Rafael Parra Machío

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5. SISTEMAS LINEALES 5. 1. Sistemas de la forma: Una ecuación con dos o más variables. 1.1 Utilizando sistemas modulares, resolver la ecuación ૜࢞ + ૞࢟ = ૛૜. La ecuación 3‫ ݔ‬+ 5‫ = ݕ‬23 es equivalente a 3‫ ≡ ݔ‬23ሺ݉ó݀. 5ሻ, esto es, planteamos conocer el valor de ܺ en función de ܻ.

Si multiplicamos la ecuación por 2 y sacamos restos respecto al módulo 5, obtenemos 2ሺ3‫ ≡ ݔ‬23ሻሺ݉ó݀. 5ሻ = 6‫ ≡ ݔ‬46ሺ݉ó݀. 5ሻ, o sea, ‫ ≡ ݔ‬1ሺ݉ó݀. 5ሻ luego, la solución de X viene determinada por ‫ = ݔ‬1 + 5‫ݐ‬, siendo ‫ ݐ‬un entero arbitrario. El número 2, que usamos para multiplicar a la ecuación, no es arbitrario, corresponde a un coeficiente de la ‫ܤ ݀ܽ݀݅ݐ݊݁݀ܫ‬é‫ݐݑ݋ݖ‬. La ecuación tendrá tantas soluciones como valores se le asignen a t, por tanto es un sistema indeterminado.

1.2 Utilizando sistemas diofánticos, resolver la ecuación ૚૜࢞ + ૚ૠ࢟ = ૛ૢ. Una ecuación de la forma ‫ ݔܣ‬± ‫ ܥ = ݕܤ‬tendrá solución si, y sólo si, el ݉ܿ݀ሺ‫ܣ‬, ‫ܤ‬ሻ = ݀ divide a C, esto es, d 6 C . Como ݉ܿ݀ሺ13,17ሻ = 1 y 1 6 29, la ecuación tiene solución. Sea mcd(13,17) = 1 = 13(+4) + 17(−3), donde los coeficientes 4 y 3 vendrían determinados por el ‫ݏ݈݁݀݅ܿݑܧ ݁݀ ݋݉ݐ݅ݎ݋݈݃ܣ‬, mcd(a, b) = d = a(±s) + b(±t ). A partir del algoritmo anterior, ‫ܤ‬é‫ ݐݑ݋ݖ‬desarrolla su propia identidad en la que, mcd (a , b) = d = a(± s) + b(±t ) = a( x 0 + db t ) + b(y 0 − da t ) donde ‫ݔ‬଴ ݁ ‫ݕ‬଴ son soluciones de la ecuación para un coeficiente independiente ݀, o sea, 13(4 + 171 t ) + 17(−3 − 131 t ) = 1. Procedemos a calcular ܺ en función de ܻ: 13x = 29 + 17t , equivalente a 4 ⋅ (13x = 29) + 17t → 52x = 116 + 17t Los restos de 52 ‫ ݕ‬116 respecto a 17 son:

52x = 116 + 17t → x = 14 + 17t , que es el valor ܺ. El valor de ܻ en función de ܺ lo obtenemos por sustitución:

13ሺ14 + 17‫ݐ‬ሻ + 17‫ = ݕ‬29 = 182 + 221‫ ݐ‬+ 17‫ݕ‬ 17‫ = ݕ‬29 − 182 − 221‫ = ݐ‬−153 − 221‫ݐ‬ ‫ = ݕ‬−9 − 13‫ݐ‬ La solución a la ecuación: 13ሺ14 + 17‫ݐ‬ሻ + 17ሺ−9 − 13‫ݐ‬ሻ = 29

1.3 Utilizando sistemas diofánticos, resolver la ecuación ૠ࢞ + ૚૚࢟ + ૚૜ࢠ = ૝ૠ. El ݉ܿ݀ሺ7,11,13ሻ = 1 divide a 47 luego, la ecuación tiene solución con dos variables principales y una libre, a elección. Consideremos ܺ ݁ ܻ como variables principales y ܼ como variable libre, la ecuación se soluciona en la forma 7‫ ݔ‬+ 11‫ = ݕ‬47 − 13‫ = ݖ‬1, con dos parámetros: ‫ ݏ‬para la variable libre y ‫ ݐ‬para las variables principales. Como ݉ܿ݀ሺ7,11ሻ = 1 = 7ሺ+8ሻ + 11ሺ−5ሻ = 7ሺ8 + 11‫ݐ‬ሻ + 11ሺ−5 − 7‫ݐ‬ሻ, despejamos ܺ en función de ܻ:

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7‫ = ݔ‬47 − 13‫ ݏ‬+ 11‫ݐ‬, equivalente a 8ሺ7‫ = ݔ‬47 − 13‫ݏ‬ሻ + 11‫ݐ‬, o sea, ‫ = ݔ‬2 − 5‫ ݏ‬+ 11‫ݐ‬. Calculamos ܻ por sustitución: 7ሺ2 − 5‫ ݏ‬+ 11‫ݐ‬ሻ + 11‫ = ݕ‬47 − 13‫ = ݏ‬14 − 35‫ ݏ‬+ 77‫ݐ‬ 11‫ = ݕ‬47 − 14 + 35‫ ݏ‬− 13‫ ݏ‬− 77‫ = ݐ‬33 − 22‫ ݏ‬− 77‫ݐ‬ ‫ = ݕ‬3 + 2‫ ݏ‬− 7‫ݐ‬ Los valores de las variables son: x = 2 − 5s + 11t , y = 3 + 2s − 7t y z = s.

y, por tanto, la ecuación tiene como solución:

7(2-5s+11t)+11(3+2s-7t)+13(s)=47.

1.4 Utilizando sistemas modulares, resolver la ecuación ૚૚࢞ + ૝૜࢟ + ૛૜ࢠ = ૚૙૚. Empecemos por calcular ܼ en función de ܺ:

43‫ ݕ‬+ 23‫ ≡ ݖ‬101ሺ݉ó݀. 11ሻ, equivalente a 23‫ ≡ ݖ‬101 − 43‫ݏ‬ሺ݉ó݀. 11ሻ. Sacamos restos respecto al módulo 11:

23‫ ≡ ݖ‬101 − 43‫ݏ‬ሺ݉ó݀. 11ሻ → ‫ ≡ ݖ‬2 − 10‫ݏ‬ሺ݉ó݀. 11ሻ → ‫ = ݖ‬2 − 10‫ݏ‬. Ahora, por sustitución, calculamos ܺ en función de ܻ:

11‫ ݔ‬+ 23ሺ2 − 10‫ݏ‬ሻ ≡ 101ሺ݉ó݀. 43ሻ, 11‫ ≡ ݔ‬12 + 15‫ݏ‬ሺ݉ó݀. 43ሻ, equivalente a ‫ ≡ ݔ‬5 + 17‫ݏ‬ሺ݉ó݀. 43ሻ → ‫ = ݔ‬5 + 17‫ ݏ‬+ 43‫ݐ‬. Finalmente, por sustitución, despejamos ܻ:

11ሺ5 + 17‫ ݏ‬+ 43‫ݐ‬ሻ + 43‫ ݕ‬+ 23ሺ2 − 10‫ݏ‬ሻ = 101 55 + 187‫ ݏ‬+ 473‫ ݐ‬+ 43‫ ݕ‬+ 46 − 230‫ = ݏ‬101 43‫ = ݕ‬101 − 55 − 46 − 187‫ ݏ‬+ 230‫ ݏ‬− 473‫ = ݐ‬0+43s-473t ‫ = ݕ‬0+ s-11t Los valores de las variables son: x = 5 + 17s + 43t , y = 0 + s − 11t y z = 2 − 10 s. Y, por tanto, la ecuación tiene como solución:

11(5+17s+43t)+43(0+s-11t)+23(2-10s)=101.

1.5 Utilizando sistemas diofánticos, resolver la ecuación ૢ࢞ + ૚૙࢟ + ૚૞ࢠ = ૟૚. Como el ݉ܿ݀ሺ9,10,15ሻ = 1 y 1 6 61, la ecuación tiene solución pero, ¿cómo?

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Si ݉ܿ݀ሺ9,15ሻ = 3, 3 F 61, o sea, no tiene solución. Si ݉ܿ݀ሺ10,15ሻ = 5, 5 F 61, tampoco tiene solución, luego, sólo nos queda la opción ݉ܿ݀ሺ9,10ሻ = 1, 1 | 61. Resolvemos ܻ en función de ܺ: 10‫ ≡ ݕ‬61ሺ݉ó݀. 9ሻ, que tiene como solución ‫ ≡ ݕ‬7ሺ݉ó݀. 9ሻ → ‫ = ݕ‬7 + 9‫ݏ‬. Por sustitución, tenemos: 9‫ ݔ‬+ 10ሺ7 + 9‫ݏ‬ሻ + 15‫ = ݖ‬61 = 9‫ ݔ‬+ 70 + 90‫ ݏ‬+ 15‫ݖ‬ 9‫ ݔ‬+ 90‫ ݏ‬+ 15‫ = ݖ‬61 − 70=-9 → 3‫ ݔ‬+ 30‫ ݏ‬+ 5‫ = ݖ‬−3 Despejamos ܺ en función de ܼ: 3‫ ݔ‬+ 30‫ ≡ ݏ‬−3ሺ݉ó݀. 5ሻ, ‫ ݔ‬+ 10‫ ≡ ݏ‬−1ሺ݉ó݀. 5ሻ → ‫ = ݔ‬4 + 5‫ݐ‬. Ahora, despejamos Z por sustitución: 9ሺ4 + 5‫ݐ‬ሻ + 10ሺ7 + 9‫ݏ‬ሻ + 15‫ = ݖ‬61 = 36 + 45‫ ݐ‬+ 70 + 90‫ ݏ‬+ 15‫ݖ‬ 15‫ = ݖ‬61 − 36 − 70 − 90‫ ݏ‬− 45‫ = ݐ‬−45 − 90‫ ݏ‬− 45‫ = ݖ → ݐ‬−3 − 6‫ ݏ‬− 3‫ݐ‬. Para las variables, los valores son x = 4 + 5t , y = 7 + 9 s y z = − 3 − 6 s − 3t y la solución a la ecuación:

9(4+5t)+10(7+9s)+15(-3-6s-3t)=61.

1.6 Comprobar si el número de soluciones de una ecuación varía según se resuelva como modular o como diofántica. Utilizar la ecuación ૚૞࢞ + ૜૞࢟ = ૛૞. Como el ݉ܿ݀ሺ15,35ሻ = 5, la ecuación diofántica se resuelve como 3‫ ݔ‬+ 7‫ = ݕ‬5. Si resolvemos como ecuación modular, tendrá tantas soluciones como determine el ݉ܿ݀ en nuestro caso, cinco soluciones. La solución diofántica se desarrolla:

3‫ = ݔ‬5 + 7‫ݐ‬, ‫ = ݔ‬4 + 7‫ݐ‬. 7‫ = ݕ‬5 − 3ሺ4 + 7‫ݐ‬ሻ = −7 − 21‫ݐ‬, ‫ = ݕ‬−1 − 3‫ݐ‬. La solución: 15ሺ4 + 7‫ݐ‬ሻ + 35ሺ−1 − 3‫ݐ‬ሻ = 25. Como ecuación modular, la solución es:

3‫≡ ݔ‬5(mód.7), equivalente a ‫ ≡ ݔ‬4ሺ݉ó݀. 7ሻ → ‫ = ݔ‬4 + 7‫ݐ‬. Dando valores a ‫ݐ‬, para el rango 4 ܽ 35, tenemos 4, ሺ4 + 7ሻ, ሺ4 + 14ሻ, ሺ4 + 21ሻ, ሺ4 + 28ሻ, esto es ሼ4,11,18,25,32ሽ, de donde, los valores de la ecuación como modular son:

‫ ≡ ݔ‬4,11,18,25,32ሺ݉ó݀. 35ሻ. Observar que las soluciones forman una progresión aritmética de razón 7, precisamente el ݉ó݀‫݋݈ݑ‬. Queda por tanto comprobado que el número de soluciones es distinto según se utilice resolución diofántica o resolución modular.

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1.7 Utilizando sistemas modulares, resolver la ecuación ૚ૠ૞࢞ + ૛૚૞࢟ = ૚૙૙૞. El ݉ܿ݀ሺ175,215ሻ = 5, luego, tiene ܿ݅݊ܿ‫ ݋‬soluciones en la forma 35‫ ≡ ݔ‬20ሺ݉ó݀. 43ሻ. Como 35‫ ≡ ݔ‬20ሺ݉ó݀. 43ሻ es equivalente a ‫ ≡ ݔ‬34ሺ݉ó݀. 43ሻ, la solución general es ‫ ≡ ݔ‬34,77,120,163,206ሺ݉ó݀. 215ሻ.

1.8 Utilizando sistemas modulares, resolver la ecuación ૚૚ૠ࢞ + ૚૞૜࢟ = ૚ૠ૚. El ݉ܿ݀ሺ117,153,171ሻ = 9, luego, la ecuación tiene ݊‫ ݁ݒ݁ݑ‬soluciones. La ecuación 117‫ ݔ‬+ 153‫ = ݕ‬171 es equivalente 13‫ ≡ ݔ‬19ሺ݉ó݀. 17ሻ y tiene como solución 13‫ ≡ ݔ‬8ሺ݉ó݀. 17ሻ → ‫ = ݔ‬8 + 17‫ݐ‬. y la solución general:

x ≡ 8,25,42,59,76,93,110,127,144(mód.153).

1.9 Utilizando sistemas modulares, resolver la ecuación ૞࢞ + ૠ࢟ + ૚૚ࢠ = ૙. Se trata de un sistema homogéneo del que podemos plantear la siguiente solución: 7‫ ݕ‬+ 11‫ ≡ ݖ‬0ሺ݉ó݀. 5ሻ, 11‫ ≡ ݖ‬−7‫ݏ‬ሺ݉ó݀. 5ሻ, ‫ ≡ ݖ‬−2‫ݏ‬ሺ݉ó݀. 5ሻ, ‫ ≡ ݖ‬3‫ݏ‬ሺ݉ó݀. 5ሻ, ‫ = ݖ‬3‫ݏ‬. 5‫ ݔ‬+ 11ሺ3‫ݏ‬ሻ ≡ 0ሺ݉ó݀. 7ሻ, 5‫ ≡ ݔ‬−5‫ݏ‬ሺ݉ó݀. 7ሻ, ‫ ≡ ݔ‬−‫ݏ‬ሺ݉ó݀. 7ሻ, ‫ = ݔ‬−‫ ݏ‬+ 7‫ݐ‬. Por sustitución, despejamos ܻ: 5ሺ−‫ ݏ‬+ 7‫ݐ‬ሻ + 7‫ ݕ‬+ 11ሺ3‫ݏ‬ሻ = 0 = −5‫ ݏ‬+ 35‫ ݐ‬+ 7‫ ݕ‬+ 33‫ݏ‬ 7‫ = ݕ‬−28‫ ݏ‬− 35‫ݐ‬, ‫ = ݕ‬−4‫ ݏ‬− 5‫ݐ‬. La solución de la ecuación es,

5(−s + 7t ) + 7(−4 s − 5t ) + 11(3s) = 0

1.10 Utilizando sistemas modulares, resolver la ecuación ૚૙࢞ + ૚૝࢟ + ૛૚ࢠ = ૙. El ݉ܿ݀ሺ10,14,21ሻ = 1, 1 | 0, luego, la ecuación tiene solución. Despejamos ܼ en función de ܺ: 14y+21‫ ≡ ݖ‬0ሺ݉ó݀. 10ሻ, 4‫ ݕ‬+ ‫ = ݖ‬0ሺ݉ó݀. 10ሻ, ‫ = ݖ‬0 − 4‫ݏ‬. Sustituimos este valor en la ecuación general: 10‫ ݔ‬+ 14‫ ݕ‬+ 21ሺ−4‫ݏ‬ሻ = 0 = 10‫ ݔ‬+ 14‫ ݕ‬− 84‫ݏ‬ Dividimos el resultado por 2:

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10‫ ݔ‬+ 14‫ ݕ‬− 84‫ = ݏ‬0 = 5‫ ݔ‬+ 7‫ ݕ‬− 42‫ = ݏ‬0 2 Despejamos ܺ en función de ܻ: 5‫ ݔ‬− 42‫ ≡ ݏ‬0ሺ݉ó݀. 7ሻ, ‫ ≡ ݔ‬0ሺ݉ó݀. 7ሻ, ‫ = ݔ‬0 + 7‫ݐ‬, Despejamos ܻ por sustitución: 10ሺ0 + 7‫ݐ‬ሻ + 14‫ ݕ‬+ 21ሺ−4‫ݏ‬ሻ = 0 = 70‫ ݐ‬+ 14‫ ݕ‬− 84‫ݏ‬ Dividimos el resultado por 14: 70‫ ݐ‬+ 14‫ ݕ‬− 84‫ = ݏ‬0 = 35‫ ݐ‬+ 7‫ ݕ‬− 42‫ = ݏ‬0 2 7‫ = ݕ‬42‫ ݏ‬− 35‫ݐ‬, ‫ = ݕ‬6‫ ݏ‬− 5‫ݐ‬. La solución de la ecuación resulta ser:

10(0 + 7t) + 14(0 + 6s − 5t ) + 21(0 − 4 s) = 0

1.11 Resolver la ecuación ૞࢞ + ૠ࢟ ≡ ૜ሺ࢓óࢊ. ૚૜ሻ. La ecuación 5‫ ݔ‬+ 7‫ ≡ ݕ‬3ሺ݉ó݀. 13ሻ es equivalente a 5‫ ݔ‬+ 7‫ ݕ‬+ 13‫ = ݖ‬3. Resolvemos con ܼ libre y ܺ ݁ ܻ principales: 5‫ = ݔ‬3 − 13‫ ݏ‬+ 7‫ݐ‬,3(5‫ = ݔ‬3 − 13‫ݏ‬ሻ + 7‫ݐ‬, ‫ = ݔ‬2 + 3‫ ݏ‬+ 7‫ݐ‬ 7‫ = ݕ‬3 − 5ሺ2 + 3‫ ݏ‬+ 7‫ݐ‬ሻ − 13‫ = ݏ‬−7 − 28‫ ݏ‬− 35‫ݐ‬ ‫ = ݕ‬−1 − 4‫ ݏ‬− 5‫ݐ‬ La solución para ecuación diofántica es:

5(2 + 3s + 7t) + 7(−1 − 4 s − 5t) + 13s = 3 La solución modular se consigue transformando la solución diofántica al módulo 13. Para ܺ, al ser ‫ = ݔ‬2 + 3‫ ݏ‬positiva, no procede ninguna transformación. Para ܻ, al ser ‫ = ݕ‬−1 − 4‫ ݏ‬negativa, debemos transformar respecto al módulo 13, esto es, ‫ = ݕ‬−1 − 4‫ ≅ ݏ‬12 + 9‫ ݏ‬y la solución modular:

5(2 + 3s) + 7(12 + 9 s) ≡ 3(mód.13). Si comparamos las dos soluciones, diofántica y modular, observaremos que, mientras la primera tiene infinitas soluciones, la segunda tiene sólo trece, exactamente tantas como el módulo utilizado. Esto se debe a que estamos operando dentro de un anillo ℤn, en este caso ℤ 13 , que genera tantas soluciones como números componen su sistema completo de restos, respecto a ℤn, esto es, {1,2,3,4,…,10,11,13 −1}. Veamos: ࡿ= X=5(2+3s) Y=7(12+9s)

0 10 6 3

1 12 4 3

2 1 2 3

3 3 0 3

4 5 11 3

5 7 9 3

6 9 7 3

7 11 5 3

8 0 3 3

9 2 1 3

10 4 12 3

11 6 10 3

12 8 8 3

13 10 6 3

14 12 4 3

15 1 2 3

⋯ ⋯ ⋯

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5. 2. Sistemas de la forma: Dos ecuaciones con tres o más variables. 2.1 Resolver el sistema: 3x + 2y + 7 z = 74 2 x + 5y + 4 z = 79

Si restamos de la segunda multiplicada por 3 la primera multiplicada por 2, obtenemos 11y − 2 z = 89 y el ݉ܿ݀ ሺ11, 2ሻ = 1, 1 6 89, luego, la ecuación tiene solución. 11‫ = ݕ‬−89 + 2‫ݐ‬, ‫ = ݕ‬−1 + 2‫ݐ‬, ‫ = ݕ‬1 + 2‫ݐ‬. 2‫ = ݖ‬−89 + 11ሺ1 + 2‫ݐ‬ሻ = −78 + 22‫ݐ‬, ‫ = ݖ‬−39 + 11‫ݐ‬. Comprobamos que 11ሺ1 + 2‫ݐ‬ሻ − 2ሺ−39 + 11‫ݐ‬ሻ = 89. Por sustitución despejamos ܺ: 3‫ ݔ‬+ 2ሺ1 + 2‫ݐ‬ሻ + 7ሺ−39 + 11‫ݐ‬ሻ = 74 3‫ ݔ‬+ 2 + 4‫ ݐ‬− 273 + 77‫ = ݐ‬74 3‫ = ݔ‬74 − 2 ∓ 273 − 4‫ ݐ‬− 77‫ = ݐ‬345 − 81‫ݐ‬ ‫ = ݔ‬115 − 27‫ݐ‬ La solución al sistema es: x = 115 − 27t , y = 1 + 2t , z =−39 + 11t.

Otra solución más abreviada puede ser:

x = 7 + 27t , y = 9 − 2t y z = 5 − 11t.

2.2 Resolver el sistema: 5x + 4 y + 2 z = 37 x + y + z = 12

Si restamos de la primera ecuación la segunda multiplicada por 2, obtenemos la ecuación 3x + 2y = 13. El ݉ܿ݀ሺ3,2ሻ = 1 y 1 6 13, luego, la ecuación tiene solución.

3‫ ≡ ݔ‬13ሺ݉ó݀. 2ሻ, ‫ ≡ ݔ‬1ሺ݉ó݀. 2ሻ, ‫ = ݔ‬1 + 2‫ݐ‬. Por sustitución despejamos ܻ:

3ሺ1 + 2‫ݐ‬ሻ + 2‫ = ݕ‬3 + 6‫ ݐ‬+ 2‫ = ݕ‬13 2‫ = ݕ‬13 − 3 − 6‫ = ݐ‬10 − 6‫ݐ‬, ‫ = ݕ‬5 − 3‫ݐ‬. Despejamos Z con los valores obtenidos:

5ሺ1 + 2‫ݐ‬ሻ + 4ሺ5 − 3‫ݐ‬ሻ + 2‫ = ݖ‬5 + 10‫ ݐ‬+ 20 − 12‫ ݐ‬+ 2‫ = ݖ‬37 2‫ = ݖ‬37 − 5 − 20 − 10‫ ݐ‬+ 12‫ = ݐ‬12 + 2‫ݐ‬, ‫ = ݖ‬6 + ‫ݐ‬. Por lo que la solución al sistema es x = 1 + 2t , y = 5 − 3t , z = 6 + t.

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2.3 Resolver el sistema: 3 x + 4 y − 5z + 6u = 3 2 x + 3y + 4 z − 5u = 7

 4  = 1 ≠ 0, por tanto, el sistema tiene solu2 3

3 Se trata de una matriz que tiene un menor  3 4 x  3 + 5 z − 6u    =  . 2 3 y 7 − 4 z + 5u 

ción en la forma 

3 + 5z − 6u 4 3(3 + 5z − 6u) − 4(7 − 4 z + 5u) = △x =  = −19 + 31z − 38u 1 7 − 4 z + 5u 3 3 3 + 5z − 6u  3(7 − 4 z + 5u) − 2(3 + 5z − 6u) = △y =  = 15 − 22z + 27u 2 7 − 4 z + 5u 1 Por tanto, la solución al sistema es:

x = −19 + 31s − 38t , y = 15 − 22s + 27t , z = s, u = t.

2.4 Resolver el sistema: 10 x + 9 y + 7z = 47 3x + 2y + z = 11

10 9 x  47 − 7 z   =  .  3 2 y  11− z 

Resolvemos mediante matrices en la forma 

−1  d a b  Si recordamos que la inversa de una matriz 2‫ݔ‬2 ݁‫ ݏ‬  =  ad−−cbc    c d  ad −bc

  entonces, la a   ad −bc  −b ad −bc

−1  x  10 9 47 − 7z  x = 5+75 z   ecuación de la matriz será   =     . y   3 2  11 − z  y = 31−711 z La solución obtenida es

x = (5 + 5t ) / 7, y = (31 −11t ) / 7, z = t. Si restamos la primera ecuación de la segunda multiplicada por 7, obtenemos:

7ሺ3‫ ݔ‬+ 2‫ ݕ‬+ ‫ = ݖ‬11ሻ − ሺ10‫ ݔ‬+ 9‫ ݕ‬+ 7‫ = ݖ‬47ሻ = 11‫ ݔ‬+ 5‫ = ݕ‬30 11‫ = ݔ‬30 + 5‫ݐ‬, ‫ = ݔ‬0 + 5‫ݐ‬ 5‫ = ݕ‬30 − 11ሺ0 + 5‫ݐ‬ሻ = 0 − 55‫ݐ‬, ‫ = ݕ‬6 − 11‫ݐ‬ Despejamos ܼ por sustitución en la segunda ecuación:

3ሺ0 + 5‫ݐ‬ሻ + 2ሺ6 − 11‫ݐ‬ሻ + ‫ = ݖ‬11 ‫ = ݖ‬11 − 3ሺ0 + 5‫ݐ‬ሻ − 2ሺ6 − 11‫ݐ‬ሻ = 11 − 12 − 15‫ ݐ‬+ 22‫ݐ‬ ‫ = ݖ‬−1 + 7‫ݐ‬.

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Eliminados los números racionales, la solución es x = 0 + 5t , y = 6 − 11t , z = −1 + 7t.

2.5 Resolver el sistema: 3 x + 7y + 5z = 29 4 x + 9 y − 3z = 37

3 7 3 x + 7y = 29 − 5z = El menor  −1 ≠ 0, luego, la ecuación tendrá solución como .  4 9 4 x + 9 y = 37 + 3z Mediante la utilización de matrices: 29 − 5z 7 9(29 − 5z) − 7(37 + 3z) 2 − 66 z = = = −2 + 66 z △x =  −1 −1 37 + 3z 9

{

3 29 − 5z 3(37 + 3z) − 4(29 − 5z) −5 + 29 z △y =  = = = 5 − 29 z −1 −1 4 37 + 3z

{

siendo la solución con denominadores:

x = (−43t )/23, y = (18t ) /23, z = t. Si restamos la primera ecuación multiplicada por −3 de la segunda multiplicada por 5, obtenemos 29‫ ݔ‬+ 66‫ = ݕ‬272, que podemos resolver como ecuación diofántica:

66‫ = ݕ‬272 − 29‫ݐ‬, 33‫ = ݕ‬136 − 29‫ݐ‬, 4‫ = ݕ‬13 − 29‫ݐ‬, ‫ = ݕ‬5 − 29‫ݐ‬. 29‫ = ݔ‬272 − 66ሺ5 − 29‫ݐ‬ሻ = −58 + 1914‫ݐ‬, ‫ = ݔ‬−2 + 66‫ݐ‬. La solución diofánticas es: x = −2 + 66t , y = 5 − 29t , z = t .

2.6 Resolver el sistema: 2 x + 4 y + 5z = 35 7 x + 11y + 2z = 47

2 4  2 x + 4 y = 35 − 5z = −6 ≠ 0, la ecuación tiene solución como Si el menor  . 7 11 7 x + 11y = 47 − 2 z 35 − 5z 4 11(35 − 5z) − 4(47 − 2z) 197 − 47z △x =  = = −6 −6 47 − 2z 11

{

2 35 − 5z 2(47 − 2z) − 7(35 − 5z)( −151 + 31z △y =  = = −6 −6 7 47 − 2z

{

La solución por matrices es: x = (−197 + 47t ) / 6, y = (151 − 31t )6, z = t. Haciendo operaciones, encontramos la solución sin racionales:

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SISTEMAS LINEALES

x = 22 + 47t , y = −11 − 31t y z = 7 + 6t.

2.7 Resolver el sistema homogéneo: 4 x + 7y + 2z = 0 5 x + 3y + 7z = 0

4 7 = −23 ≠ 0, la solución mediante matrices vendrá determinada en la Como el menor   5 3 forma:

4 7 x  −2 z     =  , 5 3 y −7 z 

−1

 x 4 7    y 5 3

−2z   4⋅3−3 7⋅5 − 4⋅3−7 7⋅5 −2z   x = − 4323z   =  → .  4   y = 1823z  −7z  − 4⋅3−5 7⋅5 4⋅3−7⋅5 −7 z  

La solución al sistema mediante matrices será:

x = (−43t )/23, y = (18t ) /23, z = t.

Quitamos racionales y obtenemos, x = 43t , y = −18t y z = −23t

2.8 Resolver el sistema homogéneo: 6 x + 7y + 2z − 3u = 0 5 x + 6 y + 4 z + 4u = 0

6 7 6 x + 7y = −2 z + 3u = 1 ≠ 0, por tanto, habrá solución como El menor  . 5 6 5 x + 6 y = −4 z − 4u

6 7 x  −2 z + 3u     =  . 5 6 y  −7 z − 4u 

 x  −1     6 7 −2z + 3u→  x = 16 z + 46u .   5 6 −7z − 4u  y = −14 z − 39u y 

La solución al sistema mediante matrices será: x = 16 s + 46t +, y =−14 s − 39t , z = s , u = t.

Otra solución puede ser:

x = 6 s − 2t , y = −14 s + 3t , z = s − 3t y u = t

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SISTEMAS LINEALES

2.9 Resolver el sistema homogéneo: x + 2y + 3z = 0 5x + y + 0 z = 0 2x + y + z = 0   1 2 3 1 2  = −9 ≠ 0, luego, su rango es La matriz principal tiene como Det = 5 1 0 = 0 pero  5 1   2 1 1

 x + 2y = −3z   , sistema resoluble mediante la dos y podemos buscar su solución como   5x − y = 0  ܴ݈݁݃ܽ ݀݁ ‫ݎ݁݉ܽݎܥ‬:

    −3 2 1 −3  0 1 z 5 0  5z x= = ; Y= =− . −9 3 −9 −9 La solución podemos escribirla como

z x y = = = t de donde, haciendo operaciones 3 1 −5

x = t , y = −5t , z = 3t.

2.10 Resolver el sistema modular: 5 x + 6 y + 2 z ≡ 11(mód .13) 7 x + 5y + 3z ≡ 5(mód.13) 5 x + 6 y + 2 z = 11 . 7 x + 5y + 3z = 5 Si multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda por −2, la diferencia que obtenemos es

Empecemos por resolver el sistema,

‫ ݔ‬+ 8‫ = ݕ‬23. ‫ = ݔ‬23 + 8‫ = ݏ‬7 + 8‫ݏ‬ En función de ‫ ݔ‬, 8‫ = ݕ‬23 − 1ሺ7 + 8‫ݏ‬ሻ = 16 −8s luego, ‫ = ݕ‬2 − ‫ݏ‬ Por sustitución, despejamos ‫ݖ‬.

3‫ = ݖ‬5 − 7ሺ7 + 8‫ݏ‬ሻ − 5ሺ2 − ‫ݏ‬ሻ = −54 − 51‫ݏ‬, ‫ = ݖ‬−18 − 17‫ݏ‬. 2‫ = ݖ‬5 − 5ሺ7 + 8‫ݏ‬ሻ − 6ሺ2 − ‫ݏ‬ሻ = −36 − 34‫ݏ‬, ‫ = ݖ‬−18 − 17‫ݏ‬. El sistema diofántica tendrá tantas soluciones como valores se asignen a s, esto es,

5(7 + 8 s) + 6(2 − s) + 2(−18 −17s) = 11 7(7 + 8 s) + 5(2 − s) + 3(−18 −17s) = 5 Para el sistema modular, si tenemos en cuenta que el módulo 13 es equivalente al anillo ℤଵଷ y que sus raíces serán ‫ ݁ܿ݁ݎݐ‬y solamente ‫݁ܿ݁ݎݐ‬, basta con transformar los valores de ‫ ݏ‬de en función de 13 para obtener los valores de ‫ݔ‬, ‫ݕ‬, ‫ݖ‬. El valor de ܺ se transforma en ‫ = ݔ‬7 + 8‫ݐ‬. El valor de ܻ se transforma en ‫ = ݕ‬2 + 12‫ݐ‬. El valor de ܼ se transforma en ‫ = ݖ‬8 + 9‫ݐ‬. Ahora confeccionamos la tabla con los valores del anillo:

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࢚= X=7+8t Y=2+12t Z=8+9t

0 7 2 8

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1 2 1 4

2 10 0 0

3 5 12 9

4 0 11 5

5 8 10 1

6 3 9 10

7 11 8 6

8 6 7 2

9 1 6 11

10 9 5 7

11 4 4 3

12 12 3 12

13 7 2 8

14 2 1 4

15 10 0 0

⋯ ⋯ ⋯

que fácilmente se pueden comprobar aplicando dicho valores a los coeficientes del sistema planteado. Observar que para t ≥ 13 se repiten las soluciones.

2.11 Resolver el sistema modular: 5 x + 4 y − 6 z + 5 ≡ 0(mód.17) 9 x − 10 y + 5z − 3 ≡ 0(mód.17)

Dado que en las dos ecuaciones que componen el sistema existen signos negativos, transformaremos el sistema en función del ݉ó݀‫ ݋݈ݑ‬17: 5x + 4 y + 11z ≡ 12(mód.17) 9 x + 7y + 5z ≡ 13(mód.17) y resolveremos, como en el caso anterior, la ecuación

5x + 4 y + 11z = 12 9 x + 7y + 5z = 13. La diferencia de la primera ecuación por 9 y la segunda por 5 es ‫ ݕ‬+ 74‫ = ݖ‬43, de la que obtenemos para ‫ = ݕ‬43 + 74‫ ݐ‬y para ‫ = ݖ‬−‫ݐ‬. Sustituyendo estos valores en las dos ecuaciones, resulta para ‫ݔ‬:

5‫ = ݔ‬12 − 1ሺ43 + 74‫ݐ‬ሻ + 74ሺ−‫ݐ‬ሻ = −160 − 185‫ݐ‬, ‫ = ݔ‬−32 − 57‫ݐ‬. 9‫ = ݔ‬13 − 7ሺ43 + 74‫ݐ‬ሻ + 5ሺ−‫ݐ‬ሻ = −288 − 513‫ݐ‬, ‫ = ݔ‬−32 − 57‫ݐ‬. La solución diofántica es

5(−32 − 57t ) + 4(43 + 74t ) + 11(−t ) = 12 9(−32 − 57) + 7(43 + 74t ) + 5(−t ) = 13. Transformamos los valores de la diofántica al anillo ℤଵ଻ :

Diofántica

Modular

x =−32 − 57t y = 43 + 74t z= −t

x = 2 + 11t y = 9 + 6t z = 16t

y obtenemos los valores del sistema: ࢚= X=2+11t Y=9+6t Z=16t

0 2 9 0

1 13 15 16

2 7 4 15

3 1 10 14

4 12 16 13

5 6 5 12

6 0 11 11

7 11 0 10

… … …

14 3 8 3

15 14 14 2

16 8 3 1

17 2 9 0

18 13 15 16

19 7 4 15

20 1 10 14

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Por ejemplo, para ‫ = ݐ‬5: 5ሺ6ሻ + 4ሺ5ሻ + 11ሺ12ሻ = 182 ≡ 12ሺ݉ó݀. 17ሻ 9ሺ6ሻ + 7ሺ5ሻ + 5ሺ12ሻ = 149 ≡ 13ሺ݉ó݀. 17ሻ

5. 3. Sistemas de la forma: Tres ecuaciones con cuatro o más variables. 3.1 Resolver el sistema: 3x + 5y + z − 2u = 1 3x + 4 y − 4 z + 11u = 2 2 x + 3y − z + 3u = 1 La segunda ecuación está formada por la diferencia entre la primera y ‫ ݏ݁ݎݐ‬veces la tercera, 2 x + 3y = 1 + z − 3u luego, podemos considerar una la solución en la forma  . 3x + 5y = 1 − z + 2u 1 3  = 1 ≠ 0, podemos plantear la solución como sigue: Como det =  3 5 1 + z − 3u 3 2 + 8 z − 21u = ∆ x =  = 2 + 8 z − 21u 1 1 − z + 2u 5 2 1 + z − 3u −1 − 5z + 13u = ∆y =  = −1 − 5z + 13u 1 3 1 − z + 2u La solución general al sistema planteado es:

x = 2 + 8 s − 21t y = −1 − 5s + 13t z= s u= t

3.2 Resolver el sistema: x + 2y + 3z + 2u = 5 2 x + 3y − 2z + 3u = 8 3x + 5y + z + 5u = 13 1 2 2 3  = −1 y   = 1. La primeEl sistema planteado tiene dos menores distintos de cero  2 3 3 5 ra ecuación queda anulada ya que es diferencia de la ‫ ܽݎ݁ܿݎ݁ݐ‬y la ‫ܽ݀݊ݑ݃݁ݏ‬, por lo tanto, la matriz tiene rango dos y la solución viene determinada al resolver: 2 x + 3y = 8 + 2z − 3u 3 x + 5y = 13 − z − 5u

en donde ‫ݔ‬, ‫ ݕ‬son variables principales y ‫ݖ‬, ‫ ݑ‬son variables libres, la solución:

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x = 1 + 13s y = 2 − 8s − t z= s u= t

3.3 Resolver el sistema: 2 x + 3y + 4 z + 2u + 3v + 5w = 27 3x + 5y + 2z − u + v + 3w = 34 2 x + 3y + 3z + 2u + 5v + w = 25 2 3 = 1 ≠ 0, por lo que en principio, el rango es ≥ 2. A partir de este menor orlaEl menor  3 5   2 3 4 mos con los de tercer orden, 6 5 2 = −1 ≠ 0, que, al no haber menores de orden supe  2 3 3 rior, el rango es ‫ݏ݁ݎݐ‬. Tomando ‫ݔ‬, ‫ݕ‬, ‫ ݖ‬como variables principales y el resto como libres, resolvemos en la forma 2 x + 3y + 4 z = 27 − 2u − 3v − 5w 3x + 5y + 2 z = 34 + u − v − 3w 2 x + 3y + 3z = 25 − 2u − 5v − w

27 − 2u − 3v − 5w 3 4 −5 + 13u + 40v − 40w ∆ x = 34 + u − v − w 5 2= = 5 − 13u − 40v + 40w. 2 3 4 25 − 2u − 5v − w 3 3 3 5 2 2 3 3 2 27 − 2u − 3v − 5w 4 −3 − 8u − 23v + 23w ∆y = 3 = 3 + 8u + 23v − 23w. 34 + u − v − w 2= 2 3 4 2 25 − 2u − 5v − w 3 3 5 2 2 3 3 2 3 27 − 2u − 3v − 5w −2 − 2v + 4w ∆ z = 3 5 34 + u − v − 3w = = 2 + 2v − 4w. 2 3 4 2 3 25 − 2u − 5v − w 3 5 2 2 3 3 La solución al sistema propuesto sería:

x = 5 -13r - 40 s + 40t y = 3 + 8r + 23s -23t z =2 + 2s - 4t u= r v= s w= t Hemos utilizado la regla de Pierre Sarrús (1798-1861), regla práctica utilizada para calcular determinantes de tercer orden. El determinante es igual a la suma de los productos de los tripletes de elementos situados sobre la paralela a la diagonal principal disminuida de la suma de los

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productos de los tripletes de elementos situados sobre una paralela a la diagonal no principal, por ejemplo:

a1 b1 ∆ = a2 b2 a3 b3

c1 c2 = (a1b2c3 + a2b3c1 + a3b1c2 ) − (a3b2c1 + a2b1c3 + a1b3c2 ). c3

3.4 Resolver el sistema: 3x + y + 4 z + 5u + 4v = 8 2 x + y + 3z − 2u + 3v = 6 5x + 2y + 8 z + u + 7v = 15   3 1 4  El determinante de 2 1 3 = 1 ≠ 0. La matriz, por tanto, tiene solución con ‫ݔ‬, ‫ݕ‬, ‫ ݖ‬como va  5 2 8 3 x + y + 4 z = 8 − 5u − 4v  riables principales y ‫ݑ‬, ‫ ݒ‬como libres, en la forma 2 x + y + 3z = 6 + 2u − 3v.  5 x + 2y + 8 z = 15 − u − 7v Luego la solución es:

x = 1 - 9s − t y = 1 + 14 s − t z = 1 + 2s u= s v= t

3.5 Resolver el sistema: 3x + y + 5z − 3u + 4v = 23 5x + 2y + 7z + 6u − v = 38 3x + y + 6 z + 2u + v = 24 Si restamos la tercera ecuación de la segunda, obtenemos, 5‫ ݑ‬− 3‫ ݒ‬+ ‫ = ݖ‬1, de la que podemos despejar ‫ = ݖ‬1 − 5‫ ݑ‬+ 3‫ݒ‬. Si restamos la segunda multiplicada por ‫ ݏ݁ݎݐ‬de la tercera multiplicada por ݀‫ݏ݋‬, obtenemos:

−8‫ ݑ‬+ 8‫ ݒ‬− ‫ ݕ‬+ 9‫ = ݖ‬6. Si restamos (−8‫ ݑ‬+ 8‫ ݒ‬− ‫ ݕ‬+ 9‫ = ݖ‬6ሻ − 9ሺ5‫ ݑ‬− 3‫ ݒ‬+ ‫ = ݖ‬1ሻ resulta

53‫ ݑ‬+ 35‫ ݒ‬− ‫ = ݕ‬−3 de donde

y = 3 − 53u + 35v

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Sustituyendo en alguna de las ecuaciones los valores obtenidos, despejamos x que resulta: ‫ = ݔ‬5 + 27‫ ݑ‬− 18‫ݒ‬. Por tanto, la solución al sistema es x = 5 + 27s − 18t y = 3 − 53s + 35t z = 1 − 5s + 3t u= s v= t

3.6 Resolver el sistema homogéneo: 8 x + 2y + 5z + u + 3v = 0 3x + y + 2z + 4u − 2v = 0 4 x + y + 3z − 5u + 3v = 0 Si restamos la ‫ ܽݎ݁ܿݎ݁ݐ‬por ocho de la ‫ ܽݎ݁݉݅ݎ݌‬por cuatro y dividimos por cuatro, tenemos, 11‫ ݑ‬− 3‫ ݒ‬− ‫ = ݖ‬0, de la que despejamos ‫ = ݖ‬11‫ ݑ‬− 3‫ݒ‬. Si restamos la ‫ ܽ݀݊ݑ݃݁ݏ‬por cuatro de la ‫ ܽݎ݁ܿݎ݁ݐ‬por tres, tenemos −31‫ ݑ‬+ 17‫ ݒ‬− ‫ ݕ‬+ ‫ = ݖ‬0 que restado de 11‫ ݑ‬− 3‫ ݒ‬− ‫ = ݖ‬0, resulta −20‫ ݑ‬+ 14‫ ݒ‬− ‫ = ݕ‬0, de donde despejamos ‫ = ݕ‬−20‫ ݑ‬+ 14‫ݒ‬. Por sustitución, en cualquiera de las ecuaciones tenemos para ‫ = ݔ‬−2. ‫ ݑ‬− 2‫ݒ‬. Cambiando las variables libres, ‫ݑ‬, ‫ ݒ‬por los parámetros ‫ݏ‬, ‫ݐ‬, la solución al sistema homogéneo, es x = −2s − 2t y = −20 s + 14t z = 11s − 3t u= s v= t

3.7 Resolver el sistema homogéneo: 5x + 2y + 7z + u − v = 0 2 x + y + 3z − 2u + 3v = 0 5x + 2y + 8 z + 4u + 5v = 0 Si restamos la ‫ ܽݎ݁݉݅ݎ݌‬de la ‫ܽݎ݁ܿݎ݁ݐ‬, resulta 3‫ ݑ‬+ 6‫ ݒ‬+ ‫ = ݖ‬0, de donde obtenemos ‫ = ݖ‬−3‫ ݑ‬− 6‫ݒ‬. Restamos la ‫ ܽ݀݊ݑ݃݁ݏ‬por cinco de la ‫ ܽݎ݁ܿݎ݁ݐ‬por dos, 18‫ ݑ‬− 5‫ ݒ‬− ‫ ݕ‬+ ‫ = ݖ‬0 cuya diferencia con 3‫ ݑ‬+ 6‫ ݒ‬+ ‫ = ݖ‬0 es de 15‫ ݑ‬− 11‫ ݒ‬− ‫ = ݕ‬0, que nos proporciona el valor de ‫ = ݕ‬15‫ ݑ‬− 11‫ݒ‬. Por sustitución, el valor para ‫ ݔ‬resulta, ‫ = ݔ‬−2‫ ݑ‬+ 13‫ ݒ‬y, la solución al sistema propuesto x =−2s + 13t y = 15s − 11t z =−3s − 6t u= s v= t

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3.8 Resolver el sistema modular: 3x + 5y − 7z + 4u ≡ 2(mód.13) 4 x − 2y + 3z + 5u ≡ 1(mód.13) 5x + 3y + 6 z − 2u ≡ 3(mód.13) Se trata de una ecuación diofántica a resolver en ܼଵଷ . La ecuación principal tiene como deter  3 5 −7  minante ∆ = 4 −2 3  = −262 ≠ 0, por lo que el sistema puede tener solución en la for  6  5 3 ma

3x + 5y − 7z = 2 − 4u  4 x − 2y + 3z = 1 − 5u .  5x + 3y + 6 z = 3 + 2u Aplicando procedimientos expuestos en supuestos anteriores, las soluciones serán

x=

−90 + 341u −76 − 303u −18 − 220u , y= , z= , −292 −292 −292

siendo el valor de ‫ݐ = ݑ‬. Para evitar los números racionales, podemos resolver mediante eliminación como sigue: La segunda ecuación por ‫ ݏ݁ݎݐ‬de la primera por ܿ‫݋ݎݐܽݑ‬: 26‫ ݕ‬− 37‫ ݖ‬+ ‫ = ݑ‬5. La primera por ܿ݅݊ܿ‫ ݋‬de la tercera por ‫ݏ݁ݎݐ‬: 16‫ ݕ‬− 53‫ ݖ‬+ 26‫ = ݑ‬1. La diferencia de ambas: 660‫ ݕ‬− 909‫ = ݖ‬129. De esta ecuación resulta para ‫ = ݕ‬109 − 303‫ ݐ‬y para ‫ = ݖ‬79 − 220‫ݐ‬. Si sustituimos estos valores en la primera diferencia, obtenemos ‫ = ݑ‬94 − 262‫ݐ‬. Ahora, por sustitución en cualquiera de las ecuaciones, resolvemos para ‫ = ݔ‬−122 + 341‫ݐ‬, con lo cual hemos eliminado los números racionales. Conocida la solución diofántica, procedemos a calcular los valores para la modular: x = 5 + 3t y = 9 + 9t u = 5 + 11t z= t

3.9 Resolver el sistema modular: 5x − 3y + 8 z + 3u ≡ 5(mód.17) 7x + 11y + 3z − 9u ≡ 4(mód.17) 6 x + 9y − 2z + 10u ≡ 7(mód.17) 5 −3 8    El determinante de ∆ = 7 11 3  = −365 ≠ 0. La matriz tendrá solución como   6 9 −2

5x − 3y + 8 z = 5 − 3u 7 x + 11y + 3z = 4 + 9u .  6 x + 9y − 2z = 7 −10u

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Operando como en casos anteriores, obtenemos los valores para

x=

−660 + 1711u 215 −1028u 265 −1318u , y= , z= . −365 −365 −365

Para eliminar los números racionales, transformamos estos resultados resolviendo las siguientes ecuaciones: ‫=ݔ‬

ି଺଺଴ାଵ଻ଵଵ௨ ିଷ଺ହ

‫=ݕ‬

ଶଵହିଵ଴ଶ଼௨ ିଷ଺ହ

⇒ 365‫ ݕ‬+ 1028‫ = ݑ‬−215: ‫ = ݕ‬−71 − 1028‫ݐ‬, ‫ = ݑ‬−25 − 365‫ݐ‬

‫=ݖ‬

ଶ଺ହିଵଷଵ଼௨ ିଷ଺ହ

⇒ 365‫ ݖ‬+ 1318‫ = ݑ‬−265: ‫ = ݖ‬−91 − 1318‫ݐ‬.

⇒ 365‫ ݔ‬− 1711‫ = ݑ‬660: ‫ = ݔ‬119 + 1711‫ݐ‬, ‫ = ݑ‬−25 − 365‫ݐ‬

Conocidos los valores para el sistema diofántico, calculamos los del anillo ℤଵ଻ : x = 4 + 12t y = 8 + 16t u = 3 + 16t z= t

3.10 Resolver el sistema modular: x − 4 y − 3z + u ≡ 1(mód.19) 3x + y − 3z + u ≡ 2(mód.19) 2 x + 5y − 7z + 3u ≡ 3(mód.19)   1 −4 −3   Como el discriminante de 3 1 −3 = −91 ≠ 0, la matriz tendrá solución en la forma   2 5 −7

x − 4 y − 3z = 1 − u 3x + y − 3z = 2 − u  2 x + 5y − 7z = 3 − 3u que, haciendo operaciones, encontramos

x=

33 + 10u 5 − 4u −26 + 39u , y= , z= . 91 91 91

Utilizando cualquiera de los métodos aplicados últimamente, obtenemos otros resultados equivalentes para el sistema algebraico, no racionales, ‫ = ݔ‬3 + 10‫ݐ‬, ‫ = ݕ‬−1 − 4‫ݐ‬, ‫ = ݖ‬10 + 39‫ݐ‬, ‫ = ݑ‬24 + 91‫ݐ‬. En cuanto al sistema modular, tenemos x = 17 + 10t y = 1 + 15t u = 7 + 15t z= t

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SISTEMAS LINEALES

5. 4. Algunas aplicaciones 4.1 Codificar el mensaje: HOLA, LLEGARE TARDE, utilizando la siguiente matriz. −2

1

2

C = −1 1 3 1 −1 −4

Vamos a empezar por asignar a cada elemento a codificar una letra, en nuestro caso, los signos serán los de espacio y el alfabeto español de 27 letras.

0 1 2 3

4 5 6 7 8 9

0 0 A B C D E F G H I 1 J K L M N Ñ O P Q R 2 S T U V W X Y Z El mensaje: HOLA, LLEGARÉ TARDE, tiene 16 letras y dos espacios, un total de 18 signos. H 08

O 16

L 12

A 01

L 12

00

L 12

E 05

G 07

A 01

R 19

E 05

00

T 21

A 01

R 19

D 04

E 05

Para codificar los 18 caracteres, a partir de una matriz de 3 x 3, vamos a utilizar otra matriz de 3 x 3, multiplicándolas.

08 16 12 1 −2 C = 01 00 12 ⋅ −1 1 12 05 07

1

2 4 −12 16 3 = 13 −14 −46

−1 −4

14 −26

01 19 05 1 −2 2 −13 C = 00 21 01 ⋅ −1 1 3 = −20 19 04 05

−1 4

1

20

12 20

11 39 59

−39 30

El mensaje codificado resulta: [4,-12,16,13,-14,-46,14,-26,11] [-13,12,39,-20,20,59,20,-39,30]

4.2 Descodificar mensaje:4,-12,16,13,-14,-46,14,-26,11,-13,12,39,-20,20,59,20,-39,30. Para descodificar el mensaje anterior deberemos calcular la inversa de la matriz que ha servido de base codificadora, en nuestro caso:

1

−2 2

D = −1 1 3 1 −1 4

−1

−1 −10 −8 = −1 0

−6 −1

−5 −1

y multiplicarla por los números del mensaje divididos en matrices de 3 x 3, así

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Rafael Parra Machío

SISTEMAS LINEALES

4 −12 16 −1 −10 −8 08 16 12 D = 13 −14 −46 ⋅ −1 −6 −5 = 01 00 12 14 −26 −13 D = −20 20

11

12 20

−1

0

−1

12 05 07

39 −1 −10 −8 01 19 05 59 ⋅ −1 −6 −5 = 00 21 01

−39 30

−1

0

−1

19 04 05

El código traducido resulta: 08 H

16 0

12 L

01 A

00

12 L

12 L

05 E

07 G

01 A

19 R

05 E

00

21 T

01 A

19 R

04 D

05 E

4.3 Codificar en 3H el mensaje ME GUSTA VIAJAR, utilizando la matriz: −2 −3 −1 C = −3 −3 −1 −2 −4 −1 La notación de que se va a codificar en 3H (3 x 1) con una matriz de 3 x 3, significa que la codificación será en bloques de 3 elementos en horizontal. Empecemos por dar valor numérico al mensaje: M 13

E 05

00

G 07

U 22

S 20

T 21

A 01

00

V 23

I 09

A 01

J 10

A 01

R 19

Para codificar utilizamos 6 matrices de 3 x 1 junto con la de 3 x 3:

−2 −3 −1 C = 13 05 00 ⋅ −3 −3 −1 = −41 −54 −18 −2 −4 −1 −2 −3 −1 C = 07 22 20 ⋅ −3 −3 −1 = −120 −167 −49 −2 −4 −1 Así sucesivamente, hasta conseguir para el mensaje una codificación de -41,-54,-18,-120,-167,-49,-45,-66,-22,-75,-100,-33,-61,-109,-30.

4.4 Descodificar mensaje: -41,-54,-18,-120,-167,-49,-45,-66,-22,-75,-100,-33,-61,-109,-30. Calculamos la inversa de la matriz base de la codificación

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Rafael Parra Machío

SISTEMAS LINEALES

−2 −3 −1

−1

1

−1

0

0 2

−1 3

D = −3 −3 −1 = 1 −2 −4 −1 −6 y procedemos de forma inversa

−1 0 0 −1 = 13 05 00

1 D = −41 −54 −18 1 −6

2

3 −1 0 0 −1 = 07 22 20

1 D = −120 −167 −49 1 −6

2

3

y así sucesivamente, hasta conseguir saber que el mensajes es -41 13 M

-54 05 E

-18 00

-120 07 G

-167 22 U

-49 20 S

-45 21 T

-66 01 A

-22 00

-75 23 V

-100 09 I

-33 01 A

-61 10 J

-109 01 A

-30 19 R

4.5 Contéstele, con 3V, que 27,38,-51,51,54,-75,-21,18,,20,27,38,-52 . El primero es

−1 −10 −8 27 01 D = −1 −6 −5 ⋅ 38 = 00 0

−1

−1 −51

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el resto lo dejo en vuestras manos. BIBLIOGRAFIA CASTELEIRO VILLALBA, José M. , Introducción al Álgebra Lineal, ISBN: 84-7356-394-8 QUIROGA, Antonia, Introducción al Álgebra Lineal, ISBN: 84-933631-7-0 KOSHY, Thomas, Elementary Number Theory with Aplications, ISBN: 978-0-12-372487-8 MERINO,L. y SANTOS, E., Álgebra Lineal, ISBN: 84-9732-481-1 QUEYSANNE, Michel, Álgebra Básica, ISBN: 84-316-1789-6 APOYO INTERNET http://mathworld.wolfram.com/DiophantineEquation.html http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_lineales http://www.aulademate.com/foro/sistema-de-ecuaciones-modularesvt1884.php?amp;sid=c8f979cf99fe6fb70708d43c131fa726 http://www.eui.upm.es/~jjcc/alg200809personal/material/Imprimir_Tema_III_ALG_MD.pdf http://www.wolframalpha.com/examples/ (programa de matemáticas) http://www.vitutor.com/algebralineal.html

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