1

Técnicas elementales para el cálculo de límites

1.1

Límites de una función en un punto

Todas las funciones elementales son continuas en todos los puntos en los que están definidas. Por lo tanto; para calcular el límite de una función elemental en un punto de su dominio, bastará con sustituir la x por el punto x0 . lim f (x) = f ( lim x) = f (x0 ) x→x0

x→x0

El problema aparece al calcular el límite de una función elemental en un punto en el que no está definida. Las situaciones que se pueden presentar son las siguientes: a) ∃ lim f (x) = a (un n´ umero real) x→xo

Definición lim f (x) = a ⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 /si 0 < |x − xo | < δ ⇒ x→xo

|f (x) − l| < ε ⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 /si x ∈ (xo − δ, xo + δ) ∼ {xo } ⇒ f (x) ∈ (l − ε, l + ε) Ejemplo lim (3x2 + 3) = 15 x→2

b) lim f (x) = +∞ x→xo

Definición

lim f (x) = +∞ ⇔ ∀k > 0( tan grande como queramos) ∃δ > 0

x→xo

/si 0 < |x − xo | < δ ⇒ f (x) > k ⇔ ∀k > 0( tan grande como queramos) ∃δ > 0/si x ∈ (xo − δ, xo + δ) ∼ {xo } ⇒ f (x) ∈ (k, +∞) 7 = +∞ (La recta x = 2 es una asíntota vertical (ramas Ejemplo lim x→2 (x − 2)2 7 convergentes) de la gráfica de la función f (x) = ) (x − 2)2 c) lim f (x) = −∞ x→xo

Definición

lim f (x) = −∞ ⇔ ∀k > 0( tan grande como queramos) ∃δ > 0

x→xo

/si 0 < |x − xo | < δ ⇒ f (x) < −k ⇔ ∀k > 0 ( tan grande como queramos) ∃δ > 0/si x ∈ (xo − δ, xo + δ) ∼ {xo } ⇒ f (x) ∈ (−∞, −k) −7 = −∞ (La recta x = 2 es una asíntota vertical (ramas Ejemplo lim x→2 (x − 2)2 −7 convergentes) de la gráfica de la función f (x) = ) (x − 2)2 d) No exista lim f (x) x→xo

1 Ejemplo: lim sin( ) no existe x→0 x Como las funciones se pueden operar entre sí utilizando las operaciones elementales de suma, resta, multiplicación y división; pueden darse situaciones en las que el límite se puede calcular directamente; para lo cual tendrás que recordar:

1

 lim (f (x) ± g(x)) = a ± b    x→xo lim f (x) = a x→xo lim (f (x) · g(x)) = a · b =⇒ x→xo ³ ´ lim g(x) = b   x→xo  lim f (x) = a siempre que b 6= 0 g(x) x→xo b  lim (f (x) ± g(x)) = +∞    x→xo ½    +∞ si a > 0  )  lim (f (x) · g(x)) =  x→xo lim f (x) = a −∞ si a < 0 x→xo ³ ´ =⇒ a f (x) lim g(x) = +∞  lim g(x) = =0  x→xo  x→xo  ½  ³ ´ +∞  +∞ si a > 0   lim g(x) = +∞ =  −∞ si a < 0 x→xo f (x) a  lim (f (x) ± g(x)) = −∞   x→xo  ½    −∞ si a > 0  )  lim (f (x) · g(x)) =  x→xo lim f (x) = a +∞ si a < 0 x→xo ³ ´ =⇒ a f (x) lim g(x) = −∞  lim g(x) = =0  x→xo  x→xo  ½  ³ ´ −∞  −∞ si a > 0   lim g(x) = −∞ =  +∞ si a < 0 x→xo f (x) a ) ³ ´ lim f (x) = a (a 6= 0) a (x) x→xo = .Diremos que la función entonces lim fg(x) lim g(x) = 0 x→xo 0 x→xo presenta para x = xo una discontinuidad de salto infinito. La recta x = xo es una asíntota vertical de la gráfica de la función. Siempre tendremos que estudiar los límites laterales; pudiéndose presentar las siguientes situaciones: ½ a +∞ si a > 0 = 0+ ½ −∞ si a > 0 a −∞ si a > 0 = +∞ si a > 0 0− )

lim f (x) = 0

x→xo

lim g(x) = 0

x→xo

)

lim f (x) = 0+

x→xo

lim g(x) = +∞

x→xo

lim f (x) = 0−

x→xo

lim g(x) = +∞

x→xo

lim f (x) = 0−

x→xo

lim g(x) = −∞

x→xo

lim

entonces

x→xo

0 f (x) = g(x) 0 es una indeterminación

)

x→xo

)

x→xo

entonces

entonces

)

entonces

lim

f (x) = 0+ g(x)

lim

f (x) = 0− g(x)

lim

f (x) = 0+ g(x)

x→xo

2

lim f (x) = 0+

x→xo

lim g(x) = −∞

x→xo

)

lim

entonces

lim f (x) = +∞( o − ∞)

x→xo

lim g(x) = 0

x→xo

x→xo

f (x) = 0− g(x)

)

lim f (x)g(x) = 0 · (+∞) es una indeentonces x→xo

terminación lim f (x) = +∞( o − ∞)

)

³

´

+∞ .Diremos que la 0 x→xo función presenta para x = xo una discontinuidad de salto infinito. La recta x = xo es una asíntota vertical de la gráfica de la función. Siempre tendremos que estudiar los límites laterales; pudiendose presentar las siguientes situaciones: +∞ = +∞ 0+ +∞ = −∞ 0−  lim (f (x) + g(x)) = +∞   x→xo    ) lim (f (x) − g(x))=+∞ − (+∞)   x→xo lim f (x) = +∞ es indeterminación x→xo =⇒ lim (f (x) · g(x)) = +∞ lim g(x) = +∞  x→xo ³  x→xo  ´ +∞   f (x)   lim g(x) = x→xo +∞ es indeterminación  lim (f (x) − g(x)) = −∞   x→xo    ) lim (f (x) + g(x))=−∞ + ∞)   x→xo lim f (x) = −∞ es indeterminación x→xo =⇒ lim (f (x) · g(x)) = −∞ lim g(x) = +∞   x→xo ³ x→xo  ´ −∞   f (x)   lim g(x) = x→xo +∞ es indeterminación x→xo

lim g(x) = 0

entonces lim

x→xo

f (x) g(x)

=

Las únicas situaciones en las que no podemos afirmar el valor del límite, son 0 ∞ las indeterminaciones siguientes: , 0 · ∞, , ∞ − ∞ 0 ∞ El objetivo de estos apuntes es saber como eliminar esas indeterminaciones y calcular el correspondiente límite Theorem 1 (Funciones que coinciden en todos sus puntos menos en uno) Sea x0 un número real y sean f y g dos funciones que coinciden en todos los puntos de un entorno de x0 , salvo quizás en x0 . Entonces, si existe el limite de una de ellas en x0 , también existe el límite de la otra y además son iguales ) f (x) = g(x) para todo x ∈ Eδ ∗ (x0 ) =⇒ lim f (x) = lim g(x) ∃ lim f (x) (o lim g(x)) x→x0 x→x0 x→x0

x→x0

3

Demostración Supongamos que existe el lim f (x) = l . Entonces, por la definición, se x→x0

tiene que para cada ε > 0 existe un δ > 0 (depende de ε) tal que: ∈ Eε(l) siempre que x ∈ Eδ ∗ (x0 ) m |f (x) − l| < ε siempre que 0 < |x − x0 | < δ f (x)

Ahora bien, como f (x) = g(x) para todo x ∈ Eδ ∗ (x0 ) =]x0 − δ, x0 + δ[∼ {x0 }entonces resulta que: ∈ Eε(l) siempre que x ∈ Eδ ∗ (x0 ) m |g(x) − l| < ε siempre que 0 < |x − x0 | < δ g(x)

Por lo tanto; lim g(x) = l x→x0

a) Técnicas de cancelación Se aplica en las funciones racionales cuando nos encontramos con una inde0 terminación del tipo 0 P (x) P (x0 ) 0 P (x) Sea f (x) = y supongamos que lim = = x→x0 Q(x) Q(x) 0 ¾ Q(x0 ) P (x0 ) = 0 ⇐⇒ P (x) = (x − x0 ) · P1 (x) Al ser =⇒ Por el teorema anQ(x0 ) = 0 ⇐⇒ Q(x) = (x − x0 ) · Q1 (x) terior, podemos cancelar el factor (x − x0 ) en el numerador y denominador y aplicar la sustitución directa. Pudiendose presentar las siguientes posibilidades • Si Q1 (x0 ) 6= 0 P1 (x0 ) P (x) (x − x0 ) · P1 (x) P1 (x) = lim = lim = Q(x) x→x0 (x − x0 ) · Q1 (x) x→x0 Q1 (x) Q1 (x0 ) Fíjate, que para x = x0 la función f presenta una discontinuidad evitable; ya que no existe f (x0 ) y sin embargo si que ∃ lim f (x). La gráfica de la función lim f (x) = lim

x→x0

x→x0

x→x0

P1 (x) y = f (x) coincide con la de la función y = si a ésta le quitamos el punto Q1 (x) P1 (x0 ) P (x0 , ). Q1 (x0 ) • Si P1 (x0 ) 6= 0 y Q1 (x0 ) = 0 P (x) (x − x0 ) · P1 (x) P1 (x) P1 (x0 ) = lim = lim = Q(x) x→x0 (x − x0 ) · Q1 (x) x→x0 Q1 (x) 0 Procederemos a estudiar los límites laterales; ya que la recta x = x0 es una asíntota vertical y siempre nos interesa conocer el comportamiento de la función en un entorno reducido de centro x0 y radio tan pequeño como deseemos. lim f (x) = lim

x→x0

x→x0

4

En esta situación, diremos que la función f presenta en x0 una discontinuidad de salto infinito • Si P1 (x0 ) = 0 y Q1 (x0 ) = 0 Volveremos a factorizar y cancelar, pudiéndose dar cualquiera de las dos situaciones anteriores Ejemplo1 Calcula lim

x→−1

x2 + 3x + 2 x2 + 3x + 2 y lim 2x2 + 3x + 1 x→− 1 2x2 + 3x + 1 2

x2 + 3x + 2 como 2x2 + 3x + 1 = (x + 1) (2x + 1) entonces su 2x2 + 3x + 1 dominio de definición (y de continuidad) es: ½ ¾ 1 D(f ) = < ∼ − , −1 2 Sea f (x) =

0 x2 + 3x + 2 = x→−1 2x2 + 3x + 1 0 x2 + 3x + 2 (x + 2) (x + 1) (x + 2) lim = lim = lim = −1 x→−1 2x2 + 3x + 1 x→−1 (x + 1) (2x + 1) x→−1 (2x + 1) La función presenta para x = −1 una discontinuidad evitable. La gráfica de (x + 2) si le quitamos a la función y = f (x) coincide con la de la función y = (2x + 1) ésta el punto de coordenadas P (−1, −1). 1 3 3 x2 + 3x + 2 4 − 2 +2 4 2) lim = = 1 2x2 + 3x + 1 0 0 x→− 1) lim

2

1 Sabemos que la función presenta para x = − una discontinuidad de salto 2 1 infinito. Además la recta x = − es una asíntota vertical. 2 Nos interesa estudiar el comportamiento de la función en un entorno reducido 1 de − . Para lo cual, tendremos que estudiar sus límites laterales. 2 3 x2 + 3x + 2 (x + 2) (x + 1) 4 = +∞ lim = lim = ´ ´ ³ ³ + 0 1 + 2x2 + 3x + 1 1 + (x + 1) (2x + 1) x→ − x→ − 2

³lim ´ − 1 x→ − 2

2

3 x2 + 3x + 2 (x + 2) (x + 1) 4 = −∞ = lim = ´ ³ 2x2 + 3x + 1 x→ − 1 − (x + 1) (2x + 1) 0− 2

Mira ahora su gráfica

5

30 20 10 -4

-2

00

2

x

4

-10 -20 -30

Ejemplo2 Calcula lim

x→3

x−3 x−3 x−3 , lim , lim x2 − 9 x→−3 x2 − 9 x→2 x2 − 9

x−3 como x2 − 9 = (x − 3) (x + 3) entonces su dominio de x2 − 9 definición (y de continuidad) es: Sea f (x) =

D(f ) = < ∼ {−3, 3} 0 x−3 = x2 − 9 0 1 x−3 x−3 1 lim 2 = lim = lim = x→3 x − 9 x→3 (x − 3) (x + 3) x→3 x + 3 6 La función presenta para x = 3 una discontinuidad evitable. La gráfica de 1 la función y = f (x) coincide con la de la función y = si le quitamos a x+3 1 ésta el punto de coordenadas P (3, ). 6 −6 x−3 2) lim 2 = x→−3 x − 9 0 Sabemos que la función presenta para x = −3 una discontinuidad de salto infinito. Además la recta x = −3 es una asíntota vertical. Como nos interesa estudiar el comportamiento de la función en un entorno reducido de −3. Tendremos que estudiar sus límites laterales. −6 x−3 x−3 lim + 2 = lim + = + = −∞ 0 x→(−3) x − 9 x→(−3) (x − 3) (x + 3) x−3 x−3 −6 lim = lim + = − = +∞ 2 0 x→(−3)− x − 9 x→(−3) (x − 3) (x + 3) 1) lim

x→3

6

Mira ahora su gráfica

30 20 10 -6

-4

x

00

-2

2

4

-10 -20 -30

1 x−3 = x2 − 9 5 b) Técnicas de racionalización Se aplica en las funciones irracionales cuando nos encontramos con una in0 determinación del tipo o del tipo ∞ − ∞. 0 En el caso de que aparezcan raíces cuadradas, multiplicaremos numerador y denominador por el conjugado. En el caso de que aparezcan raíces de índice distinto de 2, utilizaremos la relación: An − B n = (A − B)(An−1 + An−2 B + ..... + AB n−2 + B n−1 ) que nos permite expresar A − B de la siguiente manera: 3) lim

x→2

A−B =

An − B n An−1 + An−2 B + ..... + AB n−2 + B n−1

√ x − 32 5 √ √ x−2= √ √ 5 5 5 4 3 x + 2 x + 4 x2 + 8 5 x + 16 √ x − 81 4 √ x−3= √ √ 4 4 x3 + 3 x2 + 9 4 x + 27 √ x−1 3 √ √ x−1= √ 3 x+ 3x+ 3x+1 √ √ x+1−2 x+1−2 Ejemplo1 Calcula lim , lim + x→3 x−3 x−3 x→(−1) Ejemplos:

es:

√ x+1−2 Dada la función y = su dominio de definición (o de continuidad) x−3 7

D(f ) =√ {x ∈ 0 tal que |g(x)| < k siempre que 0 < |x − xo | < δ1 ε Como lim f (x) = 0 =⇒Para cada ε > 0 ∃δ > 0 tal que |f (x)| < siempre x→xo k que 0 < |x − xo | < δ   ε     |f (x)| < k siempre que Dado ε > 0 ∃δ2 = min {δ, δ1 } > 0 tal que y     |g(x)| < k 0 < |x − xo | < δ2 . Con lo que: ³ ´ ε Dado cualquier ε > 0 ∃δ2 > 0 / |f (x)g(x)| < |g(x)| < ε siempre que 0 < |x − xo | < δ2 k ⇔ lim (f (x) · g(x)) = 0 x→xo

Ejemplo1 Calcula lim x cos x→0

¡1¢ x

¡ ¢ Sea h(x) = x cos x1 Su dominio de definición (o de continuidad) es D(h) = < ∼ {0} ) ¡ ¢ lim x = 0 Como ¯x→0 ¡ 1 ¢¯ =⇒ lim x cos x1 = 0 ¯cos ¯ 5 1 ∀x ∈ < ∼ {0} x→0 x

Ejemplo2 Calcula lim x sin x→0

¡1¢ x

¡ ¢ Sea h(x) = x sin x1 Su dominio de definición (o de continuidad) es D(h) = < ∼ {0} ) ¡ ¢ lim x = 0 =⇒ lim x sin x1 = 0 Como ¯x→0 ¡ 1 ¢¯ ¯ 5 1 ∀x ∈ < ∼ {0} ¯sin x→0 x

Otros límites se pueden resolver utilizando el criterio del emparedado, que a continuación se explica: Theorem 3 Criterio del emparedado Hipótesis: a)Sean f, g y h tres funciones definidas en un intervalo abierto I y sea xo ∈ I de tal manera que f (x) 6 g(x) 6 h(x) ∀x ∈ I ∧ x 6= xo . b) Si lim f (x) = lim h(x) = l x→xo

x→xo

Tesis: lim g(x) = l x→xo

17

Demostración: Para todo x 6= xo ∧ x ∈ I, se tiene que |g(x) − l| = |g(x) − f (x) − (l − f (x))| 6 |g(x) − f (x)| + |f (x) − l| 6 |h(x) − f (x)| + |f (x) − l| pues |g(x) − f (x)| 6 |h(x) − f (x)|hipótesis a 6 |h(x) − l − (f (x) − l)| + |f (x) − l| 6 |h(x) − l| + 2 |f (x) − l| (1) Sea ε > 0, por ser lim f (x) , ∃δ1>o tal que si : x→xo

0 < |x − xo | < δ1 entonces |f (x) − l| <

ε 4

(*)

ε 2

(**)

por ser lim h(x) , ∃δ2>o tal que si : x→xo

0 < |x − xo | < δ2 entonces |h(x) − l| <

luego, tomando δ = min {δ1 , δ2 } , si 0 < |x − xo | < δ entonces de (1) que: |g(x) − l| 6 |h(x) − l| + 2 |f (x) − l| <

ε ε +2· =ε 2 4

de donde: lim g(x) = l

x→xo

Ejemplo1 Demuestra que lim

x→0

sin x =1 x

Demostración: Si x > 0 → 0 < sin x < x < tan x →

1 1 1 < < tan x x sin x Multiplicando esta desigualdad por sinx (sinx > 0) tendremos: sin x tan x

<

sin x