Polinomios

  POLINOMIOS    Alguna  vez  en  la  escuela  media,  en  clases  de  Física,  hemos  visto  expresiones  tales  como   st = v t + s0 que representa la relación posición (s) de un móvil, que se desplaza en movimiento rectilíneo  uniforme,  en  función  del  tiempo  (t).  O  del  movimiento  uniformemente  variado,  donde  la  expresión  utilizada es st = s0 + v0 t + 1/2 a t2.  En  Economía,  suele  utilizarse  expresiones  como  C  =  600x2  +  320x  +150  que  representa,  por  ejemplo,  el  costo total de construir un depósito de materiales.  Es necesario, entonces estudiar las expresiones de la forma:          P(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an xn     ←  que  llamaremos  polinomios,  donde  los  a0,  a1,  a2,  ...,  an  se  llaman  coeficientes  y  son  números  reales  o  complejos (nosotros sólo trabajaremos con reales); x es la variable o indeterminada  y los exponentes de la  variable x son todos enteros no negativos.    Actividad nº1  Indique cuáles de estas expresiones son polinomios reales (con coeficientes reales) 

1 5

 

a)  x 2  

 

 

b)  3x 2 − 5x 3 + 4  

 

 

c) 5x −1 + x4 

 

d) 3 sen (2x) 

 

 

e) 4πx 4 + 2πx 2 + π 

 

 

f) 7‐

 

g) −10   

 

 

h) 2 x − 3 x + 4 x    

 

i) 3 x − 4 x + x 4  

1   x

  Al conjunto de todos los polinomios en la variable x con coeficientes reales lo simbolizaremos ℜ[x].  Ya dijimos que en ← , los a0, a1, a2, ..., an  son los coeficientes. El coeficiente a0 es el término independiente.  El coeficiente an es el coeficiente principal,  si an  ≠ 0.  Si si an  ≠ 0, diremos que n es el grado de P(x).  Por ejemplo, en  P( x ) = 5x 3 − 2 x + 4  el grado es 3;   Q( x ) = 4 − x es de grado 1;  

V ( x ) = 3x 2 − 6 x 7 + 4 x  es de grado 7  y  S(x) = 23 es de grado 0.  El polinomio nulo es aquél donde todos los coeficientes son 0. El polinomio nulo no tiene grado.  Según  el  número  de  términos  con  coeficientes  no  nulos,  el  polinomio  se  llama  monomio,  binomio,  trinomio, ... En el ejemplo precedente, S(x) es un monomio, Q(x) es binomio, P(x) y V(x) son trinomios.        Actividad nº2  Ejemplifique:  a) binomio de tercer grado        b) monomio de quinto grado         c) trinomio de cuarto grado        d) monomio de grado cero 

Polinomios

  Definición:    Dados  dos  polinomios  P  y  Q  decimos  que  son  iguales  si  y  sólo  si  los  coeficientes  de  los  términos  de  igual  grado son iguales.    Por ejemplo   3 − x 3 + 7x 4 – 4x 5 = 3 + 0x + 0x 2 − x 3 + 7x 4 – 4x 5 . Al polinomio del segundo miembro se lo  llama completo, porque siendo de grado 5, se escriben todos los términos de grado igual o menor que 5  colocando coeficiente 0 en los términos que faltan.    Actividad Nº3  Determinar los valores de m, n, r y s para que T(x) = G(x) 

1 5 x   2

4 (s + r ) x 2 + r x 3 + (n − s) x 5   3

 

a) T(x) =  3 − 5x + 2 x 2 −

 

b) T(x) =  − 3 2 x + 7 2 x 2 − 4 2 x 3 + 8x 4     G(x) = − 3mx + (n + r ) x 2 + ( m − r + s) x 3 + n 2 x 4  

G(x) =  m + (−2n − m) x +

  Operaciones con Polinomios    Veremos las operaciones con polinomios y las propiedades que éstas verifican.  Adición     La  suma  del  polinomio  M(x)  =  m0  +  m1  x  +  m2  x2  +  ...  +  mn‐1  x  n‐1  +  mn  x  n    y  el  polinomio   B(x) = b0 + b1 x + b2 x2 + ... + bn‐1 x n‐1 + bn x n + ... + bm x m   donde n ≤ m, es el polinomio:  M(x)  +  B(x)  =  (m0  +  b0)  +  (m1  +    b1)  x  +  (m2  +b2)  x2  +  ...  +  (mn‐1  +  bn‐1)  x  n‐1  +  (mn  +bn)  x  n  +  ...  ... + bm xm     Ejemplo:  

1 5 x   2

 

M(x) =  3 − 5x + 2 x 2 −

 

M(x) + B(x) = (3 + 3) + (−5 −1)x + (2 + 0) x2 + (0 + 7)x4 + (−1/2 − 4)x5  

B(x) = 3 − x  + 7x 4 – 4x 5  

 

  M(x) + B(x) = 6 −6x + 2x2 + 7x4 −9/2 x5     En  la  práctica  puede  adoptarse  esta  disposición  en  la  que  se  encolumnan  los  términos  de  igual  grado  (llamados términos semejantes) 

3 − 5x

+ 2x 2

−

1 5 x 2

+  

 

6 − 6x  

+ 7 x 4 − 4x 5

3 − x + 2x 2

+ 7x 4 −

9 5 x 2

 

Polinomios

Para  poder  enunciar  alguna  conclusión  sobre  el  grado  del  polinomio  suma  sugerimos  que,  siendo   A(x) =  1 − 2 x + x 3 − 2 x 4  

 

B(x) =  2 x 2 − x + 2  

 

C(x) =  2 x 4 + 3 x 3 + x 2  

D(x) =  2 x 4 − x 3 + 2 x + 3 , resuelvan:    A(x) + B(x) = ..................................................................................gr (A+B) = .....................  A(x) + C(x) = ..................................................................................gr (A+C) = .....................  A(x) + D(x) = .................................................................................gr (A+D) = .....................      En estos ejemplos podemos observar que:    El grado del polinomio suma A + B es menor o igual que el grado del polinomio de mayor grado que estamos  sumando.  La suma de polinomios goza de las mismas propiedades que la suma de números.    Actividad Nº4  Dados los polinomios A(x) =  1 − 2 x + x 3 − 2 x 4  

B(x) =  2 x 2 − x + 2  

F(x) =  1 / 2 x + x 2 − 3  

I) Verificar que a) la suma de polinomios es conmutativa; b) la suma de polinomios es asociativa.  II) ¿Existe elemento neutro para la suma de polinomios? ¿Cuál es?  III) ¿Tiene todo polinomio un opuesto, o inverso aditivo? Recuerde que para todo polinomio A(x) existe otro  K(x) tal que  A(x) + K(x) da por resultado el polinomio nulo. Se  dice que K(x) es el opuesto de A(x) y se lo  representa como −A(x).  Halle, entonces, los opuestos de A(x), B(x) y F(x).    Sustracción     Dados los polinomios P(x) y S(x), efectuar la sustracción (resta o diferencia) entre P y S equivale a sumar a P  el opuesto de S.  Por 

ejemplo: 

Si 

P ( x ) = x 5 + 2 x 4 − 3x 3 − 2  

y 

S( x ) = 3x 4 − 5x 2 − 3  

, 

entonces 

− S( x ) = −3x 4 + 5x 2 + 3   por lo tanto: P(x) − S(x) = P( x ) + (−S( x )) = ( x 5 + 2 x 4 − 3x 3 − 2) + ( −3x 4 + 5x 2 + 3)    

 

        P(x) − S(x) =  x 5 − x 4 − 3x 3 + 5x 2 + 1  

  Actividad Nº5  1) Dados F(x) =  2 x 4 − 8x + x 3 , G(x) =  2 x 3 − x 4 , H(x) =  − 2x + x 3 − 2 x 4 + 1 , se pide hallar:   

a) F(x) + G(x) − H(x) 

 

b) F(x) − G(x) − H(x) 

 

c) F(x) − (G(x) − H(x)) 

2) Siendo T(x) =  − 3 2 x + 7 2 x 2 − 4 2 x 3 + 8x 4   y  J(x) =  2 x − 4 + 4 2 x 3 − 2 x 2  resuelva:   

a) T(x) + J(x) 

Polinomios

 

b) T(x) − J(x) 

 

c) J(x) − T(x) 

3) Halle V(x) tal que W(x) − V(x) = Y(x) , si W(x) = 

1 2 − 2 x + 4 x 3   y  Y(x) =  − x 3 + 4x − x 2 − 1 .  3 3

  Producto    Al multiplicar dos monomios, el resultado es otro monomio.  Por ejemplo: si  A(x) = 6x 3  y B(x) = 4x 5,  entonces A(x) . B(x) = 6x 3 . 4x 5 = 6 . 4 . x3.x5 = 24 x 8   Si A(x) = 6x 3 y  L(x) = −3x 4 , entonces A(x) . L(x) = 6 . (−3) . x3 . x4 = −18 x7   El  coeficiente  del  producto  es  el  producto  de  los  coeficientes  de  los  factores.  El  grado  del  monomio  producto  es  la  suma  de  los  grados  de  los  factores,  si  estos  no  son  nulos.  Si  alguno  de  los  factores  es  el  polinomio nulo, el producto es el polinomio nulo.  Para  calcular  el  producto  de  dos  polinomios,  multiplicamos  cada  término  (monomio)de  uno  de  ellos  por  cada uno de los términos (monomio) del otro.  Por ejemplo, si A(x) =  2 x 3 − x + 1  y  B(x) =  3x 2 − x + 4 , entonces resulta  A(x) . B(x) = ( 2 x 3 − x + 1 ) . ( 3x 2 − x + 4 ) =   

 

       = 2x 3( 3x 2 − x + 4 ) − x ( 3x 2 − x + 4 ) + 1( 3x 2 − x + 4 ) = 

 

 

       = 6 x 5 − 2 x 4 + 8 x 3 − 3 x 3 + x 2 − 4 x + 3 x 2 − x + 4  =  

 

 

      =  6 x 5 − 2 x 4 + 5 x 3 + 4 x 2 − 5 x + 4  

Si queremos utilizar la disposición práctica: 

2x 3 − x + 1 3x 2 − x + 4 6 x 5 − 2 x 4 + 8x 3

2 x 3 . B( x )  

+

− 3x

3

+x

2

− 4x

+ 3x 2 − x + 4

− x . B( x ) 1 . B( x )

6 x 5 − 2 x 4 + 5x 3 + 4 x 2 − 5x + 4 Para  deducir  el  grado  del  polinomio  producto  resolvemos  los  siguientes  ejemplos.  Consideramos:  M(x) = x + 3,   G(x) = x 2 + 2x − 1,  B(x) = 2x 3 − x + 2  y calculamos:    M(x) . G(x) = ........................................................................................gr M(x) . G(x) :...................  M(x) . B(x) = .........................................................................................gr M(x) . B(x) :..................  G(x) . B(x) =...........................................................................................gr G(x) . B(x) :.................. 

Polinomios

En estos ejemplos observamos que:  El grado del polinomio producto es igual a la suma de los grados de los polinomios factores.  También  podemos  sacar  conclusiones  sobre  el  coeficiente  principal  del  polinomio  producto,  que  es  el  producto de los coeficientes principales de los polinomios factores.  ¿Y el término independiente del polinomio producto? Es igual al producto de los términos independientes  de los polinomios factores.  La multiplicación de polinomios verifica la ley de cierre (el producto de dos polinomios es otro polinomio).      Actividad Nº6  1) Dados los polinomios T(x) = 2 − x + 1/2x 2 , V(x) = x − 2, W(x) = x + 1 + x2,     a) verifica que:  i) la multiplicación de polinomios es asociativa                  ii) la multiplicación de polinomios es conmutativa               iii) el elemento neutro de la multiplicación es E(x) = 1   

b) comprueba que T(x) . (V(x) + W(x))  = T(x) V(x) + T(x) W(x)  

 

c) calcula V 2,  W  2,  V 3. 

2) Con los polinomios  A(x) =  − 2 x 4 − 5 + 7 x 2 + 3x 3 , B(x) = 3x + 1 , C(x) = 2 x 5 − 3x 3   hallen los resultados  de: a) C(x) − A(x) . B(x); b) 3A(x) + 2x3 B(x) ;  c) [B(x)]2 − 2A(x)    División   Si deseamos determinar los números enteros c y r que satisfacen la ecuación 9 = 4 c + r , podemos efectuar  la división entera mediante el correspondiente algoritmo:    9 4 1 2   donde 9 es el dividendo, 4 el divisor, 2 es el cociente y 1 es el resto. Entonces, c = 2 y r = 1 son los únicos  números enteros que verifican la igualdad   9 = 4 . 2 + 1. Además recordamos que el divisor nunca es cero y  que el resto siempre es menor que el divisor. Esto que sucede en el conjunto de los números enteros es  muy similar a loa que ocurre con los polinomios.  Para  hallar  los  polinomios  C(x)  y  R(x)  que  satisfacen  la  ecuación 

(3x 4 + 2x3 − 4x − 4) = (x3 − 2x 2 ).C(x) + R (x) podemos  realizar  la  división  entera  de  polinomios.  El 

polinomio  C(x)  se  llama  polinomio  cociente  y  el  R(x)  se  llama  polinomio  resto.  El  divisor  no  puede  ser  el  polinomio nulo y el grado del resto debe ser menor que el grado del divisor. 

Polinomios

  En el algoritmo de la división, para determinar los polinomios C y R:   1º:  Se  ordenan  según  las  potencias  decrecientes  de  la  indeterminada  (x),  el  dividendo  y  el  divisor;  completando además e dividendo.  2º: Dividimos el primer término del dividendo por el primer término del divisor, obteniéndose así el primer  término del cociente.  3º: Multiplicamos el primer término del cociente por todo el divisor.  4º: Se resta este producto del dividendo, obteniéndose un nuevo dividendo.  5º:  Reiteramos  el  procedimiento  2º,  3º  y  4º  hasta  obtener  el  polinomio  resto,  de  grado  menor  que  el  divisor. 

(

)

Ejemplificamos con los polinomios  3x 4 + 2 x 3 − 4 x − 4 : ( x 3 − 2 x 2 )     1º: Ambos polinomios están ordenados pero hay que completar el dividendo:  3 x 4 + 2 x 3 + 0 x 2 − 4 x − 4  

2º :

3x 4 + 2 x 3 + 0 x 2 − 4 x − 4

x 3 − 2x 2 3x

3º :

4º :

3x 4 + 2 x 3 + 0 x 2 − 4 x − 4

x 3 − 2x 2

3x 4 − 6 x 3

3x

3x 4 + 2 x 3 + 0 x 2 − 4 x − 4

x 3 − 2x 2

3x 4 − 6 x 3

3x

8x 3 + 0 x 2 5º :

3x 4 + 2 x 3 + 0 x 2 − 4 x − 4

x 3 − 2x 2

3x 4 − 6 x 3

3x + 8

8x 3 + 0 x 2 6º :

3x 4 + 2 x 3 + 0 x 2 − 4 x − 4

x 3 − 2x 2

3x 4 − 6 x 3

3x + 8

3

8x + 0 x

 

2

8x 3 − 16 x 2 16 x 2 − 4 x − 4   Y  como  el  grado  de  (16x  2  −  4x  −  4)  es  2  y  el  grado  del  divisor  es  3,  entonces  quedan  determinados  el  polinomio cociente C(x) = 3x + 8 y el polinomio resto R(x) = 16x 2 − 4x − 4 que verifican: 

3 x 4 + 2 x 3 − 4 x − 4 =  (x 3 − 2x 2) (3x + 8) + (16x 2 − 4x − 4)  Planteamos otro ejemplo. Queremos efectuar A : B siendo A(x) =  2 x 3 − x + 1  y   B(x) =  x 2 − x + 1 . 

Polinomios

2x 3 + 0x 2 − x + 1 2x 3 − 2x 2 + 2x 2 x 2 − 3x + 1 2x 2 − 2x + 2 − x −1          

x 2 − x +1 2x + 2  

2 x 3 − x + 1  = ( x 2 − x + 1 ) (2x + 2 ) + (− x− 1) 

  Actividad Nº7    1) Dados A y B determinar C y R tal que A = B . C + R, donde R(x) = 0(x) o gr (R)