1. OPERACIONES CON VECTORES

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Resumen Geometr´ıa en 3D

1.

Operaciones con vectores Sean los vectores W1 = (a1 , b1 , c1 ),W2 = (a2 , b2 , c2 ),W3 = (a3 , b3 , c3 )

1.1.

Producto escalar de dos vectores W1 · W2 = (a1 , b1 , c1 ) · (a1 , b1 , c1 ) = a1 · a2 + b1 · b2 + c1 · c2

A partir del producto escalar podemos calcular el ´angulo α que forman dos vectores V1 y V2 con la f´ormula: W1 · W2 = |W1 | · W2 | · cos(α)

1.2.

Producto vectorial de dos vectores i j k W1 xW2 = (a1 , b1 , c1 )x(a1 , b1 , c1 ) = a1 b1 c1 a2 b 2 c 2

El vector resultante es perpendicular a ambos y su m´odulo coincide con el a´rea del paralelogramo que forman W1 y W2 Recordar que la coordenada j lleva el signo cambiado al hacer el desarrollo por menores complementarios.

1.3.

Producto mixto de tres vectores a1 b 1 c 1 [W1 , W2 , W3 ] = a2 b2 c2 a3 b 3 c 3

El n´ umero resultante es el volumen del paralelep´ıpedo formado por los 3 vectores.

1

2. ECUACIONES DE LA RECTA

2.

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Ecuaciones de la recta

Dado un punto (x0 , y0 , z0 ) y un vector (v1 , v2 , v3 ) podemos escribir las siguientes ecuaciones de la recta: Ecuaci´on vectorial (x, y, z) = (x0 , y0 , z0 ) + λ(v1 , v2 , v3 ) Ecuaciones param´etricas   x = x0 + λ · v1 y = y0 + λ · v2  z = z0 + λ · v3 Ecuaci´on cont´ınua y − y0 z − z0 x − x0 = = v1 v2 v3 Ecuaciones impl´ıcitas ( o como intersecci´on de dos planos ) Igualando dos a dos las anteriores ecuaciones podemos obtener:  Ax + By + Cz + D = 0 Ex + F y + Gz + H = 0

3.

Ecuaciones del plano

Veremos u ´nicamente la ecuaci´on impl´ıcita, la cual podemos obtener de dos maneras diferentes. Supongamos que conocemos un punto (x0 , y0 , z0 ) por donde pasa el plano, y dos vectores W1 = (a1 , b1 , c1 ),W2 = (a2 , b2 , c2 ) pertenecientes al plano.

3.1.

Usando el determinante

Resolveremos el siguiente determinante: x − x0 y − y0 z − z0 a1 b1 c1 a2 b2 c2



Este m´etodo tiene el inconveniente de tener que resolver el determinante, lo cual tiene una probabilidad de fallo bastante grande.

2

4. HAZ DE PLANOS

3.2.

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Usando el vector normal n = W1 xW2 = (A, B, C) As´ı la ecuaci´on del plano ser´a Ax + By + Cz + D = 0 de la cual ya conocemos A, B y C y tan solo tenemos que calcular D, sustituyendo en el plano x, y, z por el punto (x0 , y0 , z0 ) y despejando D.

4.

Haz de planos

Muchos ejercicios se pueden resolver con un haz de planos. Tenemos dos tipos: Haz de planos paralelos: Se trata de la ecuaci´on de TODOS los planos cuyo vector director es uno dado. En la ecuaci´on nos quedar´ıa la letra D sin saber, que es la que mueve paralelamente a esos planos.( Ejemplo 2x − 3y + z + D = 0 ). Esto es muy u ´til por ejemplo si tenemos que calcular un plano perpendicular a una recta y que pase por un punto. Haz de planos secantes: Se trata de la ecuaci´on de TODOS los planos que se cortan en una misma recta. Se suele hacer con las propias ecuaciones impl´ıcitas de esa recta. ( Ejemplo x − y + 2z + 3 + λ(2x + 3y − 2z + 1). Esto es muy u ´til si tenemos que calcular la ecuaci´on de un plano que contenga a una recta y que pase por un punto.

5.

Posiciones relativas

Si tenemos las ecuaciones impl´ıcitas de los planos y/o las rectas podemos formar con ellas las matrices de coeficientes y la ampliada. Sean r y r0 sus rangos, es decir: r =Rango de la matriz de coeficientes. r0 =Rango de la matriz ampliada

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5. POSICIONES RELATIVAS

5.1.

Posiciones relativas de 2 rectas

Si tenemos las ecuaciones impl´ıcitas de ambas rectas ( 4 en total ), podemos mirarlo con los rangos de las matrices de coeficientes y la ampliada a trav´es de la siguiente tabla: r 3 3 2 2

r’ 4 3 3 2

Posici´on Cruzadas Secantes Paralelas Coincidentes

Tambi´en lo podemos hacer comparando sus vectores directores. Podemos distinguir dos casos ( y cada uno de ellos dar´a 2 opciones m´as ): Vectores directores proporcionales En este caso, o son paralelas, o son la misma recta. Podemos simplemente coger un punto cualquiera de una de las rectas y ver si ese punto cumple las ecuaciones de la otra, siendo Coincidentes en ese caso, o Paralelas en caso contrario. Vectores directores no proporcionales En este caso, o se cruzan, o se cortan. Una forma r´apida de calcularlo es hacer el determinante formado por los vectores directores de cada recta, junto con otro vector que formaremos con un punto de cada recta: Si det = 0 entonces Se Cortan. Si det 6= 0 entonces Se Cruzan.

5.2.

Posiciones relativas entre 2 plano Vectores normales proporcionales.

Si los vectores normales de ambos planos son (A, B, C) y (A0 , B 0 , C 0 ): Si

A A0

=

B B0

=

C C0

=

D D0

entonces Son Coincidentes.

Si

A A0

=

B B0

=

C C0

6=

D D0

entonces Son Paralelos.

Vectores normales no proporcionales En este caso son Secantes, es decir, se cortan en una recta.

4

5. POSICIONES RELATIVAS

5.3.

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Posiciones relativas de una recta y un plano r 2 2 2

r’ 2 3 2

Posici´on Recta contenida en el plano Recta y plano paralelos Secantes ( se cortan en un punto )

Tambi´en lo podemos hacer con el producto escalar del vector director de la recta v y el normal del plano n, ya que si es cero sabemos que forman un a´ngulo de 90o , con lo que solo podr´an ser paralelos o coincidentes. Sea P un punto de la recta. Si v ·n = 0 y el plano tambi´en pasa por P , entonces Recta Contenida en el plano. v · n = 0 y el plano no pasa por P , entonces Son Paralelos. v· = 6 0 entonces son Secantes.

5.4.

Posiciones relativas de 3 planos r 3

r’ 3

2

3

Posici´on Secantes en un punto Planos secantes dos a dos( Tienda de campa˜ na ) Dos paralelos y uno secante Planos secantes en una recta (Haz de planos secantes)

2

2 Dos coincidentes y uno secante Paralelos y distintos 2 a 2(Haz de planos paralelos)

1 1

2 1

Planos paralelos y dos coincidentes Planos coincidentes

5

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´ 6. ANGULOS

´ Angulos

6.

Para el c´alculo de a´ngulos usaremos la f´ormula del producto escalas de dos vectores: |W1 · W2 | = |W1 | · W2 | · cos(α)

6.1.

´ Angulo que forman dos rectas

Cogemos los vectores directores de ambas rectas, y mediante la f´ormula anterior calculamos α

6.2.

´ Angulo que forman dos planos

Cogemos los vectores normales de ambos planos, y mediante la f´ormula anterior calculamos α

6.3.

´ Angulo que forman una recta y un plano

Cogemos el vector director de la recta y el normal del plano y con la f´ormula anterior calculamos 90 − α

7.

Distancias

7.1.

Distancia entre dos puntos

Calculamos el m´odulo del vector que los une.

7.2.

Distancia de un punto a un plano Con la f´ormula

Sea el punto P = (x0 , y0 , z0 ) y el plano π ≡ Ax + By + Cz + D = 0 d(P, π) =

|Ax0 + By0 + Cz0 + D| √ A2 + B 2 + C 2

Usando una recta perpendicular

6

7. DISTANCIAS

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Calculamos una recta que pase por P y cuyo vector director sea el normal del plano (A, B, C). Calculamos el punto de corte Q entre el plano y la recta. Distancia de P a Q.

7.3.

Distancia entre dos planos

Comprobamos que su posici´on relativa es planos paralelos distintos. Luego cogemos un punto de uno de los planos y calculamos la distancia al otro con el m´etodo anterior.

7.4.

Distancia entre un punto P y una recta

Lo podemos hacer con el punto gen´erico, recordando que las coordenadas de ese punto son las param´etricas de la recta. O sino: Plano perpendicular a la recta que pase por el punto ( con el haz de planos paralelos ). Punto de corte Q entre la recta y el plano. Distancia entre los puntos P y Q.

7.5.

Distancia entre una recta y un plano

Comprobamos que su posici´on relativa sea de Paralelos no coincidentes.Luego cogemos un punto de la recta y aplicamos distancia de punto a plano.

7.6.

Distancia entre dos rectas paralelas

Cogemos un punto de una de ellas y aplicamos lo anterior.

7.7.

Distancia entre dos rectas que se cruzan

Lo podemos hacer con la t´ecnica del punto gen´erico o bien: Calculamos un vector n que obtendremos con el producto vectorial de los vectores directores de ambas rectas. Calculamos un punto P de una de las dos rectas.

7

´ ´ 8. AREAS Y VOLUMENES

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Calculamos el plano que pasa por P y cuyo vector normal es n. Este plano es un plano perpendicular a ambas rectas y que contiene a una de ellas, luego el plano y la otra recta son paralelos. aplicamos lo anterior. La ecuaci´on del plano que contiene a la recta la pod´ıamos calcular tambi´en haciendo el haz de planos con las ecuaciones impl´ıcitas de una de las rectas, y luego sustituyendo el punto en el haz de plano para calcular α. Recordar que si:   Ax + By + Cz + D = 0 r≡ ⇒ haz de planos Ax+By+Cz+D+α(A0 x+B 0 y+C 0 z+D0 )  0 A x + B 0 y + C 0 z + D0 = 0

8.

´ Areas y vol´ umenes Sean 3 vectores u,v y w. Figura Paralelogramo formado por u , v Tri´angulo formado por u , v Volumen del paralelep´ıpedo Volumen del tetraedro

F´ormula |uxv| 1 |uxv| 2 [u, v, w] 1 [u, v, w] 6