Combi  1. Tienes 5 cartas: A, K, Q, J y 10. ¿De cuántas formas las puedes acomodar en tu mano si  la K y la Q deben estar siempre juntas?  2. Nicolás escribió en una hoja de papel los números del 1000 al 10000. ¿Cuántas veces  escribió el dígito 5?  3. Raúl entró a un casino con un dólar. Participó en un juego en el que se apuesta un dólar  y se gana otro o se pierde el que se apostó. Después de 8 juegos, Raúl quedó otra vez  con un dólar. ¿De cuántas formas pudo haber pasado lo anterior?  4. ¿Cuántas palabras de 19 letras se pueden formar con 11 letras R y 8 letras E si no  puede haber letras E juntas?  5. En un grupo de 7 personas se encuentran A y B. ¿Cuál es la probabilidad de que, al  formar una fila haya exactamente una persona entre A y B?  6. ¿Cuántos números del 1 al 10000000000 (10 ceros) hay tales que la suma de sus dígitos  es 3?  7. Hay 12 puntos en el plano y 5 de ellos están sobre una misma línea. Si ninguna otra  línea pasa por 3 o más de ellos, ¿cuántos triángulos diferentes se pueden formar con los  12 puntos?  8. ¿Cuántos subconjuntos del conjunto de los naturales del 1 al 10 cumplen que la suma de  su elemento más chico y el más grande es 11?  9. ¿Cuántos números de 5 cifras abcde son múltiplos de 5 y cumplen que dxe es igual al  número de tres cifras abc?  10. En la siguiente figura se tienen 6 cuadrados. Diremos que dos de ellos son adyacentes si  tienen más de un punto en común. Se quieren acomodar los números del 1 al 6, uno en  cada cuadrado, de tal manera que cuadrados adyacentes no tengan números cuya  diferencia sea múltiplo de 3. ¿Cuántas formas hay de hacer esto? 

       11. Encuentre todos los números de 7 cifras abcdefg tales que ab es múltiplo de 11, abcd es  múltiplo de 5 y abcdefg es múltiplo de 8.       12. ¿De cuántas formas se pueden acomodar en línea recta siete pelotas blancas y  cinco negras, de tal manera que no estén dos pelotas negras juntas?       13. ¿De cuántas formas se pueden escoger ocho enteros  a1,  a2, ...,  a8  no necesariamente  distintos, de modo que  1 ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ a8 ≤ 8 ?       14. ¿Cuántos números hay tales que el producto de sus cifras es 8 y la suma de ellas es  2015?       15. Una persona tiene 6 amigos. Cada noche, durante 5 días, invita a cenar a un grupo de 3  de ellos de modo que el mismo grupo no es invitado dos veces. ¿Cuántas maneras hay de  hacer esto?       16. ¿De cuántas formas pueden 3 personas repartirse seis manzanas idénticas, una 

naranja, una ciruela y una mandarina (sin cortar ninguna de las frutas)?       17. ¿De cuántas formas se pueden elegir 3 vértices de un decágono regular de tal forma que  el triángulo determinado por estos 3 vértices sea rectángulo?       18. Calcule cuántos números de 10 cifras cumplen que la suma de ellas es par.       19. Calcule cuántos números de 8 cifras no contienen los dígitos 2 y 3 al mismo tiempo.        20. Un número de 9 cifras se dice ​ interesante​  si sus primeras 3 cifras son números primos,  sus segundas 3 cifras forman un múltiplo de 17 y las últimas 3 son impares. ¿Cuántos números  interesantes hay?       21. ¿Cuántos triángulos isósceles se pueden construir en los vértices de un  n ­ágono  regular?       22. En casa de Chus hay un dormitorio sencillo, tres triples  y una sala en donde pueden  dormir 2 personas. ¿De cuántas formas se puede elegir la cantidad de personas que dormirán  en cada lugar?       23. Cada uno de los olímpicos que jugaban MARATONMAPS estaba tan emocionado de  jugarlo que pensó en un número entero positivo, después sumaron todos y se dieron cuenta  que sumaban 2015. ¿De cuántas maneras pudieron haber pensado sus números?        24. ¿Cuántos números de dos cifras cumplen que la primera de ellas es mayor que la  segunda?       25. Juan hace la lista de todos los números de 6 cifras tales que la suma de ellas es 9 y 4 de  ellas son 1, 0, 0 y 4. ¿Cuántos números hay en la lista de Juan?       26. ¿Cuántos números de 15 dígitos hay que usen sólo los dígitos 1 y 5 y sean múltiplos de  15?       27. Una progresión aritmética se dice ​ actual​  si entre sus primeros 8 términos hay uno igual a  1 y otro igual a 2015. Calcula cuántas progresiones aritméticas actuales hay.       28. En un tablero con 3 filas y 4 columnas se quieren acomodar 3 fichas circulares y una  cuadrada de tal forma que haya una ficha en cada columna y que no haya dos figuras iguales  en un renglón. ¿De cuántas formas se puede hacer esto?       29. A, B, C y D tienen 15 años; E, F y G tienen 14 y H e I tienen 13. Si se quiere formar un  grupo de 5 personas de tal forma que en el grupo haya al menos una de 13 años, una de 14 y  otra de 15, ¿cuántas opciones hay para hacerlo?       30. En el siguiente diagrama, ¿cuántas formas hay de llegar a Z iniciando en A? 

             31. Se tienen 3 colores, con los cuales se tiene que pintar la siguiente figura. Cada  triángulo debe pintarse sólo de un color y de manera tal que triángulos que compartan lados  tengan colores distintos. ¿De cuántas formas se puede hacer esto? 

     32. Diego tiene una tarjeta con un número de 2 cifras y otra con uno de 3. Se sabe que el  producto de los dos números en las tarjetas es múltiplo de 10, que las cifras de cada número  están en orden ascendente de izquierda a derecha y que cada número no contiene dígitos  repetidos. ¿Cuántas opciones hay para las tarjetas de Diego?       33. 9 puntos se acomodan en un arreglo cuadrangular de 3x3. Se eligen 4 con la siguiente  propiedad: “No hay 3 puntos de los 4 que estén sobre una misma recta”. ¿Cuántas formas hay  de hacer esto?      Números  1. En la siguiente igualdad  n = 59!+60!+61! , ¿cuál es el mayor valor que puede tomar x para  3x que n sea un entero?  2. 30! termina en 7 ceros, ¿cuál es el número anterior a estos 7 ceros?  3. ¿Cuántos enteros menores que 100 tienen exactamente 6 divisores?  4. Encuentre el residuo que tiene dividir  22015 entre 5.  5. Uno de los lados de un rectángulo es 9/50 del perímetro. Si su área es 1296, ¿cuáles  son las dimensiones del rectángulo?  6. ¿Qué factor primo entre el 1 y el 15 no es divisor de 943800?  7. Encuentra todas las parejas  (m, n)  de números enteros positivos tales que  m + (m + 1) + ∙ ∙ ∙ + (m + n − 1) = 400 .  8. ¿Cuántas tercias  (x, y, z)  de enteros no negativos hay tales que  xyz = 20 ? (Considere  diferentes las tercias  (1, 1, 20)  y  (1, 20, 1) ).  9. Encuentre el menor  n  entero positivo tal que  n + 2n + 3n + ∙ ∙ ∙ + 2015n  es un cubo perfecto.  10. ¿Cuántos números primos  p  ​ tienen la propiedad de que  p4 + 1   también es primo?  1 11. ¿Cuántas parejas de enteros positivos (a,b) satisfacen que  1a + 1b = 2015 ?  12. Entre A, B, C y D se comieron 183 semillas en total. Cada uno se comió un número  diferente de semillas. Si sabemos que A fue el que más comió, ¿cuál es la diferencia  entre la mayor cantidad y la menor cantidad de semillas que se pudo haber comido?  13. Considera todos los números que se forman usando exactamente una vez los dígitos 1,  3, 5, 7 y 9. ¿Cuánto vale la suma de todos esos números?  14. Supón que el número n es divisible entre 56, 45 y 156. ¿Cuál es el mínimo número de  divisores positivos que puede tener n?  15. Llamemos N al producto de los primeros 2015 números primos. ¿En cuántos ceros  termina N?  16. Si el máximo común divisor de dos números a y b es 7 y a/b=0.375, ¿cuánto vale a por  b?  17. Los números enteros positivos x, y, z cumplen que xy=77, yz=14 y xz=22. Encuentra el  valor de x+y+z.  18. Se escriben los números del 1 al  318 y en el conjunto S se colocan los números que son  cuadrados perfectos o cubos perfectos. ¿Cuántos elementos tiene S?  19. ¿Cuál es el mayor número n de dos cifras tal que  10n + 1  es divisible por 101? 

20. Ana y Elsa tienen el número 777. Claramente, tal número es divisible entre 7. Ana  cambia dos de los dígitos de 777 para formar el número más grande posible que sigue  siendo divisible entre 7. Elsa cambia dos de los dígitos de 777 para formar el número  más chico posible de 3 cifras que siga siendo divisible entre 7. ¿Cuál es la diferencia  entre los números de Ana y Elsa?  21. Se tienen seis enteros positivos diferentes, siendo el mayor de ellos N. Se forman todas  las posibles parejas con estos enteros y se cumple que el número más chico en la pareja  divide al más grande, salvo en una. ¿Cuál es el menor valor posible para N?  22. Se van a elegir 8 dígitos diferentes y con ellos se formarán dos números de 4 cifras.  ¿Cuál es la diferencia entre el mayor y el menor valor que puede tomar la suma de estos  dos números?  23. Encuentra todos los números enteros  n  tales que  3n  y  n/2 son enteros de 4 dígitos.  24. ¿Cuántas parejas de enteros positivos  (a, b)  satisfacen que  a2b3 = 621 ?  25. La suma de los primeros n enteros positivos es un número de 3 cifras, las cuales son  todas iguales. Encuentre la descomposición en primos de n.  26. Un rectángulo con lados enteros y de área 72 se corta de un cuadrado de lado 40, de tal  forma que al menos uno de los lados del rectángulo forma parte de uno de los lados del  cuadrado. ¿Cuál es el máximo perímetro que puede tener la figura que queda después  de quitar el rectángulo?  27. Se llama número triangular a todo aquel que se puede expresar como suma de los  primeros n naturales, para algún n. Por ejemplo, 1, 3, 6, 10, etc. ¿Cuántos de los  primeros 2015 números triangulares son múltiplos de 5?  28. Julio nació el día 12 de abril, justo el mismo día que nació su madre, pero 21 años  después. ¿Cuál es el máximo número de veces que la edad de la madre será un múltiplo  de la de Julio?  29. ¿Cuál es el número más grande de 3 cifras que puede expresarse de la forma  n + √n ,  donde n es un entero?  30. La suma de 5 enteros positivos consecutivos es igual a la suma de los siguientes 3.  Encuentre el más grande de estos ocho enteros.  31. Cuando 1001 se divide entre n, el cual consta de un solo dígito, el residuo es 5. ¿Qué  residuo dejará dividir 2012 entre n?  32. Se tienen 3 números primos p, q y r tales que p>q>r y p+q+r=52 y p­q­r=22. Calcula el  producto de estos tres números.      Geo  1. Se tiene un pentágono regular ABCDE. Se traza el cuadrado ABFG, el cual queda dentro  del cuadrado. ¿Cuánto mide el ángulo FCD?  2. Un cuadrado tiene inscrito un círculo, el cual a su vez tiene inscrito un cuadrado. ¿Qué  fracción del área del cuadrado grande ocupa el chico?  3. En el cuadrilátero ABCD se traza la diagonal BD. Se sabe que AB=BC, que  / DBC = 80º,   / BCD = 50º y que  5 / ABD = 2 / BAD. ¿Cuánto vale el ángulo  / BDA ? 

4. Un círculo de radio 10 es tangente internamente a un círculo de radio 14, en el punto P.  Q es un punto en el círculo grande tal que PQ es diámetro y O es el centro del círculo  pequeño. R es un punto sobre el círculo pequeño tal que QR es tangente a él. Llamemos  A al área del triángulo OQR y B al área de la región del círculo grande que no cubre el  círculo pequeño. ¿Quién es más grande, A o B?  5. Un semicírculo de radio 23 tiene inscrito un cuadrado, con un lado sobre su diámetro.  Calcula el área del cuadrado.  6. En el hexágono regular ABCDEF, se marcan los puntos medios de AB, CD y EF, con los  cuales se forma un triángulo. ¿Qué fracción del área del hexágono ocupa el triángulo?  7. En un círculo de radio 16, los segmentos PQ y RS son diámetros que se intersectan de  manera perpendicular. Se trazan los segmentos PR y QS. Encuentra el área de la región  delimitada por estos dos segmentos.  8. Por un punto sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo se dibujan dos segmentos  paralelos a los catetos, de tal forma que el triángulo se divide en dos triángulos  rectángulos más pequeños y un cuadrado. Si el área de uno de los triángulos pequeños  es 3 veces más que el área del cuadrado, ¿cuánto vale el área del otro triángulo  pequeño entre el área del cuadrado?  9. Sea ABCD un rectángulo con AB=16 y BC=12. Sea E un punto sobre la perpendicular a  AC por C tal que EC=15 y tal que AE intersecta a DC en F. ¿cuál es el área de ACF?  10. En el triángulo ABC, tenemos que AB=6, AC=8 y BC =10. Sea M el punto medio de BC y  desde AM se construye el cuadrado AMOP de tal manera que MO intersecta a AC en D.  ¿Cuál es el área del cuadrilátero ADOP?   11. Sea ABC un triángulo equilátero y D un punto en BC. Sobre DB se construye otro  triángulo equilátero DBE con E en el lado de BC opuesto a A. Sea F la intersección de  AD con EC. Muestra que BDFE es un cuadrilátero cíclico.   12. Christian dibujó dos círculos distintos y 4 líneas rectas distintas. ¿Cuál es el número  máximo de puntos de intersección que pudo haber obtenido?  13. En la siguiente figura, dos circunferencias son tangentes entre sí. La más grande es  tangente a dos lados de un rectángulo y la más chica a uno. P y Q son sus centros. Si el  área del rectángulo es 19, ¿cuánto vale el área del triángulo PQT? 

       14.  Sobre los lados de un triángulo rectángulo se dibujan 3 triángulos equiláteros. Las áreas  de los triángulos sobre los catetos son 1123 y 882. ¿Cuánto vale el área del triángulo sobre la  hipotenusa?       15. OEF es un triángulo rectángulo, con ángulo recto en O. A y B son puntos sobre los  catetos (uno en cada cateto) y C y D son puntos en la hipotenusa tales que ABCD es un  cuadrado. Si OA=48 y OB=36, ¿cuánto vale EF? 

     16. Con 6 circunferencias iguales se hace una “pirámide”, la cual tiene en su base a 3 de  ellas, luego dos y en la punta una. Si todas las circunferencias son tangentes entre sí y la altura  de la “pirámide” es 1, ¿cuánto vale el radio de cada circunferencia?       17. ABCD es un cuadrado de lado 2. Sobre el lado CD del cuadrado se coloca el lado EF del  cuadrado EFGH, de tal manera que EFGH queda fuera de ABCD. Además, EF=1. Llamemos J  a la intersección de CG y DH. Calcula el área del triángulo CDJ.       18. En la siguiente figura, ABCD es un rectángulo, P, Q y R son puntos medios de 3 de sus  lados y M es el punto medio de QR. Calcula la fracción del área del rectángulo que cubre el  triángulo AMP. 

       19. El rectángulo ABCD se dobla por la línea MN de tal manera que C queda sobre A. Si el  área de ABCD es 816, calcula el área de ANMD’.   

       20. En un polígono regular de 2016 lados, ¿cuántos triángulos equiláteros se pueden formar  que tengan sus vértices sobre los vértices del polígono?       21. Se tiene un círculo C1 con centro O1 y AB un diámetro. Se elige un punto C sobre C1 y  diferente de A y B y se trazan las líneas BC y AC. El círculo C2, con centro O2 no intersecta a  C1, pero es tangente a BC y AC. Si el ángulo O1AC mide 25°, encuentra cuánto mide el ángulo  O1CO2.       22. En el cuadrado ABCD, E y F son los puntos medios de AB y AD, respectivamente. G es  un punto sobre el segmento CF tal que 7CG=3GF. ¿Qué fracción del área del cuadrado cubre  el triángulo GBE?       23. El triángulo rectángulo ABC tiene ángulo recto en C. Además, BC=12 y AC=5. El  triángulo tiene inscrito un semicírculo, cuyo diámetro está sobre el lado BC (el semicírculo es  tangente a AC y AB). ¿Cuál es el radio de ese semicírculo? 

     24. En la siguiente figura se tiene un hexágono regular y seis semicírculos. Si el lado del  hexágono es 2, calcula el área sombreada. 

       25. En la siguiente figura, ¿cuánto vale el área sombreada si el lado del cuadrado es 4? 

       26. En la siguiente figura, MKZ y ZRT son triángulos equiláteros congruentes. ¿Cuánto vale  el ángulo KRM? 

       27. Dada una semicircunferencia C con centro O y diámetro AB, tomemos X un punto sobre  C y Z un punto en XO. Si Y es la intersección de AZ con C, y P la intersección de BY con la  tangente a C por X, prueba que BX⏊PZ.       28. Un rectángulo se divide en cuatro partes, como en la siguiente figura. Con esas cuatro  partes, se forma un cuadrado. Calcula la medida del lado del cuadrado. 

       29. En la siguiente figura se tienen dos triángulos de lado 1, cada uno de los cuales tiene  uno de sus lados sobre la diagonal del otro. Calcula el área sombreada. 

       30. En la siguiente figura, AN=AC y BM=BC. Calcula el ángulo ACB. 

       31. En una circunferencia se tienen las cuerdas AB y BC, y se sabe que AB mide lo mismo  que el radio de la circunferencia. Encuentra todos los posibles valores que puede tener el  ángulo ACB.       32. Se tiene un círculo que toca exactamente en 3 lugares a una sección de otro círculo. Si  el radio del círculo inscrito es 6 y el del sector circular es 18, ¿qué fracción del área del sector  circular cubre el círculo?       33. En la siguiente figura, ¿cuánto vale x si se sabe que es un entero? 

       34. En la siguiente figura, PQRS es un cuadrado y M es el punto medio de PQ. El área del  cuadrado es k veces el área sombreada. ¿Cuánto vale k? 

   

Otros  1. ¿Cuántos cuadrados se pueden formar en un tablero de ajedrez?  2. Dos dados de 12 caras, uno rojo y uno azul, se lanzan (cada dado tiene los números del  1 al 12). Si llamamos R al número que cayó en el dado rojo y A al número que cayó en el  azul, ¿cuál es la probabilidad de que R