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Matemáticas
2º ESO
10- Los poliedros
Aprende a reconocer los poliedros en nuestro entorno; identifica sus elementos y aprende a clasificarlos.
© Editorial Planeta S.A.U., 2016. Todos los derechos reservados de reproducción, traducción, adaptación y ejecución reservados para todos los países.
Impreso por Juan Carlos Vila Vilariño Centro PASTORIZA (Nº 3)
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10- Los poliedros
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Sumario
1
Los poliedros ....................................................................................................
3
1.1
Los elementos de un poliedro .................................................................................
4
1.2
Consolidación .............................................................................................................
7
2
Los tipos de poliedros ...............................................................................
7
2.1
Los poliedros convexos y los poliedros cóncavos .................................................
7
2.2
Los prismas ................................................................................................................
9
2.3
Las pirámides .............................................................................................................
14
2.4
Los poliedros regulares ............................................................................................
19
2.5
Consolidación .............................................................................................................
25
3
La relación de Euler ...................................................................................
25
3.1
Consolidación .............................................................................................................
26
4
Ejercitación y competencias .................................................................
26
5
Ejercicios refuerzo ........................................................................................
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1 Los poliedros
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Los poliedros Las casas donde vivimos, la habitación en la que dormimos, las cajas, los libros, etc., muchos elementos de nuestro entorno tienen forma poliédrica. Todos ellos son cuerpos geométricos, son figuras que tienen tres dimensiones: largo, ancho y alto; por lo tanto, no son figuras planas. Vivimos rodeados de poliedros; por este motivo, es necesario que conozcamos cómo son y cuáles son sus propiedades.
Muchos objetos de nuestro entorno son poliedros.
¿Qué son los poliedros? Los poliedros son cuerpos geométricos tridimensionales limitados por caras planas de forma poligonal. El significado de poli- es “mucho” y de -edro es “cara”. Por lo tanto, poliedro significa “muchas caras”. Observa lo siguiente:
Todas estas figuras geométricas son poliedros.
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1 Los poliedros
Si nos fijamos, a nuestro alrededor encontramos numerosos ejemplos de objetos que tienen forma de poliedro.
Por ejemplo, las cajas para llevar pizza, algunos juegos, etc., tienen formas poliédricas.
Sin embargo, otros cuerpos geométricos no son poliedros. Observa:
En esta figura, la base del cuerpo es un círculo y su superficie lateral es curva.
¡Atención! Cuando al menos una de las superficies que delimitan un sólido no es un polígono, entonces no se trata de un poliedro.
1.1 Los elementos de un poliedro Los elementos de un poliedro son: •
Las caras: cada uno de los polígonos que limitan el poliedro. Pueden ser triángulos, cuadriláteros, pentágonos, hexágonos, etc.
•
Las aristas: los segmentos rectos que forman dos caras cuando se cortan entre sí.
•
Los vértices: los puntos donde concurren tres o más aristas.
•
Las diagonales: los segmentos que unen dos vértices que no están situados en la misma arista.
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Observa los elementos de este poliedro.
¿Cuántas caras tiene el siguiente poliedro? ¿Cuántas aristas tiene? ¿Y cuántos vértices?
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Si los contamos podemos ver que este poliedro tiene 6 caras, 12 aristas y 8 vértices.
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2 Los tipos de poliedros
1.2 Consolidación Actividades para consolidar lo que has aprendido en esta sección.
Practica Encontrarás actividades de ejercitación en la versión online.
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2
Los tipos de poliedros Los poliedros pueden ser cóncavos o convexos. Además, algunos pueden estar formados a la vez por polígonos regulares e irregulares, como el prisma y la pirámide; y hay un tipo especial de poliedros llamados regulares, como el tetraedro, el cubo, el hexaedro, el octaedro y el icosaedro.
2.1 Los poliedros convexos y los poliedros cóncavos
Los poliedros convexos son aquellos que, al prolongar cualquiera de sus caras, estas no cortan al poliedro. Dicho de otra manera, son aquellos que se pueden apoyar en un plano sobre cualquiera de sus caras.
Observa estos ejemplos de poliedros convexos.
En cambio, los poliedros cóncavos son aquellos que tienen alguna cara que, al prolongarla, corta al poliedro. Dicho de otra manera, tienen dos caras, como mínimo, sobre las cuales el poliedro no se puede apoyar totalmente en un plano.
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2 Los tipos de poliedros
Fíjate en estos ejemplos de poliedros cóncavos.
El ángulo diedro y poliedro El ángulo diedro: es la región del espacio delimitada por dos semiplanos. Es decir, es un ángulo formado por dos caras. Un ángulo diedro es: •
Convexo: si es menor que el llano (180°).
•
Cóncavo: si es mayor que el llano.
De manera que, un poliedro es: •
Convexo: si todos sus ángulos diedros son convexos.
•
Cóncavo: si alguno de sus ángulos diedros es cóncavo.
El ángulo poliedro: es la región del espacio limitada por tres o más planos que concurren en un vértice. Es decir, es un ángulo formado por tres o más caras con un vértice común.
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Observa los ángulos diedros y poliedros de estos poliedros cóncavos y convexos.
Observa estos otros ejemplos:
El poliedro de la izquierda es convexo, mientras que el de la derecha es cóncavo.
Practica Encontrarás actividades de ejercitación en la versión online.
2.2 Los prismas Los prismas son poliedros irregulares que tienen dos caras que son polígonos iguales y paralelos entre sí, y el resto de caras son paralelogramos. Los elementos de un prisma son: •
Las bases: son las dos caras paralelas e iguales.
•
Las caras laterales: que son paralelogramos.
•
La altura: es la distancia entre los planos de las dos bases.
•
Las aristas básicas: que son los lados de las bases.
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•
Las aristas laterales: que son los lados de las caras laterales (no son los de las bases).
•
Los vértices: son los puntos donde concurren las aristas.
•
La altura: es la distancia entre las bases.
Observa e identifica los elementos del prisma.
A continuación, vamos a ver cómo se clasifican los prismas en función de diferentes criterios. •
Según la forma de sus caras laterales: En función de cómo son las caras laterales, los prismas pueden ser rectos u oblicuos: •
Los prismas rectos: son aquellos cuyas caras laterales son rectángulos. Sus aristas laterales son perpendiculares a las bases.
•
Los prismas oblicuos: son aquellos que tienen algunas caras laterales romboides. Sus aristas laterales no son perpendiculares a las bases.
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2 Los tipos de poliedros
Observa las diferencias entre un prisma recto y otro oblicuo.
¡Atención! Si la altura coincide con las aristas laterales, el prisma es recto. •
Según como sean los polígonos que forman las bases: En función del tipo de polígonos que forman la base, los prismas pueden ser triangulares, cuadrangulares, etc.: •
Triangular: sus bases son triángulos.
•
Cuadrangular: sus bases son cuadrados.
•
Pentagonal: sus bases son pentágonos.
•
Hexagonal: sus bases son hexágonos.
•
Etc.
De izquierda a derecha: prisma triangular, cuadrangular, hexagonal y pentagonal.
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Prismas regulares e irregulares Un prisma es regular si cumple los siguientes requisitos: •
Es recto.
•
Sus bases son polígonos regulares.
•
Las caras laterales son iguales.
Si las bases no son polígonos regulares, el prisma es irregular.
Recuerda •
Un polígono es regular si tiene todos sus lados y ángulos iguales.
•
Un polígono regular se puede inscribir en una circunferencia.
Desarrollo de un prisma Si abrimos un poliedro cortando por una arista, de forma que quede una sola pieza y la extendemos plana, obtenemos el desarrollo plano de dicho poliedro. Vamos a realizar el desarrollo de un prisma recto, en concreto, un prisma hexagonal regular:
El desarrollo de un prisma recto está compuesto por sus dos bases y por un rectángulo que tiene tantas divisiones como número de caras laterales. Fíjate en lo siguiente:
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•
La medida de la base del rectángulo coincide con la medida del perímetro del polígono de las bases.
•
La altura del rectángulo es la del prisma.
Observa este otro prisma:
El desarrollo de este prisma pentagonal está compuesto por dos bases, que son pentágonos y por diez triángulos equiláteros, que son las caras laterales.
2.2.1
Los paralelepípedos Los paralelepípedos son prismas cuyas bases son paralelogramos y, por tanto, los paralelepípedos son prismas cuadrangulares. Los paralelepípedos se caracterizan por estos rasgos: •
Tienen 6 caras.
•
Las caras opuestas son iguales y están en planos paralelos.
Fíjate en lo siguiente:
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2 Los tipos de poliedros
Empezando por la izquierda, observa que los dos primeros prismas son rectos mientras que el tercero es oblicuo.
Algunos tipos de paralelepípedos reciben nombres especiales. Vamos a ver algunos ejemplos destacados: •
El ortoedro: paralelepípedo de caras rectangulares. Por ejemplo, una caja de zapatos.
•
El cubo: paralelepípedo cuyas bases y caras laterales son cuadrados iguales. Por ejemplo, un dado de seis caras.
•
El romboedro: paralelepípedo cuyas caras son rombos.
•
El romboidedro: paralelepípedo cuyas caras son romboides.
Observa dos ejemplos de paralelepípedos de nuestro entorno.
2.3 Las pirámides Las pirámides son poliedros con las caras laterales triangulares. Los elementos de una pirámide son: •
La base: que es un polígono.
•
Las caras laterales: que son tantos triángulos como lados tenga la base.
•
La cúspide: que es el vértice donde se cortan todas las caras laterales de la pirámide.
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2 Los tipos de poliedros
•
Las aristas básicas: que son los lados de la base. Los lados de las caras laterales son las aristas laterales.
•
La altura: que es la distancia del vértice al plano de la base.
Observa e identifica los elementos de una pirámide.
A continuación, vamos a ver la clasificación de las pirámides en función de distintos criterios. •
Según la forma de sus caras laterales: En función de cómo son las caras laterales, las pirámides pueden ser rectas u oblicuas. •
La pirámide recta: es aquella en la que todas sus caras laterales son triángulos isósceles o equiláteros, y la altura cae en el punto medio de la base.
•
La pirámide oblicua: es aquella en la que alguna de sus caras laterales es un triángulo escaleno.
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2 Los tipos de poliedros
Observa estos ejemplos de pirámide recta (a la izquierda) y de pirámide oblicua (a la derecha).
•
Según los polígonos que forman la base: En función de cómo sea el polígono que forma la base, una pirámide puede ser triangular, cuadrangular, etc.: •
Triangular: si su base es un triángulo.
•
Cuadrangular: si su base es un cuadrado.
•
Pentagonal: si su base es un pentágono.
•
Etc.
De izquierda a derecha: pirámide triangular, cuadrangular y pentagonal.
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Pirámides regulares e irregulares Una pirámide es regular si se cumple lo siguiente: •
Su base es un polígono regular.
•
Además, todas sus caras laterales son iguales.
Se llama apotema de una pirámide regular a la altura de los triángulos de las caras laterales de la pirámide.
Por el contrario, una pirámide es irregular si su base no es un polígono regular.
Tronco de pirámide Cuando un plano corta todas las aristas laterales de una pirámide, obtenemos un cuerpo geométrico que se llama tronco de pirámide, o pirámide truncada.
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Observa que si la pirámide es recta y el plano que corta es paralelo a la base, las dos bases del tronco son polígonos semejantes. La altura del tronco es la distancia entre las dos bases.
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2 Los tipos de poliedros
Desarrollo de una pirámide Vamos a realizar el desarrollo de una pirámide recta, concretamente, una pirámide pentagonal regular:
Observa cómo es el desarrollo de una pirámide pentagonal regular.
Practica Encontrarás actividades de ejercitación en la versión online.
2.4 Los poliedros regulares Los poliedros regulares son aquellos que cumplen las siguientes condiciones: •
Todas las caras están formadas por polígonos regulares iguales.
•
A todos los vértices del poliedro se unen el mismo número de caras.
Solo hay cinco poliedros regulares convexos que son: el tetraedro, el hexaedro, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro. •
El tetraedro:
•
Sus 4 caras son triángulos equiláteros.
•
Tiene 4 vértices.
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•
En cada vértice concurren 3 caras.
•
Tiene 6 aristas.
Observa cómo es un tetraedro y su desarrollo plano. •
El hexaedro o cubo: • Sus 6 caras son cuadrados. •
Tiene 8 vértices.
•
En cada vértice concurren 3 caras.
•
Tiene 12 aristas.
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Observa cómo es un hexaedro y su desarrollo plano. •
El octaedro: • Sus 8 caras son triángulos equiláteros. •
Tiene 6 vértices.
•
En cada vértice concurren 4 caras.
•
Tiene 12 aristas.
Observa cómo es un octaedro y su desarrollo plano. •
El dodecaedro:
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•
Sus 12 caras son pentágonos regulares.
•
Tiene 20 vértices.
•
En cada vértice concurren 3 caras.
•
Tiene 30 aristas.
Observa cómo es un dodecaedro y cómo es su desarrollo plano. •
El icosaedro: • Sus 20 caras son triángulos equiláteros. •
Tiene 12 vértices.
•
En cada vértice concurren 5 caras.
•
Tiene 30 aristas.
Observa cómo es un icosaedro y su desarrollo plano.
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Los sólidos platónicos Los poliedros regulares también son llamados sólidos platónicos. El filósofo griego Platón (Atenas, 427-347 a.C.) creía que todo lo que existía estaba formado por cuatro elementos. A cada uno de estos elementos le asociaba uno de los poliedros regulares: •
Fuego → tetraedro.
•
Tierra → cubo.
•
Aire → octaedro.
•
Agua → icosaedro.
Y el dodecaedro lo asoció con el cosmos, el quinto elemento, la esencia de las cosas. En estos enlaces de la página del Proyecto Descartes, del Ministerio de Educación, Cultura y Deporte, encontrarás información acerca los poliedros regulares. •
El tetraedro .
•
El cubo .
•
El octaedro .
•
El dodecaedro .
•
El icosaedro .
Después de haber visto el desarrollo de los diferentes poliedros regulares, responde a las siguientes preguntas: ¿Qué poliedro se forma cuando se unen los centros de todas las caras de un cubo? ¿Y de un tetraedro? Cuando unimos los centros de todas las caras de un cubo, se forma un octaedro. Si unimos todas las caras de un tetraedro, se forma otro tetraedro.
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2 Los tipos de poliedros
Se dice que el cubo y el octaedro son duales entre sí.
Poliedros duales Un poliedro dual o conjugado, en geometría, es el poliedro cuyos vértices corresponden con el centro de las caras del otro poliedro. •
El cubo y el octaedro son duales entre sí.
•
El dodecaedro y el icosaedro son duales entre sí.
•
El tetraedro es dual consigo mismo.
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3 La relación de Euler
Sólidos arquimedianos Los poliedros semirregulares, o arquimedianos, tienen caras formadas por polígonos regulares de más de un tipo. Hay 13 tipos de poliedros semirregulares, como el tetraedro truncado, el cubo truncado, etc. La figura geométrica de la pelota de fútbol, por ejemplo, es un icosaedro truncado cuyas caras son hexágonos y pentágonos.
2.5 Consolidación Actividades para consolidar lo que has aprendido en esta sección.
Practica Encontrarás actividades de ejercitación en la versión online.
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3
La relación de Euler ¿Conoces la relación de Euler? Según el teorema de Euler: en un poliedro convexo, el número de caras (C) más el número de vértices (V) es igual al número de aristas (A) más dos. Así, para todo poliedro convexo, se cumple: C+V=A+2 Ejemplos: •
Un octaedro regular tiene 8 caras y 12 aristas. ¿Cuántos vértices tiene?.
Como un octaedro regular es un poliedro convexo, podemos aplicar la relación de Euler: C + V = A + 2 → 8 + V = 12 + 2 → V = 6 Así, un octaedro regular tiene 6 vértices. •
Un prisma pentagonal tiene 7 caras y 10 vértices. ¿Cuántas aristas tiene?.
Como un prisma pentagonal es un poliedro convexo, podemos aplicar la relación de Euler: C + V = A + 2 → 7 + 10 = A + 2 → A = 15
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4 Ejercitación y competencias
Así, un prisma pentagonal tiene 15 aristas. Comprueba la relación de Euler en diversos poliedros de la página del Proyecto Descartes, del Ministerio de Educación, Cultura y Deporte .
Practica Encontrarás actividades de ejercitación en la versión online.
3.1 Consolidación Actividades para consolidar lo que has aprendido en esta sección.
Practica Encontrarás actividades de ejercitación en la versión online.
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4
Ejercitación y competencias Pon a prueba tus capacidades y aplica lo aprendido con estos recursos.
Practica Encontrarás actividades de ejercitación en la versión online.
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5
Ejercicios refuerzo Ejercicios para resolver en el cuaderno
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