1. Responde a las preguntas: a) b) c) d)

¿Cuántas unidades de mil hay en 400 centenas? ¿Cuántas centenas de millar hay en tres millones y medio? ¿Cuántas decenas hay en 30 centenas? ¿Cuántas unidades de mil hay en 40 decenas de mil?

Solución: a) b) c) d)

En 400 centenas hay 40 unidades de mil. En tres millones y medio hay 35 centenas de millar. En 30 centenas hay 300 decenas. En 40 decenas de mil hay 400 unidades de mil.

2. Expresa en billones, millardos, millones y miles estas cantidades: a) b) c) d)

700 007 700 000 000 6 000 000 006 000 000 5 000 500 005 000 9 675 000 850 000

Solución: a) b) c) d)

Setecientos billones siete millardos setecientos millones Seis mil billones seis millones Cinco billones quinientos millones cinco mil Nueve billones seiscientos setenta y cinco millardos ochocientos cincuenta mil

4. Aproxima a las centenas por redondeo los siguientes números: a) b) c) d)

45 679 386 420 56 789 934 576

Solución: a) b) c) d)

45 700 386 400 56 800 934 600

5. Realiza las siguientes operaciones: a) b) c) d)

56 489 + 96 453 + 75 829 89 567 - 58 469 648 · 64 202 615 : 35

Solución: a) b) c) d)

56 489 + 96 453 + 75 829 = 228 771 89 567 - 58 469 = 31 098 648 · 64 = 41 472 202 615 : 35 = 5 789

6. Calcula: a) 6 + 3 · 5 - 4 · (7 - 2) b) 4 · (7 + 2) - 3 · 9 c) 5 · 6 - (12 - 3) · 2 Solución: a) 6 + 3 · 5 - 4 · (7 - 2) = 6 + 15 - 20 = 1 b) 4 · (7 + 2) - 3 · 9 = 36 - 27 = 9 c) 5 · 6 - (12 - 3) · 2 = 30 - 18 = 12

7. En una papelería, una docena de lápices cuesta 13 €. ¿Cuál es el precio total de la venta de 288 lápices? Solución: 288 : 12 = 24 docenas 24 · 13 = 312 € El precio total es de 312 €. 8. Se reparten 5 650 € entre 15 personas. Las ocho primeras recibieron 400 € cada una y el resto se reparte a partes iguales entre las siete restantes. ¿Cuánto recibió cada una de esas siete personas? Solución: 400 · 8 = 3 200 € las ocho primeras. 5 650 - 3 200 = 2 450 € a repartir entre las siete restantes. 2 450 : 7 = 350 € Cada una de las siete personas recibió 350€.

1. Escribe en forma de potencia los siguientes productos. Indica cuanto valen la base y el exponente en cada uno de los apartados. (1p) a) 3 · 3 · 3 · 3 b) 6 · 6 · 6 · 6 · 6 c) 5 · 5 · 5 · 5 Solución: a) 3

4

5 b) 6 4 c) 5 2. Opera y calcula: (1p) a) 53 b) 72 · 102 c) 62 · 43 Solución: a) 53 = 125 b) 72 · 102 = 49 · 100 = 4 900 c) 62 · 43 = 36 · 64 = 2 304 3. Calcula: (1.5p) a) 34 · (27 : 9)4 b) (902 )2 : (15 · 6)2 c) (6 · 9)3 : 183

Solución: a) 38 b) 902 c) 33 4. Reduce a una sola potencia: (1p) a) (63)3 b) x3 · x4 c)

57 54

Solución: a) (63)3 = 63 · 3 = 69 b) x3 · x4 = x3 + 4 = x7 c)

57 = 57 − 4 = 53 54

5. Calcula, por tanteo, la raíz entera de: (1.5p) a)

155

b)

275

c)

450

Solución: a)

155

122 = 144 → 144 < 155 132 = 169 → 169 > 155 155 ≈ 12

b)

275

162 = 256 → 256 < 275 172 = 289 → 289 > 275 275 ≈ 16

c)

450

212 = 441 → 441 < 450 222 = 484 → 484 > 450 450 ≈ 21

6. Calcula la raíz cuadrada y el resto, usando el algoritmo para el cálculo de la raíz cuadrada. (1.5p) a)

3 525

b)

2 730

c)

16 450

Solución: a)

3525 = 59 y resto 44

b)

2730 = 52 y resto 26

c)

16 450 = 128 y resto 66

7. Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Si es falsa, indica por qué y/o pon un contra-ejemplo. (1p) a. Un número es un cuadrado perfecto si se obtiene multiplicando por 2 ese número. b. 81 es un cuadrado perfecto. c. Tras calcular la raíz cuadrada de un número, el resto no puede ser mayor que la propia raíz. d. En la potencia, 53, la base vale 3 y el exponente 5. Solución: a) Falso. Es un cuadrado perfecto si se obtiene elevando a 2 un número. Ejemplo: 5 2 = 25 es un cuadrado perfecto. b) Verdadero. 92 = 81 c) Falso. Ejemplo: La raíz cuadrada de 57 vale 7 y el resto 8 (que es mayor que 7). 57= 72 + 8 d) Falso. La base vale 5 y el exponente 3. 8. Problema: Ana ha comprado 4 cajas de bombones. Cada caja tiene 4 filas con 4 bombones cada una. ¿Cuántos bombones hay en las 4 cajas en total? Si cada bombón cuesta 10 céntimos de euro, ¿Cuántos céntimos de euro ha tenido que pagar Ana? (1.5p) a) 43 = 64 bombones. b) 64 bombones · 10 céntimos cada uno = 640 céntimos.

1. ¿Cuál o cuáles de estos números son múltiplos de 12? Explica por qué: (0.75p) a) 96 b) 54 c) 84 Solución: a) 96 → Sí, porque el cociente es exacto: 96 : 12 = 8. b) 54 → No, porque el cociente no es exacto: 54 : 12 = 4,5. c) 84 → Sí, porque el cociente es exacto: 84 : 12 = 7. 2. Calcula todos los divisores de los siguientes números, indicando el proceso que has seguido para obtenerlos: (1p) a) 30 b) 15 Solución: a) Divisores de 30 → 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 b) Divisores de 15 → 1, 3, 5, 15 3. Identifica cuáles de estos números son primos y explica por qué: (0.5p) a) 19 b) 8 c) 25 d) 29 Solución: Son primos el 19 y el 29 porque solo son divisibles por sí mismos y por la unidad. 4. Observa estos números y completa: (1p) 15

18

25

Múltiplos de 2: Múltiplos de 3: Múltiplos de 5: Múltiplos de 10:

30

37

40

42

45

70

75

Solución: Múltiplos de 2: 18, 30, 40, 42 y 70 Múltiplos de 3: 15, 18, 30, 42, 45 y 75 Múltiplos de 5: 15, 25, 30, 40, 45, 70 y 75 Múltiplos de 10: 30, 40 y 70 5. Descompón en factores primos: (0.75p) a) 12 b) 36 c) 450 Solución: a) 12 6 3 1

2 2 3

12 = 22 ⋅ 3

b)

36 18 9 3 1

2 2 3 3

36 = 2 2 ⋅ 3 2 c) 450 225 75 25 5 1

2 3 3 5 5

6. Calcula por el método artesanal: (0.75p) a) máx.c.d. (20, 25) b) máx.c.d. (12, 16) c) máx.c.d. (9, 27) Solución: a) máx.c.d. (20, 25) Divisores de 20 → 1, 2, 4, 5, 10, 20 Divisores de 25 → 1, 5, 25 máx.c.d. (20, 25) = 5 b) máx.c.d. (12, 16) Divisores de 12 → 1, 2, 3, 4, 6, 12 Divisores de 16 → 1, 2, 4, 8, 16 máx.c.d. (12, 16) = 4 c) máx.c.d. (9, 27) Divisores de 9 → 1, 3, 9 Divisores de 27 → 1, 3, 9, 27 máx.c.d. (9, 27) = 9 7. Calcula descomponiendo en factores primos (método óptimo): (1.5p) a) mín.c.m. (12, 24, 36) b) máx.c.d. (28, 36)

450 = 2 ⋅ 3 2 ⋅ 5 2

Solución: a) 12 2 6 3 1

12 = 22 ⋅ 3

2 3

24 2

24 = 23 ⋅ 3

12 2 6 2 3 3

36 2

36 = 22 ⋅ 3 2

18 2 9 3 3 3

1

1

mín.c.m. (12, 24, 36) = 23 · 32 = 72 b) 28 2

28 = 22 ⋅ 7

14 2 7 7 1

36 2

36 = 22 ⋅ 3 2

18 2 9 3 3 3 1

máx.c.d. (28, 36) = 22 = 4 8. Problema. ¿Se puede llenar un número exacto de garrafas de 15 litros con un bidón que contiene 170 litros? ¿Y con un bidón de 180 litros? ¿Cuántas garrafas se pueden llenar? (1.25p) Solución: 170 : 15 = 11,3 → No se puede porque el cociente no es exacto. 180 : 15 = 12 → Con 180 litros se llenan, exactamente, 12 garrafas de 15 litros.

9. Problema. Un granjero ha recogido de sus gallinas 30 huevos morenos y 80 huevos blancos. Quiere envasarlos en recipientes con la mayor capacidad posible y con el mismo número de huevos (sin mezclar los blancos con los morenos). ¿Cuántos huevos debe poner en cada recipiente? (1.25p) Solución: 30 2

80 2

15 3 5 5

40 2 20 2

1

10 2 5 5 1

máx.c.d. (30, 80) = 2 · 5 = 10 En cada recipiente debe poner 10 huevos.

10. Problema. Un cine tiene un número de asientos comprendido entre 200 y 250. Sabemos que el número de entradas vendidas para completar el aforo es múltiplo de 4, de 6 y de 10. ¿Cuántos asientos tiene el cine? (1.25p) Solución: 4

2

6

2

10

2

2 1

2

3 3 1

5 1

5

2 mín.c.m. (4, 6, 10) = 2 · 3 · 5 = 60 Como el número de asientos está comprendido entre 200 y 250, buscamos un múltiplo de 60 que cumpla esa condición: 60 · 1 = 60 60 · 2 = 120 60 · 3 = 180 60 · 4 = 240 60 · 5 = 300 El cine tiene 240 asientos.

1. Escribe el número que mejor representa la situación que se plantea: (1p) a) Bajamos al sótano 4. b) Pitágoras, nació en el año 582 antes de Cristo. c) El submarino se encuentra a 120 metros bajo el mar. d) En Burgos, el termómetro marcaba 4º C bajo cero Solución: a) -4 c) -120

b) -582 d) -4

2. Ordena: (1p) a) De mayor a menor la siguiente tabla de temperaturas: +6ºC -5ºC -4ºC +2ºC +1ºC -9ºC b) Cronológicamente, los siguientes años: 1540 aC 208dC 150 aC 33dC 107 aC 2009 dC Solución: a) +6 > +2 > +1 > -4 > -5 > -9 b) 1540 aC < 150 aC < 107 aC < 33 dC < 208 dC < 2009 dC

3. Calcula el valor absoluto y el número opuesto de cada uno de los 6 números enteros de la serie a) del ejercicio anterior. (1p) Solución: a) b) c) d) c) d)

|+ 6|= +6 |- 5|= +5 |- 4|= +4 |+ 2|= +2 |+ 1|= +1 |- 9|= +9

y y y y y y

Opuesto de ( + 6)= - 6 Opuesto de ( - 5)= + 5 Opuesto de (- 4)= +4 Opuesto de (+2)= - 2 Opuesto de (+ 1)= - 1 Opuesto de (- 9)= + 9

4. Resuelve escribiendo el proceso seguido paso a paso: (1.5p) a) ( −3 + 7 ) · [ ( + 4 ) + ( + 5 ) : ( 3 + 7 − 5 ) ] b) [ ( − 4 ) + ( − 5 ) · ( − 5 + 7 − 4 ) ] : ( − 2 + 4 ) Solución: a) ( + 4) · [ ( + 4 ) + ( + 5 ) : ( + 5 ) ] = ( + 4) · [ ( + 4 ) + ( + 1) ] = ( + 4) · [ ( + 5 ) ] = + 20 b) [ ( − 4 ) + ( − 5 ) · ( − 5 + 7 − 4 ) ] : ( − 2 + 4 ) = [ ( − 4 ) + ( − 5 ) · ( − 2 ) ] : ( + 2 ) = [ ( − 4 ) + ( + 10 ) ] : ( + 2 ) = [ ( + 6 ) ] : ( + 2 ) = + 3

5. Problema: Una empresa dedicada a la fabricación y distribución de calzado hace este resumen de la evolución de sus finanzas a lo largo del año: (1.5p) ENERO-JUNIO JULIO-AGOSTO SEPTIEMBRE OCTUBRE-DICIEMBRE

Ganancias de 7230 € mensuales Pérdidas de 5275 € mensuales Ganancias de 2800 € Pérdidas de 4160 € mensuales

¿Cuál fue el balance final del año? Solución: ( + 7230 ) · 6 + (– 5275) · 2 + ( + 2800 ) · 1 + (– 4160) · 3 = + 23150 En el año ganó 23150 €. Ha sido un buen año para la empresa puesto que ha obtenido beneficios, no pérdidas. 6. Problema: Estudia los movimientos de la cuenta y calcula el saldo que tenía el 6 de noviembre (6–XI), sabiendo que el 15 de octubre (15–X) tenía un saldo positivo en su cuenta de 372 €. (1.5p)

Solución: Su saldo era de 372 – (150 + 84 + 100 + 572 + 65) + (2 + 1 284) = 687 €.

7. Problema: 1) ¿Cuántos años vivió una persona que nació en el año 123 antes de Cristo y murió en el año 87 antes de Cristo? (0.5p) 2) Una persona que nació en el año 22 antes de Cristo y murió en el año 13 después de Cristo ¿Cuántos años vivió? (0.5p) Solución: 1) Años que vivió = Año en que murió – Año en que nació = - 87 - ( - 123 ) = - 87 + 123 = + 36 años vivió. 2) Años que vivió = Año en que murió – Año en que nació = + 13 - ( - 22 ) = + 13 + 22 = + 35 años vivió. 8. Problema: El AVE realiza dos paradas durante el trayecto entre Sevilla y Madrid. Inicia el recorrido con 180 pasajero/as. En la primera parada, en Córdoba, se bajan 32 personas y se montan 27. En la segunda parada, en Ciudad Real, se montan 32 personas y se bajan 28. ¿Cuántos pasajero/as tendrán el tren al llegar a su punto de destino? ¿Cúal ha sido la diferencia de pasajero/as entre el origen y el destino? (1.5p) Solución: Inicial el recorrido: 180 pasajeros Suben: 27 en la 1ª parada y 32 en la 2ª parada → 27 + 32 = 59 personas suben. (+) Bajan: 32 en la 1ª parada y 28 en la 2ª parada → 32 + 28 = 60 personas bajan. (-) Llegan al final del recorrido: 180 + 59 – 60 = 179 pasajeros.