Universidad Nacional Mayor de San Marcos Facultad de Ciencias Económicas

Matemática para Economistas I TEMA: Funciones (Apuntes de clase)

Miguel Ataurima Arellano [email protected] [email protected] [email protected]

17 de Mayo de 2010

1

Funciones, Dominio, Rango y Grá…ca

1.1

De…niciones

De…nición 1 Dados dos conjuntos no vacíos A y B, llamaremos función de A en B a toda relación f A B que cumple con la condición: "Para cada x 2 A existe un y solo un elemento y 2 B tal que (x; y) 2 f " Observaciones: 1. Cada elemento x de A debe ser la primera componente de a lo más un par ordenado de f . 2. No pueden haber dos pares ordenados diferentes con la misma primera componente. 3. Pueden existir varios pares ordenados con la misma segunda componente. 4. No es necesario que todo elemento y 2 B sea la segunda componente de algún par ordenado (x; y) 2 f . 5. Si un elemento y 2 B es la segunda componente de un par ordenado de f entonces el mismo elemento puede ser la segunda componente de varios pares ordenados de la función f . De…nición 2 Se llama aplicación de A en B a toda aquella función de A en B tal que todo elemento x de A, sin excepción, tiene asignado un elemento y de B, y solamente uno. En tal caso, se denota f

f : A ! B, o también A ! B De…nición 3 Si (x; y) 2 f , función de A en B, a la segunda componente y se le denota y = f (x), se lee f en x, ó f de x, y se dice que 1. y es la imagen de x vía la función f 2. x es la contra imagen (o antecedente) de y via f 3. x es la variable independiente (variable exógena o explicativa); y es la variable dependiente (variable endógena o explicada). De…nición 4 El dominio de una función f de los elementos (pares ordenados) de f :

A

B es el conjunto de todas las primeras componentes

Dom f = f x 2 A : [ 9y 2 B : (x; y) 2 f ] g

A

De…nición 5 El rango o recorrido de f es el conjunto de todas las segundas componentes de los elementos (pares ordenados) de f ; es decir, es el conjunto de todas las imágenes f , y no siempre cubre a todo B Ran f

= f y 2 B : [ 9x 2 A : y = f (x) ] g = f f (x) 2 B : x 2 Dom f g B 1

B

De…nición 6 Dada una función f : A imagen de S (vía f ) al conjunto

! B y un subconjunto S

A entonces se de…ne el conjunto

f (S) = ff (x) : x 2 Sg que viene a ser el conjunto de imágenes correspondientes a los elementos del conjunto S. Según esta de…nición se tiene que Ran f = f (A) imagen de todo el dominio vía f. 1.1.1

Propiedades del conjunto imagen

Si M

A, N

A, f : A ! B entonces:

1. f (M [ N ) = f (M ) [ f (N ) 2. f ( ) = 3. No siempre se cumple que f (M \ N ) = f (M ) \ f (N ) 4. f (M ) = De…nición 7 Una función está bien de…nida o determinada cuando se conoce su regla de correspondencia y su dominio. Cuando de una función f se conoce su regla de correspondencia y = f (x) y no se conoce su dominio Dom f , entonces se procede a calcularlo de modo que este conjunto sea el mayor posible; a este dominio se le conoce como dominio maximal o dominio natural. De…nición 8 Sea f una función A en B (f : A ! B). Si A una función real de variable real.

1.2

RyB

R, entonces decimos que f es

Grá…ca de una función

Si f es una función real de variable real, entonces la grá…ca de f o grafo de f es la representación geométrica de los pares ordenados de la función; es decir grafo(f ) = (x; y) 2 R2 : x 2 Dom f ^ y 2 Ran f 1.2.1

Propiedad de la grá…ca de una función

f es una función real de variable real si y solamente si toda recta vertical corta a su grá…ca a lo más en un punto.

2

Cálculo de Dominios y Rangos de Funciones

El dominio de una función se halla ubicando el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente x, excepto en el caso en que dicho dominio haya sido previamente indicado. Observaciones: 1. Una manera geométrica de calcular el dominio y rango de una función, consiste en: (a) Proyectar la grá…ca de la función sobre el eje x para hallar el dominio (b) Proyectar la grá…ca de la función sobre el eje y para hallar el rango. 2. Una función puede tener su domino "partido" en varias partes, en cuyo caso existirán varias reglas de correspondencia (una para cada dominio parcial). Tanto el dominio y rango de la función se obtendrán uniendo los dominios y rangos parciales respectivamente.

3

Evaluación de Funciones

Con f (x) designamos el valor que f le hace corresponder a x, luego si x0 2 Dom f , entonces decimos que f (x0 ) es el valor numérico que se obtiene al reemplazar x por x0 en la regla de correspondencia o también se dice que la función está evaluada en x0 :

2

4 4.1

Funciones Elementales Función lineal

Regla de correspondencia: y = f (x) = mx + b; m; b 2 R

y f (x ) b

1

m

x

0 Dom f = R Ran f = R

4.2

Función identidad

Regla de correspondencia: y = I(x) = x(o también y(x) = x)

y

f (x ) 1 1

x

0 Dom I = R Ran I = R

4.3

Función constante

Regla de correspondencia: y = f (x) = c(o también f (x) = c)

y c

f (x )

0

x

Dom I = R Ran I = fcg

3

y f (x )

1

x

0

4.4

Función escalón unitario

Regla de correspondencia: y = ua (x) = u(x

a) =

0; si x < a 1; si x a

Dom ua = R Ran ua = f0; 1g

4.5

Función signo

Regla de correspondencia: y = sgn(x) =

y

8 < :

1 ; si x < 0 0 ; si x = 0 1 si x > 0

f (x )

1

x

0 -1

Dom sgn = R Ran sgn = f 1; 0; 1g

4.6

Función valor absoluto

Regla de correspondencia: x ; si x < 0 x ; si x 0

y = f (x) = jxj =

y

f (x )

0

x

Dom f = R Ran f = R+ o

4

4.7

Función máximo entero

Regla de correspondencia: y = f (x) = [[x]] = n

!n

x < n + 1; n 2 Z

y

f (x )

2 1

-2 -1

0

-1

1

2

x

3

-2

Dom f = R Ran f = Z

4.8

Función diente de sierra

Regla de correspondencia: y = f (x) =

b (x a

na)

! x 2 [na; (n + 1)ai ; a > 0; n 2 Z+ o

y b f (x )

-a

a

0

x

2a

Dom f = R+ o = [0; 1i Ran f = [0; bi

4.9

Función raíz cuadrada

Regla de correspondencia: y = f (x) =

y

p

x

f (x )

x

0 Dom f = R+ o = [0; 1i Ran f = R+ o = [0; 1i 5

(1)

4.10

Función cuadrática

Regla de correspondencia: y = f (x) = ax2 + bx + c = a x +

b 2a

y

2

b2

4ac ; a 6= 0; b; c 2 R 4a

f (x )

x Dom f = R

4.11

Función polinomial

Regla de correspondencia: y = f (x) = an xn + an

n 1 1x

+

+ a1 x + ao =

n X i=0

ai xn ; ai 2 R; n 2 Z+ o

Dom f = R Si an 6= 0, entonces el polinomio es de grado n y al coe…ciente an (coe…ciente de la mayor potencia) se le llama coe…ciente principal.

4.12

Función seno

Regla de correspondencia: y = f (x) = sen(x)

y f (x )

1 -1

0

p

2p

4p

x

Dom I = R Ran I = [ 1; 1]

5

Trazado de Grá…cas Especiales

Son grá…cas de funciones que tienen las siguientes formas (en todos los casos h; k; a 2 R) 1. Desplazamientos verticales: g(x) = f (x) 2. Desplazamientos horizontales: g(x) = f (x

k h)

3. Escalamiento vertical: g(x) = af (x) 4. Escalamiento horizontal: g(x) = f (ax)

6

6

Funciones Pares, Impares y Periódicas

De…nición 9 Una función f se denomina función par si 1. x 2 Dom f =)

x 2 Dom f ; y

2. f ( x) = f (x) De…nición 10 Una función f se denomina función impar si 1. x 2 Dom f =) 2. f ( x) =

x 2 Dom f ; y

f (x)

De…nición 11 Una función f se denomina función periódica de periodo T 2 R f0g tal que 1. x 2 Dom f =) x + T 2 Dom f ; y 2. f (x + T ) = f (x)

7

Algebra de Funciones

7.1

Igualdad de funciones

Dos funciones f y g son iguales si 1. Dom f = Dom g 2. f (x) = g(x) En tal caso se denota f = g.

7.2

Suma de funciones

Sean dos funciones f y g con dominios Dom f y Dom g, respectivamente, entonces se de…ne la nueva función (f + g) tal que 1. Dominio: Dom (f + g) = Dom f \ Dom g 2. Regla de correspondencia: (f + g)(x) = f (x) + g(x) De modo que el valor de (f + g) en x es la suma de los valores de f y de g en x. Así f + g = f(x; f (x) + g(x)) : x 2 Dom f \ Dom gg

7.3

Resta y multiplicación de funciones

Sean dos funciones f y g con dominios Dom f y Dom g, respectivamente, entonces se de…nen las nuevas funciones (f g) y (f g) tales que 1. Para la resta (a) Dominio: Dom (f

g) = Dom f \ Dom g

(b) Regla de correspondencia: (f

g)(x) = f (x)

g(x)

2. Para el producto (a) Dominio: Dom (f g) = Dom f \ Dom g

(b) Regla de correspondencia: (f g)(x) = f (x) g(x) De modo que el valor de (f g) y de (f g) en un punto x es la resta y el producto respectivamente de los valores de f y de g en el punto x: f

g fg

= f(x; f (x) g(x)) : x 2 Dom f \ Dom gg = f(x; f (x) g(x)) : x 2 Dom f \ Dom gg 7

7.4

Cociente de funciones

Sean dos funciones f y g con dominios Dom f y Dom g, respectivamente, entonces se de…ne la nueva función (f =g) tal que 1. Dominio: Dom (f =g) = Dom f \ Dom g

fx : g(x) = 0g

2. Regla de correspondencia: (f =g)(x) = f (x)=g(x) La condición 1 indica que el dominio de (f =g) no debe contener aquellos valores de x que hagan cero al denominador (raíces de la función g).

8

Composición de Funciones

Sean dos funciones f y g con dominios Dom f y Dom g, respectivamente, entonces se de…ne la nueva función (f g) tal que 1. Dominio: Dom (f

g) = fx 2 Dom f : g(x) 2 Dom f g = fx : x 2 Domg ^ g(x) 2 Dom f g

2. Regla de correspondencia: (f

g)(x) = f (g(x)) f

9

g = f(x; f (g(x))) : x 2 Dom f

gg

De…niciones Complementarias

De…nición 12 Se dice que una función es no decreciente sobre un conjunto A contenido en el dominio de f si y solo si para todo par de puntos x1 ; x2 2 A se cumple que x1 < x2 =) f (x1 )

f (x2 )

De…nición 13 Se dice que una función es no creciente sobre un conjunto A contenido en el dominio de f si y solo si para todo par de puntos x1 ; x2 2 A se cumple que x1 < x2 =) f (x1 )

f (x2 )

De…nición 14 Una función se dice que monótona sobre un conjunto A contenido en el dominio de f, si y solo si f cumple alguna de las de…niciones anteriores. De…nición 15 Una función es inyectiva o univalente si y solo si para todo par de puntos x1 ; x2 2 Dom f se tiene que f (x1 ) = f (x2 ) =) x1 = x2 De…nición 16 Una función f de A en B (f : A ! B) es sobreyectiva o suryectiva si todo elemento de B tiene por lo menos una pre-imagen en A: ! B) es biyectiva o biyección si y solo si f es

De…nición 17 Una función f de A en B (f : A inyectiva y sobreyectiva.

10

Funciones Inversas

Dada la función f : A ! Ran f , es decir f = f(x; f (x)) : x 2 Dom f g. Si f es inyectiva, decimos que f posee inversa (se simboliza por f ) y se de…ne por: f = f(f (x); x) : x 2 Dom f g Observaciones: 1. De la de…nición tenemos que f : A ! Ran f , entonces f : Ran f ! A, es decir Dom f Ran f

= Ran f = Dom f

2. De la de…nición se deduce que f es inyectiva (ya que f es inyectiva) 8

3. Luego, se deduce que (f ) = f 4. En general, si f va de A en B (f : A ! B) , entonces f existe si y solo si f es inyectiva y sobreyectiva. Si f no fuése inyectiva y/o sobreyectiva, habría que hacer las restricciones del caso, para que exista f . 5. Sabemos que f f

= f(x; y) : y = f (x); x 2 Dom f g ! y = f (x) = f(y; x) : y = f (x); x 2 Dom f g ! x = f (y)

Esta equivalencia nos indica el procedimiento a seguir para encontrar la regla de correspondencia de f . Para esto partimos de y = f (x) y despejamos x en términos de y, esto nos proporciona la regla de correspondencia de f : x = f (y): En general podemos entonces escribir f = f(y; x) : x = f (y); y 2 Dom f = Ran f g 6. Para gra…car f a partir de f re‡ejamos la grá…ca de f a través de la recta y = x.

11

Inversas de las Funciones Trigonométricas

Debido a que las funciones trigonométricas presentan periodicidad (ciclos), entonces ellas no son univalentes; por lo tanto no tienen inversa en TODO su dominio. Para que existan las inversas se debe RESTRINGIR el dominio de cada función, de modo que sean univalentes. El dominio se restringe a aquel que se encuentre más cerca al origen, con lo cual se garantiza la existencia de una inversa para cada función.

11.1

Función Arco Seno

Regla de correspondencia: y = f (x) = arcsenx

y p 2 -1

f (x )

0

1

-

Dom f = [ 1; 1] Ran arcsen= 2;

11.2

p 2

2

Función Arco Coseno

Regla de correspondencia: y = f (x) = arccosx Dom f = [ 1; 1] Ran f = [0; ]

9

x

y p

p 2

f (x )

0

1

-1

11.3

x

Función Arco Tangente

Regla de correspondencia: y = f (x) = arctanx

y p 2

f (x ) x

0 -

p 2

Dom f = [ 1; 1] Ran f = 2; 2

11.4

Función Arco Cotangente

Regla de correspondencia: y = f (x) = arccotx

y p p 2

f (x ) x

0 Dom f = h 1; 1i Ran f = [0; ]

11.5

Función Arco Secante

Regla de correspondencia: y = f (x) = arcsecx 10

y p p 2 -1

f (x ) x

1

0

Dom f = h 1; 1] [ [1; 1i Ran f = 0; 2 [ 2 ;

11.6

Función Arco Cosecante

Regla de correspondencia: y = f (x) = arccscx

y p 2 -1

f (x )

0

1 -

p 2

Dom f = h 1; 1] [ [1; 1i Ran f = 2 ; 0 [ 0; 2

12

11

x

Problemas 1. Sean A = f 3; 2; 0; 6; 4; 11g y B = Z, Hallar x e y para que el conjunto de pares ordenados f = f( 2; 4); ( 3; 1); (0; 3x + 2y); ( 2; 2x + y); (2x + y; 4); (6; 7); (0; 5); (3x y; x + y)g sea una función de A en B: 2. Gra…car las siguientes funciones (a) f = f( 2; 3); (0; 3); (1; 1); (2; 3)g (b) La función g, con dominio R y regla de correspondencia g(x) =

x2 2 :

3. Una compañia tiene 700 unidades de un determinado artículo en bodega al principio de cada mes, las ventas del artículo por día es de 35 unidades en promedio. (a) Encontrar una función que represente el número de unidades en bodega en cualquier día del mes. (b) ¿En que tiempo se agotará el artículo en la bodega? (c) ¿Cuál es la cantidad inventariada cuando han transcurrido 5 días? 2q 2 + 1500;

4. Si el bene…cio (medido en nuevos soles) de una empresa está dada por (q) = 60q donde q es la cantidad de unidades vendidas: (a) Encontrar el bene…cio obtenido cuando q = 30: (b) Gra…car la función de bene…cio (c) Encontrar el máximo bene…cio ¿Para que valor de q ocurre? n p 5. Hallar el dominio y rango de la función f = x; [[x]x]+4 : x + 4(x2 6. Sea f la función de…nida por f (x) = 7. Sea g =

(x; y) : y =

x4 +5x3 +5x2 5x 6 . x2 +4x+3

x2 + 3; x < 4 x 3; x 4

o 0

4)

Hallar el dominio, rango y la grá…ca de f:

. Hallar el dominio, rango y la grá…ca de g.

8. Si el grá…co de una función está representado en la …gura adjunta. Hallar su regla de correspondencia.

y

45°

4

0

53°

2 2

3 2

45°

x

9. Hallar el rango y trazar la grá…ca de la función de…nida por f (x) = Dom f \ f 3; 3g = 10. Sea f la función de…nida por la regla de correspondencia f (x) = y trazar la grá…ca de f .

p

jxj [[x]] x+jxj .

9

x2 sgn

x2 1 x

, donde

Hallar el dominio, rango

11. Determinar para que valores de la variable x, la otra variable y, es una función de x, en la siguiente expresión: y + jyj = x + jxj. Gra…car la función resultante. 12. El ‡ete aéreo de un kilogramo de mercadería cuesta S/. 3 000 transportándolo 300 km y S/. 5 000 transportándolo 800 km. Encontrar: (a) Una función lineal que determine el costo del transporte aéreo, si los datos dados representan la política usual de costos. 12

(b) El costo de transportar un kilogramo por 1300 km. (c) El número de km, sabiendo que el costo de transporte de un kilogramo es de S/. 11 800. 13. Hallar el dominio, rango y la grá…ca de la función de…nida por: f (x) =

( 1)[[x]] [[x]] x :

14. Sea f la función real de…nida en h 4; 2i por la siguiente regla de correspondencia f (x) = Encontrar el rango y trazar la grá…ca de f:

1+jx 3j jx+1j 3 .

15. Dada la función f de…nida en el problema 9:¿Es par o impar? 16. Sea f una función cuyo dominio es el intervalo [ a; a], donde a > 0. Probar que f puede expresarse como la suma de una función impar y una función impar. 17. En cada una de los siguientes casos ¿Es f igual a g? (a) f (x) = (b) f (x) =

x2 4 x+2 ;

p

x

g(x) = x 2 p p 2 x + 1; g(x) = (x

2)(x + 1)

18. Dadas las funciones f (x) = x2 + 1, con x 2 h 7; 12] y g(x) =

4x + 3. Determinar f + g; f g y f =g.

x 3; x 2 h 4; 8] , g(x) = x2 + 2x; x 2 h8; 15i

x + 4; x 2 [4; 12i :Determinar 1; x 2 [12; 16i

19. Dadas las funciones f (x) = f + g; f g, f =g y g=f .

20. Dadas las funciones f (x) = x2 + 1, g(x) = 2jxj. Trazar el grá…co de f 1 x;

21. Dadas las funciones f (x) =

x;

x;

x 1 , g(x) = x< 1

x

1;

g y hallar su rango.

x 10

Ran f =g. 22. Dadas las funciones f = f( 2; 0); (0; 2); (1; 2); (4; 3); (5; 2); (6; 0)g y g = f(0; 3); (2; 3); (5; 2); (4; 2); (3; 6); (1; 2); ( 1; 0)g Hallar f

g y g f.

p 23. Dadas las funciones f (x) = x2 + 2x + 3 y g(x) = x 1. Determinar g dominio. p 1 ; x 2 [ 2; 4]. 24. Hallar f g si f (x) = x2 4; x 2 [2; 8] y g(x) = x+2 25. Dadas las fucniones f (x) = 26. Dadas las funciones f (x) = 27. Sean g(x) =

x 1 jxj ,

h(x) =

1 2x+7 ; x

2 [ 3; 6] y g(x) = x2

x2 + 4x; x 2 [0; 7] y g(x) =

x 1+jxj .

4x

f .especi…cando su

8; x 2 h6; 12]. Hallar f

x2 4; x 0 . Hallar f x + 2; x > 2

g y g f. g.

Hallar h g.

2

28. Sea f (x) = (xx +3 1)2 con dominio h 1; 1i [ h1; 2]. Dada la función g tal que el dominio de g es [ 1; 1i [ h1; 4], de modo que (f g)(x) = x2 x + 1. Hallar la regla de correspondencia de g y encontrar el dominio y rango de f g. ( ( jx+6j x x< 2 ; 4