Función de Lorenz Decimos que una función continua L : 0,1  R es de Lorenz si satisface las siguientes condiciones: 1) L 0  0 , L 1  1

2) 0  L 0  1 , para todo x 0,1 La función de Lorenz se utiliza para modelar la distribución de los ingresos en un país y mediante su gráfica y  L x  , llamada curva de Lorenz, podemos representar gráficamente la distribución de estos ingresos. Curva de Lorenz Consideremos en el eje horizontal el porcentaje acumulado de las familias que forman parte del país y en el eje vertical el porcentaje acumulado de los ingresos. Tomando en el eje horizontal una escala de 0 a 1, el 0 indica cero familias en el país (0%) y el 1 indica el total de las familias del país (100%). Tomando en el eje vertical una escala de 0 a 1, el 0 indica que no se ha acumulado ningún ingreso (0%) y el 1 indica que se han acumulado el total de los ingresos (100%). Así por ejemplo si en un determinado país el 70% de las familias acumula el 40% de los ingresos totales del país, esta situación la podríamos caracterizar con el punto 0.7, 0.4 de la curva de Lorenz. Esto es que el 70% de las familias, aquellas con los ingresos más bajos, reciben el 40% del total de los ingresos, indicando desigualdad en la distribución de los ingresos. Lo ideal sería que el 70% de las familias acumule el 70% de los ingresos totales del país. En un sistema bidimensional, la línea y  x , con 0  x  1 , representa la igualdad perfecta en la distribución de los ingresos. Esto es que cualquier punto xo , xo  de la línea y  x indicaría que el x o % de las familias del país reciben el x o % del total de los ingresos.

Evidentemente la distribución de los ingresos no se comporta del modo ideal como el mostrado en la figura. Las curvas de Lorenz y  L x  serían más bien curvas convexas ubicadas por debajo de la línea y  x .

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Una medida del grado de desigualdad en la distribución de los ingresos se puede obtener a partir del índice de Gini o coeficiente de desigualdad. Este mide la desviación de la distribución real de los ingresos con respecto a la distribución ideal de los ingresos. Cuanto más cerca este la curva de Lorenz y  L x  de la línea y  x más equitativa será la distribución de los ingresos en

el país, cuanto más lejos este y  L x  de y  x mayor desigualdad en la distribución de los ingresos.

Si A1 representa el área de la región comprendida entre la línea y  x y la curva de Lorenz y  L x  en

0,1

y AT

representa el área de la región

comprendida entre y  x y el eje X en 0,1 , se define el índice de Gini ( IG ) como: IG 

A1 AT

1) En 0,1 la región comprendida entre y  x y el eje X tiene por área AT 

11  1 . 2

2

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2)

El área de la región comprendida entre y  x y y  L x  en 0,1 se 1

puede calcular a partir de la integral A1 

 x  L x dx 0

De 1) y 2) resulta: 1

IG  2

 x  L x dx 0

De acuerdo a lo anterior IG es un número comprendido entre 0 y 1 . Cuanto menor sea IG , más equitativa es la distribución del ingreso. Ejemplo Un organismo internacional determinó que las distribuciones del ingreso en 11 2 1 x  x y dos países C y P están dadas por las funciones LC x   12 12 5 1 LP x   x 2  x . 6 6 a) Pruebe que las funciones LC x  y LP x  son de Lorenz cuando 0  x  1 . b) Calcule el índice de Gini en cada caso y determine cuál de los dos países tiene una distribución del ingreso más equitativa.

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Resolución Parte a)

LC x  

Distribución del ingreso del país C :

11 2 1 x  x 12 12

Cuando 0  x  1 la función LC cumple: 11 2 1 0  0  0 y LC 1  11 12  1 1  1 12 12 12 12 1 1 2)  x   0,1  : 0  x  1  0  y 0  x 2  1  0  11x 2  11  x 12 12 11 2 11 1 11 2 0 x  x x  1 . Luego, 0  LC x   1 , entonces 0  12 12 12 12

1) LC 0 

Dado que LC 0  0 , LC 1  1 y 0  LC x   1 se desprende que la función LC : 0,1  0,1 definida por LC x  

11 2 1 x  x es de Lorenz. 12 12 LP x  

Distribución del ingreso del país P :

5 2 1 x  x 6 6

Cuando 0  x  1 la función LP cumple: 5 2 1 0  0  0 y LP 1  5 12  1 1  1 6 6 6 6 1 1 2)  x   0,1  : 0  x  1  0  x  y 0  x 2  1  0  5x 2  5 6 6 1 5 2 5 5 2 0  x  , entonces 0  x  x  1 . Luego, 0  LP x   1 6 6 6 6

1) LP 0 



Dado que LP 0  0 , LP 1  1 y 0  LP x   1 se desprende que la función LP : 0,1  0,1 definida por LP x  

5 2 1 x  x es de Lorenz. 6 6

Parte b) Sabemos que si L x  es una función de Lorenz, el índice de Gini (o coeficiente 1

de desigualdad) está dado por IG  2

 x  L x dx 0

1

Para el país C :

IGC  2

 x  L x dx C

0

1

  11 2 1  IGC  2 x   x  x  dx 12   12 0



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1

11 2  11 IGC  2  x  x  dx 12 12   0



 11 2 11 3  IGC  2  x  x 36   24

1

0

 11 2 11 3  1  1   2  11 02  11 03  IGC  2  36 36  24   24 

IGC 

11 36 1

Para el país P :

IGP  2

 x  L x dx P

0

1

 1  5 IGP  2 x   x 2  x  dx 6  6 0

 1

5  5 IGP  2  x  x 2  dx 6 6  0



5 3 5 IGP  2  x 2  x 18  12

1

0

 5 2 5 3 1   2  5 02  5 03  IGP  2  1  18 18 12  12  IGP 

5 18

Dado que IGP  IGC se concluye que los ingresos en el país P se distribuyen de manera más equitativa que los ingresos en el país C .

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