1 - TEORIA DE ERRORES : distribución de frecuencias CONTENIDOS Distribución de Frecuencias. Histograma. Errores de Apreciación. Propagación de errores. OBJETIVOS
Representar una serie de datos mediante un histograma
Determinar los errores de apreciación de diversos instrumentos disponibles y establecer el alcance de los mismos.
Determinar la propagación de errores de magnitudes físicas calculadas a partir de mediciones experimentales directas.

I.1

FUNDAMENTOS TEÓRICOS

Los fundamentos teóricos de este práctico se detallan en el apunte “Teoría de Errores” del Departamento de Física, aquí sólo se verán algunos conceptos sobre datos agrupados y distribución de frecuencias. I.1.1

Distribuciones de Frecuencia

Hay varios modelos característicos de distribución de frecuencias, la más común de las cuales es la distribución simétrica acampanada, o distribución normal. Hay también distribuciones sesgadas (más alargadas en un extremo que en otro), distribuciones en forma de L, distribuciones en forma de U y otras. Podemos hacer distribuciones de frecuencia cualitativas y cuantitativas. Si la forma de una distribución de frecuencia es de particular interés, muchas veces puede ser deseable presentar la distribución en forma gráfica cuando se discuten los resultados. Generalmente esto se hace por medio de diagramas de frecuencia de los que hay dos tipos comunes. Para una distribución de datos merísticos o discretos utilizamos un diagrama de barras. La abscisa representa la variable, y la ordenada las frecuencias. La característica importante de este diagrama es que las barras no se tocan, lo que indica que la variable no es continua. En cambio, las variables continuas se representan gráficamente por medio de un histograma, en el cual la amplitud de cada barra a lo largo de la abscisa representa un intervalo de clase de la distribución de frecuencias y las barras se tocan para mostrar que los límites reales de las clases son contiguos. El punto medio de la barra corresponde a la marca de clase y la altura de la barra representa la frecuencia de clase. Para demostrar que los histogramas son aproximaciones apropiadas para las distribuciones continuas que se encuentran en la naturaleza, podemos tomar un histograma y hacer más estrechos los intervalos de clase, produciendo más clases. Entonces el histograma claramente se ceñirá más a una distribución continua. Podemos continuar este proceso hasta que los intervalos de clase se aproximen al límite de amplitud infinitesimal. En este momento el histograma se convierte en la distribución continua de la variable.

1

I.1.2

Distribución de frecuencias de variables continuas La función de densidad de probabilidad normal puede representarse por: Z=

1

σ *

2π

*

e−

(x i − x ) 2

2σ

2

Z es la altura de la ordenada de la curva que representa la densidad de los ítems. Es la variable dependiente de la expresión, siendo función de la variable x . En una función de densidad de probabilidad normal hay dos parámetros, la media paramétrica x y la desviación típica paramétrica σ que determinan la situación y forma de la distribución. Hay una infinidad de curvas ya que estos parámetros pueden tomar una infinidad de valores. Una variable distribuida según la ley normal puede tomar cualquier valor sea grande o pequeño, aunque los valores más distantes de la media en más o menos 3 veces la desviación típica son bastantes improbables siendo muy escasas sus frecuencias relativas esperadas. Esto se ve en la ecuación, cuando x es muy grande o muy pequeño, el término

e

(

− xi − x

)2

2σ

2

será muy pequeño y por esta razón Z será muy bajo.

La curva es simétrica en torno a la media. En una distribución de frecuencias normal los siguientes porcentajes de ítems están dentro de los límites indicados:

µ ± σ contiene el 68,26 % de los ítems µ ± 2σ contiene el 95,46 % de los ítems µ ± 3σ contiene el 99,73 % de los ítems Recíprocamente:

I.1.3

El 50% de los ítems están entre µ ± 0,674 σ El 95% de los ítems están entre µ ± 1,960 σ S El 99% de los ítems están entre µ ± 2,576 σ

Datos Agrupados y Distribución de Frecuencias

Aunque un conjunto de observaciones puede hacerse más comprensible y más significativo por medio de un arreglo ordenado, es más útil el resumen que se obtiene mediante la agrupación de datos. Al agrupar un conjunto de observaciones se debe seleccionar un conjunto de intervalos contiguos que no se traslapen, para que cada valor en el conjunto de observaciones pueda ser puesto en uno y sólo uno de los intervalos. Estos intervalos normalmente se identifican como intervalos de clase. Una de las primeras consideraciones cuando se agrupan datos es la de cuántos intervalos se deben incluir. Resulta inadecuado incluir pocos intervalos, porque se pierde información. Por otra parte, si se utilizan muchos intervalos, el objetivo de resumir no se obtiene. Para ello, lo más importante es conocer los datos. Una regla empírica habitualmente seguida establece que deben ser entre 6 y 15 intervalos. Si hay menos de 6 intervalos, los datos se han resumido en exceso y la

2

información que contienen se pierde. Si hay más de 15 intervalos, no se han resumido lo suficiente los mismos. Hay guías más específicas para decidir cuántos intervalos de clase son necesarios. Para ello se puede utilizar la fórmula propuesta por Sturges: k = 1 + 3,322(log10 n) (I) donde: k = es el número de intervalos de clase n = es el número de valores en el conjunto de datos en observación. La respuesta que se obtiene aplicando esta fórmula no es definitiva y se debe tomar como guía. El número de intervalos de clase especificado por la regla deberá incrementarse o disminuirse por conveniencia y para lograr una presentación más clara. También se debe tener en cuenta la dimensión del intervalo de clase. Generalmente tienen la misma dimensión. Esta se determina mediante la división de la amplitud R (diferencia entre la observación más pequeña y la más grande dentro del conjunto de datos) y k. w=

R (II) k

Generalmente, este procedimiento deja una dimensión que no es conveniente para su uso y nuevamente se debe utilizar el sentido común para elegir la dimensión (normalmente cercana con la que se obtiene con la ecuación anterior) que resulte ser la más conveniente (tamaño de clase).

PROCEDIMIENTOS

I.2 A)

Confección de un Histograma – Metodología de la Experiencia

1. Efectuar un número grande de mediciones (Ver apéndice I Ejercicios de aplicaciones específicos para cada área) sobre una determinada muestra con el instrumento que se elija para realizar la experiencia. 2. Tomando el menor y el mayor valor ordenar en forma creciente o decreciente todos los posibles valores entre el máximo y el mínimo. 3. Obtener la frecuencia correspondiente a cada valor. 4. Graficar el diagrama de bastones llamado también “Histograma de frecuencia de la variable” 5. Agrupar los valores posibles en “clases” seleccionando el tamaño de clase más conveniente. 6. Hallar la frecuencia de clase. 7. En los gráficos anteriores observar cuales son los valores que aparecen con más frecuencia, donde está el porcentaje más importante, y si el crecimiento y la forma en que decrecen son bastantes simétricos. 8. ¿En cuál de los dos gráficos se visualiza mejor lo solicitado en el punto anterior? 9. ¿Si tomara un número de clases muy pequeño (gran tamaño de clase) que pasa con la información? B) Determinación del error de apreciación de algunos instrumentos 1. 2. 3.

Observe la unidad de medida de cada uno de los instrumentos disponibles. Determine el valor de la menor división de la escala y el alcance de los mismos. Consigne los datos en una tabla de la siguiente forma:

3

TABLA N°°1 ERRORES DE APRECIACION Y DE DIVERSOS INSTRUMENTOS

N°°

INSTRUMENTO

UNIDAD

MENOR DIVISION

1 2 3 4 5

C) Medicion directa de magnitudes físicas 1. Mida con una regla el largo de la hoja de esta guía y el espesor de un cuerpo cualquiera 2. Exprese los valores leídos con tantas cifras decimales como el instrumento lo permita.

l = ................................. a = ................................ 3. De acuerdo a “Teoría de Errores” del Departamento de Física, consigne: a) El error de apreciación: ∆ l = .......................... ∆ a = ......................... b) El resultado de la medición. 4. Dibuje en ambos casos el intervalo del error en el cual está comprendido el valor de la magnitud medida. 5. Para cada instrumento de los que disponga (regla, calibre, tornillo micrométrico, termómetro, probeta, voltímetro, amperímetro, etc.) mida la magnitud correspondiente y determine los valores de las mediciones con su correspondiente error. 6.

Consigne los valores en una tabla como la que se muestra: TABLA N° 2 MEDICION DIRECTA DE MAGNITUDES FISICAS

MAGNITUD MEDIDA TIPO

UNIDAD

INSTRUMENTO UTILIZADO TIPO

ALCANCE

APRECIACION INSTRUMENTO

VALOR MEDIDO

∆x

x

4

ERROR RELATIVO ER= ∆x/x

ER %

RESULTADO DE LA MEDICION

x = x ± ∆x

7. Compare los errores relativos de la tabla anterior. 8. Mida el perímetro y calcule el área de la hoja. Aplique propagación de errores para expresar los resultados de ambas mediciones. 9. Calcule el volumen de un cuerpo y exprese el resultado con su correspondiente error.

Apéndice I Ejercicios de aplicaciones específicos para cada área Histograma - Polígono de Frecuencia Ejercicio de Aplicación N° 1 (Bioquímica, Farmacia, Laboratorista y Genética) La tabla siguiente muestra los pesos en onzas de los tumores malignos extirpados del abdomen de 57 pacientes. 68

27

32

12

25

44

25

36

31

45

51

49

27

38

24

23

49

27

30

63

30

28

27

24

65

74

42

28

12

12

38

31

21

69

22

28

23

43

42

36

79

22

23

43

51

28

25

57

32

42

50

16

47

43

19

46

49

Es posible presentar una distribución de frecuencias gráficamente en forma de un Histograma. Para su construcción, los valores de la variable respectiva se colocan sobre el eje horizontal, y las frecuencias de ocurrencia en el eje vertical. Si se pretende cronstruir un Diagrama de Bastones, sobre cada dato del eje horizontal, se levanta un bastón hasta que intercepte la frecuencia respectiva. Si se pretende cronstruir un Diagrama de Barras, sobre cada intervalo de clase, arriba del eje horizontal, se levanta una barra rectangular, hasta que intercepte con la frecuencia respectiva. Las barras del histograma deben ser adyacentes y es necesario tomar en cuenta los límites correctos de los intervalos de clase para prevenir una separación de barras en la gráfica. El nivel de precisión que se observa en los datos obtenidos y que tienen mediciones sobre una escala continua indica algún orden de redondeo. Sin embargo, se sabe que algunos de los valores que caen, por ejemplo, dentro del segundo intervalo de clase, probablemente serán menores que 20 mientras que otros serán mayores que 29 cuando la medición es precisa. Al considerar la continuidad implícita de la variable, y suponiendo que los datos fueron redondeados al entero positivo menor más próximo, entonces es lógico suponer, por ejemplo, que 19,5 y 29,5 son límites correctos para este segundo intervalo. Utilizando estos límites de clase no habrá separaciones. Una distribución de frecuencia también puede ser mostrada gráficamente por medio de un polígono de frecuencia. Para dibujar este polígono, primero se hace una marca arriba del punto medio de cada intervalo de clase (marca de clase), representado sobre el eje horizontal de la gráfica. La altura con respecto del eje horizontal de una marca dada corresponde a la frecuencia del intervalo de clase. Al unir las marcas mediante líneas rectas se obtiene el polígono de frecuencia. El polígono cae sobre el eje horizontal en los puntos que corresponderían a la marca en caso de haber celdas adicionales en cada extremo del histograma correspondiente. Esto permite que el área total sea delimitada. El área total bajo el polígono de frecuencia es igual al área bajo el histograma.

5

Desarrollo 1. Ubicar el valor mínimo y máximo de la serie de datos. 2. Ordenar en forma creciente o decreciente todos los posibles valores frecuencia de aparicición. Graficar el Diagrama de Bastones. 3. ¿Cuántos intervalos de clase se deben usar para la distribución de Aplicar la fórmula de Sturges (I) 4. ¿Cuál sería una dimensión de los intervalos conveniente? Aplicar consideraciones. 5. Realizar la distribución de frecuencia según los intervalos de clase. Barras y el Polígono de Frecuencia de los tumores malignos:

de aparcición. Hallar la frecuencia de los datos? la ecuación (II). Hacer Elaborar el Diagrama de

DIAGRAMA DE BARRAS Y POLÍGONO DE FRECUENCIAS Hallar la frecuencia de aparición de cada posible valor de aparación: INTERVALO DE CLASE

FRECUENCIA

TOTAL 20 18

6 5 4 3 2 1 0

14 12 10 8 6 4 2

frecuencia

Diagrama de Bastones

16

dias

0

Esta figura permite observar la relación entre las dos formas gráficas para un mismo conjunto de datos.

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Histogramas - Polígono de Frecuencia Ejercicio de Aplicación

N° 2 (Ingeniería Química)

La tabla siguiente muestra la resistencia a la compresión de 80 muestras de aleación aluminio-litio (libras/pulgada cuadrada) 105 221 183 186 121 181 180 143

97

154 153 174 120 168 167 141 245 228 174 199

181 158 176 110 163 131 154 115 160 208 158 133 207 180 190 193 194 133 156 123 134 178

76

167 184 135 229 146 218 157 101 171 165 172 158 169 199 151 142 163

145 171 148 158 160 175 149

87

160 237 150 135 196 201 200 176 150 170 118 149

Desarrollo 1. Ubicar el valor mínimo y máximo de la serie de datos. 2. Ordenar en forma creciente o decreciente todos los posibles valores de aparición. Hallar la frecuencia de aparición. Graficar el Diagrama de Bastones. 3. ¿Cuántos intervalos de clase se deben usar para la distribución de frecuencia de los datos? Aplicar la fórmula de Sturges (I) 4. ¿Cuál sería una dimensión de los intervalos conveniente? Aplicar la ecuación (II). Hacer consideraciones. 5. Realizar la distribución de frecuencia según los intervalos de clase. Elaborar el Diagrama de Barras y el Polígono de Frecuencia de la resistencia a la compresión: Hallar la frecuencia de aparición de cada posible valor de aparición: INTERVALO DE CLASE

FRECUENCIA

TOTAL 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

6 5 4 3 2 1 0

frecuencia

Diagrama de Bastones

datos

Esta figura permite observar la relación entre las dos formas gráficas para un mismo conjunto de datos. 7