30 2 20) 10 a 5 }} 5 }} 5 2 m/s2 t 5 10 ? 5 b) AT 5 Acuadrado 1 Atriángulo 5 20 ? 5 1 }} 5 100 1 25 5 125 m 2

5

10

t (s)

2.7 La piedra que lanza Luís hacia abajo desde un puente al río lleva una ecuación s 5 24 t 2 4,9 t2 Razona si el desplazamiento que ha sufrido la piedra cuando llegue al río será igual o diferente del espacio recorrido. Comparando con la ecuación general del movimiento uniformemente acelerado, sabemos que la velocidad inicial es 24 m/s. El signo es negativo porque se lanza hacia abajo. La aceleración es el doble que el coeficiente de t 2, o sea, la aceleración es 24,9 ? 2 5 29,8 m/s2, también negativa, es decir, hacia abajo. Como la velocidad inicial y la aceleración tienen el mismo signo, la velocidad aumenta en módulo, y por tanto el móvil no frena ni retrocede. El espacio recorrido coincide con el desplazamiento.

2.8 Al abrir el monedero caen una moneda y un billete de 10 euros. a) ¿Cuál llegará antes al suelo? b) Justifica este comportamiento con las ideas aristotélicas. c) Justifícalo con las teorías de Galileo a) En un experimento real llega antes la moneda al suelo. b) Según las ideas aristotélicas, la moneda llega antes porque tiene más peso. c) Según las teorías de Galileo, llegaría antes la moneda, porque el aire la frena menos que al papel. Si el papel lo arrugamos como la moneda llegarían a la vez. También llegarían a la vez si cayesen en el vacío.

2.9 Dadas las siguientes gráficas v-t, ¿cuál corresponde al movimiento que lleva el diábolo cuando sube y baja, y por qué?

v (m/s)

10 2,1

2

1

2

3 t (s)

v (m/s)

1

10

2,1

3 t (s)

La gráfica que representa ese movimiento es la a, ya que mientras sube el diábolo, la velocidad (aunque positiva) es cada vez menor. En el punto más alto la velocidad es 0 y, a partir de ahí, el diábolo comienza a caer, aumentando su velocidad (negativa).

2.10 Un motor gira a 3000 revoluciones por minuto (rpm). ¿Cuál es su frecuencia en vueltas por segundo? (Una revolución es una vuelta.)

1

2

vueltas 1 (min) vueltas Hacemos simplemente un cambio de unidades: 3000 }} ? }} 5 50 }}. min 60 (s) s

2.11 ¿En qué sillas se debería sentar una persona con algo de miedo, en las interiores o en las exteriores? La velocidad angular es igual en unas que en otras. Todas las sillas recorren el mismo ángulo cada segundo y dan las mismas vueltas en el mismo tiempo. Sin embargo, la circunferencia exterior tiene un radio mayor que la interior, lo que quiere decir que recorre más espacio en el mismo tiempo y por tanto debe ir más deprisa. Lo que más sufre nuestro organismo es la aceleración, y la aceleración normal v2 es }}, por lo que una diferencia de velocidad afecta mucho a la aceleración. r Se debería sentar en las sillas interiores.

C I E N C I A

A P L I C A D A

2.12 Para bajar una cuesta, un ciclista ha elegido un plato de 53 dientes y un piñón de 11. a) ¿Cuál es el desarrollo de la bicicleta? ¿Cuántas vueltas da la rueda de la bicicleta por cada una que da el ciclista en los pedales? b) ¿Cuántas vueltas tiene que dar el ciclista al plato por cada vuelta que dan las ruedas? c) Si las ruedas de la bicicleta tienen un radio de 40 cm, ¿cuál es el período de la rueda si va a 40 km/h? d) ¿Cuál es la velocidad angular de las ruedas? 53 a) El desarrollo de la bicicleta es }} 5 4,82. 11 Cada vez que el ciclista da una vuelta las ruedas de la bicicleta da 4,82 vueltas. b) Las vueltas que da el ciclista para conseguir que las ruedas de la bicicleta den una sola vuelta será la inversa del valor calculado: 1 }} 5 0,21 fracción de vuelta 4,82 1 (h) km 1000 (m) m c) Cambiamos de unidades: v0 5 40 }} ? }} ? }} 5 11,1 }}. 3600 (s) h 1 (km) s Como la bicicleta lleva un movimiento uniforme, la velocidad es el espacio recorrido dividido entre el tiempo empleado en recorrerlo. Si se toma como espacio recorrido el de una vuelta, el tiempo empleado será el período.

1 2

e 2pr 2pr 2 p ? 0,4 v 5 }} 5 }} ‰ T 5 }} 5 }} 5 0,23 s t T v 11,1 v 11,1 d) v 5 }} 5 }} 5 27,75 rad/s r 0,4 v 5 11,1 m/s, es la velocidad lineal de la bicicleta, que coincide con la de la periferia de las ruedas.

2.13 En una bicicleta de ciudad con una sola marcha, el plato tiene 42 dientes y el piñón 19. Responde a las mismas cuestiones que en el ejercicio anterior (suponemos que las ruedas tienen el mismo radio). 42 a) El desarrollo es }} 5 2,21. Cada vez que el ciclista da una vuelta a los pedales, las ruedas de la bicicleta dan 2,21 vueltas. 19 b) Las vueltas que da el ciclista para conseguir una de las ruedas de la bicicleta será la inversa. 1 }} 5 0,45 fracción de vuelta 2,21 Las respuestas de los apartados c) y d) serán las mismas que las del ejercicio anterior.

E J E R C I C I O S

D E

A P L I C A C I Ó N

2.14 Cuando se estira un muelle y luego se suelta, su extremo posee un movimiento rectilíneo, como en la siguiente gráfica s-t.

s (m)

Deduce, a partir de los datos de que aquí dispones, si el movimiento es o no acelerado.

Sí es acelerado, porque la gráfica s-t es curva. El vector aceleración es tangente a la trayectoria, pues solo cambia su módulo.

t (s)

2.15 Se dice de un coche que tiene un buen reprise cuando en un momento dado es capaz de conseguir gran aceleración; por ejemplo, es capaz de pasar de 0 a 100 km/h en 11 segundos. a) Representa en una gráfica v-t este aumento de velocidad suponiendo que dicho aumento sea uniforme. b) Calcula y representa la aceleración. a) Pasamos la velocidad a metros por segundo (m/s), ya que el tiempo está en segundos: 1 (h) 100 (km) 1000 (m) m v0 5 }} ? }} ? }} 5 27,78 }} 3600 (s) 1 (h) 1 (km) s

v (m/s)

_1

7 6 5 4 3 2 1

1

2

3

4

5

6

t (s)

b) La aceleración es lo que aumenta el módulo de la velocidad cada segundo, pues al ser un movimiento rectilíneo no cambia de dirección. La aceleración media en este caso coincide con la aceleración instantánea, ya que el problema nos dice que el aumento de velocidad es uniforme. vf 2 v0 27,78 2 0 } 5 }} 5 2,525 m/s2 a5} t 11

a (m/s2)

_1

7 6 5 4 3 2 1

1

2

3

4

5

6

t (s)

2.16 Cae una maceta de una ventana y tarda en llegar 4 s. ¿A qué altura está la ventana? Considera despreciable el rozamiento con el aire. Los datos que podemos obtener de la información que nos da el problema son: v0 5 0, ya que se cae. Parte sin velocidad. a 5 g 5 9,8 m/s2 por ser una caída libre. El tiempo que tarda en caer son 4 s. Lo que queremos saber es el desplazamiento, que coincide con la altura a la que está la ventana: 1 s 5 s0 1 v0t 1 }} at2 2 0 5 s0 2 4,9 ? 2 ‰ s0 5 78,4 m

2.17 Un niño está subido en un tiovivo de 3 m de radio que se mueve con un mcu, y que lleva una aceleración cuyo módulo vemos en la gráfica a-t.

a (m/s2)

a) Dibuja la trayectoria del niño a escala 1 : 100 y el vector aceleración en un punto de la misma. b) ¿Qué velocidad lleva el niño? c) ¿Cuánto varía el módulo de W v cada segundo?

4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 t (s)

d) Si el niño cambia a un lugar que está a una distancia de 1,5 m del centro, ¿cuánto ha variado su aceleración? a)

a 3 cm

b) Como el niño lleva movimiento uniforme solo cambia la dirección del vector velocidad, su aceleración será: v2 a 5 }}; v2 5 a R ‰ v 5 R

? 3 5 3 m/s ÏawR 5 Ï3w

c) El módulo no varía, pues el movimiento que lleva el niño es uniforme. La velocidad solo varía en dirección.

d) Si el radio disminuye a la mitad, y puesto que la velocidad angular permanece constante, la velocidad lineal se reduce a la mitad: v R v9 5 v R9 5 v }} 5 }} 2 2 v v }} }}2 1 4 2 v9 1 v 1 Así pues, la nueva aceleración, a9 5 }} 5 } 5 } 5 }} }} 5 }} a , también se reduce a la mitad. 2

2

2

R9

2

R }} 2

R }} 2

2 R

2

2.18 El segundero de un reloj infantil tiene una longitud de 1,3 cm y un dibujo a 1 cm del centro. a) ¿Cuál es la velocidad angular de la manecilla del reloj? ¿Y la velocidad lineal del extremo de la manecilla? ¿Y del punto del dibujo? b) Calcula la aceleración lineal del movimiento de los dos puntos dados. c) ¿Cuáles son el período y la frecuencia de la manecilla? a) La manecilla del segundero recorre una circunferencia entera en 60 s. El ángulo en radianes de una circunferencia es 2/ rad. Por tanto: 2p v 5 }} 5 0,105 rad/s 60 Todos los puntos de la manecilla llevan la misma velocidad angular, pues recorren el mismo ángulo en el mismo tiempo. La velocidad lineal se calcula con la expresión v 5 v R. La velocidad del extremo de la manecilla es: v 5 0,105 ? 1,3 5 0,1365 cm/s. La velocidad del punto del dibujo es v 5 0,105 ? 1 5 0,105 cm/s. 0,1052 cm b) Dado que la velocidad lineal es constante, este movimiento solo tiene aceleración centrípeta an 5 }} 5 0,0085 }}. 1,3 s2 c) El período es el tiempo que tarda el segundero en dar una vuelta completa, en este caso 60 s, T 5 60 s. 1 1 La frecuencia es la inversa del período: f 5 }} 5 }} 5 0,0167 s21. 60 T

P R O B L E M A S

D E

S Í N T E S I S

a) Indica qué tipo de movimiento lleva en cada tramo de la gráfica y calcula su aceleración. b) Deduce la ecuación v-t de los tres tramos.

v (m/s)

2.19 Un tren sube desde la parte baja de una ciudad hasta la parte alta con una trayectoria recta y su gráfica v-t es la siguiente:

10 5

c) Calcula el espacio total recorrido por el tren. d) Si t 5 0 s y s0 5 0 m, escribe la ecuación del movimiento de los tres tramos.

o

ram 1 t er

2o tramo

3 er tr

amo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 t (s)

a) En el primer tramo y en el tercero lleva un mrua, ya que la trayectoria es recta y la variación de la velocidad es uniforme por ser recta la gráfica v-t que la representa. En el segundo tramo el movimiento es rectilíneo, porque lo es la trayectoria, y uniforme, porque no cambia el módulo de la velocidad. La aceleración en cada uno de ellos es: 10 2 0 0 2 10 a1 5 }} 5 2,5 m/s2 ; a2 5 0 m/s2 ; a3 5 }} 5 22 m/s2 4 5 b) En el primer tramo, por ser un mrua, la ecuación de la velocidad es: v 5 v0 1 a t 5 0 1 2,5 t; v 5 2,5 t m/s En el segundo tramo, v 5 10 m/s. En el tercero, v 5 10 2 2 t m/s. c) Podemos hallar el espacio total calculando el área bajo la gráfica v-t. 4 ? 10 5 ? 10 ATotal 5 2 Atriángulos 1 Arectángulo 5 }} 1 }} 1 2 ? 10 5 65 m 2 2 d) Conocemos los dos primeros coeficientes de la ecuación, posición inicial y velocidad. El tercero lo hallamos sabiendo que es la mitad de la aceleración, que ya conocemos. Por tanto, en el primer tramo: s 5 0 1 0 t 1 1,25 t2; s 5 1,25 t2 Al empezar el segundo tramo, el tren estaba a 20 m del origen, el espacio que recorrió en el primero, así que utilizamos la ecuación del movimiento uniforme, s 5 20 1 10 t. En el tercer tramo, la posición inicial es 45 m, que son los que ha recorrido antes de llegar a él, y la velocidad inicial es la de 10 m/s con la que acaba el segundo tramo. Por tanto, s 5 45 1 10 t 2 t2.

2.20 Para un punto del ecuador de la Tierra: a) ¿Qué velocidades lineal y angular lleva? b) ¿Cuál es su aceleración lineal? Dibuja la gráfica a-t y el vector a. c) Calcula el período y la frecuencia del movimiento (que es el de la Tierra). a) El período de un punto del ecuador es lo que tarda la Tierra en dar una vuelta sobre sí misma: T 5 24 h. 2pR 2 p ? 6378 La velocidad lineal será, pues: v 5 }} 5 }} 5 1669,76 km/h 5 463,82 m/s. T 24 V 463,82 La velocidad angular: v 5 } } 5 }} 5 0,0000727 rad/s 5 7,27 ? 1025 rad/s. R 6 378 000 v2 b) El movimiento es uniforme, solo varía la dirección de la velocidad. Así pues: a 5 }} 5 0,03 m/s2. R 1 1 1 c) La frecuencia es la inversa del período: f 5 }} 5 }} 5 1 días21 5 }} 5 0,04167 horas21. 24 T 1

2.21 Dada la gráfica v-t, deduce cuál o cuáles de las gráficas s-t pueden corresponderse con ella.

b)

2

2 1 t (s)

s (m)

1 t (s)

s (m)

c)

2

2 d)

1 t (s)

s (m)

v (m/s)

s (m)

a)

1 t (s)

2

1 t (s)

La información que nos da la gráfica es que el movimiento es uniformemente acelerado, ya que módulo de la velocidad varía siguiendo una recta. También sabemos que tiene velocidad inicial, porque al empezar a contar el tiempo no se encuentra en el origen. Como la velocidad va aumentando, la aceleración es positiva. No tenemos información de su posición inicial. Con estos datos, descartamos la gráfica a, por ser un movimiento uniforme, ya que la gráfica s-t es una recta. También descartamos la gráfica d. En ella la velocidad inicial es distinta de 0 y positiva, ya que la curva s-t comienza con pendiente positiva, al igual que la gráfica v-t; sin embargo, la pendiente va disminuyendo hasta que se hace 0 en el máximo valor de la posición, donde el móvil da la vuelta, y pasa a tener la pendiente negativa. Con este dato deducimos que la aceleración es negativa y por tanto debería serlo la pendiente de la gráfica v-t, lo que no es cierto. Sí podrían ser válidas las gráficas b y c, pues el móvil comienza con velocidad inicial positiva, por serlo las respectivas pendientes iniciales, y la aceleración tiene el mismo signo que la velocidad inicial, pues el módulo de la velocidad aumenta, como comprobamos al aumentar la pendiente de las gráficas con el tiempo. La diferencia entre ellas es la posición inicial que en una es 0 y en la otra no. Sin embargo, la gráfica v-t no nos proporciona ese dato. Podemos concluir, por tanto, que las dos gráficas podrían corresponder al movimiento dado por la gráfica v-t.

2.22 El conductor de un coche que por una calle recta va a 46,8 km/h ve un semáforo cerrado a 50 m y frena uniformemente hasta pararse. a) ¿Con qué aceleración frenó? b) Representa las gráficas v-t y a-t. c) Calcula el espacio recorrido con la gráfica. d) Escribe la ecuación del movimiento.

1 2

1 (h) km 1000 (m) m a) Cambiamos de unidades la velocidad: v0 = 46,8 }} ? }} ? }} 5 13 }}. 3600 (s) h 1 (km) s

Relacionando directamente la posición con la velocidad, obtenemos la aceleración. v2 2 v20 0 2 132 2 a (s 2 s0) 5 v2 2 v 02; a 5 }} 5 }} 5 21,69 m/s2 2 (s 2 s0) 2 ? 50

b)

v (m/s) 25 20 15 10 5

_5

_5

a (m/s2) 8 6 4 2 _5 _2 _4 _6

5

10

20

25

30

t (s)

5

10

20

25

30

t (s)

13 ? 7,69 c) El área bajo la gráfica de la velocidad es: A 5 }} 5 49,985 < 50 m. 2 d) Tenemos un mrua, ya que la trayectoria es rectilínea y frena uniformemente. Disponemos de todos los datos de la ecuación del movimiento, excepto s0. Si tomamos como origen el punto en que empezamos a frenar, entonces s0 5 0. Con estos datos la ecuación queda: 1,69 s 5 13t 2 0,845 t 2 s 5 13t 2 }} t 2; 2

a) Una piedra lanzada hacia abajo con cierta velocidad inicial.

s (m)

2.23 Asocia las gráficas s-t de caída libre con su descripción adecuada, razonando la elección. (Recuerda el criterio de signos establecido.)

b) Una piedra que se deja caer.

–2 –5 –8

0,5

1

t (s)

c) Una piedra lanzada hacia arriba con cierta velocidad inicial. Debemos asociar la gráfica de enmedio con la descripción b, ya que no tiene velocidad inicial por tener pendiente 0; es una parábola, como corresponde a un mrua de caída libre. La gráfica inferior corresponde a la descripción a, ya que la pendiente inicial es distinta de 0, y negativa, lo que indica que llevaba velocidad inicial, y en este caso, en que tomamos como criterio los valores negativos hacia abajo, la pendiente es negativa. Por supuesto también es un mrua, pues la gráfica es una parábola. La gráfica superior corresponde a la tercera situación. La pendiente inicial es distinta de 0 y positiva, ya que lleva velocidad inicial hacia arriba, y como la aceleración es negativa (aceleración de la gravedad), la piedra se frena en la subida y cae, pasando la pendiente de la gráfica s-t de positiva inicialmente a 0 en el punto más alto, es decir, la pendiente es negativa en la caída.

2.24 Un coche que va en una carretera recta a 72 km/h acelera uniformemente durante 10 s hasta alcanzar e v0 1 vf —. los 108 km/h. Calcula su velocidad media con las expresiones vm 5 —— y vm 5 — t 2 Cambiamos de unidades las velocidades:

1 2

1 2

1 (h) 1 (h) km 1000 (m) m km 1000 (m) m v0 5 72 }} ? }} ? }} 5 20 }}; vf 5 108 }} ? }} ? }} 5 30 }} 3600 (s) 3600 (s) h 1 (km) s h 1 (km) s vf 2 v0 10 El valor de la aceleración es: a 5 } } 5 }} 5 1 m/s2. t 10 at2 1 ? 102 El espacio recorrido se calcula a partir de la otra ecuación del movimiento: s 5 v0t 1 }} 5 20 ? 10 1 }} 5 250 m 2 2 e 250 vf 1 v0 20 1 30 } 5 }} 5 25 m/s Ya podemos calcular la velocidad media por los dos métodos: vm 5 }} 5 }} 5 25 m/s; vm 5 } t 10 2 2

2.25 Las gráficas de la figura representan los movimientos de dos coches por una carretera recta, y el de atrás, con un mrua, quiere adelantar.

b) ¿Dónde y cuándo se encuentran? c) ¿Qué espacio ha recorrido cada uno de los coches hasta que se encuentran?

s (m)

a) Indica el tipo de movimiento de cada uno.

20

d) Escribe las ecuaciones del movimiento de los coches, y comprueba que se cortan en el momento y en el punto calculado.

3

t (s)

a) Los movimientos son rectilíneos, como dice el enunciado del ejercicio. Además, el que está representado por una recta lleva movimiento uniforme. El segundo movimiento es un mrua parte del punto que hemos tomado como origen, y con velocidad inicial 0. b) Observando las gráficas, en s 5 20 m y t 5 3 s, los dos móviles están en el mismo lugar y en el mismo momento. c) El que lleva movimiento uniforme ha pasado de la posición 5 m a 20 m, así que ha recorrido 15 m. El coche que lo adelanta va desde el origen hasta los 20 m, por lo que recorre 20 m. d) La ecuación del movimiento rectilíneo uniforme es s 5 5 1 5 t. 1 1 40 20 La ecuación del segundo coche es s 5 }} at2, como 20 5 }} a ? 9 ‰ a 5 }} m/s2; s 5 }} t2. 2 2 9 9

v (m/s)

s (m)

2.26 Dadas las siguientes gráficas:

t (s)

t (s)

Indica si son verdaderas o falsas las afirmaciones que se hacen sobre ellas. Cuando sean falsas, explica dónde está el error. a) El movimiento que representa la gráfica s-t solo puede ser rectilíneo y uniforme. b) El movimiento que representa la gráfica s-t puede ser rectilíneo uniforme o curvilíneo uniforme. c) El movimiento que representa la gráfica s-t no tiene aceleración. d) El movimiento que representa la gráfica v-t solo puede ser rectilíneo y uniforme. a) Falso, lo único que indica es que es uniforme, pues el módulo de la velocidad, que es la pendiente de la gráfica, es constante. Puede ser curvilíneo o rectilíneo. b) Verdadero. c) Falso. Si fuese rectilíneo no tendría aceleración, ya que como no varía el módulo de la velocidad ni la dirección, no hay aceleración; si fuese curvilíneo, que puede serlo, sí tendría aceleración ya que variaría la dirección de la velocidad. d) Falso. La gráfica solo informa de que el módulo de la velocidad no varía; por lo tanto, es un movimiento uniforme. Como en el caso a, puede ser rectilíneo y curvilíneo.

2.27 Podemos poner la centrifugadora de una lavadora en varias posiciones según lo escurrida que queramos que salga la ropa. Si elegimos 300 revoluciones por minuto (rpm) y el tambor de la lavadora es de 20 cm de radio, calcula: a) La velocidad angular del tambor. b) La velocidad lineal de un punto de la periferia del tambor. Dibuja el vector. c) La aceleración normal del punto de la periferia. Dibuja el vector. d) La frecuencia y el período. e) ¿Por qué se escurre la ropa al centrifugar? Las vueltas que da el tambor cada minuto nos informa de su frecuencia. Para expresarla en unidades del SI la ponemos en revoluciones por segundo (rps). 300 f 5 }} 5 5 rps 60 a) La velocidad angular es el ángulo que describe cada segundo. Lo debemos poner en el SI, cuya unidad es el rad/s, para poder relacionar las magnitudes lineales y angulares. Cada vez que el tambor de la centrifugadora da una vuelta, describe un ángulo de 2 p rad; como cada segundo da 5 vueltas, la velocidad angular es v 5 5 ? 2 p rad/s 5 31,416 rad/s. b) v 5 v R 5 31,416 ? 0,2 5 6,28 m/s. El vector es tangente a la trayectoria. c) La aceleración normal coincide con la total, pues al ser un mcu solo varía de dirección la velocidad. v2 6,282 a 5 }} 5 }} 5 197,2 m/s2 R 0,2 El vector tiene la dirección del radio dirigido hacia el centro de la circunferencia. d) La frecuencia, como ya hemos visto, es de 5 vueltas por segundo. El período es el inverso de la frecuencia. 1 1 T 5 }} 5 }} 5 0,2 s f 5 e) Cuando la ropa empapada en agua gira, su velocidad es tangente a la trayectoria, pero la pared no deja que la ropa salga, en cambio el agua sí puede salir, por supuesto, tangente a la trayectoria. La ropa (que iría en línea recta) se pega contra la pared del tambor y así se escurre.

PA R A

P E N S A R

M Á S

2.28 Cuando un aprendiz de malabarista está elevando el brazo para lanzar hacia arriba tres bolas, una se le cae. En ese momento, la mano subía a una velocidad de 1 m/s y estaba a 1,5 m del suelo. a) Escribe la ecuación del movimiento de la bola que se le cae. b) ¿Qué desplazamiento y qué espacio recorrió la bola hasta que cayó al suelo? c) Representa la gráfica v-t de todo el movimiento. 1 a) En un mrua. La ecuación del movimiento es: s 5 s0 1 v0t 1 }} at2; por tanto, s 5 1,5 1 t 2 5 t2. 2 b) Puesto que el signo de la velocidad inicial y el de la aceleración son distintos, sabemos que la bola va a frenarse, pararse y volver a bajar, por lo que si no la estudiamos antes de que pare, el desplazamiento no va a coincidir con el espacio recorrido. Calculamos el desplazamiento: Ds 5 s 2 s0 5 0 2 1,5 5 21,5 m. Para calcular el espacio recorrido tenemos que saber en qué punto se para. La ecuación de la velocidad es v 5 1 2 10 t. Cuando 1 se para v 5 0, por lo que t 5 }} 5 0,1 s. 10 El espacio que recorre hasta que se para es: s 2 s0 5 t 2 5 t2 5 0,1 2 0,05 5 0,05 m. El espacio recorrido hasta que vuelve a la posición inicial será de nuevo 0,05 m. Luego el espacio recorrido es: 0,05 1 0,05 1 1,5 m 5 1,6 m. c)

v (m/s ) 1

_1 _2 _3 _4 _5

0,2 0,4 0,6 0,8

1

t (s)

2.29 La manecilla del segundero del reloj de una torre mide 2 m. a) ¿Cuál es la aceleración del extremo de la manecilla? ¿Qué dirección y sentido tiene el vector que la representa? b) ¿Cuál sería la aceleración del extremo si la manecilla fuese el doble de larga? Calcula sus velocidades lineal y angular. c) ¿Cómo cambiaría la aceleración si la velocidad aumentase el doble?

1

2

2 2 2 p } } 60 v2 a) El movimiento es circular uniforme; así, la aceleración: a 5 }} 5 }} 5 0,022 m/s2. R 2 El vector tiene la dirección del radio dirigido hacia el centro. b) Si la manecilla fuese el doble de larga, el radio sería el doble, y puesto que la velocidad angular permanece constante, la velocidad lineal también se duplica: v 9 5 v R9 5 v 2R 5 2v. v92 (2v)2 4v2 v2 Así pues, la nueva aceleración, a9 5 }} 5 }} 5 }} 5 2 }} 5 2a , también se duplica. R9 2R 2R R p 2p 2p La velocidad angular es v 5 }} 5 }} 5 }} rad/s 5 0,105 rad/s. 30 T 60 2p 2p 2p La velocidad lineal es v 5 vR 5 }} R 5 }} 4 5 }} m/s 5 0,42 m/s. T 60 15 c) Si la velocidad lineal se hiciese el doble, la aceleración se haría cuatro veces mayor, por estar la velocidad elevada al cuadrado.

T R A B A J O

1

E N

E L

L A B O R AT O R I O

Calcula la ecuación de la velocidad frente al tiempo y represéntala. Haz lo mismo con la aceleración.

Si la bola parte de velocidad 0, y su aceleración es 2, la ecuación de la velocidad es v 5 2 t. La ecuación de la aceleración, a 5 2 m/s2, es constante y no depende del tiempo.

v (m/s)

5 4 3 2 1 _1

1

2

3

4

5

6

t (s)

1

2

3

4

5

6

t (s)

a (m/s2) 5 4 3 2 1 _1

2

El diseño de la experiencia podría haber sido el siguiente: un miembro del equipo deja caer la bola desde el origen, y otros cinco, con un cronómetro cada uno, miden los tiempos en que la bola pasa por las posiciones 0,2 m, 0,4 m…, 1 m, desde que se suelta la bola. Discute las ventajas y desventajas de este diseño.

La ventaja es que no se mueve nada del montaje, pues se hace una sola caída. El inconveniente es la cantidad de cronómetros que hay que tener, la cantidad de personas tomando medidas, y que es más fácil comprobar cuándo llega abajo por el ruido, que estar pendiente de cuándo sale y cuándo pasa por el punto que hay que observar. Los errores de percepción pueden ser en este caso mucho mayores.