Explorar 1. Los números naturales A /Introducción. Desde hace mucho tiempo, tantos que quizás no puedas recordar desde cuando, sabes como “funcionan” los números naturales:

a) b)

0; 1; 2, 3; …,

c)

es decir, sabes operar con ellos, conoces y aplicas las propiedades de la adición y la multiplicación y hasta incluso manejas bien las desigualdades.

d)

Lo que nos proponemos ahora es investigar qué cosa son los números naturales, o mejor dicho, qué es el sistema de los números naturales.

g)

e) f)

Cifras numéricas en antiguas civilizaciones: a) Egipcios; b) Babilónicos; c) Romanos (primitivos); d) Chinos; e) Indostanos; f) Mayas y g) Arábigos.

B /El sistema de los números naturales. Te proponemos un primer acercamiento, diciendo que el sistema de los números naturales está compuesto por: 1. Un conjunto infinito de números, llamados números naturales a los que representamos por los símbolos 0; 1; 2, 3, 4; … 2. Dos operaciones, la adición y la multiplicación, que asocian a cada par de naturales otro natural, respectivamente la suma y el producto. Simbólicamente: (a; b) → a + b = s ; siendo a, b y s tres números naturales. y, del mismo modo, (a; b) → a × b = p ; siendo a, b y p tres números naturales. 3. Una relación de orden definida entre los números naturales, que nos permite decidir dados dos naturales distintos, por ejemplo, cual es el mayor. Así, a < b significa que existe un natural c distinto de 0 tal que a + c = b. Cuando esto ocurre escribimos c = b – a y decimos que c es la diferencia entre b – a. 4. Algunas reglas que describen las propiedades de: a) las operaciones; b) la interrelación entre las operaciones; c) la relación de orden; d) la interrelación entre las operaciones y el orden.

1 Matemática Gauss 5

Explorar C /Reglas del sistema 1. Reglas de las operaciones: Adición

Multiplicación

A1 Asociativa

Para todo a, b y c de N: (a + b) + c = a + (b + c)

M1

Asociativa

Para todo a, b y c de N: (a×b)×c = a×(b×c)

A2 Conmutativa

Para todo a y b de N: a + b = b+ a

M2

Conmutativa

Para todo a y b de N: a × b = b× a

Existe un único elemento 0 tal que a + 0 = a para todo natural a.

M3

Existencia de neutro

Existe un único elemento 1, diferente de 0, tal que a×1 = a para todo natural a.

Cancelativa

Si a, b y c son números naturales, c ≠ 0 y a × c = b × c, entonces a = b.

A3

Existencia de neutro

Si a, b y c son números naturales y a + c = b + c, entonces a = b.

A4 Cancelativa

M4

2. Interrelación entre las operaciones. D

Distributividad de la multiplicación respecto de la adición

Para todo a, b y c de N se tiene: a×(b + c) = a×b + a×c

3. Reglas del orden. Orden O1 Propiedad transitiva

Sean a, b y c elementos de N. si a < b y b < c, entonces a < c.

O2 Propiedad de tricotomía

Si a y b son elementos de N entonces sólo una de las siguientes proposiciones es válida: a > b; a = b; a < b.

4. Interrelación entre las operaciones y el orden. Para todo a, b y c de N, si a > b, entonces a + c > b + c

O+ Monotonía de la adición

Para todo a y b de N y c de N* :

O× Monotonía de la multiplicación

si a > b, entonces a × c > b × c

(N* = N – {0}) De la teoría a la práctica a. Veamos a continuación como se usan esas propiedades al efectuar la multiplicación cualquiera, por ejemplo: 136 ×

19

136 ×

+

1360 2584

19 10 + 9 1 2 2 4 136 × 9

1224 +

1 3 6 0 136 × 10 2 5 8 4 (136 × 9) + (136 × 10) = 136 (9 + 10) = 136 × 19

Observa también que de este modo, para efectuar cualquier multiplicación utilizando este método sólo es necesario aprender las tablas de multiplicar de los primeros 10 números naturales.

2

Explorar b. Para probar que 0 < 1, desigualdad que no sorprende, utilizas el hecho de que 0 + 1 = 1. c. Al resolver la inecuación x + 6 < 9 aplicas x + 6 < 3 + 6 y obtienes x < 3.

D /El principio de recurrencia (o de inducción completa). Supongamos que un conjunto de números naturales contiene al 0, y que por el hecho de contener a un natural n se puede deducir que contiene a n+1 (o sea a su siguiente). Es fácil, imaginar entonces que en ese conjunto, si esta el 0, deberá estar el 0 + 1 = 1 y si está el 1, deberá estar el 1+1=2; y si está el 2 también estará el 3; el 4… etc por el mismo argumento. Entonces hemos de concluir que en ese conjunto están todos los números naturales, ya que el conjunto de los números naturales es generable por la adición reiterada del 1. El principio de recurrencia asegura entonces: Un conjunto S de números naturales con las siguientes dos propiedades, contiene a todos los números naturales: 1. 0 ∈ S. 2. Si el conjunto S contiene al natural n, entonces contiene a n+1. Este principio se aplica para probar ciertas proposiciones relacionadas con los números naturales. Se dice en ese caso que la demostración se realiza por recurrencia o inducción. Estrechamente vinculado a este principio se encuentra el llamado Principio de la buena ordenación que expresa que en todo conjunto no vacío de números naturales existe uno que es el menor de todos. Este principio cuyo enunciado parece muy ingenuo, es a la hora de justificar algunas propiedades básicas de los números naturales, esencial

Principio de la buena ordenación de los números naturales: Cualquier subconjunto no vacío del conjunto de los números naturales N tiene mínimo. Demostración. Supongamos que X es un subconjunto de números naturales no vacío que no tiene mínimo, y sea Sn la proposición Sn: ningún número natural menor o igual a n pertenece a X. Como X no tiene mínimo, S1 es verdadera (porque si S1 fuera falsa entonces 1 sería el mínimo de X) y suponiendo que Sn es verdadera también lo es Sn+1 (porque si Sn+1 fuera falsa entonces n + 1 sería el mínimo de X). Luego por el principio de inducción todas las afirmaciones Sn son verdaderas, lo que implica que no existe ningún número natural en X, en contradicción con el hecho de que X es no vacío.

2. El razonamiento por recurrencia. La inducción matemática es un método para la demostración de una propiedad S(n) que depende de una variable natural.

A / Para entender como funciona. 1. La regla del planeta X. Supongamos que hay un planeta X, similar a nuestro planeta pero con una diferencia significativa: el clima en el planeta X está determinado por la siguiente regla: «Si llueve un día, entonces también llueve al día siguiente». Ahora tú aterrizas en el planeta X y:

3 Matemática Gauss 5

Explorar A) No llueve el día que llegas. ¿Qué puedes concluir? a) Nunca más lloverá en el planeta X. b) Nunca ha llovido en el planeta X. c) Ayer no llovió en el planeta X. d) Mañana lloverá en el planeta X.

B) Llueve el día que llegas. ¿Qué puedes concluir? e) Siempre llueve en el planeta X. f) Mañana lloverá en el planeta X. g) Ayer llovió en el planeta X. h) Lloverá todos los días a partir de hoy.

Piensa acerca de cada proposición y encuentra todas aquellas que están garantizadas por la regla del clima del planeta X.

2. Las torres de Hanoi. El siguiente juego fue inventado por el matemático francés Édouard Lucas y comercializado en 1883. Reglas de juego. Sobre un zócalo horizontal están colocadas verticalmente tres agujas. En estas tres agujas se apilan discos de diámetros diferentes. Inicialmente los discos están apilados sobre una misma aguja por el orden decreciente de sus diámetros. El objeto del juego (un solo jugador) consiste en transportar todos los discos sobre otra aguja, desplazándolos uno por uno de tina aguja a otra de manera tal que un disco cualquiera no esté jamás cubierto por otro de diámetro mayor. • Disposición inicial.

• Disposición final.

Para ilustrar las reglas del juego, si te encuentras en la siguiente situación:

puedes elegir entre tres posibilidades: desplazar el disco menor para obtener una de las dos situaciones siguientes

Édouard Lucas

o bien desplazar el disco de la aguja central para obtener:

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Explorar ¡A jugar! Familiarízate con las reglas del juego y encuentra el mínimo número de desplazamientos a efectuar para transferir una pila de dos discos, de tres discos, de cuatro discos y de cinco discos. El fin del mundo. E. Lucas había inventado una historia acerca del juego.

«En un templo de Benarés, los sacerdotes han sido encargados por Brahma de transferir una pila de 64 discos de oro. Cuando la pila entera haya sido transferida será el fin del mundo.» A razón de 30 discos transferidos por minuto, ¿cuál es el lapso que nos separa del fin del mundo?

B / Demostrar por recurrencia. Para demostrar que una propiedad, que depende de un número natural n, es verdadera para todo natural n ≥ n0 (n0 es un natural dado), se procede en tres etapas. 1. Base inductiva: se muestra que la propiedad es válida cuando n = n 0. 2. Paso inductivo: se prueba que SI la propiedad es verdadera para un natural k ≥ n0 (es la hipótesis de recurrencia), ENTONCES ella es verdadera para el natural siguiente k + 1. 3. Conclusión: la propiedad es verdadera para todo natural n ≥ n0.

En la práctica, para demostrar por recurrencia que una proposición Pn es verdera, se procede en tres etapas: • se verifica que P n 0 es verdadera (corrientemente es la parte más fácil); • se supone que Pn es verdadera para un natural cualquiera n ≥ n0 (es la hipótesis de recurrencia) y se demuestra entonces que Pn+1 es verdadera, se dice que la propiedad es hereditaria; • se concluye: para todo natural n ≥ n0, Pn es verdadera.

Ejemplo 1: La suma de los n primeros números. n(n + 1) Demostrar por recurrencia que 1 + 2 + 3 + … + n = -------------------- , n∈N*. 2 • Base inductiva: Se muestra que la proposición es verdadera para n = 1: 1(1 + 1) 1 = -------------------- ya que la suma se reduce al primer término 1; 2 la proposición es entonces verdadera para n = 1. • Paso inductivo: se supone que la proposición es verdadera para un n fijo (n∈N*): n(n + 1) 1 + 2 + 3 + … + n = -------------------- . 2 Se debe demostrar que la proposición es verdadera para n + 1.

5 Matemática Gauss 5

Explorar Se tiene, de la hipótesis de recurrencia: n ( n + 1 )( n + 2) n(n + 1) 1 + 2 + 3 + … + n + (n + 1) = -------------------- + ( n + 1 ) = ( n + 1 ) ⎛ --- + 1⎞ = ---------------------------------- . ⎝ ⎠ 2 2 2 La proposición es verdadera para n + 1. • Conclusión: La propiedad se verifica para n = 1, y como ella es «hereditaria» entonces es verdadera para todo natural no nulo, n(n + 1) 1 + 2 + 3 + … + n = -------------------- . 2

Ejemplo 2: La suma de los n primeros números impares. ¿Sabrías demostrar que la suma de los n primeros números impares resulta ser un cuadrado perfecto? Para todo natural n ≥ 1: 1 + 3 + 5+ … + (2n – 1) = n2. Realicemos la justificación de esta igualdad por inducción. La cosa va bien para el primer impar: • Base inductiva: S1 = 1 = 12. • Paso inductivo: Supongamos que es cierto que, cuando sumamos los n primeros impares, resulta Sn = 1 + 3 + 5 +... + 2n−3 + 2n−l = n2. Veamos que pasa con los n + 1 primeros impares. ¿Cuál es su suma? Sn+1 =1 + 3 + 5 +… + 2n-3 + 2n−l + 2n+l Usando la hipótesis inductiva resulta que: Sn+1 = Sn + (2n + 1) = n2 + 2n + 1 = (n + 1)2. • Conclusión: Por tanto, al ser cierto que Sn+1 = (n + 1)2, es cierto para todo natural la propiedad: 1 + 3 + 5 +... + 2n−3 + 2n − l = n2.

C / Definiciones por recurrencia. 1. El factorial de n. Además de las demostraciones por inducción o recurrencia están las definiciones recursivas. Así por ejemplo, el número n!, que se lee factorial de n se define como el producto de todos los números naturales, no nulos, menores o iguales a él: n! = 1×2×3×…×(n − 1)×n Por ejemplo:

3! = 6;

2! = 2;

5! = 120.

Sin embargo se puede definir recursivamente para evitar esos misteriosos puntos suspensivos y para que quede defi⎧ 0! = 1 nido para todo número natural inclusive el 0: ⎨ ⎩ ( n + 1 )! = n! × ( n + 1 )

6

Explorar 2. Potencia de un número real. Sabes de cursos anteriores que si a es un número a 0 = 1 y que si n un natural mayor que uno, entonces: an = a × a × … × a × a ( n factores). Ahora estamos en condiciones de reformular la definición del siguiente modo: Si a ∈ R y n es un natural, se define la potencia de base a y de exponente n inductivamente de la manera siguiente: ⎧ 0 ⎪a = 1 ⎨ n+1 n ⎪a = a ×a ⎩

n 1 ---⎞ . Si a ≠ 0 es habitual usar la notación a−1 para expresar --- y, a−n representa ⎛ 1 ⎝ a⎠ a

3. El símbolo de sumatoria. Otra definición que encierra una notación conveniente para escribir una suma de n términos: a0 + a1 + a2 + …+ an−1 i = n–1

es mediante el símbolo de sumatoria:

∑

a i empleando la letra griega sigma mayúscula, Σ, para designar la suma

i=0

de los números obtenidos variando i desde 0 hasta n − 1. i=4

Así por ejemplo:

∑i

2

= 12 + 22 + 32 + 42 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30.

i=1

Para definir el símbolo de sumatoria con más precisión nos hace falta una definición recursiva: ⎧i = 0 ⎪ a = a0 ⎪∑ i ⎪i = 0 ⎨i = n + 1 i=n ⎪ ⎪ a = ∑ ai + an + 1 ⎪ ∑ i i=0 ⎩ i=0

3. La sumatoria En la práctica se usa todo tipo de modificaciones en este símbolo de sumatoria que quedan perfectamente sobreeni=n

tendidos. Así por ejemplo es claro el significado de:

∑ ai . i = 1 i≠5

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