11

Elementos geométricos ACTIVIDADES INICIALES

11.I.

Si los habitantes de Viganella hubieran colocado el espejo más alto,¿crees que la ciudad se iluminaría? ¿Qué se debe hacer con el espejo a medida que el sol se va moviendo a lo largo del día? Espejo Sombra

1000 m

500 m Viganella

El Sol está tan suficientemente alejado de la tierra que sus rayos caen paralelos. Así pues, el ángulo de incidencia es siempre el mismo. Habrá que variar es la inclinación del espejo para llevar los rayos a la ciudad. El espejo tendrá que ir cambiando su inclinación a los largo del día. 11.II. Utiliza una linterna y un espejo de tu casa para comprobar que la luz reflejada en el

espejo forma el mismo ángulo con este que la luz que llega a él. Actividad abierta 11.III. La propiedad que has comprobado con la linterna y el espejo se conoce como ley de

reflexión, que se aplica no solo a los espejos planos sino también a superficies curvas. Busca información sobre el funcionamiento de las antenas parabólicas. ¿Por qué tienen esa forma? La superficie parabólica tiene la característica de reflejar cualquier rayo de luz que incida sobre ella de forma que pase por un punto llamado foco. En las antenas parabólicas transmisoras se coloca el emisor de la señal en el foco, de forma que la parábola refleja los frentes de ondas de forma más coherente que otro tipo de antenas, Las antenas receptoras concentran la onda incidente en su foco, donde se encuentra un detector. 11.IV. Expón en clase la información obtenida.

Actividad abierta

ACTIVIDADES PROPUESTAS 11.1. Actividad resuelta 11.2. *Dos puntos determinan una recta.

18

a)

¿Cuántas rectas se pueden trazar que pasen por un solo punto?

b)

¿Cómo son entre sí las rectas que pasan por ese punto?

a) b)

Tantas como se quiera. Secantes, porque se cortan todas en ese punto.

Unidad 11 | Elementos geométricos

11.3. Dibuja dos rectas paralelas a la recta r que pasen por los puntos A y B. A

r

B

A r B

11.4. Clasifica los siguientes ángulos en agudos, rectos, obtusos, convexos o cóncavos.

a)

c)

A

e) E

C

b)

d)

f) D

B F a) b)

Cóncavo Obtuso

c) d)

Agudo Cóncavo

e)

Recto f) Cóncavo

11.5. Copia la figura en tu cuaderno y busca parejas de ángulos suplementarios.

B

E

F

C

H

G

K

J

r

D

I

s

N

L t

A

M

u

Son suplementarios todos los que al colocarlos consecutivamente forman uno llano. Como r y s son paralelas:  = I = C  = L 1. A  =D  2. B  =G  3. E  =K = H  =N  4. F  5. L , = M

Son suplementarios los ángulos de los grupos 1. y 2. y los grupos 3. y 4. 11.6. Actividad resuelta

Unidad 11 | Elementos geométricos

19

11.7. Efectúa las siguientes operaciones.

a)

67º 30' 59'' + 14º 29' 1''

c)

(84º 31' 17'') · 25

b)

58º – 23º 14' 56''

d)

(145º 27' 56'') : 12

a) b) c) d)

67º 30' 59'' + 14º 29' 1'' = 81º 60' 60'' = 82º 58º – 23º 14' 56'' = 57º 60' 60'' – 23º 14' 56'' = 34º 46' 4'' (84º 31' 17'') · 25 = 2100º 775' 425'' =2100º 782' 5'' = 2113º 2' 5'' (145º 27' 56'') : 12 = 12º 7' 19,67''

 es 49º 45', y la de otro ángulo B  es 130º 4'. 11.8. La medida de un ángulo A  +B  = 49º 45' + 130º 4' = 179º 49' ≠ 180º  A  y B  no son suplementarios. A 11.9. Expresa en segundos 50º 34' 56''.

50 · 3600 + 34 · 60 + 56 = 182 096''

11.10. Actividad interactiva 11.11. Actividad resuelta

11.12. Halla los valores de los ángulos que faltan.

120º

C

A

B

 = 120º por ser opuestos por el vértice. B  es el suplementario de 120º; por tanto: A  = 180º – 120º = 60º. A  =A  = 60º por ser opuesto a A  por el vértice. C

11.13. Calcula los ángulos que faltan.

A 45º

B

 al ángulo que mide 45º. Llamamos C  yC  tienen lados paralelos dos a dos; A  es un ángulo obtuso, y C  , un ángulo agudo, luego A  = 180º – C  = 135º. son suplementarios: A yC  son ángulos agudos y tienen lados paralelos dos a dos, luego B  =C  = 45º. B

20

Unidad 11 | Elementos geométricos

11.14. Las circunferencias de los dibujos se han dividido en partes iguales. Determina la

medida de los arcos que se indican. A

a)

O

b)

A

O

B

B

a)

Como la circunferencia se ha dividido en 5 arcos iguales, cada uno de ellos mide:

360º = 72º. 5

 = 2 ⋅ 72º = 144º . El arco abarca 2 de las 5 partes de la circunferencia: AOB b)

Como la circunferencia se ha dividido en 6 arcos iguales, cada uno de ellos mide:

360º = 60º. 6

 = 4 ⋅ 60º = 240º . El arco abarca 4 de las 6 partes de la circunferencia: AOB

11.15. En una semicircunferencia, ¿cuánto mide el ángulo central?

Mide 180º.

11.16. ¿Cuánto mide el ángulo inscrito que abarca una semicircunferencia?

Como la medida del ángulo inscrito es igual a la mitad de la medida del ángulo central, 180º, por ser una semicircunferencia, obtenemos: 180º Aˆ = = 90º 2 El ángulo inscrito que abarca una semicircunferencia mide 90º.

11.17. Dibuja en una circunferencia tres ángulos inscritos que midan 90º.

Si el ángulo inscrito mide 90º, el ángulo central correspondiente debe medir 180º.

11.18. Actividad interactiva

11.19. Actividad resuelta

11.20. Actividad resuelta

Unidad 11 | Elementos geométricos

21

11.21. Indica la posición relativa de esta circunferencia y cada una de las rectas. p

s u t

q

Rectas exteriores: q y r

r

Rectas secantes: s y t

Rectas tangentes: p y u

11.22. El radio de una circunferencia mide 3 decímetros. La distancia de una recta al centro de

la circunferencia es de 4 decímetros. ¿Cuál es su posición relativa?

Como la distancia de la recta al centro, 4 dm, es mayor que el radio, 3 dm, son exteriores.

11.23. ¿Cómo son una recta y una circunferencia si la longitud del radio de la circunferencia es

de 7 centímetros y la distancia de su centro a la recta es de 10 centímetros?

Como la distancia de la recta al centro, 10 cm, es mayor que el radio, 7 cm, son exteriores.

11.24. El radio de una circunferencia mide 4 centímetros. Si la distancia de su centro a una

recta es de 4 centímetros, ¿cuál es su posición relativa?

La distancia de la recta al centro, 4 cm, es igual que el radio, 4 cm; por tanto, son tangentes. 11.25. Traza las mediatrices de dos segmentos paralelos de 4 y 6 centímetros de longitud.

6 cm

A

4 cm

B

C

D

11.26. La distancia del punto A al punto M es de 2,5 centímetros.

Si M es el punto medio del segmento AB, ¿cuánto mide el segmento AB?

Por ser M el punto medio del segmento AB, la distancia del punto M al punto B es igual que la distancia del punto A al punto M. Por tanto, el segmento AB mide: distancia AB = distancia AM + distancia MB = 2 · distancia AM = 2 · 2,5 = 5 cm

22

Unidad 11 | Elementos geométricos

11.27. Dibuja un segmento vertical de 7 centímetros de longitud.

a)

Traza su mediatriz utilizando regla y compás.

b)

Comprueba que el punto de corte de la mediatriz con el segmento es su punto medio. A

7 cm

M

B

11.28. Copia en tu cuaderno y traza la bisectriz del siguiente

ángulo utilizando regla y compás. Después elige un punto de la bisectriz y comprueba que se encuentra a la misma distancia de cada uno de los lados del ángulo. 35⬚

35o

11.29. ¿Cuánto miden los dos ángulos en que la bisectriz divide un ángulo recto?

Como los divide en dos ángulos iguales, cada uno mide:

90º = 45º . 2

11.30. Se traza una bisectriz de un ángulo llano. ¿Cuánto miden los ángulos que se forman?

Cada uno mide:

180º = 90º . 2

11.31. Dibuja una bisectriz de los siguientes ángulos.

a)

Un ángulo obtuso.

a)

b)

Un ángulo cóncavo.

b)

B

A

Unidad 11 | Elementos geométricos

23

EJERCICIOS Puntos y rectas 11.32.

Dibuja en tu cuaderno una recta r y sitúa sobre ella dos puntos, P y Q, que disten 5 centímetros. A continuación: –

Traza una recta s que pase por P, pero no por Q.

–

Traza una recta t que pase por Q y corte a s en un punto R.

–

Traza por Q una paralela a s.

–

Traza por R una paralela a r.

–

Traza por P una paralela a t.

R

r Q

P

t

11.33. ¿Cuántos segmentos, semirrectas y rectas determinan los cuatro puntos del plano de la

figura?

6 segmentos, 12 semirrectas y 6 rectas

Ángulos 11.34. *Clasifica los siguientes ángulos.

a)

a) b)

24

b)

Obtuso Agudo

Unidad 11 | Elementos geométricos

c)

c) d)

d)

Cóncavo Recto

11.35. Realiza las siguientes operaciones.

a)

132º 45' 57'' + 67º 14' 13''

e)

(45º 17' 28'') · 42

b)

100º 1' 59'' + 21º 59' 1''

f)

(25º 12' 6'') : 3

c)

45º – 14º 14' 14''

g)

(145º 41' 32'') : 23

d)

136º 45' 13'' – 100º 35' 56''

a) b) c) d) e) f) g)

132º 45' 57'' + 67º 14' 13'' = 200º 10'' 100º 1' 59'' + 21º 59' 1'' = 122º 1' 45º – 14º 14' 14'' = 30º 45' 46'' 136º 45' 13'' – 100º 35' 56'' = 36º 9' 17'' (45º 17' 28'') · 42 = 1902º 13' 36'' (25º 12' 6'') : 3 = 8º 24' 2'' (145º 41' 32'') : 23 = 6º 20' 4''

11.36. Expresa en forma compleja:

a)

129 800''

c)

100 000''

b)

23 456'

d)

216 000''

a) b)

129 800'' : 60 = 2163' 20'' = 36º 3' 20'' 23 456' : 60 = 390º 56'

c) d)

100 000'' : 60 = 1666' 40'' = 27º 46' 40'' 216 000'' = 3600' = 60º

11.37. ¿Cuánto mide el ángulo Â?

5A A

+A  = 6A  = 180º  A  = 180º = 30º 5A 6 11.38. Calcula, cuando sea posible, el complementario y el suplementario de:

a)

 = 25º 15' A

c)

 = 108º C

b)

 = 34º 37' B

d)

 = 89º 30' D

a)

 = 90º – 25º 15' = 64º 45' Complementario: 90º – A  = 180º – 25º 15' = 154º 45' Suplementario: 180º – A

b)

 = 90º – 34º 37' = 55º 23' Complementario: 90º – B  = 180º – 34º 37' = 145º 23' Suplementario: 180º – B

c)

 para Complementario: no se puede calcular porque es el ángulo que hay que sumar a C  es mayor de 90º. obtener 90º, y C

 = 180º – 108º = 72º Suplementario: 180º – C d)

 = 90º – 89º 30' = 30' Complementario: 90º – D  = 180º – 89º 30' = 90º 30' Suplementario: 180º – D

Unidad 11 | Elementos geométricos

25

11.39. ¿Son iguales el complementario de 32º 40' y el suplementario de 147º 20'?

Complementario de 32º 40': 90º – 32º 40' = 57º 20' Suplementario de 147º 20': 180º – 147º 20' = 32º 40' No son iguales.  es un ángulo agudo y B  es obtuso, 11.40. Si A

¿pueden sumar 90º? ¿Por qué?

 , al ser obtuso, ya mide más de 90º. No, porque B 11.41. Encuentra un ángulo que sea igual a su complementario y otro que sea igual a su

suplementario.

En el primer caso hay que encontrar un ángulo que sumado con él mismo dé 90º. 90º = 45º. 2 En el segundo caso hay que encontrar un ángulo que sumado con él mismo dé 180º.

Ese ángulo es:

El ángulo es:

180º = 90º. 2

 = 32º 14' 24'' y B  = 13º 36". Halla los complementarios de: 11.42. Sean los ángulos A  −B  A 3

 +B  A

a)

 +B  = 32º 14' 24'' + 13º 36" = 45º 15'. Complementario de A  +B  : 90º – 45º 15' = 44º 45' A  −B  = 32º 14' 24'' – 13º 36" = 19º 13' 48'' A  −B  : 90º – 19º 13' 48'' = 70º 46' 12'' Complementario de A

b)

c) d)

b)

 −B  A

 +B  A 2

a)

c)

d)

 +B  45º 15'  +B  A A : 90º – 22º 37' 30'' = 67º 22' 30'' = = 22º 37' 30'' . Complementario de 2 2 2  −B  19º 13 ' 48''  −B  A A = = 6º 24' 36'' . Complementario de : 90º – 6º 24' 36'' = 83º 35' 24'' 3 3 3

+ C  = 94º. 11.43. Determina el valor de los ángulos que faltan sabiendo que A

F B

A

E C

G H

D

 yC  son iguales por ser opuestos por el vértice y suman 94º: A =C  = 94º = 47º. A 2  yG  son los correspondientes de A  yC  . Por tanto, E  =G  = A =C  = 47º. E  es el suplementario de A : B  = 180º – A  = 180º – 47º = 133º. B = B  = 133º por ser opuestos por el vértice. D  y H  son los correspondientes de B y D  . Entonces, F  = H  = B  = D  = 133º. F

26

Unidad 11 | Elementos geométricos

Circunferencia y círculo 11.44. ¿Cuál es la posición relativa de una recta situada a 8 centímetros de una circunferencia

de 6 centímetros de radio?

Como la distancia de la recta al centro de la circunferencia es mayor que el radio de la misma, la recta es exterior a la circunferencia. 11.45. Traza una circunferencia de 0,2 decímetros de radio y dos rectas tangentes a ella y

paralelas entre sí.

r = 0,2 dm = 2 cm

r

2 cm

O s

11.46. Calcula la medida del ángulo central cuando el ángulo inscrito en una circunferencia

mide: a)

30º

b)

50º

c)

60º

La medida del ángulo central es el doble de la medida del ángulo inscrito. a) 2 · 30º = 60º b) 2 · 50º = 100º c) 2 · 60º = 120º 11.47.

d)

80º

d)

2 · 80º = 160º

Una circunferencia se ha dividido en arcos iguales. El ángulo central asociado a cada arco mide 12º. Calcula en cuántos arcos se ha dividido la circunferencia. Como la circunferencia mide 360º y la dividimos en ángulos de 12º: 360º : 12º = 30 arcos de circunferencia se forman.

11.48.

, B  yC  son iguales. ¿Por qué? Un alumno dice que los ángulos A B C A

O M

N

Son iguales por ser ángulos inscritos en una circunferencia que abarcan el mismo arco.  y B  de las siguientes figuras. 11.49. Calcula los ángulos A

a)

b) 75º 55º

A

B

La medida del ángulo central es el doble del arco que abarca el ángulo inscrito correspondiente.  = 2 · 55º = 110º  = 2 · 75º = 150º a) A b) B

Unidad 11 | Elementos geométricos

27

 utilizando los datos de cada figura. 11.50. Halla el valor del ángulo central A

a)

b) A

80º 72º

A 120º

a)

42º 49º

120º

 = 360º – 120º – 80º = 160º A

 = 360º – 42º – 49º – 120º – 72º = 77º A

b)

11.51. *Determina la medida de los siguientes ángulos semiinscritos, sabiendo que la

circunferencia se ha dividido en partes iguales. a)

b)

A

A

El angulo que abarca un ángulo semiinscrito es igual a la mitad del angulo central correspondiente. 360º

a)

La circunferencia se ha dividido en 5 arcos iguales, luego miden:

b)

 es semiinscrito y abarca el arco de 72º, mide la mitad de este: A  = 72º = 36º. Como A 2 360º Esta circunferencia se ha dividido en 9 arcos iguales, luego miden: = 40º. 9  es semiinscrito y abarca un arco de 40º, mide la mitad de este: A  = 40º = 20º. Como A 2

5

= 72º.

11.52. Los seis arcos en los que se ha dividido la circunferencia son iguales. Calcula los

, B , D , E  y F . ángulos inscritos A B A

F

D E

Los seis arcos en que se ha dividido la circunferencia son iguales. Luego cada arco mide:

360º = 60º. 6

Según los arcos que abarca cada ángulo y teniendo en cuenta que al ser inscritos, equivalen a la mitad de ese arco, se obtiene:

28

 = 2 · 60º = 60º A 2

 = 4 · 60º = 120º D 2

 = 3 · 60º = 90º B 2

 = 2 · 60º = 60º E 2

Unidad 11 | Elementos geométricos

 = 60º = 30º F 2

11.53. Calcula los ángulos inscritos indicados en las siguientes figuras.

a)

b) A B

A

B

C

a)

Los 6 arcos en que se ha dividido la circunferencia son iguales. Luego miden:

360º = 60º. 6

Los 3 ángulos son inscritos; por tanto, miden la mitad del arco que abarcan:  abarca 4 arcos de 60º: A  = 4 ⋅ 60º = 120º. A 2  abarca 3 arcos de 60º: B  = 3 ⋅ 60º = 90º. B 2  abarca 1 arco de 60º: C  = 60º = 30º. C 2

b)

Los 5 arcos en que se ha dividido la circunferencia son iguales. Luego miden:

360º = 72º. 5

Los 2 ángulos son inscritos; por tanto, miden la mitad del arco que abarcan:  abarca 1 arco de 72º: A  = 72º = 36º. A 2  abarca 3 arcos de 72º: B  = 3 ⋅ 72º = 108. B 2

Mediatrices y bisectrices  de la figura, siendo b su bisectriz. 11.54. *Calcula el ángulo A

b

17º 40’ A

 en dos ángulos iguales de 17º 40'; entonces: A  = 2 · 17º 40' = 35º 27'. La bisectriz divide A  y B  y di qué observas. 11.55. Traza las bisectrices de los ángulos A B A

B

Las bisectrices de los dos ángulos coinciden en la misma recta. A

Unidad 11 | Elementos geométricos

29

11.56. *Traza las mediatrices de los segmentos DB y AC y di qué observas.

A B

D C A

B

D C

La mediatriz del segmento DB contiene el segmento AC. La mediatriz del segmento AC contiene el segmento DB.

11.57. En un círculo de 10 centímetros de diámetro se considera un ángulo central de 90º.

Trazamos la cuerda que une los puntos de corte de los lados del ángulo con la circunferencia. ¿Qué relación existe entre la bisectriz del ángulo y la mediatriz de la cuerda? B

Cuerda

Mediatriz

La bisectriz del sector y la mediatriz de la cuerda coinciden.

Bisectriz

O

A

11.58. Estudia el ángulo que forman las bisectrices de dos ángulos:

a)

Suplementarios.

b)

Complementarios

c)

Opuestos por el vértice

a)

Forman un ángulo recto:  +B  = 180º  A      B   A + B = 2C = 180º  C = 90º A  + =C  2 2 

b)

B A

Forman un ángulo de 45º  +B  = 90º  A      B   A + B = 2C = 90º  C = 45º A  + =C  2 2 

B

A

A

c)

Un ángulo llano B

30

Unidad 11 | Elementos geométricos

11.59. En la siguiente figura, r es la mediatriz del segmento AB. Halla B. A

r

Para obtener B, hay que prolongar el segmento que une A con M, y con un compás se traza el arco, con centro M y radio MA. El punto obtenido de la intersección del arco con la recta que contiene AM es B. A

r M

B

PROBLEMAS 11.60. Los compañeros de Ismael tienen que calcular en cuántas partes iguales ha dividido una

circunferencia sabiendo que el ángulo central que une dos puntos consecutivos es de 45º.

Como el ángulo central que une dos puntos consecutivos es de 45º, al dividir 360º entre 45º debe darnos el número de partes. Por tanto, la circunferencia se ha dividido en:

360º = 8 partes. 45º

 yC  indicados de la siguiente figura. 11.61. Calcula los ángulos B B

O 54⬚ C

 es inscrito; por tanto, mide la mitad del central: 54º = 27º. El ángulo B 2  El arco correspondiente al ángulo C es el suplementario de 54º, es decir, 180º – 54º = 126º.

 es inscrito, luego su medida es: 126º = 63º. El ángulo C 2

Unidad 11 | Elementos geométricos

31

11.62. Copia la figura y construye a partir de ella los ángulos inscritos cuyas medidas son las

siguientes. a)

18º

b)

36º

El arco de cada división mide:

c)

54º

d)

72º

360º = 36º 10

Luego basta construir ángulos inscritos que abarquen 1, 2, 3 y 4 divisiones, respectivamente. Si consideramos el ángulo inscrito que abarca: 1 división:

36º ⋅1 36º = = 18º 2 2

2 divisiones: 3 divisiones:

72o

36º ⋅ 2 72º = = 36º 2 2 36º ⋅3 108º = = 54º 2 2

36º ⋅4 144º = = 72º 4 divisiones: 2 2

54o 36o

18o

11.63. Observa la báscula de la figura.

a)

¿Qué ángulo recorre la aguja al pasar de un kilogramo a otro?

b)

¿Y cuando recorre 100 gramos?

a)

Ángulo recorrido al pasar de un kilogramo a otro:

b)

32

360º = 30º . 12 Como un kilogramo equivale a 10 veces 100 g, el ángulo que recorre la aguja en este caso 30º es: = 3º . 10

Unidad 11 | Elementos geométricos

11.64. Un centro comercial está en el centro de un terreno circular de 200 metros de diámetro.

Se está construyendo una carretera exterior al terreno que diste 75 metros del mismo. a)

Realiza un dibujo que represente la posición de la carretera y el centro comercial.

b)

¿A qué distancia del centro comercial pasará la carretera?

a)

200 m

75 m

C.C

b) Si suponemos que la distancia del centro comercial se toma desde el centro del terreno circular, entre la carretera y el centro comercial habrá 175 m. 11.65. Observa atentamente la noria.

¿Qué distancia hay entre dos cestillos consecutivos si el diámetro de la noria es de 75 centímetros?

Si la noria tiene 6 cestillos y están todos a la misma distancia, el ángulo central que abarca dos 360º cestillos consecutivos mide: = 60º. 6 75 = 37,5 cm. Como el radio es la mitad del diámetro, r = 2 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ n º 2 ⋅ π ⋅ 37,5 ⋅ 60º La longitud del arco que hay entre un cestillo y otro es: L = = = 39,25 cm. 360º 360º 11.66. Roberto va a adquirir una entrada para el cine

Altavoz

Pantalla

Altavoz

por internet. En la pantalla del ordenador le ofrecen el siguiente esquema de la sala de cine: A B C D E F

Con ayuda de regla y compás, indica los asientos adecuados para que Roberto: a)

Esté situado a 8 metros de cada uno de los altavoces.

b)

Esté situado a 8 metros de uno de los altavoces y a 7 metros de la pantalla.

1

2

3

4

El asiento más adecuado es el C5. Los asientos más adecuados son el D4 y el

6

7

8

9 1m

Altavoz

a) b)

5

Pantalla

Altavoz

A

D6.

B C D E F 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1m

Unidad 11 | Elementos geométricos

33

11.67. Se quiere situar un transformador eléctrico que permita abastecer de energía a cuatro

casas. a)

¿Sería posible encontrar un punto equidistante independientemente de la situación de estas?

b)

Intenta hallar dicho punto en el caso representado en el siguiente dibujo.

a)

No se puede en todos los casos, ya que las mediatrices de los segmentos cuyos extremos sean dos de las casas no tienen por qué coincidir con el punto de corte de los otros tres segmentos, que forman un triángulo. En este caso sí, ya que todas las mediatrices coinciden en un punto.

b)

Casa del “abogao” Casa Medina

Transformador

Casa del Duque Casa Valdés

34

Unidad 11 | Elementos geométricos

de

las

cuatro

casas

AMPLIACIÓN 11.68. La figura muestra dos círculos iguales dentro de un

rectángulo de 4,5 centímetros de largo por 2,5 centímetros de alto. ¿Cuál es la distancia entre los dos centros? a)

2,5

c)

1,5

b)

3

d)

2

Si la altura del rectángulo es de 2,5 cm, cada círculo tendrá 1,25 cm de radio, por lo que la distancia entre los centros será: 4,5 – 1,25 – 1,25 = 2 cm 11.69. *¿Cuánto mide el mayor de los ángulos que se indican en la figura?

(x + 6º)

(x + 9º)

(x + 15º)

a)

125º

b)

120º

c)

116º

d)

110º

Como (x + 6) + (x + 9 ) + (x + 15) = 360, 3x = 330 y x = 110º Así pues, el ángulo mayor mide 110º + 15º = 125º.  = 40º. Calcula el valor de B . 11.70. En la semicircunferencia de la figura, A

B A

a)

110º

b)

A

105º

O

B

c)

130º

d)

120º

 es un ángulo inscrito su arco mide el doble que él en grados, es decir 80º. Como A  es inscrito y abarca en la circunferencia 180º + 80º. Por tanto B  mide la mitad de También B 260º, es decir 130º. 11.71. En la figura adjunta:

–

 mide 60º. El ángulo A

–

 mide 30º El ángulo B

–

. r es la bisectriz del ángulo C

–

. s es la bisectriz del ángulo D

X

65º

b)

45º

D

C A

B Q

¿Cuánto mide el ángulo x? a)

s

r

c)

50º

R

d)

60º

Llamemmos P al punto de intersección de r y s.  mide 180º – 60º = 120º y, por tanto, el ángulo PQR mide 60º. El ángulo D  mide El ángulo C  180º – 30º = 150º, y el ángulo PRQ mide 75º. Como X es el tercer ángulo del triángulo PRQ, mide 180 – (60 + 75) = 45º.

Unidad 11 | Elementos geométricos

35

11.72. ¿Qué ángulo, en grados, forman las agujas del reloj a las 4 h 20 min?

a)

0

b)

5

c)

8

d)

10

30º 360º = 30º cada hora y = 0,5º cada minuto. Contando 60 12 desde las 12.00, la aguja de las horas ha recorrido 4 · 30º + 20 · 0,5º = 130º, y la de los minutos está en el 4 (120º), luego forman un ángulo de 10º.

La aguja de las horas recorre

11.73. En el dibujo que ves, O es el centro de un círculo.

¿Cuánto mide x? a)

40º

45º

b)

35º

O

c)

30º

d)

125º

X 55º

El ángulo  X + 55º es el ángulo central que abarca el mismo arco que un ángulo inscrito de 45º. Como  X + 55º = 2 · 45º = 90º, entonces  X = 35º.

AUTOEVALUACIÓN 11.A1. Una recta está a una distancia de 50 milímetros del centro de una circunferencia de 10

centímetros de diámetro. ¿Qué posición tienen la recta y la circunferencia?

El radio de la circunferencia es la mitad del diámetro: 5 cm = 50 mm. Como la recta está a la misma distancia del centro que cualquier punto de la circunferencia, es tangente a ella.

11.A2. Calcula el ángulo central correspondiente a un ángulo inscrito de 84º.

El ángulo central es el doble del ángulo inscrito. Entonces, el ángulo central mide 2 · 84º = 168º.

11.A3. Halla el complementario y el suplementario de 32º 35' 53''.

Complementario: 90º – 32º 35' 53'' = 57º 24' 7'' Suplementario: 180º – 32º 35' 53'' = 147º 24' 7''

36

Unidad 11 | Elementos geométricos

11.A4. Halla la medida del ángulo inscrito en cada caso.

a)

b)

A

A

360º = 90º. 4 El ángulo inscrito abarca dos arcos, es decir, abarca un arco de 2 · 90º = 180º  = 180º = 90º.  A 2

a)

Como la circunferencia se ha dividido en 4 arcos iguales, cada uno mide:

b)

Como la circunferencia se ha dividido en 6 arcos iguales, cada uno mide:

360º = 60º. 6

El ángulo inscrito abarca dos arcos, es decir, abarca un arco de 2 · 60º = 120º  = 120º = 60º.  B 2  y B . 11.A5. Calcula el valor de los ángulos A

75º 2A

A B

 + 75 + A  = 180º  3 A  = 180º – 75º = 105º  A  = 35º 2A = B  , porque son opuestos por el vértice, B  = 35 · 2 = 70º. 2A 11.A6. Dos ángulos consecutivos miden 38º y 52º. ¿Cuánto mide el ángulo formado por sus

bisectrices?

Como los ángulos son complementarios, sus bisectrices forman un ángulo de 45º, lo comprobamos: 38º 52º + = 19º +26º = 45º 2 2 11.A7. Realiza las siguientes operaciones.

a)

153º 49' 56'' + 83º 36' 59''

b)

(69º 46' 59'') · 9

c)

(105º 49' 15'') : 15

a) b) c)

153º 49' 56'' + 83º 36' 59'' = 236º 85' 115'' = 237º 26' 55'' (69º 46' 59'') · 9 = 621º 414' 531'' = 621º 422' 51'' = 628º 2' 51'' (105º 49' 15'') : 15 = 7º 3' 17''

11.A8. Expresa en forma compleja:

a)

300 000''

b)

5870'

a)

300 000 = 83º 20'

b)

5870' = 97º 50'

Unidad 11 | Elementos geométricos

37

PON A PRUEBA TUS COMPETENCIAS Aprende a pensar > El libro de espejos 11.1. Construye un libro de espejos.

Seguir pasos detallados en el libro. 11.2. ¿Cómo es el triángulo que obtienes? Si no lo recuerdas, busca cómo se llama el

triángulo que tiene sus lados iguales

Es equilátero, pues los lados reflejados miden lo mismo que el lado dibujado. 11.3. Con ayuda del transportador, mide el ángulo que forman los espejos. Este ángulo se

llama ángulo central del triángulo.

Mide 120º. 11.4. Modifica la posición de los espejos hasta obtener un cuadrado. ¿Qué ángulo forman

ahora las dos hojas del libro?

90º 11.5. Sigue variando el ángulo del libro para obtener un pentágono, un hexágono y un

heptágono, y completar así la tabla. Número de lados 3 4

n

Polígono

Triángulo Cuadrado

Ángulo central 120º 90º 360º/n

11.6. ¿Cómo debes colocar el libro de espejos en la siguiente figura para obtener una estrella

de cinco puntas?

Actividad abierta y manual 11.7. A veces, en publicidad se crean efectos ópticos que no se ajustan a la realidad con el

objetivo de provocar una sensación determinada. ¿Piensas que es una práctica adecuada o que puede contener mensajes engañosos? Busca ejemplos que apoyen tu idea.

Respuesta abierta

38

Unidad 11 | Elementos geométricos

Juega y resuelve > Rebote × rebote = rebote2 11.1. Ahora queremos que la bola A choque con B después de rebotar dos veces en las

bandas: primero en la inferior y después en la superior. Determina los puntos de contacto con cada una de las bandas.

Para hacer un rebote a dos bandas unimos los puntos simétricos de A y B con respecto a las bandas adecuadas. B’

A

B

A’

Observa y reflexiona > ¿Gira o no gira?

11.1. ¿Qué condición se debe cumplir para que una cadena gire?

Para que una cadena gire, debe tener un número par de engranajes. Mira la primera cadena: si la rueda verde gira hacia la izquierda, la azul que está a su lado girará hacia la derecha; la naranja de su lado, hacia la izquierda, y así hasta llegar a la verde de nuevo, que ahora tendría que girar hacia la derecha, luego esa cadena no podrá girar. Solo gira la cadena del medio. 11.2. ¿Qué ángulo giran las ruedas pequeñas y grandes cada vez que las medianas giran un

ángulo de 60º? 360º = 30º , luego cuando gira 60º avanza dos 12 360º 360º dientes. La pequeña gira = 45º por cada diente, y la grande, = 22,5º ; así pues, 8 16 cuando la mediana gira 60º (dos dientes), la pequeña gira 90º, y la grande, 45º.

Cada diente de la mediana hace girar la rueda

Unidad 11 | Elementos geométricos

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Proyecto editorial: Equipo de Educación Secundaria del Grupo SM Autoría: M.ª Ángeles Anaya, Isabel de los Santos, José Luis González, Carlos Ramón Laca, M.ª Paz Bujanda, Serafín Mansilla Edición: Rafaela Arévalo, Eva Béjar Corrección: Ricardo Ramírez Ilustración: Félix Anaya, Modesto Arregui, Juan Francisco Cobos, Félix Moreno, José Santos, Estudio “Haciendo el león” Diseño: Pablo Canelas, Alfonso Ruano Maquetación: SAFEKAT S. L. Coordinación de diseño: José Luis Rodríguez Coordinación editorial: Josefina Arévalo Dirección del proyecto: Aída Moya

(*) Una pequeña cantidad de ejercicios o apartados de ejercicios han sido marcados porque contienen alguna corrección en su enunciado respecto al que aparece en el libro del alumno.

Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transformación de esta obra solo puede ser realizada con la autorización de sus titulares, salvo excepción prevista por la ley. Diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org) si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra, a excepción de las páginas que incluyen la leyenda de “Página fotocopiable”. © Ediciones SM Impreso en España – Printed in Spain