1.- Hallar la probabilidad de obtener al menos una cara al tirar n veces una moneda. Si A = ”sacar al menos una cara en n lanzamientos” entonces A = “ no sacar ninguna cara en n lanzamientos”. Si Ai = “sacar cara en el i-ésimo lanzamiento”; entonces A = A1 ∩ A 2 ∩ ....... ∩ A n siendo los sucesos Ai independientes. Entonces: p( A )=p( A1 ∩ A 2 ∩ ....... ∩ A n )=p( A1 ).p( A 2 )......p( A n ) = ½**

 1 n)**1/2=   2

n

Por tanto: p(A) = 1-

 1    2

n

=

2n − 1 2n

2.- A la vista de un león que se acerca, un cazador dispone de cuatro balas. El cazador sabe que en tales circunstancias hace blanco uno de cada cinco disparos. Dispara una bala tras otra hasta que el león caiga abatido, momento que dejará de disparar. Calcular la probabilidad de los sucesos siguientes. A = “ que el cazador salve la vida” B = “que se salve con el último disparo”. El suceso A = “ el cazador no salve la vida” = no haga blanco con ningún disparo. Entonces A = A1 ∩ A 2 ∩ A3 ∩ A 4 siendo Ai = “ hacer blanco en el i-ésimo disparo”. Luego: P( A ) = P( A1 ∩ A 2 ∩ A3 ∩ A 4 ) = al ser los sucesos independientes = P( A1 ) P( A 2 ) P( A3 )P( A 4 ) =   

4 4 4 4  4 =  5 5 5 5  5

4

4

4 Entonces P(A) = 1  =0,5904 5 P(B) = P( A1 ∩ A 2 ∩ A3 ∩ A4 ) = P( A1 ) P( A 2 ) P( A3 ) P(A4) =

4 4 4 1 = 0,102 5 5 5 5

3.- Sean A y B dos sucesos, A y B sus complementarios. Se verifica P(A) = 0,3 P( B ) = 0,6 y P( A / B ) = 0,25. Hallar: P(A U B ) , P( A I B ) y P(B/A). Sabemos que: P(A) = 0,3 P( B ) =0,6 luego P(B) = 1 - P( B )= 1 – 0,6 = 0,4 P( A I B) P( A / B ) = entonces P( A I B) = P(B) P( A / B ) = P( B) 0,4.0,25 =0,1 Entonces: P(A U B ) = P(A)+ P(B) - P( A I B ) = 0,3 +0,40-0,1=0,6 P( A I B) 0,1 1 = P(B/A).= = P( A) 0,3 3

4.-Un juego consiste en lanzar tres monedas al aire. Si las tres monedas aparecen de igual modo se gana. En caso contrario se vuelve a tirar. a) ¿Cuál es la probabilidad de ganar en la primera tirada? b) ¿Cuál es la de perder las dos primeras y ganar la tercera? Sean

A1 = “obtener cara en la 1ª moneda”

⇒

A1

= “obtener cruz con la 1ª moneda”

A2 = “obtener cara con la 2ª moneda” ⇒ A 2 = “obtener cruz con la 2ª moneda” A3 = “obtener cara con la 3ª moneda” ⇒ A 3 = “obtener cruz con la 3ª moneda” a) Se gana si salen todas caras o cruces ⇒ A1 I A2 I A3 o A3 luego: P[( A1 I A2 I A3 ) U ( A1 I A 2 I A3 )] = P( A1 I A2 I A3 )+P( A1 I A 2 I A3 ) = al ser los sucesos 111 111 2 1 + = = 222 222 8 4

independientes

=P(A1)P(A2)P(A3)+P( A1 )P( A 2 )P( A3 )=

b) Si B = “ ganar en una tirada” tenemos que P(B) =

1 y por tanto P( B ) = 1 - P(B) = 4

3 3 3 1 entonces nos piden P( B I B I B) = 4 4 4 4

5.- Tres amigos juegan con un dado de la siguiente forma: cada uno lo lanzará a lo sumo una vez. Si el primero en lanzar saca un 6, gana y se acaba la partida. Si no, lanza el segundo, que gana si obtiene un 4 o 5, acabando la partida. Si tampoco gana este, lanza el dado el tercero, que gana si obtiene 3, 2 o 1. Si no gana el tercero, la partida se termina. Halla la probabilidad de ganar que tiene cada uno y la probabilidad de que la partida acabe sin ganador. Sean

A1 = “obtener 6 en la 1ª tirada” A2 = “obtener 4 o 5 en la 2ª tirada” A3 = “obtener 3, 2 o 1 en la 3ª tirada” Tenemos que : B1 = “ganar el 1º jugador” = A 1 B2 = “ganar el 2º jugador” = A1 I A2 B3 = “ganar el 3º jugador” = A1 I A 2 I A3 B = “ nadie gane” = A1 I A 2 I A3 Entonces al ser las tiradas independientes: 1 P(B1) = P(A1) = 6 52 P(B2) = P( A1 I A2) = P( A1 ) P(A2) = 66 543 P(B3) = P( A1 I A 2 I A3) = P( A1 )P( A 2 )P(A3) = 666 543 P(B) = P( A1 I A 2 I A3 ) = P( A1 )P( A 2 )P( A3 ) = 666 6.- Sean A y B dos sucesos, A y B sus complementarios si se verifica P( B ) = P(A U B ) =

3 1 y P( A I B ) = , hallar P(A), P(B), P( A / B ) y P( A I B ) 4 4

Sabemos P(B) = 1 - P( B )= 1 -

2 1 = 3 3

2 ,: 3

P(A U B ) = P(A) + P(B) - P( A I B ) luego P( A I B ) = P(B) - P( A I B ) =

3 1 1 2 = P(A)+ entonces P(A) = 4 3 4 3

1 1 1 = 3 4 12

1 P( A I B) 3 P( A / B ) = = 4= 1 4 P( B) 3 7.-Si A y B son sucesos independientes tales que P(A) = 0,6 P(B) = 0,7 ; calcular P( A I B ) Como los sucesos son independientes: P( A I B ) = P( A ) P( B ) = [1 - P( A )][1- P( B )] = (1- 0,6)(1-0,7)=

8.-Si P es una probabilidad ¿puede existir sucesos A y B de forma que P(A) = 0,6; P(B) = 0,7 y P( A I B ) = 0,2? Si fuese cierto lo anterior tendríamos que P(A U B ) = P(A) + P(B) - P( A I B ) = 0,6 + 0,7 – 0,2 = 1,1 >1 lo cual es imposible pues la probabilidad de cualquier suceso es menor o igual que 1.Luego no pueden existir dichos sucesos. 9.- Sean A y B dos sucesos cuyas probabilidades son P(A) =

1 1 y P(B) = . Se pide: 4 3

a) Hallar P(A U B ) si los sucesos son independientes 2 b) Hallar P( A I B ) y P( A / B ) si P(A U B ) = (Obviamente en este caso A y B 5 no serán independientes) a)Si A y B son independientes P( A I B ) = P(A) P(B) =

1 1 1 = entonces P(A U B ) = 4 3 12

1 1 1 + = 4 3 12 1 1 2 11 b)P( A I B ) = P(A) + P(B) -P(A U B ) = + = 4 3 5 60

P(A) + P(B) - P( A I B ) =

11 P( A I B) P( A / B ) = = 60 = 1 P( B) 3

10.- En una urna tenemos 8 bolas blancas y 4 negras. Se extraen tres bolas sin reemplazamiento. Calcular la probabilidad de extraer : a) Las dos primeras negras y la tercera blanca b) Al menos una blanca

Calcular la probabilidad de los mismos sucesos si se realizan las tres extracciones con reemplazamiento. Sean B1 = “obtener blanca en la 1ª elección” B2 = “ “ “ “ “ “ 2ª “ B3 = “ “ 3ª “ “ “ “ “ N1 = “ “ “ “ “ “ 1ª “ N2 = “ “ “ “ “ “ 2ª “ N3 = “ “ “ “ “ “ 3ª “ i) Sin reemplazamiento 4 3 8 = 12 11 10 N 1 I N 2 I N 3 es obtener al

a) P(N1 N2 B3 ) = P(N1) P(N 2 / N 1 ) P(B3 / N 1 N 2 ) = b) N1 I N2 I N3 es obtener todas negras ⇒ menos una blanca.

P(N1 I N2 I N3 ) = P(N1) P(N 2 / N 1 ) P(N 3 / N 1 N 2 ) = P( N 1 I N 2 I N 3 ) = 1 - P(N1 I N2 I N3 ) = 1 ii)

4 3 2 12 11 10

4 3 2 = 12 11 10

Con reemplazamiento 4 4 8 12 12 12 4 4 4 b) P(N1 I N2 I N3 ) = P(N1) P(N2) P(N3) = 12 12 12 4 4 4 P( N 1 I N 2 I N 3 ) = 1 - P(N1 I N2 I N3 ) = 1 12 12 12 a) P(N1 N2 B3 ) = P(N1) P(N2) P(B3) =

11.- En una ciudad se publican 3 periódicos A, B y C. El 30% de la población lee A, el 20 % lee B y el 15% el C; el 12% A y B, 9% A y C, el 6% B y C, mientras que sólo el 3% lee los tres. Calcula el porcentaje de la población que lee, al menos, uno de los tres periódicos. Si A = “suceso lee el periódico A” B = “suceso lee el periódico B” C = “suceso lee el periódico C”; tenemos que P(A) = 0,3; P(B) = 0,2; P(C) = 0,15; P( A I B ) = 0,15; P( A I C ) = 0,09; P( C I B ) = 0,06 y P( A I B I C ) = 0,03. Luego P(A U B U C ) = P(A) + P(B) +P(C) - P( A I B ) - P( A I C ) - P( C I B ) + P( A I B I C ) = 0,3 + 0,2 + 0,15 -0,15 - 0,09 - 0,06 + 0,03 = lee al menos uno de los tres periódicos. 12.- En una carrera ciclista participan 4 corredores españoles y 3 franceses. Hallar la probabilidad de que : a) los 4 primeros sean españoles b) los 2 primeros sean españoles y el 3ª sea francés

E = “ corredor español “ F = “ corredor francés” 432 a) P( E I E I E ) = 765 433 b) P( E I E I F ) = 765 12.- Para elegir a un muchacho entre tres se prepara una bolsa con dos bolas negras y una blanca. Los tres van sacando, por orden, una bola que no devuelven. Quien saque la bola blanca gana ¿Quién lleva mas ventaja: el primero, el segundo o el tercero? Sea B obtener blanca y N obtener negra. El primer jugador gana si ocurre B El segundo jugador gana si ocurre N I B El tercer jugador gana si ocurre N I N I B 1 P(B) = 3 21 1 P(N I B) = P(N) P(B / N ) = = 32 3 P(N I N I B) = P(N) P(N / N ) P(B / N ∩ N ) = Tenemos que los tres tienen la misma ventaja.

21 1 1= 32 3