Tema 1: Los n´umeros naturales ∗ ¿Qu´e vamos a estudiar en este tema? 1. 2. 3. 4.

Sistemas num´ericos. La notaci´on posicional. Aritm´etica elemental. Algoritmos y propiedades. El lenguaje algebraico y el razonamiento abstracto. Divisibilidad. N´ umeros primos. M´aximo com´ un divisor y m´ınimo com´ un m´ ultiplo.

1 Pedro Ramos. Matem´aticas I. Grado de Educaci´ on Primaria. Universidad de Alcal´a. Curso 2015-2016

Los n´umeros naturales ∗ N = {1, 2, 3, 4, 5 . . .} ∗ Origen: necesidad de “contar”. ∗ Problema: representaci´on (oral y escrita) de n´ umeros “grandes”.

2 Pedro Ramos. Matem´aticas I. Grado de Educaci´ on Primaria. Universidad de Alcal´a. Curso 2015-2016

Tipos de sistemas de numeraci´on 1. Sistemas aditivos ∗ El n´ umero se obtiene sumando el valor de los s´ımbolos que lo componen.

Im´agenes de http://www.ugr.es/ jgodino/edumat-maestros/welcome.htm

∗ Numeraci´ on griega: I = 1, Π = 5, ∆ = 10, H = 100, X = 1000 y M = 10000 (la romana procede de ella).

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Pedro Ramos. Matem´aticas I. Grado de Educaci´ on Primaria. Universidad de Alcal´a. Curso 2015-2016

Sistemas de numeraci´on 2. Sistemas aditivo-multiplicativos ∗ Si hay que repetir varias veces un n´ umero, eso se indica con otro n´ umero. Un ejemplo: el sistema chino

4 Pedro Ramos. Matem´aticas I. Grado de Educaci´ on Primaria. Universidad de Alcal´a. Curso 2015-2016

Sistemas de numeraci´on 3. Sistemas multiplicativos (como el nuestro) ∗ Tiene su origen en el sistema hind´ u. Los s´ımbolos del sistema hind´ u eran

(y unos s´ımbolos adicionales para las potencias de 10). ∗ Entre los siglos V y VIII se prescinde de los s´ımbolos para las potencias de 10, pero se utilizan unas barras:

5 Pedro Ramos. Matem´aticas I. Grado de Educaci´ on Primaria. Universidad de Alcal´a. Curso 2015-2016

Sistemas de numeraci´on ∗ El cero. El nombre proviene del s´anscrito shunya (vac´ıo), en ´arabe se llam´ o sifr Nuestra palabra cifra viene de ah´ı. Nuestro sistema de numeraci´on llega a Europa a trav´es de los ´arabes. Al-Jwarizmi escribi´o el libro “Acerca de los c´alculos con los n´ umeros de la India” alrededor del a˜ no 825. ∗ A partir de la introducci´on del nuevo sistema de numeraci´ on, la aritm´etica se desarrolla de forma muy r´apida.

6 Pedro Ramos. Matem´aticas I. Grado de Educaci´ on Primaria. Universidad de Alcal´a. Curso 2015-2016

La introducci´on del n´umero de dos cifras ∗ Enfoque tradicional (1o de primaria): -

Tema 0: repaso de los n´ umeros del 0 al 9. Tema 1: los n´ umeros del 10 al 19. Tema 2: los n´ umeros del 20 al 29. ...

∗ Inconveniente: Falta de sentido num´erico.

7 Pedro Ramos. Matem´aticas I. Grado de Educaci´ on Primaria. Universidad de Alcal´a. Curso 2015-2016

Decenas y unidades en los libros de texto ∗ Casi siempre, el enfoque de la figura:

∗ Es mejor, durante un tiempo, mostrar las decenas como grupos de diez, expl´ıcitamente, como en la figura: (El ejemplo es de la segunda mitad del primer curso de un libro de Singapur).

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Pedro Ramos. Matem´aticas I. Grado de Educaci´ on Primaria. Universidad de Alcal´a. Curso 2015-2016

Una comparaci´on ∗ Comparemos estos dos ejemplos: Un libro de Singapur de 3o Un libro espa˜ nol de 2o

9 Pedro Ramos. Matem´aticas I. Grado de Educaci´ on Primaria. Universidad de Alcal´a. Curso 2015-2016

La introducci´on del n´umero de dos cifras ∗ Enfoque alternativo: contamos “haciendo grupos de diez”. Hay dos “grupos de diez” y 6 (o diez, diez y 6).

∗ Adem´as, se puede practicar el recuento con ejemplos que ayudan a profundizar en ese sentido num´erico.

10 Pedro Ramos. Matem´aticas I. Grado de Educaci´ on Primaria. Universidad de Alcal´a. Curso 2015-2016

La introducci´on del n´umero de dos cifras ∗ Una vez practicado el recuento de manera intensiva, ya se puede: - 3 grupos de diez y 5 se escribe 35. - el grupo de diez se llama decena. - introducir el cero. ∗ Un alumno que ha seguido este proceso est´a en condiciones de contestar a la pregunta: ¿cu´antas son 32 + 20? ∗ Estos temas (y su relaci´on con la introducci´on de los algoritmos de suma y resta) ser´an ampliados en la asignatura de did´actica de las matem´aticas (3o ). 11 Pedro Ramos. Matem´aticas I. Grado de Educaci´ on Primaria. Universidad de Alcal´a. Curso 2015-2016

La base b ∗ ¿Por qu´e contamos en base diez (haciendo “grupos de diez”)? ∗ ¿C´ omo representar´ıamos la cantidad de la figura si tuvi´eramos 8 dedos?

∗ Como 26 = 3 × 8 + 2, en base 8 el n´ umero 26 se representa como 32(8 .

12 Pedro Ramos. Matem´aticas I. Grado de Educaci´ on Primaria. Universidad de Alcal´a. Curso 2015-2016

La base b ∗ Expresi´ on de un n´ umero en base b: dado un n´ umero natural b > 1 (la base), cualquier n´ umero n se puede expresar de forma u ´nica como n = ak · bk + ak−1 · bk−1 + · · · + a1 · b + a0 . donde los d´ıgitos ai toman los valores 0, 1, . . . , b − 1. n se representa en base b como ak ak−1 · · · a1 a0 (b . ∗ ¿Por qu´e estudiar la base b? - Inter´es did´actico. - Conexi´ on de las matem´aticas con el mundo m´as pr´ oximo: inform´atica. 13 Pedro Ramos. Matem´aticas I. Grado de Educaci´ on Primaria. Universidad de Alcal´a. Curso 2015-2016

Base b: ejercicios ∗ Ejercicios: 1. Escribe los 5 primeros n´ umeros en base 2. 2. ¿C´ omo se pasa de base 10 a base b, y al rev´es? (a) Escribe 354(7 en base 10. (b) Escribe 928 en base 5. 3. Escribe los 10 n´ umeros siguientes a 223(4 .

14 Pedro Ramos. Matem´aticas I. Grado de Educaci´ on Primaria. Universidad de Alcal´a. Curso 2015-2016

El sistema de numeraci´on oral ∗ N´ umeros cardinales. Escribe en letra ? 87 065 006. ? 72 080 023 002 305 006. Expresa en forma num´erica veintitres mil cuarenta y tres billones, doscientos cuatro mil dos millones, veinte mil cuatro. M´as informaci´ on, por ejemplo, aqu´ı: http://goo.gl/XJiZo (Wikipedia) ∗ N´ umeros ordinales. Escribe en letra los ordinales 37o , 76o , 85o , 94o , 101o . 15 Pedro Ramos. Matem´aticas I. Grado de Educaci´ on Primaria. Universidad de Alcal´a. Curso 2015-2016

La recta num´erica ∗ Una ayuda excelente para desarrollar el sentido num´erico (a todos los niveles). ∗ Por ejemplo: al final de 1o , o en 2o . Sit´ ua (de forma aproximada) los n´ umeros 87, 6, 25, 48. 0

100

∗ Hacia el final de primaria: sit´ ua (de forma aproximada) los n´ umeros 870100, 6005, 250037, 48025. 0

1000000

16 Pedro Ramos. Matem´aticas I. Grado de Educaci´ on Primaria. Universidad de Alcal´a. Curso 2015-2016

Aritm´etica elemental: suma y resta ∗ La suma es una operaci´on interna en N. ∗ Propiedades: conmutativa, asociativa. ∗ Una vez definida la suma, la resta es f´acil: Se dice que a − b = c si b + c = a. Comentario: entender la resta as´ı desde el principio tiene importantes ventajas did´acticas. Por ejemplo, deja claro el papel an´alogo de b y c (“sustraendo” y “diferencia”). M´as en did´actica. ∗ La resta no es una operaci´ on interna en N. ∗ La resta nos permite definir un orden en N: diremos que a < b si b − a ∈ N.

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Suma y resta - Algoritmos ∗ El principal error en Espa˜ na: introducir demasiado pronto los algoritmos en columna (los tradicionales). ∗ Mejor: trabajar antes el c´alculo pensado o c´alculo natural (creo que son nombres m´as apropiados para la variante m´as u ´til de lo que se suele llamar c´alculo mental).

∗ M´as en la asignatura de did´actica. 18 Pedro Ramos. Matem´aticas I. Grado de Educaci´ on Primaria. Universidad de Alcal´a. Curso 2015-2016

Algoritmos tradicionales ∗ Todos conocemos las t´ecnicas escritas (algoritmos en columna). ¿Somos capaces de justificar las “llevadas”?

+

4

2

3

4

3

(5

3

1

4

3

2

(5

−

6

0

2

4

7

(8

3

2

4

6

2

(8

∗ National library of virtual manipulatives: http://nlvm.usu.edu/en/nav/vlibrary.html Numbers and operations → Base blocks substraction 19 Pedro Ramos. Matem´aticas I. Grado de Educaci´ on Primaria. Universidad de Alcal´a. Curso 2015-2016

La aritm´etica b´asica en el siglo XXI ∗ Hasta hace poco, saber calcular, de forma r´apida y fiable, era una competencia profesional muy valorada.

∗ ¿Qu´e algoritmos deber´ıan formar parte de la educaci´on primaria en la actualidad? Algoritmo para el c´alculo de la ra´ız cuadrada.

20 Pedro Ramos. Matem´aticas I. Grado de Educaci´ on Primaria. Universidad de Alcal´a. Curso 2015-2016

Formas de calcular ∗ Podemos considerar estas cuatro formas de calcular: ◦ ◦ ◦ ◦

los algoritmos tradicionales. las t´ecnicas de c´alculo mental (o c´alculo natural) el c´alculo aproximado, la estimaci´ on. la calculadora, m´ovil, ordenador.

∗ Aclarar el papel de cada uno en las matem´aticas b´asicas es un debate importante, que apenas ha empezado en nuestro pa´ıs. Una visi´ on extrema: “Stop teaching calculating, start learning math”. https://www.youtube.com/watch?v=xYONRn3EbYY 21 Pedro Ramos. Matem´aticas I. Grado de Educaci´ on Primaria. Universidad de Alcal´a. Curso 2015-2016

La multiplicaci´on ∗ ¿C´ omo introducirla en primaria? Tenemos 3 platos con 4 rosquillas en cada plato. ¿Cu´antas rosquillas tenemos en total? ∗ Tenemos 4 + 4 + 4 rosquillas, es decir, 3 veces 4 rosquillas. ¿ 3 veces 4 ↔ 3 × 4 ? ∗ En los libros de texto

22 Pedro Ramos. Matem´aticas I. Grado de Educaci´ on Primaria. Universidad de Alcal´a. Curso 2015-2016

La multiplicaci´on ∗ Veamos qu´e ocurre si asumimos que: a) 3 × 4 significa 3 veces 4. b) en la tabla del 2, “contamos de dos en dos”. ∗ La tabla del 2, con “veces” en vez de “por”, quedar´ıa ... ∗ Conclusi´ on: el orden tradicional de las tablas no concuerda con la introducci´on natural de la multiplicaci´on. ∗ M´as en did´actica.

23 Pedro Ramos. Matem´aticas I. Grado de Educaci´ on Primaria. Universidad de Alcal´a. Curso 2015-2016

Propiedades de la multiplicaci´on ∗ Conmutativa: a × b = b × a. ∗ Ojo: no es nada intuitivo que 4 veces 7 sea igual que 7 veces 4 .... 4 veces 7 ↔ 4 × 7 7 veces 4 ↔ 7 × 4 ∗ La geometr´ıa puede ayudar en la introducci´ on y comprensi´on de las propiedades. 24

4 7

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Propiedad distributiva ∗ Propiedad distributiva: a × (b + c) = (a × b) + (a × c) (a + b) × c = (a × c) + (b × c) ∗ ¿Qu´e sentido tiene en primaria? ∗ En los libros de texto ... 7 × (3 + 5)

=

7×3+7×5

7×8

21 + 35

56

56

¿Para qu´e?

25 Pedro Ramos. Matem´aticas I. Grado de Educaci´ on Primaria. Universidad de Alcal´a. Curso 2015-2016

Propiedad distributiva ∗ Sirve para dos cosas: i) manipulaciones algebraicas: 2(x + 3) = 2x + 6 ii) c´alculo natural (pensado, mental): 13 × 8 = (10 + 3) × 8 = 80 + 24 = 104 ∗ Tambi´en en este caso, la geometr´ıa puede ayudar.

(2 + 5) × 4 = 2 × 4 + 5 × 4 26 Pedro Ramos. Matem´aticas I. Grado de Educaci´ on Primaria. Universidad de Alcal´a. Curso 2015-2016

Una u´ltima propiedad ∗ Propiedad asociativa:

a × (b × c) = (a × b) × c

5

2 × (3 × 5) = (2 × 3) × 5

3 2 ∗ Dos preguntas finales: ◦ ¿Por qu´e 10 × 17 = 170? 27

◦ ¿Sabemos justificar el algoritmo cl´asico de la multiplicaci´ on? Pedro Ramos. Matem´aticas I. Grado de Educaci´ on Primaria. Universidad de Alcal´a. Curso 2015-2016

La divisi´on ∗ Un primer comentario: es importante distinguir la idea de divisi´ on y el algoritmo de la divisi´on. ∗ Si un ni˜ no de 6 a˜ nos lleva 8 caramelos al cole y quiere repatirlos (por igual) con un amigo, ¿sabe hacerlo? ∗ Esta idea de reparto es la mejor para introducir la divisi´on: se trata de la divisi´on partitiva. ∗ Si repartimos 20 caramelos en 4 bolsas iguales, ¿cu´antos caramelos habr´a en cada bolsa?

?

28 Pedro Ramos. Matem´aticas I. Grado de Educaci´ on Primaria. Universidad de Alcal´a. Curso 2015-2016

La divisi´on ∗ Existe otra interpretaci´on de la divisi´on: Si repartimos 20 caramelos en bolsas con 5 caramelos cada 5 ···?··· una, ¿cu´antas bolsas necesitaremos? ∗ Esta es la divisi´ on cuotativa (y no se trabaja lo suficiente). Relaci´ on con medida: ¿cu´antas veces “cabe” 5 en 20? ∗ Dos observaciones: i) Una forma sencilla de distinguirlas: pensar en c´omo resolver´ıa el problema una persona sin conocimientos matem´aticos.

29

ii) En la divisi´ on cuotativa, el divisor puede ser un n´ umero no entero: Un grupo de amigos compra 6 pizzas, y se las reparten por igual. Si cada amigo come 2/3 de pizza, ¿cu´antos amigos son en el grupo? Pedro Ramos. Matem´aticas I. Grado de Educaci´ on Primaria. Universidad de Alcal´a. Curso 2015-2016

La divisi´on ∗ Un buen ejercicio para proponer en clase (en primaria), para entender los dos tipos de divisiones: Inventa dos problemas (uno de cada tipo) cuya soluci´on contenga la divisi´on 72 ÷ 6. ∗ Otra idea importante, que hay que trabajar con calma, es la divisi´ on como inversa de la multiplicaci´on: Como 5 × 4 = 20, 20 ÷ 5 = 4 y 20 ÷ 4 = 5. ∗ ¿Por qu´e no se puede definir la divisi´on por 0? 5 ÷ 0 =?

↔

?×0=5

no hay soluci´on

0 ÷ 0 =?

↔

?×0=0

infinitas soluciones

∗ M´as en did´actica. 30 Pedro Ramos. Matem´aticas I. Grado de Educaci´ on Primaria. Universidad de Alcal´a. Curso 2015-2016

Divisi´on con resto ∗ Divisi´ on entera (con resto, o eucl´ıdea) Dados dos n´ umeros naturales D (dividendo) y d (divisor), existen unos u ´nicos n´ umeros naturales q (cociente) y r (resto) tales que D = q × d + r y 0 ≤ r ≤ b − 1. ∗ Idea de cualquier algoritmo de divisi´on: Aproximar por defecto el dividendo por m´ ultiplos del divisor. ∗ Otro aspecto que no se trabaja lo suficiente: problemas donde el resto sea lo importante. Un astronauta hizo un viaje de 505 horas. Si despeg´o a las 8 de la ma˜ nana, ¿qu´e hora era cuando aterriz´o? 31 Pedro Ramos. Matem´aticas I. Grado de Educaci´ on Primaria. Universidad de Alcal´a. Curso 2015-2016

La divisi´on en N ∗ Algoritmos tradicionales para la divisi´ on: Algoritmo “extendido” 6 4 −4 6

0

1 −1

0 1

8 6

Algoritmo “usual” (“comprimido”)

2

3

6

4

0

2

7

1

8

0

1

9

2 2

3 7

1 9

32 Pedro Ramos. Matem´aticas I. Grado de Educaci´ on Primaria. Universidad de Alcal´a. Curso 2015-2016

Divisi´on: Significado ↔ Algoritmo ∗ El algoritmo no es f´acil (sobre todo con divisor de dos cifras), requiere tiempo y pr´actica. ∗ No existe notaci´on est´andar para decir que al dividir 27 entre 4, el cociente es 6 y el resto 3. ∗ Una opci´ on: 27 ÷ 4 = 6 R 3. ∗ Personalmente, prefiero 27 = 6 × 4 + 3.

33 Pedro Ramos. Matem´aticas I. Grado de Educaci´ on Primaria. Universidad de Alcal´a. Curso 2015-2016

Ejercicios 1. ¿Qu´e ocurre con cociente y resto cuando dividendo y divisor se multiplican (o dividen) por el mismo n´ umero? 2. Sabiendo que 4185 = 45 × 93, encuentra de manera razonada el cociente y el resto de dividir 41862 entre 930. 3. Escribe 3 n´ umeros de 4 cifras que tengan resto 7 al dividir entre 19. 4. Encuentra el menor n´ umero que es mayor que 300 y que tiene resto 7 al dividirlo entre 29.

34 Pedro Ramos. Matem´aticas I. Grado de Educaci´ on Primaria. Universidad de Alcal´a. Curso 2015-2016

Introducci´on al lenguaje algebraico ∗ La aritm´etica se ocupa de las operaciones con n´ umeros. El ´algebra se ocupa de las operaciones con s´ımbolos. ∗ El ´algebra es muy antigua. Griegos y babilonios hac´ıan razonamientos algebraicos. Los matem´aticos de la Edad Media hablaban de “la cosa” (para referirse a la inc´ognita). ∗ En el siglo XVI se introducen los s´ımbolos modernos.

35 Pedro Ramos. Matem´aticas I. Grado de Educaci´ on Primaria. Universidad de Alcal´a. Curso 2015-2016

Introducci´on al lenguaje algebraico ∗ Permite enunciar propiedades generales: Para cualesquiera a y b, se cumple que a + b = b + a. ∗ Permite razonar sobre cantidades desconocidas, estableciendo relaciones entre ellas: Juan se ha presentado a un concurso en el que le hicieron 40 preguntas. Le daban 150 euros de premio por cada respuesta acertada, y le restaban 60 euros por cada fallo. Si no pod´ıa dejar preguntas en blanco y se llevo 4530 euros de premio, ¿cu´ antas respuestas acert´ o?

∗ Permite manipular expresiones como la anterior (ecuaciones) y encontrar las soluciones.

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Ejercicio 1. Escribe tres n´ umeros pares consecutivos “gen´ericos”. 2. Usando el ejercicio anterior, demuestra que la suma de tres n´ umeros pares consecutivos es siempre m´ ultiplo de 3. 3. Que sean pares no es importante. Escribe ahora tres m´ ultiplos de 17 consecutivos “gen´ericos” y demuestra que su suma es siempre m´ ultiplo de 3. 4. Demuestra que, para cualquier k ∈ N, la suma de tres m´ ultiplos de k consecutivos es siempre m´ ultiplo de 3.

37 Pedro Ramos. Matem´aticas I. Grado de Educaci´ on Primaria. Universidad de Alcal´a. Curso 2015-2016

El lenguaje algebraico y los patrones ∗ Observa y busca alguna regularidad:    

1+3=4 1+3+5=9 1 + 3 + 5 + 7 = 16 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

∗ Expr´esala en lenguaje usual ∗ Expr´esala en lenguaje algebraico

38 Pedro Ramos. Matem´aticas I. Grado de Educaci´ on Primaria. Universidad de Alcal´a. Curso 2015-2016

El lenguaje algebraico y los patrones

Figura 1

Figura 2

Figura 3

1. ¿Cu´antos cuadraditos tiene la figura 8? 2. ¿Cu´antos cuadraditos tiene la figura n?

39 Pedro Ramos. Matem´aticas I. Grado de Educaci´ on Primaria. Universidad de Alcal´a. Curso 2015-2016

El lenguaje algebraico y los patrones n

n

n

n ∗ Piensa varias formas de contar las cruces que hay en la figura y escribe la expresi´on algebraica resultante de cada una.

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Divisibilidad (en N ∪ {0}) ∗ Dados dos n´ umeros enteros a y c, se dice que c divide a a si existe un entero q tal que a = q · c (es decir, si en la divisi´ on a ÷ c el resto es 0). c | a significa que c divide a a (c es un divisor de a). ∗ Si c | a, tambi´en decimos que a es m´ ultiplo de c. Denotamos por c˙ al conjunto de los m´ ultiplos de c. Ejemplo: 3˙ = {0, 3, 6, 9, 12, . . .}. ∗ Si c no divide a a, escribiremos c - a.

41 Pedro Ramos. Matem´aticas I. Grado de Educaci´ on Primaria. Universidad de Alcal´a. Curso 2015-2016

Divisibilidad ∗ Ejemplos: a) 2 | 36 (porque 36 = 2 · 18), b) 5 - 19 (porque 19 = 3 · 5 + 4). c) Para cualquier n´ umero entero a, 1 | a. d) ¿8 | 0?

S´ı: 8 · 0 = 0.

Cualquier n´ umero natural (0 6∈ N) es divisor de 0.

42 Pedro Ramos. Matem´aticas I. Grado de Educaci´ on Primaria. Universidad de Alcal´a. Curso 2015-2016

Divisibilidad ∗ Ejercicio: escribe todos los divisores de 20. ∗ Dado cualquier n´ umero natural n, los n´ umeros 1 y n son siempre divisores de n. Al resto de divisores, se les llama divisores propios. ∗ Def: Un n´ umero primo p es un n´ umero natural mayor que 1 que no tiene divisores propios (es decir, sus u ´nicos divisores son 1 y p). ∗ Un n´ umero que no es primo diremos que es compuesto.

43 Pedro Ramos. Matem´aticas I. Grado de Educaci´ on Primaria. Universidad de Alcal´a. Curso 2015-2016

N´umeros primos: preguntas b´asicas ∗ ¿Es n un n´ umero primo? a) ¿Es 97 un n´ umero primo? b) ¿Es primo 72648233746283843? ∗ Encuentra todos los n´ umeros primos menores que n: la criba de Erat´ ostenes. Ejemplo (animado) en http://tinyurl.com/ca7v8r6

∗ ¿Cu´antos n´ umeros primos hay? ∗ ¿Para qu´e sirven los n´ umeros primos? 44 Pedro Ramos. Matem´aticas I. Grado de Educaci´ on Primaria. Universidad de Alcal´a. Curso 2015-2016

Descomposici´on en factores primos (Factorizaci´on) ∗ Teorema fundamental de la aritm´etica: Todo n´ umero entero se puede descomponer, de manera u ´nica, en producto de factores primos. ∗ Demostrar que se pueden descomponer es muy sencillo: Si n es primo, hemos terminado. Si no, tiene alg´ un divisor a, y tenemos que n = a · b. Ahora podemos repetir el razonamiento con a y b. Que hay solo una descomposici´on (salvo el orden, claro) no es tan inmediato, y no lo vamos a demostrar. ∗ Obs: el teorema fundamental de la aritm´etica no ser´ıa cierto si consideramos 1 como n´ umero primo. 45 Pedro Ramos. Matem´aticas I. Grado de Educaci´ on Primaria. Universidad de Alcal´a. Curso 2015-2016

Descomposici´on en factores primos: algoritmo 5544 2772 1386 693 231 77 11 1

2 2 2 3 3 7 11

Por tanto, 5544 = 23 · 32 · 7 · 11

2·3

2·5

∗ Pero es igual de correcto escribir 60 = 6 · 10 = 22 · 3 · 5 ∗ Ejercicio: Escribe todos los divisores de 60 y compara la factorizaci´ on de 60 con la factorizaci´on de sus divisores. 46 Pedro Ramos. Matem´aticas I. Grado de Educaci´ on Primaria. Universidad de Alcal´a. Curso 2015-2016

Factores primos y divisores ∗ El conjunto de los divisores de un n´ umero se puede obtener a partir de su descomposici´on en factores primos usando el siguiente resultado: ∗ c = aj bk (a y b primos) es divisor de n si y solo si aj y bk son parte de la factorizaci´on de n. (Y lo mismo se generaliza a m´as de dos factores). ∗ Ejercicio: 1. Encuentra todos los divisores del n´ umero 84. 2. ¿Cu´antos son impares? 3. ¿Cu´ales son m´ ultiplos de 14? Observa que los apartados 2 y 3 se pueden hacer sin haber hecho antes el 1.

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Pedro Ramos. Matem´aticas I. Grado de Educaci´ on Primaria. Universidad de Alcal´a. Curso 2015-2016

El n´umero de divisores ∗ Una f´ ormula para el n´ umero de divisores: Si n = pa1 1 · pa2 2 · · · pakk entonces n tiene (a1 + 1) · (a2 + 1) · · · (ak + 1) divisores.

∗ Ejercicio: encuentra 4 n´ umeros de 3 cifras que tengan 20 divisores. 48 Pedro Ramos. Matem´aticas I. Grado de Educaci´ on Primaria. Universidad de Alcal´a. Curso 2015-2016

Otras aplicaciones de la factorizaci´on ∗ Encuentra el menor n´ umero por el que hay que multiplicar a 140 para que el resultado sea un cuadrado perfecto. ∗ Encuentra el menor n´ umero por el que hay que multiplicar a 360 para que el resultado sea un cubo perfecto. ∗ Sea n = 181405. Sabiendo que 181405 = 71 · 73 · 35, encuentra la forma de escribir n = a · b (a, b ∈ N, a > b) de manera que a − b sea m´ınimo.

49 Pedro Ramos. Matem´aticas I. Grado de Educaci´ on Primaria. Universidad de Alcal´a. Curso 2015-2016

De vuelta a una pregunta b´asica ∗ Teorema (Euclides, ∼ 300 aC): Existen infinitos n´ umeros primos. ∗ Demostraci´ on: Supongamos que hubiera un n´ umero finito. Entonces, podr´ıamos hacer una lista de todos ellos: L = {p1 , p2 , . . . , pn } es la lista de todos los n´ umeros primos. Consideremos el entero q = p1 · p2 · · · · · pn + 1. 1. q no es un n´ umero primo (no est´a en la lista). 2. q no se puede poner como producto de factores ¡Imposible! primos (no tiene divisores en la lista). 50 Pedro Ramos. Matem´aticas I. Grado de Educaci´ on Primaria. Universidad de Alcal´a. Curso 2015-2016

Comentarios sobre n´umeros primos ∗ Dos impares consecutivos que son ambos n´ umeros primos se llaman primos gemelos. Ejemplos: 3 y 5 son primos gemelos, 11 y 13 tambi´en. ∗ No se sabe si hay una cantidad finita de primos gemelos. Los mayores conocidos son p = 65516468355 · 2333333 + 1 y p + 2. (Sept. 2013) 100355 d´ıgitos ∗ El mayor n´ umero primo conocido (sept. 2013) era p = 243112609 − 1 51

(12978189 d´ıgitos). Pedro Ramos. Matem´aticas I. Grado de Educaci´ on Primaria. Universidad de Alcal´a. Curso 2015-2016

Y todo esto, ¿sirve para algo (pr´actico)? Buena parte de la seguridad en inform´atica (Internet) depende de que no se sabe descomponer en factores primos n´ umeros grandes. RSA: Criptograf´ıa de clave p´ ublica. La clave p´ ublica de la figura es un n´ umero (de aproximadamente 600 d´ıgitos en base 10, pero est´a expresado en hexadecimal - base 16). Para leer algo m´as: http://es.wikipedia.org/wiki/RSA

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Dos propiedades de la divisibilidad ∗ Si c | a, entonces c | (k · a) (para cualquier entero k). Es decir, si c es un divisor de a, tambi´en lo es de cualquier m´ ultiplo de a.

∗ Si c | a y c | b, entonces c | (a + b). ∗ Combinando las dos propiedades anteriores, tenemos: Si c | a y c | b, entonces c | (k · a + j · b) (para cualesquiera enteros k y j). Ej: como 7 | 49 y 7 | 63, 7 | (14333 · 49 + 38274 · 63).

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M´aximo com´un divisor ∗ El m´aximo com´ un divisor de dos n´ umeros a y b, mcd(a, b), es el mayor entero positivo que es divisor de a y de b. ∗ ¿Por qu´e pueden aparecer aqu´ı dificultades de aprendizaje? Quiz´a porque no se pone el suficiente cuidado en diferenciar el concepto en s´ı mismo del algoritmo para su c´alculo. ∗ Ejercicios: a) mcd(40, 15) b) mcd(38478, 1) c) mcd(384787, 0) 54 Pedro Ramos. Matem´aticas I. Grado de Educaci´ on Primaria. Universidad de Alcal´a. Curso 2015-2016

C´alculo de mcd(a, b) I) A partir de la descomposici´on en factores primos. Sabiendo que 17640 = 23 · 32 · 5 · 72 12474 = 2 · 34 · 7 · 11 calcula mcd(17640, 12474). El m´aximo com´ un divisor de a y b es el producto de los factores comunes de las descomposiciones en factores primos correspondientes. (Con el menor exponente).

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C´alculo de mcd(a, b) ∗ Obs´ervese que de la descomposici´on en factores primos tambi´en se pueden obtener todos los divisores comunes de dos n´ umeros a y b. Encuentra todos los divisores comunes de 17640 y 12474. ∗ Con la misma idea, se obtiene la siguiente propiedad: Los divisores comunes de dos n´ umeros a y b son los divisores de su m´aximo com´ un divisor.

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C´alculo de mcd(a, b) II) Algoritmo de Euclides. Basado en el siguiente resultado: Teorema: Si a = q · b + r, entonces los divisores comunes de a y b son los mismos que los de b y r. ∗ Un ejemplo: a = 78, b = 42. ∗ La demostraci´ on. Tenemos que ver dos cosas: 1. Si c es divisor de a y de b, entonces es divisor de b y de r. 2. Si c es divisor de b y de r, entonces es divisor de a y de b. ∗ Aplicaci´ on al c´alculo del maximo com´ un divisor: Si queremos calcular mcd(a, b), hacemos la divisi´on y obtenemos la relaci´on a = q · b + r. Ahora, sabemos que mcd(a, b) = mcd(b, r). ∗ Calcula mcd(78, 42) aplicando el algoritmo de Euclides.

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Comparaci´on de los algoritmos ∗ Se puede demostrar que el algoritmo de Euclides es mucho mejor que el algoritmo que utiliza la descomposici´on en factores primos, en el siguiente sentido: un ordenador puede calcular el m´aximo com´ un divisor de dos n´ umeros de, por ejemplo, 500 d´ıgitos, en cuesti´on de segundos. Sin embargo, factorizar n´ umeros as´ı podr´ıa requerir miles de a˜ nos de c´alculo. ∗ Un ejemplo “peque˜ no”, para hacer la comparaci´on a mano. Calcula el m´aximo com´ un divisor de 12319 y 9991 (puedes utilizar la calculadora).

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M´aximo com´un divisor de varios n´umeros ∗ La definici´ on es exactamente igual: mcd(a1 , a2 , . . . , ak ) es el mayor de sus divisores comunes. ∗ El algoritmo a partir de la factorizaci´ on es exactamente el mismo: Sabiendo que 17640 = 23 · 32 · 5 · 72 12474 = 2 · 34 · 7 · 11 3591 = 33 · 7 · 19 4998 = 2 · 3 · 72 · 17 calcula mcd(17640, 12474, 3591, 4998). 59 Pedro Ramos. Matem´aticas I. Grado de Educaci´ on Primaria. Universidad de Alcal´a. Curso 2015-2016

M´aximo com´un divisor de varios n´umeros ∗ El algoritmo de Euclides se puede adaptar f´acilmente: Supongamos que ak es menor o igual que el resto de los ai , para i = 1, . . . , k − 1, y supongamos que hacemos las divisiones ai = qi · ak + ri para i = 1, . . . , k − 1. Entonces, mcd(a1 , a2 , . . . , ak−1 , ak ) = mcd(r1 , r2 , . . . , rk−1 , ak ). ∗ Ejemplo: calcula el m´aximo com´ un divisor de los enteros 616, 1155, 308 y 693. ∗ Observaci´ on: para mas de dos n´ umeros, tambi´en es cierto que los divisores comunes de un conjunto de n´ umeros son los divisores de su m´aximo com´ un divisor.

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C´alculo “mental” del mcd ∗ ¿Por qu´e es u ´til calcular “a ojo” ejemplos como... a) mcd(9, 24) b) mcd(17, 284) c) mcd(8, 68) ∗ La siguiente propiedad puede ser u ´til: Si k es un divisor de a y de b, entonces mcd(a, b) = k · mcd(a/k, b/k). ∗ Ej: calcula mcd(84, 24).

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M´ınimo com´un m´ultiplo ∗ El m´ınimo com´ un m´ ultiplo de dos enteros a y b, que denotaremos mcm(a, b), es el menor entero (mayor que cero) que es m´ ultiplo tanto de a como de b. ∗ Las dificultades de aprendizaje son del mismo tipo que las que aparecen con el m´aximo com´ un divisor. ∗ Ejercicios: a) mcm(6, 10) b) mcm(29834, 1)

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Algoritmo para el c´alculo del mcm ∗ Queremos calcular el m´ınimo com´ un m´ ultiplo de a = 3591 y b = 14994 sabiendo que 3591 = 33 · 7 · 19 14994 = 2 · 32 · 72 · 17 1) El entero m = a · b = 3591 · 14994 = 2 · 35 · 73 · 17 · 19 es m´ ultiplo de los dos. 2) ¿Qu´e factores de m = a · b se pueden eliminar para que el n´ umero resultante siga siendo m´ ultiplo com´ un? a·b . 3) Por tanto, mcm(a, b) = mcd(a, b) 63 Pedro Ramos. Matem´aticas I. Grado de Educaci´ on Primaria. Universidad de Alcal´a. Curso 2015-2016

Algoritmo para el c´alculo del mcm ∗ Tambi´en hemos obtenido el algoritmo “cl´asico”: El m´ınimo com´ un m´ ultiplo de a y b es el producto de los factores de las descomposiciones en factores primos correspondientes, tomando los factores comunes elevados al exponente mayor. ∗ Ejemplo: calcula mcm(3591, 14994) sabiendo que 3591 = 33 · 7 · 19 14994 = 2 · 32 · 72 · 17 ∗ Este algoritmo sigue siendo v´alido para calcular el m´ınimo com´ un m´ ultiplo de m´as de dos enteros. Ojo: no es cierto que mcd(a, b, c) · mcm(a, b, c) sea igual al producto a · b · c.

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Una propiedad del m´ınimo com´un m´ultiplo ∗ Los m´ ultiplos comunes de dos (o m´as n´ umeros) son los m´ ultiplos de su m´ınimo com´ un m´ ultiplo. ∗ Dos faros emiten una se˜ nal especial cada 16 y 12 minutos, respectivamente. Sabiendo que emiten la se˜ nal a la vez a las 0 horas y que empezamos a contemplarlos a las 5 de la tarde: 1. ¿cu´antas veces han emitido la se˜ nal a la vez antes de que lleg´aramos? 2. ¿a qu´e hora los veremos coincidir por primera vez?

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Reglas de divisibilidad ∗ Aritm´etica con restos. Un primer ejemplo: par/impar. ∗ Sea r(a, n) el resto que se obtiene al dividir a entre n. Pregunta: si conocemos r(a, n) y r(b, n), ¿podemos determinar r(a + b, n)? ∗ Si r(a, 3) = 2 y que r(b, 3) = 2, ¿cu´anto vale r(a + b, 3)? ∗ Con este tipo de razonamientos, vamos a encontrar las reglas de divisibilidad (de hecho, reglas para calcular restos), para el 3, 4, 5, 6, 8 y 9.

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